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ESPECTROMETRIA POR FLUORESCNCIA DE RAIOS X POR REFLEXO
TOTAL: UM ESTUDO SIMULADO UTILIZANDO O MTODO
DE MONTE CARLO
Eduardo dos Passos Belmonte
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS
PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM
ENGENHARIA NUCLEAR.
Aprovada por:
____________________________________________
Prof. Delson Braz, D.Sc.
____________________________________________
Prof. Ademir Xavier da Silva, D.Sc.
____________________________________________
Prof. Edgar Francisco Oliveira de Jesus, D.Sc.
____________________________________________
Prof. Regina Cely Barroso, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL
MARO DE 2005
ii
BELMONTE, EDUARDO DOS PASSOS
Espectrometria por Fluorescncia de Raios
X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado
Utilizando o Mtodo de Monte Carlo [Rio de
Janeiro] 2005.
XII, 164 p. 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Nuclear, 2005).
Tese Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE.
1. Monte Carlo;
2. TXRF;
3. MCNP;
4. Fluorescncia;
5. Simulao
I. COPPE/UFRJ II. Ttulo (srie)
iii
Aos meus pais Eloi e Mrcia Belmonte.
minha companheira Veralu Santos,
que tem participao fundamental neste trabalho.
Aos meus irmo, que esto, cada qual seu modo,
em busca da realizao.
Aos meus tios Joo e Alice.
Aos meus tios Francisco (in memorian) e Neuci e meus
primos Wilton e Solange.
Aos meus queridos amigos que
me ajudaram e confortaram nesta caminhada.
iv
AGRADECIMENTOS
Deus. Ao Professor Delson Braz pela oportunidade da orientao. Aos professores Ademir Xavier da Silva, Edgar Francisco Oliveira de Jesus e
Marcelino Jos dos Anjos pelas indispensveis orientaes, dicas, explicaes e pela disponibilidade.
Aos colegas do LIN, em especial para Max pela indispensvel ajuda e para
Renata pela ajuda e disponibilidade. Aos colegas do LNRTR pelas contribuies com o cdigo MCNP. Aos colegas da turma pelo apoio e incentivo, em especial para Christiano
Pinheiro , Nivia Villela e Raimundo Oliveira. Aos funcionrios do PEN pelo valioso apoio. Aos amigos do Grupo Angolinha e Clube dos Tericos pelos momentos de
descontrao sem os quais esta caminhada seria impossvel. A Comisso Nacional de Energia Nuclear pelo financiamento deste trabalho e
pelo apoio pesquisa na rea de Engenharia Nuclear. Aos amigos Cludio, Mariana, Pi e Elisa pela presena e apoio em diversos
momentos. Wilton Lemos dos Passos, pelo apoio em vrios momentos. Sra. Judite dos Santos e famlia. minha companheira Veralu Santos, sem a qual este trabalho no se
realizaria. todos que direta ou indiretamente contriburam para a realizao deste
trabalho.
v
Resumo da Tese apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios
para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.)
ESPECTROMETRIA POR FLUORESCNCIA DE RAIOS X POR REFLEXO
TOTAL: UM ESTUDO SIMULADO UTILIZANDO O
MTODO DE MONTE CARLO
Eduardo dos Passos Belmonte
Maro/2005
Orientador: Delson Braz
Programa: Engenharia Nuclear
Utilizando o mtodo de Monte Carlo foi avaliada, a capacidade e do cdigo MCNP 4B em simular o fenmeno da TXRF, bem como avaliar a influncia dos ngulos de deteco e de incidncia na probabilidade de incidncia da radiao fluorescente.
Para tanto foram utilizadas duas fontes em momentos diferentes. Um feixe monocromtico de 28 eV de energia e um espectro gerado por um tubo de W 30 kV. Estas fontes foram utilizadas para irradiar amostras de 5nm de espessura apoiadas em um suporte refletor de cristal de quartzo com 2,5cm de raio e 3mm de espessura.
Nas 63 simulaes realizadas os picos gerados tiveram energias dentro do previsto para os picos de fluorescncia dos elementos presentes nas diferentes amostras. As relaes entre as probabilidades de incidncia de K e K gerados tambm tiveram valores e comportamento dentro do previsto teoricamente.
Variando o ngulo de deteco entre 0 e 135 no foram detectadas variaes significativas para os picos de fluorescncia. A radiao totalmente refletida diminuiu com o aumento do ngulo.
Com o aumento do ngulo de incidncia detectou-se um decrscimo relativo na intensidade de radiao fluorescente devido ao aumento da interao da radiao incidente com a matria.
Para avaliar a determinao da concentrao de elementos com MCNP foi simulada a irradiao de uma amostra com dez elementos detectveis. Todos os elementos foram detectados, seis destes com erro percentual menor que vinte por cento em relao concentrao real. O que leva a concluir que o cdigo MCNP 4B capaz de simular o fenmeno da TXRF e tem boa preciso na determinao da concentrao de elementos em uma amostra.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
TOTAL-REFLECTION X-RAY FLUORESCENCE SPECTROMETRY: A
SIMULATE STUDY USING THE MONTE CARLOS METHOD
Eduardo dos Passos Belmonte
March/2005
Advisor: Delson Braz
Department: Nuclear Engineering
Using the Monte Carlo method was appraised, the capacity of the code MCNP 4B in simulating the phenomenon of TXRF, as well as to evaluate its influences of the detection and incidence angles in the incidence probability of the fluorescent radiation.
Just like that two sources were used in different moments, a monochrome beam of 28 keV of energy and a spectrum generated by a tube of W to 30 kV. These sources were used to irradiate samples of 5nm of thickness supported in a quartz reflector support with 2,5cm of ray and 3mm of thickness.
In the 63 made simulations the generated picks had energies inside of the foreseen for the picks of fluorescence of the present elements in the different samples. The relationships between the incidence probability of K and K picks generated also had values and behavior inside of the foreseen.
Varying the detection angle between 0 and 135 degrees significant variations were not detected for the fluorescence incidence probability picks. The radiation totally reflected it decreased with the increase of the angle.
With the increase of the incidence angle a relative decrease was detected in the intensity of fluorescent radiation due to the increase of the interaction of the incident radiation.
To evaluate the determination of the concentration of elements with MCNP the irradiation of a sample with ten elements you detected it was simulated. All the elements were detected, six of these with smaller percentile mistake than 20% in relation to real concentration. What takes to end that the code MCNP 4B is capable to simulate the phenomenon of TXRF and it has good precision in the determination of the concentration of elements in a sample.
vii
Sumrio
Captulo 1 01
Introduo 01
1.1 Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total 01
1.2 Simulao em Monte Carlo 03
1.3 Objetivos do Trabalho 04
Captulo 2 06
Fundamentos Tericos 06
2.1 Uma Breve Histria do tomo 06
2.1.1 O tomo Primitivo 06
2.1.1.1 Na Grcia 06
2.1.1.2 A Redescoberta 09
2.1.2 A Descoberta do Eltron 10
2.1.2.1 Modelo de Thomson 10
2.1.2.2 Modelo de Rutherford 11
2.1.3 A Teoria Quntica 14
2.1.3.1 Max Planck 14
2.1.3.2 O Modelo de Bhr 19
2.1.4 A Nova Teoria Quntica 28
2.1.4.1 De Broglie 28
viii
2.1.4.2 O Modelo de Heisenberg 31
2.1.4.3 O Modelo de Schrdinger 33
2.2 Interao da Radiao Com a Matria 35
2.2.1 Fenmenos de Interao 35
2.2.1.1 Efeito Fotoeltrico 35
2.2.1.2 Espalhamento Compton 37
2.2.1.3 Produo de Pares 44
2.2.2 Atenuao e Seco de Choque 45
2.3 O Espectro de Raios X 51
2.3.1 Curva de Distribuio Contnua 52
2.3.2 Os Picos de Raios X 54
2.3.3 Eltron Auger 60
2.4 Anlise por Fluorescncia de Raios X 61
2.5 A Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total 67
2.5.1 Reflexo e Refrao 68
2.5.2 Reflexo Total 70
2.5.3 Coeficiente de Reflexo Total 73
2.5.4 Poder de Penetrao 74
2.5.5 Intensidade de Fluorescncia na Reflexo Total 76
2.5.5.1 Anlise Quantitativa 80
2.5.5.2 Limite de Deteco 81
2.5.5.3 Background do Refletor 82
2.6 Simulao por Monte Carlo 83
2.6.1 Cdigo Monte Carlo de N Partculas verso 4B 85
2.6.1.1 Propriedades do MCNP 4B 86
2.6.1.2 Princpios Bsicos de Utilizao de MCNP 4B 86
ix
Captulo 3 90
Materiais e Mtodos 90
3.1 Arranjo Experimental 90
3.1.1 Arranjo Experimental a Ser Simulado 90
3.3.2 Entrada do Arranjo Experimental no Arquivo INP 92
3.2 Metodologia 100
3.2.1 Simulao Teste 101
3.2.2 Variaes do ngulo de Deteco 102
3.2.3 Variaes do ngulo de Irradiao 103
3.2.4 Determinao de Concentrao de Elementos 104
Captulo 4 105
Apresentao e Discusso dos Resultados 105
4.1 Resultados da simulao teste 106
4.1.1 Validao dos Picos de K 107
4.2 Variao do ngulo de Deteco 110
4.2.1 ngulo de Deteco Variando de 0 a 5 Graus 110
4.2.1.1 Validao dos Picos K 113
4.2.1.2 Anlise dos Picos K 114
4.2.1.2 Feixes Totalmente Refletidos 115
4.2.2 ngulo de Deteco Variando de 5 135 Graus 117
x
4.2.2.1 Validao dos Picos K 117
4.2.2.2 Anlise dos Picos K 118
4.2.2.3 Radiao Totalmente Refletida 124
4.3 Variao do ngulo de Incidncia 125
4.3.1 Validao dos Picos K 125
4.3.2 Anlise dos Picos K 126
4.4 Determinao da Concentrao 128
4.4.1 Curva de Sensibilidade 128
4.4.2 Determinao da Concentrao de Elementos 132
Captulo 5 137
Concluses e Sugestes 137
5.1 Simulao em Monte Carlo com MCNP 137
5.2 Simulao de TXRF 137
5.3 Fatores Geomtricos da TXRF 138
5.4 Sugestes Para Trabalhos Futuros 139
Captulo 6 140
Referncias Bibliogrficas 140
Captulo 7 150
Anexos 150
Anexo I (Relaes K/K segundo Streli (1996)) 150
xi
Anexo II (Espectro de um tubo de Tungstnio 30kV) 152
Anexo III (Arquivo de entrada do MCNP 4B (INP)) 153
Anexo IV (Arquivo de sada do MCNP 4B ) 156
xii
ndice de Tabelas
Tabela Pgina
01 Nmeros atmicos Chadwick 14
02 Sries de linhas para o Hidrognio 22
03 Probabilidade de interao por faixa de energia 46
04 Nveis, subnveis, nmeros qunticos e quantidade de eltrons 58
05 ngulos crticos para diferentes materiais 72
06 Coeficiente de reflexo 74
07 Poder de penetrao da radiao 76
08 Superfcies do MCNP-4B 87
09 Comandos de sada do MCNP-4B 88
10 Funes gerais dos planos 99
11 Energia dos ftons de fluorescncia 106
12 Energia dos picos gerados na Simulao Teste 108
13 Relao K/K para Simulao Teste 109
14 Comparativos dos desvios calculados e das incertezas fornecidas pelo
MCNP para picos K do Fe detectados entre 5 e 135 123
15 Concentrao dos elementos nos padres 129
16 Sensibilidade dos elementos componentes dos padres 131
17 Elementos da amostra e suas concentraes de entrada 132
18 Elementos componentes da amostra, energias e probabilidades de
incidncias de K1 133
19 Sensibilidade e concentrao calculada para os componentes da amostra 134
20 Comparativo entre concentraes calculadas e reais 135
Captulo 1
Introduo
1.1 Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total
A espectroscopia por Fluorescncia de Raios X (X-Ray Fluorescence XRF)
uma tcnica de anlise qualitativa e quantitativa da composio qumica de amostras.
Consiste na exposio de amostras slidas ou lquidas a um feixe de radiao para a
excitao e deteco da radiao fluorescente resultante da interao da radiao com o
material da amostra.
A Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total (Total-Reflection X-Ray
Fluorescence - TXRF) uma tcnica de XRF que utiliza para a irradiao da amostra
um ngulo de incidncia muito raso no intuito de se produzir reflexo total. A reflexo
se d na interface do ar com a amostra e desta com o material refletor posicionado como
suporte para amostra. Devido pequena espessura utilizada para as amostras h pouca
interao da radiao com o material da amostra, com isso o espalhamento da radiao
incidente ser pequeno e ter-se- um melhor limite de deteco.
Como parte da introduo idia do trabalho ser apresentada uma breve
reviso de trabalhos que foram importantes no desenvolvimento da tcnica da TXRF.
Os raios X foram descobertos pelo fsico alemo Wilhelm Conrad Retgen
(18451923) em seu laboratrio em Wrzburg no ano de 1895. Essa descoberta causou
tamanho furor na comunidade cientfica e nos meios de comunicao que em 1896,
menos de um ano depois da descoberta de Retgen, dezenas de livros e cerca de mil
artigos haviam sido publicados sobre o assunto.
Muitas foram s aplicaes em diversas reas atribudas aos raios X logo que
descobertos. Uma delas a anlise multielementar por fluorescncia de raios X.
A espectroscopia de raios X como anlise multielementar tem sua primeira
experincia com Barkla (1911), mas, s nos anos 50 foi efetivamente adotada como
mtodo de anlise. Nesta poca os equipamentos utilizavam o mtodo de Fluorescncia
Captulo 1 - Introduo
2
de Raios X por Comprimento de Onda (Wavelength Dispersive X-Ray Fluorescence
WDXRF) que usava um cristal difrator para, atravs do comprimento de onda,
caracterizar o raio X de fluorescncia.
Com as contribuies de Elad (1965) e Muggleton (1972) no campo dos
detectores semicondutores de Si (Li) de alta resoluo foi possvel o desenvolvimento
do sistema de Fluorescncia de Raios X por Disperso de Energia (Energy Dispersive
X-Ray Fluorescence - EDXRF) (GIAUQUE et al., 1973). Kneip e Lauper (1972)
descreveram as vantagens da EDXRF em relao a WDXRF. Hoje a EDXRF bastante
utilizada como anlise multielementar, como em Reis (2003) que usou a EDXRF para
analisar sedimentos de superfcie de fundo da Baa de Sepetiba ou ainda em dos Anjos
(2000) que utilizou a EDXRF para analisar a concentrao de metais pesados em
amostras de solo tratadas com composto orgnico de lixo urbano e cama de avirio.
Em 1923 Compton descobriu o fenmeno da reflexo total para raios X e em
1971 Yoneda e Horiuchi (1971) aplicaram os princpios da reflexo total dos raios X
para analisar os elementos componentes de um material. Na dcada de 70 a tcnica da
TXRF foi aprimorada por Aiginger e Wobrauschek (1975) e tornou-se uma importante
tcnica de anlise multielementar.
No final do sculo passado, muitas foram s reas onde se utilizou a TXRF
para anlise de concentrao de elemento. Koopmann e Prange (1991) analisaram
sedimentos do mar alemo de Wadden utilizando a TXRF, a Espectrometria de
Absoro Atmica (AAS) e a Anlise por Ativao de Nutrons (INAA). Prange,
Bddeker et al. (1993) determinaram elementos trao em gua de rio utilizando a
TXRF. De Jesus et al. (2000) desenvolveram uma tcnica de monitoramento de
elementos em nvel trao em bioindicadores no controle da poluio ambiental
utilizando a TXRF por Radiao Sincrotron (SRTXRF). Simabuco e Matsumoto (2000)
utilizando a SRTXRF analisaram elementos trao em gua de chuva. Schmeling (2004)
utilizou a TXRF para caracterizar a poluio do ar urbano nas cidades de Chicago e
Phoenix (USA). Marc et al. (2004) utilizou a TXRF para analisar amostras biolgicas.
Nos ltimos anos a parceria entre o Programa de Engenharia Nuclear (PEN) da
COPPE-UFRJ e o Laboratrio Nacional de Luz Sncrotron (LNLS) permitiu que muitos
trabalhos envolvendo a SRTXRF fossem desenvolvidos no PEN.
Eduardo dos Passos Belmonte
Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo
Captulo 1 - Introduo
3
Serpa (2003) identificou e quantificou os elementos K, Ca, Ti, Cr, Mn, Fe, Ni,
Cu, Zn, Rb, Sr, Cd, Ba e Pb no fumo e na cinza e K, Cd, e Pb na fumaa de nove
cigarros nacionais utilizando a tcnica de SRTXRF.
Costa (2003) utilizando a SRTXRF identificou e quantificou as concentraes
de Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn, Mo e Pb em amostras superficiais de gua da Baa de
Sepetiba e de sete rios que nela desembocam.
Calsa (2003) avaliou os nveis de concentrao em msculos, gnadas e
brnquias de quatro espcies de peixes encontrados no rio Paraba do Sul. Neles foram
encontrados Ti, Cr, Mn, Fe, Co, Cu, Zn, Rb, Sr, Ba e Pb. As concentraes dos
elementos Cr, Cu, Zn e Pb estavam acima do limite mximo permitido pela legislao
brasileira.
Pereira (2004) avaliou a contaminao por metais pesados na gua e
sedimentos do rio Paraba do Sul em 42 pontos desde a sua nascente at a foz. Os metais
pesados encontrados foram Ti, Mn, Fe, Cu, Zn, Rb, Sr e Ba nas amostras de gua. Nas
amostras de sedimento foram encontrados Ti, Cr, Mn, Fe, Cu, Zn, Rb, Sr, Pb. Os
elementos Cu, Zn e Mn foram caracterizados como os maiores contaminantes nessa
bacia.
1.2 Simulao em Monte Carlo
Desde o advento da metodologia cientfica a experimentao tem participao
insubstituvel na criao do conhecimento. Por isso, tcnicas cada vez mais avanadas
de comprovao de hipteses vm sendo criadas e estudadas.
No campo da verificao de hipteses, alm da experimentao propriamente
dita, as simulaes vm sendo muito utilizadas. Com o acelerado crescimento das
tcnicas computacionais e a ampliao dos recursos tecnolgicos no campo, tanto dos
hardwares, quanto dos softwares, as simulaes vm se tornando cada vez mais rpidas
e prximas da realidade experimental. A simulao na comprovao de um
conhecimento no descarta a necessidade do procedimento experimental, porm, uma
forma importante de verificao principalmente por representar, em muitos casos, uma
grande economia de tempo e de dinheiro. Eduardo dos Passos Belmonte
Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo
Captulo 1 - Introduo
4
A simulao em Monte Carlo (MC) hoje uma poderosa aliada na avaliao de
hipteses cientficas. Utilizando clculos probabilsticos o MC simula, de forma rpida
e barata, arranjos experimentais que para uma situao real de experimentao teria alto
custo financeiro e de tempo.
Muito tem se estudado acerca da simulao em MC envolvendo radiaes
ionizantes.
Karlender (1982) utilizaram o mtodo de MC para calcular uma tabela dos
raios X caractersticos dos elementos. Vincze et al. (1999) simularam o espectro de
fluorescncia de uma amostra de Al e Cu usando radiao Sncrotron e um detector de
HPGe. Al-Ghorabie et al. (2001) compararam os cdigos EGS4 e MCNP na simulao
de um sistema de fluorescncia de raios X in vivo para anlise da composio de
tumores localizados na cabea e pescoo. Ewa et al. (2001) calcularam a eficincia do
detector de Germnio hiperpuro (HPGe) para uma faixa de 59,5 a 1836keV utilizando a
simulao por MC. Kubala-Kuku et al. (2001) utilizaram o mtodo de MC para calcular
a distribuio da concentrao de elementos trao com concentraes prximas ao
limite de deteco. Hendrix, Mauec et al., (2002) Simularam um detector cintilador
irradiado por raios oriundos do decaimento de 40 K, 232Th e 238U usando o cdigo
MCNP. Shi, Chen, et al. (2002) usaram o cdigo MCNP para calcular a funo resposta
para detectores de NaI(Tl) com fonte de 0,4118 a 7,11MeV. Yegin (2003) utilizou o
cdigo EGS4 de MC para propor uma nova abordagem de geometria para o clculo de
grandezas relacionadas ao transporte de partculas pela matria. Kubala-Kuku et al.
(2004) utilizou Mtodo de Monte Carlo para atravs da XRF determinar a distribuio
e concentrao de elementos trao em amostra biomdicas. Maximiniano (2004)
verificou os aspectos que influenciam na resposta e no limite de deteco para um
sistema de espectrometria por fluorescncia de raios X, confirmando assim uma
tendncia de aumento na publicao de trabalhos com simulao no PEN.
1.3 Objetivos do Trabalho
Ciente da importncia da tcnica de TXRF e do mtodo de MC, este trabalho
tem como objetivo geral avaliar a influncia de aspectos fsicos do arranjo experimental
Eduardo dos Passos Belmonte
Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo
Captulo 1 - Introduo
5
na qualidade de resposta de um sistema de espectroscopia por fluorescncia de raios X
por reflexo total utilizando, para isso, a simulao em MC com o cdigo MCNP. luz
desse objetivo foram traados alguns objetivos pontuais para balizar esse trabalho.
So eles:
Avaliar a capacidade do cdigo MCNP em simular o fenmeno da TXRF;
Avaliar o aparecimento e a intensidade do feixe de totalmente refletido;
Avaliar, atravs da variao do ngulo de deteco, a isotropicidade de
sada da radiao fluorescente;
Analisar a influncia da variao do ngulo de incidncia na intensidade do
sinal de sada;
Avaliar a qualidade e limitaes da resposta dada pelo cdigo MCNP na
simulao de um sistema ideal, segundo resultados dos objetivos
anteriores.
Esses objetivos so utilizados como guias do trabalho que segue.
No prximo captulo (captulo 2) sero apresentados os fundamentos tericos
da tcnica de TXRF e do mtodo de simulao por MC mais especificamente do cdigo
MCNP verso 4B. No captulo 3 sero apresentados os meios utilizados para alcanar os
objetivos bem como as tcnicas utilizadas ao longo do desenvolvimento do trabalho. Os
resultados e algumas discusses acerca desses sero apresentados no captulo 4. O
captulo 5 expe as concluses a que se chegou com o desenvolvimento do trabalho
bem como sugestes de trabalhos que podem ser desenvolvidos no intuito de dar
seqncia a pesquisa. As referncias bibliogrficas consultadas no decorrer do trabalho
sero listadas em ordem alfabtica no captulo 6.
Eduardo dos Passos Belmonte
Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo
Captulo 2
Fundamentos Tericos
2.1 Uma Breve Histria do tomo
As sees seguintes mostram em linhas gerais a histria do tomo comeando
pela exploso cultural da Grcia antiga, passando pela descoberta do eltron, a criao
da Teoria Quntica at a moderna teoria quntica de Heisenberg e Schrdinger.
2.1.1 O tomo Primitivo
Nesta seo sero abordados de forma breve e superficial alguns fatos que
ocorreram na histria antiga, bem como algumas vises de mundo desta mesma poca,
que contriburam com a construo do conceito de tomo que se tem hoje.
2.1.1.1 Na Grcia
A partir do sc. IX a.C. os gregos, que viviam sobre a influncia da mitologia
de Homero e Hesodo, j comeam a substituir essa viso da natureza por outra viso,
um tanto questionadora, que se pode chamar de uma viso filosfica. Mas, foi a partir
do sc. VI a.C. que comeou a ocorrer, na Grcia, a mais profunda transformao j
vista na histria do conhecimento humano.
A Grcia ficava no centro geogrfico do dito mundo civilizado, pois,
localizava-se entre o Oriente Mdio, o Egito e a Europa Ocidental, e seus portos eram
escala obrigatria para os navios vindos do oriente ou da Europa Ocidental. Os gregos,
alm da influncia dessas culturas que chegavam a cada embarcao tinham tambm um
Captulo 2 Fundamentos Tericos 7
fcil acesso a Europa, Egito e Oriente Mdio. Pesquisadores acreditam que esta posio
privilegiada alavancou o advento da filosofia grega.
Por volta de VI a.C. a Comunidade dos Pitagricos enxergava o universo
como combinaes numricas. Encontra-se em Pitgoras muitos elementos do
conhecimento oriental da poca, provavelmente aprendidos por Pitgoras em suas
viagens feitas Babilnia e ao Egito. Tendo j alguns avanos na rea da vibrao dos
corpos, os pitagricos relacionavam as notas musicais com os nmeros e suas
propores. O universo vibraria ento na fantstica msica das esferas.
Para Parmnides e seu discpulo Zenon o universo do movimento, a mudana
e toda a transformao so irreais, projees criadas pela mente humana e chamada,
portanto, de no-Ser. O Ser ocupa todo o universo que nico e perfeito, portanto,
imutvel. O que nos d noo de movimento a relao do que vemos no agora com o
que vimos h alguns instantes atrs, porm, o que vimos nesse instante passado no
existe apenas uma lembrana em nossa memria. O real o que estamos vendo no
agora. Essa a explicao dada pelos monistas para a inexistncia do movimento e a
imutabilidade do Ser. Essa idia, embora, nos parea, hoje, um tanto absurda
completamente compatvel com a viso grega da poca de imutvel perfeio do
universo.
J Herclito acreditava que o Ser seria o constante movimento do universo,
este estaria em eterno movimento, tudo estaria numa constante transformao, constante
evoluo. Estima-se que Herclito sofrera influncia da viso oriental na elaborao
deste conceito pela sua semelhana com a viso oriental de universo.
Na escola de Mileto fundada por Thales ainda no sc. IV a.C. nasce pelas
mos dos pr-socrticos (Thales, Anaximandro e Anaximenes) o conceito de um
elemento primordial, do qual so feitas todas as coisas constituintes do universo. A esse
elemento deram o nome de arch.
Thales, que previu um eclipse ocorrido no ano de 535 a.C., acreditava no
arch como sendo a gua, provavelmente por ser um elemento imprescindvel para toda
e qualquer forma de vida. Para os gregos o princpio fundamental da vida era a
respirao, baseado nisso Anaximenes acreditava que o ar seria o elemento primordial
do universo. Anaximandro definia o arch como apeyron (em grego: infinito,
Eduardo dos Passos Belmonte
Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo
Captulo 2 Fundamentos Tericos 8
indefinido) criando assim, um conceito ainda mais subjetivo no qual o universo
constituir-se-ia de excesso e escassez de arch.
Empdocles, nascido por volta de 490 a.C. acreditava ser o universo formado
por no um, mas, quatro elementos primordiais e imudveis. A gua, a terra, o fogo e o
ar combinados pelas duas foras primordiais, atrao e repulso, constituiriam o
universo conhecido (ROCHA et al, 2002).
Embora um tanto divergentes, entre si, os Pr-socrticos introduzem um
conceito que at ento no se cogitava. Com a idia do arch nasce a idia de um
elemento primordial. Esse elemento primordial pode ser visto como um alicerce para o
Atomismo.
O Ser absoluto, perfeito e imutvel de Parmnides entra em concordncia com
o universo metamrfico, mutante, em constante movimento de Herclito por volta do
ano 400 a.C. com os Atomistas.
A palavra tomo em grego significa indivisvel e foi assim que Leucipo (440 a.
C) e Demcrito (420 a.C.) batizaram seu constituinte primordial do universo. Segundo
os Atomistas no universo somente existem vcuo e tomos, os tomos esto em
constante movimento pelo vcuo, seus movimentos e distncias justificam as
densidades dos corpos e as constantes mudanas sofridas por estes. Os tamanhos e o
modo como se arranjam entre si determinam as diferenas entre as substncias.
Demcrito acreditava que os fenmenos da natureza se do por pura
causalidade das relaes entre os tomos. Nessa viso podemos observar uma base do
materialismo determinista.
O Atomismo foi de extrema importncia na superao de uma viso
supersticiosa, pelos filsofos. Seu determinismo bane a superstio e o medo de deuses
caprichosos, ciumentos e vingativos da poca, por entenderem o universo determinado
apenas pelos tomos e suas combinaes. Tambm introduz a forma de investigao em
que separa o todo em partes para compreend-lo. Essa uma marcante caracterstica da
filosofia ocidental que se seguiu, e tambm a base da cincia moderna.
Mais tarde, Epcuro de Samos (340 270 a.C.) e Lucrcio (98 55 a.C.)
deram continuidade ao trabalho de Leucipo e Demcrito, mas, o advento da filosofia
aristotlica (que via o universo como contnuo) na Grcia e em toda Europa ofuscou o
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 9
Atomismo, s revisto aps os crticos de Aristteles a partir do sc. IV d.C. (ROCHA et
al, 2002, LOPES, 1993).
2.1.1.2 A Redescoberta
No final do sc. XVIII muitos fsicos acreditavam de alguma forma na
existncia de um corpo que fosse a menor poro de matria, principalmente, por que
essa teoria ajudava a explicar muitos fenmenos qumicos. Mas, foi sem duvida na obra
do fsico ingls John Dalton (1766-1844) que temos nosso principal marco na teoria
corpuscular da matria quando propem em seu Novo Sistema Da Filosofia Qumica
(em 1808) alguns conceitos como:
- tudo o que existe no universo composto por inmeras partculas
denominadas tomos;
- os tomos so indivisveis e indestrutveis;
- existe um pequeno nmero de elementos diferentes na natureza;
- reunindo tomos iguais ou diferentes nas vrias pores, podemos formar
todas as matrias do universo conhecido;
O conceito de tomo passou a ser de extrema importncia na interpretao de
fenmenos qumicos e seus princpios como a lei da conservao de massa, lei das
propores definidas e lei das propores mltiplas.
Em 1811 o professor Amadeo Avogrado (1777-1856), com o intuito de
interpretar a teoria de Gay-Loussac, props a hiptese das molculas, que seriam
agrupamentos de tomos. Disse Avogrado volumes iguais de gases medidos mesma
temperatura e presso contm nmeros iguais de molculas.(LOPES, 1993).
Muitos fsicos da poca, como o jovem Max Planck, resistiram a essa idia.
Um grande defensor da teoria atmica, e proponente de alguns modelos
matemticos para esta, foi Ludwig Boltzmann. Seus modelos contriburam na rea da
teoria cintica dos gases e para a mecnica estatstica, atravs das quais Jean Perrim
teve a base para medir o nmero de molculas em um molcula-grama.(LOPES, 1993).
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 10
2.1.2 A Descoberta do Eltron
No final do sc. XIX a idia de tomo j era bem aceita na comunidade
cientfica. D-se inicio, ento, a busca por um modelo que explicasse como seria esse
tomo.
Em 1897, liderados pelo fsico ingls lorde Joseph John Thomson (1856
1940), os fsicos experimentais do laboratrio de Cavendish dedicavam-se aos estudos
da descarga eltrica em gases rarefeitos, descobriram uma radiao que emanava dos
tubos de descarga. A radiao foi chamada de raio por ser propagar em linha reta e por
ser oriunda do catodo ficou conhecida como raio catdico. Nos experimentos de
Cavendish foi constatado tambm que a radiao transmitia um impulso aos corpos com
os quais interagia e era parada por um fino obstculo.
Embora os fsicos alemes, em destaque Hertz, sustentassem uma verso
ondulatria da partcula os pesquisadores ingleses como Crookes e Perrin acreditavam
numa estrutura corpuscular. Thomson tambm defendia a teoria corpuscular tentando
descobrir a relao carga/massa das partculas. Com a colaborao de H. A. Wilson, R.
A. Millikan, Kaufmann e outros, Thomson constatou que as partculas constituintes dos
raios catdicos seriam muito menores que qualquer tomo conhecido. G. Stoney batizou
a partcula como eltron. (EISBERG e RESNICK 1988, LOPES, 1993)
2.1.2.1 O Modelo de Thomson
Estes resultados foram anunciados em 30 de abril de 1897, em uma
conferencia na Royal Institution. A descoberta da constituio dos raios catdicos levou
os pesquisadores a acreditar que tais eltrons seriam provenientes dos tomos que
compunham o catodo.
Em 1898, Thomson lana o primeiro modelo detalhado para o tomo, que
ficou conhecido como pudim de ameixas (plum pudding) ilustrado na figura 2.1.1.
Neste modelo o tomo seria uma grande esfera onde toda a carga positiva distribua-se
continuamente. Os eltrons estariam espalhados uniformemente (devido repulso
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 11
couloumbiana) no interior da esfera como ameixas em um pudim. As posies dos
eltrons seriam fixas em seus estados de menor energia e vibrariam em torno da posio
estacionria no caso de excitao deste tomo.
Figura 2.1.1: modelo atmico de Thomson
Em 1904 o fsico japons Hantaro Nagaoca prope um modelo planetrio onde
os eltrons girariam em rbitas circulares em torno de um ncleo slido onde se
concentraria toda a carga positiva do tomo.
Pela teoria clssica do eletromagnetismo uma carga em movimento acelerado,
como o caso do eltron de Nagaoca, perderia energia constantemente atravs da
emisso de radiao eletromagntica. Devido a isso, haveria uma diminuio constante
do raio orbital at o momento em que a carga atingisse o centro da rbita. Para o tomo,
isto significaria a queda do eltron para o ncleo havendo assim a aniquilao de
cargas.
Como este fenmeno no observado o modelo de Nagaoca foi considerado
inconsistente, prevalecendo assim, o modelo de Thomson.
2.1.2.2 O Modelo de Rutherford
Convidado por Lorde Thomson, o jovem fsico neozelands, Ernest
Rutherford juntou-se equipe do laboratrio de Cavendish e comeou a trabalhar com a
radioatividade no final do sc. XIX.
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Figura 2.1.2: Ernest Rutherford (1871-1937)
Aos 26 anos de idade Rutherford fez a descoberta que o tornaria famoso.
Aplicando uma diferena de potencial na sada de uma fonte de radiao Rutherford
percebeu a emisso de dois tipos distintos de radiao. Uma delas, com baixo poder de
penetrao devido a sua elevada massa, era atrada pelo plo negativo. Essa radiao,
chamada radiao (alfa), era como um tomo de hlio sem os eltrons.
A outra tinha maior poder de penetrao devido a sua menor massa (igual a
dos eltrons) era atrada pelo plo positivo e ficou conhecida por radiao (beta).
Orientados por Rutherford, Johanes Hans Geiger (1882 1945) e Ernest
Marsden (1889 1970) passaram a trabalhar em 1909 com um aparato experimental
que lhes permitia saber a trajetria das partculas emitidas por uma fonte radioativa
bombardeando um determinado alvo. O aparato experimental referido est
esquematizado na figura 2.1.3. No caso da experincia de Marsden e Geiger o alvo era
uma lmina de 4 x 103 de espessura de ouro. As partculas eram observadas graas
a cintilao que provocavam em uma folha de sulfeto de zinco que envolvia todo o
sistema fonte-alvo.
Figura 2.1.3: aparato experimental utilizado por Rutherford e sua equipe
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 13
Pelo modelo de Thomson as partculas por terem massa e carga muito menor
que os tomos da lmina de ouro, no atravessariam o alvo. Mas, no foi isso que se
observou.
Para surpresa de Geiger, Marsden e Rutherford uma grande luminosidade
continuou aparecendo no outro lado da lmina de ouro. O que indicava que a maior
parte da radiao alfa emitida pela fonte atravessava facilmente a lmina sem colidir
com seus tomos.
Outros pontos luminosos tambm foram observados na folha de sulfeto de
zinco, porm, muito menos intensos. Tambm chamava muito a ateno o fato de uma
pequena frao de radiao alfa (cerca de 1 em 20.000) causavam luminosidade na parte
anterior a lmina de ouro, ou seja, teriam sido desviadas a um ngulo maior do que 90.
O fato de a maior parte da radiao alfa emitida no interagir com os tomos
do material alvo era uma evidncia de que a maior parte do tomo seria vazio, trazendo
novamente tona o modelo de Nagaoca, porm, com ajustes feitos por Rutherford.
O tomo de Rutherford ocuparia um volume esfrico, por onde os eltrons
estariam girando de forma a distriburem uniformemente a carga negativa na chamada
eletrosfera. Toda a carga positiva e a maior parte da massa do tomo estaria concentrada
no centro da esfera denominada ncleo. Segundo a anlise de Rutherford a seo de
choque em funo do ngulo de incidncia de partcula (Z`=2) com ncleos (para
ncleos pontuais e infinitamente pesados) seria:
( ) ( )21
2.4'
4
2
200
2
senmveZZ
= (2.1.1)
As equaes de Rutherford levaram a uma distncia mnima entre a partcula
incidente e o ncleo.
( )
+=
2sen11
4'
200
2
mveZZr (2.1.2)
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Moseley props em 1914 um nmero relacionado ao ncleo denominado
nmero atmico Chadwick utilizou a expresso 2.1.1 para determinar o nmero atmico
de diversos elementos alvo e obteve resultados extremamente prximos aos que
conhecemos hoje. Os nmeros atmicos de Chadwick para alguns elementos podem ser
vistos na tabela 1.
Tabela 1: comparativo entre os nmeros atmicos conhecidos atualmente com os encontrados por Chadwick.
Elemento Z Valores de Z encontrados por Chadwick
Cu 29 29,3
Ag 47 46,3
Pt 78 77,4
Em 1922, Rutherford e Chadwick descobriram que a uma distncia de 10-12 o
espalhamento no mais obedece a 2.1.1 . Este foi o primeiro indicio da existncia de
foras de curto alcance.
2.1.3 A Teoria Quntica
Nesta seo sero apresentados alguns princpios e idias que deram origem a
teoria quntica para o tomo. Sero citados os trabalhos de alguns dos seus principais
autores.
2.1.3.1 Max Planck
Em uma cavidade fechada, sem a presena de carga, parte da radiao
eletromagntica emitida pelos tomos das paredes da cavidade tambm absorvida
pelas paredes.
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Em condio de equilbrio, toda energia emitida em um determinado tempo
absorvida pelas paredes no mesmo intervalo de tempo. A densidade (u) de energia na
cavidade est ligada freqncia () das radiaes e a temperatura (T) de suas paredes:
u= u(,T) (2.1.3)
Fazendo um orifcio muito pequeno em relao s dimenses da cavidade, de
forma que a energia perdida seja desprezvel para densidade interna, consegui-se obter
dados experimentais a cerca da freqncia e da densidade de radiao. E desta forma foi
traada a curva da figura 2.1.4.
Figura 2.1.4: curva experimental da densidade de energia de radiao numa cavidade em equilbrio a uma temperatura em funo da freqncia.
Lorde Rayleigh e James Jeans fizeram a primeira tentativa de descrever,
teoricamente, a relao entre a densidade de energia com a freqncia de radiao,
usando uma analogia a osciladores harmnicos espalhados pelas paredes da cavidade.
Para tanto:
))(=) T,(T,u( d (2.1.4)
onde ()d o nmero de osciladores harmnicos lineares por unidade de volume em
uma cavidade de volume V; e a energia mdia dos osciladores.
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Para um oscilador harmnico de freqncia /2 e = kc obtiveram a energia
mdia dos osciladores como:
( ) kTde
deT
kT
kT
==
',
0
'
0
(2.1.5)
Sendo ()d dada por:
( ) dc
d 238
= (2.1.6)
Obtemos a densidade u(,T) como:
( ) kTc
Tu 328, = (2.1.7)
Para baixas freqncias os resultados de Lorde Rayleigh e James Jeans se
mostraram satisfatrios, porm, para altas freqncias os resultados experimentais
fogem completamente a expresso 2.1.7 conforme pode ser visto na figura 2.1.5.
Figura 2.1.5: A lei de Rayleigh e Jeans prev que u(,T) cresce com 2, o que
no se confirma para a curva experimental
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Em 1900 o fsico alemo, Max Karl Ernst Planck (18581947) encontra uma
soluo para o modelo experimental existente. Considerando correta a anlise de Lorde
Rayleigh e James Jeans que levara a expresso 2.1.4. Planck considerou falsa a hiptese
da continuidade da energia dos osciladores harmnicos.
Portanto:
( )
=
=
=
0
0,
n
kTE
n
kTE
n
n
n
e
eET (2.1.8)
Planck diz que a energia de um oscilador harmnico linear um mltiplo
inteiro de um dado valor:
En = n0 n=0,1,2...
Ento 2.1.8 fica:
( )1
,0
0
= kTe
T
(2.1.9)
Logo a densidade de energia, segundo 2.1.4 e 2.1.9 :
( )1
8,0
03
2
= kTec
Tu
Para que a expresso concorde com a curva experimental ou seja:
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lim u(,T)=0
0 deve ser crescente em
para tanto Planck props:
( )
h=
=
0
00
A partir da h passou a ser uma constante universal.
Ento 2.1.9 passa :
( )1
,
=kT
he
hT
e a densidade de energia:
( )1
8, 32
=
kTh
e
hc
Tu
A constante de Planck chamada de Quantum de Ao e vale 6,6 x 10-34J.S.
Usa-se, tambm, a constante h/2 que ganhou o smbolo . h
At ento se acreditava, pela mecnica clssica, que a energia de um oscilador
harmnico era contnua. Planck introduziu com seu trabalho um novo conceito Fsica,
o conceito da quantizao de energia.
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2.1.3.2 O Modelo de Bhr
Em setembro de 1911 o laboratrio de Cavendish recebe o jovem doutor em
fsica de origem dinamarquesa Niels Henrik David Bhr (1885 1965) que pretendia
desenvolver trabalhos com o ento diretor do laboratrio, Lorde Thomson. Infelizmente
essa parceria cientfica nunca ocorreu. Mas, foi em Cavendish que Bhr conhecer
Ernest Rutherford, em um seminrio apresentado por Rutherford sobre as experincias a
cerca de seu modelo atmico. Em pouco tempo Bhr renunciou a universidade de
Cambridge, para se juntar equipe de Rutherford em Manchester. Esta parceria
(Rutherford Bhr) marcaria para sempre a histria da fsica.
Figura 2.1.6: Niels Bhr, Nobel de fsica em 1922.
Com relao ao modelo planetrio de Rutherford, Bhr no tenta refut-lo, ao
contrrio, tentou devolver-lhe a estabilidade.
Para a discusso do modelo de Bhr necessrio antes que se conhea um
pouco a espectroscopia.
O espectro de um elemento o conjunto de linhas espectrais que este pode
produzir em um filme fotogrfico atravs da emisso de ftons com diferentes
comprimentos de onda. possvel obter o espectro de um determinado elemento com o
espectroscpio cujo esquema se encontra na figura 2.1.7.
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Figura 2.1.7: esquema de um espectroscpio por disperso de energia.
Uma quantidade de gs monoatmico excitada, atravs de descarga eltrica.
Quando este retoma seu estado natural emite radiao equivalente diferena energtica
entre estado excitado e natural. Essa radiao colimada por uma fenda. O feixe
colimado passa por um prisma (ou rede de difrao) onde os diferentes comprimentos
de onda sero separados e assim, marcaro em um filme fotossensvel.
Cada elemento tem um conjunto de linhas caracterstico e atravs destes
possvel saber a composio qumica de substncias. Essa aplicao contribuiu para que
muitas medidas fossem tomadas, no final do sculo XIX para o estudo desses
complexos espectros de elementos.
O tomo de Hidrognio, devido a sua constituio bastante simples, gera um
espectro, tambm, muito simples. A figura 2.1.8 mostra uma parte do espectro de
Hidrognio onde o comprimento de onda das linhas est, aproximadamente, na faixa de
luzes visveis.
Figura 2.1.8: Ao alto: foto da parte visvel de um espectro de Hidrognio;
abaixo: esquema da imagem do espectro com os valores de correspondentes.
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Na figura 2.1.8 podemos perceber a regularidade na diminuio do intervalo
entre as linhas. Essa regularidade, bastante clara, estimulou muitas tentativas de se
descrever o espectro com uma expresso emprica. Balmmer props em 1885:
43646 2
2
=
nn (em )
Esta expresso capaz de prever o comprimento de onda das 9 primeiras
linhas desse espectro. A descoberta de Balmmer levou a uma corrida por expresses
gerais descrevessem espectros mais complexos. Nessa corrida destacou-se o sueco
Raydberg (1854 1919) que props a seguinte frmula , em termos do nmero de onda
k (k= 1 = c )
== 22
111
baH nn
Rk
, onde n = 3, 4, 5... (2.1.10)
Onde RH = a constante de Raydberg para o Hidrognio. O valor de RH
encontrado experimentalmente de 1,097373 x 107m-1. Para a srie de linhas, cujo
comprimento de onde Balmmer previu, a expresso 2.1.10 escrita como:
== 2
1411
bnk
para n = 3, 4, 5...
que descreve a chamada srie de Balmmer.
Hoje so conhecidas cinco sries de linhas espectrais para o tomo de
Hidrognio, como visto na tabela 2 descritas pela expresso 2.1.10.
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Tabela 2: sries de linhas espectrais para Hidrognio
Nomes Faixas de comprimento de Onda Frmula
Lyman Ultravioleta
= 22
111
nRH n=2, 3, 4,...
Balmmer Ultravioleta prximo ao visvel
= 22
121
nRH n=3, 4, 5,...
Paschen Infravermelho
= 22
131
nRH n=4, 5, 6...
Brackett Infravermelho
= 22
141
nRH n=5, 6, 7...
Pfund Infravermelho
= 22
151
nRH n=6, 7, 8...
Em 1913 tendo como alicerce o modelo planetrio de Rutherford e a idia de
quantizao da energia de Max Planck, Bhr prope um modelo para o tomo, baseado
em quatro postulados (apud EISBERG, RESSNICK, 1988):
1 Um eltron em um tomo se move em uma rbita circular em torno do ncleo sob influncia da atrao coulombiana entre o eltron e o ncleo, obedecendo s leis da mecnica Clssica.
2 Em vez da infinidade de rbitas que seriam possveis segundo a mecnica clssica, um eltron s pode se mover em uma rbita na qual seu momento orbital angular L um mltiplo de (a constante de Planck dividida por 2)
3 Apesar de estar constantemente acelerado, um eltron que se move em uma dessas rbitas possveis no emitem radiao eletromagntica. Portanto sua energia total E permanece constante.
4 emitida radiao eletromagntica se um eltron, que se move inicialmente sobre uma rbita de energia Ei muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma rbita de energia total Ef. A freqncia da radiao emitida igual a quantidade (Ei Ef) dividida pela constante de Planck h
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O primeiro e o segundo postulados constroem a idia de um ncleo com
rbitas quantizadas:
hnmvrnhmvr ==2
onde n = 1, 2, 3... (2.1.11)
O terceiro postulado invalida a instabilidade do eltron por no se poder tratar
como um caso clssico. O quarto est ligado a teoria de Einstein de que a freqncia
de um fton igual a sua energia dividida pela constante de Planck:
( )fiif EEh =1 (2.1.12)
( )
( )fiif
fiif
EE
EEh
=
=
h
Para o eltron permanecer em uma trajetria circular preciso que haja um
equilbrio entre as foras coulombianas (de atrao) e a centrfuga (de fuga), para isso
considerando.
20
22
4 nn re
rmv
= (2.1.13)
isolando v2: m
ev0
22
4=
isolando v2 em 1 temos: 2222
2
nrmnv h=
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 24
ento: 2222
0
2
4 nn rmn
mre h
=
e
20
22 4me
nrnh
=
considerando 0
22
4eq = (2.1.14)
tem-se: 22
mqnrn
h= (2.1.15)
Obtm-se ento um para o orbital circular do eltron raios mltiplos nmeros
inteiros sucessivos. Substituindo as constantes em 2.1.15 para n=1 tem-se o menor raio
chamado raio de Bhr seu valor a0=5,292 x 10-11m.
20 mqa h= (2.1.16)
e
02anrn = (2.1.17)
onde n = 1, 2, 3...
Tem-se a partir da uma imagem das rbitas estacionrias de Bhr.
Os postulados sugerem que em uma rbita estacionria especfica a energia do
eltron no varia, por isso no emite ftons. Vamos analisar, ento, a energia para as
rbitas estacionrias de Bhr:
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Em 2.1.13 tem-se:
nremv
0
22
4=
Da nr
emv0
22
421
2 =
Ento:
( ) nn reE
0
2
42 =
E considerando a equao 2.1.14 tem-se:
nn r
qE2
2
=
e considerando a equao 2.1.15 tem-se:
22
22
2 hnmqqEn = (2.1.18)
2
4
2 21
h
mqn
En = (2.1.19)
e considerando
2
4
0 2hmqE =
tem-se:
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20
nEEn = (2.1.20)
onde n = 1, 2, 3...
O termo obtido nos d um valor constante tambm para a menor energia
possvel para o eltron do tomo de Hidrognio. Substituindo valores em 2.1.18 para
n=1 temos
E0 = -13,6 eV
O sinal negativo representa uma energia de confinamento.
Do 4 postulado de Bhr (2.1.12) tem-se:
hEE fi =
Substituindo 2.1.10 em 2.1.12 tem-se:
22
22
22
22
22 hh fi nmqq
nmqqh =
= 223
4 114 fi nnmqh
(2.1.21)
De Raydberg tem-se:
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= 22
11
ba nnRc
Podemos, facilmente, perceber a semelhana entre a expresso terica de Bhr
e a emprica encontrada por Raydberg igualando as expresses temos:
=
fiba nnmq
nnRc 11
411 4
h
Considerando:
=
fiba nnnn1111
tem-se:
3
4
4 hcmqR
= (2.2.22)
R=1,09677 x 10-7m-1
Que concorda com o valor experimental reforando a teoria de Bhr.
Embora o modelo de Bhr apresentasse problemas, ele representa um grande
avano na teoria atmica pelo conceito da quantizao das energias. Pouco tempo
depois de enunciado o modelo de Bhr verificaram-se energias diferentes para um
mesmo orbital.
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Zommerfeld props ento, rbitas elpticas que tm, devido excentricidade,
energias diferentes em uma mesma rbita. Ele prope um segundo nmero quntico: k,
que est ligado excentricidade do orbital. O nmero k se relaciona com os eixos
atravs da seguinte expresso:
kn
menoreixodoocomprimentmaioreixodoocompriment
=______
O modelo de Bhr com os complementos de Zommerfeld hoje conhecido
como antiga teoria quntica.
2.1.4 A Nova Teoria Quntica
Depois de construdas as bases da teoria quntica far-se-, nessa seo, uma
breve exposio das idias que aliceraram o conceito de quantizao da matria. Sero
tambm expostas superficialmente, noes sobre o surgimento da Mecnica das
Matrizes e da Mecnica Ondulatria.
2.1.4.1 De Broglie
Em 1886 e 1887 Henrich Hertz (1857 1894) realizou experimentos que
confirmaram experimentalmente a teoria de Maxwell. Dentre os experimentos de Hertz
h o que mostra a descarga eltrica entre dois eletrodos facilidade se sobre um dos
eletrodos incidido um feixe de luz ultravioleta. Mais tarde Hallwachs deu
continuidade a esses experimentos. Baseado nos experimentos de Hallwachs, Lenard
mostrou que a incidncia de luz faz com que o catodo emita eltrons. Este fenmeno
ficou conhecido como efeito fotoeltrico.
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 29
Em 1905, o jovem fsico alemo Albert Einstein (1878 1955) props uma
nova teoria para explicar o efeito fotoeltrico, na qual, a energia das ondas
eletromagnticas estava quantizada em pacotes inicialmente localizadas em pequenos
volumes do espao que mais tarde vieram a ser chamados de ftons. Einstein argumenta
que nos experimentos onde a luz se comporta como uma onda, os pacotes de energia so
vistos de forma coletiva. Embora estas experincias mostrem que a luz se propaga de
maneira ondulatria, sua emisso e absoro se do de uma forma corpuscular, com
pulsos de energia.
Para Einstein o fton teria freqncia de radiao ; se propagaria com
velocidade c; sua energia seria expressa por h e seu momento na direo de propagao
seria h/c. A idia de velocidade constante nos mostra que o fton no uma partcula
comum uma vez que no teria massa de repouso. Esse trabalho daria a Einstein o
prmio Nobel em 1921.
Embora no incio de sua vida acadmica o nobre francs Louis De Broglie
Interessara-se por histria eclesistica, foi no campo da fsica que ele assinou seu nome
na histria. Irmo do prestigiado fsico experimental Maurice De Broglie, que
secretariou por algum tempo o Congresso de Solvay, Louis Victor Pierre Raymond ou
Prncipe De Broglie (18921987) apresentou Faculdade de Cincias da Universidade
de Paris em 1924, sua tese de doutorado intitulada Pesquisas Sobre A Teoria Dos
Quanta.
Figura 2.1.9: Louis De Broglie, Nobel de fsica de 1929.
Partindo do princpio j comprovado da teoria de Einstein para o efeito
fotoeltrico, onde a luz, que classicamente se conhecia como onda, tem um
comportamento de partcula, De Broglie props que tambm a matria tivesse um
carter ondulatrio. Da mesma forma que a luz apresenta seu carter corpuscular atravs
da constante universal de Planck h, tambm o eltron, que tinha seu movimento
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 30
limitado por h no tomo de Bhr, apresentaria seu carter ondulatrio atravs da mesma
constante h.
De Broglie expressou os aspectos quantitativos desse conceito da mesma
forma que Einstein o fizera para a radiao. A energia E da partcula, assim como da
radiao, est relacionada com sua freqncia por:
hE =
E seu momento linear p est relacionado com o comprimento de onda por:
hp =
A tese de De Broglie causou grande controvrsia entre os fsicos. Embora
muitos trabalhos tivessem sido publicados na tentativa de explicar suas ondas de
matria, a princpio para a comunidade cientfica todos os tipos de onda j eram
conhecidos. Muitas eram as objees e desconfianas a cerca da teoria de De Broglie,
porm esta despertou interesse de alguns fsicos como Einstein, que recebeu a tese pelas
mos de Paul Langevin, professor de De Broglie.
O grande feito terico de De Broglie foi relacionar o comprimento de onda a
massa m da partcula e sua velocidade v em uma expresso onde aparece a constante de
Planck h evidenciando que tais ondas so quantizadas. Ento, uma vez que:
p= mv
o comprimento de onda de De Broglie :
mvh=
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 31
Essa expresso nos leva a ordens de grandeza de muito pequenas para serem
detectadas se utilizadas em situaes do cotidiano, porm, para o caso de um eltron
cujo a massa 10-27g submetido a uma ddp de 1 Volt de forma a atingir uma velocidade
de 6x107cm/s encontra-se um entorno de 10-7. Prximo a ordem de grandeza dos raios
X, isso animaria os experimentalistas da poca.
A ondulatria do eltron teve plena aceitao a partir de 1927 com os
experimentos de L. H. Germer, do russo P. S. Tartakovisky e dos ingleses Alexandre
Reid, Clinton Joseph Davisson (1881 1958) e Sir Georg Paget Thomson (1892
1975). Os dois ltimos vieram a receber o Prmio Nobel em 1937 pela difrao de
eltrons por cristais, onde encontraram para o eltron o mesmo comprimento de onda
encontrado teoricamente por De Broglie.
Curioso observar que J. J. Thomson descobriu a existncia dos eltrons como
partculas dotadas de carga e massa em 1897 e por esse feito recebeu o Prmio Nobel
em 1906. J seu filho, G. P. Thomson descobriu a difrao eletrnica em 1927 e
recebeu, por esse feito, o Prmio Nobel em 1937 juntamente com C. J. Davisson. Sobre
essa curiosidade Max Jammer escreveu: Pode-se ficar inclinado a dizer que Thomson,
o pai, recebeu o Prmio Nobel por ter mostrado que o eltron era uma partcula, e
Thomson, o filho, o recebeu por ter mostrado que o eltron uma onda. (EISBERG e
RESNICK, 1988).
Foi no quinto Congresso de Solvay em Bruxelas, no vero de 1927 que a
comunidade cientfica conheceu os alicerces da nova teoria quntica estabelecidos por
Werner Heisenberg e por Ervin Schroedinger desenvolvidos por ambos, separadamente,
e com abordagens diferentes, porm considerando o trabalho de De Broglie.
2.1.4.2 O Modelo de Heisenberg
Um dos beros da Mecnica Quntica foi a Escola de Gttingen onde Max
Born (1882 1970) e seus assistentes, Pascoal Jordan (1902 1980) e Werner Karl
Heisenberg (1901 1976) procuravam solues para o tomo de Hidrognio nos idos de
1925. Eduardo dos Passos Belmonte
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Figura 2.1.10: Werner Karl Heisemberg
O jovem fsico alemo Heisenberg acreditava na validade do modelo de Niels
Brh, porm, sua intuio dizia que este, ainda, no havia sido experimentado
adequadamente. Heisenberg acreditava que as rbitas de Bhr no poderiam ser
observadas, embora, as linhas espectrais fossem, evidentemente, resultado de uma
transio entre diferentes nveis de energia. Seus estudos considerando a intensidade das
linhas espectrais preencheriam uma lacuna no modelo de Bhr.
A intuio de Heisenberg dizia no ser interessante para o estudo do estado de
um tomo limitar os clculos a analogias com a realidade macroscpica.
Heisenberg desenvolveu um clculo com tabelas onde Born reconheceu a
semelhana com as matrizes, ramo da matemtica introduzido pelo ingls Cayley no
sc. XIX. Atravs das matrizes Heisenberg desenvolveu a primeira teoria consistente
para a Mecnica Quntica. Verificou que algumas grandezas no comutavam, isso o
induziu a propor, em 1927, as Relaes de Incerteza. Segundo as Relaes de Incerteza
impossvel conhecer ao mesmo tempo a velocidade de uma partcula e seu momento,
contrariando os princpios da Mecnica Clssica.
Com o sistema de Heisenberg foi possvel explicar a alternncia entre as linhas
de intensidade, fortes e fracas no espectro do Hidrognio molecular.
Os clculos de Heisenberg, embora rigorosamente precisos, para alguns casos
se mostravam muito difceis e devido a isso, com o tempo foram sendo substitudos por
outras formulaes matemticas como a Mecnica ondulatria de Schrdinger. Em
1932 Heisenberg foi laureado com o Prmio Nobel pela criao da Mecnica Quntica
ou Mecnica das Matrizes. (ROCHA et al., 2002).
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2.1.4.3 O Modelo de Schrdinger
Professor da Escola de Zurique o austraco Erwin Schrdinger (1887 1961)
s tomou conhecimento dos trabalhos de De Broglie em 1926. Deste ento se empenhou
na busca de uma equao que descrevesse as ondas de matria. Em um seminrio
realizado em Zurique, Schrdinger foi incumbido de apresentar uma palestra sobre a
tese de De Broglie. Os estudos para tal apresentao estimularam Schrdinger a
encontrar uma equao de onda no relativstica e com carter corpuscular para o
eltron. Os passos que o levaram a tal equao esto descritos em sete artigos assinados
por Schrdinger.
Figura 2.1.11: Erwin Schrdinger
A equao de Schrdinger uma equao diferencial parcial de primeira
ordem em relao ao tempo e de segunda ordem em relao as coordenadas espaciais,
cuja soluo a funo de onda que trs informaes sobre o estado fsico do sistema.
Este objeto matemtico representa o eltron e o quadrado do seu mdulo da a
probabilidade de se encontrar este eltron em uma determina regio prxima ao ncleo
denominada orbital. Hoje conhecemos a equao de Schrdinger como:
ttxitxtxV
xtx
m
=+
),(),(),(),(
2 222
hh
Diferentes das rbitas de Bhr os orbitais so regies nas redondezas do
ncleo onde os eltrons tm grande probabilidade de serem encontrados. Para a
Mecnica Quntica os eltrons no mais traariam rbitas ao redor do ncleo, mas, sim
realizariam movimentos com uma distribuio de probabilidade dependente do tempo Eduardo dos Passos Belmonte
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 34
de se encontrar em uma determinada posio. Nestes movimentos na regio orbital o
conceito de trajetria deve ser abandonado. Em um mesmo estado quntico o eltron
no sofre mudanas de energia. Uma mudana de energia do eltron implica numa
mudana de orbital, uma vez que cada orbital caracteriza um estado quntico e este est
ligado a uma energia caracterstica. Esta mudana de energia est ligada emisso ou
ganho de energia atravs de um fton. A essa transio d-se o nome de salto quntico.
Os estados qunticos so caracterizados pelos nmeros qunticos: principal
representado pela letra n que est ligado distncia do ncleo; o nmero quntico
orbital est ligado ao momento angular orbital e representado por l; o nmero
quntico magntico m est ligado dependncia angular da funo de onda do
eltron; o spin, representado por s est ligado a uma propriedade eletrnica anloga ao
movimento de rotao.
Essa segunda formulao da Mecnica Quntica, a Mecnica Ondulatria de
Schrdinger, obteve muito sucesso, conseguiu reproduzir vrios resultados de De
Broglie para o tomo de Bhr e conseguiu explicar a frmula emprica de Balmmer para
o espectro do Hidrognio.
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2.2 Interao da radiao com a matria
2.2.1 Fenmenos de Interao
Por no possuir carga nem massa as radiaes eletromagnticas podem
penetrar grandes espessuras de matria sem interagir com seus tomos. Sua
probabilidade de interao depende da energia da radiao incidente e tambm de
propriedades do material alvo como o nmero atmico Z dos elementos que o compem
e sua densidade como veremos adiante.
No percurso da radiao dentro do material h uma probabilidade muito
maior de ocorrncia nas camadas eletrnicas do que nos ncleos dos tomos do material
irradiado. Nesse processo de interao trs so os fenmenos predominantes:
Efeito fotoeltrico;
Espalhamento Compton;
Produo de pares.
2.2.1.1 Efeito Fotoeltrico:
Como visto na seo 2.1.4a Einstein mostrou que uma onda eletromagntica
incidente em um material interage com seus tomos de forma corpuscular. No caso do
efeito fotoeltrico o fton colide com o eltron e transmite para este toda a sua
energia desaparecendo por completo. O eltron por sua vez ejetado do material, como
ilustrado na figura 2.2.1. Portanto para a ocorrncia do efeito fotoeltrico a energia h
do fton deve ser maior ou igual a energia de ligao do eltron com o tomo do
material alvo. A energia cintica K do eltron ejetado depende da energia do fton
incidente e da energia de ligao do eltron.
K=h-
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onde:
K= energia cintica do eltron;
= energia de ligao;
h= constante de Planck;
= freqncia da radiao.
Figura 2.2.1: esquema do efeito fotoeltrico
O efeito fotoeltrico ocorre com maior probabilidade para ftons incidentes de
baixas energias e para interao com elementos de elevado nmero atmico.
O eltron ejetado nesse processo deixa uma vacncia que ser preenchida por
um eltron oriundo de um nvel mais energtico. A diferena de energia sofrida por esse
eltron ser eliminada pela emisso de um fton cuja energia ser igual diferena entre
a energia do nvel inicial e do nvel final. A esse fenmeno d-se o nome de
fluorescncia.
A maior probabilidade de interao se d quando a energia h do fton igual
a energia de ligao do eltron. A probabilidade decai com o aumento da energia do
fton como mostra a figura 2.2.2. Quando interaes com a camada K so permitidas,
80% das interaes ocorrem nessa camada.
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Figura 2.2.2: seo de choque para o efeito fotoeltrico para o Chumbo em funo da
energia do fton incidente
Quando o fton atinge a energia de ligao da camada K observa-se um brusco
crescimento na seco de cheque. O mesmo pode-se observar para a camada L
2.2.1.2 Espalhamento Compton
Compton em 1923 incidiu um feixe de raio X de comprimento de onda sobre
um alvo de grafite e mediu a intensidade dos raios X espalhados em funo do seu
comprimento de onda para vrios ngulos espalhados. Embora o feixe incidente tenha
apenas um comprimento de onda , o feixe espalhado tem sua intensidade mxima em
dois picos, um em outro em que maior que por uma quantidade . Esta
quantidade chamada deslocamento Compton.
=- (2.2.1)
Compton interpretou esse fenmeno como sendo uma coliso dos ftons com
os eltrons como a coliso de bolas de bilhar.
Como o fton incidente transfere parte de sua energia para o eltron o fton
espalhado deve ter uma energia E menor que a incidente, e portanto, uma freqncia
mais baixa = E/h e conseqentemente um comprimento de onda = c/ maior.
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Seja um feixe incidente de energia E= h a energia total relativstica de uma
partcula, considerando sua massa de repouso e velocidade, :
22
20
1 cvcmE
= (2.2.2)
Como sua velocidade v igual a c sua massa de repouso deve ser zero para
que sua energia seja finita.
Pode se obter o momento p de um fton pela expresso:
E2=c2p2+(m0c2)2 (2.2.3)
Como sua massa de repouso m0 nula ento:
E2=c2p2 (2.2.4)
chp
cEp == (2.2.5)
O processo do espalhamento dos raios X se d na coliso de um fton com um
eltron do material alvo. A figura 2.2.3 ilustra a interpretao de Compton para o
espalhamento de raios X onde um fton incidente de energia E0 e o momento p0 se
propaga na direo de um eltron e na segunda figura, aps a coliso, o fton espalhado
se propaga com energia E1 e momento p1 h um ngulo do eixo de coliso. J o
eltron recua com energia cintica K e momento p a um ngulo do eixo de coliso.
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Figura 2.2.3: esquema ilustrativo da interpretao de Compton para o fenmeno do
espalhamento.
Pelo princpio da conservao do momento temos:
p0=p1cos+pcos (2.2.6)
p1sen=psen (2.2.7)
Elevando-as ao quadrado:
(p0-p1cos)2=p2cos2 (2.2.8)
somando as expresses acima tem-se:
p2=p02 +p12-2p0p1cos (2.2.9)
pela conservao da energia total relativstica tem-se:
E0+m0c2= E1+Km0c2 (2.2.10)
E0-E1=K (2.2.11)
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e de acordo com 2.2.4:
c(p0-p1)=K (2.2.12)
fazendo E= K+m0c2 em 3 Obtm-se:
K2+2Km0c2=c2p2
202
2
2 pKmcK
=+ (2.2.13)
substituindo p2 de 2.2.9 e K de 2.2.12 tem-se:
(p0-p1)2+2mc(p0-p1)=p02+p12-2p0p1cos (2.2.14)
que pode ser reduzida para:
m0c(p0-p1)=p0p1(1-cos) (2.2.15)
ou
)cos1(111
001
=cmpp
(2.2.16)
se h for multiplicado e substitudo por p segundo a expresso 2.2.5 tem-se:
=1-0 =c(1-cos) (2.2.17)
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onde c=h/m0c (2.2.18)
que o comprimento de onda Compton do eltron.
O deslocamento Compton segundo a 2.2.17 varia de zero para = 0,
quando a radiao tange o eltron de forma a no sofrer desvio; 2h/m0c para = 180
no caso de um choque onde o fton seja espalhado na mesma direo de incidncia com
sentido contrrio.
0 2h/m0c (2.2.19)
Se escrevermos a expresso 2.2.16 em funo das energias no lugar dos
comprimentos de ondas ter-se-:
)cos1(01
=cE
hcEhc
Ehc
01
1)cos1(11EEE c
+= (2.2.20)
Considerando Ec=551:
01
1)cos1(51111
EE+= (2.2.21)
Ento:
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0
1 1)cos1(5111
1
E
E+
=
1)cos1(511
10
1
+=
EE (2.2.22)
A expresso 2.2.22 d a energia do fton espalhado em funo do ngulo.
Com relao variao de intensidade da radiao pelo ngulo podemos ter
uma idia observando a frmula de Klein-Nishina que nos d a probabilidade de
espalhamento incoerente em relao ao ngulo slido para o fton individual para
eltron livre, em forma de seo de choque diferencial:
[ ]
+
++
+
=
)cos1(1)cos1(cos1.
)cos1(11.2),(
22
2
20
REd
d NK (2.2.23)
Afigura 2.2.4 mostra a probabilidade de espalhamento em funo do ngulo
conforme descrito na expresso (2.2.23).
Figura 2.2.4: descreve a probabilidade do espalhamento de um fton individual por um
eltron livre em funo do ngulo de espalhamento.
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Para o espalhamento incoerente a seco de choque diferencial :
),(. ZqSd
dd
d NKincoerente
=
O Espalhamento Rayleigh ocorre principalmente para ftons incidentes de
baixa energia e para materiais com Z elevado. Consiste no espalhamento elstico do
fton com um eltron orbital que no ser ejetado. O fton espalhado mantm a mesma
energia incidente, porm, muda sua direo de propagao.
Figura 2.2.5: ilustrao do efeito Rayleigh. Pode-se perceber que o fton mantm sua
energia (h).
O espalhamento Rayleigh chamado de espalhamento coerente e sua seo de
choque diferencial dada por:
2220 )],().[1.( ZqFcord
d coerente
+=
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2.2.1.3 Produo de Pares
Para ftons com energia igual ou superior a 1,022MeV o fenmeno de
interao que predomina a produo de pares. Quando um fton de alta energia passa
perto de um ncleo de nmero atmico elevado, que produz um intenso campo eltrico,
ele interage com o campo transformando sua energia em matria gerando assim um par
eltron-psitron, como mostra a figura 2.2.6. A energia mnima do fton para a
ocorrncia desses fenmenos igual soma das energias de repouso das partculas
resultantes, como a energia de repouso, tanto para o eltron quanto para o psitron de
511keV a energia mnima do fton para a ocorrncia da produo de pares
511keV+511keV 1022keV. O psitron ou anti-eltron possui as mesmas
caractersticas do eltron como sua massa de repouso, porm, sua carga positiva, o que
garante a conservao da carga na produo do par eltron-psitron. Caso a energia do
fton seja maior que 1,022MeV a carga excedente ser responsvel pela energia
cintica das partculas resultantes da reao.
Figura 2.2.6: esquema ilustrativo para o fenmeno da produo de pares.
Pelo princpio da conservao da energia tem-se ento:
h= (K-+m0c2) + (K++m0c2)
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2.2.2 Atenuao e Seo de Choque
Um feixe paralelo de ftons com intensidade I0 que atravessa uma lamina de
um determinado material de espessura x tem sua intensidade atenuada pela interao
dos ftons com os tomos do material, como ilustrado na figura 2.2.7, atravs dos
fenmenos de absoro fotoeltrica, espalhamento Compton ou produo de pares.
Figura 2.2.7: ilustrao da interao do feixe de intensidade
I0 com a placa de espessura x.
Para um fton com uma determinada energia, a probabilidade de interao por
um determinado fenmeno esta ligada seo de choque desse fenmeno. Por exemplo,
para o efeito fotoeltrico o nmero de absores fotoeltricas para uma lmina muito
fina que contm n tomos por unidade de rea e para um feixe I de ftons, pode ser
escrita como:
NFE=KFEIn (2.2.24)
onde: KFE=seco de choque para o efeito fotoeltrico.
A figura 2.2.8 ilustra as sees de choque para os fenmenos predominantes e
a seo de choque total para tomos de chumbo (Pb) relacionando com a energia dos
ftons incidentes.
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Figura 2.2.8: seo de choque para os efeitos de
espalhamento (E), fotoeltrico (FE) e produo de pares (PR).
A probabilidade de interao de um fton com a matria para uma
determinada energia a soma das probabilidades dos fenmenos predominantes, na
figura 2.17 representada pela seo de choque total T.
T= E+FP+FE (2.2.25)
Como as sees de choque variam com a energia do fton incidente e tambm
com o Z do material absorvedor devido sua energia de ligao, a tabela abaixo mostra
os intervalos de energia aproximados onde cada fenmeno d sua contribuio mais
importante na probabilidade de interao. A relao ser apresentada para dois
materiais, um de Z alto (Pb) e outro de Z baixo (Al).
Tabela 3: intervalo de energia da maior probabilidade de interao para cada fenmeno de interao para o Pb e o Al.
Tipo de interao Intervalo de energia
Para o Pb
Intervalo de energia
Para o Al
Efeito Fotoeltrico h < 5 x 105eV h < 5 x 104eV
Espalhamento 5 x 105eV < h < 5 x 106eV 5 x 104eV < h < 5 x 107eV
Produo de Pares 5 x 106eV < h 5 x 107eV < h
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A contribuio dos fenmenos predominantes na interao da radiao
com a matria relacionando a energia do fton incidente com o Z do absorvedor est
ilustrada na figura 2.2.9.
Figura 2.2.9: contribuio dos fenmenos predominantes para o nmero atmico do
material absorvedor em funo da energia do fton incidente
Se na figura 2.2.7 I0 ftons de raios X incidem em uma lmina grossa de
matria de espessura x contendo tomos por cm3. Depois de penetrar uma espessura t
na lmina o feixe passa a ter intensidade I(t) devido s interaes. Considerando uma
placa fina desta lmina dt o nmero de tomos por cm2 vezes o seu volume Adt. Para
simplificar consideramos a rea da lmina como 1cm2. Ento o nmero de tomos da
placa infinitesimal dt. O nmero de ftons que vo interagir com a placa est
relacionado seco de choque total T por uma expresso anloga a 2.2.24 onde seu
valor ser I(t)dx.
O nmero de ftons que sai da placa depois de percorrida uma espessura
t+dt na lmina igual ao nmero de ftons imediatamente antes da placa infinitesimal
menos o nmero de ftons que interagem com a mesma. Esta relao pode ser descrita
por:
I(t+dt)=I(t)-TI(t)dt
I(t+dt)-I(t)=-TI(t)dt (2.2.26)
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Captulo 2 Fundamentos Tericos 48
pela definio:
I(t+dt)-I(t)=dI(t) (2.2.27)
ento:
dI(t)=-TI(t)dt (2.2.28)
logo:
= dttItdI
T )()( (2.2.29)
integrando a expresso na espessura da lmina temos:
=x
T
x
dttItdI
00 )()( (2.2.30)
ln I(x)-ln I(0)= -Tx
xI
xI =)0()(ln (2.2.31)
xTeI
xI =)0()( (2.2.32)
Considerando T como o coeficiente de atenuao total (=T) e
(I(0)=I0) de 2.2.32 tem-se:
I(x)= I0e-x
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A figura 2.2.10 ilustra o decaimento da intensidade relativa (I/I0) com o
aumento da espessura do material absorvedor.
Figura 2.2.10: decaimento da intensidade relativa com o aumento da espessura do
absorvedor
Na determinao do coeficiente de atenuao de um material para evitar
confuses devido a variao do coeficiente com a mudana do estado fsico do material,
costuma-se tabelar os valores de dividindo pela densidade do material. Essa relao
(/) chamada coeficiente de atenuao de massa. A figura 2.2.11 mostra o
comportamento do coeficiente de atenuao de massa do iodeto de sdio para diferentes
energias.
Figura 2.2.11: contribuies dos diversos efeitos na absoro total para a relao coeficiente de atenuao de massa em funo da energia do fton incidente para o
iodeto de sdio (TAUHATA, 2001). Eduardo dos Passos Belmonte
Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo
Captulo 2 Fundamentos Tericos 50
As relaes entre o coeficiente de atenuao de massa para um
determinado material e suas sees de choque microscpicas para cada efeito so:
Efeito Fotoeltrico: AF NAgcm 1)/( 2
=
F: seco de choque microscpica para o efeito fotoeltrico (cm2/tomo)
Efeito Compton: AE NAZgcm
=)/( 2
E: seco de choque microscpica para o efeito Compton (cm2/eltron)
Produo de Pares: AP NAgcm 1)/( 2
=
E: seco de choque microscpica para formao de pares (cm2/tomo)
onde:
A: o nmero de massa (g/mol);
NA: o nmero de Avogrado 6,022x1023 tomos/mol;
Z: nmero atmico.
Para uma mistura ou composto pode se obter o coeficiente de atenuao de
massa total somando os coeficientes de atenuao de massa de cada elemento
multiplicado por seu respectivo peso:
ii
i W
= (2.