EST001 Elementos de Estatística Cap. 4 - Estimação por ... · Neste caso, o estimador não tendencioso de é a proporção amostral p, que é uma variável aleatória que associa

EST001 – Elementos de Estatística

Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departamento de Estatística - UFJF 1

Cap. 4 - Estimação por Intervalo

Amostragem e inferência estatística

População: consiste na totalidade das observações em que estamos

interessados.

Nº de observações na população é denominado tamanho=N.

Amostra: um subconjunto de observações selecionadas a partir de uma

população. Tamanho da amostra: n.

Definição: As variáveis aleatórias (X1, X2,..., Xn) são uma amostra

aleatória (aa ou iid) de tamanho n se

a) Os Xi’s forem variáveis aleatórias independentes e

b) Cada Xi tiver a mesma distribuição de probabilidades.

Quando a amostragem é aleatória podemos fazer inferências sobre a

população a partir de uma amostra.

Estatística: é qualquer função das observações em uma amostra aleatória.

Parâmetro: descrição numérica de uma característica da população,

geralmente desconhecida.

Exemplos de parâmetros: média de altura de uma população; variância,

proporção de peças defeituosas, etc...



Estimação de Parâmetros

Estimador: é uma estatística usada para estimar um parâmetro

populacional, a partir de uma amostra aleatória.

Exemplos de estimadores:

a) X (média amostral): estimador da média populacional;

b) S2 (variância amostral): estimador da variância populacional;

c) S (desvio padrão amostral): estimador do desvio padrão

populacional



d) p (proporção amostral): estimador da proporção populacional, etc.

O valor que um estimador assume uma determinada amostra é denominado

estimativa do parâmetro.

Objetivo: Estimar um parâmetro de uma população de uma variável X

(que pode ser a média , a variância 2, o desvio padrão , a proporção

de objetos com determinada característica de interesse, etc) de uma

população em estudo consiste na determinação do valor numérico do

mesmo a partir de uma estatística adequada definida numa amostra

aleatória extraída da população em estudo.

Na prática selecionamos apenas uma amostra, produzindo apenas uma

estimativa.

Como um estimador é uma variável aleatória, o mesmo tem média e

variância.

Assim, mesmo que o estimador seja não tendencioso a estimativa obtida

pode estar muito distante da verdadeira média populacional.

Então, outra propriedade desejável é que o estimador tenha uma

variância pequena, reduzindo assim a possibilidade da estimativa ser

muito diferente do valor do parâmetro.

Acurácia: observações próximas (em torno) do valor alvo, real ou

esperado.

Precisão: observações próximas da média do conjunto de observações

(baixa variabilidade).





Estimação pontual No processo de estimação por ponto admite-se como valor numérico

do parâmetro a estimativa calculada a partir de uma amostra aleatória

extraída da população em estudo.

Exemplo: Na estimação por ponto da média populacional de uma

variável X admite-se que x , onde x é uma estimativa de dada por

n

xx

n

i i 1

sendo x1, x2, ..., xn observações da variável X uma amostra de tamanho n

extraída da população de observações desta variável para estimar a média

populacional .

Existem outros processos de estimação pontual, não

abordados aqui.

No processo de estimação por intervalo, usa-se a distribuição

amostral do estimador para a construção de um intervalo, sendo que

este intervalo tem uma probabilidade =1- α, especificada a priori, de

conter o verdadeiro valor do parâmetro estimado.

O intervalo é denominado intervalo de confiança de 100% e a

probabilidade é denominada nível de confiança. Os níveis de

confiança usuais são 0,95 (95%) e 0,99(99%).

Intervalo de Confiança:

Expressa o grau de incerteza associado com uma estimativa.

Intervalo com 100(1- α)% de confiança para o parâmetro θ:

Interpretação: Se K amostras aleatórias de mesmo tamanho n forem

coletadas e um IC de 100(1- α)% for calculado para cada amostra, então

100(1- α)% desses K intervalos contem o valor verdadeiro do parâmetro θ.

Observações:

Quanto maior for o IC, menor é sua precisão.

A metade do IC é sua precisão.



Distribuições Amostrais

o A seleção da amostra a partir de um plano amostral probabilístico

faz com qualquer estimador (estatística) seja uma VA. Por que?

Por causa da aleatoriedade introduzida pelo sorteio realizado

no processo de amostragem.

o Uma estatística é uma VA aleatória e a sua distribuição de

probabilidades é chamada de distribuição amostral.

o Consideraremos um plano amostral por amostragem aleatória

simples (AAS) com reposição com n = 2.

5,3

16

15

16

25,4

16

34

16

45,3

16

33

16

25,2

16

12XE

nXV

2222

2

25,1625,0

16

1)5,35(...

16

2)5,35,2(

16

1)5,32()(



o Observe que a distribuição da população e a distribuição da média

amostral têm a mesma média (valor esperado).

o A distribuição da média amostral é mais concentrada e é

parecida com a distribuição Normal.

Distribuição Amostral da Média

o O esquema abaixo resume o que vimos até agora:



o Se consideramos uma AAS nXXX ,...,, 21 e o estimador X , a

distribuição de X terá as seguintes propriedades:

o )(XE

o n

XV2

)(

.

Teorema Central do Limite: Se X1, X2,..., Xn for uma aa de tamanho de

uma população (finita ou infinita), com média µ e variância σ2 finita, então

a forma limite da distribuição de

,

onde Z é a distribuição normal padrão.

Em geral para 30n a aproximação é boa.

A distribuição T de Student com =n1 graus de liberdade. A distribuição T é simétrica, tem esperança matemática igual a zero e

variância igual a ).2/( nn A forma da desta distribuição depende de seu

número de graus de liberdade da mesma. O gráfico a seguir ilustra esta

distribuição para = 1, = 4 e = 20.

(a) = 1 (b) = 4 (c) = 20

Figura 1

Se é suficientemente grande (na prática, 30) a distribuição t se

aproxima da distribuição normal padrão.

As probabilidades dos valores da distribuição t de Student se

encontram no apêndice. Os valores t>0 da variável T nesta tabela são tais

que P(Tt)=,



Intervalos de Confiança para parâmetros populacionais

1) Intervalo de confiança para a média populacional

Suponha que a população de uma variável X tenha distribuição

normal com média igual a e desvio padrão .

Figura 2

O intervalo de confiança de 100 % para a média populacional é dado

por

,

onde é o quantil da distribuição T(n-1).

Para n grande (n>30), pode-se utilizar o quantil da normal no lugar

do quantil da T de Student. Ou seja,

,

onde é o quantil da normal padrão.

Exemplo: Um pesquisador observou o custo de produção, em R$, numa

amostra de 10 unidades de um artigo produzido por certo fabricante

escolhidas aleatoriamente da produção, encontrando os seguintes valores:

10, 11, 7, 9, 6, 7, 10, 7, 6 e 8. Construa e interprete um intervalo de 95%

para o custo médio de produção do artigo considerado.

Solução

1,810

81

10

10

1 i ix

x

79,1

90

81

9

685

)110(10110

2210

1

10

1

2

i ii i xx

s



Sendo =0,95, =0,05, o coeficiente de confiança, ,95,0t é um valor da

variável T tal que 95,0)( 025,0025,0 tTtP como ilustra o gráfico a seguir.

Figura 3

A variável T tem distribuição t de Student com

=n1=101=9 graus de liberdade. Pela tabela da T de Student tem-

se para = 9 e = 0,05 que 025,0t = 2,26.

Assim sendo, o intervalo de confiança de 95% para o custo médio

deste artigo é

57,026,21,857,026,21,8 39,9$R81,6$R

Com este resultado acredita-se que a probabilidade de que o intervalo

acima contenha o custo médio das unidades deste artigo é de 0,95.

1.1) Determinação do tamanho da amostra para estimação da média

Na construção de um intervalo de confiança de 100% para a média

da população de uma variável X deve-se inicialmente estipular a precisão

do intervalo de confiança desejado e em função desta precisão dimensionar

o tamanho da amostra. Na amostragem com reposição constata-se que a

precisão deste intervalo é

Xst

Considerando amostragem com reposição

n

ssX

Logo,

n

st

Então

2

22

Stn



A estimativa S é determinada a partir de uma amostra inicial

denominada amostra piloto com n’ elementos (sendo n’ arbitrário e nunca

inferior a 30) e considera-se = para se determinar o valor t. Se n for

maior que n’, o tamanho da amostra definitiva será n e deve-se acrescentar

às n’ observações da amostra piloto novas observações até completar a

amostra de tamanho n; se o valor n calculado for menor ou igual a n’, a

amostra piloto já é suficiente e o tamanho da amostra definitiva será n =

n’.

Exemplo: Um pesquisador deseja estimar o preço médio de um produto

nos pontos de venda de certa região, de modo que o erro de estimação seja

no máximo igual a R$2,00, admitindo-se um nível de confiança de 95%. O

pesquisador dispõe de uma amostra piloto de 40 pontos de venda nos quais

o desvio padrão do preço do produto é igual a R$12,00. Qual deve ser o

tamanho da amostra?

Solução

Não tendo sido informado o tamanho da população (número de

pontos de venda da região) admite-se amostragem com reposição ou

amostragem sem reposição de uma população muito infinita ou população

finita muito maior que a amostra e assim sendo, o tamanho da amostra é

2

22

stn

Pelos dados do problema, tem-se que = 2 e = 12. Sendo =

0,95 e = , tem-se da tabela t de Student tem-se que 95,0t =1,96. Então, o

tamanho da amostra para estimar o preço médio do produto nos pontos de

venda da região é

2

22

2

1296,1

n 139 n

2) Intervalo de confiança para a proporção populacional

Suponha que certa população tenha uma proporção de objetos com

uma característica de interesse para o pesquisador (por exemplo, pode

ser a proporção de unidades defeituosas de certo artigo numa linha de

produção).



Neste caso, o estimador não tendencioso de é a proporção amostral

p, que é uma variável aleatória que associa a uma amostra de n objetos a

proporção p de objetos na amostra com a característica de interesse, ou

seja,

Temos que

Para grandes amostras (n 30), a variável aleatória

tem distribuição aproximadamente normal padronizada. Logo,

onde

é o quantil 1-α/2 da normal padrão (por exemplo, se α=5%,

z0.025=1.96).

Tentando isolar π, teríamos

Porém, temos uma dependência do próprio parâmetro nas

inequações. Temos duas saídas para resolver este problema:

1. Substituir o valor de dentro da raiz pelo seu valor estimado p.

Assim, o intervalo de confiança “otimista” de nível 1-α para é

dado por

.

2. Como é uma parábola com concavidade voltada para

baixo, podemos substituir a equação pelo seu máximo, que é de ¼

(quando ). Obtemos então um intervalo de confiança

“conservador”, dado por



.

Exemplo: Um produtor deseja estimar a proporção de itens de certo artigo

na linha de produção de sua empresa que apresentam defeito de fabricação.

Para esta finalidade, retirou uma amostra de 200 itens retirados

aleatoriamente da linha de produção, constatando que 16 destes

apresentam defeito de fabricação.

Construa e interprete um intervalo de confiança de 95% para a

proporção de itens na linha de produção que apresentam defeito de

fabricação.

Solução: A proporção de “sucessos” (itens defeituosos) na amostra é de p = 16/200=8%. Sendo =1-α=0,95 tem-se . Então o intervalo de confiança “otimista” de 95% para a proporção de itens defeituosos na linha de produção é

.

Por outro lado, sendo “conservador”, o intervalo resultante é dado por

Notem a grande diferença entre os dois intervalos. Isso irá sempre

acontecer quando a estimativa pontual da proporção for “afastada” de ½.

3.1) Determinação do tamanho da amostra para a estimação da

proporção

Como no caso da média, para se construir um intervalo de confiança

de para a proporção populacional deve-se dimensionar o

tamanho da amostra para uma precisão preestabelecida do intervalo de

confiança desejado.

A precisão do intervalo é

Psz

Logo,

n

ppz

)1(2/



Resolvendo-se a equação para n tem-se que

2

2

2/ )1(

ppz

n

A estimativa p da proporção populacional pode ser obtida a partir de

uma amostra piloto como no caso da média. Caso seja muito difícil obter

uma estimativa inicial da proporção e considerando-se que n atinge um

valor máximo quando p = 0.5, pode-se arbitrar este valor para p. Sugere-se

um tamanho de amostra piloto em torno de n=200.

Caso não seja feita a amostra piloto, pode-se tomar o valor máximo

p(1-p), que é ¼. Neste caso existe o risco de que, em determinadas

situações, sejam obtidas amostras de tamanho muito maior que o

necessário, com .4

2

2

2/

zn

Exemplo: Com o objetivo de estimar a proporção de itens defeituosos

numa produção, um administrador de produção deseja extrair uma amostra

aleatória de itens da referida produção para tal fim. Uma amostra piloto de

40 itens apresentou 4 defeituosos. Qual deve ser o tamanho da amostra

definitiva para que o erro de estimação da proporção de defeituosos na

população seja de no máximo 3% a um nível de confiança de 95%?

Solução: Não tendo sido informado o tamanho da população (número de

itens produzidos), admite-se amostragem com reposição ou amostragem

sem reposição de uma população infinita ou muito maior que a amostra e,

assim sendo, o tamanho da amostra é

2

2

2/ )1(

ppz

n

A estimativa de obtida a partir da amostra piloto é 1,040

4p .

Pelos dados do problema, tem-se que = 0,03. Sendo = 0,95

tem-se, pela tabela da normal padrão, que 025,0z =1,96. Então, o tamanho da

amostra para estimar a proporção de itens defeituosos na produção é

2

2

03,0

)1,01(1,096,1

n 385 n

Neste caso deve-se acrescentar 345 itens à amostra piloto antes de se

construir o intervalo de confiança para a proporção. Desconsiderando a

amostra piloto, teríamos .106803,0*4

96,1

2

2

n



Figura 4: Estimativas de proporções amostrais de M=100 amostras

aleatórias de tamanho n=50 de uma Bernoulli(p=0.1).

A Figura 4 ilustra a situação de utilização de uma amostra piloto de

n=50, onde a proporção amostral foi de p=0.1. Ao replicar

“artificialmente” amostras de mesmo tamanho com probabilidade p=0.1,

notem que as proporções amostrais resultantes podem divergir bastante.

Ou seja, utilizar resultados de amostras pilotos de tamanho pequeno para

calcular tamanho de amostras é arriscado. Aumentando o tamanho da

amostra piloto para n=200, os valores são mais próximos, conforme pode

ser visto na Figura 5.



Figura 5: Estimativas de proporções amostrais de M=100 amostras

aleatórias de tamanho n=200 de um Bernoulli(p=0.1).



Apêndice

TABELA: Distribuição normal padrão.

P(Z>z)

0 z

áreatabulada

segunda decimal de z

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0 ,3050 0 ,3015 0 ,2981 0 ,2946 0 ,2912 0 ,2877 0 ,2842 0 ,2810 0 ,2776 0,6 0,2743 0 ,2709 0 ,2676 0 ,2643 0 ,2611 0 ,2578 0 ,2546 0 ,2514 0 ,2483 0 ,2451 0,7 0,2420 0 ,2389 0 ,2358 0 ,2327 0 ,2296 0 ,2266 0 ,2236 0 ,2206 0 ,2177 0 ,2148 0,8 0,2119 0 ,2090 0 ,2061 0 ,2033 0 ,2005 0 ,1977 0 ,1949 0 ,1922 0 ,1894 0 ,1867 0,9 0,1841 0 ,1814 0 ,1788 0 ,1762 0 ,1736 0 ,1711 0 ,1685 0 ,1660 0 ,1635 0 ,1611

1,0 0,1587 0 ,1562 0 ,1539 0 ,1515 0 ,1492 0 ,1469 0 ,1446 0 ,1423 0 ,1401 0 ,1379 1,1 0,1357 0 ,1335 0 ,1314 0 ,1292 0 ,1271 0 ,1251 0 ,1230 0 ,1210 0 ,1190 0 ,1170 1,2 0 ,1151 0 ,1131 0 ,1112 0 ,1093 0 ,1075 0 ,1056 0 ,1038 0 ,1020 0 ,1003 0 ,0985 1,3 0 ,0968 0 ,0951 0 ,0934 0 ,0918 0 ,0901 0 ,0885 0 ,0869 0 ,0853 0 ,0838 0 ,0823 1,4 0 ,0808 0 ,0793 0 ,0778 0 ,0764 0 ,0749 0 ,0735 0 ,0722 0 ,0708 0 ,0694 0 ,0681

1,5 0 ,0668 0 ,0655 0 ,0643 0 ,0630 0 ,0618 0 ,0606 0 ,0594 0 ,0582 0 ,0571 0 ,0559 1,6 0 ,0548 0 ,0537 0 ,0526 0 ,0516 0 ,0505 0 ,0495 0 ,0485 0 ,0475 0 ,0465 0 ,0455 1,7 0 ,0446 0 ,0436 0 ,0427 0 ,0418 0 ,0409 0 ,0401 0 ,0392 0 ,0384 0 ,0375 0 ,0367 1,8 0 ,0359 0 ,0352 0 ,0344 0 ,0336 0 ,0329 0 ,0322 0 ,0314 0 ,0307 0 ,0301 0 ,0294 1,9 0 ,0287 0 ,0281 0 ,0274 0 ,0268 0 ,0262 0 ,0256 0 ,0250 0 ,0244 0 ,0239 0 ,0233

2,0 0 ,0228 0 ,0222 0 ,0217 0 ,0212 0 ,0207 0 ,0202 0 ,0197 0 ,0192 0 ,0188 0 ,0183 2,1 0 ,0179 0 ,0174 0 ,0170 0 ,0166 0 ,0162 0 ,0158 0 ,0154 0 ,0150 0 ,0146 0 ,0143 2,2 0 ,0139 0 ,0136 0 ,0132 0 ,0129 0 ,0125 0 ,0122 0 ,0119 0 ,0116 0 ,0113 0 ,0110 2,3 0 ,0107 0 ,0104 0 ,0102 0 ,0099 0 ,0096 0 ,0094 0 ,0091 0 ,0089 0 ,0087 0 ,0084 2,4 0 ,0082 0 ,0080 0 ,0078 0 ,0075 0 ,0073 0 ,0071 0 ,0069 0 ,0068 0 ,0066 0 ,0064

2,5 0 ,0062 0 ,0060 0 ,0059 0 ,0057 0 ,0055 0 ,0054 0 ,0052 0 ,0051 0 ,0049 0 ,0048 2,6 0 ,0047 0 ,0045 0 ,0044 0 ,0043 0 ,0041 0 ,0040 0 ,0039 0 ,0038 0 ,0037 0 ,0036 2,7 0 ,0035 0 ,0034 0 ,0033 0 ,0032 0 ,0031 0 ,0030 0 ,0029 0 ,0028 0 ,0027 0 ,0026 2,8 0 ,0026 0 ,0025 0 ,0024 0 ,0023 0 ,0023 0 ,0022 0 ,0021 0 ,0021 0 ,0020 0 ,0019 2,9 0 ,0019 0 ,0018 0 ,0017 0 ,0017 0 ,0016 0 ,0016 0 ,0015 0 ,0015 0 ,0014 0 ,0014

3,0 0,00135 3,5 0,000 233 4,0 0,000 031 7 4,5 0,000 003 40 5,0 0,000 000 287



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