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Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte
Essa aula trata de movimentos oscilatórios harmônicos simples (MHS):
Pense numa oscilação. Ida e volta. Estudando esse movimento, os cientistas encontraram equações que descrevem o dito movimento harmônico simples (MHS). Uma análise simples desse pode ser obtida analisando a projeção no eixo x de um movimento circular. Vejamos:
Dessa forma, sendo “A” a amplitude do movimento, podemos equacionar:
𝜽 = 𝜽𝟎 + 𝝎𝒕
x = Acos𝜽 (Equação da posição)
v = -‐vsen𝜃
isto é, a velocidade do eixo x. Sendo v = 𝜔a:
v = −𝝎Asen𝜽 (Equação da velocidade)
a = accos𝜃
Sendo ac = 𝜔!𝐴:
a = −𝝎𝟐Acos𝜽 (Equação da aceleração)
Como x = Acos𝜃, então:
a = −𝜔!x
Nota-‐se, portanto, que a aceleração no MHS é proporcional à distância “x” ao ponto de equilíbrio, com sinal negativo por ser uma força restauradora, ou seja, faz o movimento parar em máximos e então voltar a x = 0, passando ali com velocidade máxima (para 𝜃 = 90°).
Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte
Assim, é interessante perceber que movimentos que obedecem ao seguinte modelo matemático:
𝑎 = − !!𝑥 𝑜𝑢 𝐹 = −𝑘𝑥
São do tipo MHS. Utilizando as ideias de período e frequência do movimento circular, também válidas para o MHS, usando o que já foi mostrado:
a = −𝜔!x = − !!𝑥
𝜔! =𝑘𝑚
𝜔 = 𝑘𝑚
Mas 𝜔 = !!!:
2𝜋𝑇=
𝑘𝑚
𝑻 = 𝟐𝝅𝒎𝒌
𝑓 =1𝑇
𝒇 =𝟏𝟐𝝅
𝒌𝒎
Decerto, tratam-‐se das fórmulas mais importantes do conteúdo MHS, fornecendo o período do movimento em função da massa do corpo tratado e da constante de proporcionalidade (k) da força. Observe ainda que, dado o produto dos termos em estudo com funções trigonométricas, podem-‐se achar máximos de módulos do espaço, velocidade e aceleração quando essas funções estão nos seus limites (+1 e -‐1).
Façamos uma questão:
Dada a figura, calcule o período do MHS de uma mola com constante elástica k =10 π2N/m, sendo a massa do corpo M = 10 kg. Calcule ainda a amplitude do movimento em questão, sabendo que a velocidade máxima do movimento é 0,5π m/s :
Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte
Usando a fórmula demostrada:
𝑇 = 2𝜋1010π!
=2𝜋𝜋
𝑻 = 𝟐𝒔
Sabendo que a velocidade máxima de um MHS é obtida pela maximização da função trigonométrica (a descrição feita v = −𝜔Asen𝜃, sen𝜃 = +1 𝑜𝑢 − 1, estudando-‐se o módulo, 𝜔A):
𝜔A = 0,5π
Mas 𝜔 = !"!= !"
!= π:
πA = 0,5π
𝑨 = 𝟎,𝟓 𝐦 = 𝟓𝟎 𝐜𝐦
A relação entre a velocidade máxima em um MHS e a amplitude pode ser mais facilmente encontrada por conservação de energia. Sabe-‐se que, em um ponto de máximo deslocamento, de virada do MHS, a energia potencial na mola é máxima, com deformação máxima da mola, isto é, vale a amplitude. Essa energia é toda convertida em cinética no ponto de equilíbrio. Por conta disso, pode-‐se escrever:
kA!
2=m𝑣!!á!
2
𝑨 = 𝒗𝒎á𝒙𝒎𝒌
Testando:
𝐴 = 0,5π10 10π!
𝑨 = 𝟎,𝟓𝒎 = 𝟓𝟎𝒄𝒎
Observe que, em cada ponto da trajetória do MHS, há essa alternância entre energia potencial e cinética, somente sendo essas nulas ou máximas nos pontos especiais do movimento. A soma de ambas, porém, é constante. A energia mecânica (total tratada), em teoria, conserva-‐se. Observe, assim, que a amplitude só depende da energia dada, não importando o período.
Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte
Muitas vezes, é comum tratar do MHS com pequenas oscilações, permitindo certas aproximações que levam ao movimento harmônico simples. Um exemplo disso, também o mais comum, é o da oscilação de um pêndulo.
Observe que a força de restauração desse movimento é:
𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
Mas, como se trata de um ângulo pequeno, vale a aproximação:
𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝑡𝑔𝜃 ≅ 𝜃 (em radianos)
De tal forma que(𝜃 = !!)
𝐹 = −𝑚𝑔 !!= −!"
!𝑥
Isto é:
𝑘 =𝑚𝑔𝑙
Usando na fórmula:
𝑇 = 2𝜋𝑚𝑚𝑔𝑙
𝑻 = 𝟐𝝅𝒍𝒈
Um importante resultado.
(UFRS) Um pêndulo simples, de comprimento L, tem um período de oscilação T, num determinado local. Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser aumentado para: a) 1 L b) 2 L c) 4 L d) 5 L e) 7 L Faz-‐se:
Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte
𝑇!𝑇!=
𝑙!𝑙!= 2
𝑙! = 4𝑙! = 4𝐿
Item C
Uma última questão: (ITA)Uma mola de constante elástica k e massa desprezível está suspensa verticalmente com a extremidade livre na posição O. Prende-‐se nessa extremidade um corpo de massa m que é, em seguida, abandonado na posição O com velocidade inicial nula. A aceleração local da gravidade é g. Calcule a expressão que determina a posição abaixo de O atingida pela massa m.
Observe que, achando-‐se o ponto de equilíbrio, de resultante das forças igual a zero, basta dizer que, dado o mínimo (mola não deformada) a esse é a amplitude, sendo o total abaixado duas vezes: Felástica = Fgravitacional
𝑘𝑥 = 𝑚𝑔
x = A = 𝑚𝑔𝑘
𝑫𝑻𝒐𝒕 =𝟐𝒎𝒈𝒌