Esercizio:

Discutere il seguente sistema lineare in funzione del parametro λ e calcolarne le eventuali soluzioni

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 42

( 1) 2

x x xx x xx x x

λ λλ λ λ

− + = − + =− − + = +

Soluzione:

Applichiamo alla matrice completa del sistema le operazioni elementari sulle righe necessarie per ridurre la

matrice incompleta (o dei coefficienti): 2 2 1R R R→ − e 3 3 1(1 )R R Rλ→ + −

1 2 1 41 1 2

1 1 2λ λ

λ λ λ

− −

− − +

1 2 1 40 2 0 2( 2)0 2 2 3 6

λ λλ λ λ

− − − − − − +

1. Per 2λ = , la matrice diventa: 1 2 1 40 0 0 00 0 0 0

−

e il sistema associato degenera in una singola

equazione: 1 2 32 4x x x− + = . Questa equazione ha 3 1 2n r− −∞ = ∞ = ∞ soluzioni (n è il numero

delle incognite e r il numero di righe non nulle nella matrice ridotta). Le soluzioni del sistema sono le soluzioni della singola equazione. Si può fissare un valore reale arbitrario per due delle tre

incognite (incognite libere), ad esempio 2x s= e 3x t= . Di conseguenza si ha 1 4 2x s t= + − e le

2∞ soluzioni sono �4 + 2� − �, �, �; �, � ∈ ℝ.

2. Per 2λ ≠ possiamo dividere la seconda e la terza riga per (2 )λ− , essendo diverso da zero,

ottenendo 1 2 1 40 1 0 20 1 1 3

− −

−

. Sommando la seconda riga alla terza si ottiene: 1 2 1 40 1 0 20 0 1 1

− −

. La

matrice dei coefficienti risulta ora ridotta per righe. Il sistema corrispondente è:

1 2 3

2

3

2 42

1

x x xx

x

− + = = −=

, la cui soluzione (unica) è ( 1, 2,1)− − .