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Università degli Studi di Perugia
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Industriale
Anno Accademico 2010 - 2011
Esercizi di
Fisica Tecnica
1) Individuare sul diagramma P-v, punti e trasformazioni indicati sul diagramma P-T.
Il diagramma di stato di una sostanza pura sul piano P-T è il seguente:
Diagramma P-T di una sostanza pura (diagramma delle fasi).
C = Punto Critico. K = Punto Triplo. Tc = Temperatura Critica. Pc = Pressione Critica.
Sul piano P-v, invece, è questo:
Diagramma P-v di una sostanza pura.
ABCDEF = generica isoterma.
Punto I:
si trova nel campo di esistenza del vapore surriscaldato;
si trova alla pressione P = PI < PC;
si trova alla temperatura TI < TC, TI > T3.
Punto II:
si trova nel campo di esistenza del gas;
si trova alla pressione P = PI = PII < PC;
si trova alla temperatura TI > TC, TI > T3.
Punto III:
si trova nel campo di esistenza del gas;
si trova alla pressione P = PIII > PC;
si trova alla temperatura TIII > TC, TIII > T3.
Punto IV:
si trova nel campo di esistenza del vapore saturo (liquido + vapore);
si trova alla pressione P = PIV < PC.
si trova alla temperatura TIV < TC, TIV > T3.
Punto V:
si trova nel campo di esistenza del liquido + solido;
si trova alla pressione P = PV < PC;
si trova alla temperatura TV < TC, TV > T3.
Punto VI:
si trova nel campo di esistenza del vapore + liquido + gas;
si trova alla pressione P = PVI < PC;
si trova alla temperatura TVI < TC, TI = T3.
Trasformazione Isoterma dal punto VII:
nel diagramma P-T i punti VIII e IX coincidono (le due linee isotitolo X=1 e X=0 sono sovrapposte);
nel diagramma P-v è da notare che, nella campana dei vapori saturi, le isobare e le isoterme coincidono.
Note:
- con T3 e P3 sono indicate le temperature e le pressioni del punto triplo; con TC e PC sono indicate, invece, le
temperature e le pressioni critiche);
- Il punto IV ed il punto VI, nel diagramma P-v, sono indicati (per comodità) con un solo punto; in realtà
rappresentano un segmento (indicato con il tratteggio).
2) Calcolare il lavoro reversibile compiuto da un sistema cilindro-pistone che comprime 2 moli di azoto puro,
considerando il caso di sistema chiuso e trasformazione reversibile.
Dati:
V1 = 30 l; V2 = 10 l;
T1 = T2 = 300 K;
RN2 = (tab. 2.3 pag. 58) 0,297 kJ/kgK;
Peso atomico dell’azoto = 14;
Costanti dell’equazione di van der Waals (tab. 2.4 pag. 62): a = 72,72 m6Pa/kg
2; b = 0,89*10
-3 m
3/kg;
Tc (azoto) = 126,27 K.
Per un sistema chiuso, il lavoro reversibile si calcola con il seguente integrale:
dvPL ∫=−
2
121
Caso di gas ideale ( RTPv = ):
v
RTPRTPv =→=
( )
=−==== ∫∫∫
1
212
2
1
2
1
2
112 lnlnln
1
v
vRTvvRTdv
vRTdv
v
RTdvPL
m
Vv = dove V è il volume in m
3 ed m è la massa in kg
kgg
molecolarepesomolinumeroginmassamolecolarepeso
ginmassamolinumero
056,056282 ==⋅=
=⋅=→=
Si ottiene quindi: kg
mv
3
1 5357,0056,0
03,0== ;
kg
mv
3
2 1786,0056,0
01,0==
kg
kJ
v
vRTL 87,97
5357,0
1786,0ln300297,0ln
1
212 −=
⋅⋅=
=
Caso di fluido di van der Waals ( ( ) RTv
aPbv =
+−
2): (forze attrazione intermolecolari + molecole con volume proprio)
( )
−
−=→=
+−
22v
a
bv
RTPRT
v
aPbv
=−−
=−−
=
−
−== ∫∫∫∫∫∫ dv
vadv
bvRTdv
v
adv
bv
RTdv
v
a
bv
RTdvPL
2
1 2
2
1
2
1 2
2
1
2
1 2
2
112
11
kg
kJ
vva
bv
bvRT 44,98
11ln
121
2 −=
−+
−
−=
3) Assumendo che, in condizioni di equilibrio termico con il ghiaccio a pressione atmosferica, un’asta di mercurio
misuri 1 mm e che all’equilibrio termico con il punto di ebollizione dell’acqua a pressione atmosferica misuri 8
mm, determinare una scala di temperatura.
Si supponga, inoltre, di immergere l’asta in un fluido e di misurare, una volta raggiunto l’equilibrio termico, una
lunghezza dell’asta di 4,6 mm.
∆L = Lfinale – Liniziale = 8 – 1 = 7 mm
∆T = Tfinale – Tiniziale = 100 – 0 = 100 °C
∆L / ∆T = 7 / 100 = 0,07 mm/°C
ovvero, ogni grado centigrado, l’asta si allunga (o accorcia) di 0,07 mm.
Una lunghezza di 4,6 mm corrisponde ad un allungamento di 3,6 mm (4,6 – 1)
∆L / ∆T = 0,07 → ∆T = ∆L / 0,07 = 3,6 / 0,07 = 51,43 °C
L [mm]
T [°C]
81
100
0
51,43
4,6
4) Classificare quantitativamente e qualitativamente le seguenti forme di energia:
Quantitativo
di energia
Tipologia
di energia
20 kJ Potenziale
10000 cal Calore a 400 K
5 kcal Cinetica
50 Wh Lavoro
20000 J Calore a 1000 °C
Per confrontare quantitativamente le differenti fonti di energia basta portarle tutte alla stessa unità di misura (si sceglie
quella del Sistema Internazionale), il Joule (ed il suoi multipli/sottomultipli).
Quantitativo
di energia
Tipologia
di energia
20 kJ Potenziale 20000 J 20 kJ
10000 cal Calore a 400 K 10000 * 4,186 = 41860 J 41,86 kJ
5 kcal Cinetica 5000 * 4,186 = 20930 J 20,93 kJ
50 Wh Lavoro 50 * 3600 = 180000 J 180 kJ
20000 J Calore a 1000 °C 20000 J 20 kJ
Si ricorda che: 1 cal = 4,186 J; 1 Cal (grande caloria) = 1000 cal; 1 W = 1J / 1s
Per un confronto qualitativo occorre utilizzare la definizione di rendimento del ciclo di Carnot (ciclo di massimo
rendimento fissate le temperature di funzionamento).
1
2
1
2 11T
T
Q
Q−=−=η
dove con T2 si intende la temperatura a cui viene ceduto il calore (es. T2 = Tambiente = 300 K) e con T1 la temperatura di
ingresso.
Moltiplicando, quindi, l’energia a disposizione per il rendimento di Carnot, si ottiene il massimo lavoro eseguibile.
Quantitativo
di energia
Tipologia
di energia
Confronto
quantitativo η carnot
Confronto
qualitativo
20 kJ Potenziale 20000 J 20 kJ ---------- 20 kJ
10000 cal Calore a 400 K 10000 * 4,186 = 41860 J 41,86 kJ 25,0400
3001 =− 10,46 kJ
5 kcal Cinetica 5000 * 4,186 = 4186 J 20,93 kJ ---------- 20,93 kJ
50 Wh Lavoro 50 * 3600 = 180000 J 180 kJ ---------- 180 kJ
20000 J Calore a 1000 °C 20000 J 20 kJ 76,01273
3001 =− 15,2 kJ
5) Supponiamo di voler comprimere adiabaticamente 20 grammi di H2 (ipotizzare il comportamento di gas ideale) a
300 K, da 1 bar a 10 bar, con un sistema cilindro pistone; il pistone ha una superficie di 0,5 m2.
Calcolare il lavoro reversibile e quelli irreversibili considerando che per ottenere tale compressioni si impiegano
rispettivamente 300 e 60 secondi con rispettive forze di reazione di 500 e 800 N.
Dati sull’idrogeno:
R = 4,124 kJ/kgK;
γγγγp = calore specifico a P costante (a 25 °C e bassa P) = 14,302 kJ/kgK;
γγγγv = calore specifico a V costante (a 25 °C e bassa P) = 10,178 kJ/kgK.
dvPLB
Arev ∫=
La trasformazione è adiabatica, quindi vale la relazione cost=kPv
kJ
ereversibillavorokg
kJ
kg
J
k
vvdv
vdvPL
kg
m
Pv
kg
J
kg
m
P
RTvvP
kv
PPv
kkv
v k
B
Arev
k
k
v
p
k
k
5,5702,02875
)(287510875,2839,03426716
405,11
372,12404,2cost
1cost
cost
404,243,31000000
3426716cost
3426716372,12100000cost;372,12100000
3004124;cost
405,1178,10
302,14;
costcost
6
405,0405,01
1
1
2
3405,1405,1
2
2
405,13
1
1111
2
1
−=⋅−=
−=⋅−=⋅−=
=−
−⋅=
−
−⋅===
====
=⋅==⋅
===
====→=
−−−−
∫∫
γ
γ
∫ ⋅+= dxRLL revirr
dove R è la forza che si contrappone al moto di avanzamento del pistone (attrito).
R1 = 500 N; R2 = 800 N
( ) xRLxxRLdxRLL revrevrevirr ∆⋅+=−⋅+=⋅+= ∫ 12
S
Vx
∆=∆ dove ∆V è la variazione di volume ed S è la superficie del pistone.
( ) ( ) 3
12 199,002,0372,12404,2 mmvvmvV −=⋅−=⋅−=⋅∆=∆
)(57818398,080057500
)(57699398,050057500
398,05,0
199,0
2)2(
1)1(
ileirreversiblavoroJxRLL
ileirreversiblavoroJxRLLxRLL
mS
Vx
revirr
revirrrevirr
−=⋅−−=∆⋅+=
−=⋅−−=∆⋅+=→∆⋅+=
−=−=∆
=∆
Per calcolare quanta potenza occorre nel primo dei due casi, si utilizza la seguente formula:
WWs
J
tempo
lavoro
t
LPPotenza 33,192
300
57699][
][
][==
=====
nel secondo caso, invece:
WP 63,96360
57818==
6) Si consideri una massa d’acqua contenuta in un serbatoio. Alla parte inferiore del serbatoio è collegato un
condotto cilindrico.
Trascurando le perdite di carico, determinare:
- la velocità di uscita dell’acqua;
- la portata in volume;
- la portata in massa.
Dati:
A = 5 m
B = 4,5 m
C = 3,5 m
D = 0,6 m
Per la risoluzione di questo esercizio si utilizza l’equazione di Bernoulli:
12
2
222
2
1112
1
2
1RVvPzgVvPzg +++=++
I pedici 1 e 2 si riferiscono a due sezioni (si scelgono arbitrariamente le più “convenienti”):
sezione 1 = pelo libero dell’acqua;
sezione 2 = uscita dell’acqua.
P1 = P2 = pressione atmosferica;
V1 ≈ 0; V1 è l’incognita;
R12 = 0 (da testo).
( ) ( )
=⋅===⋅⋅=
=−=→−=→−=→+=
h
km
s
m
zzgVzzgVzgzgVVzgzg
1,456,353,1253,1296,156881,92
222
1
2
121221
2
221
2
2
2
221
s
kgVAGmassainportata
s
l
s
mV
dVAGvolumeinportata
M
V
283283,01000
2831000283,054,353,124
6,014,3
4
32
2
2
=⋅=⋅⋅==
=⋅==⋅
⋅=⋅=⋅==
ρ
π
7) Dato un condotto cilindrico in acciaio della lunghezza di 16,5 metri, dove scorre un fluido di caratteristiche note,
calcolare le perdite di carico ripartite.
Dati:
D = 0,85 m;
µ = 10-3 kg/m s;
V = 3,5 m/s;
ρ = 950 kg/m3.
Per il calcolo delle perdite di carico ripartite è indispensabile conoscere la tipologia di moto del fluido
(laminare/turbolento); per far ciò si utilizza il numero di Reynolds:
==
νµ
ρ DVDVRe
dove:
ρ = densità del fluido [kg/m3];
V = velocità del fluido nel condotto [m/s];
D = diametro interno del condotto [m].
µ = viscosità dinamica [kg/m s];
ν = viscosità cinematica [m2/s].
turbolentomoto10826,210
85,05,3950Re 6
3→⋅=
⋅⋅==
−µ
ρ DV
In tal caso si fa riferimento all’equazione
===⋅⋅⋅==→= Pa
m
N
sm
kg
mm
s
m
m
kg
D
lVfR
D
Vf
dx
dR222
2
3
22 1lmentedimensiona
22
ρρ
dove:
R = perdite di carico ripartite [Pa];
f = fattore di attrito [adimensionale];
ρ = densità del fluido [kg/m3];
V = velocità del fluido nel condotto [m/s];
l = lunghezza del condotto [m];
D = diametro interno del condotto [m].
Per trovare f occorre utilizzare il diagramma di Moody.
Re < 2000 → moto laminare
2000 < Re < 3000 → transizione
Re > 3000 → moto turbolento
Per muoversi all’interno del diagramma di Moody occorre conoscere due valori:
- il numero di Reynolds (Re); questo valore è già stato calcolato: Re = 2,826 106.
- la scabrezza relativa (ε).
diametro
scabrezzadiindice
D
e==ε
L’indice di scabrezza si trova tabellato.
In questo caso prendiamo il valore centrale del range 0,04÷0,15 ovvero 0,095 mm (0,000095 m).
000112,085,0
000095,0===
D
eε
Utilizzando i valori di Re e ε calcolati, si trova su diagramma di Moody il valore f = 0,013.
PaD
lVfR
D
Vf
dx
dR4,1468
7,1
24,2496
85,02
5,165,3950013,0
22
222
==⋅
⋅⋅⋅==→=
ρρ
Z1
Z2
8) Si supponga di dover trasportare acqua da un serbatoio ad un altro posto ad una quota maggiore (si faccia
riferimento allo schema riportato di seguito).
Calcolare:
- le perdite ripartite nel condotto che unisce i due serbatoi.
Dati:
lunghezza condotto = 15 m;
diametro interno condotto = 10 cm;
viscosità dinanica dell’acqua = µ = 10-3 kg/m s;
densità dell’acqua = ρ = 1000 kg/m3;
portata volumica dell’acqua = GV = 0,1 l/s;
indice di scabrezza del condotto = 0,1 mm.
Per il calcolo delle perdite di carico ripartite è indispensabile conoscere la tipologia di moto del fluido
(laminare/turbolento); per far ciò si utilizza il numero di Reynolds:
==
νµ
ρ DVDVRe
dove:
ρ = densità del fluido [kg/m3];
V = velocità del fluido nel condotto [m/s];
D = diametro interno del condotto [m].
µ = viscosità dinamica [kg/m s];
ν = viscosità cinematica [m2/s].
Ricavo il valore della velocità dalla portata e dalla sezione del condotto:
s
m
DA
GV V 0127,0
007854,0
0001,0
4
0001,02
====π
laminaremoto127310
1,00127,01000Re
3→=
⋅⋅==
−µ
ρ DV
013,01273
16
Re
16===f
PaD
lVfR
D
Vf
dx
dR15,0
2,0
150127,01000013,0
22
222
=⋅⋅⋅
==→=ρρ
Re < 2000 → moto laminare
2000 < Re < 3000 → transizione
Re > 3000 → moto turbolento
9) Si consideri l’impianto di sollevamento d’acqua, a cielo aperto, rappresentato in figura. Considerando le perdite
di carico concentrate e distribuite, calcolare:
a) la prevalenza della pompa necessaria a mantenere nel condotto una portata in volume pari a 0,01 m3/s;
b) la potenza della pompa;
c) la spesa necessaria (in €) a far fluire nel serbatoio superiore 340 m3 di acqua.
Dati:
- la differenza di quota tra i due peli liberi è pari a 20 m;
- la lunghezza totale dei tubi è di 28 m;
- il diametro dei condotti (tubi di acciaio usati) è di 15 cm;
- assumere, per il calcolo della perdita di carico concentrata relativa al collegamento
della pompa al circuito, una lunghezza equivalente (Le) pari a 50 D;
- viscosità dinamica = µ = 10-3
kg/m s;
- densità dell’acqua = ρ = 1000 kg/m3;
- costo energia elettrica =0,0773 €/kWh;
- rendimento pompa = ηP = 0,78;
- rendimento motore elettrico = ηE = 0,9.
Breve ripasso teorico:
( )
( ) ),(2
02
2
1
2
1
)()103.62.3.(2
1
2
1
)(2
1
2
1
2
1
2
21212
2
1
2
21212
2
22
2
2
11
1
2
222
2
111
2
222
2
111
fluidosulesternolavoroconperditeconLRVVPP
zzg
RVVPP
zzg
RVP
zgVP
zg
perditeconpageqRVvPzgVvPzg
perditesenzaVvPzgVvPzg
=+−
+−
+−
=+−
+−
+−
+++=++
+++=++
++=++
ρ
ρ
ρρ
Con L è indicata, in questo caso, la prevalenza della pompa connessa al circuito (LP).
Prevalenza = energia per unità di massa fornita dalla pompa al fluido [J/kg].
Dividendo tutti i membri per g si ottengono delle altezze [m].
Moltiplicando, invece, per ρ si ottengono delle pressioni [Pa].
Per il calcolo della prevalenza della pompa si impiega l’equazione di Bernoulli scegliendo i due peli liberi come
sezioni (sezione 1 = pelo libero più basso; sezione 2 = pelo libero più alto):
( ) PLRVVPP
zzg =+−
+−
+− 12
2
1
2
21212
2ρ
P2 = P1 (perché ambedue i peli liberi sono a pressione atmosferica);
V2 = V1 (perché sono ambedue approssimabili a zero (serbatoio grande));
quindi l’equazione di Bernoulli diviene:
( ) PLRzzg =+− 1212
Per far si che la pompa sia in grado di far circolare l’acqua dal serbatoio inferiore a quello superiore, essa deve avere
una prevalenza tale da equilibrare la somma delle perdite di carico (ripartite e concentrate) e il carico dovuto alla
differenza di quota tra i due serbatoi.
( )
=⋅=⋅=⋅=−
kg
Jm
kg
Nm
s
m
kg
Jzzg
212 2,1962081,9
Dividendo per g ottengo un’altezza (comunemente usate con Bernoulli)
( ) mzz 2012 =−
La questione del calcolo delle perdite di carico si divide in due problemi: uno inerente alle perdite di carico distribuite
lungo tutto il condotto, l’altro relativo alle perdite di carico concentrate.
Analogamente al procedimento illustrato nell’esercizio 7, si calcola:
==
νµ
ρ DVDVRe
s
m
DA
GV V 566,0
01767,0
01,0
4
01,02
====π
turbolentomoto8490010
15,0566,01000Re
3→=
⋅⋅==
−µ
ρ DV
In tal caso si fa riferimento all’equazione
D
lVfR
D
Vf
dx
dR
22
22 ρρ=→=
Per trovare f si utilizza il diagramma di Moody (fig. 4.12 pag. 135).
Re < 2000 → moto laminare
2000 < Re < 3000 → transizione
Re > 3000 → moto turbolento
Per muoversi all’interno del diagramma di Moody occorre conoscere due valori:
- il numero di Reynolds (Re); questo valore è già stato calcolato: Re = 84900.
- la scabrezza relativa (ε).
diametro
scabrezzadiindice
D
e==ε
L’indice di scabrezza si trova tabellato (a seconda della tubazione che si utilizza).
In questo caso (tubi di acciaio usati) prendiamo il valore centrale del range 0,1 ÷ 0,2 ovvero 0,15 mm (0,00015 m).
001,015,0
00015,0===
D
eε
Utilizzando i valori di Re e ε calcolati, si trova su diagramma di Moody il valore f = 0,023.
In questo caso, essendo presenti anche delle perdite di carico concentrate, occorre valutare la lunghezza equivalente.
Utilizzando il metodo della lunghezza equivalente trovo il valore da aggiungere alla lunghezza reale della tubazione.
Per far ciò si utilizzano i valori della seguente tabella.
Tabella 4.2 pagina 139.
Occorre valutare la lunghezza equivalente relativa a quattro perdite di carico concentrate:
1) perdita di carico concentrata dovuta alla curva a 90°.
mDLD
Le
e 915,0606060 =⋅=⋅=→=
2) perdita di carico concentrata dovuta al collegamento della pompa (effettuato, ad esempio, con flange).
Le = 50 D (dai dati del problema) = 7,5 m
3) perdita di carico concentrata dovuta alla curva a 45°.
mDLD
Le
e 25,215,0151515 =⋅=⋅=→=
4) perdita di carico concentrata dovuta alla curva a 45°.
Come per la precedente, si avrà mDLD
Le
e 25,215,0151515 =⋅=⋅=→=
La lunghezza totale relativa alle perdite di carico concentrate è pari a 9 + 7,5 + 2,25 + 2, 25 = 21 m
Questa lunghezza va sommata alla lunghezza reale del circuito.
Il questo modo trovo l da inserire nella formula per il calcolo delle perdite R
l = 28 + 21 = 49 m
PaD
lVfR
D
Vf
dx
dR1203
3,0
49566,01000023,0
22
222
=⋅⋅⋅
==→=ρρ
Dividendo l’espressione D
Vf
dx
dR
2
2ρ= per ρg si ottiene
gD
Vf
dx
dR
2
2
= (relazione di Darcy-Weisbach (eq. 4.16 pag. 134))
=⋅⋅⋅==→= m
m
s
mm
s
m
gD
lVfR
gD
Vf
dx
dR 2
2
222 1lmentedimensiona
22
In questo caso:
mg
PaR 123,081,91000
120312031203 =
⋅=→=
ρ
Ci sono ora tutti i valori necessari per il calcolo della prevalenza della pompa:
mH P 123,20123,020 =+= (prevalenza della pompa (espressa in m))
La pompa deve avere una prevalenza di almeno 20,123 m per poter trasportare acqua da un serbatoio all’altro.
Per il calcolo della potenza che deve avere la pompa, si impiega la formula:
==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= W
s
kgm
m
kg
s
mm
s
mWgHGLGW PVPV 3
2
32
3
1974100081,9123,2001,0ρρ
Questo valore rappresenta il lavoro netto da cedere all’acqua (per unità di tempo) affinché superi le perdite di carico e
raggiunga il serbatoio superiore. La potenza elettrica richiesta per questa operazione include, però anche il rendimento
del macchinario in questione (la pompa), nonché quello del motore elettrico che la muove (motore elettrico).
Se collegassi cioè questa pompa ad una rete elettrica, non impegnerei una potenza di 1974 W, bensì una potenza
maggiore:
kWWWEP
8,228119,078,0
19741974==
⋅=
⋅=
ηη
Per il calcolo del consumo elettrico occorre sapere quanti kWh consuma la pompa per spostare 340 m3 d’acqua.
Tramite la portata calcolo il tempo impiegato al trasporto suddetto:
=⋅=== s
m
sms
portata
acquadquantitàt
3
33400001,0
340'
Avendo il costo dell’energia in kWh, converto i secondi in ore:
hst 44,93600
3400034000 ===
L’energia richiesta allo spostamento dell’acqua è ovviamente data dal prodotto
kWhtWE 55,2644,98,2 =⋅=⋅=
da cui:
€05,20773,055,26 =⋅== consumoC
10) Si consideri il ciclo Diesel, rappresentato in figura, percorso da un chilogrammo di gas ideale.
Calcolare:
- la quantità di calore q2 ceduta all’esterno dal fluido;
- il rendimento del ciclo.
Dati:
vA = 1 m3/kg (volume specifico del gas all’inizio della compressione adiabatica);
TA = 50 °C (temperatura del gas all’inizio della compressione adiabatica);
PB = 1,5 * 106 Pa (pressione alla fine della compressione adiabatica);
q1 = 100 kcal/kg (calore fornito al fluido alla pressione P2);
cp/cv = 1,4 (rapporto tra i calori specifici);
cv = 0,17 kcal/kg K (calore specifico a volume costante);
Per calcolare il calore ceduto all’esterno q2 ed il rendimento occorre conoscere tutte le temperature del ciclo (TA, TB,
TC, TD); infatti:
)(2 ADv TTcq −= e )(
)(11
1
2
BCp
ADv
TTc
TTc
q
q
−
−−=−=η
TA è fornita dal testo; TA = 50 °C = 50 + 273 = 323 K.
TB = ? è la temperatura di fine compressione.
La trasformazione AB è una compressione adiabatica; per una trasformazione adiabatica vale la nota espressione:
Pvk = cost; utilizzando l’equazione di stato dei gas prefetti (Pv = RT), si perviene anche alle seguenti relazioni:
111
11
11
1
costcost
esimakradicecostcost
−−−
−−−−−
−
=⋅==→==
==→−→==
→==
kkkkkk
k
k
k
k
k
k
k kkkkkk
k
kk
k
TvvTvvv
Tv
v
RTPvTv
TPTPTPTPPTPP
RTPPvTP
Quindi si può calcolare TB utilizzando l’espressione
k
k
B
AAB
k
k
B
A
A
Bk
k
BBk
k
AAk
k
P
PTT
P
P
T
TPTPTTP
−−
−−−
=→=
=→=→=
11
111
cost
TA, PB sono fornite dal testo. PA può essere calcolata con l’equazione dei gas perfetti.
A
AA
v
RTP = dove R è ricavabile dalla Relazione di Mayer (cp – cv = R)
cv è fornita dal testo, mentre cp è ricavabile dalla relazione
Kkg
J
Kkg
cal
Kkg
kcalckc
c
ck vp
v
p
⋅=⋅=
⋅=
⋅=⋅=⋅=→= 268,996186,4238238238,017,04,1
Occorre convertire anche cv nel Sistema Internazionale: Kkg
Jcv
⋅=⋅⋅= 62,711186,4100017,0
quindi Kkg
JccR vp
⋅=−=−= 65,28462,711268,996
sostituendo i valori trovati si ricava PA :
Pav
RTP
A
AA 91942
1
32365,284=
⋅==
( ) KP
PTT
k
k
B
AAB 22,7170613,0323
105,1
91942323
2857,04,1
4,11
6
1
=⋅=
⋅=
=
−
−−
Per il calcolo della temperatura TC, si utilizza il calore q1 (fornito dal testo).
KTc
qTTTcq
kg
J
kg
kcalq
B
p
CBCp 4,113722,717268,996
418600)(
418600186,41000100100
11
1
=+=+=→−=
=⋅⋅==
Per il calcolo della temperatura TD, si utilizza una relazione relativa alle trasformazioni adiabatiche: cost1 =−kTv .
14,1
111 cost
−
−−−
=→=→=
D
CCD
k
DD
k
CC
k
v
vTTvTvTTv
kg
mvvv ADD
3
1? ==→=
kg
m
P
RTvRTvPperfettigasdeileggedallav
C
CCCCCC
3
621586,0
105,1
5,113765,284? =
⋅
⋅==→=→→=
(ricordando che PC = PB)
Kv
vTT
D
CCD 616
1
21586,04,1137
4,014,1
=
=
=→
−
Conoscendo, quindi, tutte le temperature, è possibile calcolare q2 e η.
kg
kJ
kg
JTTcq ADv 5,208208505)323616(62,711)(2 ==−⋅=−=
( )( )
502,0418612
2085051
22,7174,1137268,996
32361662,7111
)(
)(11
1
2 =−=−
−−=
−
−−=−=
BCp
ADv
TTc
TTc
q
qη
11) Si consideri un motore a ciclo Otto, in cui il fluido operante sia aria, con rapporto di compressione ρ pari a 10.
Sapendo che il consumo di carburante è di 1 kg ogni 10 minuti, calcolare il rendimento del ciclo e la potenza
meccanica sviluppata.
Dati:
- potere calorifico inferiore (= LHV = Lower Heating Value) = 10000 kcal/kg;
- karia = 1,4.
602,010
11
11
14,11
=
−=
−=
−−k
OTTO ρη
Il rendimento
1Q
L=η può essere visto anche come rapporto di potenze (potenza = lavoro / tempo),
quindi: ηη 1
1
QWQ
W&
&=→=
kg
kJ
kg
J
kg
cal
kg
kcalLHV 4186041860000186,4100000001000000010000 ==⋅===
In dieci minuti il motore brucia un chilogrammo di combustibile, quindi il calore a disposizione sarà:
La potenza termica è quindi kWs
JQ 8,6969767
6010
1418600001 ==
⋅
⋅=&
La potenza meccanica si ricava attraverso il rendimento:
kWQW 42602,08,691 =⋅== η&
st
kJQ
6006010
418601418601
=⋅=
=⋅=
12) Un impianto di generazione elettrica operante con un ciclo Brayton fornisce 20000 CV ad un alternatore.
Le temperature massima e minima raggiunte nel ciclo valgono rispettivamente 16 °C e 840 °C.
La pressione massima raggiunta è di 4 bar, la minima di 1 bar.
Calcolare:
- la potenza sviluppata dalla turbina;
- la portata in massa necessaria.
Dati:
k = 1,4
R = 0,287 kJ/kgK
CTA LLL −= il lavoro prodotto dalla turbina è utilizzato dal compressore e dall’alternatore (o utilizzatore)
Il lavoro richiesto dal compressore è
)( ABPABC TTchhL −=−=
questo perché: vdPTdSdh +=
ma TdS = 0 perché è una trasformazione adiabatica,
vdP, invece, è il lavoro di un sistema aperto (ovvero il lavoro del compressore).
se si approssima il fluido ad un gas perfetto, si ha dh = cP dT
TA è fornita dal testo, TB e cP sono da calcolare.
k
k
k
k
k
k
k kkkkkk
k
kk
k
TPTPTPTPPTPP
RTPPvTP
−−−−−
−
==→−→==
→==
11
11
1
esimakradicecostcost
KP
PT
P
PTTPTPT
k
k
A
BA
k
k
B
AAB
k
k
BBk
k
AA 4,4291
4289
4,1
14,111
11
=
⋅=
⋅=
⋅=→=
−−−
−−
( ) ( )
( )
( )
−=
−=
→
−=
−→
=−
−→
=−⋅
⋅=→
=−
=→=
1
1
11?
k
Rc
k
Rkc
k
RcRkcRcck
ckc
Rcc
kc
c
c
v
P
vvvv
vP
vP
v
P
P
( )( )
kg
kJTT
k
RkTTchhL ABABPABC 1412894,429
4,0
287,04,1)(
1)( =−=−⋅
−=−=−=
Analogamente si trova TD, conoscendo TC e il lavoro in turbina LT
KP
PTT
k
k
D
CCD 749
1
41113
4,1
4,111
=
⋅=
⋅=
−−
( )( )
kg
kJTT
k
RkTTchhL DCDCPDCT 6,3657491113
4,0
287,04,1)(
1)( =−=−⋅
−=−=−=
Il lavoro netto, utilizzabile quindi dall’alternatore è
kg
kJLLL CTA 6,2241416,365 =−=−=
Conoscendo questo dato e la potenza disponibile al generatore (dal testo), è possibile ricavare la portata in massa
=⋅===⋅==s
kg
kJ
kg
s
kJ
kg
kJs
kJ
kg
kJ
kW
s
kg
L
WG
A
AM 47,65
6,224
1
36,1
20000
La potenza sviluppata dalla turbina (quella che va al compressore + quella che va all’alternatore) è
CVkWLGW TMT 325548,242756,36547,65 ==⋅=⋅=
13) Sia dato un ciclo di Rankine percorso da acqua. Sapendo che la temperatura di evaporazione in caldaia (Te) è
di 250°C e la temperatura di condensazione nel condensatore (Tc) è di 20°C, calcolare:
- il rendimento del ciclo;
- il lavoro prodotto dal ciclo per unità di massa che lo percorre;
- la potenza meccanica ideale sviluppata in turbina (supponendo una portata d’acqua di 2000 kg/h).
Si trascuri il lavoro della pompa di alimentazione del liquido in caldaia.
Dati:
x3 = titolo del vapore d’acqua all’ingresso in turbina = 1;
x4 = titolo del vapore d’acqua alla fine dell’espansione in turbina = 0,7;
cp = calore specifico dell’acqua (allo stato liquido) = 1 kcal/kg°C;
rT1 = calore di evaporazione alla temperatura di condensazione = 2453 kJ/kg;
rT2 = calore di evaporazione alla temperatura di evaporazione = 1715 kJ/kg.
Eq. 7.1 pag. 235:
312
4
1
2
2
1
)(11
xrTTc
xr
q
q
Tp
T
⋅+−
⋅−=−=η
kg
kJxrTTcq
kg
kJxrq
Tp
T
8,2677171578,96211715)20250(186,4)(
1,17177,02453
3121
42
2
1
=+=⋅+−⋅=⋅+−=
=⋅=⋅=
359,08,2677
1,171711
1
2 =−=−=→q
qη
( )121 7,9601,17178,2677 qkg
kJqqL ⋅==−=−= η
kWWGLW M 7,5335337223600
2000960700 ==⋅=⋅=
q1
q2
ESERCIZIO FRIGO DOMESTICO
Si consideri un frigorifero domestico e si assumano le seguenti condizioni di esercizio:
- volume vano frigo 300 lt;
- dimensioni vano frigo: 0.6 m, 0.5 m, 1 m;
- volume vano congelatore: 90 lt;
- dimensioni vano congelatore: 0.6 m, 0.5 m, 0.3 m;
- temperatura ambiente: 20°C;
- temperatura vano frigo: 0°C;
- temperatura vano congelatore: -10°C;
- fluido refrigerante R-134a;
- temperatura di evaporazione: –20°C;
- temperatura di condensazione: 40°C;
- potenza elettrica assorbita: 200 W.
Calcolare l’effetto utile del frigorifero.
Le parti del frigorifero siano costituite da lamiere di acciaio di 1 mm con interposto uno strato di 5
cm di poliuretano. La trasmittanza risulta pari a:
364.011
1=
+++
=
kλ
s
λ
s
k
H
is
is
a
a
W/m2K
Le quantità di calore scambiate risultano quindi determinate dalle relazioni:
2.1820364.05.2 =⋅⋅=∆⋅⋅= THSQ frigofrigo W
5.1030364.096.0 =⋅⋅=∆⋅⋅= THSQ econgelatorecongelator W
1.110364.03.0 =⋅⋅=∆⋅⋅=− THSQ econgelatorfrigo W
30≅tQ W
Si può ammettere che, a seguito delle aperture della porta del vano frigo, si abbia mediamente un
ricambio d’aria pari a 1 volume/ora. Il corrispondente calore Qa è fornito da:
( ) 2203600
3.017.11005int =⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅= TTGργQ estVa W
Per quanto riguarda Qs + QLf, si può assumere che gli alimenti siano introdotti a temperatura
ambiente e portati all’equilibrio con l’aria nei due vani in un tempo di due ore; si ipotizza inoltre
un riempimento del 50% del volume nel vano congelatore e del 50% nel vano frigo. Siano:
- γ1 = 2480 J/kgK il calore specifico medio delle vivande al di sopra del punto di congelamento;
- γ2 = 1450 J/kg K il calore specifico medio delle vivande al di sotto del punto di congelamento;
- ρv = 1120 kg/m3 la densità media delle vivande;
- r = 163 kJ/kg il calore di trasformazione medio delle vivande.
Qs + QLf è la somma del calore sensibile per il raffreddamento delle vivande, dalla temperatura
ambiente fino alla temperatura di conservazione, e del calore latente per il congelamento delle
vivande nel solo congelatore.
( ) 1605227200
1211 =
∆⋅+∆⋅⋅⋅+∆⋅⋅⋅⋅= cfv
econgelator
fv
frigo
s TγTγρV
TγρV
Q W
114127200
1=⋅⋅⋅= rρ
VQ v
econgelator
Lf W
segue:
277811411605230 =+++=eQ W
La portata di fluido refrigerante è data da:
22)260385(
2778
)(=
−=
−=
AB
er
hh
Qg g/s
La potenza assorbita dal compressore è infine data da:
( ) 1)385430(022.0 =−⋅=−⋅= BCrK hhgN kW
L’effetto utile del frigorifero risulta:
7.21000
2778===
L
Qξ e
ESERCIZIO 2
Un serbatoio di forma cilindrica ha un diametro D e contiene acqua sino ad un livello H. Sul fondo
di esso viene aperto un foro circolare con bordi smussati (coeff. di perdita localizzata β), con
diametro pari a d, per cui l’acqua comincia ad uscire. Determinare la velocità iniziale di uscita
dell’acqua ed il tempo necessario al completo svuotamento del serbatoio.
V1
Aria
H Acqua
Foro di uscita acqua, D2=0,08 m
V2
Chiamiamo V2 la velocità media di uscita dell’acqua e V1 quella superficiale di discesa.
La soluzione del problema si basa sull’equazione di Bernoulli nel caso di fluido incomprimibile e
deflusso irreversibile:
( ) ( ) 02
1212
21
22 =+−+−+
−RPPvzzg
VV
dove z sono le quote, la cui differenza vale - H (l’asse z è rivolto verso l’alto), g è l’accelerazione
di gravità, P sono le pressioni (uguali per cui la differenza si annulla), R rappresenta le perdite di
carico.
La V1 è trascurabile rispetto a V2 visto la scelta di prendere le due sezioni uno e due,
rispettivamente al pelo libero e subito dopo lo sbocco. Ricordando la formula delle perdite di
carico concentrate:
ρVβRc
2
2
=
l’equazione di Bernoulli in questo caso specifico diventa:
022
22
22 =+−
Vβgh
V
Da cui, ricavo 2V :
1
22
+=
β
ghV
Questa velocità non è costante, perché va diminuendo con lo scendere del livello d’acqua nel
serbatoio.
2
2
1
221
1
2
D
d
β
gh
A
AV
τd
dhV
+==−=
s
τ
H
τβ
g
D
dH
τdβ
g
D
ddh
h
β
gh
D
d
τd
dh
s
⋅+
=
+=−
+=−
∫∫
1
22
1
21
1
2
2
2
02
20
2
2
gd
DHS
2
12
2
2 +=
βτ
E’ possibile risolvere il problema anche valutando la quantità di liquido ( dW ) che esce nel tempo
infinitesimo ( τd )
τdAVdW ⋅⋅= 2
τddπ
β
ghdW
41
2 2⋅
+=
dW è valutabile in termini di abbassamento del pelo libero (mentre il volumetto dW esce dal foro,
“scompare” dal serbatoio un volumetto dW pari a: ( )dhAdW S −⋅=
dove SA rappresenta la sezione del serbatoio.
( )dhD
πdW −=4
2
uguagliando:
dhD
ddgh
441
2 22
πτπ
β−=
⋅
+
dhhDddg
2
1
22
1
2 −
⋅−=⋅⋅⋅+
πτπβ
integro il primo membro in τd ed il secondo in :dh
dhhDddg
H
S
2
10
22
01
2 −
∫∫ ⋅−=⋅⋅⋅+
πτπβ
τ
dove Sτ indica il tempo di svuotamento
dhhDddg
H
S
∫∫−
⋅−=⋅⋅⋅+
0
2
1
0
22
1
2τ
πτπβ
( )2
0
2
1
2 21
2Dhd
g
H
S ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅+
πτπβ
HDdg
S
22 21
2⋅=
+πτ
β
gd
DHS
2
12
2
2 +=
βτ
ESERCIZIO 3
Si consideri il serbatoio dell’esercizio precedente a cui è stato applicato (all’estremità inferiore) un
condotto di lunghezza L e diametro d. Determinare il tempo di svuotamento del condotto.
H
L
Sez.2
SEZ.1
d
D
- Lunghezza condotto 30=L m
- Altezza serbatoio 6=H m
- Diametro serbatoio 2=D m
- Diametro condotto 05.0=d m
- Viscosità dell’acqua 6101 −⋅=acquaυ m2/s
In questo caso, è necessario considerare anche le perdite di carico distribuite lungo il condotto la
cui formula è:
ρd
VfRd
22
2=
dc RRR +=
Il fattore d’attrito f dipende da Re , che a sua volta dipende dalla velocità: υ
dV2Re =
Applico l’equazione di Bernoulli di bilancio dell’energia:
( ) 0222
22
22
22 =
+++−
Vf
d
LVβgLh
V
Da cui ricavo il valore della velocità:
( )
fd
Lβ
LhgV
++
+=
1
22
Poiché L >> H la velocità varia dunque tra valori poco differenti. E’ sul valore medio
dell’altezza che calcolo il fattore d’attrito: 332
=+H
L m
La velocità incognita ( 2V ) dipende dal fattore d’attrito, che a sua volta dipende dalla stessa 2V ;
dunque è necessario procedere per tentativi mediante il metodo iterativo, in riferimento al valor
medio di dislivello del serbatoio.
Ipotizzo di trascurare le perdite distribuite ponendo 0=′f (questo permette di considerare il
condotto liscio).
′2V (velocità di primo tentativo) = 77.20
5.01
3381.922
≅
⋅⋅
+
⋅⋅m
s
m sm /
Da cui segue:
1038500/
/
101
05.077.20eR
26≅
⋅⋅
⋅
⋅=′
−sm
msm
Dal diagramma di Moody
0117.0≅′′⇒ f
Da questo valore ricavo la velocità di secondo tentativo:
7.8/
/
0117.005.0
305.1
3381.92 2
2 ≅
⋅⋅
⋅+
⋅⋅=
″
mm
msmV sm /
435000/
/
101
05.07.8eR
26≅
⋅⋅
⋅
⋅=′′⇒
−sm
msm
Torno a stimare il valore f ′′′ dal diagramma di Moody
0135.0≅′′′⇒ f
da questo valore calcolo: 2.8
0135.005.0
305.1
3381.922 ≅
⋅
⋅+
⋅⋅=′′′
s
mV sm /
410000101
05.02.8eR
6≅
⋅
⋅=′′′⇒
−
20139.0 W ′′′′⇒≅′′′′⇒ ξ = 8.11 sm /
Si procede per iterazioni successive fino ad entrare nei limiti di tolleranza. Una volta raggiunto
questo scopo, si considera il valore di fattore d’attrito trovato (f) e si applica la formula precedente
per trovare il tempo di svuotamento:
g
d
Lfβ
d
DHτS
2
1
22
2 ++=
ESERCIZIO 4
Determinare l’altezza del getto d’acqua di una fontana alimentata da una pompa di prevalenza
p∆ = 4 Bar
- L = 6 m
- D = 0.08 m
- d = 0.02 m
- ρ = 103 Kg/m
3
- v = µ/ρ = 10-6
m2/s
- Leq = 0.55 m
Per semplicità si considerino tubi lisci
Svolgimento
Prima di tutto applichiamo l’equazione di Bernoulli alle sezioni 1 e 2 indicate in figura
ρ
pR
ρ
ppzzg
VV ∆=+
−+−+
− 1212
21
22 )(
2
Il termine ρ
12 pp − è trascurabile poiché le due sezioni possono essere considerate entrambe a
pressione atmosferica; R sono le perdite di carico totali, mentre )( 12 zz − non è altro che L .
Sfruttando l’equazione di continuità, uguagliamo le portate massiche nelle due sezioni
222111 VAρVAρ =
poiché 2
4
DπA = si ricava 12
2
12 16Vd
DVV ==
Si deve quindi risolvere il seguente sistema:
=
∆=++
−
12
21
22
16
)(2
VV
ρ
pRLg
VV
Ora dobbiamo calcolare le perdite di carico, in particolare per la perdita di carico concentrata, data
dal restringimento dell’ugello, usiamo le lunghezze equivalenti, sfruttando l’apposito
nomogramma in appendice.
mLeq 55.0=
93.402
21
21 ⋅⋅=
+= Vff
D
LLVR
eq
Sezione 1
Sezione 2
Sezione 3
Andando a sostituire R nel sistema otteniamo 1V in funzione di f
93.405.127
2.3411
⋅+=
fV
Come sappiamo per individuare f sul diagramma di Moody ci occorre il numero di Reynolds . In
questo caso non è però possibile calcolarlo poiché esso stesso dipende dalla velocità.
La risoluzione di questo problema richiede quindi un processo iterativo.
Per cominciare possiamo calcolare la velocità che avremmo con coefficiente di attrito nullo:
0=′f → s
mV 635.11 =′
Con questo valore di velocità possiamo calcolare il corrispondente numero di Reynolds:
13080010
08.062.1Re
61 =
⋅=
′=
−ρ
DV
Ora con questo valore di Re e sapendo che i tubi sono lisci dal diagramma di Moody ricavo una
nuova f
018.0=′′f
Con questo nuovo coefficiente di attrito ripeto i calcoli trovando una nuova velocità
smV 631.11 =′′
Questa nuova velocità differisce di pochissimo dalla precedente e posso quindi considerarla il mio
valore definitivo. Sostituendo nel sistema iniziale, calcolo la velocità nella seconda sezione:
smVV 096.2616 12 ==
In fine considero le sezioni 2 e 3. La formula di Bernoulli si riduce ad una equazione molto
semplice, e ricavo facilmente l’altezza del getto d’acqua:
mg
wH 744.34
2
2
2 ==
ESERCIZIO 5 Calcolare la portata di carburante in condizioni stechiometriche di un motore a benzina 4 tempi
nelle condizioni di massima potenza (120 kW a 6000 giri/min).
- Rapporto di compressione ρ = 10
- Potere calorifico inferiore benzina PCI = 42 MJ/kg
SVOLGIMENTO
Facendo riferimento alla curva del rendimento in funzione del rapporto di compressione di un ciclo
Otto teorico, quando ρ = 10 il valore corrispondente del rendimento risulta pari a 0,6.
Calcoliamo la potenza termica che occorre fornire al motore per ottenere la corrispondente potenza
meccanica di 100 kW:
2006.0
== MQ
PP kW
Il consumo di carburante risulta quindi pari al rapporto tra la potenza termica PQ ed il potere
calorifico inferiore PCI:
0047.042000
200===
PCI
PQ
Q
m kg/s
