Estadc3adstica Actuarial Vida1

5/21/2018 Estadc3adstica Actuarial Vida1

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ESTADSTICA ACTUARIAL VIDA


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NDICE

Introduccin

1. El modelo biomtrico1.1Variables biomtricas1.2Tanto instantneo de fallecimiento

1.3Tablas de vida, cohortes.1.4Esperanza de vida1.5Otras medidas1.6Hiptesis para edades no enteras1.7 ejercicios

2. Probabilidades para ms de una vida2.1 Probabilidades para dos vidas2.2 Tanto instantneo de fallecimiento2.3 Grupos de 3 cabezas2.4 Grupos de n cabezas

2.5 ejercicios

3. Modelos de supervivencia3.1 Ley de Moivre3.2 Ley de Dormoy3.3 Ley de Gormpetz3.4 Leyes de Makeham3.5 Ley de Sang3.6 Teorema de Quiquet3.7 Ley de envejecimiento uniforme

3.8 Tablas y grficas3.9 ejercicios

4. Interpolacin y ajustes4.1 Graduacin de la mortalidad4.2 Interpolacin polinmica4.3 Procedimientos de ajuste

5. Tablas seleccionadas de mortalidad5.1 Los efectos de la seleccin de cartera5.2 Construccin y lectura de una tabla seleccionada5.3 Tantos anuales de mortalidad5.4 Obtencin de las principales funciones biomtricas5.5 Ejemplo5.6 ejercicios

6. Mltiples causas de salida6.1 Grados de invalidez6.2 Orden y efectivo6.3 Probabilidades dependientes e independientes6.4 Modelo prctico de invalidez

6.5 Generacin de probabilidades6.6 Modelo racional de invalidez6.7 Generacin de probabilidades6.8 ejercicios


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INTRODUCCIN

El objetivo es dominar la nomenclatura y el mtodo para calcular probabilidades de supervivencia ofallecimiento de los individuos, necesario y fundamental luego en cualquier clculo de valoracin actuarial.


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TEMA 1. EL MODELO BIOMTRICO

1.1 Variables biomtricas

1.

Introduccin

Se denomina X la variable aleatoria edad de fallecimiento de un individuo. Evidentemente se trata de una

variable continua, a pesar de que los datos censales se presentan siempre en edades enteras y los clculosrelacionados con aos no enteros sern aproximaciones. x ser la variable edad actual de un individuo.

Propiedades de la variable aleatoria X:1. Homogeneidad, si es la v.a. edad de fallecimiento del individuo i, y es la v.a. edad de fallecimiento

del individuo j, se supone que ambos se comportan probabilsticamente igual.2. Independencia, la muerte de un individuo no condiciona la muerte de otro; no existe contagio.3. Estacionariedad, las probabilidades son respecto a la edad del individuo, no respecto a su fecha denacimiento. Se supone la misma probabilidad de un individuo nacido el 1960 que otro nacido el 2010 (apesar de que realmente la calidad de vida evoluciona y la probabilidad es diferente). Pero es esencial

suponer que se da esta estacionariedad.

El rango de la variable X va desde el nacimiento en t=0, hasta la mxima edad registrada, y por lo tantomxima edad humanamente posible, denominada infinito actuarial, t=w.

La vida residual de un individuo sern los aos que restan por vivir desde su edad actual, x, hasta la edad defallecimiento X. Se denomina T(x) a la variable aleatoria vida residual de un individuo de edad x.

Se lee como: Ya que X es una variable aleatoria (desconocida), entonces T, que est en funcin de la edad

conocida x, tambin es una variable aleatoria.

Funcin de fallecimiento

La funcin de distribucin F x)ser la funcin de la probabilidad acumulada de que la edad de fallecimientoX sea inferior o igual a una edad x:

Y se lee, como ejemplos: probabilidad de que un individuo fallezca en x o antes; probabilidad de que unindividuo fallezca al cumplir 30 o antes:

Ya se puede ver que, por ejemplo, si se resta las probabilidades de fallecer antes de los 30 y antes de los 40,se obtendr la probabilidad de fallecer entre los 30 y los 40 aos

Propiedades de la funcin de distribucin de la v.a. edad de fallecimiento:1.En el nacimiento la probabilidad de fallecer es 0

2.En el infinito actuarial la probabilidad acumulada de haber fallecido suma 1


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se interpreta como que ya se han dado todas las posiciones posibles de supervivencia.

3.F(x) es una funcin no decreciente y habitualmente creciente.

4.F(x) es una funcin continua por la derecha.

Ejemplo:Si se tiene que

verificar que cumple la 4 condiciones para ser funcin de distribucin de la v.a. edad de fallecimiento

1.

2.

3. Si la primera derivada es positiva, la funcin es creciente

4.para cualquier x positiva y con tendencia al infinito, la funcin es continua por la derecha.

Funcin de densidad de probabilidad: Si se tiene una funcin de distribucin, donde se expresan los valoresacumulados de la variable aleatoria en cada punto, su derivada ser la funcin de densidad, donde se tienenlos valores de la intensidad de probabilidad en cada punto. Por ejemplo, una funcin de densidad de unadistribucin normal es

y su funcin de distribucin es


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Para el caso de la distribucin de la variable aleatoria edad de fallecimiento, la funcin de densidad sueletener una forma convergente con la normal,

Este grfico presenta la probabilidad de sobrevivir hasta una edad, y tiene en cuenta que al principio de lavida fallecen pocos individuos, va creciendo la cantidad de fallecimientos, y finalmente pocos individuosllegan vivos hasta las edades superiores.

Y su funcin de distribucin reflejar la probabilidad de fallecer en cada punto, en la juventud es pocoprobable fallecer, pero ao a ao esta probabilidad crece, hasta que en las edades superiores esprobabilsimo fallecer.

La distribucin de probabilidad de la vida residual de x se denomina y es la probabilidad de que la vidaresidual de un individuo sea inferior o igual a un tiempo = t. Y por lo tanto es una probabilidadcondicionada; la probabilidad de que un individuo fallezca antes de x+t condicionado a que el fallecimientosea por encima de la edad actual x de un individuo (no haber fallecido antes de x).

Y su funcin de densidad ser

Funcin de supervivencia

El valor complementario de la funcin de fallecimiento ser la funcin de supervivencia. Es la probabilidad

de que la variable aleatoria X tome un valor superior a la edad x;


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Propiedades:1.La probabilidad de que la edad de fallecimiento sea una edad superior a la edad cero cuando se nace es =1

2.En el infinito actuarial no es posible una edad de fallecimiento superior a la edad mxima posible

3.S(x) es una funcin no creciente y habitualmente decreciente; la probabilidad de sobrevivir decrece amedida que la variable x crece.

4.S(x) es una funcin continua por la derecha

2.

Probabilidades de supervivencia o fallecimiento para un individuo de edad x

Se denomina a la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca entre x y x+t

Y a su complementario ser la probabilidad de que un individuo sobreviva entre las edades x y x+t

Para una edad x=0 estaremos en el caso ms sencillo, donde se mide la probabilidad de que el individuosobreviva o fallezca entre su nacimiento, edad cero, y una edad determinada, por ejemplo 30:

Propiedad de escindibilidad:La probabilidad de supervivencia verifica ser escindible. Algo fundamental para calcular entoncesprobabilidades diferidas en el tiempo:

Lo que se tiene es que la probabilidad de sobrevivir entre x y x+n supone que se sobrevive cada uno de losperiodos entre x y x+n, esto es; sobrevivir a x y sobrevivir a x+1 y sobrevivir a x+2,, y sobrevivir a x+n-1.

As se cumple llegar vivo hasta x+n.

Ejemplo:

Sobrevivir a X>32 implica que se vive el 32 ao entero y que se llegar hasta el 33 cumpleaos, y a partir deaqu ya se puede fallecer cuando uno guste.

Esto permite entonces agrupar probabilidades de la siguiente forma:

donde se puede eliminar P(X>x+k) del numerador y denominador, verificando as la igualdad.


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La probabilidad de fallecimiento no es escindible. Pero s se puede partir una probabilidad de fallecimientoen una suma de probabilidades: o falleces en el primer tramo o sobrevives tal primer tramo y falleces en elsegundo:

Probabilidades diferidasSuponen que se sobrevive durante un periodo de m aos para estudiar luego la probabilidad de fallecimientoen tramos superiores.

Se lee= la probabilidad de, teniendo x aos, sobrevivir m+x y fallecer entre x+m y x+m+n

Ejemplo:La probabilidad de, teniendo 30 aos, fallecer entre los 40 y los 50, ser sobrevivir los primeros 10 aos yluego fallecer entre 40 y 50:

Se puede jugar con las probabilidades y alcanzar el mismo resultado de diversas formas:

Cuando n=1 nos ahorramos el nmero:

Y se lee: probabilidad de, teniendo 30 aos, sobrevivir hasta los 40 y fallecer el siguiente ao; despus decumplir 40 aos y antes de cumplir los 41.

Una probabilidad temporal de fallecimiento se puede escribir como suma de probabilidades diferidas:fallecer entre x y x+1, o sobrevivir entre x y x+1 y fallecer entre x+1 y x+1+1, o sobrevivir entre x y x+2 yfallecer entre x+2+1,, o sobrevivir entre x y x+n-1 y fallecer entre x+n-1 y x+n


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1.2 Tanto instantneo de fallecimiento

Las probabilidades anteriores miden qu sucede de un ao a otro. Pero cmo se calcula la probabilidad deque un individuo cumpla 30 aos y muera en ese instante (no a lo largo del 30 ao de vida, que sera )?

Si cogemos la funcin de distribucin de la probabilidad y calculamos el incremento que experimenta laprobabilidad en un intervalo muy pequeito de tiempo, tendremos el valor de la intensidad de laprobabilidad en ese intervalo, o la fuerza de mortalidad (o en ingls, hazard rate). Esto es, la derivada.

Lo que se obtiene es el tanto instantneo de fallecimiento. Y dicho de otro modo, es la probabilidad de,teniendo una edad x, fallecer justo en ese instante.

Ejemplo:Calcular el tanto instantaneo de fallecimiento a los 20 aos si se sabe que para 0x100 la f(x) es

entonces

Habr primero que encontrar el valor de F(x) a partir de f(x),

Por lo tanto

Si

y finalmente

Otras formas de presentar el tanto instantneo de fallecimiento

Si cogemos y lo dividimos por t se obtiene que;cuando t=0 es la

derivada de la funcin

de distribucin, F(x)

o lo mismo:

la funcin de densidad


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Y para conseguir relacionar la funcin de distribucin con el tanto instantneo, podemos buscar la cantidadde probabilidad que acumula el tanto instantneo de fallecimiento

y por lo tanto

Y tambin se puede relacionar con la supervivencia si

y por lo tanto

Por decirlo de otra forma; el tanto instantneo de fallecimiento es una funcin de distribucin deprobabilidad que se inicia en la edad x. Y desde esta edad x hasta el infinito actuarial w, la probabilidad =1

Evidentemente, la probabilidad de, teniendo x, fallecer entre x y w es total = 1.

El tanto instantneo de fallecimiento es, en definitiva, la intensidad de fallecimiento a lo largo de unintervalo, condicionado a una edad.

Tambin se relaciona el tanto instantneo de fallecimiento con la funcin de densidad de la vida residual:

Y ya que

entonces


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1.3 Tablas de vida. Cohortes

Para calcular las probabilidades anteriores se usan los datos que se obtienen del censo y que se hantrasladado a las tablas de vida, o cohortes, donde se tiene la evolucin de un grupo inicial de individuos a lolargo de todos los aos y hasta la muerte del ltimo individuo. La variable l(x) ser el tamao de la cohortepara cada edad x;

As, cul es la probabilidad de que un individuo alcance los 30 aos?

As, L(x) ser la funcin de la evolucin del tamao de la cohorte en el tiempo, y cumple que

Se lee: el valor esperado de la cohorte a una edad x ser el valor del tamao original por la probabilidad desobrevivir hasta ese ao.

A partir de las cohortes tambin se puede encontrar el nmero de fallecidos en un intervalo de edades

Y tambin se relaciona con el tanto instantneo de fallecimiento,

A partir del nmero de fallecimientos y tamao de cohorte tambin aparece una relacin con la probabilidadde fallecimiento:

y para el caso de probabilidades diferidas;

1. funcin censal de supervivenciaLa funcin censal de supervivenciada el promedio de individuos vivos en x a lo largo del ao hasta llegar alsiguiente, equivalentemente se interpreta como nmero total de aos que viven los individuos que vivenentre x y x+1. Si adems a(x) es una funcin que mide el nmero medio de aos vividos entre x y x+1 porlos supervivientes de x que fallecen antes de x+1, se puede encontrar que:

cuntos? Promedio de aos de vida Total aosFallecen a(x)Sobreviven 1 ao


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Ejemplo para verlo claro:

a)Si tenemos un individuo con 35 aos, que sabemos que vive hasta los 36 aos, cul es el promedio deindividuos que sobreviven los 35 aos? cul es el nmero de aos que vive este individuo entre los 35 y los36 aos?

Ya que slo tenemos 1 individuo, si vive de los 35 a los 36, de promedio vive 1 individuo. Y el nmero totalde aos que ha vivido entre 35 y 36 aos son = 1 ao.

b)Si tenemos una cohorte donde slo existen 2 individuos de 35 aos ( ) y slo uno de ellos alcanzalos 36 aossegn la funcin censal de supervivencia cul es el promedio de individuos vivos a los 35aos? cul es el nmero total de aos que viven los individuos que viven entre 35 y 36 aos?

Entre los 35 y 36 aos, si 2 cumplen 35 aos pero slo uno cumple 36: en promedio viven 1,5 individuos.Alternativamente, entre los 35 y los 36 aos se vive, en total de aos, 1,5 aos.

De vuelta a la teora:

Se trata de ver cmo evoluciona la cohorte a lo largo del ao (de inicio del ao = 0 a fin de ao = 1). Esto es:

Como no se disponen de los datos intranuales la variable promedio de individuos vivos entre x y x+1 seruna aproximacin. Existen diversas aproximaciones, pero la ms sencilla es suponer que todos fallecen amitad de ao, y por lo tanto, a(x)=1/2 y as:

Se lee: el promedio de individuos vivos entre x y x+1 ser los vivos en x, menos el 50% de los que muerenese ao. Ya que suponemos que la mitad de individuos fallecen en la primera mitad del ao, y el resto en la

segunda mitad.Tambin se puede expresar como

La funcin censal de supervivencia en un plazo superior al ao, ser el promedio de individuos vivos en eseplazo temporal:


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2. Tanto central de mortalidadEl tanto central de mortalidadser el nmero de fallecidos con la poblacin superviviente a mitad de ao:

Y ahora desarrollando,

si se multiplica y divide por

Si se aplica complementarios;

Aproximaciones discretas al tanto instantneo de mortalidad

La (x) es una variable continua que usa la funcin de densidad en su clculo. Pero no siempre se tendr elconocimiento de la evolucin en continuo y habr que hacer una aproximacin.

1. aproximacin suponiendo un desarrollo de Taylor

La serie de Taylor supone la convergencia hacia f(x) dentro de un intervalo de las sumas de las sucesivasderivadas de la funcin

Si se concreta para n=1 y n=-1, y se desprecian los terminos de mayor orden de derivacin, se resume que

2. usando cohortes

Se puede encontrar una aproximacin ms efectiva para cada caso (1, y 2), incorporando trminos msalejados de la edad x (ampliar la perspectiva).


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1.4 Esperanza de vida

El objetivo es medir la edad potencial de un individuo, es decir, la edad aproximada de fallecimiento X, y porlo tanto cuntos aos faltan para ese momento. Que ya se ha visto al inicio de este tema que es

Su funcin de distribucin es

Y se observa que coincide con la probabilidad de fallecimiento.

Derivando

Se lee: la probabilidad de fallecer en t de un individuo de edad x es = la probabilidad de, teniendo x,sobrevivir hasta t, y justo fallecer en ese instante.

Por lo tanto, el valor esperado de T(x) ser la esperanza de aos por vivir: la esperanza de vida

Esta esperanza se calcula como la probabilidad de supervivencia que hay acumulada desde la edad actualhasta el infinito actuarial; (x, w) o lo que es lo mismo (0, w-x)

Si se sustituye por

y ya que

entonces

Donde es la cantidad de existencia: el nmero de aos totales que viven el conjunto de los individuosvivos en x y hasta el fin de la cohorte. Por lo tanto, la esperanza de vida es el nmero de aos totales que

quedan por vivir repartidos por los individuos vivos en x. Se supone que los aos se reparten igual entretodos los individuos.


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A su vez, se relaciona con la funcin censal de supervivencia, ya que la funcin censal de supervivenciainforma alternativamente o bien del promedio de individuos vivos entre x y x+1, pero tambin de lacantidad de aos que se viven entre x y x+1 por los individuos vivos en x:

En teora esta es la esperanza de vida ms acertada porque hemos estudiado la evolucin de la cohorte encontinuo. Se le conoce como esperanza de vida, pero no siempre ser posible de calcular. Para completar unclculo adecuado de la esperanza de la vida residual, toca encontrar la varianza de la vida residual:

Aproximaciones a la esperanza de vida

Como se acaba de decir, es habitualmente imposible poder calcular la cohorte en plano continuo, y hay quevolver a hacer una aproximacin sobre el valor de la funcin censal. Segn el tipo de aproximacin, laesperanza de vida y su varianza sern diferentes.

Se conoce la esperanza de vida como vida media completa cuando usamos la aproximacin de distribucinuniforme de los fallecimientos a lo largo del ao. Esto supone que la mitad fallece la pimera mitad del ao, yla segunda mitad de los fallecidos fallecen en la segunda mitad del ao, por lo tanto ahora

Por lo tanto

Por lo tanto la esperanza de vida media es, y ya que


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Otra aproximacin es la de la vida media abreviada, , que interpreta que los individuos viven el ao enteroy fallecen al final del intervalo anual; al final de x y x+1. Esto es:

Y por lo tanto

Y as, la vida media abreviada es

Resumen de la esperanza de vida y relaciones entre vidas medias

Como se puede observar, la esperanza de vida o vida mediase entiende como el nmero de aos esperadosque vivir un individuo, y que en el caso de disponer de todos los datos ser

Cuando no disponemos ms que de los datos discretos, nos encontramos con un caso abreviado de lo

anterior, la vida media abreviada:

Cuando suponemos una distribucin uniforme de los fallecimientos, ganamos una mitad de ao. Estamos enla vida media completa:

Se pueden relacionar facilmente,

Adems, ya que

Se lee: o bien que la esperanza de vida en x aos es = sobrevivir ese ao + la esperanza de vida de x+1O bien que la probabilidad de sobrevivir entre x y x+1 es una relacin entre la esperanza de vida cuando se


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tienen x aos, y la esperanza de vida que se tiene si se garantiza que se sobrevive hasta x+1 ms laesperanza de vida a partir de ese momento.

Respecto a la vida media completa:

Para interpretarlo mejor: cul es la esperanza de vida entre x y x+1 si se garantiza que el individuoefectivamente sobrevive?

Es decir, la esperanza de vida en realidad es la suma de proporciones de ao que se espera vivir hasta elinfinito actuarial.

Ejemplo para verlo claro:Un individuo de 35 aos vende su alma y tiene garantizado (100%) que vivir este ao completo, un 75% deposibilidades de vivir 2 aos, un 50% de vivir 3, un 25% de 4, y nada ms. cul es la esperanza de vidaabreviada?

Cul es la esperanza de vida completa? esto es: se supone que tiene un 50% de probabilidades de sobrevivirla primera mitad del ao en que fallezca, vivir medio ao ms:

Vida media diferida

Se puede calcular la vida media a partir de una edad futura. Lo que habr que incorporar a los clculosanteriores es la probabilidad de sobrevivir a lo largo del diferimiento. La vida media abreviadaser:

Se lee: la vida media esperada dentro de m aos para un individuo que tiene x aos, es = probabilidad de

sobrevivir, teniendo x aos, hasta m, y luego por la vida media esperada que tendr un individuo de edadx+m

Lo mismo pero respecto la vida media completaquedar:

La vida media completase relacionar con la abreviadaaadiendo el probable medio ao que se vivir dems (por esto no ser un completo):


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Vida media temporal

Antes se ha medido la vida media desde la edad actual hasta el infinito actuarial, pero puede interesarcalcular la vida media slo dentro de un intervalo, es decir: la vida media temporal (entre x y x+n).

Se lee: el nmero de aos que vivir de media una persona de edad x es = nmero de aos desde x hasta elinfinito que vive la gente de edad x menos nmero de aos que se viven desde x+n hasta el infinito.. y enrelacin al nmero de individuos en x.

Ya que la cantidad T se aproxima, se tendr diversas vida media temporales:

La vida media temporal completa sigue con la interpretacin de una distribucin uniforme de losfallecimientos a lo largo del ao:

La vida media abreviada no tiene que aadir medios aos, y simplemente ser

La relacin entre ambas vidas medias

Vida media temporal y diferida; vida media mixta

Recoge las ideas de los dos puntos anteriores; diferimiento y temporalidad de la vida media.

Ahora la vida media diferida y temporal completaser


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O lo mismo

Y la vida media diferida y temporal abreviada ser

o lo mismo

Y la relacin entre ambas


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1.5 Otras medidas-resumen para la vida residual

La vida residual probable

Consiste en encontrar la edad futura en donde la probabilidad de supervivencia y de fallecimiento soniguales, y por lo tanto 0,5 cada una. Es la mediana de T(x), y se conoce como tiempo de vida residual a esta

edad;

Si era la funcin de distribucin de la variable vida residual T(x), el objetivo de la vida residualprobable es encontrar el momento en que

En esa edad se cumple que

Y expresado en cohortes, la edad es la edad en la que una cohorte se reduce a la mitad:

Duracin residual ms probable de la vida

Si el punto anterior era la mediana de T(x), entonces su moda ser el valor ms repetido; la edad msprobable de supervivencia. Volviendo a la funcin de densidad de la vida residual la moda ser el valor

mximo de esta funcin de densidad.Una aproximacin es encontrar la edad donde se maximiza la probabilidad diferida de fallecimiento , o

bien la edad donde se maximizan las defunciones anuales . Al nmero de aos obtenidos se le sumar 1,por entender que los fallecimientos suceden al final del ao.

Vida media residual de los fallecidos en un intervalo temporal

El objetivo es encontrar la cantidad de aos que viven, de promedio, los individuos que sobreviven a unaedad x y fallecen antes de x+n. Esto ser la esperanza de la variable T en el intervalo x, x+n:

Tambin se puede calcular como

Se lee: la esperanza de aos vividos por cada individuo = duracin total de aos que se viven entre x y x+nmenos la cantidad de aos que viven los que sobreviven a x+n, y repartido entre los que fallecen en elintervalo x, x+n.


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1.6 Hiptesis para edades no enteras

Frente a los clculos basados en continuo nos encontramos que los datos reales (las cohortes) son datosdiscretos anuales. Ser necesario hacer aproximaciones para encontrar probabilidades dentro del ao.

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