Espectroscopia: teoría

14 May 2021 Michael Richer

Espectroscopia: teoría

Referencias:• Kitchin, C. R. 1984, Astrophysical Techniques (Adam

Hilger Ltd.: Bristol, U.K.), Cáp.. 1.2, 2.4 y 4; también hay una edición del 2003

• Gray, D. F. 1992, The Observation and Analysis of StellarPhotospheres (Cambridge University Press: Cambridge, U.K.), Cáp.. 3

• Wheeler, C. C. 1973, en apéndice II del manual del Boller& Chivens del OAN (http://bufadora.astrosen.unam.mx/Ens/Instrumentacion/manuales/boller/boller.pdf)

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Índice• Las componentes de un espectrógrafo• Tipos de espectrógrafos• Dispersar la luz• Interferencia• Consecuencias

– La ecuación de las rejillas– Intervalo espectral libre– Dispersión espectral– Amplificación anamórfica

• Rejillas reales• Iluminación de las rejillas• Espectrógrafos échelle• Resumen y ejemplos

14 May 2021 Michael Richer 2

Los elementos de un espectrógrafo• En general, un espectrógrafo se conforma de

– una rendija (o no; selecciona el objeto a observar)– un colimador (lente o espejo, convierte el haz divergente del

telescopio en un haz paralelo)– un elemento dispersor (usualmente una rejilla de difracción)– una cámara (enfoca el haz paralelo)– un detector (graba el espectro como imagen)


https://www.astro.rug.nl/~ndouglas/teaching/ObservingTechniques/spectroscopy.html

telescopio

rendija

colimador

elemento dispersor

cámara

detector


Tipos de espectrógrafos

• Podemos clasificar los espectrógrafos según su tipo de elemento dispersor:

– Basado en rejillas de difracción:• Rendija larga• Echelle (con o sin dispersor cruzado)• Espectrógrafos integral de campo

– Basado en prismas (también “grism” y “grens”)• Espectrógrafos multi-objetos para objetos débiles• Son todos elementos transmisivos con una eficiencia mayor que las

rejillas.• grism = grating (transmission) on prism• grens = grating (transmission) on lens (poco utilizado)

– Interferómetros Fabry-Perot

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Meta: Dispersar la luz• La meta de un espectrógrafo es descomponer la luz en sus colores

componentes.• Para cumplir esta meta se requiere algún “elemento dispersor”

que logra este efecto.• Rejillas de difracción, prismas o etalones F-P son aparatos ópticos

que permiten descomponer la luz en sus colores componentes.• El efecto físico por lo cual funcionan rejillas de difracción y etalones

F-P es la interferencia.• El efecto físico por lo cual funcionan los prismas es la refracción.• Un espectrógrafo puede tener más que un elemento dispersor o

más de un tipo de elemento dispersor.• Típicamente, cuanto mayor es la dispersión de la luz, mayor es el

tamaño del instrumento.


Refracción: prisma• La refracción en vidrios depende de la

longitud de onda, porque el índice de refracción es función de la longitud de onda.

• La Ley de Snell relaciona la velocidad de la luz en dos medios con el índice de refracción en ambos medios o la velocidad de la luz en UN medio para luz de distintas longitudes de onda.

• Al pasar un haz de luz por un vidrio no paralelo, habrá separación de los colores componentes.

• Se puede utilizar este efecto para construir un espectrógrafo (recordar Newton).

14 May 2021 Michael Richer 6Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Prism_rainbow_schema.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/Snell's_lawhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/2/20/Dispersion-curve.png

Ley de Snell: sin $%sin $&

= (%(&= )%)&

Dispersión: rejilla


Kitchin 2003, AstrophysicalTechniques (IoP Publishing: London, UK)

Para interferencia constructiva:!" = constante

caminos de distintas longitudes

• En un espectrógrafo, la luz es colimada, reflejada por la rejilla, enfocada por la cámara y detectada por el detector.

• Una rejilla de difracción tiene una serie de caras escalonadas.

• La rejilla es iluminada por luz colimada (todos los rayos son paralelos).

• Una rejilla de difracción produce interferencia debido a la interacción cuando se combina la luz de las distintas caras de la rejilla.

• La interferencia se debe a que la luz de cada cara llega al detector con una fase distinta porque la longitud de las trayectorias difiere para cada cara.

• Esencialmente, las caras de la rejilla dividen el haz en una serie de sub-aperturas, la luz de las cuales interfiere al llegar al detector.

interferencia

Lo más común: Rejillas• La mayoría de los espectrógrafos son basados en rejillas de

difracción.• Las rejillas son relativamente eficientes y es factible adaptarlas para

muchas circunstancias.– resolución espectral alta o baja– resolución espectral a cualquier longitud de onda

• Los prismas se usan para ciertos casos:– alta eficiencia– baja resolución espectral– dispersión secundaria (grisms, espectrógrafos échelle).

• Los etalones Fabry-Perot usualmente no tienen una alta sensibilidad, aunque tienen la virtud de permitir una cobertura espacial bidimensional.



Interferencia: la razón que funcionan las rejillas

• Para empezar, suponemos una lente cubierta por una placa con varias sub-aperturas.

• Cada sub-apertura tiene un diámetro grande en comparación con la longitud de onda de la luz.

• Las sub-aperturas tienen una separación grande en comparación con la longitud de onda.

• Se ilumina este aparato con luz colimada.• (Notar que la luz que recibimos del cosmos

viene de distancias tan grandes que es efectivamente luz colimada.)

• Se enfoca la luz de las dos sub-aperturas en un detector.

Kitchin 1984

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Interferencia: detalle• Consideramos una de las sub-

aperturas.• Cada punto emite ondas de luz, las

cuales interfieren cuando se enfocan en la pantalla.

• Esta interferencia da origen a la difracción (límite de Fraunhofer).

• Esta misma interferencia da origen a la PSF en una imagen. (Ver los apuntes sobre telescopios.)

• Por eso, una lente produce una imagen de un objeto.

• Lo mismo pasa con una apertura sencilla, p.ej., en una cámara “pin-hole”.

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Kitchin 1984


La interferencia con una subapertura

• Una sola apertura produce un perfil en la pantalla como el indicado en la figura. Matemáticamente se describe con la ecuación arriba a la derecha.

• Esta es la misma difracción de Fraunhofer, la cual es responsable por definir la PSF en imagen directa (y la formula arriba es la misma).

• Notar la dependencia sobre ( ⁄" #; como para una imagen). Si cambia este cociente, se ensancha o adelgaza el perfil.

• Los máximos secundarios son los anillos de Airy de una imagen.

Kitchin 1984

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$ % = $ 0sin( )" sin %

#)" sin %

#(

donde% es el ángulo con respecto a la normal de la apertura$ 0 es la intensidad para % = 0$ % es la intensidad al ángulo %" es la anchura de la apertura# es la longitud de onda


… y con muchas subaperturas• El primer factor es la estructura

debido a una subapertura. Determina el envolvente de la distribución.

• El segundo factor determina la interferencia entre las subaperturas.

• ⁄# $ ≥ 1, determina el número de máximos dentro de la envolvente.

ambas gráficas de Kitchin 1984

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' ( = ' 0sin. /$ sin (

0/$ sin (

0.

sin. 1/# sin (0

sin. /# sin (0

donde(, ' 0 y ' ( tienen sus significados anteriores$ es el diámetro de la sub-apertura# es la separación entre las sub-aperturas1 es el número de sub-aperturas

1 = 21 = 20


• Se puede demostrar que el segundo factor (la interferencia) tiene máximos cuando !" sin &

' = )! o )' = " sin &donde llamamos ) el orden del máximo.

• La ecuación anterior se conoce como LA ECUACIÓN DE LAS REJILLAS.

• La interferencia descompone la luz al producir máximos para distintas longitudes de onda en distintas direcciones () y " fijos).

• Notar que la separación angular entre los máximos es constante (cada ! radianes).

• La ecuación de las rejillas indica que coincidirán distintas longitudes de onda si resultan de distintos órdenes espectrales. Es decir, si )+'+ = ),',, '+ y ', caerán en el mismo lugar en la imagen (en la misma dirección &).

La ecuación de las rejillas

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Kitchin 2003, Astrophysical Techniques (IoP Publishing: London, UK)

La interferencia con UNA sub-apertura


! = 1: espectro

! = 2: espectro

! = 0

! = 1

! = 3: espectro

• Lo único que varía entre las curvas es la longitud de onda, como indicada.

• Para ( = ), los picos para todas las longitudes de onda coinciden, por lo que obtenemos una imagen (en color).

• Para ( ≠ ), los picos ya no coinciden, por lo que obtenemos un espectro (una secuencia de imágenes monocromáticas).

• En el cuadro inferior, se ven varios órdenes del espectro.

• Los espectros de diferentes órdenes tienen extensiones distintas, por lo que tienen resoluciones distintas (si los pixeles tienen un tamaño fijo).

• Los espectros de distintos órdenes se traslapan, !+,+ = !-,-.


Superposición de órdenesKitchin 1984

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espectro

espectro traslape de órdenes

• Se puede apreciar de la ecuación de las rejillas que la posición del máximo depende de la longitud de onda.

• La gráfica considera una fuente que emite en dos longitudes de onda.• Para órdenes altos, ! “grande”, vemos que las posiciones de los máximos para ambas

longitudes de onda coinciden.• Si consideramos una fuente real, con emisión a todas longitudes de onda, esta

superposición de los máximos ocurre para los máximos de todos los órdenes a cualquier longitud de onda, salvo ! = 0.


Superposición de ordenes• La gráfica muestra la coincidencia

de longitudes de onda de distintos órdenes.

• No es necesario preocuparse de la superposición de órdenes si

– la atmósfera no transmite las longitudes de onda contaminantes (l<3000Å)

– el detector no tiene sensibilidad a ellas (p.ej., luz infrarroja con un CCD),

• En cualquier otro caso, es necesario quitar la luz contaminante con filtros.

Wheeler 197316

corte atmosférico

límite

de

sens

ibilid

ad d

e lo

s CCD

s


Buscábamos Fe X l6374.5Å.Encontramos !"#$ = 6375.5Å.Resulta ser He I l3187.75Å en segundo orden…

Contaminación de otros órdenes

6561

.919

3 (6

638.

2207

@ o

rden

86)

6563

.421

4 (6

639.

7403

@ o

rden

86)

6567

.333

3 (6

643.

6976

@ o

rden

86)

6577

.214

6

6583

.906

0

6588

.539

6

6591

.484

5

6593

.939

1

6596

.114

1

6604

.835

466

05.4

165

Contaminación del orden siguiente.

Las demás líneas son del orden 87.

• Presento ejemplos de la vida real de contaminación de otros órdenes.

• Abajo izq.: Nos despistó mucho...• Derecho: Lo esperábamos.• Abajo der.: ¡Lo aprovechamos

para mejor calibrar!


Intervalo espectral libre• A partir de la ecuación de las rejillas, se puede calcular el intervalo

espectral entre dos longitudes de onda cuyos máximos en órdenes consecutivas coinciden:

!"# = sin( = constante, así que

sin23 !"3# = sin23 ! + 1 "6

#y entonces

789 = "3 − "6 ="6!

donde 789 es el intervalo espectral libre de contaminación.• Si la idea es medir la intensidad de luz en distintas longitudes de onda,

nuestro objetivo es evitar la superposición de órdenes espectrales, porque eso mezcla luz de distintas longitudes de onda.

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La dispersión espectral


• Este espectro del sol eclipsado (lente telefoto con rejilla de difracción) presenta los órdenes espectrales cero y uno en una sola imagen.

• La separación entre los espectros se debe al ángulo entre los órdenes 0 y 1 de la rejilla. El rojo está en un mayor ángulo que el azul (!" = $ sin (; " ↑ ⇒ ( ↑).

• Conforme a la dispersión esperada, el “espectro” resultante del orden 0 es una imagen de luz blanca.

• No vemos nada entre la imagen (! = 0) y el espectro (! = 1) porque el detector no tiene sensibilidad para las longitudes de onda que caen ahí (rayos X y UV) y la rejilla seguramente no sirve para rayos X.

http://apod.nasa.gov/apod/ap131115.html: © Constantine Emmanouilidi

• De la ecuación de las rejillas, obtenemos la dispersión espectral, $"$( =

$ cos (! = resolución 45 (longitud de onda por radian)

lo cual disminuye conforme aumenta el orden espectral, !, es decir se separan más las longitudes de onda a mayor orden espectral.

• Notar que la resolución espectral es infinito para el orden ! = 0. Es decir, para ! = 0, el “espectro” es una imagen.

La resolución espectral• Dado la variación de la intensidad para N sub-aperturas,

! " = ! 0sin% &' sin"

+&' sin"

+%

sin% ,&- sin"+

sin% &- sin"+

,

habrá mínimos cuando ⁄,&- sin" + = 01& donde 01 es un número entero.

• Lo anterior implica que ! " varía más rápidamente con " cuanto mayor es el número de sub-aperturas, ,.

• Como consecuencia, la resolución espectral es mayor cuanto mayor es ,. • En la práctica, esto implica que las rejillas con un rayado más fino (más

subaperturas⇒más líneas/mm), producen espectros con mayor resolución espectral.


Rejillas reales


• No se construyen espectrógrafos con lentes cubiertas con mayas de hoyos…

• Además, la dispersión que hemos considerado envía la mayoría de la energía al orden espectral cero, donde no hay dispersión espectral…

• El elemento dispersor más común en espectrógrafos es la rejilla de difracción, que es un espejo muy precisamente rayado.

• Una rejilla refleja la luz, lo cual cambia la ecuación de las rejillas, resultando en

!" = $ sin ( + sin * ,donde a y b son los ángulos de incidencia y difracción, respectivamente. Cuando ( y * son del mismo lado del normal de la rejilla, tienen el mismo signo.

• Finalmente, las rejillas tienen caras inclinadas, para que envían su energía en órdenes espectrales donde hay dispersión espectral.

• El ángulo de las caras con respecto a la normal de la rejilla, ,, es conocido como el ángulo de blaze.

Gray 1992

El ángulo de blaze


• Se ven los patrones de interferencia para diferentes “ángulos de blaze”. • Inicialmente, este ángulo es cero y vemos que la mayoría de la energía va al orden

cero (imagen, sin dispersión espectral). • A medida que aumenta el ángulo de blaze, la envolvente se corre a desviaciones

angulares mayores, lo cual envía más energía a los órdenes mayores.• En rejillas reales (la simulación es para una lente con cinco hoyos), este proceso

permite optimizarlas para cierta dispersión espectral (uno o varios órdenes) y para una longitud de onda deseada.

• El ángulo de blaze introduce un desfasamiento, ! → ! − $, en la ecuación

% ! = % 0sin( )* sin !

.)* sin !

.(

sin( /)0 sin !.

sin( )0 sin !.


Rejillas comerciales

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• Los fabricantes de rejillas producen rejillas optimizadas para una cierta dispersión a la longitud de onda de blaze, !".

• !" es la longitud de onda de máxima eficiencia de la rejilla. Típicamente, el intervalo espectral donde la eficiencia es al menos el 50% de la eficiencia en !" es de Δ!~ ⁄' ( !" − ⁄( ' !" (el intervalo no es simétrico).

• Para aprovechar de esta optimización, la rejilla tendrá que usarse de tal manera que * = ,, lo cual frecuentemente es incómodo (los haces incidente y difractado están en la misma dirección).

• Si * ≠ ,, la longitud de onda de máxima eficiencia, !., se corre al azul con respecto a la longitud de onda de blaze, !", según

!.!"

= cos * − ,2 .

• En la práctica, el intervalo espectral con al menos el 50% de la máxima eficiencia es Δ!~ ⁄' ( !. − ⁄( ' !. (de nuevo, el intervalo no es simétrico).

• La especificación de una rejilla comercial requiere indicar el número de líneas/mm y la longitud de onda de blaze (o el ángulo de blaze, 4); * y , dependen del espectrógrafo.

Gray 1992

Dispersión espectral


• La dispersión entregada por un espectrógrafo depende de la rejilla, el orden utilizado y la distancia focal de la cámara del espectrógrafo.

• El detector impondrá un limite superior a la resolución, siendo el intervalo espectral visto por 2 a 2.5 píxeles o la PSF de la cámara, sea la que sea mayor.

– Normalmente, se diseña el instrumento para empatar la PSF de la cámara con 2 a 2.5 pixeles del detector.

• La rendija degradará la resolución si la anchura de la rendija excede el intervalo espectral anterior, 2 a 2.5 píxeles o la PSF de la cámara.

• Tradicionalmente, la dispersión espectral de un espectrógrafo es indicado en Å/mm y es dado por

! = #$#% =

# cos %) .

• De manera más práctica,

! = 10- cos .)/0 Å/mm,

donde . es el ángulo del haz difractado) es el orden/ es el número de líneas/mm de la rejilla0 es la longitud focal de la cámara del espectrógrafo (en mm).

Dispersión espectral: La anchura de la rendija

• La gráfica presenta la anchura observa de una línea de emisión en espectros tomados con rendijas de distintas anchuras.

• Se ve el efecto de cambiar la anchura de la rendija, lo cual degrada la resolución espectral en este caso. (El perfil se extiende sobre más de dos pixeles.)

• Suponiendo que la anchura observada se puede describir como la suma de dos perfiles gausianos, se puede derivar el perfil instrumental.

• El perfil instrumental es la imagen que produce el instrumento de una fuente no resuelta.


!"#$% = !'()% + !+,-.%

!+,-.% = /0 %

!"#$: ancho del perfil observado!'(): ancho de la PSF!+,-.: ancho del perfil de la rendijaM: amplificación anamórficaW: anchura de la rendija


Amplificación anamórficaWheeler 1973

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• Se puede modificar el intervalo espectral a observar al cambiar !, girando la rejilla.

• El ángulo que se conserva es el ángulo entre el haz incidente y el haz difractado, " = $ − & en el diagrama a la izquierda.

• La rendija es perpendicular al haz incidente mientras que a cámara es perpendicular al haz difractado.

• Entonces, la anchura proyectada de la rendija es amplificada según

' = cos $cos &

que se conoce como la amplificación anamórfica (' < 1 o ' > 1 son posibles).

• Idealmente, se ajusta la anchura de la rendija para que proyecte sobre ~2.5píxeles en el detector.

– Esta es otra elección en el diseño del instrumento.


• Una rejilla puede ser usada en dos configuraciones: con el normal de la rejilla (GN) apuntando hacia el colimador (haz incidente; !) o hacia la cámara (haz difractado; ").

• Si el normal de la rejilla apunta hacia el colimador (diagrama inferior), es posible que los “escalones” de la rejilla ocultan una parte de la luz incidente, lo que implicará (a) una eficiencia menor y (b) mucha luz dispersado (rebotando) dentro del instrumento. Normalmente, esto no es un problema, porque la configuración más común es tener el normal de la rejilla apuntando hacia la cámara.

• Otro problema ocurre para ángulos grandes: Conforme aumenta la inclinación del haz incidente en la rejilla, el área proyectada por la rejilla disminuye (por un factor de cos !). Para !suficientemente grande, la rejilla no intercepta todo el haz proviniendo del colimador y refleja menos luz hacia la cámara, lo cual disminuye la eficiencia (a veces, dramáticamente).

Gray 1992

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Preocupaciones con la rejilla

Espectrógrafos échelle• Para las rejillas en espectrógrafos échelle,

– el ángulo de blaze es muy grande (!~70°)– el rayado es grueso (pocas líneas/mm; &~75)– ) y * están del mismo lado del normal de la

rejilla y similares, entonces la amplificación anamórfica es mínima (+~1) para la rejilla echelle. (No es necesariamente el caso para el dispersor cruzado.)

– Para interceptar todo el haz del colimador, la rejilla es físicamente muy grande (costoso).

• Las rejillas concentran la luz en órdenes altas (-~20 − 150).

• La dispersión resultante es alta y el rango espectral libre pequeño, pero se requiere una manera de evitar la superposición de los órdenes.

• Normalmente, se separan los órdenes con otra rejilla o con un prisma (o se elige el orden de interés con un filtro).


rejilla normal

rejilla échelle

arriba: Kitchin 2003, Astrophysical Techniques (IoP Publishing: London, UK)abajo: Schroeder 1970, PASP, 82, 1253

-0 = 2 sin ) + sin * Å89: = 0;

- Å/mm202> =

2 cos >- Å/radian

Resumen


• La ecuación de las rejillas:!" = constante = + sin - + sin / Å

• El intervalo espectral libre:

123 = "4 − "6 ="6! Å/mm o 123 = "6

2 Å/mm en primer orden• La dispersión espectral:

= = 10@ cos /!A1 Å/mm

• La longitud de onda de blaze efectiva:"B"C

= cos - − /!

• La amplificación anamórfica:

D = cos -cos /

• donde ! es el orden espectrales el ángulo de incidencia/ es el ángulo de difracciónA es el número de líneas/mm1 es la distancia focal de la cámara

Ejemplo: FSR, contaminación.


FSR

• Suponemos que observamos 6,000Å en cuarto orden con un detector CCD. ¿Cuáles otras longitudes de onda pueden contaminar?

• De la ecuación de las rejillas, tenemos !" = 24,000 Å.

• Un detector CCD detecta fotones hasta 1.1µm mientras que la atmósfera bloca longitudes menores a aproximadamente 3000Å. Estas consideraciones definen el intervalo espectral que podría contaminar.

• Vemos que los órdenes 1 y 2 no contaminarán, porque se trataría de luz que no detecta el CCD (2.4 y 1.2 µm).

• Los órdenes 3 y 5 a 8 contaminarán, con luz en las longitudes de onda de 8000Å, 4800Å, 4000Å, 3429Å y 3000Å. Si uno quisiera observar 6000Å en cuarto orden, sería necesario filtrar esta luz.

• A 6,000Å en cuarto orden, el intervalo espectral libre es de 1500Å (6000Å/4), centrado en una longitud de onda de 6000Å, así que un filtro que transmite 5,250—6,750 Å permite observar sin contaminación. Aun así, es mejor usar un filtro un poco más angosto.

FSR

Ejemplo: Ángulo de blaze• En el espectrógrafo Boller & Chivens en SPM, el ángulo entre el haz incidente y el

haz difractado es de 49˚. Un fabricante entrega una rejilla cuya longitud de onda de blaze es de 1 µm en primer orden. ¿Cuáles son las longitud de onda de blaze efectivas para esta rejilla en los órdenes 1 y 2 en el espectrógrafo Boller & Chivens?

• Las longitudes de onda de blaze efectiva y del fabricante son relacionados por

!"!#

= cos ( − *+

• Entonces, las longitudes de onda de blaze efectivas son 6561Å y 3280Å en primer y segundo orden, respectivamente.

• Esperamos que los intervalos espectrales donde esta rejilla tendrá al menos el 50% de su eficiencia máxima son 4374-9841Å en primer orden y 2187-4920Å en segundo orden. Obviamente, parte del rango de mejor eficiencia en segundo orden no será aprovechable.

• Notar que el numerador del lado derecho de la ecuación es constante para un espectrógrafo.


Ejemplo: Dispersión espectral


• Espectrógrafo: rendija de 1", rejilla de 300 l/mm, !" = 5000Å, primer orden, longitud focal de la cámara 14 cm, 49˚ entre haces incidente y difractado y un ángulo de difracción de -10˚

• Telescopio: 2.1m, cociente focal f/7.5 (la escala de placa es de 13.1"/mm)• CCD: 2048 × 2048 pixeles, 13.5µm cuadrados• La dispersión espectral es ' = 234.5 Å/mm o ' = 3.17 Å/pixel.• La teoría del muestreo entonces implica un elemento de resolución mínima de 2 pixeles, o una

resolución espectral de 6.34Å y una cobertura espectral de 6,492Å. Notar que esta cobertura expectral excede el rango espectral libre…

• Para calcular la amplificación anamórfica, hay que conocer los ángulos de incidencia y difracción. Hay 49˚ entre los haces y el haz difractado tiene un ángulo de -10˚. Entonces, el haz incidente tiene un ángulo de 39˚. La amplificación anamórfica es entonces de . = 0.79.

• !1 = 5000× cos 39 + 10 = 3280Å y el intervalo de mayor eficiencia será 2187-4920Å. • Si la rendija tiene un ancho de 1", esto equivale a 76.4µm en el plano focal. Dada la amplificación

anamórfica, esto traduce en 60.3 µm en el detector, equivalente a 4.5 pixeles. Por lo tanto, la resolución espectral será de 14.1Å, impuesto por el ancho de la rendija.

• Si queremos empatar la resolución del detector y del instrumento, podríamos– cerrar la rendija (y perder luz y señal/ruido)…– agrupar pixeles 2x2 en el detector y seguir con la misma rejilla (misma cobertura espectral)– utilizar una rejilla de mayor resolución (con menos cobertura espectral)

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