espacios vectoriales

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I. Problemas del Capítulo

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I.1. VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES.

CONCEPTO DE VECTOR COMO SEGMENTO ORIENTADO.

Estamos familiarizados con la idea intuitiva de vector como SEGMENTO

ORIENTADO, es decir un segmento con una orientación indicada por el orden en el

que aparecen los puntos A y B, de tal forma que el segmento puede orientarse en la

forma o bien como . Teniendo en cuenta esta consideración podemos decir queestos vectores son vectores fijos que tienen un origen y un extremo, y además tienen :

• un MÓDULO: El módulo de un vector fijo es la distancia de sus extremos.

• una DIRECCIÓN: viene dado por la recta sobre la cual está situado el vector,que tiene una pendiente fija.

• un SENTIDO: viene a indicar un sentido de la recta

Según esta primera idea podemos encontrar numerosos vectores fijos con estos treselementos idénticos. Así por ejemplo en la siguiente figura tenemos seis vectores

todos ellos con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/capitulo-1.htm

http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/ejercicios-1-1/ejercicios-1-1.html

http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/cuestiones-1/1-cuestiones-teoricas.html



http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/problema-1/problemas-1.html


http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/home.htm















CONCEPTO DE VECTOR COMO VECTOR LIBRE

Todos estos vectores anteriores podrían ser considerados como las diversas formas enque se presenta un mismo vector: vector al que llamaremos VECTOR LIBRE; ya quetiene únicamente fijos los parámetros del MODULO; la DIRECCIÓN y el SENTIDO

pero puede situar su origen en cualquier punto del plano. Esta relación que vincula aestos vectores se le suele llamar RELACION DE EQUIPOLENCIA, de tal forma que

podemos decir queDos vectores son EQUIPOLENTES si tienen el mismo módulo, la misma dirección y elmismo sentido.

De esta forma al conjunto de los vectores equipolentes con uno dado se le suele llamar

VECTOR LIBRE. En nuestro caso tenemos 5 vectores equipolentes con el vector ,todos ellos representan un solo vector libre con origen en diversos puntos del planoA,A1, A2, A3, A4, A5 y A6.

CONCEPTO DE VECTOR COMO N-TUPLA DE COMPONENTES.

Para representar un VECTOR LIBRE en un espacio dotado con un eje de coordenadas,suele ser habitual tomar como representante del vector libre al que tiene como origen elorigen de coordenadas. En nuestro ejemplo el vector que representaría a todos los de su

clase sería el vector



Este vector que tiene como origen (0,0), determina las COMPONENTES DELVECTOR.

Efectivamente, si proyectamos sobre el eje OX el extremo del vector (en este caso B)obtenemos la PRIMERA COMPONENTE DEL VECTOR"x"

Por otro lado si proyectamos sobre el eje OY el extremo obtendremos la SEGUNDACOMPONENTE del vector "y"

Así pues es claro que el vector se podría representar por sus componentes (x,y).Esta relación entre VECTOR y sus COMPONENTES es unívoca, de tal forma que asícomo antes hemos obtenido las componentes de un vector dado, también podemosobtener el vector una vez que tenemos sus componentes. Efectivamente, si queremosrepresentar un vector que tiene por componentes (x,y), bastará construir un



rectángulo que tiene de base "x" y altura "y" desde el origen. El vector que buscamosviene determinado por la diagonal del rectángulo que parte de (0,0)

En este caso el vector sería

Así pues las COMPONENTES de un vector determinan todos los elementos de un

vector libre, ya que

• Su MODULO se puede obtener sin más que aplicar el Teorema de Pitágoras:

• Su DIRECCION viene determinado por la recta que pasa por esos dos puntos.• Y el SENTIDO por la orientación O P del vector.

En consecuencia en adelante para referirnos a un VECTOR LIBRE

bastará con identificar sus COMPONENTES.¿COMO DIBUJAR VECTORES FIJOS EN DERIVE?.

En DERIVE podemos representar vectores de la siguiente forma:

Siempre tenemos que introducir en la ventana de ALGEBRA una expresión quecontiene el punto origen y el punto extremo separados por comas y entre corchetes. Asísi deseamos representar el vector de origen (1,1) y extremo (2,2), tendremos queintroducir con AUTHOR la expresión:

[ [1,1],[2,2]]



Si deseamos realizar su representación basta con aplicar el comando Plot (para queaparezca una ventana de 2D) y tener cuidado de haber elegido en esta ventana 2D lasopciones que permiten dibujar segmentos entre puntos:

Aplicamos OPTIONS-STATE y seleccionamos (con la ayuda de TABULADOR para

pasar de un campo a otro y de la BARRA ESPACIADORA para elegir) en el campoMode: CONNECTED (para que una con un segmento los puntos origen y extremo)

en el campo Size: SMALL (para que no dibuje un punto muy grueso en el origen y elextremo)

Y a continuación ya podremos dibujar el vector aplicando el comando PLOT:Recordar que con F10 se ve más globalmente el plano y con F9 se puede obtener unavisión más parcial del planoSegún estas indicaciones efectuar lo siguiente:

EJERCICIO 1.1

(a) Dibujar los vectores fijos siguientes:

u1: origen: (1,2) extremo (3,2)

u2: origen: (-2,1) extremo (3,4)u3: origen (2,3) extremo (4,3)u4: origen (1,2) extremo (6,5)u5: origen (-1,2) extremo (9,3)

(b) Dibujar un vector libre equivalente con cada uno de los anteriores quetenga como origen (0,0).

(c) Calcular las componentes de esos cuatro vectores.(d) Calcular sus módulos(e) ¿Tienen alguna relación los vectores dados?

EJERCICIO 1.2. (a) Dibujar los vectores que tienen por componentes: u = (2,3); v=(1,0); w=(5,3)



(b) Dibuja vectores libres equivalentes a los anteriores y que tomen como origen el punto (1,1).

EJERCICIO 1.3. (a) ¿Cómo son las componentes de un vector con módulo 0?

(b) Dibuja un vector fijo de módulo cero que tiene por origen el punto (1,1)(c) ¿Cuántos vectores libres de módulo 0 existen?

EJERCICIO 1.4. (a) Calcular el módulo de los vectores de componentes u=(2,3) , v=(3,2) y w=(-

2,3) y dibujarlos.(b) ¿Son iguales?¿Qué características tiene que tener dos vectores para ser iguales?

OBSERVACIONES:

La representación de un vector por sus COMPONENTES permite interpretar elconcepto de VECTOR no sólo como un segmento de recta orientado sino que como unelemento que contiene información acerca del comportamiento de varias variables, lasque componen cada una de sus componentes. De esta forma un vector

puede recoger la información del comportamiento de varias variables.

OPERACIONES CON VECTORES. Consideremos dos vectores libres de R n

de componentes

sobre ellos se pueden definir las siguientes operaciones:

1) SUMA DE VECTORES: El vector suma lo denotaremos por

será un vector de componentes

2) DIFERENCIA DE VECTORES El vector diferencia de estos vectores lo denotaremos por

y será un vector de componentes



3) PRODUCTO DE UN ESCALAR a∈ R POR UN VECTOR.

El vector resultante de multiplicar cierto vector por un escalar es un vector que denotaremos por

de componentes

OPERACIONES CON VECTORES EN DERIVE.

Los vectores en DERIVE se definen utilizando corchetes, de tal forma que un vector den componentes tendrá la forma: [x1,x2,....,xn].

Normalmente suele ser interesante dar un nombre a cada vector que utilizamos. Paraefectuar esta operación bastará con definir el vector usando la siguiente notación:

nombre del vector := [x1,x2,...,xn]

Por ejemplo. Si deseamos definir el vector

en DERIVE , editaremos con AUTHOR una expresión de la forma:u:=[1,2,3]

(OJO: para poder definir variables con más de un carácter en DERIVE; es necesariomodificar las opciones de entrada del programa aplicando la secuencia de comandosOPTIONS-INPUT y seleccionando en el campo Mode: la opción Word:

Una vez que tenemos definidos una serie de vectores en DERIVE

u:=[x1,x2,x3]

v:=[y1,y2,y3]

podemos efectuar su SUMA sin más que editar u+v y tras simplificar se obtiene

su DIFERENCIA, editando u-v y se obtiene

el PRODUCTO POR UN ESCALAR a, editando a*u y al simplificar resulta



Existen otras operaciones para vectores implementadas en DERIVE que puedenresultarnos de utilidad como por ejemplo:

- el PRODUCTO ESCALAR de dos vectores, se obtiene editando u.v que trassimplificar resulta en nuestro ejemplo

• el cálculo del MODULO, que se obtiene editando abs(u), y tras simplificar resulta

EJERCICIO 1.5. Definir los vectores

y obtener

a)

b)c)

EJERCICIO 1.6. Dados los vectores

del ejercicio 1.5.

(a) Dibujar con DERIVE los vectores y los vectores ; e intentar obtener la regla que define el comportamiento geométrico de la suma de vectores en R 2.

(b) Dibujar con DERIVE los vectores y los vectores ; e intentar obtener la regla geométrica que define la diferencia de vectores en el plano.

(c) Dibujar con DERIVE los vectores ; calcular el módulo de cada uno deello; intentando obtener la regla geométrica que define el producto escalar de vectoresen el plano.

Observaciones.



EJERCICIO 1.7.

Definir en DERIVE un vector de la forma

(a) Dibujar los vectores y estudiar los módulos de ambos. ¿Se puede extraer alguna conclusión para cualquier vector n-dimensional?

(b) Construye un vector que tenga la misma dirección y sentido que el vector perode tal forma que su módulo sea unitario. Comprueba tu construcción gráficamente.Deduce el método que debemos emplear para construir un vector unitario a partir de unvector cualquiera n-dimensional.

(c) El producto escalar de vectores se define como

y también (si las coordenadas de ambos vectores se obtienen respecto de una baseortonormal) se define como

siendo

Según esto se trataría de determinar el valor que ha de tomar a para que el

vector sea ortogonal con el vector dado inicialmente.

Ir a EJERCICIOS de vectores y operaciones con vectores con DERIVE.

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I.2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.

INTRODUCCIÓN A LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL





























Para introducirnos en la estructura de espacio vectorial planteamos la siguienteactividad con DERIVE:

Sean tres vectores concretos cualesquiera del plano; por ejemplo, los

vectores . Se trata de comprobar si estos vectorescumplen las siguientes propiedades:

a) .Respecto de la SUMA DE VECTORES: 1. Propiedad asociativa.

2. Propiedad conmutativa:3. Existencia de elemento neutro. ¿Cómo sería el elemento neutro de R 2, es decir

el vector tal que ?

4. Existencia del elemento opuesto. Si el elemento opuesto de un vector es un

vector tal que . Calcular los elementos opuestos de.

B) Respecto del PRODUCTO ESCALAR POR VECTORES

5. Distributiva respecto de la suma de escalares. Comprobar que si tomamos dos

escalares cualesquiera , se cumple que .6. Distributiva respecto de la suma de vectores. Comprobar que si tomamos un

escalar cualquiera se cumple que

7. Seudoasociativa:8. Elemento unidad. ¿Cuál es el escalar α , o número real en este caso, tal que

multiplicado por cualquier vector (por ejemplo ) se cumple que ?

Esta actividad nos muestra las ocho propiedades que cumplen los espaciosvectoriales respecto de unos vectores concretos.

Si extendemos estas 8 propiedades a vectores cualesquiera de R 2 habríamos dotadoal conjunto de los vectores del plano de estructura de espacio vectorial. Esta estructuraformada por los vectores del plano y las dos operaciones (suma de vectores y productode escalares por vectores) se suele denotar mediante (R 2,+,.R).

DEFINICIÓN GENERAL DE LA ESTRUCTURA DE ESPACIOVECTORIAL

Consideremos un conjunto V no vacío dotado de una operación interna:

y una operación externa (producto por un escalar real):



decimos que V es un R-espacio vectorial si verifica

1) para la operación interna (suma), las propiedades asociativa,conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de elementoopuesto

2) para el producto por escalar, las propiedades distributiva respecto dela suma de vectores y respecto de la suma de escalares, seudoasociativa yexistencia de elemento unidad .

A los elementos de un espacio vectorial se les denomina VECTORES,aunque en apariencia puedan no corresponderse con la imagen gráfica eintuitiva que tenemos de vector como segmento orientado.

OTRAS PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.

Además de las propiedades básicas que dotan a un conjunto de la estructura deespacio vectorial, existen otras propiedades que se desprenden de estas, que vamos acitar a continuación intentando demostrarlas utilizando primero un razonamientointuitivo y luego a través de una demostración formal.

Consideremos un espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales (V,+,.R)

PROPIEDAD 1.

Si tales que

Demostración.

Intentemos a priori un razonamiento intuitivo. Si el conjunto V=R , es decir tenemos elespacio vectorial de los números reales, es evidente que se cumple esta propiedad, es la

propiedad cancelativa de los números reales.

Consideremos ahora un conjunto más complicado, supongamos que V=R 2. Como lasuma de vectores del plano, en realidad se traduce en la suma de números reales en cadauna de sus componentes, y resulta que los números reales tienen la propiedad anterior,entonces es evidente que se cumple la propiedad.

Esta propiedad también se podría generalizar para un conjunto más complejo por ejemplo para V=R n. En este caso, nos valdría el razonamiento anterior ya que enrealidad estamos intentando demostrar la propiedad componente a componente, y comolas componentes son números reales que la verifican entonces podemos afirmar que esta

propiedad se verifica.

Pasemos a una demostración más abstracta y formal.Tenemos inicialmente que severifica



Como y V es un espacio vectorial, entonces se cumple la propiedad 4), es decir,

todo vector tiene elemento opuesto. Sea el elemento opuesto. Si sumamos estevector a ambos miembros de la igualdad se tiene

Si aplicamos ahora la propiedad asociativa

y por tener entre paréntesis la suma de un vector y su opuesto entonces tenemos

Ahora aplicando que es el elemento neutro de V, se tiene la igualdad que queríamosdemostrar.

Demostrar primero utilizando un razonamiento intuitivo sobre espacios vectoriales dereales, y luego de una manera formal las siguientes propiedades:

PROPIEDAD 2.

Si es el elemento neutro de V y α un número real (escalar) entonces se verifica que

α . =

PROPIEDAD 3.

Si

PROPIEDAD 4.

Para todo vector se verifica que - es el elemento opuesto de .

PROPIEDAD 5.

Si entonces si

ALGUNOS ESPACIOS VECTORIALES. Ejemplo 1.



Es fácil demostrar que (R 2,+,.R) y (R 3,+,.R) son espacios vectoriales.

Ejemplo 2.

Vamos a demostrar usando DERIVE que el conjunto de los polinomios con coeficientes

reales de orden menor o igual que tres tienen estructura de espacio vectorial.

Para ello definimos tres polinomios genéricos de grado menor o igual que tres,utilizando el comando AUTHOR:

Lo primero que debemos comprobar es que la SUMA DE POLINOMIOS (en esteejemplo los polinomios de grado menor o igual que tres son los VECTORES delespacio vectorial), es una operación interna, es decir que la suma de dos polinomios degrado menor o igual que 3 vuelve a ser un polinomio de grado menor o igual que 3:

para cualesquiera que sean p1 y p2.

A continuación podemos comprobar las propiedades de la suma con ayuda de DERIVE:

Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:



Existencia del elemento neutro.

El "0" es el elemento neutro, y es evidente que 0+p1 = p1:

Elemento opuesto.

El producto de un número real por cualquier polinomio de grado menor o igual que tresvuelve a ser un polinomio menor o igual que tres puesto que :

(Obsérvese que en este caso hemos aplicado el comando EXPAND en vez deSIMPLIFY, para desarrollar ese producto por escalar).

Según esta operación definida, podemos comprobar el resto de las ocho propiedades:

Distributiva respecto de la suma de vectores

Distributiva respecto de la suma de escalares



Seudoasociativa

Existencia de elemento unidad.

Es claro que multiplicando "1" por cualquier vector da como resultado el vector

Por tanto el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de orden menor o igualque tres tiene estructura de espacio vectorial. En este espacio vectorial, sus elementos,es decir, sus vectores, son los polinomios de grado menor o igual que 3.

Ejercicio 1.8

Comprobar con DERIVE que el conjunto de polinomios de grado exactamente 3, notiene estructura de espacio vectorial . (Observación: comprobar que la operación sumano es interna).

Ir a EJERCICIOS de estructura de espacio vectorial con DERIVE.







I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

En el apartado anterior hemos podido comprobar que el conjunto de los polinomiosde coeficientes reales de grado menor o igual que tres tiene estructura de espaciovectorial (P<=3(x),+,.R), y sin embargo los de grado exactamente igual a cuatro no latienen (P3(x),+.R).

Obsérvese que los polinomios de grado igual a tres son un SUBCONJUNTO de los polinomios de grado menor o igual que tres. Así pues de este hecho podemos extraer

una conclusión clara: NO TODO SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIALTIENE A SU VEZ ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.

Esta circunstancia obliga a conocer las condiciones que ha de cumplir un subconjuntode un espacio vectorial para mantener la misma estructura. Se trata de estudiar losSUBESPACIOS VECTORIALES.

CONCEPTO DE SUBESPACIO VECTORIAL

Antes de dar las condiciones que ha de cumplir un subconjunto para tener estructura desubespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas condiciones.

Consideremos el espacio vectorial (R 2,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estosvectores son verticales, por ejemplo

(0,1), (0,3), (0,4),....






Es claro que si tomamos este subconjunto del plano que en notación analítica sería

todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espaciosvectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R 2

bastaría comprobar dos propiedades:

1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad lacumple puesto que si sumamos dos vectores cuya componente primera es cero, vuelve aresultar un vector con la componente primera nula.

2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva aresultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector conla primera componente nula.

El resto de propiedades no es necesario comprobarlas puesto que todoslos vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán losvectores de W.

Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primeracomponente es 1, es decir

y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese quesu suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna en estesubconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial.

CARACTERIZACIÓN DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES.

1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos queW dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial delmismo si se verifican las dos siguiente propiedades:

a)

b)

una segunda forma de caracterizarlos se concreta en la condición equivalente a laanterio

2.- W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

DEFINICIÓN DE SUBCONJUNTOS DE R N

Para definir los subconjuntos de R n suele utilizarse la relación entre las componentesde los vectores que lo componen. A esta relación, expresada en forma de ecuaciones



suele denominarse expresión analítica del subconjunto, definida por las denominadasECUACIONES CARTESIANAS del subespacio.

Por ejemplo, si consideramos

Podemos deducir que los vectores de este subespacio son aquellos vectores queverifican esta relación entre sus componentes. De esta forma el vector (1,1,1) es claroque no está en el subespacio W1, sin embargo el vector (1,1,2) si pertenece a dichosubespacio. Las ecuaciones cartesianas en este caso sonx+y-z=0

Para determinar cómo son los vectores de este subespacio resultaría más útil,encontrar un procedimiento mediante el cual se pudiera determinar de formaautomática cómo son los vectores del mismo. Un procedimiento para obtener estasecuaciones que determinan el subespacio, sería obtener las soluciones del sistema de

ecuaciones que definen al mismo.En este caso como tenemos sólo una ecuación es fácil deducir que

z=x+y

Por tanto, z depende de dos valores independientes.

Las infinitas soluciones de este sistema (que en este caso está formado por una sólaecuación) serían de la siguiente forma:

ecuaciones que suelen denominarse ecuaciones PARAMÉTRICAS del subconjunto.

De esta forma es fácil determinar cómo son los vectores del subespacio, pues en estecaso serían (x,y,x+y).

Hecho este inciso , podemos realizar algunos ejemplos con los que probemos cuando unsubconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial de éste.

Por ejemplo, si tomamos el subconjunto anterior W1, tendríamos que comprobar losiguiente:

Dados dos vectores del mismo y dos números realescualesquiera a,b se trataría de comprobar si .



Vamos a efectuar esta operación con DERIVE.

Podríamos utilizar dos alternativas.

1ª ALTERNATIVA)

Definamos dos vectores genéricos de R 3 utilizando el comando AUTHOR:

A continuación deberemos de construir el vector a*u+b*v y comprobar si cumple lasecuaciones del subconjunto. Definimos por tanto el vector y simplificamos(SIMPLIFY):

Vamos a ver si sus componentes verifican las condiciones del subespacio W1. Segúnla ecuación cartesiana que define al subespacio debe cumplirse que primera componentemas segunda componente menos tercera componente debe valer cero. Si construimosesa expresión y luego simplificamos tenemos:

Pero obsérvese que los vectores u y v pertenecían a W1 por tanto cumplían quex1+y1-z1=0 y x2+y2-z2=0, y en consecuencia, es claro que la última expresión ha devaler cero. Por tanto W1 es un subespacio vectorial de R 3.

2ª ALTERNATIVA)

Considerando los vectores con las restricciones del subconjunto, es decir en vez dedefinir los vectores genéricos, tomar dos vectores del subconjunto W1. Según hemos

visto antes los vectores de W1 son de la forma (x,y,x+y), luego definiríamos enDERIVE:

Y ahora editaríamos la expresión a*u+b*u , tras simplificar se obtiene

que como se observa toma la expresión de un vector de W1.

EJERCICIO I.9



Indicar si los siguientes subconjuntos son o no subespacios vectoriales de los espaciosvectoriales indicados:

1) de R 3

2) de R 4

3) de R 2

4) de R 3

5) de R 2

6) de R 3

ALGUNOS SUBESPACIOS VECTORIALES SENCILLOS.

Existen dos subconjunto de un espacio vectorial que son muy sencillos:

1. El propio espacio v.2. El subconjunto formado únicamente por el elemento neutro de V.

EJERCICIO I.10.

Sea el espacio vectorial (R 2,+,.R), y consideremos el subconjunto del plano W={(0,0)}.Comprobar que es un subespacio vectorial de R 2.

EJERCICIO I.11.

A la vista del ejercicio anterior, podrías decir ¿cual es el elemento de un espaciovectorial que ha de pertener a cualquier subespacio vectorial suyo?.

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES.

A) INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS.

Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). Laintersección de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

y

El significado de esta operación se puede obtener con el siguiente ejemplo de R 2.

Ejemplo:

Sean W1={(x,y)/x+y=0} y W2={(x,y)/x-y=0}



Si representamos estos dos subespacios con DERIVE tenemos que se trata de dos rectasque pasan por el (0,0).

NOTA 2: Para representar una recta con DERIVE; basta editarla con el comandoAUTHOR y a continuación aplicar el comando PLOT-PLOT para dibujarla en una

ventana de 2D. Si la ventana no estuviese abierta, el propio programa nos preguntaacerca de la forma en que deseamos abrirla (al lado, encima, o solapadamente).

En nuestro ejemplo por tanto tendríamos que editar con AUTHOR las dos ecuacionesque definen los subespacios:

y a continuación dibujarlas: iluminando la expresión y aplicando PLOT-PLOT para lasdos expresiones. Se obtiene

La intersección de ambos subespacios sería la intersección de estas dos rectas, es decir el {(0,0)}.

¿Cómo se podría haber resuelto de forma analítica?

La resolución analítica consiste en resolver el sistema de dos ecuaciones con dosincógnitas que tenemos planteado:

x+y=0

x-y=0

obsérvese que la única solución de este sistema es x=0, y=0.

NOTA 3. Para resolver en DERIVE este sistema bastará con poner las ecuaciones entrecorchetes y aplicar el comando SOLVE.

En nuesto ejemplo, aunque es muy trivial, basta editar con AUTHOR la expresión



y al aplicar el comando SOLVE resulta

Evidentemente, no siempre la solución resulta tan trivial. Si aumentamos la dimensióndel espacio vectorial, las posibilidades de intersección entre distintos subespacios sonmayores.

EJERCICIO I.12.

Dados los siguientes subespacios

Se pide:

1) Representarlos en el plano con la ayuda de DERIVE.2) Deducir de esta representación los subespacios

¿Son subespacios vectoriales?

3) Si consideramos ahora

Calcular de forma gráfica y analítica el subespacio intersección

. ¿Es un subespacio vectorial?

4) ¿Podrías extraer alguna observación de lo que has estudiado en los apartadosanteriores?

Como acabamos de comentar la INTERSECCIÓN de subespacios VECTORIALES enel plano es siempre única, interpretable como la posición relativa de rectas del plano quese cortan en el origen. Esta situación se complica si consideramos el espacio vectorialR 3.

Por ejemplo. Supongamos que tomamos ahora los subespacios vectoriales



Obsérvese que W1 es un plano del espacio; W2 es una recta del espacio y W3 es un plano

del espacio. Si estudiamos de forma analítica, tendremos que resolver unsistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que con DERIVE se resolvería editandola expresión

que se resuelve aplicando el comando SOLVE obteniendo

es decir . De aquí se puede deducir que el plano W1 y la recta W2 secortan en el origen de coordenadas. Se trata de un plano y una recta del espacio que secortan en un punto.

Si estudiamos ahora la intersección , utilizando el mismo procedimientoanalítico, editamos en DERIVE la expresión

(obsérvese que hemos añadido un 0, situación muy común en DERIVE cuandodeseamos resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas)

Y al resolver obtenemos

Es decir obtenemos que x=z, y=-z. Luegosubespacio que se corresponde con una recta del espacio. Esta intersección representa

por tanto dos planos que se cortan en el espacio en la recta que da origen a suintersección.

EJERCICIO I.13.

Dados los subespacios vectoriales:

Se pide:

1) Obtener de forma analítica las siguientes intersecciones de subespacios W1 int.

W2, W3 int. W4, W1 int. W4 y W1 int. W3.2) Interpretar cual es la posición relativa de los subespacios vectoriales que



intervienen en cada una de las intersecciones anteriores.

OBSERVACIÓN.

De los ejercicios realizados antes se puede observar que la INTERSECCIÓN deSUBESPACIOS VECTORIALES es siempre otro subespacio vectorial.

EJERCICIO I.14.

Demostrar formalmente que la intersección de dos subespacios vectoriales pertenecientes a un mismo espacio vectorial vuelve a ser un subespacio vectorial.

b) UNION DE SUBESPACIOS

Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). La uniónde dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

ó

El significado de esta operación se puede obtener con el siguiente ejemplo de R 2.

Ejemplo:

Sean W1={(x,y)/x+y=0} y W2={(x,y)/x-y=0}

Si representamos estos dos subespacios con DERIVE tenemos que se trata dedos rectas que pasan por el (0,0).

El subespacio unión se obtendría por definición

ó

observando gráficamente este subespacio (podemos representar con DERIVEcada una de las dos rectas del plano con ayuda del comando PLOT)



W2 W1

El subespacio unión lo formarán los vectores que están en uno u otrosubespacio. Podemos observar gráficamente que este subespacio no es vectorial.Para ello basta tomar un vector de W1 por ejemplo el vector (1,1), y otro vector de W2, por ejemplo el vector (1,-1), si sumamos estos dos vectores obtenemos elvector (2,0) que claramente no pertenece al subespacio unión. Observemos lasituación gráfica:

Es evidente que este vector se sale del suconjunto unión por tanto la unión desubespacios no es un subespacio vectorial

C) SUMA DE SUBESPACIOS

Ya que la UNIÓN de subespacios vectoriales no tiene por qué ser un subespaciovectorial, necesitaríamos una operación alternativa que recoja en cierta forma la

idea de JUNTAR o AÑADIR propia de la unión, que mantenga la estructura desubespacio vectorial



Para ello se construye la operación SUMA DE SUBESPACIOS:

Definición

Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales de V, se define la suma de estos

subespacios como

Esta definición se puede extender a la suma de varios subespacios:

Si Wi son subespacios vectoriales, con i=1,...,n se define la suma de estos n-subespacios vectoriales como:

Veamos el significado geométrico de esta operación.

Ejemplo.

Dados los subespacios vectoriales de R 2:

Vamos a estudiar geométricamente el subespacio suma con la ayuda deDERIVE. Como en ejemplos anteriores es fácil representar estos dossubespacios vectoriales que se reducen a dos rectas que pasan por el origen

La suma de estos subespacios es claro deducir que se trata de todo el espacio R 2,



ya que cualquier vector del plano se puede expresar como suma de dos vectoresque estén en los subespacios vectoriales citados.

La situación en R 3 muestra nuevamente diversas combinaciones de lossubespacios vectoriales, mostrando posiciones relativas entre planos y rectas. Deesta forma si consideramos un plano de R 3 que pasa por el origen y una recta queno está contenida en dicho plano y que también pasa por el origen, es fácildeducir que la suma de ese plano con la recta es todo el espacio R 3.

Si tenemos en R 3 un plano que pasa por el origen, y una recta contenida en dicho plano, es evidente que la suma de dichos subespacios da como resultado el propio plano.

Propiedad

Si tenemos un espacio vectorial V, se verifica:

Si es una familia de subespacios vectoriales de V entonces elsubespacio

es un subespacio vectorial

La demostración de esta propiedad se deja como ejercicio para intentar realizar una demostración sobre objetos abstractos de un espacio vectorial.

Ejercicio I.15 Dados los subespacios vectoriales de R 3

Obtener el subespacio suma y el subespacio intersección.

D) SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS VECTORIALES

Cuando tenemos dos subespacios vectoriales cuya intersección es el elemento neutrodel espacio vectorial, y efectuamos la operación suma de subespacios, el subespacio



resultante se obtiene añadiendo "totalmente" los vectores de uno con los de otro, esdecir se realiza una SUMA DIRECTA de subespacios.

Definición

Sea V un espacio vectorial y sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales de V, se definela SUMA DIRECTA de estos subespacios al subespacio si y sólo

si y además

Ejemplo.

Sean los subespacios vectoriales

Se puede observar que W1 representa un plano del espacio y W2 una recta del espacio no

coincidente con el plano, pudiéndose comprobar que , y además

que Por tanto se puede afirmar que

Además en este caso podemos afirmar que W1 y W2 son SUBESPACIOSSUPLEMENTARIOS.

Es decir, cuando y W=V, es decir la suma directa coincide con el espaciovectorial total, entonces se puede afirmar que los subespacios W1 y W2 sobSUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.

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