Approfondimento 3.1

Facendo riferimento alla figura a.3.1, si consideri unserbatoio contenente due liquidi straticati in condizioniidrostatiche, aventi per interfaccia la supercie S.

1

2

Sh

A

p A1

G

2p A

p A2

1p A

S S

figura a.3.1 Equilibrio dellinterfaccia tra due strati di liquidiimmiscibili

Si consideri poi volume cilindrico di altezza h e base Aavente asse verticale e centro giacente sulla supercie S.

Tale volume evidentemente in condizioni di equilibrio, co-me del resto lintero sistema: in particolare, quindi nullala somma delle componenti verticali delle forze agenti su diesso:

p1 A G + p2 A = 0Se si fa tendere a 0 laltezza h, il volume e il peso del cilindrotenderanno a 0, mentre le due basi tenderanno ad adagiarsisullinterfaccia S.

In questa condizione limite, il volumetto si trova in equili-brio sotto lazione delle pressioni applicate sulle basi. Si haquindi:

p1 A + p2 A = 0da cui:

p1 = p2 = pSSe ne deduce che, nel passaggio attraverso uninterfaccia tradue masse liquide non miscibili, la pressione deve esserecostante.

Si pu a questo punto dare conto dellorizzontalit dellin-terfaccia. Se si ammettesse infatti lesistenza di uninterfac-cia tra due liquidi di diverso peso specico 1 e 2 avente

una forma qualsiasi (figura a.3.2), la pressione nel punto Bpotrebbe essere calcolata a partire da quella nel punto A, siaapplicando la legge di Stevin nel liquido 1:

pB = pA + 1(zA zB

) = pA + 1 (zA zB)sia applicandola nel liquido 2:

pB = pB = pA + 2(zA zB

)Deve quindi essere:

1(zA zB

) = 2 (zA zB)ovvero: (

1 2) (

zA zB) = 0

essendo diversi i pesi specici, ci implica necessariamentezA = zB: linterfaccia quindi giacente su un piano oriz-zontale e costituisce una supercie isobarica alla pressionecostante pS.

1

2

A

B

A'

B'

figura a.3.2

Resta da stabilire lordine con cui si straticano liquidi im-miscibili di diverso peso specico. Ci si riferisca a questoproposito a una situazione in cui due liquidi di diverso pe-so specico 1 e 2 sono separati dallinterfaccia S, sen-za fare nessuna ipotesi su quale dei due pesi specici siamaggiore.

Si supponga ora di perturbare leggermente la supercie Scome indicato in figura a.3.3: un volume V1 di liquido dipeso

1

1 si troverebbe a una quota inferiore a quella del piano Se, viceversa, un piccolo volume V2 di liquido di peso 2 sitroverebbe al di sopra di essa.

1

2

S S2

1V

V

figura a.3.3

Nel caso in cui 1 > 2, la distribuzione di pressione rap-presentata in figura a.3.4: la pressione allinterno dei volumiV1 e V2 inferiore a quella allesterno di essi.

z

p0

1 2 2,2 106;

si entra nellabaco di Moody sulla curva connessa alla scabrezza /D = 0,0015,leggendo il valore di corrispondente al moto assolutamente turbolento (valorecostante per Re > 2,2 106) pari a circa 0,0217;

sulla base del valore di sopra calcolato si ricava il valore di velocit media dallarelazione che fornisce Y in funzione di V:

V = 2gY

1 + LD

= 3,15 m/s

sulla base del valore di V sopra calcolato, si ricava il valore del numero di Reynolds:

Re = V D

= 945 000

Poich il valore di Re trovato non soddisfa lipotesi di moto assolutamente turbolento, ilcalcolo riprende dal secondo punto della precedente procedura assumendo per il numerodi Reynolds lultimo valore trovato (Re = 945 000). La seconda iterazione fornisce i seguentirisultati:

= 0,022V = 3,131 m/sRe = 939 000

Poich il nuovo valore di Re trovato non apprezzabilmente diverso dal precedente, tenendosoprattutto conto della precisione di lettura consentita dalle scale del graco, il risultatodella seconda iterazione pu essere ritenuto soddisfacente.

26

La velocit media in condotta risulta quindi pari a 3,131 m/s, a cui corrisponde una portataQ = 98,3 l/s.

il caso di osservare che, in questo caso, il valore di velocit trovato circa del 20% superiorea quello ottenuto con il calcolo di prima approssimazione: infatti, alla velocit di 3,131 m/scorrisponde unaltezza cinetica pari a 0,5 m, che non pu essere trascurata se confrontatacon il dislivello Y = 6 m.

Esempio 7.3

Si dimensioni una condotta idrica di lunghezza L = 5000 m, collegante due serbatoi i cuipeli liberi si trovano, rispettivamente, alle quote z1 = 1000 m s.l.m. e z2 = 950 m s.l.m. Lacondotta deve essere realizzata in ghisa con un rivestimento cementizio centrifugato( = 0,1 mm) e deve convogliare una portata Q = 100 l/s.SoluzioneCome gi discusso nellesempio 7.2, lenergia potenziale Y = z1 z2 si trasforma in par-te in energia cinetica e in parte dissipata lungo la condotta. Se si ammette in primaapprossimazione che laltezza cinetica sia trascurabile rispetto al dislivello Y, la cadenteJ risulta:

J YL

= 0,01

Il dimensionamento della condotta consiste nel calcolo del diametro D che permette allacadente disponibile J sopra calcolata di far deuire la pressata portata Q. A questo scopo,si osserva che nessuno dei 3 numeri indice che caratterizzano labaco di Moody pu esserecalcolato, in quanto tutti risultano dipendenti dal diametro D.

Il calcolo di dimensionamento viene quindi effettuato secondo la procedura iterativa de-scritta nel seguito:

si ipotizza un valore di V di prima approssimazione: si assume, per esempio,V = 1 m/s;

sulla base del valore di V ipotizzato e della portata Q pressata, si calcola il valoredel diametro che risulta pari a

D =

4QV

= 357 mm

sulla base del valore di D sopra calcolato, si calcolano la scabrezza relativa, cherisulta:

D= 0,00028

e il numero di Reynolds, che risulta:

Re = V D

= 357 000

27

si entra nellAbaco di Moody sulla curva caratterizzata dalla scabrezza relativa/D = 0,00028 (dato che la curva non rappresentata, si interpola tra le curvepi vicine, caratterizzate da /D = 0,0002 e /D = 0,0004): in corrispondenza aRe = 357 000 si ottiene = 0,017;

sulla base del valore di calcolato, dalla legge di Darcy-Weisbach si ricava un nuovovalore di velocit media:

V =

2gD J

= 2,02 m/s

Poich il valore di V trovato non corrisponde a quello ipotizzato inizialmente, il procedi-mento viene ripetuto no a quando la soluzione converge (ovvero no a quando i valoritrovati in due iterazioni successive sono circa uguali o differiscono di una quantit piccolapressata). La seconda iterazione fornisce i seguenti risultati:

D = 251 mm/D = 0,0004Re = 507 000 = 0,018V = 1,65 m/s

La terza iterazione fornisce i seguenti risultati:

D = 278mm/D = 0,00036Re = 458 700 = 0,018V = 1,65m/s

Poich il nuovo valore di V uguale al precedente, il risultato della terza iterazione quellodenitivo e il diametro della condotta assunto pari a un valore teorico di 278 mm. Poi-ch questo valore non corrisponde a un valore disponibile in commercio, andr adottato ildiametro della serie commerciale immediatamente superiore (D = 300 mm).

Questo diametro, essendo maggiore rispetto a quello strettamente necessario, consente, aparit di cadente J, il usso di una portata superiore a quella richiesta. Il valore della portataeffettivamente trasportata pu essere calcolato con il procedimento di verica adottato perla soluzione dellesempio 7.2. La limitazione della portata al valore strettamente richiestopu essere eventualmente ottenuta strozzando opportunamente una saracinesca installatasulla tubazione.

il caso di osservare che al valore di velocit trovato (1,65 m/s) corrisponde unaltezzacinetica pari a circa 14 cm, del tutto trascurabile se confrontata con il dislivello di 50 m tra ipeli liberi dei due serbatoi; lassunzione che sta alla base del calcolo descritto (V 2/2g 0) quindi perfettamente lecita per il dimensionamento della condotta.

28

Esempio 7.4

La condotta rappresentata in figura a.7.3 collega due serbatoi il cui livello , rispettivamente,HA = 25 m a monte e HB = 8 m a valle. La condotta costituita da due tratti a scabrezzaequivalente = 0,2 mm, rispettivamente di diametro D1 = 400 mm e D2 = 800 mm. Lungoil primo tratto di condotta posta una saracinesca S per la regolazione della portata.

Si determinino la portata massima deuente nella condotta e il rapporto di strozzamentodella saracinesca S che determina una riduzione della portata al 25% del valore massimo.

z = 0

25

8

R 0,

4

R 0,

445

150 25 40 80

20

D 0,

4

D 0,

8

S

A

B

45

figura a.7.3

SoluzioneLa portata massima deuente nella condotta si ottiene quando la saracinesca S apertacompletamente. In questo caso, lenergia potenziale disponibile:

Y = HA HB = 17 msi trasforma in piccola parte in energia cinetica allo sbocco e, in gran parte, viene dissipatalungo i due tratti di condotta:

di lunghezza L1 = 235 m e area A1 = 0,126 m2; di lunghezza L2 = 80 m e area A2 = 0,503 m2;e nelle singolarit presenti, ovvero:

limbocco con tubo rientrante nel serbatoio; le due curve con raggio R = 0,4 m e angolo di deviazione = 45; il brusco allargamento tra il primo e il secondo tratto.Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach [7.6] e le relazioni introdotte nel paragrafo 7.10, ilbilancio energetico risulta:

Y =V 222g

+ 1V 21

2g D1L1 + 2

V 222g D2

L2 + 1,16V 212g

+ 2 KV 212g

+ (V1 V2)2

2g

dove si introdotto il coefciente di perdita di carico nelle curve:

K = 90

0,13 + 1,85 (D1

2R

) 72

= 0,147

29

La relazione di bilancio energetico pu essere riscritta esplicitando la portata:

Q =

2g Y

1

A22

+ 1L1D1A

21

+ 2L2D2A

22

+ 1,16 + 0,294A21

+(

1A1

1A2

)2

in cui, oltre alla portata, sono incogniti i valori degli indici di resistenza 1 e 2.

Si procede quindi iterativamente, ipotizzando inizialmente condizioni di moto assolutamen-te turbolento nei due tratti di condotta.

Date le scabrezze relative dei due tratti:

D1= 0,0005

D2= 0,00025

sullabaco di Moody possono essere letti i valori di corrispondenti alle condizioni ipotiz-zate, ovvero:

1 = 0,0165 per Re1 > 7 106

2 = 0,0145 per Re2 > 1,5 107

che permettono di calcolare, in prima approssimazione, una portata Q = 0,668 m3/s.

Da tale valore si possono ottenere le velocit nei due tratti di condotta:

V1 =Q

A1= 5,3 m/s V2 =

Q

A2= 1,32 m/s

e, da queste, i numeri di Reynolds:

Re1 =V1D1

= 2,1 106 Re2 =V2D2

= 1,06 106

La corrente nei due tratti di condotta si trova in regime di moto turbolento di transizionee, quindi, non soddisfa lipotesi di moto assolutamente turbolento. Si utilizzano i valori diRe sopra calcolati per ripetere iterativamente il procedimento sopra esposto. Nella secondaiterazione si ottiene:

1 = 0,017 2 = 0,0153Q = 0,659 m3/sV1 = 5,23 m/s V2 = 1,31 m/sRe1 = 2,09 106 Re2 = 1,05 106

Dato che i numeri di Reynolds calcolati sono praticamente uguali a quelli stimati nella primaiterazione, il calcolo si ritiene a convergenza: la portata massima deuente in condotta pari a 0,659 m3/s.

30

Le diverse perdite di carico risultano della seguente entit:

perdite di imbocco 1,16 V21

2g= 1,62 m;

perdite continue nel tratto 1 J1L1 = 1V

21

2g D1L1 = 13,94 m;

perdite in ciascuna curva KV21

2g= 0,21 m;

perdite di Borda (V1V2)2

2g= 0,78 m;

perdite continue nel tratto 2 J2L2 = 2V

22

2g D2L2 = 0,13 m.

Il diagramma della linea dei carichi totali e della linea piezometrica risultante riportatoin figura a.7.4.

z= 0

S

A

B

figura a.7.4

La riduzione della portata al 25% del valore massimo precedentemente calcolato, ovveroa Qr = 0,165 m3/s, viene ottenuta strozzando la saracinesca S. Le velocit medie nei duetratti di condotta e, di conseguenza, i numeri di Reynolds risultano anchessi ridotti al 25%del valore precedentemente calcolato. Per:

Re1 = 5,2 105 Re2 = 2,6 105

si ottiene, dalla lettura dellabaco di Moody:

1 = 0,0176 2 = 0,017

Denendo come HS la perdita di carico introdotta attraverso la regolazione della saraci-nesca, si ottiene la nuova relazione di bilancio energetico, che risulta:

Y =Q 2r2g

1

A22

+ 1L1D1A

21

+ 2L2D2A

22

+ 1,16 + 0,294A21

+(

1A1

1A2

)2 + HSda cui si ricava HS = 15,9 m: in questo caso, quasi tutta lenergia disponibile vienedissipata in corrispondenza della saracinesca.

31

Invertendo la relazione [7.65] si ricava il valore del rapporto di strozzamento:

m = Qrcc

(Qr + A1

2g HS

) = 0,113avendo assunto cc = 0,61.

Esempio 7.5

Limpianto di sollevamento rappresentato in figura a.7.5 trasporta acqua dal serbatoio 1,il cui livello posto alla quota z1 = 5 m, al serbatoio 2, il cui livello posto alla quotaz2 = 16 m. La condotta costituita da due tratti, rispettivamente a diametro D1 = 300 mme D2 = 150 mm, aventi scabrezza equivalente 1,5 mm.

Si determinino la prevalenza necessaria per garantire nella condotta una portata pari a120 l/s e la potenza assorbita dalla pompa, ipotizzando per questultima un rendimento = 0,72.

P5

16

15 35

12

z = 0

D 0,3

D 0,18

figura a.7.5

SoluzioneLimpianto deve fornire una prevalenza H tale da uguagliare la somma del dislivellogeometrico

Y = z2 z1 = 11 m

dellaltezza cinetica della corrente allo sbocco, di tutte le perdite di carico distribuite lungoi due tratti di condotta:

di lunghezza L1 = 50 m e area A1 = 0,0707 m2; di lunghezza L2 = 12 m e area A2 = 0,0254 m2;e di quelle concentrate nelle singolarit presenti, ovvero:

limbocco con tubo rientrante nel serbatoio; il brusco restringimento tra il primo e il secondo tratto.

32

Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach [7.6] e le relazioni introdotte nel paragrafo 7.10, laprevalenza necessaria risulta quindi:

H = Y +V 222g

+ 1V 21

2g D1L1 + 2

V 222g D2

L2 + 1,16V 212g

+(

1cc

1) 2 V 22

2g

dove si valutato il coefciente di contrazione nel restringimento con la [7.62]:

cc = 0,63 + 0,37(

A2A1

)3= 0,647

Dalla portata richiesta si ottengono le velocit medie nei due tratti di condotta:

V1 =Q

A1= 1,7 m/s V2 =

Q

A2= 6,79 m/s

e, da queste, i numeri di Reynolds:

Re1 =V1D1

= 5,1 105 Re2 =V2D2

= 1,02 106

Essendo le scabrezze relative dei due tratti:

D1= 0,005

D2= 0,01

sullabaco di Moody possono essere letti i valori di corrispondenti alle condizioni di fun-zionamento richieste:

1 = 0,0305 2 = 0,0379

La prevalenza necessaria al trasporto della portata richiesta risulta:

H = 22,11 m

La potenza assorbita dalla pompa risulta inne:

WP = Q H

P= 36,1 kW

Il diagramma della linea dei carichi totali e della linea piezometrica risultante riportatoin figura a.7.6.

33

Pz = 0

11

22,11

figura a.7.6

34

Esempio 8.1

Si verichi se la portata Q = 5 m3/s deuisce in un canale rettangolare in calcestruzzonuovo, caratterizzato da una larghezza B = 3 m, da unaltezza delle sponde H = 1,6 m e dauna pendenza del fondo i = 0,1%, mantenendo un franco di sicurezza di almeno 0,5 m.Soluzione

Si adotta per il calcestruzzo il coefciente di Strickler K = 70 m1/3/s.

Si costruisce la scala delle portate suddividendo il massimo tirante idrico possibile nelcanale, pari allaltezza delle sponde, in intervalli di 0,01 m.

Per ogni altezza h0 si calcolano le quantit geometriche A, C e R secondo le [8.4] e la portatadi moto uniforme secondo la:

Q = K

i A R23

Si ottiene la tabella a.8.1 (per brevit, si riporta il dettaglio ogni 0,01 m solo nellintervallo1-1,1 m).

h0 (m) A (m2) C (m) R (m) Q (m3/s)

0 0,00 3,00 0,00 0,000,1 0,30 3,20 0,09 0,140,2 0,60 3,40 0,18 0,420,3 0,90 3,60 0,25 0,790,4 1,20 3,80 0,32 1,230,5 1,50 4,00 0,38 1,730,6 1,80 4,20 0,43 2,260,7 2,10 4,40 0,48 2,840,8 2,40 4,60 0,52 3,440,9 2,70 4,80 0,56 4,071 3,00 5,00 0,60 4,72

1,01 3,03 5,02 0,60 4,791,02 3,06 5,04 0,61 4,861,03 3,09 5,06 0,61 4,921,04 3,12 5,08 0,61 4,991,05 3,15 5,10 0,62 5,061,06 3,18 5,12 0,62 5,121,07 3,21 5,14 0,62 5,191,08 3,24 5,16 0,63 5,261,09 3,27 5,18 0,63 5,331,1 3,30 5,20 0,63 5,391,2 3,60 5,40 0,67 6,08

tabella a.8.1

35

h0 (m) A (m2) C (m) R (m) Q (m3/s)

1,3 3,90 5,60 0,70 6,781,4 4,20 5,80 0,72 7,501,5 4,50 6,00 0,75 8,221,6 4,80 6,20 0,77 8,96

tabella a.8.1 Segue

Dalla tabella si ricava che alla portata Q corrisponde in moto uniforme un tirante idricoh0 = 1,04 m. Il franco di sicurezza, calcolato come differenza tra laltezza delle sponde eh0, risulta pari a 0,54 m, superiore al valore minimo richiesto.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Q (m3/s)

h 0 (m

)

figura a.8.1

Esempio 8.2

Si calcoli laltezza di moto uniforme in un condotto fognario circolare in calcestruzzo, aventediametro d = 800 mm e pendenza del fondo i = 0,4%, nel quale scorre una portataQ = 600 l/s.SoluzioneSi adotta per il calcestruzzo il coefciente di Manning n = 0,014 m1/3s.

Si costruisce la scala delle portate suddividendo langolo al centro della sezione circolare(pari a 360) in intervalli di 1.

Per ogni angolo che sottende la corda di larghezza superciale B della sezione bagnata, sicalcolano le quantit h0, B, A, C e R con le formule introdotte al paragrafo 8.2.3 e la portatadi moto uniforme Q con la [8.13].

Si ottiene la tabella a.8.2 (per brevit, si riporta il dettaglio ogni grado solo nellintervallo210-220).

36

() h0 (m) A (m2) C (m) R (m) Q (m3/s)

0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000

20 0,01 0,00 0,14 0,00 0,000

40 0,02 0,00 0,28 0,02 0,001

60 0,05 0,01 0,42 0,03 0,007

80 0,09 0,03 0,56 0,06 0,023

100 0,14 0,06 0,70 0,09 0,054

120 0,20 0,10 0,84 0,12 0,106

140 0,26 0,14 0,98 0,15 0,182

160 0,33 0,20 1,12 0,18 0,278

180 0,40 0,25 1,26 0,20 0,388

200 0,47 0,31 1,40 0,22 0,504

210 0,50 0,33 1,47 0,23 0,561

211 0,51 0,34 1,47 0,23 0,566

212 0,51 0,34 1,48 0,23 0,572

213 0,51 0,34 1,49 0,23 0,577

214 0,52 0,34 1,49 0,23 0,582

215 0,52 0,35 1,50 0,23 0,588

216 0,52 0,35 1,51 0,23 0,593

216 0,52 0,35 1,51 0,23 0,593

217 0,53 0,35 1,51 0,23 0,599

218 0,53 0,35 1,52 0,23 0,604

219 0,53 0,36 1,53 0,23 0,609

220 0,54 0,36 1,54 0,23 0,614

240 0,60 0,40 1,68 0,24 0,708

260 0,66 0,44 1,82 0,24 0,778

280 0,71 0,47 1,95 0,24 0,820

300 0,75 0,49 2,09 0,23 0,835

320 0,78 0,50 2,23 0,22 0,828

340 0,79 0,50 2,37 0,21 0,805

360 0,80 0,50 2,51 0,20 0,777

tabella a.8.2

37

Dalla tabella a.8.2 si ricava che alla portata Q = 0,6 m3/s corrisponde in moto uniforme untirante idrico h0 = 0,53 m.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Q (m3/s )

h 0(m

)

figura a.8.2

Esempio 8.3

La sezione di un tratto regolare del corso di un ume pu essere schematizzata da un alveodi magra a sezione trapezia (figura a.8.3), avente larghezza di fondo bm = 12 m e pendenzadelle sponde 1:2, e da due zone di golena, aventi larghezza, rispettivamente, bg1 = 22 m ebg2 = 16 m e pendenza delle sponde 1:1. Laltezza degli argini dellalveo di magra pari a2,6 m, quella degli argini maestri pari a 6 m.

Sapendo che la pendenza del tratto regolare del ume pari a 0,02%, che il fondo del-lalveo di magra costituito da sabbia e ciottoli, che la golena 1 caratterizzata da vege-tazione cespugliosa e la 2 da vegetazione arborea, si calcolino le altezze di moto uniformecorrispondenti ad una portata di magra di 30 m3/s e ad una portata di piena di 200 m3/s.

ng1

mng2nhm

phHgmH

bmg1b bg2

1 21

1

figura a.8.3

Soluzione

Si adottano i seguenti coefcienti di Manning: per lalveo di magra in sabbia e ciottolinm = 0,025 m1/3s; per la golena con vegetazione cespugliosa ng1 = 0,06 m1/3s; per la

38

golena con vegetazione arborea ng2 = 0,09 m1/3s. Si costruisce dapprima la scala del-le portate per il solo alveo di magra trapezoidale, suddividendo il massimo tirante idricopossibile nellalveo di magra, pari allaltezza dellargine Hm, in intervalli di 0,01 m.

Per ogni altezza h0 si calcolano le quantit Am, Cm e Rm in base alle formule introdotte nelparagrafo 8.2.2 e la portata di moto uniforme Q in base alla [8.13]. Si ottiene la tabella a.8.3(per brevit, si riporta il dettaglio ogni 0,01 m solo nellintervallo 2,2-2,3 m).

h0 (m) Am (m2) Cm (m) Rm (m) Q (m

3/s)

0 0,00 12,00 0,00 0,000,2 2,48 12,89 0,19 0,470,4 5,12 13,79 0,37 1,500,6 7,92 14,68 0,54 2,970,8 10,88 15,58 0,70 4,841 14,00 16,47 0,85 7,11

1,2 17,28 17,37 1,00 9,741,4 20,72 18,26 1,13 12,751,6 24,32 19,16 1,27 16,131,8 28,08 20,05 1,40 19,882 32,00 20,94 1,53 24,01

2,2 36,08 21,84 1,65 28,522,21 36,29 21,88 1,66 28,762,22 36,50 21,93 1,66 29,002,23 36,71 21,97 1,67 29,232,24 36,92 22,02 1,68 29,472,25 37,13 22,06 1,68 29,712,26 37,34 22,11 1,69 29,952,27 37,55 22,15 1,69 30,192,28 37,76 22,20 1,70 30,442,29 37,97 22,24 1,71 30,682,3 38,18 22,29 1,71 30,922,4 40,32 22,73 1,77 33,422,6 44,72 23,63 1,89 38,71

tabella a.8.3

Dalla tabella a.8.3 si ricava che alla portata di magra Q = 30 m3/s corrisponde in motouniforme un tirante idrico h0,m = 2,26 m.

Si costruiscono successivamente le tre scale delle portate relative ai tre loni di corrente checaratterizzano il regime di piena, suddividendo nuovamente il tirante idrico in intervalli di0,01 m.

La sezione del lone al di sopra dellalveo di magra costituita dal trapezio corrispondente almassimo riempimento dellalveo di magra (avente area AM = 44,72 m2 e contorno bagnato

39

CM = 23,63 m) e dal rettangolo di altezza (h Hm) e di base (bm + 2zmHm); si ha quindi,per h > Hm:

Am = AM +(

h0 Hm) (

bm + 2 zm Hm)

e Cm = CM

Le due sezioni dei loni nelle zone di golena hanno area bagnata corrispondente ai trapezirettangoli di altezza (hHm), base minore pari alla larghezza di fondo di ogni golena, basemaggiore giacente sulla supercie libera e lato obliquo coincidente con la parte bagnatadella sponda dellargine maestro.

Si noti che il contorno bagnato costituito unicamente dalla base minore e dal lato obliquodel trapezio rettangolo. Si ha quindi, per ciascuna golena i:

Agi=

[2 bgi + zg

(h0 Hm

)] h0 Hm2

e Cgi = bgi+(

h0 Hm)

1 + z2g

Le portate relative a ciascun lone si calcolano sempre con la [8.13]. La portata di pienarisulta inne dalla somma delle portate relative ai tre loni:

Q = Qm + Qg1 + Qg2

Si ottiene la tabella a.8.4 (per brevit, si riporta il dettaglio ogni 0,01 m solo nellintervallo5,25-5,35 m).

Dalla tabella si ricava che alla portata di piena Q = 200 m3/s corrisponde in moto uniformeun tirante idrico h0,g = 5,32 m.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 50 100 150 200 250 300

Qs(m3/s)

h0(m)

Alveo di magraGolena sinistra

Golena destraAlveo intero

figura a.8.4

40

h0 Am pm Rm Qm Ag1 pg1 Rg1 Qg1 Ag2 pg2 Rg2 Qg2 Q

(m) (m2) (m) (m) (m3/s) (m2) (m) (m) (m3/s) (m2) (m) (m) (m3/s) (m3/s)2,6 44,72 23,63 1,89 38,71 0,00 22,00 0,00 0,00 0,00 16,00 0,00 0,00 38,712,8 49,20 23,63 2,08 45,38 4,42 22,45 0,20 0,35 3,22 16,45 0,20 0,17 45,913 53,68 23,63 2,27 52,48 8,88 22,89 0,39 1,11 6,48 16,89 0,38 0,54 54,13

3,2 58,16 23,63 2,46 59,98 13,38 23,34 0,57 2,18 9,78 17,34 0,56 1,05 63,203,4 62,64 23,63 2,65 67,88 17,92 23,79 0,75 3,50 13,12 17,79 0,74 1,68 73,063,6 67,12 23,63 2,84 76,16 22,50 24,24 0,93 5,05 16,50 18,24 0,90 2,43 83,633,8 71,60 23,63 3,03 84,82 27,12 24,68 1,10 6,81 19,92 18,68 1,07 3,27 94,894 76,08 23,63 3,22 93,85 31,78 25,13 1,26 8,76 23,38 19,13 1,22 4,20 106,80

4,2 80,56 23,63 3,41 103,24 36,48 25,58 1,43 10,89 26,88 19,58 1,37 5,22 119,354,4 85,04 23,63 3,60 112,98 41,22 26,02 1,58 13,20 30,42 20,02 1,52 6,32 132,504,6 89,52 23,63 3,79 123,07 46,00 26,47 1,74 15,67 34,00 20,47 1,66 7,49 146,244,8 94,00 23,63 3,98 133,51 50,82 26,92 1,89 18,30 37,62 20.92 1,80 8,74 160,555 98,48 23,63 4,17 144,28 55,68 27,37 2,03 21,07 41,28 21,37 1,93 10,06 175,42

5,2 102,96 23,63 4,36 155,39 60,58 27,81 2,18 23,99 44,98 21,81 2,06 11,45 190,835,25 104,08 23,63 4,41 158,21 61,81 27,93 2,21 24,74 45,91 21,93 2,09 11,81 194,765,26 104,30 23,63 4,41 158,78 62,06 27,95 2,22 24,90 46,10 21,95 2,10 11,88 195,565,27 104,53 23,63 4,42 159,35 62,30 27,97 2,23 25,05 46,28 21,97 2,11 11,95 196,355,28 104,75 23,63 4,43 159,92 62,55 27,99 2,23 25,20 46,47 21,99 2,11 12,02 197,145,29 104,98 23,63 4,44 160,49 62,80 28,02 2,24 25,35 46,66 22,02 2,12 12,10 197,945,3 105,20 23,63 4,45 161,06 63,05 28,04 2,25 25,50 46,85 22,04 2,13 12,17 198,735,31 105,42 23,63 4,46 161,63 63,29 28,06 2,26 25,66 47,03 22,06 2,13 12,24 199,535,32 105,65 23,63 4,47 162,21 63,54 28,08 2,26 25,81 47,22 22,08 2,14 12,32 200,335,33 105,87 23,63 4,48 162,78 63,79 28,10 2,27 25,97 47,41 22,10 2,14 12,39 201,135,34 106,10 23,63 4,49 163,35 64,03 28,13 2,28 26,12 47,59 22,13 2,15 12,46 201,935,35 106,32 23,63 4,50 163,93 64,28 28,15 2,28 26,27 47,78 22,15 2,16 12,54 202,745,4 107,44 23,63 4,55 166,82 65,52 28,26 2,32 27,05 48,72 22,26 2,19 12,90 206,775,6 111,92 23,63 4,74 178,57 70,50 28,71 2,46 30,25 52,50 22,71 2,31 14,42 223,245,8 116,40 23,63 4,93 190,64 75,52 29,16 2,59 33,57 56,32 23,16 2,43 16,01 240,226 120,88 23,63 5,12 203,03 80,58 29,60 2,72 37,03 60,18 23,60 2,55 17,65 257,70

tabella a.8.4

Esempio 8.4

Un canale articiale a sezione trapezia, con larghezza di fondo b = 9 m e pendenza dellesponde 1:0.5 costituito da tre diversi tratti:

il primo tratto inerbato, con pendenza del fondo pari a 0,8%; il secondo tratto ha fondo e sponde rivestite in calcestruzzo, sempre con pendenza

0,8%; il terzo tratto sempre rivestito in calcestruzzo, ma con pendenza ridotta a 0,2%.

Si determini se, per una portata di 30 m3/s, i vari tratti sono a debole o forte pendenza.

Soluzione

Si adottano i seguenti coefcienti di Manning: per lalveo inerbato n1 = 0,026 m1/3s; perlalveo rivestito in calcestruzzo n2 = 0,018 m1/3s.

41

Le scale delle portate di moto uniforme possono essere ottenute calcolando dapprima lascala delle portate specica Z e ricavando poi da questa le scale delle portate per i singolitratti.

tratto 1 2 3

i (%) 0.008 0.008 0.002

n (m1/3s) 0.018 0.026 0.018

h0 (m) A (m2) C (m) R (m) Z (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s)

0,00 0,00 9,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,10 0,91 9,22 0,10 0,19 0,96 0,66 0,480,20 1,82 9,45 0,19 0,61 3,02 2,09 1,510,30 2,75 9,67 0,28 1,19 5,89 4,08 2,950,40 3,68 9,89 0,37 1,90 9,46 6,55 4,730,50 4,63 10,12 0,46 2,74 13,64 9,44 6,820,60 5,58 10,34 0,54 3,70 18,38 12,72 9,190,70 6,55 10,57 0,62 4,76 23,63 16,36 11,820,80 7,52 10,79 0,70 5,91 29,38 20,34 14,690,81 7,62 10,81 0,70 6,03 29,98 20,75 14,990,82 7,72 10,83 0,71 6,15 30,58 21,17 15,290,83 7,81 10,86 0,72 6,28 31,19 21,59 15,590,84 7,91 10,88 0,73 6,40 31,80 22,02 15,900,85 8,01 10,90 0,73 6,52 32,42 22,44 16,210,90 8,51 11,01 0,77 7,16 35,57 24,63 17,791,00 9,50 11,24 0,85 8,49 42,21 29,22 21,101,01 9,60 11,26 0,85 8,63 42,90 29,70 21,451,02 9,70 11,28 0,86 8,77 43,59 30,17 21,791,03 9,80 11,30 0,87 8,91 44,28 30,66 22,141,04 9,90 11,33 0,87 9,05 44,98 31,14 22,491,05 10,00 11,35 0,88 9,19 45,68 31,63 22,841,10 10,51 11,46 0,92 9,91 49,26 34,10 24,631,20 11,52 11,68 0,99 11,41 56,71 39,26 28,351,21 11,62 11,71 0,99 11,57 57,48 39,79 28,741,22 11,72 11,73 1,00 11,72 58,25 40,32 29,121,23 11,83 11,75 1,01 11,88 59,02 40,86 29,511,24 11,93 11,77 1,01 12,03 59,80 41,40 29,901,25 12,03 11,80 1,02 12,19 60,58 41,94 30,291,30 12,55 11,91 1,05 12,99 64,54 44,68 32,271,40 13,58 12,13 1,12 14,64 72,75 50,37 36,381,50 14,63 12,35 1,18 16,37 81,33 56,30 40,66

tabella a.8.5

Per ogni altezza h0 si calcolano le quantit A, C e R in base alle formule introdotte nelparagrafo 8.2.2 e il fattore di sezione Z in base alla [8.17].

42

La portata di moto uniforme di ciascun tratto calcolata moltiplicando Z per lopportuno

valore del rapporto

i/

n, ottenendo cos la tabella a.8.5.

Dalla tabella a.8.5 si ricava che alla portata Q = 30 m3/s corrispondono altezze di motouniforme nei tre tratti pari a h0,1 = 0,81m ; h0,2 = 1,02 m e h0,3 = 1,24 m. Laltezza critica ottenuta calcolando la scala delle portate critiche; per ogni altezza critica k si calcolanoquindi le quantit A, B e hM in base alle formule introdotte nel paragrafo 8.2.2 e la portatacritica in base alla [8.27]: si ottiene cos la tabella a.8.6.

k (m) A (m2) B (m) hM (m) Qc (m3/s)

0 0,00 9,00 0,00 0,000,1 0,91 9,10 0,10 0,890,2 1,82 9,20 0,20 2,530,3 2,75 9,30 0,30 4,670,4 3,68 9,40 0,39 7,210,5 4,63 9,50 0,49 10,100,6 5,58 9,60 0,58 13,320,7 6,55 9,70 0,67 16,830,8 7,52 9,80 0,77 20,620,9 8,51 9,90 0,86 24,681 9,50 10,00 0,95 28,99

1,01 9,60 10,01 0,96 29,431,02 9,70 10,02 0,97 29,881,03 9,80 10,03 0,98 30,331,04 9,90 10,04 0,99 30,781,05 10,00 10,05 1,00 31,231,06 10,10 10,06 1,00 31,691,07 10,20 10,07 1,01 32,151,08 10,30 10,08 1,02 32,611,09 10,40 10,09 1,03 33,071,1 10,51 10,10 1,04 33,541,2 11,52 10,20 1,13 38,331,3 12,55 10,30 1,22 43,341,4 13,58 10,40 1,31 48,581,5 14,63 10,50 1,39 54,03

tabella a.8.6

Dalla tabella a.8.6 si ricava che alla portata Q = 30 m3/s corrisponde unaltezza criticak = 1,02 m, da cui si deduce che il primo tratto di alveo a forte pendenza (h0,1 < k), ilsecondo a pendenza critica (h0,2 = k) e il terzo a debole pendenza (h0,3 > k).

Questa conclusione pu essere ottenuta anche confrontando gracamente le scale delleportate in moto uniforme per i tre tratti con la scala delle portate critiche per Q = 30 m3/s(figura a.8.5).

43

00,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 10 20 30 40 50Q (m3/s )

k, h

0 (m

)

h0 ; i = 0 .8 %, n= 0 .0 1 8h0 ; i = 0 .8 %, n= 0 .0 2 5

h0 ; i = 0 .2 %, n= 0 .0 1 8k

figura a.8.5

Esempio 8.5

In un canale articiale a sezione rettangolare in calcestruzzo, con larghezza di fondo b = 6 mdeuisce una portata di 20 m3/s. Il canale costituito da un primo tratto, lungo 4 km,con pendenza 0,1% e da un secondo tratto, con pendenza 0,04%, regolato, 2 km a valledel cambio di pendenza, da una paratoia piana. Sapendo che lapertura della paratoia a = 0,9 m, si tracci il prolo di moto permanente.SoluzioneSi adotta, per lalveo rivestito in calcestruzzo, il coefciente di Strickler k = 70 m1/3s1.

Si costruiscono le scale delle portate di moto uniforme per i due tratti di alveo (figura a.8.6).Ripetendo il procedimento descritto nellesempio 8.1, si trova che h01 = 1,504 m e h02 =2,084 m.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 10 20 30 40 50Q (m3/s)

Tratto 1

Tratto 2

h 0 (m

)

figura a.8.6

44

Laltezza critica per lalveo rettangolare pu essere calcolata direttamente:

k = 3 Q 2

g b2= 1,043 m

I due tratti di alveo risultano quindi entrambi a debole pendenza. Il prolo di moto perma-nente nel secondo tratto determinato dalla sezione di controllo imposta dalla presenzadella paratoia.

Per calcolare il livello della corrente a monte della paratoia si costruisce la curva dellenergiaspecica alla portata Q data e si determina laltezza coniugata allaltezza di valle, ovveroallaltezza assunta nella sezione contratta a valle della paratoia cca = 0,549 m (avendoconsiderato un coefciente di contrazione cc = 0,61). Per ogni altezza si calcola quindilenergia specica:

E = h + Q2

2g b2h2

h (m) E (m) h (m) E (m)0,1 56,789 1,8 1,9750,2 14,372 1,9 2,0570,3 6,599 2 2,1420,4 3,943 2,1 2,2290,5 2,768 2,2 2,317

0,549 2,430 2,3 2,4070,6 2,175 2,31 2,4160,7 1,857 2,32 2,4250,8 1,686 2,325 2,4300,9 1,600 2,33 2,4341 1,567 2,34 2,444

1,1 1,569 2,35 2,4531,2 1,594 2,36 2,4621,3 1,635 2,37 2,4711,4 1,689 2,38 2,4801,5 1,752 2,39 2,4891,6 1,821 2,4 2,4981,7 1,896 2,5 2,591

tabella 8.7

Si ottiene la tabella a.8.7 e il graco della curva dellenergia specica riportato nella figu-ra a.8.7:

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500h (m)

E (m

)

figura a.8.7

Laltezza a monte della paratoia risulta quindi hm = 2,325 m > h0: nel secondo tratto siverica un prolo di rigurgito di tipo D1.

Dato che il tirante alla sezione del cambio di pendenza dovr comunque essere maggioreo uguale allaltezza di moto uniforme h02 e che, comunque, tale altezza superiore allal-

tezza di moto uniforme h01 , anche nel primo tratto si avr un prolo di corrente lenta di

tipo D1.

45

Per il calcolo del prolo di moto permanente nel secondo tratto, sapendo che il tiranteallascissa x = 6000 m hm = 2,325 m, si suddivide la differenza hm h02 in inter-valli di 0,01 m e si calcola lascissa della sezione in cui si verica ciascun valore hi deltirante.

Si calcolano quindi, per ogni tirante hi, larea bagnata Ai, il contorno bagnato pi, il raggioidraulico Ri e le seguenti quantit:

Vi =Q

bhi, Ji =

V2i

k2R

43i

, Ei = hi +V2i2g

e, per ogni tratto compreso tra i tiranti hi e hi+1, le seguenti quantit:

Jm =12

(Ji + Ji+1

), E = Ei Ei+1, x =

E

i Jmlascissa della sezione in cui il tirante vale hi+1 risulta:

xi+1 = xi xSi ottiene tabella a.8.8.

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)2,325 6000,0 13,95 10,65 1,31 1,43 0,000293 2,4302,32 5957,3 13,92 10,64 1,31 1,44 0,000294 0,000294 2,425 -0,0045 -42,72,31 5869,7 13,86 10,62 1,31 1,44 0,000298 0,000296 2,416 -0,0091 -87,52,3 5779,2 13,80 10,60 1,30 1,45 0,000302 0,000300 2,407 -0,0091 -90,52,29 5685,5 13,74 10,58 1,30 1,46 0,000305 0,000303 2,398 -0,0091 -93,82,28 5588,1 13,68 10,56 1,30 1,46 0,000309 0,000307 2,389 -0,0090 -97,32,27 5486,8 13,62 10,54 1,29 1,47 0,000313 0,000311 2,380 -0,0090 -101,32,26 5381,2 13,56 10,52 1,29 1,47 0,000316 0,000315 2,371 -0,0090 -105,62,25 5270,7 13,50 10,50 1,29 1,48 0,000320 0,000318 2,362 -0,0090 -110,52,24 5154,8 13,44 10,48 1,28 1,49 0,000324 0,000322 2,353 -0,0090 -115,92,23 5032,8 13,38 10,46 1,28 1,49 0,000328 0,000326 2,344 -0,0090 -122,02,22 4903,8 13,32 10,44 1,28 1,50 0,000332 0,000330 2,335 -0,0090 -129,02,21 4766,9 13,26 10,42 1,27 1,51 0,000337 0,000335 2,326 -0,0090 -136,92,2 4620,8 13,20 10,40 1,27 1,52 0,000341 0,000339 2,317 -0,0089 -146,12,19 4463,9 13,14 10,38 1,27 1,52 0,000345 0,000343 2,308 -0,0089 -156,92,18 4294,3 13,08 10,36 1,26 1,53 0,000350 0,000347 2,299 -0,0089 -169,62,17 4109,3 13,02 10,34 1,26 1,54 0,000354 0,000352 2,290 -0,0089 -185,02,165 4009,9 12,99 10,33 1,26 1,54 0,000356 0,000355 2,286 -0,0044 -99,4

tabella a.8.8

Il calcolo del prolo di tipo D1 nel secondo tratto si arresta al raggiungimento del cambiodi pendenza (x = 4000 m). Laltezza hp = 2,165 m costituisce la condizione al contorno peril calcolo del prolo D1 nel primo tratto.

46

Si procede calcolando le stesse quantit precedentemente descritte, ottenendo la tabel-la a.8.9.

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)2,165 4000,0 12,99 10,33 1,26 1,54 0,000356 2,2862,16 3993,1 12,96 10,32 1,26 1,54 0,000359 0,000358 2,282 -0,0044 -6,92,14 3965,3 12,84 10,28 1,25 1,56 0,000368 0,000363 2,264 -0,0177 -27,82,12 3937,1 12,72 10,24 1,24 1,57 0,000378 0,000373 2,246 -0,0177 -28,22,1 3908,6 12,60 10,20 1,24 1,59 0,000388 0,000383 2,229 -0,0176 -28,52,08 3879,7 12,48 10,16 1,23 1,60 0,000398 0,000393 2,211 -0,0175 -28,92,06 3850,5 12,36 10,12 1,22 1,62 0,000409 0,000404 2,194 -0,0174 -29,32,04 3820,8 12,24 10,08 1,21 1,63 0,000421 0,000415 2,176 -0,0174 -29,72,02 3790,6 12,12 10,04 1,21 1,65 0,000432 0,000426 2,159 -0,0173 -30,1

2 3760,0 12,00 10,00 1,20 1,67 0,000445 0,000438 2,142 -0,0172 -30,61,98 3728,8 11,88 9,96 1,19 1,68 0,000457 0,000451 2,125 -0,0171 -31,21,96 3697,1 11,76 9,92 1,19 1,70 0,000470 0,000464 2,108 -0,0170 -31,81,94 3664,6 11,64 9,88 1,18 1,72 0,000484 0,000477 2,091 -0,0169 -32,41,92 3631,5 11,52 9,84 1,17 1,74 0,000499 0,000491 2,074 -0,0168 -33,11,9 3597,6 11,40 9,80 1,16 1,75 0,000513 0,000506 2,057 -0,0167 -33,91,88 3562,9 11,28 9,76 1,16 1,77 0,000529 0,000521 2,040 -0,0166 -34,81,86 3527,2 11,16 9,72 1,15 1,79 0,000545 0,000537 2,024 -0,0165 -35,71,84 3490,4 11,04 9,68 1,14 1,81 0,000562 0,000554 2,007 -0,0164 -36,81,82 3452,4 10,92 9,64 1,13 1,83 0,000580 0,000571 1,991 -0,0163 -38,01,8 3413,0 10,80 9,60 1,13 1,85 0,000598 0,000589 1,975 -0,0162 -39,41,78 3372,1 10,68 9,56 1,12 1,87 0,000617 0,000608 1,959 -0,0160 -40,91,76 3329,4 10,56 9,52 1,11 1,89 0,000638 0,000627 1,943 -0,0159 -42,71,74 3284,6 10,44 9,48 1,10 1,92 0,000659 0,000648 1,927 -0,0158 -44,81,72 3237,3 10,32 9,44 1,09 1,94 0,000681 0,000670 1,912 -0,0156 -47,31,7 3187,1 10,20 9,40 1,09 1,96 0,000704 0,000692 1,896 -0,0155 -50,21,68 3133,3 10,08 9,36 1,08 1,98 0,000728 0,000716 1,881 -0,0153 -53,81,66 3075,0 9,96 9,32 1,07 2,01 0,000753 0,000740 1,866 -0,0151 -58,31,64 3010,9 9,84 9,28 1,06 2,03 0,000780 0,000766 1,851 -0,0150 -64,01,62 2939,4 9,72 9,24 1,05 2,06 0,000808 0,000794 1,836 -0,0148 -71,61,6 2857,4 9,60 9,20 1,04 2,08 0,000837 0,000822 1,821 -0,0146 -82,01,58 2760,2 9,48 9,16 1,03 2,11 0,000868 0,000852 1,807 -0,0144 -97,21,56 2638,5 9,36 9,12 1,03 2,14 0,000900 0,000884 1,793 -0,0141 -121,81,54 2470,7 9,24 9,08 1,02 2,16 0,000934 0,000917 1,779 -0,0139 -167,81,52 2185,6 9,12 9,04 1,01 2,19 0,000970 0,000952 1,765 -0,0137 -285,11,51 1827,7 9,06 9,02 1,00 2,21 0,000989 0,000984 1,759 -0,00674 -442,8

tabella a.8.9

Nel primo tratto, il prolo di rigurgito di tipo D1 si estende no a x = 2000 m, ovverocirca 2 km a monte del cambio di pendenza, dove si raggiungono condizioni di moto uni-forme.

47

Il prolo della corrente nellalveo studiato illustrato in figura a.8.8.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000x (m)

z (m

)

k

h0,1

h0,2

figura a.8.8

Esempio 8.6

Un canale di larghezza B = 12 m a sezione rettangolare in terra, caratterizzato da uncoefciente di Strickler k = 40 m1/3/s, costituito da due tratti, rispettivamente di pendenzai1 = 0,08% e i2 = 1,6%.

Lungo il secondo tratto, 150 m a valle del cambio di pendenza, posta una paratoia pianacon apertura a = 0,8 m (si assume come coefciente di contrazione cc = 0,61 per lefussosotto battente). Lalveo esteso indenitamente a valle della paratoia, mentre alimentato,4000 m a monte del cambio di pendenza, da un lago il cui livello sul fondo della sezionedi incile hL = 2,26 m. Si tracci il prolo di moto permanente nel canale considerato e silocalizzino gli eventuali risalti idraulici.

SoluzioneSi deve inizialmente determinare la portata deuente nel canale. Dato che la pendenza delprimo tratto di canale inferiore allo 0,1%, si ipotizza che tale tratto sia a debole pendenzae che si stabiliscano in esso condizioni di moto uniforme. Tale ipotesi dovr essere vericataal termine del calcolo dei proli di moto permanente.

Si assume quindi che lenergia specica si conservi nel moto accelerato a monte della se-zione di incile e che in tale sezione laltezza della corrente coincida con laltezza di motouniforme per il primo tratto. Devono essere quindi soddisfatte le seguenti relazioni:

Q = k

i1

(h01B

) 53

(2h01 + B

) 23

; h01 +Q2

2gh201

B2= hL

Tali relazioni sono soddisfatte per h01 = 2,18 m e Q = 40,47 m3/s.

48

Si costruisce quindi la scala delle portate di moto uniforme per il secondo tratto di alveo(figura a.8.9). Ripetendo il procedimento descritto nellesempio 8.1, si trova cheh02 = 0,825 m.

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

4

4 .5

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0

Q (m3/s)

h 0 (m

)

T ratto 1

T ratto 2

figura a.8.9

Laltezza critica per lalveo rettangolare pu essere calcolata direttamente, ottenendo:

k = 3 Q2

g B2= 1,051 m

Il primo tratto di alveo risulta quindi a debole pendenza: il prolo di moto permanente intale tratto determinato dal cambio di pendenza, in cui si stabiliscono condizioni critiche.In tale tratto si stabilisce quindi un prolo di tipo D2.

Il secondo tratto di alveo risulta invece a forte pendenza: il prolo di moto permanente in taletratto determinato sia dal cambio di pendenza, in cui si stabiliscono condizioni critiche, siadalle sezione di controllo a monte e a valle della paratoia. In tale tratto si stabilisce quindiun prolo di tipo F2 a valle del cambio di pendenza, un prolo di tipo F1 a monte dellaparatoia e un prolo di tipo F3 a valle della paratoia.

A monte della paratoia, la transizione da corrente veloce a corrente lenta deve avvenireattraverso un risalto idraulico.

Per calcolare il livello della corrente a monte della paratoia si costruisce la curva dellenergiaspecica alla portata Q data e si determina laltezza coniugata allaltezza di valle, ovveroallaltezza cca = 0,488 m assunta nella sezione contratta a valle della paratoia.

49

Per ogni altezza si calcola quindi lenergia specica:

E = h + Q2

2g b2h2

h (m) E (m) h (m) E (m)0,1 58,13 2,4 2,500,2 14,71 2,6 2,690,3 6,75 2,8 2,870,4 4,03 2,81 2,88

0,488 2,92 2,82 2,890,5 2,82 2,83 2,900,6 2,21 2,84 2,910,8 1,71 2,85 2,921 1,58 2,86 2,93

1,2 1,60 2,87 2,941,4 1,70 2,88 2,951,6 1,83 2,89 2,961,8 1,98 2,9 2,972 2,15 3 3,06

2,2 2,32

tabella a.10

ottenendo la tabella a.8.10 e la curva dellenergia specica riportata in figura a.8.10.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 1 2 3 4h (m)

E (m

)

figura a.8.10

Laltezza a monte della paratoia risulta quindi hm = 2,85 m.

Per il calcolo dei proli di moto permanente, si segue lo stesso procedimento descrittonellesempio 8.5.

Per il prolo D2 nel primo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4000 move il tirante k = 1,051 m e si ottiene la tabella a.8.11.

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)1,05 4000,0 12,61 14,10 0,89 3,21 0,00747 1,5761,06 4000,0 12,73 14,12 0,90 3,18 0,00725 0,00736 1,577 0,000 0,01,07 3999,9 12,85 14,14 0,91 3,15 0,00704 0,00715 1,577 0,000 0,11,08 3999,8 12,97 14,16 0,92 3,12 0,00684 0,00694 1,578 0,001 0,11,09 3999,6 13,09 14,18 0,92 3,09 0,00665 0,00674 1,579 0,001 0,21,10 3999,4 13,21 14,20 0,93 3,06 0,00646 0,00655 1,580 0,001 0,21,11 3999,2 13,33 14,22 0,94 3,04 0,00628 0,00637 1,581 0,001 0,31,12 3998,9 13,45 14,24 0,94 3,01 0,00611 0,00619 1,583 0,002 0,31,13 3998,5 13,57 14,26 0,95 2,98 0,00594 0,00602 1,585 0,002 0,41,14 3998,1 13,69 14,28 0,96 2,96 0,00578 0,00586 1,587 0,002 0,4

tabella a.8.11

50

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)1,15 3997,6 13,81 14,30 0,97 2,93 0,00562 0,00570 1,589 0,002 0,51,16 3997,1 13,93 14,32 0,97 2,91 0,00547 0,00555 1,592 0,002 0,51,17 3996,5 14,05 14,34 0,98 2,88 0,00533 0,00540 1,594 0,003 0,61,18 3995,9 14,17 14,36 0,99 2,86 0,00519 0,00526 1,597 0,003 0,61,19 3995,2 14,29 14,38 0,99 2,83 0,00505 0,00512 1,600 0,003 0,71,20 3994,4 14,41 14,40 1,00 2,81 0,00493 0,00499 1,603 0,003 0,81,25 3989,6 15,01 14,50 1,04 2,70 0,00434 0,00463 1,622 0,018 4,81,30 3982,9 15,61 14,60 1,07 2,59 0,00384 0,00409 1,644 0,022 6,71,35 3974,0 16,21 14,70 1,10 2,50 0,00342 0,00363 1,669 0,025 8,91,40 3962,7 16,81 14,80 1,14 2,41 0,00306 0,00324 1,697 0,028 11,41,45 3948,4 17,41 14,90 1,17 2,32 0,00274 0,00290 1,727 0,030 14,31,50 3930,8 18,01 15,00 1,20 2,25 0,00247 0,00261 1,759 0,032 17,71,55 3909,1 18,61 15,10 1,23 2,17 0,00224 0,00235 1,792 0,034 21,61,60 3882,7 19,21 15,20 1,26 2,11 0,00203 0,00213 1,827 0,035 26,41,65 3850,7 19,81 15,30 1,29 2,04 0,00185 0,00194 1,864 0,036 32,01,70 3811,8 20,41 15,40 1,33 1,98 0,00169 0,00177 1,902 0,038 38,91,75 3764,4 21,01 15,50 1,36 1,93 0,00155 0,00162 1,940 0,039 47,41,80 3706,4 21,61 15,60 1,39 1,87 0,00142 0,00148 1,980 0,040 58,11,85 3634,5 22,21 15,70 1,41 1,82 0,00131 0,00136 2,020 0,040 71,81,90 3544,2 22,81 15,80 1,44 1,77 0,00121 0,00126 2,062 0,041 90,31,95 3428,1 23,41 15,90 1,47 1,73 0,00112 0,00116 2,103 0,042 116,12,00 3273,3 24,01 16,00 1,50 1,69 0,00103 0,00107 2,146 0,042 154,82,05 3054,7 24,61 16,10 1,53 1,64 0,00096 0,00100 2,189 0,043 218,62,10 2711,0 25,21 16,20 1,56 1,61 0,00089 0,00093 2,232 0,044 343,82,15 2012,6 25,81 16,30 1,58 1,57 0,00083 0,00086 2,276 0,044 698,42,16 1684,5 25,93 16,32 1,59 1,56 0,00082 0,00083 2,285 0,009 328,12,17 1117,6 26,05 16,34 1,59 1,55 0,00081 0,00082 2,294 0,009 567,0

tabella a.8.11 Segue

Si osserva che il moto uniforme raggiunto pi di 1 km a valle della sezione di incile: cigiustica lipotesi adottata precedentemente per il calcolo della portata efuente dal lagodi monte. Per il prolo F2 nel secondo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissax = 4000 m ove il tirante k = 1,051 m e si ottiene la tabella a.8.12.

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)1,051 4000,0 12,61 14,10 0,89 3,21 0,00747 1,5761,040 4000,0 12,48 14,08 0,89 3,24 0,00772 0,00760 1,577 0,000 0,01,030 4000,1 12,36 14,06 0,88 3,27 0,00796 0,00784 1,577 0,000 0,11,020 4000,2 12,24 14,04 0,87 3,31 0,00820 0,00808 1,578 0,001 0,11,010 4000,3 12,12 14,02 0,86 3,34 0,00846 0,00833 1,579 0,001 0,1

tabella a.8.12

51

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)1,000 4000,5 12,00 14,00 0,86 3,37 0,00873 0,00860 1,580 0,001 0,20,990 4000,8 11,88 13,98 0,85 3,41 0,00901 0,00887 1,582 0,002 0,30,980 4001,1 11,76 13,96 0,84 3,44 0,00930 0,00916 1,584 0,002 0,30,970 4001,5 11,64 13,94 0,84 3,48 0,00961 0,00946 1,587 0,003 0,40,960 4001,9 11,52 13,92 0,83 3,51 0,00993 0,00977 1,590 0,003 0,50,950 4002,5 11,40 13,90 0,82 3,55 0,01026 0,01009 1,593 0,003 0,60,940 4003,2 11,28 13,88 0,81 3,59 0,01061 0,01043 1,597 0,004 0,70,930 4004,0 11,16 13,86 0,81 3,63 0,01097 0,01079 1,601 0,004 0,80,920 4004,9 11,04 13,84 0,80 3,67 0,01135 0,01116 1,606 0,005 1,00,910 4006,1 10,92 13,82 0,79 3,71 0,01175 0,01155 1,611 0,005 1,20,900 4007,5 10,80 13,80 0,78 3,75 0,01217 0,01196 1,616 0,006 1,40,890 4009,2 10,68 13,78 0,78 3,79 0,01261 0,01239 1,623 0,006 1,70,880 4011,3 10,56 13,76 0,77 3,83 0,01307 0,01284 1,629 0,007 2,10,870 4014,1 10,44 13,74 0,76 3,88 0,01355 0,01331 1,637 0,007 2,70,860 4017,7 10,32 13,72 0,75 3,92 0,01405 0,01380 1,645 0,008 3,60,850 4022,8 10,20 13,70 0,74 3,97 0,01458 0,01432 1,653 0,009 5,10,840 4030,9 10,08 13,68 0,74 4,01 0,01514 0,01486 1,662 0,009 8,10,830 4048,3 9,96 13,66 0,73 4,06 0,01572 0,01543 1,672 0,010 17,5

tabella a.8.12 Segue

Per il prolo F1 nel secondo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4150 move il tirante hm = 2,85 m e si ottiene la tabella a.8.13.

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)2,85 4150,0 34,20 17,70 1,93 1,18 0,00036 2,9212,80 4147,0 33,60 17,60 1,91 1,20 0,00038 0,00037 2,874 -0,047 3,02,70 4140,9 32,40 17,40 1,86 1,25 0,00043 0,00040 2,780 0,094 6,12,60 4134,9 31,20 17,20 1,81 1,30 0,00048 0,00045 2,686 0,094 6,02,50 4128,9 30,00 17,00 1,76 1,35 0,00053 0,00050 2,593 0,093 6,02,40 4122,9 28,80 16,80 1,71 1,41 0,00060 0,00057 2,501 0,092 6,02,30 4117,0 27,60 16,60 1,66 1,47 0,00068 0,00064 2,410 0,091 5,92,20 4111,1 26,40 16,40 1,61 1,53 0,00078 0,00073 2,320 0,090 5,92,10 4105,3 25,20 16,20 1,56 1,61 0,00089 0,00084 2,232 0,088 5,82,00 4099,5 24,00 16,00 1,50 1,69 0,00104 0,00096 2,145 0,087 5,81,90 4093,9 22,80 15,80 1,44 1,78 0,00121 0,00112 2,061 0,084 5,71,80 4088,3 21,60 15,60 1,38 1,87 0,00142 0,00131 1,979 0,082 5,61,75 4085,6 21,00 15,50 1,35 1,93 0,00155 0,00149 1,939 0,040 2,71,70 4082,9 20,40 15,40 1,32 1,98 0,00169 0,00162 1,901 0,039 2,71,65 4080,2 19,80 15,30 1,29 2,04 0,00185 0,00177 1,863 0,038 2,61,60 4077,6 19,20 15,20 1,26 2,11 0,00203 0,00194 1,827 0,036 2,61,55 4075,1 18,60 15,10 1,23 2,18 0,00224 0,00214 1,792 0,035 2,5

tabella a.8.13

52

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)1,50 4072,6 18,00 15,00 1,20 2,25 0,00248 0,00236 1,758 0,034 2,51,45 4070,3 17,40 14,90 1,17 2,33 0,00275 0,00261 1,726 0,032 2,41,40 4068,0 16,80 14,80 1,14 2,41 0,00306 0,00291 1,696 0,030 2,31,35 4065,8 16,20 14,70 1,10 2,50 0,00343 0,00324 1,668 0,028 2,21,32 4064,6 15,84 14,64 1,08 2,55 0,00367 0,00355 1,653 0,015 1,21,30 4063,8 15,60 14,60 1,07 2,59 0,00385 0,00376 1,643 0,010 0,81,28 4063,0 15,36 14,56 1,05 2,63 0,00404 0,00395 1,634 0,009 0,81,26 4062,3 15,12 14,52 1,04 2,68 0,00424 0,00414 1,626 0,009 0,71,24 4061,6 14,88 14,48 1,03 2,72 0,00446 0,00435 1,617 0,008 0,71,22 4060,9 14,64 14,44 1,01 2,76 0,00469 0,00457 1,610 0,008 0,71,20 4060,3 14,40 14,40 1,00 2,81 0,00494 0,00481 1,603 0,007 0,61,18 4059,7 14,16 14,36 0,99 2,86 0,00520 0,00507 1,597 0,006 0,61,16 4059,2 13,92 14,32 0,97 2,91 0,00549 0,00534 1,591 0,006 0,51,14 4058,8 13,68 14,28 0,96 2,96 0,00579 0,00564 1,587 0,005 0,51,13 4058,6 13,56 14,26 0,95 2,98 0,00595 0,00587 1,584 0,002 0,21,12 4058,4 13,44 14,24 0,94 3,01 0,00612 0,00604 1,583 0,002 0,21,11 4058,2 13,32 14,22 0,94 3,04 0,00630 0,00621 1,581 0,002 0,21,10 4058,1 13,20 14,20 0,93 3,07 0,00648 0,00639 1,580 0,001 0,11,09 4057,9 13,08 14,18 0,92 3,09 0,00666 0,00657 1,578 0,001 0,11,08 4057,8 12,96 14,16 0,92 3,12 0,00686 0,00676 1,578 0,001 0,11,07 4057,8 12,84 14,14 0,91 3,15 0,00706 0,00696 1,577 0,001 0,11,06 4057,7 12,72 14,12 0,90 3,18 0,00727 0,00717 1,576 0,000 0,0

tabella a.8.13 Segue

Per il prolo F3 nel secondo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4150 move il tirante cca = 0,488 m e si ottiene la tabella a.8.14.

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)0,49 4150,0 5,86 12,98 0,45 6,91 0,08624 2,9250,51 4152,6 6,10 13,02 0,47 6,64 0,07574 0,08099 2,757 0,168 2,60,53 4155,2 6,34 13,06 0,49 6,39 0,06687 0,07130 2,610 0,147 2,70,55 4158,0 6,58 13,10 0,50 6,15 0,05931 0,06309 2,480 0,129 2,70,57 4160,8 6,82 13,14 0,52 5,94 0,05285 0,05608 2,367 0,114 2,80,59 4163,8 7,06 13,18 0,54 5,74 0,04728 0,05006 2,266 0,100 2,90,61 4166,8 7,30 13,22 0,55 5,55 0,04246 0,04487 2,178 0,089 3,10,63 4170,1 7,54 13,26 0,57 5,37 0,03828 0,04037 2,099 0,078 3,20,65 4173,5 7,78 13,30 0,58 5,20 0,03462 0,03645 2,030 0,069 3,40,67 4177,1 8,02 13,34 0,60 5,05 0,03141 0,03301 1,969 0,062 3,60,69 4181,0 8,26 13,38 0,62 4,90 0,02858 0,02999 1,914 0,055 3,90,71 4185,2 8,50 13,42 0,63 4,76 0,02608 0,02733 1,866 0,048 4,3

tabella a.8.14

53

h (m) x (m) A (m2) p (m) R (m) V (m/s) J Jm E (m) E (m) x (m)0,73 4190,0 8,74 13,46 0,65 4,63 0,02386 0,02497 1,823 0,043 4,80,75 4195,5 8,98 13,50 0,67 4,51 0,02189 0,02287 1,785 0,038 5,50,77 4202,1 9,22 13,54 0,68 4,39 0,02012 0,02100 1,752 0,033 6,70,78 4206,2 9,34 13,56 0,69 4,33 0,01931 0,01972 1,737 0,015 4,10,79 4211,1 9,46 13,58 0,70 4,28 0,01854 0,01893 1,723 0,014 4,80,80 4217,2 9,58 13,60 0,70 4,23 0,01781 0,01818 1,709 0,013 6,10,81 4225,6 9,70 13,62 0,71 4,17 0,01712 0,01747 1,697 0,012 8,50,82 4240,2 9,82 13,64 0,72 4,12 0,01647 0,01680 1,685 0,012 14,6

tabella a.8.14 Segue

Il prolo di moto permanente risultante illustrato nella figura a.8.11.z

(m)

2

1

0

1

2

3

4

5

3 500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 420 0

x (m )

figura a.8.11

Si osserva che il prolo di corrente lenta F1 termina allascissa x = 4057,7, dove il prolodi corrente veloce F2 ha gi raggiunto la condizione di moto uniforme. Il risalto idraulico dunque localizzato nella sezione dove la spinta totale relativa al tirante di corrente lenta

= 12 B h2 + Q

2

B h

uguaglia la spinta totale relativa allaltezza di moto uniforme:

02 =12 B h 202

+ Q2

B h02= 205 467 N

Si verica che tale spinta uguagliata in corrispondenza del tirante h = 1,35 m che siverica allascissa x = 4065 m. In tale sezione si verica il risalto idraulico e si ha nelcanale, quindi, il prolo di moto permanente illustrato nella figura a.8.12.

54

-2

-1

0

1

2

3

4

5

3 500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 420 0x (m )

z (m

)

figura a.8.12

55