Estadística General 2012

Estadstica General Mg. Mara Vallejos Atalaya

Estadstica General

Mg. Mara Vallejos Atalaya


PRESENTACIN

El mdulo de Estadstica General tiene la naturaleza terico- prctica, pertenece al rea de

Formacin Bsica, en el I ciclo, con un total de 4 horas y 3 crditos. Asimismo, responde a las

exigencias curriculares de los programas acadmicos y de los diseos curriculares de la Facultad de

Ciencias Empresariales y sus respectivas carreras acadmicas profesionales, en el contexto de los

perfiles, las visiones y las misiones institucionales educativas y profesionales.

Tiene el propsito de proporcionar al futuro profesional los conocimientos necesarios de la estadstica,

que le permitir investigar y resolver problemas con el quehacer de su carrera profesional. El mundo

actual que vivimos, ha provocado incertidumbre en las personas que tienen que tomar decisiones en

las diferentes funciones que les toca desempear, ya sea en las instituciones gubernamentales,

comerciales, de negocios pblicos y privados. La estadstica es una herramienta intelectual que ayuda

a tomar decisiones racionales, porque sabemos que El pasado puede evaluarse, el presente puede

ser descrito y el futuro puede ser previsto.

El sistema modular no es sino un encuentro de los alumnos y profesores en espacios diseados y

establecidos previamente, con mucha inteligencia, seleccin adecuada y pertinente de los contenidos,

instrumentos y metodologa, cuyos alcances de autoaprendizajes sern coronados en la grandeza de

los alumnos participantes, especialmente de quienes quedan inmersos en los programas acadmicos a

distancia, cuya dinmica acadmica se ha estandarizado y responde al uso de las tecnologas

modernas. En este sentido, el mdulo ha sido diseado para desarrollarlo en dos fases: una a distancia

y la otra presencial (tutorial) que comprende 10 tutoras presenciales.

Este mdulo contiene la sumilla, las competencias, los contenidos agrupados en 5 unidades. Unidad 1: Conceptos fundamentales y la organizacin de la informacin, Unidad 2: Medidas de resumen: anlisis e interpretacin de los resultados, Unidad 3: Nociones de probabilidad: propiedades, anlisis combinatorio, Unidad 4: Distribuciones de probabilidad y Unidad 5: Distribuciones muestrales. Adems, en el mismo mdulo se encuentra la metodologa, la evaluacin y la bibliografa. Por ejemplo, se trabajar la metodologa activa, adems, se ejercer la evaluacin de acuerdo con los indicadores, criterios y condiciones registrados en el desarrollo de cada unidad. Este mdulo comprende una bibliografa bsica y especializada.


NDICE

UNIDAD I: TEORA ESTADSTICA Sesin N1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN

1.1 Generalidades 1.1.1 Definicin de estadstica 1.1.2. Ramas de la estadstica 1.1.3. Poblacin 1.1.4. Muestra 1.1.5. Unidad estadstica 1.1.6. Dato estadstico 1.1.7. Parmetro 1.1.8. Estadstico o estadgrafo 1.1.9. Variable estadstica

Sesin N 2 ETAPAS DEL MTODO ESTADSTICO

2.1. Etapas del mtodo estadstico 2.1.1. Planificacin del estudio 2.1.2. Recoleccin de la informacin

2.1.2.1. Mtodo de recoleccin de la observacin 2.1.2.2. Muestreo 2.1.2.3. Determinacin del tamao de muestra

2.1.3. Presentacin u organizacin de la informacin 2.1.3.1. Revisin y correccin de la informacin recogida 2.1.3.2. Presentacin de la informacin mediante cuadros 2.1.3.3. Presentacin de la informacin mediante grficos

2.1.4. Anlisis e interpretacin de los resultados EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN Sesin N 3 ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN: TABLAS Y GRFICOS ESTADSTICOS

3.1. Tablas de frecuencias o distribucin de frecuencias 3.1.1. Distribucin de frecuencias de una variable discreta 2.1.2. Distribucin de frecuencias para datos agrupados

Sesin N 4 REPRESENTACIN DE LA INFORMACIN

4.1. Presentacin de la informacin mediante grficos EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN

UNIDAD II: MEDIDAS ESTADSTICAS


Sesin N5 MEDIDAS DE RESUMEN 5.1. Anlisis e interpretacin de los resultados

5.2. Medidas de tendencia central 5.2.1. La media o promedio aritmtico ( x ) 5.2.1. Mediana (Me) 5.1.3. La moda (Mo)

Sesin N 6 MEDIDAS DE POSICIN

6.1. Medidas de posicin 6.1.1. Cuartiles (Qi ) 6.1.2. Deciles (Di ) 6.1.3. Percentiles (Pi )

EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN Sesin N 7 MEDIDAS DE DISPERSIN

7.1. Medidas de dispersin 7.1.1. Varianza (s2 ) 7.1.2. Desviacin estndar (s ) 7.1.3. Coeficiente de variacin (c.v. % )

Sesin N 8 MEDIDAS DE FORMA

8.1. Medidas de forma. 8.1.1. Asimetra (As) 8.1.2. Coeficiente de Kurtosis o apuntamiento (K)

EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN

UNIDAD III: PROBABILIDAD Sesin N9 PROBABILIDAD

9.1. Introduccin 9.2. Anlisis combinatorio

9.2.1. Factorial de un nmero (!) 9.2.2. Permutaciones 9.2.3 variaciones 9.2.4. Combinaciones 9.2.5. Propiedad

Sesin N 10 ALGUNOS CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

10.1. Algunos conceptos bsicos de probabilidad 10.1.1. Experimento 10.1.2. Espacio muestral


10.1.3. Suceso o evento

10.1.4. Operaciones con eventos 10.1.5. Eventos mutuamente excluyentes

10.2. Probabilidad de un evento EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN Sesin N 11

PROBABILIDAD CONDICIONAL

11.1. Probabilidad condicional 11.2. Regla de la multiplicacin de eventos 11.4. Teorema de bayes

EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN

UNIDAD IV: PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIN Sesin N12 PROBABILIDAD BSICA

12.1. Las distribuciones de probabilidades bsicas 12.2. Las variables aleatorias 12.3. Las distribuciones de probabilidad

12.3.1. La distribucin binomial 12.3.1.1.1. Propiedades de una distribucin binomial 12.3.1.1.2. Uso de tablas de la distribucin binomial 12.3.1.1.3. Media y desviacin estndar de una distribucin binomial

12.3.2. La distribucin de poisson 12.3.2.1. La frmula de poisson 12.3.2.2. Uso de tablas de la distribucin acumulada de poisson

EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN Sesin N 13 DISTRIBUCIN NORMAL

13.1. Distribucin normal 13.1.1. Uso de tablas de distribucin acumulada normal estndar

EJERCICIOS PROPUESTOS EVALUACIN AUTOEVALUACIN

UNIDAD V: DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Sesin N14 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

14.1. Distribuciones muestrales 14.2. Muestreo 14.3. Etapas del muestreo 14.4. Las distribuciones muestrales de probabilidad


14.5. Distribuciones de muestreo de estadsticas 14.6. Distribucin muestral de la media

Sesin N 15 DISTRIBUCIN MUESTRAL DE UNA PROPORCIN

15.1. Distribucin muestral de una proporcin 15.2. Distribucin muestral de la diferencia de dos medias

EJERCICIOS PROPUESTOS AUTOEVALUACIN EVALUACIN REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS APNDICES

Apndice N 1 Nmeros aleatorios Apndice N 2 Tabla de la distribucin acumulada binomial Apndice N 3 Distribucin de poisson - trminos acumulativos Apndice N 4 Distribucin acumulativa normal


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SUMILLA

La asignatura de Estadstica General tiene la naturaleza terico- prctico, pertenece al rea de

Formacin Bsica, con cuatro horas, tres crditos, corresponde al I ciclo de las Carreras Acadmico

Profesional de Administracin y Contabilidad. Pretende proporcionar los conocimientos necesarios de

la estadstica, que le permitir investigar, analizar y resolver problemas con el quehacer de su carrera

profesional, cuyo contenido son: conceptos fundamentales y la organizacin de la informacin, medidas

de resumen: anlisis e interpretacin de los resultados, nociones de probabilidad, distribuciones de

probabilidad y distribuciones muestrales.


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UNIDAD I: TEORA ESTADSTICA Sesin N1: Conceptos fundamentales y organizacin de la informacin Sesin N2: Etapas del Mtodo Estadstico Sesin N3: Organizacin de la informacin: tablas y grficos estadsticos Sesin N4: Representacin de la Organizacin


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CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL

Reconoce los diferentes

conceptos fundamentales y

construye tablas y grficos de informacin

estadstica.

Reconocen y delimitan la poblacin, muestra y variables en estudio, y

adems utilizan tablas y grficos adecuados.

Analizan e interpretan los resultados obtenidos en

las tablas y grficos estadsticos.

COMPETENCIAS


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Sesin N 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN

1.1 GENERALIDADES

1.1.1 Definicin de estadstica

La estadstica es una ciencia que nos proporciona un conjunto de mtodos y tcnicas para la

recoleccin, clasificacin, presentacin, anlisis e interpretacin de los datos, con la finalidad de

realizar una toma de decisin ms efectiva.

1.1.2. Ramas de la estadstica

Estadstica descriptiva

Consiste en recolectar, clasificar, presentar y describir los datos vlidos nicamente para la poblacin

objeto de estudio, utilizando tablas, grficos y algunas medidas de resumen. No se efectan inferencias

para un grupo mayor.

Estadstica inferencial

Se emplea para generalizar conclusiones vlidas para una poblacin a partir de datos obtenidos de

una muestra extrada de dicha poblacin.

1.1.3. Poblacin

Es el conjunto de todos los individuos, objetos u observaciones que poseen al menos una caracterstica

comn, que son objetos de estudio. Se representa con la letra N.

La poblacin se define de acuerdo a la caracterstica, unidad estadstica y extensin del problema

objeto de estudio.

Ejemplo:

1. Las edades de los estudiantes de la UPeU.

2. Los errores que presentan las facturas del supermercado La Unin.

Respecto a la caracterstica objeto de estudio se puede distinguir:

a) Poblacin objeto. Considerada como el conjunto de elementos que son objeto de estudio.

Ejemplo.

1. Conjunto de los alumnos de la UPeU.

2. Conjunto de facturas del supermercado La Unin.

b) Poblacin objetivo. Considerada como el conjunto de observaciones, medidas de la

caracterstica que es de inters para el estudio de la poblacin objeto.

Ejemplo.

1. Conjunto de edades.

2. Conjunto de errores.

La poblacin de acuerdo al nmero de elementos que la forman puede ser finita o infinita.

Poblacin finita: Es aquella que tiene un nmero limitado de elementos.

Ejemplo:


17

1. Ventas efectuadas durante un ao en una tienda determinada.

2. Edades de los alumnos de la UPeU.

Poblacin infinita: Es aquella que tiene un nmero indeterminado de elementos. No se refiere a que

no se puede contar, sino que es imposible ubicar a todos los elementos de la poblacin.

Ejemplo:

1. Los sntomas de los enfermos tuberculosos de Lima.

2. Evasin de impuestos de las empresas adscritas al RUC.

1.1.4. Muestra

Es un subconjunto o parte de la poblacin. Se examina una muestra cuando no es posible examinar

una poblacin, ya sea por factores econmicos, disponibilidad de personal o tiempo.

La muestra debe cumplir dos requisitos bsicos: Debe ser representativa y adecuada.

Es representativa cuando contiene todos los sectores o aspectos de la poblacin en la misma

proporcin en que se hallan en la totalidad del universo. La representatividad asegura la calidad de la

muestra.

Es adecuada cuando el tamao de la muestra tiene una magnitud suficiente que permita confiar en la

estabilidad de las caractersticas presentes en la muestra. La adecuacin asegura la confiabilidad de la

muestra.

1.1.5. Unidad estadstica

Es el elemento que pertenece a la poblacin objeto de estudio. Dicho elemento contiene las

caractersticas, atributos que el individuo o fenmeno puede poseer. Ejemplo:

1. Para un ingeniero que verifica la calidad de productos elaborados por una empresa, la unidad

estadstica son los productos terminados.

2. Para un auditor que verifica los estados financieros de una empresa en el balance general, cuentas

clientes, la unidad estadstica son las facturas por cobrar.

1.1.6. Dato estadstico

Son nmeros o medidas que han sido recopilados como resultado de observaciones que pueden ser

comparados, analizados e interpretados. Ejemplo:

1. Si la caracterstica de estudio es la variable X: edad de un grupo de 5 estudiantes. El conjunto de

datos estadsticos seran los siguientes:

x1 = 17, x2 = 18, x3 = 21, x4 = 22, x5 = 19

2. Si la caracterstica de estudio es la variable X: n de errores ubicados en 5 facturas. El conjunto de

datos estadsticos seran los siguientes:

x1 = 2, x2 = 5 , x3 = 0, x4 = 4, x5 = 2

1.1.7. Parmetro

Es una medida de resumen que describe alguna caracterstica de toda la poblacin objeto de estudio. Para determinar el valor del parmetro se requiere informacin de toda la poblacin.


18

Las ms usadas son:

i) Media poblacional ()

ii) Varianza poblacional (2)

iii) Desviacin estndar poblacional () iv) Proporcin poblacional (P)

1.1.8. Estadstico o estadgrafo

Es una medida de resumen que describe alguna caracterstica de la muestra.

Las ms usadas son:

i) Media Muestral ( x ) ii) Varianza muestral (s

2)

iii) Desviacin estndar muestral (s) iv) Proporcin muestral (p)

1.1.9. Variable estadstica

Es una caracterstica de la poblacin que interesa al investigador y que toma diferentes valores.

Se denota con las letras: X, Y, Z, etc.

Ejemplo:

1. Edad 2. Profesin

3. Ingreso familiar 4. Estado Civil

5. Estatura 6. Nivel socioeconmico

Las variables se pueden clasificar de la siguiente manera:

a. Variables cualitativas

Son aquellas caractersticas que no se expresan cuantitativamente, constituidas por atributos.

Ejemplo:

- Lugar de procedencia (norte, centro sur, oriente)

- Estado civil (soltero, casado, viudo, divorciado, conviviente).

Estas variables a su vez pueden clasificarse segn la escala de medicin en:

i) Variable cualitativa nominal

Es aquella que no lleva ninguna ordenacin en sus posibles modalidades (datos estadsticos).

Ejemplo:

- Estado civil: soltero, casado, viudo divorciado, conviviente (en estas clasificaciones no hay

ordenacin jerrquica, si quisiramos forzar la ordenacin y pondramos al soltero en primer lugar,

quin ira segundo, el casado o el conviviente y luego el viudo o el divorciado).

- Filiacin religiosa: catlico, adventista, mormn,

ii) Variable cualitativa ordinal

Es aquella que busca ordenar sus casos en trminos del grado que posee una determinada

caracterstica.

Ejemplo:

- Nivel socio-econmico: alto, medio, bajo

- Rendimiento: excelente, bueno regular malo, psimo.

b. Variables cuantitativas


19

Es aquella cuyos datos estadsticos son numricos y se obtiene como resultado de mediciones o

conteos.

Ejemplo:

- Sueldos: 800, 1500, 935, 450, - Notas: 12, 19, 16, 08, 10,

Las variables cuantitativas segn la escala de medicin pueden ser:

i) Variable cuantitativa de intervalo

Es aquella que se presenta en intervalos y no necesariamente empieza del cero racional.

Ejemplo:

- Temperatura corporal: 36, 37, 38 (una persona no puede tener 0 de temperatura, porque estara

muerta).

- Peso: 20kg, 35kg, 58kg.

Todos los signos vitales son variables cuantitativas de intervalo.

ii) Variable cuantitativa de razn

Es aquella que necesariamente empieza del cero racional.

Ejemplo:

- Notas: 0, 1, 2, 3, , 20 (empieza desde cero) - Edad: 0, 1, 2,

Las variables cuantitativas segn su naturaleza pueden ser:

i) Variable discreta

Son aquellas que toman valores numricos aislados y no pueden tomar ningn valor entre dos

nmeros consecutivos fijados (slo asume nmeros enteros).

Ejemplo:

- N de hijos: 0, 1, 2, 3, (no puede existir 2.5 porque sera ilgico pensar en 2 hijos y medio) - N de facturas que presentan errores: 0, 1, 2, 3,

ii) Variable continua Son aquellas que pueden tomar infinitos valores entre dos nmeros, por muy prximos que los fijemos,

es decir, se presentan valores enteros as como decimales. Ejemplo:

- Peso: 62.55 kg, 72.40 kg, 56.35 kg,...

- Talla: 1.50 mt, 1.65 mt, 1.85 mt,


20

Sesin N 2

ETAPAS DEL MTODO ESTADSTICO

2.1. ETAPAS DEL MTODO ESTADSTICO

De acuerdo con el orden de aplicaciones de la estadstica a un problema determinado, los mtodos

estadsticos se dividen en cuatro etapas:

1. Planificacin del estudio.

2. Recoleccin de la informacin.

3. Presentacin u organizacin de la informacin.

4. Anlisis e interpretacin de los resultados.

2.1.1. Planificacin del estudio

Estudia los detalles concernientes a la recoleccin, clasificacin y anlisis de la informacin. En base a

lo cual se definirn caractersticas de la poblacin o se negarn o confirmarn una hiptesis de trabajo.

En esta etapa se pueden considerar los siguientes aspectos:

- Planteamiento del problema.

- Bsqueda y evaluacin de la informacin existente.

- Formulacin de hiptesis.

- Verificacin de la hiptesis.

- Anlisis y presentacin de los resultados.

2.1.2. Recoleccin de la informacin

Los principales puntos que deben considerarse al recoger la informacin son: - Los errores que puedan cometerse en la recoleccin de los datos y la manera de controlarlos.

- Las ventajas y limitaciones de los diversos mtodos empleados en la recoleccin de la informacin.

- Las condiciones que deben reunir los individuos que se estudian y los procedimientos ms

convenientes para su eleccin.

- El diseo de los formularios que servirn para registrar la informacin que se recoja.

2.1.2.1. Mtodo de recoleccin de la observacin

a. Directa.- Cuando los datos son recolectados directamente de la fuente de origen. sta puede ser mediante la observacin o el interrogatorio. b. Indirecta.- Cuando los datos provienen de datos recogidos por otros individuos en este caso se habla de fuentes secundarias.

En cuanto al tiempo, la recoleccin de datos puede clasificarse en: Continuas: Cuando son registradas a medida que ocurren. Ejemplo:


21

Registro civil de hechos vitales (nacimientos, defunciones y casamientos). Peridicas: Cuando est hecho en determinados intervalos de tiempo (forma cclica). Ejemplo: Censos hechos en el Per cada 10 aos. Ocasionales: Cuando se efecta en cualquier poca. Ejemplo: Estudios de investigacin realizados por algn investigador.

2.1.2.2. Muestreo

Es la tcnica mediante la cual se obtiene la muestra representativa y adecuada.

VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MUESTREO

a. Permite conocer con relativa aproximacin determinada caracterstica de una poblacin de gran

tamao, dentro de un costo razonable y en menor tiempo.

b. Permite mayor exactitud de los resultados, puesto que los factores artificiales de variacin pueden

controlarse.

c. Cuando la poblacin es infinita o muy grande, entonces, el estudio slo podr realizarse a travs de

una muestra.

d. Cuando se trata de ensayos destructivos o no recuperables, necesariamente se tendr que utilizar

una muestra.

e. Una limitacin de la muestra, es que, por buena que pueda ser la muestra y los cuidados puestos

en ella, siempre existe el sesgo debido a factores aleatorios. Dicho riesgo debe ser establecido a

priori por el investigador de modo que se tenga suficiente garanta de la muestra seleccionada.

2.1.2.3. Determinacin del tamao de muestra

Se determina el tamao de muestra utilizando la frmula siguiente, para una muestra sacada de una

poblacin finita cuya fuente es Arkin y Colton.

21 1N

nN k

NOTAS

Donde:

n = tamao de la muestra (nmero de elementos de la muestra)

N = tamao de la poblacin (nmero de elementos de la poblacin)

k = error de muestreo.

Ejemplo:

Seleccionar el tamao de la muestra para la poblacin que est constituida por 1500 estudiantes de la

UPeU, utilizando un error de muestreo del 25% y 5%.

Solucin:

si: k = 25%, para reemplazar este valor en la frmula, primero debemos convertir a real, es decir, k =

25/100 = 0.25

2

150015.84 16

1500 1 0.25 1n alumnos


22

si: k = 5%, para reemplazar este valor en la frmula, primero debemos convertir a real, es decir, k =

5/100 = 0.05.

2

1500315.96 316

1500 1 0.05 1n alumnos

2.1.3. Presentacin u organizacin de la informacin

Se consideran los tres pasos siguientes:

1. Revisin y correccin de la informacin recogida.

2. Presentacin de la informacin mediante cuadros.

3. Presentacin de la informacin mediante grficos.

2.1.3.1. Revisin y correccin de la informacin recogida

Se debe revisar y corregir:

a) La escritura.

b) Las respuestas inconsistentes.

c) Las respuestas incompletas.

d) Las unidades en las cifras son diferentes.

2.1.3.2. Presentacin de la informacin mediante cuadros

Despus de la revisin de los datos recopilados, es conveniente presentar la informacin, de acuerdo a

algn sistema de ordenacin, a fin de describirlos y analizarlos.

2.1.3.3. Presentacin de la informacin mediante grficos

Los grficos ms usados son:

a. Histograma de frecuencias

b. Polgono de frecuencias

c. Polgono de frecuencias acumuladas u ojiva

d. Barras

e. Bastones

f. Sectores

g. Series de tiempo

2.1.4. Anlisis e interpretacin de los resultados

Para el anlisis e interpretacin de los resultados nos basamos en los cuadros y grficos, y en las

medidas de resumen de la serie de datos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indique cules de los trminos u operaciones siguientes se relacionan con una muestra o con una

poblacin:

a) grupo de medidas llamados parmetros b) uso de inferencia estadstica c) hacer un censo

d) juzgar la calidad de un embarque de fruta inspeccionando varios de los bultos incluidos en el


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embarque.

2. En los siguientes enunciados, indicar si se trata de una Muestra (M) o una Poblacin (P):

a) Nmero de estudiantes egresados del Instituto YI en el ao 2004 b) Estudio de personas con proceso judicial por trfico de drogas en el ao 2000 c) Nmeros de nios nacidos vivos en el hospital X d) Estudio del 25% de pacientes con tuberculosis del distrito DF

3. Elabore una lista de 10 variables. Luego:

a. Identifique la poblacin objeto. b. Identifique la poblacin objetivo. c. Determine la unidad estadstica. d. Mencione algunos datos estadsticos.

4. Clasificar las siguientes variables en cualitativas (nominal y ordinal) y cuantitativas (discreta y

continua).

a. rendimiento acadmico b. velocidad de lectura c. peso contenido en un paquete de cereales d. categora de docente e. nmero de artculos defectuosos producidos f. nmero de unidades de un artculo en existencia g. grado de desnutricin h. asistencia a los cultos devocionales i. patrn conductual j. cultura organizacional k. tipo de alimentacin l. nmero de hermanos m. grado de instruccin n. estado civil.

5. Clasifique las variables e indique el tipo de escala en que estn medidas las siguientes caractersticas:

a) Profesin b) Ao de nacimiento c) Nacionalidad d) Grado de instruccin e) ingreso mensual familiar promedio f) Nmero de telfono g) Grado de instruccin h) Nmero de hijos

6. Utilizando la frmula determine el tamao de la muestra, considerando los datos que se mencionan a continuacin.

a). N = 1 500 k = 3% b) N = 2 000 k = 10% c) N = 5 000 k = 2% d) N = 500 k = 10% e) N = 1 000 k = 5%

7. En el siguiente enunciado identifique: poblacin, muestra, unidad estadstica, parmetro,

estadstico, variable(s), tipo de variable(s) y d 2 ejemplos de dato estadstico.

Con la finalidad de mejorar el servicio de la Biblioteca de la UPeU" se decidi realizar un estudio de investigacin, para lo cual se seleccion aleatoriamente a 45 estudiantes usuarios de la biblioteca obtenindose los siguientes resultados:

- En promedio un alumno dedica 1 hora a la lectura en sala.


24

- El 80% afirma que la atencin es buena. - El 10% de los usuarios son recin ingresantes a la UPeU. - En promedio un alumno se lleva 1.5 libros a su casa.

8. Identifique en cada caso: unidad elemental, variable, tipo de variable

a) consumo mensual de electricidad b) opinin acerca de la gestin de un ministro c) peso de nios de 5 aos d) estado civil e) nmero de artculos defectuosos producidos por las mquinas de una fbrica f) nacionalidad de personas que asisten a un congreso.


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Autoevaluacin

CONCEPTUAL

1. Seale con una V si es verdadero o F si es falso en los siguientes enunciados:

a) ( ) Una muestra es representativa si sta contiene todas las

caractersticas de la muestra. b) ( ) La variable es una caracterstica que asume diferentes valores. c) ( ) Para que una poblacin est bien definida, debe contener la

caracterstica, unidad estadstica y extensin. d) ( ) Las ramas de la estadstica son: estadstica descriptiva e inferencial. e) ( ) Las variables cualitativas son aquellas que son numricas y se

obtiene como resultado del conteo

PROCEDIMENTAL

2. Los mtodos de recoleccin de la informacin son: directa e indirecta. Cul

es la diferencia entre ambas?

3. Dadas las siguientes variables, colocar en la tabla en el lugar donde le

corresponde de acuerdo a su naturaleza y escala de medicin.

a. Estudios diarios e. Grado de instruccin b. Lugar de procedencia f. Sueldos c. Velocidad de lectura g. Gastos d. Idiomas h. Rendimiento i. Estado civil j. Edad k. Estatura l. Categora de docente

Variable cualitativa Variable cuantitativa

Nominal Ordinal Discreta Continua

4. Utilizando la frmula determine el tamao de la muestra, considerando los

datos que se mencionan a continuacin.

a) N = 500 k = 10% b) N = 1 000 k = 5% c) N = 1 500 k = 3% d) N = 2 000 k = 10%

ACTITUDINAL

5. Considerando los conocimientos adquiridos en esta tutora identificar las

clases de variables estadstica, su naturaleza, y de esta manera poder realizar un estudio estadstico.


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Sesin N 3

ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN: TABLAS Y GRFICOS ESTADSTICOS

3.1. TABLAS DE FRECUENCIAS O DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Una distribucin de frecuencias (o tabla de distribucin de frecuencias) es una representacin de una

serie de datos. En ella se muestra cmo se distribuyen los valores de la variable estadstica junto a sus

frecuencias correspondientes a cada uno de ellos.

En estas tablas de distribucin de frecuencias, como producto de la operacin de tabulacin (conteo),

se observa cuantos elementos (frecuencia o repeticin) hay en cada categora, valor o intervalo de la

variable.

Luego de la revisin de los datos recopilados, es conveniente presentar la informacin, de acuerdo a

algn sistema de ordenacin, a fin de describirlos y analizarlos. A continuacin se presenta algunos

conceptos y procedimientos comunes para la presentacin de cuadros o tablas.

Frecuencia absoluta simple ( if ): Se llama al nmero de veces que aparece repetido dicho valor, en

un conjunto de valores realizadas. La suma de todas las frecuencias es igual al total n de datos observados.

Se denota mediante: if

Propiedad: nffffm

i

im 1

21 ...

Frecuencia absoluta acumulada (Fi): Es igual a la suma de las frecuencias absolutas simples

inferiores o iguales a las frecuencias acumuladas que se desea encontrar.

Se denota mediante: iF

Propiedad:

qfF 1

212 ffF

. . .

mm fffF ...21

Frecuencia relativa simple ( ih ): Es el cociente entre la frecuencia absoluta simple de su fila y el nmero total de observaciones realizadas (n). La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.

Su frmula es: n

fh ii

Se denota mediante: ih


30

Propiedad: 1...1

21

m

i

im hhhh

Frecuencia relativa acumulada ( iH ): Se llama al cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de su fila y el nmero de observaciones realizadas (n).

Su frmula es: n

FH ii

Se denota mediante: iH

Propiedad:

qhH 1

212 hhH

. . .

mm hhfH ...21

Para presentacin de la informacin mediante cuadros o tablas, es necesario construir la tabla de

distribucin de frecuencias. La cual puede ser:

3.1.1. Distribucin de frecuencias de una variable discreta

Una distribucin de frecuencias es un arreglo de los valores observados x1,...xm de una variable X con

sus respectivas frecuencias, en una tabla de la forma:

Valores

de X

fi Fi hi Hi

x1 x2

.

.

.

xk

f1 f2

.

.

.

Fm

F1 F2

.

.

.

F m= n

h1 h2

.

.

.

Hm

H1 H2

.

.

.

Hm = 1

Total fi=n hi=1

Ejemplo:

Dadas las edades de 12 estudiantes de la UPeU, construir la tabla de distribucin de frecuencias.

EDAD (X): 19, 20, 23, 20, 18, 20, 25, 18, 18, 20, 25, 23.

Solucin

EDAD fi Fi hi Hi

18

19

20

23

25

3

1

4

2

2

3

4

8

10

12

0.25

0.08

0.33

0.17

0.17

0.25

0.33

0.66

0.83

1.00

Total 12 1.00

La suma de las frecuencias relativas simples (hi) siempre debe ser igual a uno, en caso de error de

redondeo no diera 1, hay que ajustar, es decir, hay que sumar o restar 1 dgito a cualquier nmero para

conseguir la suma de 1.

f3: Indica la frecuencia absoluta simple de la tercera fila y corresponde al nmero 4.


31

F4: Indica la frecuencia absoluta acumulada de la cuarta fila y corresponde al nmero 10.

h3: Indica la fecuencia relativa absoluta simple de la tercera fila y corresponde al nmero 0.33. Para

interpretar se debe expresar los valores de las frecuencias relativas en porcentajes y esto se realiza

multiplicando el nmero por 100, as 0.33x100 = 33%.

H4: Indica la frecuencia relativa acumulada de la cuarta fila y corresponde al nmero 0.83. Para

interpretar se debe expresar los valores de las frecuencias relativas en porcentajes y esto se

realiza multiplicando el nmero por 100, as 0.83x100 = 83% Interpretacin:

f3: Existen 4 alumnos que tienen 20 aos de edad. F4: Existen 10 alumnos cuyas edades varan de 18 a 23 aos. h3: El 33% de los alumnos que tienen 20 aos de edad. H4: El 83% de los alumnos tienen edades que varan de 18 a 23 aos. Las frecuencias absolutas interpretan la variable en su fila, en cambio las frecuencias acumuladas interpretan desde el principio hasta su fila.

Observacin:

Cuando se realiza una observacin en una muestra o en una poblacin, se puede presentar los

siguientes casos: Que se hayan hecho pocas observaciones y por lo tanto, la variable estadstica tome pocos

valores.

Que se hayan hecho muchas observaciones y sin embargo, la variable estadstica toma muy pocos

valores diferentes.

Que se hayan hecho muchas observaciones y la variable toma muchos valores distintos.

(*) Los dos primeros casos caern dentro del estudio de variable discreta.

(*) El tercer caso se agrupar los valores de la variable en intervalos adecuadamente para no perder

mucha informacin.

2.1.2. Distribucin de frecuencias para datos agrupados

Es una tabla en donde los datos originales se clasifican en intervalos de clase.

Para la elaboracin de esta tabla se debe tener en cuenta las definiciones siguientes:

- Intervalos o lmites de clase: se identifica por tener su lmite superior y su lmite inferior. Los

extremos de los intervalos no se repiten.

Ejemplo:

15-19 LCI=15 y LCS=19

20-24

25-29

- Amplitud intervlica (c): Llamado tambin ancha de clase, es la cantidad de datos que estn

comprendidos en un intervalo de clase.

- Marca de clase (Xi): Es el punto medio del intervalo de clase:

2i

LCI LCSX


32

Ejemplo:

La marca de clase para el primer intervalo ser:

15 1917

2iX

REGLA GENERAL PARA LA CONSTRUCCIN DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE

UNA VARIABLE CONTINUA AGRUPADA EN INTERVALOS

Dado n valores de una variable cuantitativa X continua, o discreta con ms de 20 valores distintos, uno de los mtodos para construir la distribucin de frecuencias es:

1) Determinar el Rango: R El rango de variacin de los datos se define por:

mnmx XXR 2) Determinar el Nmero de intervalos: k Utilizando la regla de Sturges:

1 3.322log( )k n

n: Nmero total de datos. Observacin: El resultado que se obtenga de k ser redondeado al entero inmediato mayor. Ejemplo:

Si 6.32k entonces, 7k (Nmero de intervalos igual a 7). Si 6.84k entonces, 7k (Nmero de intervalos igual a 7). 3) Determinar la Amplitud del intervalo: c La amplitud del intervalo se obtiene dividiendo el rango entre el nmero de intervalos.

Rc

k

4) Determinar los extremos de los intervalos

Ejemplo:

Los siguientes datos son puntajes del cociente de inteligencia (CI) de 50 alumnos de la UPeU. Con

base en estos puntajes, preparar la tabla de distribucin de frecuencias.

PUNTAJES DEL COCIENTE DE INTELIGENCIA (CI)

DE 50 ESTUDIANTES DE LA UPeU

91 104 113 125 101

114 105 101 89 126

118 100 111 125 109

119 95 106 120 129

89 113 118 127 129

128 107 89 122 89

114 106 105 115 98

112 103 92 125 107

97 104 105 95 91

106 93 89 100 115


33

1) Determinar el Rango: R El rango de variacin de los datos se define por:

mnmx XXR 2) Determinar el Nmero de intervalos: k Utilizando la regla de Sturges:

1 3.322log( )k n

n: Nmero total de datos. Observacin: El resultado que se obtenga de k ser redondeado al entero inmediato mayor. Ejemplo:

Si 6.32k entonces, 7k (Nmero de intervalos igual a 7). Si 6.84k entonces, 7k (Nmero de intervalos igual a 7). 3) Determinar la Amplitud del intervalo: c La amplitud del intervalo se obtiene dividiendo el rango entre el nmero de intervalos.

Rc

k

4) Determinar los extremos de los intervalos

Tabla N 1

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE LOS PUNTAJES DEL CI DE 50 ESTUDIANTES DE LA

UPeU

Lmite de

clase

Yi fi Fi hi Hi

88 94 94 100 100 106 106 112 112 118 118 124 124 130

91

97

103

109

115

121

127

9

6

11

5

8

3

8

9

15

26

31

39

42

50

0.18

0.12

0.22

0.1

0.16

0.06

0.16

0.18

0.3

0.52

0.62

0.78

0.84

1.00

50 1.00

f3: Indica la frecuencia absoluta simple de la tercera fila y corresponde al nmero 11. F4: Indica la frecuencia absoluta acumulada de la cuarta fila y corresponde al nmero 31. h3: Indica la relativa absoluta simple de la tercera fila y corresponde al nmero 0.22. Para interpretar se

debe expresar los valores de las frecuencias relativas en porcentajes y esto se realiza multiplicando al nmero por 100, as 0.22x100 = 22% .

H4: Indica la frecuencia relativa acumulada de la cuarta fila y corresponde al nmero 0.62. Para

interpretar se debe expresar los valores de las frecuencias relativas en porcentajes y esto se realiza multiplicando al nmero por 100, as 0.62x100 = 62%

Interpretacin: f3: Existen 11 estudiantes de la Universidad Peruana Unin que tienen un cociente intelectual que

vara de 100 a 106 puntos.


34

F4: Existen 31 estudiantes de la Universidad Peruana Unin que tienen un cociente intelectual que vara de 106 a 112 puntos

h3: El 20% de estudiantes de la Universidad Peruana Unin tienen un cociente intelectual que vara de

100 a 106 puntos H4: El 62% de estudiantes de la Universidad Peruana Unin tienen un cociente intelectual que vara de

106 a 112 puntos Las frecuencias relativas interpretan la variable en su fila, en cambio, las frecuencias acumuladas interpretan la variable desde el principio hasta su fila.

CUIDADOS EN LA PRESENTACIN DE CUADROS ESTADSTICOS

A continuacin sealamos los elementos necesarios que deben tenerse en cuenta para la presentacin

de informacin estadstica mediante cuadros.

1. N de cuadro

2. Ttulo: Debe responder las siguientes preguntas:

a. Qu informacin contiene el cuerpo del cuadro?

Ej. Cociente de inteligencia de 50 alumnos

b. Dnde fue tomada la informacin?

Ej. ...en la UPeU Lima

c. Cundo fue tomada la informacin?

Ej. ...Enero, 1995

3. Los encabezados: Corresponde a la identificacin de la variable y las frecuencias.

4. Columna matriz: corresponde a las categoras de clasificacin de la variable.

5. Cuerpo del cuadro: Corresponde a la informacin numrica, generalmente frecuencias absolutas y

relativas.

6. Fuente: Sealar el medio de informacin que condujo al conjunto de datos.

Ej. Test aplicado por los investigadores

7. Notas: son colocadas para esclarecimiento.

8. Comentarios: sirve para aclarar minucias en relacin a cada celda.

Para nuestro ejemplo visto anteriormente el cuadro ser:

CUADRO N 1

COCIENTE INTELECTUAL DE 50 ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD PERUANA UNIN - LIMA, 2004

COCIENTE DE

INTELIGENCIA

N DE

ALUMNOS

%

88 94

94 100

100 106

106 112

112 118

118 124

124 130

9

6

11

5

8

3

8

18

12

22

10

16

6

16

TOTAL 50 100

Fuente: Test aplicado por los investigadores.


35

Sesin N 4

REPRESENTACIN DE LA INFORMACIN 4.1. PRESENTACIN DE LA INFORMACIN MEDIANTE GRFICOS

Los grficos ms usados son:



c. Polgono de frecuencias acumuladas u ojiva

d. Barras

e. Bastones

f. Sectores

g. Series de tiempo


Es una representacin grfica de una distribucin de frecuencias agrupadas en intervalos de clase,

mediante una serie de intervalos continuos.

Se usa:

Cuando se tiene una variable cuantitativa continua

Se construye:

1. Se coloca los intervalo de clase en el eje horizontal (eje de las abscisas o eje x).

2. Se levanta cada intervalo a la altura de la frecuencia absoluta simple o relativa simple.

Ejemplo:

Considere el ejemplo de tabla de distribucin de frecuencia para datos agrupados del Puntajes del Cociente de Inteligencia (CI) de 50 Estudiantes de la UPeU.


36


Se usa:

Cuando se tiene una variable cuantitativa continua y econmica.

Se construye:

1. Se ubica en el eje x la marca de clase y se considera el punto medio,

2. Se levanta el punto de la marca de clase a la altura de la frecuencia absoluta simple o relativa

simple,

3. Luego de marcar los puntos, unirlos,

4. Finalmente, unir los extremos al eje de las abscisas.

Ejemplo:

Considerando el ejemplo de la tabla de distribucin de frecuencias para datos agrupados, en el cual

estudiamos el Puntaje del Cociente de Inteligencia (CI) de 50 Estudiantes de la UPeU.

c. Polgono de frecuencias acumuladas u ojivas

Se usa:

Cuando la frecuencia acumulada es de inters.

Se construye:

1. Se ubica en el eje x la marca de clase.

2. Se levanta el punto del extremo superior de cada lmite de intervalo de clase a la altura de la

frecuencia absoluta acumulada o relativa acumulada.

3. Luego de marcar los puntos, unirlos

4. Finalmente, unir los extremos al eje de las abscisas.

Ejemplo:

Considerando el ejemplo de la tabla de distribucin de frecuencias para datos agrupados, en el cual

estudiamos el Puntaje del Cociente de Inteligencia (CI) de 50 Estudiantes de la UPeU

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

91 97 103 109 115 121 127

9

6

11

5 8

3

8

fi

x


37

d. Barras

Se representa mediante una serie de rectngulos separados

Se usa:

Para representar variables cualitativas.

Se construye:

1. Se ubica en el eje x las categoras de la variable, utilizando intervalos y separando

aproximadamente la mitad del intervalo entre una categora y otra.

2. Se levanta cada intervalo de la categora que corresponde a la variable, a la altura de la frecuencia

absoluta simple o relativa,

Ejemplo:

Facultad N de alumnos

1. Ciencias Contables y Administrativas

2. Teologa

3. Ciencias de la Salud

4. Educacin y Ciencias Humanas

5. Ingeniera

500

200

250

250

300

Total 1500

e. Bastones

Tiene la forma de alfileres.

Se usa:

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

88 94 100 106 112 118 124 130

9

15

26

31

39

42

50

fi

x

50

0 45

0 40

0 35

0 30

0 25

0 20

0 15

0 10

0 50

1 2 3 4 5

50

0

20

0

25

0

30

0

fi

x

25

0


38

Para representar una variable cuantitativa discreta.

Se construye:

1. Se ubica en el eje x los valores de la variable, separando equitativamente entre uno y otro valor,

2. Se levanta utilizando una lnea recta para cada valor de la variable, a la altura de la frecuencia

absoluta simple o relativa y se termina con un punto, en forma de alfiler.

Ejemplo:

No de Hijos (xi) 0 1 2 3 4 5

N de familias (fi) 3 7 12 20 15 5

NOTAS

f. Sectores

Se representa mediante un crculo particionado.

Se usa:

Para representar una variable cualitativa cuyo principal inters es conocer su frecuencia relativa.

Se construye:

1. Se particiona a una circunferencia equitativamente, considerando que sta constituye el 100%,

2. Se efecta la particin, segn la frecuencia relativa simple lo considere y se ubican las categoras

de la variable en cada particin.

Ejemplo:

Rubro hi %

Diezmo

Vivienda

Alimentacin

Vestido

Educacin

Recreacin

Otros

10

20

30

10

20

5

5

Total 100

20

15

10

5

1 2 3 4 5

7

12

20

5

fi

x

15

3

ALIMENTACIN 30%

EDUCACIN

20%

RECREAC. 5%

DIEZMO 10%

VESTIDO 10%

OTROS 5%

VIVIENDA 20%


39

g. Series de tiempo

Son curvas idnticas al del polgono de frecuencias pero sus extremos no tocan el eje de las abscisas.

Se usa:

Cuando la variable de inters es el tiempo.

Ejemplo:

N DE ALUMNOS INGRESANTES A LA UPeU DE TRES

COLEGIOS DIFERENTES 1991-1995

AOS N DE ALUMNOS INGRESANTES

COLEGIO 1 COLEGIO 2 COLEGIO 3

1991

1992

1993

1994

1995

10

15

20

25

35

20

25

20

25

25

15

20

25

20

25

CUIDADOS EN LA PRESENTACIN DE GRFICOS ESTADSTICOS

A continuacin sealamos los elementos necesarios que deben tenerse en cuenta para la presentacin

de informacin estadstica mediante grficos.

1. N de grfico

2. Ttulo: Debe responder las siguientes preguntas:

a. Qu informacin contiene el cuerpo del cuadro?

Ej. Cociente de inteligencia de 50 alumnos

b. Dnde fue tomada la informacin?

Ej. ...en la UPeU Lima

c. Cundo fue tomada la informacin?

Ej. ...Setiembre, 1994

3. Representacin grfica (sealar escalas).

4. Leyenda (si fuere necesario).

5. Fuente.

6. Nota (en caso de ser necesario).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1991 1992 1993 1994 1995

COLEGIO 1

COLEGIO 2

COLEGIO 3

X

AOS

fi


40

Ejemplo:

La representacin grfica para el ejemplo de datos agrupados de los datos del Puntajes del Cociente de Inteligencia (CI) de 50 Estudiantes de la UPeU.

GRFICO N 1

COCIENTE INTELECTUAL DE 50 ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD PERUANA UNIN - LIMA,

2001

Fuente: Test aplicado por los investigadores.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En una encuesta de opinin acerca de las preferencias de una marca de bebida gaseosa por sus

colores: Amarillo (A), Blanco (B), Rojo (R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas: B, R, R, B, R, A, A, B, B, A B, A, A, R, B, A, B, R, B, A

a) Construir la distribucin de frecuencias b) Graficar la distribucin

2. La tabla muestra la distribucin del ingreso familiar correspondiente a 80 familias:

Ingresos fi Fi hi

160 170

170 180

180 190

190 200

200 210

48 60 0,125 0,075

a) Determinar el nmero de familias que ganan menos de 200 nuevos soles

3. Para cada uno de los siguientes ejercicios construir:

a) La tabla de distribucin de frecuencias

b) El grfico adecuado

c) Interpretacin

3.1. Los siguientes datos proporcionan las remuneraciones de 50 obreros.

730 470 672 820 670 610 800 670

600 700 650 700 570 850 590 700


41

570 730 770 580 609 700 574 578

730 663 569 720 860 766 456 258

378 930 848 860 748 777 640 560

730 640 708 461 685 630 720 840

650 740

3.2. Considere los datos obtenidos por las medidas de las alturas de 100 individuos (dados en

cm)

151 152 154 155 159 159 160 161 161 161 161 162 163 163 164 165 166 165 166 166 166 166 166 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 172 172 172 173 173 173 173 174 174 174 175 175 175 176 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 181 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 189 190

3.3 El gerente de una compaa registra el nmero de cierto trabajo, completados por los

empleados. Cincuenta empleados realizan el mismo trabajo, divididos en dos grupos de 25

y en salones diferentes.

En el saln A, el gerente registra el siguiente nmero de unidades completadas por da:

21 22 20 15 25 30 28

29 28 30 24 29 27 34

38 24 35 36 31 41 32

43 44 53 50

En el saln B los datos son los siguientes:

16 21 13 36 18 24 32

16 18 20 28 25 33 26

30 26 20 35 45 59 32

31 30 40 30

a) Combinar todos los puntajes y obtener la distribucin de frecuencias con tamao de clase

k=10.

b) Obtener la distribucin de frecuencias por cada saln y realice la grfica adecuada.

4. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 300 empleados segn su edad.

EDADES hi

19-21

22-24

25-27

28-30

31-33

0.15

0.25

0.40

0.10

0.10

a) Cuntos empleados tienen edades entre 22 y 30 aos?

b) Qu porcentaje de empleados tienen 25 aos o ms?

c) Qu porcentaje de empleados tienen 24 aos o menos?

d) Una empresa que se dedica a preparar dietas, proyecta lanzar al mercado una dieta rigurosa.

Los empleados de una compaa se presentaron como voluntarios para dicha promocin. Se

realiz un muestreo con 80 empleados elegidos aleatoriamente. Los resultados del chequeo

de los pesos (en Kg), fueron los siguientes:

80.6 65.8 49.6 79.1 84.4 66.2 79.3 59.4 72.9 73.6

53.2 60.2 91.2 74.8 78.6 81.4 58.6 68.2 67.4 55.6

76.9 77.4 67.9 63.7 49.9 46.4 68.8 67.3 72.3 75.8


42

88.3 94.6 57.3 87.3 74.3 73.2 90.4 76.3 52.7 71.7

75.6 41.8 73.6 71.4 83.2 67.4 99.3 62.3 89.2 86.8

65.2 62.1 44.8 82.9 81.7 70.4 74.6 76.9 85.7 40.9

54.2 75.3 50.1 61.1 42.3 68.6 56.2 70.8 47.3 66.9

80.2 60.2 71.6 77.1 94.9 61.4 82.1 78.3 51.2 79.3

a) Elaborar la distribucin de frecuencias

b) Cuntos empleados tienen pesos entre 45 y 60 kg?

c) Qu porcentaje de empleados tienen pesos mayores que 75.5 Kg?


42

Autoevaluacin

CONCEPTUAL

1. Seale con una V si es verdadero o F si es falso en los siguientes enunciados:

a) ( ) Una tabla estadstica representa a la informacin en forma organizada.

b) ( ) La marca de clase es el punto medio de los intervalos de clases.

c) ( ) F3 indica la frecuencia acumulada relativa simple de la tercera fila.

d) ( ) La suma de las frecuencias relativas simples debe ser igual a uno.

e) ( ) El histograma de frecuencia se utiliza para una distribucin de frecuencias

agrupadas en intervalos de clase.

PROCEDIMENTAL

2. A continuacin se presentan las notas de 50 alumnos:

60

65

71

47

80

53

41

39

94

94

85

74

35

54

61

77

55

60

98

88

33

57

81

68

41

45

78

76

66

89

52

50

91

48

66

65

35

55

69

73

77

64

73

85

42

84

74

59

67

65

Se pide:

a) Determinar el rango.

b) Nmero de clases o filas.

c) Amplitud de las clases o filas.

d) Frecuencias absolutas y relativas simples, absolutas y relativas acumuladas.

Interpretar por lo menos 2 de cada fila.

3. Al investigar el nivel socioeconmico en los valores: Bajo (B), medio (M), alto (A), 20

familias dieron las siguientes respuestas:

M, B, B, M, A, B, B, M, M, B, M, B, B, A, M, B, M, A, M, B

Construir la distribucin de frecuencia y trazar su grfica.

4. Dibujar un diagrama de sectores para mostrar los gastos de un hospital de una gran

ciudad, siendo stos los siguientes: 73% en sueldos, honorarios profesionales

mdicos y bonificaciones a los empleados; 13% en suministros, equipo mdico y

quirrgico; 8% en mantenimiento, alimentacin y energa; y 6% en costos

administrativos. ACTITUDINAL

5. Considerando los conocimientos adquiridos en la primera unidad, qu aconsejaras

a un empresario que necesita tomar decisiones acertadas para el buen

funcionamiento de su negocio?


43

UNIDAD II: MEDIDAS ESTADSTICAS Sesin N5: Medidas de resumen Sesin N6: Medidas de posicin Sesin N7: Medidas de dispersin Sesin N8: Medidas de forma


44

CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL

Reconoce los conceptos de las medidas de resumen, como las de tendencia central, de posicin, de dispersin y de forma, de una serie de datos.

Calcular las diversas medidas de resumen para una serie de datos.

Identifican y reconocen qu medidas de resumen son adecuadas para el anlisis de una serie de datos.

COMPETENCIAS


67

Sesin N 5

MEDIDAS DE RESUMEN

5.1. Anlisis e interpretacin de los resultados

Se estudi los cuadros y grficos estadsticos en la unidad anterior como formas para ordenar y

describir un conjunto de datos para tomar decisiones. Sin embargo, el anlisis resulta incompleto, para

esto se utiliza ciertos indicadores.

Estos indicadores llamados medidas de resumen o ESTADGRAFOS permiten hallar un solo valor

numrico, el mismo que representa a toda la poblacin o muestra en estudio.

Los estadgrafos o medidas de resumen ms importante son:

De tendencia central: media, mediana y la moda.

De posicin: cuartiles, deciles y percentiles.

De dispersin: varianza, desviacin estndar, y coeficiente de variacin.

De forma: asimetra y el coeficiente de kurtosis.

5.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son estadsticos que permiten hallar el valor numrico que indica el "centro" de un conjunto de datos;

sealando la caracterstica que destaca en la informacin.

5.2.1. La media o promedio aritmtico ( x )

Es la ms estable y se obtiene de acuerdo a lo siguiente:

a) Media aritmtica para datos simples (en serie):

Proceso: Sumar todos los valores de la variable y dividir entre el nmero de datos que se han sumado.

_ x

nx

b) Media aritmtica para datos agrupados (en tablas):

Proceso: Sumar todos los valores de la variable o marca de clase multiplicados por la frecuencia

absoluta simple y dividir entre el nmero de datos o la suma de las frecuencias absolutas simples.

x fx

f

Ventajas de la media aritmtica:

- Es til cuando los datos estn distribuidos en forma normal o simtrica.

- Es de gran estabilidad porque toma en cuenta todos los datos.

- Nos permite probar parmetros en inferencia estadstica. Desventajas de la media aritmtica:


68

- Puede ser afectado por valores extremos.

- Cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos, no es recomendable calcular

el promedio.

5.2.2. Mediana (Me)

Es el estadstico que representa el punto medio de los datos en el cual cae el 50% de puntuaciones. Se

obtiene de acuerdo a lo siguiente: a) Mediana para datos simples (en serie):

Es el valor medio (cuando la serie es impar) o la semisuma de los dos valores medios (cuando la serie

es par); del conjunto de datos previamente ordenados en forma creciente.

(*) La mediana se utiliza tambin en variables ordinales Ej: Se tiene la siguiente informacin sobre el nmero de alumnos repitentes por aos de estudios de la

carrera de contabilidad en la UPeU.

AOS fi 1

Fi 2

Primero

Segundo

Tercero

Cuarto

Quinto

25

14

6

9

2

25

39

45

54

56

Clase

mediana.

Total 56

Proceso:

1. Se calcula la suma de las frecuencias absolutas simples entre 2 as:

2

n =

5628

2 2

f

2. El valor inmediatamente superior o igual a 28 se busca en la columna de la tabla que corresponde

a la frecuencia absoluta acumulada Fi (en este ejemplo corresponde a 39, porque 25 es menor

que 28).

3. Luego se observa la primera columna donde se encuentra la variable, en la fila donde se observ el

nmero 39, el valor de la variable que se encuentra en esa fila corresponde a la mediana.

Me = Segundo.

Interpretacin: La mitad de los estudiantes repitentes lo hacen como mximo hasta segundo ao,

aproximadamente la otra mitad repiten categoras superiores al segundo ao.

b) Mediana para datos agrupados:

Cuando los datos se encuentran agrupados en una tabla de distribucin de frecuencias, la mediana se

encuentra utilizando la siguiente frmula:

1

inf

2i

i

nF

Me L cf

Donde

1 fi : frecuencia absoluta simple

2 Fi : frecuencia absoluta acumulada.


69

infL : Lmite inferior del intervalo que contiene a la mediana

c : Amplitud del intervalo n : Nmero total de datos

1iF : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana

if : Frecuencia (o frecuencia absoluta) de la clase mediana.

Lugar de la Mediana, Me : 2

n .

Ventajas de la mediana:

- No est afectada por valores extremos, y por lo tanto es ms representativa que el promedio,

cuando las series son poco simtricas.

- Es til cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos (es decir, no tiene lmite

inferior en la primera clase ni lmite superior en la ltima clase).

- Se aplica a variables que pertenecen a la escala ordinal.

5.2.3. La moda (Mo)

Nos indica el valor o cualidad que se repite con mayor frecuencia dentro de una informacin. Se

obtiene de acuerdo a lo siguiente:

a) Moda para datos simples (en serie):

Es el valor que ms se repite en una serie.

(*) Es til cuando la variable en estudio pertenece a la escala nominal.

Ejemplo:

Hallar la moda para la siguiente informacin que consiste en una muestra de 100 consumidores segn

preferencia por tipos de panes Unin.

TIPOS DE

PANES

CONSUMIDORES

(fi)

Integral

Americano

Fibra

Hamburguesa

25

20

40

15

Total 100

Clase modal,

por ser el valor ms frecuente (f =40)

Entonces, la moda ser el valor que corresponde a la categora de la variable, en la clase o fila modal.

Mo = Fibra

Interpretacin:

La mayora de los consumidores de Productos Unin prefiere pan fibra.

b) Moda para datos agrupados:

En este caso la moda se halla mediante la frmula:

21

1

inf cLMo

Donde

infL : Lmite inferior del intervalo que contiene a la moda


70

c : Amplitud del intervalo

con 1 1i if f ; 2 1i if f

Ventajas de la moda:

- No est afectada por valores extremos.

- Puede usarse cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos.

- Se usa para variables que pertenecen a la escala nominal.

Desventajas de la moda:

- No es representativa a menos que la distribucin contenga un gran nmero de datos y exista

significativa repeticin de alguno de ellos.

- Muchas veces la serie no tiene moda porque ningn valor se repite, en ese caso se dice que la

informacin es unimodal.

- Cuando la serie tiene 2 modas, se dice que la informacin es bimodal, y si tiene ms de 2 modas,

la informacin es multimodal. En estos casos se hace difcil su interpretacin y comparacin, por lo

tanto, no se considera una medida representativa

Ejemplo:

Correspondiente a datos simple (informacin en serie):

Los datos presentados corresponden a las edades de 8 alumnos del 1er ao de la Facultad de

Ciencias Contables y Administrativas:

Edad :

Xi: 18, 20, 23, 17, 18, 19, 23, 18

Calcular la media, mediana y moda e interpretar sus resultados.

Solucin:

Media

18 20 23 17 18 19 23 18 15619.5 20

8 8

xx

n

Interpretacin

La edad promedio de los alumnos del 1er ao de la Facultad de Ciencias Contables y Administrativas

es de 20 aos.

Mediana

Me: Es el valor medio (cuando la serie es impar) o la semisuma de los dos valores medios (cuando la

serie es par); del conjunto de datos previamente ordenados en forma creciente.

En este caso la serie es par, por lo tanto, se procede del siguiente modo:

1 Se ordena la serie

17, 18, 18, 18, 19, 20, 23, 23

2 Se particiona la serie por la mitad

17, 18, 18, 18, 19, 20, 23, 23


71

3 la mediana ser la semisuma de los dos valores centrales, por ser la serie par, es decir 8 datos.

18 19

18.5 192

Me

Interpretacin:

La mitad de los de los alumnos del 1er ao de la Facultad de Ciencias Contables y Administrativas

tiene como mximo 19 aos, aproximadamente la otra mitad tienen ms de 19 aos.

Moda

Es el valor que ms se repite.

As, en nuestra base de datos.

1 Se ordena la serie

17, 18, 18, 18, 19, 20, 23, 23

2 Se toma el valor que ms se repite.

En nuestro ejemplo el 18 se repite 3 veces.

Mo = 18

Interpretacin:

La mayora de los alumnos del 1er ao de la Facultad de Ciencias Contables y Administrativas tiene de

20 aos de edad.

Ejemplo:

Correspondiente a datos agrupados (informacin en tablas):

Considerando el ejemplo de distribucin de frecuencias para datos agrupados, en el cual estudiamos el

Puntajes del Cociente de Inteligencia (CI) de 50 Estudiantes de la UPeU.

Hallaremos la media, mediana y moda para datos agrupados.

Tabla N 1

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE LOS PUNTAJES DEL CI DE 50 ESTUDIANTES DE LA

UPeU

Lmites de

clases

Xi fi Fi Xi fi Xi 2fi

[88 94>

[94 100>

[100 106>

[106 112>

[112 118>

[118 124>

[124 130>

91

97

103

109

115

121

127

9

6

Mo 11

5

8

3

8

9

15

Me 26

31

39

42

50

819

582

1133

545

920

363

1016

74529

56454

116699

59405

105800

43923

129032

Total 50 5378 585842

Solucin:

La columna de las marcas de clase denotada por Xi, se obtiene por la formula dada anteriormente en la

Unidad 1.


72

La columna de Xi fi : se obtiene multiplicando valor por valor la columna de las marcas de clase denotada por Xi por las frecuencias absolutas simple denotada por fi: As: X1 f1 = 91 x 9 = 819 X2f2 = 97 x 6 = 582 X3 f3 = 103 x 11 = 1133 X7 f7 = 127 x 8 = 1016

Observacin: Las sumas de cada columna se encuentran en la fila que corresponde al total (al final de

las columnas).

La clase mediana se ubica con las frecuencias absolutas acumuladas.

La clase modal se ubica con las frecuencias absolutas simples. Media:

819 582 1133 545 920 363 1016

9 6 11 5 8 3 8

5378 107.56 107

50

i i

i

x fx

f

Interpretacin:

El cociente de inteligencia promedio de los alumnos de la Universidad Peruana Unin es de

aproximadamente 107 puntos.

Mediana:

Proceso:

1. Ubicamos la clase o fila mediana (intervalo que contenga la mediana):

Lugar de Me: n/2= 50/2= 25 (25 avo. lugar)

Analizando, la mediana se encuentra en la 4ta. Clase.

Este valor se ubica en la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) correspondiente a la tabla de

datos, considerando el inmediatamente mayor o igual a 25.

2

LCSLCIXi

1272

130124

.

.

1032

106100

972

10094

912

9488

7

3

2

1

X

X

X

X


73

En nuestro ejemplo corresponde a la cuarta fila, pues su frecuencia acumulada es F4 = 31 y es el

inmediatamente superior a 25.

La cuarta fila es la clase mediana y de all se considera los datos que van a ser reemplazados en la

frmula.

2. Utilizando la frmula:

1

inf

2i

i

nF

Me L cf

Linf : Lmite inferior del intervalo de la clase mediana = 100

n : Nmero total de datos = 50

Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana = 15

fi : Frecuencia absoluta simple de la clase mediana = 11

c : Amplitud intervlica: 6

La mediana ser:

5015

2100 6

11Me

= 105.45

Interpretacin:

La mitad de los estudiantes de la Universidad Peruana Unin tiene un coeficiente de inteligencia

mximo de 105 puntos, aproximadamente la otra mitad tienen ms de 105 puntos.

Moda

Proceso:

1. Se ubica la clase o fila modal (donde se encuentra la moda), ubicando en la columna de las

frecuencias absolutas simples (fi) el mayor valor.

En nuestro ejemplo el mayor valor de las frecuencias absolutas simples es f3 = 11,

En nuestro ejemplo, la clase modal o fila donde se encuentra la moda es la tercera fila porque en

ella se encuentra el mayor valor de las frecuencias absolutas simples.

2. Utilizando la frmula:

21

1

inf cLMo

hallando:

1 1i if f = 11- 6= 5

2 1i if f = 11-5= 6


74

5100 6

5 6Mo

= 102.72

Interpretacin:

La mayora de los estudiantes de la Universidad Peruana Unin tiene un coeficiente de inteligencia de

103 puntos.


75

Sesin N 6

MEDIDAS DE POSICIN

6.1. MEDIDAS DE POSICIN

Son estadgrafos que dividen a una serie de datos en cuatro, diez o cien partes iguales.

Estas medidas son:

- Cuartiles

- Deciles

- Percentiles

6.1.1. Cuartiles (Qi )

Son estadgrafos que dividen a la informacin en cuatro partes iguales, donde cada uno de ellos es el

25% de la informacin.

Esquemticamente se tiene:

Q1 25% Q2

25% Q3

25%

25%

total 100%

Los cuartiles se calculan con la frmula siguiente:

1

inf

( )

4i

j

i

j nF

Q L cf

Donde:

j : 1,2 3

Linf : Lmite inferior del intervalo de la clase cuartlica.

n : Nmero total de datos.

Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartlica.

fi : Frecuencia absoluta simple de la clase cuartlica.

c : Amplitud intervlica. 6.1.2. Deciles (Di )

Son estadgrafos que dividen a la informacin en diez partes iguales, donde cada uno de ellos es el

10% de la informacin.


76


D1 10%

10% D9

. . .

10%

10%

Total 100%

Los deciles se calculan con la frmula siguiente:

1

inf

( )

10i

j

i

j nF

D L cf

Donde:

j : 1,2, 3, 9 Linf : Lmite inferior del intervalo de la clase declica.


Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase declica.

fi : Frecuencia absoluta simple de la clase declica.

c : Amplitud intervlica.

6.1.3. Percentiles (Pi )

Son estadgrafos que dividen a la informacin en cien partes iguales, donde cada uno de ellos es el 1%

de la informacin.


P1 1%

1% P99

. . . 1%

1%

total 100%

Los percentiles se calculan con la frmula siguiente:

1

inf

( )

100i

j

i

j nF

P L cf

Donde:

D2

P2


77

j : 1,2, 3, 99 Linf : Lmite inferior del intervalo de la clase percentlica.


Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase Percentlica.

fi : Frecuencia absoluta simple de la clase percentlica.

c : Amplitud intervlica.

Observacin:

Generalmente se calculan las medidas de posicin para datos agrupados, pues se tiene una gran

cantidad de informacin.

Ejemplo:

Correspondiente a datos agrupados (informacin en tablas)

Considerando el ejemplo de distribucin de frecuencias para datos agrupados, en el cual estudiamos el

Puntajes del Cociente de Inteligencia (CI) de 50 Estudiantes de la UPeU.

Hallaremos los cuartiles 1 y 3, los deciles 2 y 8 y los percentiles 10 y 90.

Tabla N 1

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE LOS PUNTAJES DEL CI DE 50 ESTUDIANTES DE LA UPeU

Intervalo de clase Xi fi Fi

[88 94> [94 100> [100 106> [106 112> [112 118> [118 124> [124 130>

91 97 103 109 115 121 127

9 6 11 5 8 3 8

9 15 26 31 39 42 50

P10 Q1,D2 Q3,D8 P90

Total 50

Solucin

Cuartil 1 (Q1)

Proceso

1. Se ubica la clase o fila cuartlica (donde se encuentra el primer cuartil), utilizando la siguiente

frmula, el valor i, se reemplaza de acuerdo a qu cuartil se desea encontrar; ya sea el 1, 2 3.

(1)5012.5

4 4

i f

2. Este valor se ubica en la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) correspondiente a la tabla de

datos, considerando el inmediatamente mayor o igual a 12.5.

En nuestro ejemplo corresponde a la segunda fila, pues su frecuencia acumulada es F2 = 15 y es el

inmediatamente superior a 12.5.

3. La segunda fila es la clase cuartlica y de all se considera los datos que van a ser reemplazados en

la frmula.

1

inf

( )

4i

j

i

j nF

Q L cf


78

Linf : Lmite inferior del intervalo de la clase cuartlica = 94

n : nmero total de datos = 50

Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartlica = 9

if : Frecuencia absoluta simple de la clase cuartlica = 6

c : amplitud intervlica: = 6

Cuartil 1 ser:

1

(1)509

494 6 97.56

Q

Interpretacin:

El 25% de los estudiantes de la Universidad Peruana Unin tiene un coeficiente de inteligencia

mximo de 98 puntos, aproximadamente el 75% restante tienen ms de 98 puntos.

Cuartil 3 (Q3)

Proceso

1. Se ubica la clase o fila cuartlica (donde se encuentra el tercer cuartil), utilizando la siguiente

frmula, el valor i, se reemplaza de acuerdo a qu cuartil se desea encontrar; ya sea el 1, 2 3.

( ) (3)5037.5

4 4

j n


datos, considerando el inmediatamente mayor o igual a 37.5.

En nuestro ejemplo corresponde a la quinta fila, pues su frecuencia acumulada es F5 = 39 y es el

inmediatamente superior a 37.5.

3. La quinta fila es la clase cuartlica y de all se considera los datos que van a ser reemplazados en la

frmula.

Linf : Lmite inferior del intervalo de la clase cuartlica = 112

n : nmero total de datos = 50

Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartlica = 31

if : Frecuencia absoluta simple de la clase cuartlica = 8

c : Amplitud intervlica: = 6

El cuartil 3 ser:

(3)(50)31

43 112 6 116.878

Q

Interpretacin:




79

Decil 2 (D2)

Proceso:

1. Se ubica la clase o fila declica (donde se encuentra el segundo decil), utilizando la siguiente

frmula, el valor i, se reemplaza de acuerdo a qu decil se desea encontrar; ya sea el 1, 2, , 9.

( ) (2)5010

10 10

j n



En nuestro ejemplo corresponde a la segunda fila, pues su frecuencia acumulada es F2 = 15 y es el


3. La segunda fila es la clase declica y de all se considera los datos que van a ser reemplazados en

la frmula.

Li : Lmite inferior del intervalo de la clase declica = 94


Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase declica = 9

if : Frecuencia absoluta simple de la clase declica = 6


El decil 2 ser:

2

(2)(50)9

1094 6 956

D

Interpretacin:



Percentil 10 (P10)

Proceso

a. Se ubica la clase o fila percentlica (donde se encuentra el percentil 10), utilizando la siguiente

frmula, el valor i, se reemplaza de acuerdo a qu cuartil se desea encontrar; ya sea el 1, 2, , 99.

( ) (10)505

100 100

j n

b. Este valor se ubica en la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) correspondiente a la tabla de


En nuestro ejemplo corresponde a la primera fila, pues su frecuencia acumulada es F2 = 9 y es el


c. La primera fila es la clase percentlica y de all se considera los datos que van a ser remplazados


80

en la frmula.

Li : Lmite inferior del intervalo de la clase percentlica = 88


Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase Percentlica = 0

if : Frecuencia absoluta simple de la clase percentlica = 9


El percentil 10 ser:

10

(10)(50)0

10088 6 91.39

P

Interpretacin:


mximo de 91.3 puntos, aproximadamente el 90% restante tienen ms de 91.3 puntos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Los datos siguientes corresponden al peso en Kg. de 10 alumnos.

40.8 52.5 49.2 40.8 62.2

52.5 58.0 60.0 40.8 52.5

Calcular:

a) La media, la mediana y la moda.

b) Cul de los 3 indicadores (en (a)) miden con mayor precisin el centro de los datos?

2) El nmero de autos vendidos por cada uno de 10 vendedores de una distribuidora de

automviles en un mes particular, dispuestos en orden ascendente es: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15.

Determine e interprete: a) La media b) La mediana c) La moda

3) La media mnima para aprobar una asignatura es 11. Si un estudiante obtiene la notas 13.5, 14,

9.5, 12, 8.5, 8, 11.5, 10 en los trabajos mensuales de la asignatura en cuestin, el estudiante

fue aprobado?

4) A Continuacin se dan las notas de 50 alumnos.

60 85 33 52 65 77 84 65 74 57 71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 94 98 66 66 73 42 65 94 88 89

Se pide:


81

a) Obtener la distribucin de frecuencias

b) Determinar: la media, mediana y moda

c) Determinar el 3er cuartil, 7mo decil y 55avo percentil.

5) A continuacin tenemos la distribucin del nmero de accidentes por da durante 43 das, en

cierta autopista.

N de accidentes 0 1 2 3 4

N de das 10 15 10 5 3

a) Determinar: la media, mediana y moda

b) Cul es el porcentaje de das en que se tuvo dos o ms accidentes por da?

6) Considere los datos obtenidos por las medidas de las alturas de 100 individuos (dados en cm)

151 152 154 155 159 159 160 161 161 161 161 162

163 163 164 165 166 165 166 166 166 166 166 167

167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168

168 169 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170

170 170 170 170 171 171 171 172 172 172 173 173

173 173 174 174 174 175 175 175 176 176 176 176

176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180

180 181 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186

187 188 189 190

Calcular las medidas de tendencia central, posicin, dispersin y de forma. Interpretar los

resultados.

7) Obtenga la media y la mediana para cada uno de los siguientes conjuntos de nmeros:

1) 1, 5, 9, 13, 17 2) 1, 3, 9, 27, 81 3) 1, 4, 9, 16, 25

a) Para cul de estos conjuntos de datos son iguales la media y la mediana? b) Cul medida es la misma para los 3 conjuntos? c) Cul de estos conjuntos tiene una moda?

8) Los siguientes datos representan el nmero de obreros ausentes en cierta empresa

manufacturera, en 10 das consecutivos de trabajo: 5, 3, 0, 4, 3, 1, 4, 2, 20, 0

a) Encontrar la media, la mediana y la moda. b) Interpretar sus resultados.

9) El siguiente cuadro muestra la distribucin de edades de casos de una cierta enfermedad

reportada durante un ao en una ciudad del estado.

EDAD Nmero de casos

5 - 14 15 - 24 25 - 34 35 - 44 45 - 54 55 - 64

5 10 20 22 13 5

Total 75

a) Determinar e interpretar las medidas de tendencia central: media, mediana, moda. b) Determinar e interpretar las medidas de Posicin: Cuartiles (Q1 y Q3) Deciles (D3 y D4) y

Percentil (P14 y P94).


82

10) En la tabla siguiente se muestra los puntajes obtenidos por 36 alumnos en una prueba de

razonamiento matemtico:

Yi-1 - Yi

fi hi Fi Hi

Yi

42 - 51 51 - 60 60 - 69 69 - 78 78 87 87 - 96

11 0.35 10 0.28 2 0.055 5 0.14 3 0.08 5 0.14

a) Calcular la media aritmtica, mediana y moda e interprete los datos b) Calcular Q1, P90, D9 e interprete c) Graficar el histograma y polgono de frecuencia


83

Autoevaluacin

CONCEPTUAL

1. Seale con una V si es verdadero o F si es falso en los siguientes

enunciados:

a) ( ) La mediana es una medida de tendencia central. b) ( ) La moda indica el valor que se repite con mayor frecuencia. c) ( ) Los cuartiles dividen a la informacin en 10 partes iguales. d) ( ) La media se calcula sumando todos los valores de la variable. e) ( ) Los percentiles dividen la informacin en cien partes iguales.

PROCEDIMENTAL

2. Establezca las diferencias entre las medidas de tendencia central: media,

mediana y moda. 3. El nmero de autos vendidos por cada uno de 10 vendedores de una

distribuidora de automviles en un mes particular, dispuestos en orden ascendente es: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15.

Determine e interprete: a) La media b) La mediana c) La moda

4. La siguiente tabla muestra la distribucin de edades de casos de una cierta

enfermedad informados durante un ao en una provincia.

Edad Nmero de casos

[5 - 15> [15 - 25> [25 - 35> [35 - 45> [45 - 55> [55 - 65>

5 10 20 22 13 5

total 75

a) Calcular la media, la mediana, la moda. Interprete. b) Calcular el Q1, Q3, D2, D5, P8, P10

ACTITUDINAL

5. Para conocer la edad ms frecuente de tus compaeros de clase, qu

medida de tendencia central utilizaras?, qu procedimiento efectuaras para su clculo? y cmo ensearas a tus subordinados para conocer la edad ms frecuente de los que siempre llegan tarde?


84

Sesin N 7

MEDIDAS DE DISPERSIN 7.1. Medidas de dispersin

Son estadgrafos que cuantifican el grado de concentracin o de dispersin de los valores de la

variable en torno a un promedio o valor central de la distribucin. Las medidas de dispersin se

necesitan para dos propsitos bsicos:

a) Para verificar la confiabilidad de los promedios y

b) Para que sirva como base para el control de la variacin de la misma.

Las principales medidas de dispersin o variabilidad son:

- Varianza

- Desviacin estndar

- Coeficiente de variacin

7.1.1. Varianza (s

2 )

Es una medida que cuantifica el grado de dispersin o de variacin de los valores de una variable

cuantitativa con respecto a su media aritmtica.

Es el promedio de la suma de los cuadrados de las desviaciones de la variable respecto a su media.

Cuando el resultado de la varianza es un valor grande, se dice que los datos se encuentran bastantes

dispersos o alejados de la media aritmtica; si el resultado es bastante pequeo los datos estarn

bastante cercanos o concentrados alrededor de la media aritmtica.

Se obtiene de acuerdo a lo siguiente:

a) Varianza para datos simples (en serie):

2 2

2( )

1

x n xs

n

Donde:

2x Cada valor de la muestra se eleva al cuadrado luego se suma todos los valores. n = Tamao de la muestra. (nmero de datos).

x = Media para datos simples.

b) Varianza para datos agrupados:

2 2

2( )

1

Y f n Ys

n

Donde:

2Y f = Cada marca de clase elevado al cuadrado y multiplicado por su frecuencia absoluta simple, luego se suman todos los valores.

n = Tamao de la muestra.


85

Y = Media para datos agrupados. Observacin: La varianza es una medida terica; no tiene interpretacin prctica.

7.1.2. Desviacin estndar (s )

Es la raz cuadrada de la varianza. Esta medida tiene interpretacin prctica.

2s s

Es uno de los estadsticos de mayor uso en el cual las unidades de la variable ya no estn elevados al

cuadrado sino estn en unidades originales.

7.1.3. Coeficiente de variacin (c.v. % )

Es el cociente de la desviacin estndar y la media aritmtica, expresado en porcentaje. As:

100.%x

scv

- El coeficiente de variacin se usa para saber si un conjunto de datos es homogneo o heterogneo

(concentrados o dispersos). Para esto se utiliza el siguiente criterio:

Si C.V. < 0.33 Datos HOMOGNEOS

Si C.V. 0.33 Datos HETEROGNEOS

- El coeficiente de variacin tambin se utiliza para comparar la variabilidad de 2 ms series de

datos que tengan unidades de medidas diferentes (por ejemplo, peso en kgs. y edad en aos). Si C.V.A < C.V.B Los datos de la serie A presentan una menor variabilidad con respecto a los

datos de la serie B

Ejemplo:

Correspondiente a datos simples (informacin en serie):

Los datos presentados corresponden a las edades de 8 alumnos del 1er ao de la Facultad de

Ciencias Contables y Administrativas:

Edad:

Xi: 18, 20, 23, 17, 18, 19, 23, 18

Calcular la varianza, desviacin estndar y coeficiente de variacin e interpretar sus resultados.

Solucin:

La varianza (s2) :

Proceso:

18 20 23 17 18 19 23 18 156

19.58 8

xx

n

2 2 2 2 2 2 2 2 218 20 23 17 18 19 23 18 3080x

n = 8, pues hay 8 datos.


86

Entonces, la varianza es:

2 2 2

2( ) 3080 8(19.5)

5.431 8 1

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Estadística General 2012