5/21/2018 Espacio Euclidiano

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ESPACIO EUCLIDIANO

Un espacio euclidiano es un espacio vectorial con un producto escalar, o de otra

manera, un espacio con un teorema de Pitgoras. Desde la antigedad su

dimensin algebraica no pas de 3. El espacio euclidiano se asoci con un simple

espacio de puntos o espacio afn (sin distancia, sin ngulos). Luego se considerun espacio mtrico por ser un receptculo (absoluto o relativo) de objetos

localizables. Finalmente, al asociar dos puntos con los extremos de un vector, el

espacio adquiri la vectorialidad adems de la metricidad. Para nosotros un

espacio euclidiano ser sinnimo de espacio vectorial euclidiano.

En un espacio euclidiano, adems de los vectores, se pueden construir otros

objetos (espinores y tensores), los cuales dan origen a otras geometras, lgebras

y anlisis respectivos. Si los grupos de transformaciones que all operan gozan de

propiedades topolgicas y analticas, entonces se ampla enormemente su radio

de accin. La fsica se beneficia en gran medida de estas estructurasminkowskianas, riemanianas, tensoriales generalizadas y diferenciales. Esto

repercute en el nacimiento de otras versiones de mecnicas, electrodinmicas y,

en general, de otro tipo de fsicas.

ESPACIOS VECTORIALES

En un curso bsico de clculo se estudia al conjunto de los nmeros reales y las

propiedades que stos satisfacen, esas propiedades de suma y producto hacen de

R un espacio vectorial.

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Los conjuntos y junto con las operaciones de suma y multiplicacin por un

escalar se denominan espacios vectoriales. Se puede decir, de forma intuitiva, que

un espacio vectorial es un conjunto de objetos con dos operaciones que obedecen

las reglas que acaban de escribirse.

Definicin: Unespacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominadosvectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicacinpor un escalary que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuacin.

Notacin: Si y estn en y si es un nmero real, entonces la suma se

escribe como y el producto escalar de y como .

Antes de presentar la lista de las propiedades que se satisfacen los vectores en un

espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar,

mientras que puede ser til pensar en o al manejar un espacio vectorial, con

frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estoscmodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la

definicin 1 ofrece una definicin de un espacio vectorial real. La palabra real

significa que los escalares que se usan son nmeros reales. Sera igualmente

sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando nmeros complejos en

lugar de reales. Este libro est dedicado principalmente a espacios vectoriales

reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy

poca dificultad.

SUBESPACIOS

Sea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V y suponga que H es en

s un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un

escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

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Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial

padreV.

Existen mltiples ejemplos de subespacios en este captulo; sin embargo, en

primer lugar, se demostrar un resultado que hace relativamente sencillo

determinar si un subconjunto de V es en realidad un subespacio de V.

Teorema

Un subconjunto no vaco H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se

cumplen las dos reglas de cerradura:

Demostracin

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura

deben cumplirse. De lo contrario, para demostrar que H es un espacio vectorial,

debe demostrarse que los axiomas de la definicin cumplen bajo las

operaciones de suma de vectores y multiplicacin por un escalar definidas en V.

Las dos operaciones de cerradura [axiomas ] se cumplen por hiptesis.

Como los vectores en H son tambin vectores en V, las identidades asociativa,

conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ] secumplen. Sea . Entonces por hiptesis . Pero por el teorema 4.2.2,(parte , . De ese modo, y se cumple el axioma . Por ltimo, porparte , (-1) para todo . Por el teorema 4.2.1 (parte ), de manera que se cumple el axioma y la prueba queda completa.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es

suficiente verificar que

La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece sermencionado de forma explcita:

Este hecho con frecuencia facilitar la averiguacin de si un subconjunto de V en

particular no es un subespacio de V. Es decir, si un subconjunto no contiene al 0,

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entonces no es un subespacio. Note que el vector cero en H, un subespacio de V,

es el mismo que el vector cero en V.

CONCLUSIONES- En el tema de espacios euclidianos, puede conocerse que ste es el origen

de varios campos de clculo cientfico que hoy en da forma parte de

nuestra vida cotidiana y que es necesaria para dar lugar a nuevos

descubrimientos en el campo del anlisis matemtico; y gracias a la lectura

adicional de informacin en internet, conoc que el espacio euclidiano no es

otro que el espacio plano mismo.

- Entend que un espacio vectorial es un conjunto formado por vectores y que

reciben ese nombre por esa inmerso en ella suma u otra parecida a lasuma; y son diez axiomas o propiedades que satisfacen a estas sumas

entre vectores.

- Y con respecto a los subespacios, no son otra cosa que un subconjunto no

vaco de un espacio vectorial el cual cumple con las dos reglas de

cerradura mencionadas en su definicin. Y es ley que si un subespacio de

un espacio vectorial no contiene al cero, entonces no es un subespacio.

BIBLIOGRAFA

MARTINEZ-CHAVANZ Regino, ALGEBRA MULTILINEAL. Espacios Euclidianos, Universidad de

Antioquia, 2006. p. 105

GROSSMAN Stanley L., MATEMATICAS 4, Algebra Lineal. Espacios Vectoriales, Subespacios. p.

174,175, 182.