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Espacios de Hilbert con NR (Examenn)
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Trayectorias Estocasticas sobre
Espacios de Hilbert con Nucleo Reproductivo
1
♠ Nucleo Reproductivo
Ejemplo 1. Sea Tn = 1, 2, ..., n. Para un vector x = (x1, ..., x2) ∈ Rn podemos definiruna funcion (manteniendo la notacion) x : Tn → R tal que x(i) = xi, para toda i ∈ Tn. SeaH2n el espacio de todas estas funciones (obs: H2
n es equivalente a Rn). En H2n introducimos
el producto punto habitual en Rn, esto es, si x(i) = xi y y(i) = yi para x, y ∈ H2n, entonces,
〈x, y〉 =n∑i=1
xiyi.
El espacio H2n es un espacio de Hilbert.
Ahora bien, si Kn : Tn × Tn → Rn tal que
Kn(i, j) = δij.
Entonces
i) Kn(·, j) ∈ H2n, para cada j ∈ Tn, y
ii) Si x ∈ H2n, tenemos que
〈x(·), Kn(·, j)〉 =n∑i=1
x(i)δi,j
= x(j).
Decimos que K posee la propiedad reproductiva y lo denominamos nucleo reproductivo de laclase H2
n.
‡Nucleo reproductivo.
Definicion 1. Si T denota un conjunto y H un espacio de Hilbert sobre el campo F (complejoo real) de funciones f : T → F, entonces la funcion K : T × T → F, es llamada nucleoreproductivo (n.r.) de H si
i) Para toda t ∈ T , la funcion K(·, t) : T → F, pertenece a H (aquı usaremos Kt en lugarde K(·, t)).
ii) Propiedad reproductiva: Para todo t ∈ T y toda funcion f ∈ H,
f(t) = 〈f(·), K(·, t)〉(i.e. f(t) = 〈f,Kt〉).
2
Observacion 1. Si el nucleo K es real (esto es, si K(s, t) ∈ R para todo s, t ∈ T ), entoncesK(s, t) = K(t, s), luego K(t, ·) ∈ H, para todo s, t ∈ T . De tal suerte que la propiedadreproductiva tambien puede ser enunciada, en estos casos, con la expresion
f(t) = 〈f(·), K(t, ·)〉
para toda f ∈ H y toda t ∈ T .
Ejemplo 2. Sea ε > 0 y Hε la clase que reune las trayectorias continuas q : [0, ε] → R,tal que q(ε) = 0 y q′(s) existe casi dondequiera y es cuadrado integrable (en el sentido deRiemann). Consideremos el producto interior
〈q1, q2〉 =
∫ ε
0
q′1(s)q′2(s)ds,
para cualesquiera q1 y q2 en Hε.La funcion K : [0, ε]× [0, ε]→ R dada por
K(s, t) = t−maxs, t
define el nucleo reproductivo para Hε.En efecto
i) Kt ∈ Hε para cada t ∈ [0, ε].
ii) Sea t ∈ [0, ε], entonces
d
dsK(s, t) =
0 si s < t
−1 si t < s.
Luego
〈q,Kt〉 =
∫ ε
0
q′(s)d
dsK(s, s2)ds
= −∫ ε
t
q′(s)ds
= q(t).
Ejemplo 3. Sea H el espacio de todas las funciones continuas complejas sobre [0, 1], cuyaderivada existe casi dondequiera y tal que
i)∫ 1
0|f ′(t)|2dt <∞, para toda f ∈ H.
ii) Existe k 6= 1 en C tal que f(0) = kf(1), para toda f ∈ H.
Bajo la suma y el producto escalar habituales, H es una clase lineal. Mientras que paracualesquiera funciones f y g en H, la expresion
〈f, g〉 =
∫ 1
0
f ′(t)g′(t)ds
3
define un producto interior en H. En efecto, es evidente que∫ 1
0f ′(t)g′(t)dt existe y es un
numero complejo. Las propiedades de linealidad y antisimetrıa se siguen de forma inmediata.Es claro ademas que si f = 0 entonces 〈f, f〉 = 0. Y por otra parte, si 〈f, f〉 = 0, i.e.∫ 1
0|f ′(t)|2dt = 0, entonces (por continuidad) f ′(t) = 0 para todo t ∈ [0, 1], la funcion f es
pues constante, digamos c. Por hipotesis, c = f(0) = kf(1) = kc, entonces c = 0, puesk 6= 1.
Ahora bien para cualquier par s, t en [0, 1], la funcion
K(s, t) = min (s, t) +sk
1− k+
tk
1− k+
∣∣∣∣ k
1− k
∣∣∣∣2es el nucleo reproductivo de la clase H. Efectivamente, si t ∈ [0, 1] tenemos que,
K(0, t) =tk
1− k+
∣∣∣∣ k
1− k
∣∣∣∣2 ,mientras que
kK(1, t) = k
(t+
k
1− k+
tk
1− k+
∣∣∣∣ k
1− k
∣∣∣∣2)
= kt
(1 +
k
1− k
)+|k|2
1− k
(1 +
k
1− k
)=
tk
1− k+
∣∣∣∣ k
1− k
∣∣∣∣2 ,por tanto K(0, t) = kK(1, t). Tenemos ademas que
d
dsK(s, t) =
1 + k
1+k0 ≤ s < t,
k1+k
t < s ≤ 1.
Luego, para f ∈ H y t ∈ [0, 1], tenemos que
〈f(·), K(·, t)〉 =
∫ 1
0
f ′(s)d
dsK(s, t)ds
=
(1 +
k
1− k
)∫ t
0
f ′(s)ds+k
1− k
∫ 1
t
f ′(s)ds
=1
1− k(f(t)− f(0)) +
k
1− k(f(1)− f(t))
=1
1− k(f(t)− kf(1) + kf(1)− kf(t))
= f(t),
por tanto K es el nucleo reproductivo de la clase H.
4
‡Propiedades del nucleo reproductivo.
i) Unicidad. Si H tiene nucleo reproductivo entonces es unico.
‖Kt −K ′t‖2 = 〈Kt −K ′t, Kt −K ′t〉 = 0.
ii) Existencia. H posee n. r. K, si y solo si, para cada t ∈ T , la funcional f 7→ f(t) escontinua sobre todo el espacio de Hilbert H.
⇒ ] Sea t ∈ T y f ∈ H,
|f(t)| = |〈f(·), K(·, t)〉|≤ ‖f‖‖K(·, t)‖.
Pero‖K(·, t)‖ = 〈K(·, t), K(·, t)〉
12 = K(t, t)
12 .
De modo que|f(t)| ≤ K(t, t)
12‖f‖,
lo cual implica que f 7→ f(t) es continua.
⇐ ] Si f 7→ f(t) es continua, entonces segun el teorema de representacion de Riesz,existe K(·, t) ∈ H tal que
f(t) = 〈f(·), K(·, t)〉,
por tanto, este es el nucleo buscado.
Ejemplo 4. Los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.El espacio Lp([0, 1],B([0, 1]), λ), p ≥ 1, (donde B([0, 1]) es la σ-algebra de Borel sobre
[0, 1] y λ es la medida de Lebesgue en este intervalo) no tiene nucleo reproductivo.En efecto, si definimos la funcion δ0(x) = δ0x entonces
i) ‖δ0‖p = 0, y ademas
ii) 1 = |δ0(0)|p ≥ 0 = M‖δ0‖p, para toda M > 0.
Podemos concluir que, en general, los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.
Ejemplo 5. Sea D ⊆ C abierto. Sea H2D la clase de todas las funciones f : D → C
armonicas tales que ∫ ∫D
|f(z)|2 dx dy <∞, (z = x+ iy).
El espacio H2D, con producto
〈f, g〉 =
∫ ∫D
f(z)g(z)dxdy, z = x+ iy,
es un subespacio cerrado de L2D con nucleo reproductivo.
5
|f(z0)| ≤ 1
(πr)2
∫ ∫Dz0 (r)
|f(z)|dxdy
=1
(πr)2‖f‖(πr2)
12
=1
π3/2r‖f‖,
La funcional f 7→ f(z0) es entonces acotada y por ello continua, luego, existe el nucleo Kpara H2
D.
Ejemplo 6. Sea D la bola abierta unitaria sobre C. Consideremos el espacio H de todaslas funciones complejas analıticas sobre D y cuadrado integrables. En H el producto interiorqueda definido con la expresion habitual
〈f, g〉 =
∫ ∫D
f(z)g(z)dxdy, z = x+ iy.
Entonces H es un subespacio cerrado de L2D. En efecto, sea fn∞n=1 una sucesion en
H convergente a una funcion f ∈ L2D, y z0 un elemento en D, entonces existe un numero
r > 0 tal que el disco Dr(z0) = z : |z0 − z| ≤ r ⊂ D, y por hipotesis toda funcion en H estambien armonica, luego para toda n,m naturales,
|fn(z0)− fm(z0)| ≤ 1
(πr)2
∫ ∫Dr(z0)
|fn(z)− fm(z)|dxdy
≤ 1
(πr)2
∫ ∫D
|fn(z)− fm(z)|dxdy
aplicando la desigualdad de Cauchy, tenemos
|fn(z0)− fm(z0)| ≤ 1
rπ3/2‖fn − fm‖,
luego, fn(z0)∞n=1 converge a un numero g(z0). La funcion g definida en D por g(z) =lim fn(z) es analıtica (por ser lımite de funciones analıticas), entonces g = f casi segura-mente, con lo cual H es cerrado.
Esta clase tiene nucleo reproductivo. En efecto, para z ∈ D y f ∈ H puede probarse demanera analoga al ejemplo anterior que
|f(z)| ≤ 1
rπ3/2‖f‖,
donde r solo depende de z, entonces la funcional f 7→ f(z) es continua, luego H posee nucleoreproductivo.
Teorema 1. Si la clase H posee nucleo reproductivo, y H1 es un subespacio cerrado de H,entonces H1 tambien posee nucleo reproductivo.
6
Observacion 2. Los ultimos ejemplos muestran que el recıproco del teorema anterior esfalso.
Ejemplo 7. Sea D como en el ejemplo anterior. Definimos ahora la clase H de funcionescomplejas f sobre D analıticas tales que
limr→1
1
2π
∫ π
−π|f(reiθ)|2dθ
existe y es finito. Entonces la expresion
〈f, g〉 = limr→1
1
2π
∫ π
−πf(reit)g(reit)dt
define un producto interior en H.Sea z en D, si f ∈ H entonces, por ser analıtica, f(z) tiene una representacion en serie
de potencias de la forma
f(z) =∞∑n=0
cn(z − 0)n =∞∑n=0
cnzn,
y si |z| ≤ r < 1, entonces
|f(z)|2 ≤∞∑n=0
|cn|2|z|2n ≤∞∑n=0
|cn|2r2n,
pero∞∑n=0
|cn|2r2n =1
2π
∫ π
−π|f(reiθ)|2dθ,
por tanto|f(z)| ≤ ‖f‖.
Luego la funcional f 7→ f(z) es continua para cada z ∈ D, entonces H posee nucleoreproductivo. Este espacio es conocido como el espacio H2 de Hardy.
Teorema 2. Sea H un espacio de Hilbert de funciones f : T → F con n. r. K, fnn≥1 unasucesion de Cauchy (respecto a la norma ‖ · ‖) en H y la funcion lımite f en H de dichasucesion. Entonces
i) La sucesion fnn≥1 converge puntualmente a f , es decir, si t ∈ T entonces
limn→∞
fn(t) = f(t).
ii) Si en algun subconjunto T1 de T , la funcion t 7→ K(t, t) es uniformemente acotada,entonces esta convergencia es uniforme.
7
Demostracion. i) Por hipotesis, ‖fn − f‖ → 0 si n→∞. Sea t ∈ T , entonces,
|f(t)− fn(t)| = |〈f − fn, Kt〉‖≤ ‖f − fn‖‖Kt‖= ‖f − fn‖(K(t, t))1/2.
De aquı se sigue la primera parte del teorema.ii) Ahora, si existe T1 ⊆ T tal que para alguna M > 0 se tiene que K(t, t) < M2, para
toda t ∈ T1, entonces
|f(t)− fn(t)| ≤ ‖f − fn‖(K(t, t))1/2
≤ ‖f − fn‖M,
para toda t ∈ T . Luego en T1 la convergencia es uniforme.
♠ Matrices Definidas Positivas ynucleos reproductivos
‡Caso finito.Sea T = t1, ..., tN. Una funcion K : T × T → F, determina una transformacion matricialpor la matriz K = [K(ti, tj)]i,j. Tomemos un vector ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξN) ∈ FN , si la formacuadratica
ξKξt =N∑
i,j=1
K(ti, tj)ξiξj,
es no negativa y es nula solo si ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., N , entonces decimos que lafuncion K es una matriz definida positiva.
‡Caso general.Para cualquier conjunto T , la funcion K : T × T → F se denomina matriz definida positiva,si para cualquier numero finito de elementos t1, t2,...,tn de T , la forma cuadratica
n∑i,j=1
K(ti, tj)ξiξj,
con ξj ∈ F, j = 1, 2, ..., n, es no negativa, y es nula solo si ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., n.
‡Un nucleo reproductivo es una matriz definida positiva.
0 ≤ ‖n∑j=1
Ktjξj‖2 =n∑
i,j=1
K(ti, tj)ξiξj.
8
Ejemplo 8. Sea F una σ-algebra sobre R (por ejemplo la σ-algebra de Borel BR) y sea µ
una medida positiva finita sobre F (por ejemplo la medida gaussiana µ(A) = 1√2π
∫Ae−
x2
2 dx,
A ∈ BR). Sea k : R→ C la funcion con regla
k(s) =
∫Reisrdµ(r),
para todo numero real s. Entonces
i) k es continua y acotada en R,
ii) k(s) = k(−s) para toda s ∈ R.
En efecto, si s es un numero real tenemos que
|k(s)| ≤∫R|eist|dµ(t) ≤ µ(R) < +∞.
Ahora bien, la continuidad se sigue de lo anterior y del teorema de convergencia dominadade Lesbegue. La segunda parte es inmediata.
Por otro lado, definimos la funcion K : R2 → C con la regla
K(s, t) = k(s− t) = k(t− s),
para todo par de numeros reales s, t. De modo que si s1, ..., sN ⊂ R y ξi, ..., ξN ⊂ Centonces,
N∑n,m=1
K(sn, sm)ξnξm =
∫R
N∑n,m=1
ξnξmei(sm−sn)rdµ(r)
=
∫R
N∑n,m=1
ξmeismr · ξne−isnrdµ(r)
=
∫R
N∑n,m=1
ξmeismr · ξneisnrdµ(r)
=
∫R|N∑n=1
ξneisnr|2dµ(r) ≥ 0,
luego K es una matriz positiva sobre R.Introducimos ahora la clase H de funciones f : R→ C de la forma
f(s) =
∫Re−isrφ(r)dµ(r),
para toda t ∈ R, donde φ : R → C es continua, acotada sobre R y tal que∫R |φ(r)|2dµ(r) <
+∞. Notamos que las funciones de H son tambien continuas y acotadas. Si f(s) =
9∫R e−isrφ(r)dµ(r) y g(s) =
∫R e−isrψ(r)dµ(r), s ∈ R, son funciones en H, entonces la ex-
presion
〈f, g〉 =
∫Rφ(r)ψ(r)dµ(r),
define un producto interior en H, y la norma inducida es completa.Ahora, de la definicion de K, tenemos que para cualquier par de numeros reales s, t,
K(s, t) = k(t− s) =
∫Rei(t−s)rdµ(r)
=
∫Re−isrφt(r)dµ(r),
donde φt(r) = eitr. Esto prueba que Kt es una funcion en H. Ademas, de esta expresionpara K es inmediata la propiedad reproductiva.
‡Construccion de nucleos reproductivos a partir de matrices definidas positivas.
Consideremos la matriz definida positiva
K =
(2 11 3
).
Definimos T = 1, 2, y K : T × T → R tal que
K(s, t) =
2 si s = 1 = t,
1 si s 6= t,
3 si s = 2 = t.
EntoncesK =
[K(s, t)
]s,t∈T .
De modo que K es una matriz definida positiva.Introducimos:
1. La clase H0 de funciones f : T → R,
f(s) = α1K(s, 1) + α2K(s, 2), αi ∈ R.
2. El producto
〈f, g〉0 =(β1 β2
)(2 11 3
)(α1
α2
)=
2∑s,t=1
K(t, s)αsβt.
10
3. La norma
‖f‖20 =
(α1 α2
)(2 11 3
)(α1
α2
).
Entonces
•) K es el nucleo reproductivo de H0.
(a) K(s, t) = δ1tK(s, 1) + δ2tK(s, 2) ∈ H0
(b) (Propiedad reproductiva)
〈f,Kt〉0 =(δ1t δ2t
)(2 11 3
)(α1
α2
)= δ1t
(α1K(1, 1) + α2K(1, 2)
)+
δ2t
(α1K(2, 1) + α2K(2, 2)
)= f(t)
• •) Si fnn≥1 sucesion de Cauchy enH0 entonces fn(t)n≥1, t ∈ T , es sucesion de Cauchyen R.
|fn(t)− fm(t)| = |〈fn − fm, Kt〉0|≤ ‖fn − fm‖0Mt.
Definimos f(t) = limn→∞
fn(t).
Introducimos ahora la clase H de funciones lımite (puntual) de sucesiones de Cauchy enH0.
Entonces H0 ⊂ H.Ademas
1. 〈f, g〉 = limn→∞〈fn, gn〉0 y ‖f‖ = lim
n→∞‖fn‖0,
definen un producto interior y una norma sobre H.
Si fn(t)→ f(t) y f ′n(t)→ f(t), entonces
|〈fn, gn〉0 − 〈f ′n, gn〉0| ≤ ‖fn − f ′n‖0M,
por lo tantolimn→∞〈fn, gn〉0 = lim
n→∞〈f ′n, gn〉0
2. La clase H es un espacio de Hilbert y K es el nucleo reproductivo de H.
〈f,Kt〉 = limn→∞〈fn, Kt〉0
= limn→∞
fn(t)
= f(t).
El espacio H es denotado por H(K) y llamado espacio de Hilbert generado por el nucleoK.
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Teorema 3. A toda matriz positiva K : T×T → F corresponde una unica clase de funcionescon una unica norma determinada, formando un espacio de Hilbert y admitiendo a K comosu nucleo reproductivo. Esta clase es denotada por H(K), y es llamada el espacio de Hilbertcon n. r. K generado por la matriz positiva K.
Demostracion. Sea K : T × T → F una matriz positiva, consideremos la clase H0 defunciones, f : T → F, definidas por la representacion unica
f(s) =∑j∈J
αjK(s, tj), s ∈ T, (1)
con J subconjunto de ındices finito, αj ∈ F, tj ∈ T , j ∈ J .Si f ∈ H0, sobre esta clase podemos introducir una norma
‖f‖20 =
∥∥∥∥∥∑j∈J
αjKtj
∥∥∥∥∥2
0
=∑i,j∈J
K(ti, tj)αiαj.
Si f ∈ H0 y g ∈ H0, el producto interior tiene la forma
〈f, g〉0 = 〈∑j∈J
αjKtj ,∑i∈I
α∗iKt∗i〉0
=∑j∈J
∑i∈I
K(t∗i , tj)αjα∗i .
Es muy sencillo verificar que las anteriores expresiones definen, respectivamente, unanorma y un producto interior.
Ahora, sea f ∈ H0, entonces, si t ∈ T , se tiene,
〈f,Kt〉0 = 〈∑j∈J
αjKtj , Kt〉0
=∑j∈J
αj〈Ktj , Kt〉0
=∑j∈J
αjK(t, tj)
= f(t).
Entonces K es el nucleo reproductivo para la clase H0. Sin embargo H0 no es todavıa unespacio de Hilbert. Si consideramos una sucesion de Cauchy fnn≥1 en H0, y un elementot ∈ T , se tiene,
|fn(t)− fm(t)| = |〈fn − fm, Kt〉0| ≤ ‖fn − fm‖0‖Kt‖0.
de donde se sigue que la sucesion de numeros complejos fn(t)n≥1 es de Cauchy, por ello esconvergente. Podemos definir una funcion f : T → C tal que fn(t)→ f(t), para toda t ∈ T .Consideremos de esta manera la clase H(K) de funciones lımite de sucesiones de Cauchy enH0. Por tanto si f, g ∈ H entonces existen fnn≥1 y gnn≥1 sucesiones de Cauchy en H0
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convergentes a f y g en su respectivo caso, con lo cual, sobre esta clase H, definimos unproducto interno y una norma mediante las expresiones
〈f, g〉 = limn→∞〈fn, gn〉0 y ‖f‖2 = lim
n→∞‖fn‖2
0,
respectivamente. Tales expresiones no dependen de la elecion de la sucesiones de Cauchy, yque la clase H forma en efecto un espacio de Hilbert.
Por lo pronto, observamos que K es el nucleo reproductivo de la clase H(K). Si f ∈H(K), y fnn≥1 es una sucesion de Cauchy enH0 convergente (puntualmente) a f , entonces,
f(t) = limn→∞
fn(t)
= limn→∞〈fn, Kt〉0
= 〈f,Kt〉,
para cada t ∈ T .Ahora, si H es un espacio de Hilbert de funciones que admite a K como nucleo reproduc-
tivo, entonces H0 ⊂ H, pues los elementos de H0 son combinaciones lineales de las funcionesKt pertenecientes a H. Ahora, si ‖ · ‖1 y 〈·, ·〉1 definen la norma y el producto interno en H,y f ∈ H0 con representacion (??), entonces
‖f0‖21 = ‖
∑j∈J
αjKtj‖21
= 〈∑j∈J
αjKtj ,∑i∈J
αiKti〉1
=∑i,j∈J
K(ti, tj)αjαi
= ‖f0‖20.
Es decir, la restriccion a H0 de la norma ‖ · ‖ de H coincide con la norma ‖ · ‖0 de H0.Entonces la completacion funcional H(K) de H0 es tambien un subconjunto de H (pues lassucesiones de Cauchy en H0 lo son tambien en H, y H es completo).
Consideremos entonces una funcion f ∈ H(K). Por definicion existe una sucesion deCauchy fnn≥1 en H0 cuyo lımite es f . Tenemos,
0 ≤ |‖f‖1 − ‖fn‖0| = |‖f‖1 − ‖fn‖1| ≤ ‖f − fn‖1,
entonces, limn→∞
|‖f‖1 − ‖fn‖0| = 0, con lo cual,
limn→∞
‖fn‖0 = ‖f‖1 = ‖f‖.
Ello implica que la norma ‖ · ‖1 coincide con la norma ‖ · ‖ en H(K); y del mismo modo,puede probarse que 〈·, ·〉1 coincide con 〈·, ·〉 en H(K). Entonces H(K) es una subespacio deHilbert de H.
13
Por otra parte, si f ∈ H, entonces existe f ∗ = PH(K)(f) ∈ H(K) y f ′ ⊥ H(K), tal quef = f ∗ + f ′. Entonces
f(t) = 〈f,Kt〉1= 〈f ∗, Kt〉1 + 〈f ′, Kt〉1= 〈f ∗, Kt〉= f ∗(t),
para toda t ∈ T . Por tanto f ∈ H(K). Luego H(K) y H son el mismo espacio de Hilbert.
En la demostracion anterior es claro que la clase H0 es un subconjunto denso de H(K)(respecto la norma ‖ · ‖). En efecto, H0 ⊆ H(K) y en H0 la norma ‖ · ‖ coincide con ‖ · ‖,entonces toda f en H(K) es un lımite (en norma ‖ · ‖) de una sucesion de elementos en H0.
Ejemplo 9. Un caso particularmente simple es cuando T = 1, ..., n, y K : T × T → R esuna matriz difinida positiva de dimension finita n. En este caso es H(K) es sencillamenteel espacio euclıdeo de dimension n, y el producto interior puede expresarse de forma simplecomo el producto
〈x, y〉 = x′K y,
para todo x, y ∈ H(K).
Teorema 4. K es el nucleo reproductivo de la clase H, si y solo si, H es el mismo espacioque H(K).
♠ Suma de nucleos reproductivos
Sea K y R un par de nucleos reproductivos correspondientes a las clases H(K) y H(R),de funciones definidas en el mismo conjunto T , con normas ‖ · ‖K y ‖ · ‖R, respectivamente.La nueva matriz Q = K+R es claramente una matriz positiva. En este caso, Q correspondecomo nucleo reproductivo, a una clase de funciones H(Q). En primer termino, podemosapoyarnos en la consideracion intuitiva de que la clase H(Q) se compone de funciones
f = f1 + f2,
donde f1 ∈ H(K) y f2 ∈ H(R). Es decir, es natural suponer que si S es la clase de talesfunciones suma, entonces H(Q) = S.
Para probar esto, primero introducimos el espacio F de todos los pares (f1, f2). Con lasoperaciones de producto escalar y suma de vectores habitualmente considerada para paresordenados, F es un espacio lineal. Ademas la ecuacion
‖(f1, f2)‖2F = ‖f1‖2
K + ‖f2‖2R.
para todo par (f1, f2) determina una norma completa sobre F y un producto interior. Detal manera que F es un espacio de Hilbert.
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Es importante observar la forma explıcita del producto interno. Si 〈·, ·〉K y 〈·, ·〉R son losproductos internos respectivos de H(K) y H(R), entonces el producto interno en F tiene laforma
〈(f1, f2), (h1, h2)〉F = 〈f1, h1〉K + 〈f2, h2〉R,para (f1, f2) y (h1, h2) en F .
Sea S0 la clase de funciones f pertenecientes tanto a H(K) como a H(R) (S0 puedecontener solo la funcion nula), y sea F0 el conjunto de todas los pares (f,−f) para f ∈ S.
Lema 1. F0 es un subespacio lineal cerrado de F .
Demostracion. En efecto, si (fn,−fn)→ (f ′, f ′′), es decir,
‖(fn − f ′,−fn − f ′′)‖F → 0,
entonces,‖fn − f ′‖K → 0 y ‖ − fn − f ′′‖R → 0.
Esto es fn → f ′ en H(K) y −fn → f ′′ en H(R), lo cual significa que f ′′ = −f ′, y f ′ y f ′′
pertenecen a S0.La linealidad es inmediata
Para todo par (f1, f2) de F , existe una correspondiente funcion f = f1 + f2. Estacorrespondencia transforma linealmente el espacio F en una clase de funciones en S. Ahoraconsideremos el subespacio cerrado complementario F1 (tal que F = F0 ⊕F1).
Lema 2. La correspondecia G : F → S definida por G(f ′, f ′′) = f ′+ f ′′ transforma inyecti-vamente F1 en S.
Demostracion. Si el par (f1, f2) de F es tal que f1 + f2 = 0, entonces f2 = −f1, con locual (f1, f2) pertenece a F0.
Ası pues, si para (f1, f2) y (g1, g2) en F1 se tiene que f1 +f2 = g1 + g2, entonces f2− g2 =−(f1− g1), con lo cual (f1− g1, f2− g2) pertenece a F0, pero en realidad (f1, f2)− (g1, g2) =(f1 − g1, f2 − g2) es un elemento de F1 (por cerradura). Por ende (f1, f2) = (g1, g2).
Ahora, segun lo anterior, si consideramos la correspondencia inversa, toda funcion f deS es transformada en un par (g1(f), g2(f)) de F1. Podemos introducir una norma ‖ · ‖ en Sdefinida por
‖f‖2 = ‖(g1(f), g2(f))‖2F = ‖g1(f)‖2
K + ‖g2(f)‖2R. (2)
El producto interior 〈·, ·〉 en S tiene entonces la expresion
〈f, h〉 = 〈(g1(f), g2(f)), (g1(h), g2(h))〉F = 〈g1(f), g1(h)〉K + 〈g2(f), g2(h)〉R.
Bajo estas condiciones, S es un espacio de Hilbert.Ahora bien, es claro que Kt, para t ∈ T cualquiera, pertenece a S y (Kt, Rt) ∈ F . Para
toda t ∈ T definimos dos nuevas funciones K ′ y K ′′ determinadas por
K ′(·, t) = g1(K(·, t)) y K ′′(·, t) = g2(K(·, t)).
15
En tanto que para una funcion f ∈ S, definimos f ′ = g1(f), f ′′ = g2(f). Con lo cual,
f = f ′ + f ′′ y K ′(·, t) +K ′′(·, t) = K(·, t) = K(·, t) +R(·, t),
de donde,K ′′(·, t)−R(·, t) = −[K ′(·, t)−K(·, t)],
lo cual significa que(K(·, t)−K ′(·, t), R(·, t)−K ′′(·, t)) ∈ F0.
Bajo estas convenciones, enunciamos el siguiente resultado.
Teorema 5. Para la clase S con norma definida por la ecuacion (??), la funcion Q = K+Res el nucleo reproductivo. Es decir S y H(Q) son el mismo espacio de Hilbert.
Demostracion. Sea f ∈ S y t ∈ T , entonces,
f(t) = f ′(t) + f ′′(t)
= 〈f ′(·), K(·, t)〉K + 〈f ′′(·), R(·, t)〉R= 〈(f ′, f ′′), (K(·, t), R(·, t))〉= 〈(f ′, f ′′), (K ′(·, t), K ′′(·, t))〉
+〈(f ′, f ′′), (K(·, t)−K ′(·, t), R(·, t)−K ′′(·, t))〉.
El ultimo producto escalar es igual a cero, pues el elemento (f ′, f ′′) ∈ F1 y el elemento(K(·, t) − K ′(·, t), R(·, t) − K ′′(·, t)) ∈ F0. Mientras que el primer producto escalar es, pordefinicion, igual a 〈f(·), K(·, t)〉, lo cual prueba la propiedad reproductiva del nucleo K.
En la caracterizacion de la clase S, podemos proceder sin introducir el espacio auxiliarF . Consideremos f ∈ S y todas las posibles descomposiciones f = f1 + f2. Definimos
‖f‖2 = minf1,f2:f=f1+f2
[‖f1‖2K + ‖f2‖2
R]
Esta definicion para la norma en S es equivalente a la anterior, pues basta observar que f en Scorresponde al elemento (f1, f2) ∈ F y recıprocamente, f corresponde a (g1(f), g2(f)) ∈ F1,con lo cual f = f1 + f2 = g1(f) + g2(f). De ahı que
f2 − g2(f) = −[f1 − g1(f)],
entonces (f1 − g1(f), f2 − g2(f)) ∈ F0. Luego, por ortogonalidad,
‖f1‖2K + ‖f2‖2
R = ‖(f1, f2)‖2 = ‖(g1(f), g2(f))‖2 + ‖(f1 − g1(f), f2 − g2(f))‖2,
y esta expresion es mınima si y solo si f1 = g1(f), f2 = g2(f). De donde
minf1,f2:f=f1+f2
[‖f1‖2K + ‖f2‖2
R] = ‖(g1(f), g2(f))‖2,
y por la definion previa es igual a ‖f‖2.Finalmente, segun esta observacion, el ultimo teorema puede ser tambien enunciado de
la manera siguiente.
16
Teorema 6. Si K y R son los nucleos reproductivos para las clases H(K) y H(R), repecti-vamente, entonces Q = K +R es el nucleo reproductivo de la clase S de todas las funcionesf = f1 + f2 con f1 ∈ H(K) y f2 ∈ H(R), y con norma definida por
‖f‖2 = minf1,f2:f=f1+f2
‖f1‖2K + ‖f2‖2
R.
Un caso particularmente simple se presenta cuando las clases H(K) y H(R) no tienenfunciones distintas de cero en comun. La norma en S esta dada simplemente por ‖f‖2 =‖f1‖2 + ‖f2‖2, pues toda funcion f tendra representacion unica.
La enunciacion de este ultimo teorema facilita la generalizacion al caso donde Q =∑nt=1Kt. Aquı, las funciones f =
∑nt=1 ft, con ft ∈ Ft, t = 1, ..., n forman una clase S
cuya norma esta definida por
‖f‖ = minf1,...,fn:f=
∑ni=1 fi
n∑i=1
‖fi‖2i ,
y donde K corresponde como nucleo reproductivo.
Observacion 3. Sea S una clase de funciones definidas en un conjunto T con norma ‖ · ‖y producto interior 〈·, ·〉, supongamos que S tiene por nucleo reproductivo la matriz K. Si αes una constante real positiva, entonces la matriz positiva K = αK corresponde como nucleoreproductivo a la misma clase S pero con norma y producto interior definidos mediante lasexpresiones
‖f‖2K =
1
α‖f‖2 y 〈f, g〉K =
1
α〈f, g〉
para f y g en S. En efecto, para f ∈ S y y ∈ T , se verifica
f(y) = 〈f(·), K(·, y)〉 =1
α〈f(·), αK(·, y)〉 = 〈f(·), K(·, y)〉K .
Siendo ademas evidente que K(·, y) = αK(·, y) ∈ F .
♠ Diferencia de nucleos reproductivos
Para dos matrices positivas, K1 y K, definimos la relacion
K1 ≤ K
si K −K1 es tambien una matriz positiva.
Proposicion 1. La relacion ≤ establece un orden parcial en la clase que reune todas lasmatrices positivas.
Demostracion. En efecto, si K1 ≤ K2 ≤ K3 entonces, claramente, K1 ≤ K3. Por otraparte, si K1 ≤ K2 y K2 ≤ K1 entonces K1 = K2.
Teorema 7. Si K y K1 son nucleos reproductivos de las clases F y F1 respectivamente, conlas normas ‖ · ‖, ‖ · ‖1, y si K1 ≤ K, entonces F1 ⊂ F , y ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para toda f1 ∈ F1.
17
Demostracion. Si K1 ≤ K significa que K2 = K − K1 es una matriz positiva. Seaentonces la clase de funciones F2, con norma ‖ · ‖2, correspondiente al nucleo K2. ComoK = K1 + K2 sabemos que F es la clase de todas las funciones de la forma f1 + f2 conf1 ∈ F1 y f2 ∈ F2. En particular, cuando f2 = 0, la clase F contiene todas las funcionesf1 ∈ F1, y ası F1 ⊂ F . Por otra parte, en F tenemos,
‖f1‖2 = min [‖f ′1‖21 + ‖f ′2‖2
2]
para todas las descomposiciones f1 = f ′1 + f ′2, con f ′1 ∈ F1 y f ′2 ∈ F2. En particular, de ladescomposicion f1 = f1 + 0, obtenemos
‖f1‖2 ≤ ‖f1‖21
lo cual completa la prueba.
Teorema 8. Si F y F1 son dos espacios de Hilbert de funciones tal que F1 ⊂ F , entoncesexiste un unico operador L : F → F1 lineal, simetrico y positivo, tal que
〈f1, f〉 = 〈f1, Lf〉1,
para toda funcion f1 ∈ F1 y f ∈ F . Si ademas ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1, entonces eloperador L es acotado con una cota no mayor a 1.
Demostracion. Para f ∈ F , la transformacion Gf sobre F1 definida por la regla Gf (f1) =〈f1, f〉, para toda f1 ∈ F1, es lineal y continua, entonces, segun el teorema de representacionde Riez, existe una unica funcion en F1, la cual llamaremos Lf (es decir, depende tambiende f), tal que
Gf (f1) = 〈f1, f〉 = 〈f1, Lf〉1,para toda f1 ∈ F1. De tal forma que el operador L : F → F1 existe y es unico. Ademas, sif y g pertenecen a F , entonces, para toda f1 en F1,
〈f1, L(f + g)〉1 = 〈f1, f + g〉= 〈f1, f〉+ 〈f1, g〉= 〈f1, Lf〉1 + 〈f1, Lg〉1= 〈f1, Lf + Lg〉1.
Se sigue L(f + g) = Lf + Lg, luego L es lineal. Por otra parte, para todo par de funcionesf , g de F ,
〈Lf, g〉 = 〈Lf, Lg〉1 = 〈Lg, Lf〉1 = 〈Lg, f〉 = 〈f, Lg〉.L es entonces un operador lineal simetrico.
Es tambien positivo porque 〈Lf, f〉 = 〈Lf, Lf〉1 ≥ 0.Si ademas ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1, L es acotado, con cota no mayor a 1, porque
〈Lf, f〉 = 〈Lf, Lf〉1 = ‖Lf‖21 ≥ ‖Lf‖2. De ahı, ‖Lf‖2 ≤ 〈Lf, f〉 ≤ ‖Lf‖ · ‖f‖, y con ello
‖Lf‖ ≤ ‖f‖.
El operador L es conocido como el operador dominante.
18
Corolario 1. Si F y F1 son dos espacios de Hilbert de funciones tal que F1 ⊂ F , y si K yK1 son sus respectivos nucleos reproductivos, entonces K1 ≤ K.
Demostracion. Sea L : F → F1 el operador dominante. Se tiene entonces que L′2 = I−L,I operador identidad (usamos L′2 por razones que se veran un poco mas adelante), es tambienun operador lineal positivo y simetrico. Ahora bien, L transforma K(·, z) en K1(·, z), paratoda z ∈ E. En efecto, dado que Lf ∈ F1, entonces, para toda y ∈ E,
Lf(y) = 〈(Lf)(·), K1(·, y)〉1= 〈K1(·, y), (Lf)(·)〉1= 〈K1(·, y), f(·)〉= 〈f(·), K1(·, y)〉.
Por lo tanto, para toda z ∈ E,
LK(y, z) = 〈K(·, z), K1(·, y)〉, (3)
luego, segun la propiedad reproductiva,
LK(y, z) = K1(z, y) = K1(y, z).
Sea pues R = K − K1. Sea n ∈ N y tomemos ξi, ..., ξn numeros complejos y yi, ..., ynelementos en E. Segun la ecuacion (??) y la propiedad reproductiva de K tenemos que
n∑i,j=1
ξiξjR(yi, yj) =n∑
i,j=1
ξiξj[K(yi, yj)−K1(yi, yj)]
=n∑
i,j=1
ξiξj[K(yi, yj)− LK(yi, yj)]
=n∑
i,j=1
ξiξj〈K(·, yj)− LK(·, yj), K(·, yi)〉
=n∑
i,j=1
ξiξj〈L′K(·, yj), K(·, yi)〉
= 〈L′f, f〉≥ 0,
donde f(·) =∑n
i=1 ξiK(·, i). Luego, R es una matriz positiva.
Mas aun, tenemos el resultado recıproco al ultimo teorema.
Teorema 9. Si K es el nucleo reproductivo de la clase F y L : F → F es un operador linealsimetrico y positivo, entonces existe una clase F1 de funciones con nucleo reproductivo talque F1 ⊂ F .
19
Demostracion. Definimos K1(x, y) = LK(x, y) = 〈LK(·, y), K(·, x)〉, para todo x, y ∈ E.Entonces resulta sencillo probar que K1 es tambien una matriz positiva (a partir de que Les un operador positivo), de forma analoga a la demostracion del ultimo corolario. Ahorabien, es claro que la clase F1 = H(K1) (cuyo nucleo es K1) es un subconjunto de F , a partirde que K1(·, y) = LK(·, y) ∈ F , para toda y ∈ E.
El recıproco del Teorema ?? tambien es verdadero. Antes de enunciarlo probaremos otrosresultados utiles.
Lema 3. Si K es el nucleo reproductivo de la clase F con norma ‖ · ‖, y si la clase linealF1 ⊂ F forma un espacio de Hilbert (o tan solo un subespacio lineal cerrado) con norma‖ · ‖1, tal que ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1, entonces existe K1 n.r. de F1
Demostracion. La existencia de un nucleo para F implica que para toda y ∈ E existenconstantes positivas My tales que |f(y)| ≤ My‖f‖ para toda f ∈ F . En particular, paraf1 ∈ F1 ⊂ F , y y ∈ E1,
|f1(y)| ≤My‖f1‖ ≤My‖f1‖1
lo cual implica la existencia de un nucleo K1 de F1.
Consideremos ahora el operador I − L, donde I el operador identidad y L el operadordominante. Este operador hereda las propiedades de L. Por tanto existe un operador raızcuadrada L′ para este operador simetrico y acotado tal que
L′2
= I − L
Definimos F2 como la clase de todas las funciones f2 = L′f para f ∈ F . Denotamos F0 elsubespacio cerrado de F transformado por L′ en 0, y por F ′ el espacio complementario (estoes F = F ′ ⊕ F0). Tenemos que f ∈ F0, si y solo si f = Lf . En efecto, una funcion f0 ∈ F0
si y solo si L′f = 0, o tambien L′2f = 0, es decir f − Lf = 0, lo cual es equivalente a queLf = f . Ademas, si L′2f = 0, entonces se sigue que 〈L′2f, f〉 = 〈L′f, L′f〉 = ‖L′f‖2 = 0.
Lema 4. El operador L′ transforma F ′ uno-a-uno sobre F2. Ademas F2 ⊂ F1.
Demostracion. Si f ′ y g′ pertenecen a F ′ y son tales que L′f ′ = L′g′, entonces L′(f ′−g′) =0, lo cual significa que f ′−g′ pertenece a F0. Pero en realidad f ′−g′ pertenece a F ′, y comoF ′ y F0 son complementarios, f ′ − g′ = 0, es decir, f ′ = g′.
Por otro lado, para f0 ∈ F0, se verifica
〈f0, L′f〉 = 〈L′f0, f〉 = 〈0, f〉 = 0,
entonces L′f ′ pertenece a F ′. Consecuentemente F2 ⊂ F ′.
Ahora consideremos el operador proyeccion P ′ de F sobre F ′.
Lema 5. Si para f y g en F , se tiene que L′f = L′g entonces P ′f = P ′g.
20
Demostracion. Si para f, g ∈ F , L′f = L′g entonces f − Lf = g − Lg, de dondef − g = Lf −Lg = L(f − g), esto significa que f − g esta en F0 (o de manera equivalente, fy g difieren por una funcion perteneciente a F0). Por ello, tienen la misma proyeccion sobreF ′.
Lema 6. La expresion ‖f2‖2 = ‖P ′f ′1‖ para f2 = L′f ′, donde ‖ · ‖ es la norma de la claseF , define una norma sobre la clase F2. Con esta norma F2 es un espacio de Hilbert.
Lema 7. La matriz K2 = K − K1 es positiva, pues la clase F2 admite a K2 como nucleoreproductivo.
Demostracion. En primer lugar, L transforma K(·, z) en K1(·, z), para toda z ∈ E. Enefecto, dado que Lf ∈ F1, entonces, para toda y ∈ E,
Lf(y) = 〈(Lf)(·), K1(·, y)〉1= 〈K1(·, y), (Lf)(·)〉1= 〈K1(·, y), f(·)〉1= 〈f(·), K1(·, y)〉.
Por lo tanto, para toda z ∈ E,
LK(y, z) = 〈K(·, z), K1(·, y)〉= K1(z, y)
= K1(y, z).
Se sigue entonces que
L′L′K(y, z) = L′2K(y, z) = K(y, z)−K1(y, z),
por tanto K2(·, z) = K(·, z)−K1(·, z) ∈ F2, para toda z ∈ E.Ahora bien, sea f2 ∈ F2 (f2 = L′f) y y ∈ E, se tiene,
f2(y) = 〈f2(·), K(·, y)〉= 〈(L′f)(·), K(·, y)〉= 〈f(·), L′K(·, y)〉= 〈P ′f(·), P ′L′K(·, y)〉= 〈L′f, L′L′K(·, y)〉2= 〈f2(·), K2(·, y)〉2.
Por tanto K2 es el nucleo reproductivo de la clase F2. Se sigue que K2 es una matriz positiva.
Finalmente, exponemos el resultado principal.
21
Teorema 10. Si K es el nucleo reproductivo de la clase F con norma ‖ · ‖, y si la claselineal F1 ⊂ F es un espacio de Hilbert con norma ‖ · ‖1, tal que ‖f1‖1 ≥ ‖f1‖ para f1 ∈ F1,entonces la clase F1 posee un nucleo reproductivo K1 el cual satisface satisface K1 ≤ K.
Demostracion. El Lema ?? demuestra que F1 posee el nucleo reproductivo K1. Sabemosque la matriz K −K1 es positiva (segun el Lema ??), entonces K1 ≤ K.
Si f2 = L′f , f ∈ F , entonces considerando la descomposicion ortogonal f = f ′ + f0,tenemos que f2 = L′f = L′f ′, por consiguiente las proyecciones P ′f ′ y P ′f sobre F ′ soniguales, y dado que f ′ ∈ F , se sigue que f ′ = P ′f = P ′f ′, de ahı que la norma en F2 puedeescribirse tambien como
‖f2‖2 = ‖P ′f‖ = ‖f ′‖,
para f2 ∈ F2 y f ′ ∈ F ′ tal que f2 = L′f ′. El teorema siguiente se sigue del anterior resultado.
Teorema 11. Sea K el n.r. de la clase F . A toda descomposicion K = K1 + K2 en dosmatrices positivas K1 y K2, corresponde una descomposicion del operador identidad I en Fen dos operadores positivos L1 y L2, I = L1 + L2, dados por
L1f(y) = 〈f(·), K1(·, y)〉, L2f(y) = 〈f(·), K2(·, y)〉,
tal que si L1/21 y L
1/22 denota cualquier raız cuadrada simetrica cuadrada de L1 y L2, las clase
F1 y F2 de todas las transformaciones L1/21 f y L
1/22 f respectivamente, f ∈ F , corresponde a
los nucleos K1 y K2. Si Fi0, i = 1, 2 es la clase de todas las funciones f ∈ F con Lif = 0,y si F ′′i = F Fi0, entonces L
1/2i establece una correspondencia uno-a-uno entre F ′′i y Fi, y
la norma ‖ · ‖i en Fi esta dada por ‖L1/2i f‖i = ‖f‖ para toda f ∈ F ′′i .
Inversamente, a cada descomposicion I = L1+L2 en dos operadores positivos correspondela clase Fi con normas ‖ · ‖i definidas de la manera anterior. La correspondencia de n.r.’sKi esta definida por Ki(·, y) = LiK(·, y) y satisface la ecuacion K = K1 +K2.
♠ Corolario importante para la Teorıa de las probabilidades
Sea K y R dos matrices tales que H(K) ⊂ H(R). Entonces
i) ‖g‖R ≤ ‖g‖K, ∀ g ∈ H(K),
ii) Existe un unico operador L : H(R) → H(K), lineal, positivo, simetrico y acotado(continuo), tal que
〈f, g〉R = 〈Lf, g〉K , ∀ f ∈ H(R) ∀ g ∈ H(K).
En particularLRt = Kt ∀ t ∈ T.
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♠ Elementos de probabilidad y espacios de Hilbert
Definicion 2. Sea (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad y (Ω′,F ′) un espacio de medida.Una funcion ξ : Ω→ Ω′ es un elemento aleatorio en (Ω′,F ′) sobre (Ω,F ,P) si
ξ−1(A) ∈ F ,
para todo A ∈ F ′.En particular, cuando Ω′ = R y F ′ = B(R), σ-algebra de Borel en R, entonces todo ele-
mento aleatorio ξ : Ω→ R es mejor llamado variable aleatoria, reservandose la notacioncon letras mayusculas: X, Y, Z, etc.
Si ademas T es un subconjunto no vacıo, entonces un proceso estocastico es unasucesion de variables aleatorias indexadas a T , esto es, la familia Xt : t ∈ T donde Xt esvariable aleatoria, para todo t ∈ T . Aquı, cuando no se presta a confuion usamos la notacionX = Xt : t ∈ T.
Si X es un proceso estocastico, y ω ∈ Ω, entonces la funcion X·(ω) : T → R es llamadatrayectoria del proceso X en ω.
Definicion 3. Sea T un subconjunto y supongamos que H es un espacio de Hilbert defunciones h : T → R. Sea H la clase de funciones reales definidas en H. La σ-algebragenerada por la familia que reune los subconjuntos en H de la forma C(F,B) := h ∈ H :F (h) ∈ B, F ∈ H y B ∈ B(R), es conocida como σ-algebra cilındrica sobre H y denotadapor C(H).
Proposicion 2. Toda funcion F ∈ H es medible respecto a C(H).
Proposicion 3. Si ξ : Ω→ H es una funcion, entonces ξ es un elemento aleatorio si y solosi F ξ : Ω→ R es variable aleatoria para toda funcion F : H → R.
Demostracion. Basta notar que F−1(B) = C(F,B) y que (F ξ)−1(B) = ξ−1(F−1(B)),para B ∈ B(R).
Corolario 2. Sea ξ : Ω → H una funcion. Entonces ξ es elemento aleatorio sobre H si ysolo si Xh := 〈ξ( · ), h〉 : Ω→ R es una variable aleatoria.
Demostracion. Sea h ∈ H. Definimos Fh como Fh(g) = 〈g, h〉. Entonces basta notarque
X−1h (B) = ω ∈ Ω : 〈ξ(ω), h〉 ∈ B = (Fh ξ)−1(B). (4)
Ejemplo 10. Sea D ⊂ Rn un subespacio cerrado (respecto a la metrica y producto puntousual) y sea E = 1, ..., n. Para cado vector x ∈ D podemos considerar una funcionx : E → R (manteniendo la notacion) tal que x(j) = xj (proyeccion j-esima del vectorx), para toda j ∈ E. Si H es la clase que reune todas estas funciones e introducimos elproducto punto habitual en Rn en esta clase, entonces H es un espacio de Hilbert (H puedeser identificado como D mismo). Entonces C(H) ⊂ B(D), donde B(D) = B(Rn) ∩D.
23
En general tenemos el siguiente resultado.
Proposicion 4. Si H es separable, entonces C(H) ⊆ B(H). (La σ-algebra B(H) esta gen-erada por la topologıa inducida por la metrica completa del espacio de Hilbert H).
Lema 8. Si ξ : Ω → H es un elemento aleatorio sobre C(H), entonces Pξ : C(H) → [0, 1],definida por Pξ(C) := P[ξ−1(C)], para cada C ∈ C(H), es una medida de probabilidad sobreel espacio (H, C(H)), y es conocida como medida de probabilidad inducida por ξ. Eneste caso, (H, C(H), Pξ) es el espacio de probabilidad inducido por ξ.
Ademas si F : H → R es una funcional tal que F−1(B) ∈ C(H) para cada B ∈ B(R),entonces ∫
Ω
F (ξ(ω)) dP =
∫HF (h) dPξ(h),
siempre que alguna de las dos integrales exista.
Definicion 4. Decimos que un elemento aleatorio ξ : Ω → H tiene p-esimo orden, p ∈(0,∞), si ∫
H|〈g, h〉|p dPξ(g) <∞,
para toda h ∈ H.
Observacion 4. Si ξ tiene p-esimo orden, entonces para toda h ∈ H,∫Ω
|〈ξ(ω), h〉|p dP(ω) <∞. (5)
En efecto, si definimos Fh : H → R por Fh(g) = 〈g, h〉, entonces
F−1h (B) = g ∈ H : 〈g, h〉 ∈ B = C(F,B) ∈ C(H),
para cada B ∈ B(R). Luego, (??) se sigue del lema y la definicion anteriores.
Teorema 12. Si ξ es un elemento aleatorio de orden p, y H es un espacio de Banach,entonces el operador Γξ : H∗ → Lp(Ω,F ,P), definido por Γξ(F ) = F ξ para toda F ∈ H∗,es lineal y continuo (Γξ es llamado algunas veces el operador inducido por ξ).
Corolario 3. Si ademas H es de Hilbert, entonces existe un operador Λξ : H → Lp(Ω,F ,P)tal que es lineal y continuo.
Demostracion. Sea Γξ como en el teorema anterior. Como H es de Hilbert entonceses reflexivo, i.e., existe un isomorfismo isometrico i entre H y H∗∗. Definimos entoncesΛξ := Tξ i : H → Lp(Ω,F ,P). Este operador es lineal y acotado (i.e. continuo).
Teorema 13 (Esperanza). Si ξ : Ω ∈ H es un elemento aleatorio de primer orden entoncesexiste un elemento Eξ ∈ H tal que∫
Ω
〈ξ(ω), h〉 dP(Ω) = 〈Eξ, h〉,
para toda h ∈ H.
24
Demostracion. Definimos la funcional
Gξ(h) =
∫Ω
〈ξ(ω), h〉 dP(ω),
para toda h ∈ H. Gξ es lineal. Ahora, observamos que
Gξ(h) =
∫Ω
Γξ(Fh)(ω) dP(ω),
entonces existe M > 0 tal que
|Gξ(h)| ≤ ‖Γξ(Fh)‖1 ≤M‖Fh‖∗ = M‖h‖,
pues Γξ : H → L1(Ω,F ,P) es acotado (continuo). Luego Gξ es acotada y por tanto continua.El resultado se sigue entonces de aplicar el teorema de representacion de Riesz.
Teorema 14. Hipotesis como en el teorema anterior. Si ξ tiene ademas segundo orden,entonces rξ : H×H → R, dada por
rξ(f, g) =
∫H〈h, f〉〈h, g〉 dPξ(h)−
∫H〈h, f〉 dPξ(h)
∫H〈h, g〉 dPξ(h),
define una forma bilineal continua. Y en tal caso existe un unico operador Θ : H → H talque para toda f y g en H,
〈Θf, g〉 = rξ(f, g).
♠ Algunos resultados mas sobre de probabilidad y espacios vectoriales
Definicion 5 (Medida de Radon). Sea X es un espacio topologico de Hausdorff. Una medidade Borel ν : B(X )→ R es una medida de Radon si
ν(B) = supν(K) : K es compacto ,
para cada B ∈ BX .
Teorema 15. Una medida de Borel de probabilidad sobre un espacio metrico completo X esuna medida de Radon, si y solo si existe un subconjunto separable Y ∈ BX tal que ν(Y ) = 1
Teorema 16. Sea H un espacio de Hilbert separable y ν una medida de probabiliad sobreC(H), entonces ν admite una unica extension a una medida de radon sobre B(H).
Definicion 6 (Orden de medida). Sea H es un espacio de Hilbert, p ∈ (0,∞) y ν es unamedida sobre C(H), entonces decimos que ν es de p-esimo orden (debil), si∫
H|〈h, g〉|dν(h) <∞,
para toda g ∈ H.
25
En general, si H es un espacio de Hilbert y ν es una medida de probabilidad se segundoorden sobre C(H), y si definimos
rν(f, g) =
∫H〈h, f〉〈h, g〉 dν(h)−
∫H〈h, f〉 dν(h)
∫H〈h, g〉 dν(h),
entonces rν define una forma bilineal, continua y simetrica. Y mas aun, existe un operadorΦν tal que
〈f,Φνg〉 = rν(f, g)
Φµ es llamado el operador covarianza de la medida ν.
Teorema 17. La clase de los operadores covarianza de las medidas de Radon de segundo or-den sobre un espacio de Hilbert H, es identica a la clase de los operadores lineales, simetricosy positivos O : H → H para los cuales O(H) es separable.
26
♠ Probabilidad y nucleos reproductivos
Ahora consideremos una matriz definida positiva R sobre T . Denotemos simplementecomo C la σ-algebra cilındrica C(H(R)).
Teorema 18. Si X = Xt : t ∈ T es un proceso estocastico cuyas trayectorias X·(ω),ω ∈ Ω, pertenecen a H(R). Entonces ξ : Ω → H(R), tal que ω 7→ ξ(ω) := X·(ω), define unelemento aleatorio en H(R), y ademas Xt(·) = 〈ξ(·), Rt〉 para todo ındice t ∈ T .
Inversamente, un elemento aleatorio en H(R), ξ : Ω → H(R), define un proceso es-tocastico X = Xt : t ∈ T, cuyas trayectorias pertencen a H(R).
Demostracion. Si las trayectorias del proceso X estan en H(R), y definimos ξ(ω) =X·(ω), entonces por la propiedad reproductiva
Xt(ω) = 〈ξ(ω), Rt〉,
para toda ω ∈ Ω y t ∈ T . Ahora, sea h ∈ H(R) de la forma
h =m∑k=1
αkRtk , (6)
con m ∈ N, αk ∈ R, y tk ∈ T , k = 1, ...,m. Luego, la funcion ω 7→ 〈ξ(ω), h〉 es variablealeatoria, dado que
〈ξ(ω), h〉 =m∑k=1
〈ξ(ω), Rtk〉 =m∑k=1
αkXtk(ω),
y el ultimo termino de estas igualdades es variable aleatoria (por ser combinacion lineal finitade variables aleatorias).
En general, si h ∈ H(R), entonces sabemos que existe una sucesion hnn∈N de funcionesen H(R) de la forma (??), tales que hn → h (respecto a la norma ‖ · ‖ inducida en H(R)),luego, por continuidad del producto interior,
limn→∞〈ξ(ω), hn〉 = 〈ξ(ω), h〉,
para toda ω ∈ Ω. Y dado que ω → 〈ξ(ω), hn〉 es variable aleatoria para toda n ∈ N, entoncesω 7→ 〈ξ(ω), h〉 es variable aleatoria. Por tanto ξ define un elemento aleatorio.
El sentido inverso, si ξ : Ω → H(R) es un elemento aleatorio, entonces para todo t ∈ TXt(ω) := 〈ξ(ω), Rt〉 es una variable aleatoria, y segun la propiedad reproductiva X·(ω) =(ξ(ω))(·) ∈ H(R), para todo ω ∈ Ω.
Teorema 19. Sea ξ : Ω→ H(R) un elemento aleatorio y X el proceso estocastico inducidopor ξ. Entonces
i) Si ξ es de perimer orden entonces X es de primer orden (esto es,∫
Ω|Xt|dP <∞, para
toda t ∈ T ), y
EXt : =
∫Ω
Xt(ω) dP(ω)
= 〈Eξ, Rt〉,
27
para cada t ∈ T . Mas aun, la funcion media µ : T → R, µ(t) := EXt, del proceso Xpertenece a H(R) y µ ≡ Eξ.
ii) Si ademas ξ es de segundo orden, entonces X es de segundo orden (esto es∫
Ω|Xt|2dP <
∞, para toda t ∈ T ). Y si Θ es el operador covarianza de ξ y K : T × T → R,K(s, t) := E(Xs − µ(s))(Xt − µ(t)), es la funcion covarianza del proceso X, entonces
K(s, t) = 〈ΘRs, Rt〉,
para todo s ∈ T y t ∈ T . Mas aun, H(K) ⊂ H(R) y Θ es el operador dominante.
Demostracion. i). Sea ξ un elemento aleatorio en H(R) de primer orden, y consideremosel proceso X = Xt : t ∈ T, tal que Xt = 〈ξ, Rt〉. Entoces existe un elemento Eξ ∈ H(R)tal que ∫
Ω
〈ξ(ω), h〉 dP(ω) = 〈Eξ, h〉,
para toda h ∈ H(R). En particular, si h = Rt, tenemos que∫Ω
|Xt(ω)| dP(ω) =
∫Ω
|〈ξ(ω), Rt〉| dP(ω) <∞.
Luego X es un proceso de primer orden.Ademas, para cada t ∈ T ,
µ(t) =
∫Ω
Xt(ω) dP(ω)
=
∫Ω
〈ξ(ω), Rt〉 dP(ω)
= 〈Eξ, Rt〉= (Eξ)(t),
luego µ ≡ Eξ.ii). Si ademas ξ es de segundo orden, entonces, de forma analoga∫
Ω
|Xt(ω)|2 dP(ω) =
∫Ω
|〈ξ(ω), Rt〉|2 dP(ω) <∞,
para toda t ∈ T . Por tanto X es de segundo orden.Ademas, si s, t ∈ T , entonces
K(s, t) =
∫Ω
Xs(ω)Xt(ω) dP(ω)−∫
Ω
Xs(ω) dP(ω)
∫Ω
Xt(ω) dP(ω)
=
∫Ω
〈ξ(ω), Rs〉〈ξ(ω), Rt〉 dP(ω)−∫
Ω
〈ξ(ω), Rs〉 dP(ω)
∫Ω
〈ξ(ω), Rt〉 dP(ω)
= rξ(Rs, Rt)
= 〈ΘRs, Rt〉,
luego, Θ es el operador dominante, y H(K) ⊂ H(R).
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♠ Mas sobre trayectorias estocasticas y nucleos reproductivos
Teorema 20 (Teorema de Driscoll). Sea X = Xt : t ∈ T un proceso estocastico desegundo orden, cuya funcion media es constante cero (i.e. µ ≡ 0) y cuyas trayectorias estanen H(R). Sea tambien ξ el elemento aleatorio en H(R) definido por X. Si H(K) ⊂ H(R),entonces ξ es de segundo orden, y en tal caso el operador covarianza de ξ es y el operadordominante son iguales.
Demostracion. De nueva cuenta, todos los productos interiores y normas utilizados enla demostracion siguiente seran en H(R), a menos que se indique lo contrario. Denotemospor L el operador dominante de H(R) sobre H(K). Sea h ∈ H(R), y sean f , y g funcionesen H(R) de la forma
f =k∑i=1
αiRti y g =k∑j=1
βjRtj , (7)
donde k ∈ N, tr ∈ T para r = 1, ..., k, y los coeficientes reales αi y βj pueden ser cero.Entonces
〈ξ, f〉 =k∑i=1
αi〈ξ, Rti〉 =k∑i=1
αiXti ,
y de igual modo
〈ξ, g〉 =k∑j=1
βjXtj .
Por tanto
E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 = E
[k∑i=1
αiXti
k∑j=1
βjXtj
]
=k∑i=1
k∑j=1
αiβjE[XtiXtj ]
=k∑i=1
k∑j=1
αiβjK(ti, tj),
pero K(ti, ·) = K(·, ti) = Kti ∈ H(R), luego, por la propiedad reproductiva,
K(ti, tj) = 〈Kti , Rtj〉,
de donde
E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 =k∑i=1
k∑j=1
αiβjK(ti, tj)
=
⟨k∑i=1
αtiKti ,k∑j=1
βjRtj ,
⟩
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pero tenemos que
Lf =k∑i=1
αiLRti
=k∑i=1
αiKti ,
por tanto,
E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 =
⟨k∑i=1
αtiKti ,
k∑j=1
βjRtj ,
⟩= 〈Lf, g〉.
En particular, si f ≡ g, entonces
E〈ξ, f〉2 = 〈Lf, f〉 <∞.
En general, si f ∈ H(R), entonces existe una sucesion fnn∈N de funciones en H(R) dela forma (??) tal que fn → f (respecto a la norma ‖ · ‖ de H(R)). Definimos las variablesaleatorias Yn = 〈ξ, fn〉, para cada n ∈ N, entonces
EY 2n = E〈ξ, fn〉2 = 〈Lfn, fn〉 <∞, (8)
luego Y = Yn : n ∈ N es un proceso de segundo orden. Ademas
EYnYm = 〈Lfn, fm〉,
para toda n, m ∈ N. Luego, por continuidad del operador L y del producto interior,
limn→∞
limm→∞
EYnYm = limm→∞
limn→∞
EYnYm = 〈Lf, f〉,
entonces
limn→∞
limm→∞
E(Yn − Ym)2 = limn→∞
limm→∞
(EY 2n − 2E[YnYm] + EY 2
m)
= 0.
Por lo tanto existe una variable Y de segundo orden tal que Yn → Y en media cuadrada,y por (??), EY 2 = 〈Lf, f〉. Luego existe una subsucesion Ynk
: k ∈ N tal que Ynk→ Y
casi seguramente.Por otra parte, si fn → f (en H(R)), entonces
|Yn(ω)− 〈ξ(ω), f〉| = |〈ξ(ω), fn〉 − 〈ξ(ω), f〉|≤ ‖ξ(ω)‖‖fn − f‖,
para todo ω ∈ Ω. Luegolimn→∞
|Yn(ω)− 〈ξ(ω), f〉| = 0,
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entonces Yn converge puntualmente sobre Ω a 〈ξ, f〉. En particular Ynk= 〈ξ, fnk
〉 → 〈ξ, f〉en Ω. Por tanto Y = 〈ξ, f〉 casi seguramente. Con lo cual
E〈ξ, f〉2 = 〈Lf, f〉 <∞. (9)
Esto prueba que ξ es de segundo orden, y entonces tiene operador covarianza Θ.Ahora bien, si f y g estan en H(R), entonces por la ley del paralelogramo
E[〈ξ, f〉+ 〈ξ, g〉]2 + E[〈ξ, f〉 − 〈ξ, g〉]2 − 2(E〈ξ, f〉2 + E〈ξ, g〉2
)= 0. (10)
Pero segun (??),
E[〈ξ, f〉+ 〈ξ, g〉]2 = E〈ξ, f + g〉2
= 〈L(f + g), f + g〉= 〈Lf, f〉+ 〈Lf, g〉+ 〈Lg, f〉+ 〈Lg, g〉= 2〈Lf, g〉+ 〈Lf, f〉+ 〈Lg, g〉, (11)
y por otro lado,
E[〈ξ, f〉 − 〈ξ, g〉]2 = E〈ξ, g〉2 − 2E〈ξ, f〉〈ξ, g〉+ E〈ξ, g〉2
= 〈Lf, f〉 − 2E〈ξ, f〉〈ξ, g〉+ 〈Lg, g〉, (12)
y finalmente−2(E〈ξ, f〉2 + E〈ξ, g〉2
)= −2 (〈Lf, f〉+ 〈Lg, g〉) . (13)
Sumando (??), (??) y (??), y comparando con (??), tenemos que
2〈Lf, g〉 − 2E〈ξ, f〉〈ξ, g〉 = 0,
de dondeE〈ξ, f〉〈ξ, g〉 = 〈Lf, g〉.
En particular,
K(s, t) = EXsXs
= E〈ξ, Rs〉〈ξ, Rt〉= 〈LRs, Rt〉,
pero si Θ es el operador covarianza de ξ,
〈ΘRs, Rt〉 = E〈ξ, Rs〉〈ξ, Rt〉 = 〈LRs, Rt〉
luego Θ ≡ L.
Teorema 21. Supogamos que H(K) ⊂ H(R) y H(K) es sparable. Entonces existe un procesoX de segundo orden con funcion covarianza K cuyas trayectorias estan H(R).
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Demostracion. Si H(K) ⊂ H(R), entonces existe L (operador dominante) continuo,simetrico y positivo de H(R) a H(K). Y como H(K) es separable, entonces el rango de Les tambien separable. Entonces L es el operador covarianza de una probabilidad de Radonde segundo orden µ sobre H(R).
En el nuevo espacio de probabilidad (H(R), CH, µ) consideramos el mapeo identidad ξ.Entonces ξ es un elemento aleatorio en H(R), cuya distribucion Pξ es µ. Luego, ξ es desegundo orden, por tanto existe Eξ ∈ H(R).
Si X es el proceso que define ξ, entonces las trayectorias de X tambien estan en H(R).Luego
E[Xt] = (Eξ)(t),
para toda t ∈ T . Y su covarianza es 〈LRs, Rt〉R. Pero
〈LRs, Rt〉R = 〈Ks, Rt〉R = K(s, t).