Embed Size (px)
Citation preview
ESTADÍSTICA
Llibre de text
Gerard Romo Garrido
Toomates Coolección
Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados
mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de
texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un
hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales
pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos,
pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet,
pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer
todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.
Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, y esto en un
mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el
conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía. El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos
materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas
aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales. Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons 4.0 (Atribution Non Commercial)”: Se permite, se promueve
y se fomenta cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su
procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas.
Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a [email protected]
La biblioteca Toomates Coolección consta de los siguientes documentos:
Problem-solving Libros de texto (en catalán)
Geometría Axiomática pdf 1 2 → 23 Geometria analítica pdf 1 2
Problemas de Geometría pdf 1 2 → 11
Introducción a la Geometría pdf doc
Álgebra pdf 1 2 Nombres (Preàlgebra) pdf 1 → 10
Teoría de números pdf 1 2 3 4 5 6 7 Àlgebra pdf 1 2 → 24
Combinatoria pdf doc Combinatòria i Probabilitat pdf doc
Probabilidad pdf doc Estadística pdf doc
Trigonometría pdf doc Trigonometria pdf doc
Desigualdades pdf doc Funcions pdf doc
Números complejos pdf doc Nombres Complexos pdf doc
Guía del estudiante de Olimpiadas pdf Àlgebra Lineal 2n batx.
pdf doc
Geometria Lineal 2n batx.
pdf 1 2
Càlcul Infinitesimal 2n batx.
pdf 1 → 17
Programació Lineal 2n batx.
pdf doc
Recopilaciones de pruebas PAU:
Catalunya TEC , Catalunya CCSS , Galicia , País Vasco , Portugal A , Portugal B
Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos (España):
OME , OMEFL , OMEC , OMEM , Canguro , Cangur
Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos (Internacional):
IMO , OMI , USAMO , AIME , AMC 8 , AMC 10, AMC 12 , SMT , Kangourou, Kangaroo
Mathcounts , Archimede , HMMT , IGO .
Versión de este documento: 31/01/2022
Todos estos documentos se actualizan constantemente. ¡No utilices una versión anticuada! Descarga totalmente gratis la última
versión de los documentos en los enlaces superiores.
www.toomates.net
Índex.
1 Estadística descriptiva. → 1.1 Representació de la informació.
1.2 Mesures de centralització.
1.3 Mesures de dispersió.
2 Variables aleatòries discretes. → 2.1 Concepte de variable aleatòria discreta. Funció de densitat.
2.2 La distribució de Bernoulli.
2.3 La distribució binomial.
2.4 La distribució de Poisson.
2.5 La distribució geomètrica.
2.6 Esperança matemàtica, variància i desviació típica.
2.7 Exercicis de repàs de variables aleatòries discretes.
3 Variables aleatòries contínues. La distribució normal. → 3.1 Concepte de variable aleatòria contínua. Funció de densitat.
3.2 La distribució normal. La distribució normal standard.
3.3 Estandarització d’una distribució normal.
3.4 Exercicis de distribució normal.
3.5 Ajust de la distribució binomial per la normal.
3.6 Altres distribucions contínues.
3.7 Exercicis de repàs de variables aleatòries (contínues i discretes).
4 Estadística bidimensional. Regressió i correlació lineal. → 4.1 Coeficient de correlació lineal o de Pearson.
4.2 La recta de regressió.
Solucions. →
Taula de la distribució normal tipificada N(0,1). →
1 Estadística descriptiva.
1.1 Representació de la informació.
1.2 Mesures de centralització.
Mediana.
Anomenarem mediana el nombre que, un cop ordenada la sèrie de més petit a
més gran sense agrupar les dades repetides, es troba en la posició central. La
representarem amb m.
En cas que la sèrie estadística tingués un nombre parell de dades, aleshores
prenem com a mediana la semisuma dels valors centrals (punt mig).
Moda.
Anomenarem moda el valor de la sèrie estadística de major freqüència absoluta.
Pot passar que aquesta sigui única o no.
Mitjana (mitjana aritmètica).
Si tenim una taula de freqüències absolutes de la següent forma:
Valor Fr. Absoluta
x1 n1
x2 n2
x3 n3
xk nk
Anomenarem mitjana i la representarem amb x el quocient:
k
kk
nnnn
nxnxnxnxx
...
...
321
332211
1.2.1
Per a un estudi estadístic, s'ha obtingut una mostra de talles de sabata d'un grup
de nois i noies:
39 , 40 , 40 , 41 , 42 , 39 , 40 , 41 , 41 , 40 , 44
40 , 39 , 40 , 42 , 43 , 43 , 41 , 37 , 41 , 42 , 40
a) Construeix una taula de freqüència absoluta, freqüència absoluta acumulada,
freqüència relativa i freqüència relativa acumulada.
b) Construeix un gràfic de barres que representi la distribució de freqüències
absolutes.
c) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquesta mostra.
1.2.2
Una mostra sobre el nombre de fills de les famílies d'un edifici ens ofereix els
següents valors:
3, 0, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 6, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 1 , 2
a) Construeix una taula de freqüència absoluta, freqüència absoluta acumulada,
freqüència relativa i freqüència relativa acumulada.
b) Construeix un gràfic de barres que representi la distribució de freqüències
absolutes.
c) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquesta mostra.
1.2.3
Hem realitzat una mostra del nombre de televisors que tenen les famílies de
l'escola:
2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 3 , 4
a) Construeix una taula de freqüència absoluta, freqüència absoluta acumulada,
freqüència relativa i freqüència relativa acumulada.
b) Construeix un gràfic de barres que representi la distribució de freqüències
absolutes.
c) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquesta mostra.
1.2.4
Les notes de matemàtiques d'un determinat grup han sigut les següents:
5, 6, 4, 5, 6, 0, 5, 7, 0, 5, 7, 5, 7, 9, 10 , 7
4, 5, 6, 5, 10, 6, 9 , 4, 2, 3, 4, 1, 2, 6, 7, 6
a) Construeix una taula de freqüència absoluta, freqüència absoluta acumulada,
freqüència relativa i freqüència relativa acumulada.
b) Construeix un gràfic de barres que representi la distribució de freqüències
absolutes.
c) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquesta mostra.
1.2.5
Ús de les instal·lacions.
Dimecres passat, la directiva d’un club esportiu va comptar, aproximant en
fraccions de mitja hora, el nombre d’hores que els socis van utilitzar les
instal·lacions.
A partir de les dades recollides s’ha fet el gràfic següent
a) Quants socis van utilitzar les instal·lacions dimecres passat?
b) Quants socis van utilitzar les instal·lacions 2 hores o més?
c) Quin percentatge de socis va utilitzar les instal·lacions exactament 1 hora i
mitja?
d) Quina és la moda del nombre d’hores d’ús de les instal·lacions?
e) Calcula la mitjana aritmètica del nombre d’hores d’ús de les instal·lacions.
f) Calcula la mediana del nombre d’hores d’ús de les instal·lacions. PAD 4t 2013 2
1.2.6
Guanys I resultats
En les darreres 3 setmanes, la Sílvia ha guanyat una mitjana de 300€ setmanals.
Si la segona i tercera setmana ha guanyat les quantitats expressades a la taula
següent, quants euros va guanyar la primera setmana?
PAD 4t 2013 3
1.2.7
Pel·lícules per mes.
Uns alumnes, per fer el treball de síntesi, han passat una enquesta en què
demanaven el nombre de pel·lícules vistes durant l’últim mes. A partir de les
dades recollides, han fet el gràfic següent:
a) Quantes persones han contestat l’enquesta?
b) Quantes persones de les que han contestat l’enquesta han vist 3
pel·lícules o més?
c) Quin percentatge de les persones que han contestat l’enquesta ha vist
exactament 3 pel·lícules?
d) Quina és la moda del nombre de pel·lícules vistes durant l’últim mes?
e) Calcula la mitjana aritmètica del nombre de pel·lícules vistes.
f) Calcula la mediana del nombre de pel·lícules vistes. PAD 4t 2012 1
1.2.8
Notes.
El curs passat, la Júlia va tenir 6,3 punts de nota mitjana global de matemàtiques.
Si aquest curs la Júlia ha fet dos exàmens i ha tret un 5,2 en el primer i un 7 en el
segon, quina nota hauria de treure en el tercer examen per obtenir la mateixa
nota mitjana global que el curs passat?
PAD 4t 2012 2
1.2.9
Estudi estadístic.
Hem realitzat una enquesta sobre la nota de matemàtiques dels alumnes d’un
determinat grup d’alumnes:
0 , 7 , 8 , 8 , 3 , 3 , 7 , 2 , 6 , 2 0 , 2 , 7 , 9 , 8 , 8 , 1 , 3 , 0 , 1
1 , 9 , 8 , 1 , 6 , 1 , 7 , 4 , 7 , 5 9 , 4 , 4 , 5 , 8 , 10 , 8 , 2 , 9 , 6
Calcula:
a) La taula de freqüències absolutes.
b) Representa el resultat mitjançant una gràfica de barres
c) Representa el resultat mitjançant una gràfica de sectors de 180º
d) Calcula la moda, mitjana i mediana.
e) Quin percentatge d’alumnes han aprovat?
f) Quin percentatge d’alumnes han tret un set o més?
1.2.10
Estudi sobre el consum de televisió de les famílies espanyoles.
Font: Enquesta de hàbits y pràctica cultura les en España,2005. http://www.artenetsgae.com/anuario/home.html
a) Fent servir la mitjana, completa la següent taula:
Dies laborables Cap de setmana Sense completar
escolarització bàsica
Escolarització bàsica sense
títol
Escolarització bàsica amb títol
Batxillerat
Formació professional
Educació universitària
b) Amb la taula anterior, farem una agrupació de dades de la següent manera:
Nivell educatiu baix: Sense completar escolarització bàsica, Escolarització bàsica sense títol.
Nivell educatiu mig: Escolarització bàsica amb títol, Batxillerat, Formació Professional.
Nivell Educatiu alt: Educació Universitària.
Mitjançant el càlcul de la mitjana, completa la següent taula :
Laborables Cap de setmana
N. E. Baix
N. E. Mig
N. E. Alt
1.3 Mesures de dispersió.
Les mesures de dispersió tenen com a missió mesurar el grau de separació de les
dades de la sèrie estadística.
Rang o recorregut.
Anomenem Rang o Recorregut a la diferència entre el valor més gran i el més
petit de la sèrie estadística.
Desviació mitjana.
Si tenim una taula de freqüències absolutes de la següent forma:
Valor Fr. Absoluta
x1 n1
x2 n2
x3 n3
xk nk
Anomenarem desviació mitjana, i la representarem amb DM, al quocient:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
k k
k
x x n x x n x x n x x nDM
n n n n
On x és la mitjana aritmètica de la mostra.
Variància.
Anomenem variància al següent quocient:
2 2 2 2
1 1 2 2 3 32
1 2 3
...
...
k k
k
x x n x x n x x n x x nS
n n n n
2
22
2 xn
x
n
xxS
ii
Desviació tipus o desviació típica.
Definim la desviació típica per l’arrel quadrada de la variància, i la denotarem
per S.
2S S
1.3.1
En una cafeteria en 10 dies han demanat el següent nombre de cafès exprés:
50 ,45 , 55 , 50 , 40 , 52 , 57 , 50 , 52 , 58
Troba:
a) La mitjana.
b) La variància.
1.3.2
L’equip de futbol A ha marcat en deu jornades els gols següents:
3 , 0 , 1 , 4 , 5 , 2 , 0 , 1 , 0 , 3
i l’equip B els següents:
2 , 1 , 3 , 1 , 1 , 0 , 2 , 5 , 4 , 3
Quin és l’equip amb més dispersió respecte a la seva mitjana?
1.3.3
El pes de 50 persones es distribueix en kg de la manera següent:
[45,50) 9 Persones
[50,55) 10 Persones
[55,60) 12 Persones
[60,65) 8 Persones
[65,70) 7 Persones
[70,75) 4 Persones
Troba
a) La mitjana.
b) La variància.
1.3.4
La següent taula ens informa sobre els resultats en matemàtiques de tres grups
d’alumnes.
NOTA GRUP A GRUP B GRUP C
0 0 3 7
1 0 3 5
2 2 2 1
3 4 2 0
4 6 2 2
5 8 4 1
6 6 5 1
7 3 4 0
8 1 2 4
9 2 3 6
10 0 2 5
TOTAL 32 32 32
Calcula la mitjana i la variància de cada grup.
Abans de fer-lo, i simplement observant detingudament les seves gràfiques de
freqüència absoluta, quins resultats podem esperar?
Grup A: Grup C:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grup B:
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.3.5
La següent taula ens informa sobre els resultats en matemàtiques de tres grups de
32 d’alumnes.
NOTA GRUP A GRUP B GRUP C
0 0 3 7
1 0 3 5
2 2 2 1
3 4 2 0
4 6 2 2
5 8 4 1
6 6 5 1
7 3 4 0
8 1 2 4
9 2 3 6
10 0 2 5
TOTAL 32 32 32
Calcula la mitjana i la desviació típica de cada grup.
Abans de fer-lo, representa els valors en tres gràfics de barres. Quina forma
observes?
GRUP A
Mitjana aritmètica:
Desviació típica:
NOTA if xxi 2xxi 2xxif i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL 32
GRUP B
Mitjana aritmètica:
Desviació típica:
NOTA if xxi 2xxi 2xxif i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL 32
GRUP C
Mitjana aritmètica:
Desviació típica:
NOTA if xxi 2xxi 2xxif i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL 32
Quartils.
Sigui A un conjunt de n dades ordenades.
Primer quartil.
nn4
11
Si n1 és enter Q1 serà el valor de A[n1]
Si n1 no és enter determinem Q1 per interpolació lineal:
Sigui p1 la part entera de n1 (sense arrodoniment)
Sigui d1 la part decimal de n1
11111 1 pApAdpAQ
De la mateixa forma trobem els dos quartils restants:
Segon quartil:
nnn2
1
4
22
Si n2 és enter Q2 serà el valor de A[n2]
Si n2 no és enter determinem Q2 per interpolació lineal:
Sigui p2 la part entera de n2 (sense arrodoniment)
Sigui d2 la part decimal de n2
22222 1 pApAdpAQ
El segon quartil coincideix amb la mediana.
Tercer quartil:
nn4
33
Si n3 és enter Q3 serà el valor de A[n3]
Si n3 no és enter determinem Q3 per interpolació lineal:
Sigui p3 la part entera de n3 (sense arrodoniment)
Sigui d3 la part decimal de n3
33333 1 pApAdpAQ
2 Variables aleatòries discretes.
2.1 El concepte de variable aleatòria discreta. Funció de densitat.
Anomenem variable aleatòria discreta a tot experiment aleatori en el què els
valors de l'espai mostral siguin nombres enters.
nxxxE ,...,, 21
S'anomena funció de probabilitat a la funció ixp que associa a cada valor ix
de l'espai mostral la seva probabilitat individual, és a dir, un nombre
1,0ixp tal que:
1. 10 ixp
2. 11
n
i
ixp
D'aquesta manera, podem calcular la probabilitat de qualsevol esdeveniment S
amb la fórmula:
Xx
i
i
xpXP )(
Exercici resolt 1
Suposem que tenim un dau "carregat", i que la probabilitat d'obtenir cada valor
és la següent:
ix 1 2 3 4 5 6
ixp 8/1 8/1 8/1 8/3 8/1 8/1
Calcula:
a) La probabilitat d'obtenir un 3.
b) La probabilitat d'obtenir un 4.
c) La probabilitat d'obtenir un valor parell.
Solució:
a) 8/1)3( P
b) 8/3)4( P
c) 6,4,2X8
5
8
1
8
3
8
1)6()4()2()( PPPXP
2.1.1
Donada la següent funció de probabilitat:
ix a b c
ixp 2.0 3.0 ?
Determina:
a) )(cP
b) La probabilitat d'obtenir a o c.
2.1.2
Un dau "carregat" té associat la següent funció de probabilitat:
ix 1 2 3 4 5 6
ixp 0.2 0.05 0.1 0.2 0.3 0.15
Calcula les següents probabilitats.
a) Treure nombre senar.
b) Treure 3 o 6.
c) Treure un nombre no inferior a 4.
d) Treure a) i b)
e) Treure a) o c)
2.2 La distribució de Bernoulli.
Sovint estem interessats en estudiar el comportament d'alguna variable que
només pot prendre dos possibles resultats, per exemple, en observar un producte
comprovar si compleix o no unes determinades condicions de qualitat, en
observar un pacient veure si presenta o no una determinada malaltia, en llançar
una moneda veure si el resultat és cara. Aquest últim és l'exemple més simple,
però hi ha infinitat de situacions en les quals els esdeveniments possibles són
dues alternatives complementàries. Totes aquestes situacions de dicotomia es
poden fer formalment equivalents al llançament d'una moneda, on tenim una
probabilitat p d'obtenir 'èxit' (o cara) i una probabilitat de 'fracàs' (o creu) q=1-p.
La distribució de probabilitat de variables dicotòmiques s'anomena distribució de
Bernoulli, ja que va ser estudiada per J.Bernoulli (1667-1748).
S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori dicotòmic, això
és, del qual només s'estudia la verificació del seu èxit o fracàs. S'acostuma a
denotar per p la probabilitat d'èxit i per pq 1 la probabilitat de fracàs.
Si ara definim la variable aleatòria discreta X com "nombre d'èxits" en una
experiència de Bernoulli, la seva funció de probabilitat serà:
pP )1( , qpP 1)0(
Les variables aleatòries de Bernoulli tenen les següents propietats:
a) L’esperança de la variable és: ppq 10
b) La variància és qpppppppq 110 22222 , i per tant,
la desviació típica és qp .
2.3 La distribució binomial.
La distribució binomial s'obté com a generalització del procés de Bernoulli. Per
exemple, suposem que es llança una moneda n vegades i que es defineix la
variable aleatòria X com el 'nombre de vegades que ha sortit cara en els n
llançaments'. En aquest cas, la variable aleatòria pot prendre els valors sencers
de 0 a n. (En els casos extrems, o bé no sortirà cap cara x=0, o bé sempre sortirà
cara x=n.)
Si suposem que es realitzen n llançaments independents i que la probabilitat
d'obtenir cara és un valor p que es manté constant en tots els llançaments,
aleshores la variable aleatòria X, que recull el nombre total de cares obtingudes,
presenta una distribució binomial de paràmetres n i p i es simbolitza com
X~B(n,p).
La variable aleatòria X que recull el 'nombre d'èxits obtinguts' en un experiment
aleatori que consisteix en realitzar n proves idèntiques i independents, on
cadascuna només pot prendre dos possibles resultats que indicarem amb un 1
'èxit' i un 0 'fracàs', és una variable amb distribució Binomial, B(n,p), si la
probabilitat d'èxit, p, es manté constant en les n proves.
La funció de probabilitat de la funció binomial és
knk ppk
nkf
)1(
Les variables aleatòries binomials tenen les següents propietats:
a) L’esperança de la variable és: pn
b) La variància és qpn2 , qpn
Exemple resolt 1.
Llencen cinc vegades una moneda. Volem calcular probabilitat d'obtenir cara
tres cops.
Solució:
Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de vegades que surt cara.
Tenim que 2/1,5BX . Aleshores:
3125.016
52/112/1
3
53
353
XP
Exemple resolt 2.
Llencem cinc vegades una moneda. Quina és la probabilitat d’obtenir
al menys una cara?
Solució:
Si X és la variable aleatòria que compta el nombre de vegades que surt cara,
tenim que 2/1,5BX . Noteu que si )(AP és la probabilitat de que surti al
menys una cara i )(AP és la de que no surti cap cara, tenim que
APAP 1)( , i
32
1
2
12/112/1
0
50
5
050
XPAP
Llavors
96875.032
31
32
111 APAP
Exemple resolt 3.
Un fabricant empaqueta els seus articles en caixes de 5 unitats. Si la probabilitat
que un article sigui defectuós és del 5%:
a) Quina és la probabilitat que una caixa contingui més de 2 articles
defectuosos?
b) Si es considera retornable una caixa quan conté algun article defectuós, quina
és la probabilitat que en enviar una caixa triada a l'atzar aquesta es retorni?
c) Quina és la probabilitat que en enviar 10 caixes a un client més de 2 siguin
retornades?
Solució:
a) Sigui X la variable aleatòria "Nombre d'articles defectuosos per caixa".
Llavors 05.0,5BX
0012.005.0195.005.0595.005.010
95.005.05
595.005.0
4
595.005.0
3
5
5432
5423
051423
XPXPXPXP
b)
2262.07738.0195.005.00
51
01010
50
XPXPXP
c)
Sigui Y la variable aleatòria "Nombre de caixes retornades entre 10".
Llavors 2262.0,10BY
(*)21012 YPYPYPYP
100 7738.02262.00
100
YP
91 7738.02262.01
101
YP
82 7738.02262.02
102
YP
4022.05978.01(*)
Funció de densitat de distribucions binomials.
knk ppk
nkXP
)1()( , nk ,...,2,1,0
Gràfiques de la distribució binomial amb 10n i 8.0,2.0,5.0p .
Gràfiques de la distribució binomial amb 5.0p i 60,30n .
Nota: Per a la realització d’aquest exercici és necessària la utilització de les taules de probabilitat
de la d. binomial
1. Representa gràficament la funció de densitat de la binomial ),5( pB amb p =
0.5, p = 0.3, i p = 0.1
2. Representa gràficament la funció de densitat de la binomial ),10( pB amb p =
0.5, p = 0.3, p = 0.1 i p = 0.8
2.3.1
La probabilitat de guanyar en una competició és 5
1P . Si se celebren sis
proves, quina és la probabilitat de guanyar, com a mínim, quatre vegades? I la de
guanyar menys de cinc vegades?
2.3.2
Llancem una moneda enlaire 50 vegades. Estableix la probabilitat d’obtenir :
a) 47 cares. b) 35 creus. c) almenys 2 cares. D) cap creu.
2.3.3
Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la probabilitat que un dels
fills sigui nen és 0.45, calcula la probabilitat que siguin :
a) Tres nens i dues nenes b) Menys nens que nenes.
c) una sola nena. d) Cap nen.
2.3.4
Si la probabilitat que un nen tingui hemofília és de 0.0001. Si l’escola té 500
alumnes, quina és la probabilitat que hi hagi:
a) Un únic nen hemofílic?
b) Com a mínim un nen hemofílic?
2.3.5
S’ha comprovat que d’un grup de deu alumnes d’un centre educatiu, cada un
d’ells falta a classe un 5 % dels dies. Calcula la probabilitat que un dia
determinat:
a) No falti cap alumne a classe
b) Faltin a la classe més de 5 alumnes
c) No vagi a classe cap alumne.
2.3.6
En una illa de cases hi ha deu aparcaments. A cada aparcament hi pot haver o no
un cotxe, independentment que els altres aparcaments estiguin ocupats. Si la
probabilitat que un aparcament estigui ocupat és 0.4:
a) Identifica i descriu aquest model de probabilitat.
b) Calcula la probabilitat que un cert dia hi hagi vuit cotxes aparcats.
2.3.7
La probabilitat que l’Òscar guanyi a en Jaume un partit de tennis és 2/3. Si
juguen 4 partits, calcula la probabilitat que l’Òscar guanyi:
a) Alguna vegada.
b) Més de la meitat dels partits.
2.3.8
Una màquina produeix disquets. S’ha comprovat que el 5% són defectuosos.
Agafem 10 disquets a l’atzar i ens demanen pel nombre de defectuosos:
a) És una distribució binomial?
b) Calcula 0xP , 0xP i 2xP
2.3.9
Un examen tipus test consta de 20 preguntes, cadascuna de les quals té 5
respostes possibles. Si es respon a l’atzar, calculeu:
a) La probabilitat d’encertar exactament 6 preguntes.
b) La probabilitat d’encertar-les totes.
c) La probabilitat de no encertar-ne cap.
2.3.10
El 5% dels bombons de licor que produeix una fàbrica són defectuosos i es
buiden. Calculeu la probabilitat que en una capsa de 10 bombons:
a) Tots estiguin en bones condicions.
b) N’hi hagi un de buit.
c) N’hi hagi dos o més en mal estat.
Si la capsa és de 30 bombons, calculeu la probabilitat que:
d) Tots estiguin en bones condicions.
e) N’hi hagi dos en mal estat.
f) N’hi hagi tres o més en mal estat.
2.3.11
Llancem un dau perfecte 4 cops seguits.
a) Trobeu la probabilitat d’obtenir exactament dues vegades un nombre parell.
b) Trobeu la probabilitat d’obtenir exactament dues vegades un nombre més
gran que quatre.
2.3.12
En una capsa hi ha 10 boles, de les quals només una és blanca. Quina és la
probabilitat de treure-la almenys un cop, en deu extraccions fetes a l’atzar, si
tornem la bola després d’haver-la mirada?
2.3.13
La probabilitat que un estudiant obtingui el títol de llicenciat en Geografia i
Història és 0.3. Trobeu la probabilitat que d’un grup de set estudiants matriculats
en primer curs:
a) Cap dels set acabi la carrera.
b) L’acabin tots.
c) Com a mínim dos estudiants acabin la carrera.
2.3.14
A un estudi realitzat per TVE, se ha sabut que només el 15% dels espanyols són
partidaris que hi hagi combats de boxa per televisió. Si escollim una mostra de
10 persones, es demana:
a) Quina és la probabilitat que la meitat sigui favorable?
b) La probabilitat que només una persona sigui favorable.
2.3.15
Calculeu la probabilitat que el sis aparegui més d'una vegada en 10 llançaments
d'un dau.
2.3.16
Calculeu la probabilitat d'obtenir al menys una cara en llançar deu vegades una
moneda.
2.3.17
En general el 30% dels que pateixen certa malaltia moren. Quina és la
probabilitat que, en un grup de 10 pacients, en morin 4 o més?
2.3.18
Expliqueu raonadament quin dels dos fets següents us sembla més probable.
a)Treure exactament un 6 amb sis llançaments d'un dau.
b)Treure exactament dos 6 amb dotze llançaments d'un dau.
2.3.19
Llanceu una moneda 20 vegades. Quina és la probabilitat que surti cara tantes
vegades com que surti creu? Quina és la probabilitat que surti cara més vegades
que creu?
2.3.20
El 85% de les persones d'una població són Rh positives i la resta Rh negatives.
Se n'escullen 8 a l'atzar. Quina és la probabilitat que exactament 6 persones
d'aquest grup siguin Rh positives?
2.3.21
Calculeu la probabilitat d'obtenir algun 6 en 6 llançaments d'un dau.
2.3.22
Se sap que en les declaracions de renda el percentatge de frau és del 0.5%. Quina
és la probabilitat que cap de les 20 declaracions que s'han escollit a l'atzar sigui
fraudulenta?
2.3.23
Una escola té 500 alumnes 20 dels quals són esquerrans. N'elegim tres a l'atzar.
Quina és la probabilitat que almenys un sigui esquerrà? Suposeu que en cada
elecció d'un alumne, la probabilitat que sigui esquerrà és la mateixa.
2.3.24
Si la probabilitat que un nen pateixi hemofília és 0,0001, quina és la probabilitat
que hi hagi al menys un nen hemofílic en una escola que té 500 alumnes?
2.3.25
La probabilitat de contreure una malaltia per contacte amb una persona malalta
és de 2/3. Calculeu la probabilitat de contreure-la que té una persona sana que
s'exposa a contacte successiu de dos malalts.
2.3.26
La probabilitat que els cargols que fabrica una determinada empresa siguin
defectuosos és del 10%, però que un cargol sigui defectuós és independent del
fet que un altre ho sigui o no. Els cargols s'empaqueten en capses de 5 unitats.
Calculeu quina probabilitat tindrem que en una capsa no hi hagi cap cargol
defectuós.
2.3.27
El 20% d'un model de bombetes és defectuós. En una mostra de 5 bombetes,
calculeu la probabilitat que exactament dues bombetes siguin defectuoses.
2.3.28
El 4% dels disquets d'ordinador que fabrica una determinada empresa resulten
defectuosos. Els disquets es distribueixen en capses de 5 unitats. Calculeu la
probabilitat que en una capsa no hi hagi cap disquet defectuós.
2.3.29
La probabilitat que un tirador amb arc faci diana és 0,2. Si fa 5 intents
independents, calculeu la probabilitat que faci exactament 3 dianes.
2.3.30
Tirem sis daus. Calculeu la probabilitat de que surti al menys un 5.
2.3.31
Si tirem 5 vegades un dau perfecte, calculeu la probabilitat que surti diferent de
6 més de 3 vegades.
2.3.32
Si tirem un dau perfecte cinc vegades, calculeu la probabilitat d’obtenir
exactament dues vegades un 4.
2.3.33
a) Tenim una moneda trucada amb probabilitat 0,6 de sortir cara i probabilitat
0,4 de sortir creu. Si tirem quatre vegades, quina és la probabilitat que surti creu
més de dues vegades? b) Tirem una moneda unes quantes vegades. Què significa
que les tirades són independents?
2.3.34
Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de vermelles. En traiem 3
consecutivament, i retornem cada vegada la bola a l'urna abans de treure la
següent. Calculeu la probabilitat que almenys dues siguin blanques.
2.3.35
La probabilitat que un jugador de bàsquet encerti un tir lliure és de 0,8. Si fa 5
tirs lliures independents, calculeu la probabilitat que n'encerti exactament dos.
Font dels enunciats: http://www.xtec.es/~jlagares%20/mates2/esexdino.htm Solucions : Gerard Romo
2.4 La distribució de Poisson.
Sovint la variable d'interès correspon al nombre d'esdeveniments que es
produeixen dins d'un suport continu, per exemple, el nombre d'avaries d'una
màquina al llarg del temps; el nombre de vehicles que arriben a un peatge en un
interval de temps determinat; el nombre d'arbres per m2; el nombre de pòlisses
d'una determinada assegurança gestionades en un període de temps concret; etc...
Aquests podrien ser exemples de variables aleatòries amb distribució de Poisson
i posen de manifest que són variables discretes on la probabilitat d'obtenir un
èxit és molt petita i el nombre de proves realitzades és molt gran ja que
s'observen sobre un suport continu. Per tant, es podria dir que són experiments
amb distribució binomial amb n gran i p molt petita (és per això, que a la
distribució de Poisson també se l'anomena 'd'esdeveniments rars'). És així com S.
Poisson (1781-1840) en generalitzar la llei de Bernoulli va formular aquesta
distribució.
La distribució de Poisson pot definir-se, utilitzant la distribució Binomial com:
!)1(lim
0k
eppk
n kknk
nppn
Espai mostral: E={0,l,2,3,...}
Funció de probabilitat: !
)(k
ekXPk
Mitjana de la distribució :
Variància de la distribució: 2
La distribució presenta asimetria negativa per a valors de petits, i es fa més
simètrica a mesura que n’augmenta el valor. La forma de la distribució és molt
similar a la de la distribució normal quan 9 .
Observació: Podem aproximar la binomial per la Poisson si n és gran i p és petit,
on = np (a la pràctica, si n 30 i p < 0.1)
Exemple resolt.
Una central telefònica rep per terme mitjà 2 trucades cada 15 minuts entre les 8 i
les 22 hores. Si el nombre de trucades és una v.a. Poisson, calculeu:
a) La probabilitat que en un quart d'hora no es rebi cap trucada.
b) La probabilitat que entre les 9:15 i les 10:15 s'hagin rebut més de 6 trucades.
c) Si se sap que durant l'última mitja hora s'han rebut més de 3 trucades, quina és
la probabilitat que el total de trucades hagi estat menys de 6?
d) Si aquesta central s'avaria i es passen les trucades a una altra central
independent de l'anterior que rep un valor esperat d'1 trucada cada 5 minuts amb
distribució Poisson, quina és la probabilitat que en un quart d'hora es rebin com a
màxim 8 trucades?
Solució:
a) Sigui X la variable aleatòria "Nombre de trucades rebudes cada 15 minuts".
Llavors
)2(PoisX , i per tant: 1353.0!0
2)0(
02 eXP
b) Sigui Y la variable aleatòria "Nombre de trucades rebudes cada hora". Llavors
)8(PoisY , i per tant:
68663.031337.01!6
8...
!1
8
!0
81)6(1)6(
6108
eYPYP
c) Sigui Z la variable aleatòria "Nombre de trucades rebudes cada 1/2 hora".
Llavors
)4(PoisZ , i per tant:
6207.043347.01
1563.01954.0
!3
4...
!0
41
!5
4
!4
4
31
54
3
633|6
304
544
e
e
ZP
PP
ZP
ZPZZP
d)
Sigui X={nombre de trucades rebudes cada 15 minuts}, X~Pois(2)
Sigui W ={nombre de trucades rebudes cada 5 minuts}, W~Pois(1)
Per tant, W'~Pois(3 trucades/15')
S=X+W' ~ Pois(5 trucades/15')
93191.08 SP
2.5 La distribució geomètrica.
La variable aleatòria geomètrica recull 'el nombre de fracassos fins a arribar a
aconseguir el primer 'èxit' obtinguts en un procés dicotòmic, és a dir, en
experiments consistents en realitzar proves idèntiques i independents on només
es poden donar dos resultats, èxit (1) o fracàs (0), amb una probabilitat d'èxit p
que es manté constant a totes les proves.
Per determinar la funció de densitat d'aquesta variable analitzem els resultats
que poden aparèixer en realitzar aquest experiment:
- èxit en la primera prova, aleshores X=0 amb una probabilitat P(X=0)= p,
- èxit en la segona prova, X=1 amb una probabilitat P(X=1) = qp,
- èxit en la tercera prova, X=2 amb una probabilitat P(X=2) = q2p,
...
- èxit a la n-èsima prova, X=n-1 amb una probabilitat P(X=n-1) = qn-1
p.
La variable aleatòria discreta X que recull el 'nombre de fracassos abans
d'obtenir el primer èxit' en un procés dicotòmic segueix una distribució
Geomètrica, X~G(p), i presenta la següent funció de densitat: kppkXP )1()( , k = 0, 1 ,2 , …
Es pot comprovar que aquesta funció compleix les condicions necessàries per a
ser de densitat: és sempre no negativa (tant p com q són positius) i
11
1
1
00
pp
qpqppq
i
i
i
i
Observem que la variable geomètrica és una variable discreta que pren els valors
sencers entre 0 i , i que “tenir èxit a la prova k-èsima" equival a
l’esdeveniment "fracassar en els k-1 primers intents i encertar en el següent
(últim)”.
2
2)(p
q
q
pXE
Exemple resolt.
Suposem que el 15% dels aspirants a un determinat lloc de treball tenen el First
Certificate (FC). Els aspirants són seleccionats a l'atzar i entrevistats un a un.
a) Calculeu la probabilitat que el primer aspirant amb FC sigui el cinquè
entrevistat.
b) Si fins a la dècima entrevista no s'ha trobat cap aspirant amb FC, quina és la
probabilitat de trobar-lo a la propera entrevista?
c) Quin és el nombre esperat d'entrevistes que s'han de realitzar per trobar un
aspirant amb FC? I quina és la seva variància?
Solució:
a) Sigui X la variable aleatòria "Nombre d'aspirants entrevistats sense FC fins a
trobar el primer amb FC. Llavors )15,0(GX
0783.015.085.04 4 XP
b)
15.0011)9(1)10(
)10(10|10
10
1010
XPp
q
qp
XP
qp
XP
XPXXP
La distribució no té memòria.
c) 67.515.0
85.0/)( pqXE entrevistes.
146.678.3715.0
85.022
2 p
q entrevistes.
2.5.1 Una urna conté una bola vermella i tres boles blanques. Si es treuen boles
successivament i amb reemplaçament, és a dir, tornant-les a la caixa després de
veure el color, calculeu la probabilitat que siguin necessàries, com a mínim, 4
extraccions per obtenir la primera bola vermella.
2.5.2
Un estudiant respon aleatòriament i independentment un examen tipus test amb
3 respostes possibles per pregunta.
a) calculeu la probabilitat que la primera resposta correcta sigui la
corresponent a la quarta pregunta.
b) Calculeu la probabilitat que la primera resposta correcta sigui com a
mínim a la quarta pregunta.
2.5.3
Unes pomes s’han d’empaquetar en bosses d’un quilo. Suposem que el 4% de
les bosses no pesen un quilo. Si es trien bosses aleatòriament i es pesen fins a
trobar la primera que no arriba al pes necessari, quina és la probabilitat que si
hagin de pesar:
a) com a màxim 20 bosses.
b) almenys 20 bosses.
c) exactament 20 bosses.
2.6 Esperança matemàtica, variància i desviació típica.
Esperança matemàtica.
Dins la teoria de la probabilitat l'esperança matemàtica (o esperança, o mitjana
poblacional) d'una variable aleatòria discreta és la suma de la probabilitat de
cada possible esdeveniment multiplicat pel valor de l'esmentat esdeveniment.
Per tant, representa la quantitat mitjana que un "espera" com a resultat d'un
experiment aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant
i l'experiment es repeteix un elevat nombre de vegades.
)()( xPxXE
Una aplicació comú de l'esperança matemàtica és en les apostes o els joc d'atzar.
Per exemple, la ruleta americana té 38 caselles equiprobables. El guany per
encertar una aposta a un sol número paga de 35 a 1. Per tant, considerant els 38
possibles resultats, l'esperança matemàtica del benefici per apostar a un sol
número és:
Esdeveniments Probabilitat Guany
Encertar 1/38 35
Fallar 37/38 -1
-0.052638
37)1(
38
135)( XE
Per tant un espera, en mitjana, perdre uns 5 cèntims per cada euro que aposta, i
el valor esperat per apostar 1 euro són 0.9474 euros.
En el món de les apostes, un joc on el benefici esperat és zero (no guanyem ni
perdem) s'anomena un "joc just".
Font: Viquipèdia(http://ca.wikipedia.org/wiki/Esperan%C3%A7a_matem%C3%A0tica)
Donada una variable aleatòria discreta X, la seva esperança matemàtica o
mitjana associada és el valor mitjà teòric, on la probabilitat de cada valor del
rang pot ser interpretada com la freqüència relativa del valor. Ve donada per la
fórmula:
n
i
ii xpxXE1
)(
Definim la seva variància per:
2
1
2
1
22 )(
n
i
ii
n
i
ii xpxxpxXVar
Definim la seva desviació típica o estàndard per:
)(XVar
2.6.1
Et proposem el següent joc: Tenim una bossa amb cinc boles blanques i set boles
negres, i agafem dues sense reposició. Si les dues boles que hem tret són del
mateix color, guanyes dos euros. Si no, en perds tres. Calcula el guany esperat
(l’esperança matemàtica). És un joc just?
2.6.2
Un joc consisteix en extreure una carta d’una baralla espanyola (40 cartes) i: Si
surt sota o cavall rebem 15 cèntims. Si surt As o Rei rebem 5 cèntims. Si surt
qualsevol altra carta paguem 4 cèntims.
Calcula el guany esperat (esperança aleatòria). És un joc profitós?
2.6.3
Et proposem el següent joc: Es tira un dau de deu cares (de la 0 a la 9) :
Si surt 0 perds 10 € i si no guanyes 1 €.
Determina l’esperança matemàtica associada a aquest joc. És un joc favorable,
just o desfavorable (per als teus interessos)?
2.6.4
Si llancem 2 daus i la seva suma és 7, el jugador guanya 50 €. L’aposta és de 10
€.. És equitatiu aquest joc?
2.6.5
Fem un joc que consisteix a treure una carta de la baralla espanyola. Si traiem un
as, cobrem 10€, si no, paguem 1. Definim la variable aleatòria X com el benefici
que obtenim en el joc. Aquesta variable pren dos valors, X=10 i X=-1. Calcula la
probabilitat de cada valor i l’esperança de la variable. Què pots dir sobre
l’equitat del joc?
2.6.6
En un joc una persona rep 15 euros quan treu una sota o un cavall, i rep 5 euros
si treu un rei o un as d’una baralla espanyola amb 40 cartes. Si treu qualsevol
altra carta ha de pagar 4 euros. Quin és el guany esperat per a una persona que
entra en el joc?
2.6.7
La ruleta americana té 38 ranures: 18 de negres, 18 de vermelles i 2 de verdes.
En girar la ruleta, la bola té la mateixa probabilitat de caure en qualsevol d’elles.
Una de les apostes més senzilles consisteix a apostar al negre o al vermell (les
ranures verdes pertanyen a la banca). Una aposta d’1€ a negre permet, en cas
d’encert, recuperar l’aposta i guanyar 1€; en un altre cas, es perd l’aposta.
Descriu la corresponent distribució de probabilitat i calcula i interpreta
l’esperança matemàtica del joc.
2.6.8
A la rifa de Nadal, s’hi pot jugar 60000 números diferents i sabem que el primer
premi dóna 10000 € per euro. Definim la variable aleatòria X com el benefici
que obtenim en el joc, considerant només aquest premi. Calcula la probabilitat
de cada valor i la seva esperança.
2.6.9
Un jugador llança dues monedes. Guanya 1 o 2 euros si surt una o dues cares,
però perd 5 euros si no surt cap cara. Determina l’esperança matemàtica del joc i
si aquest és favorable.
2.6.10
Un jugador llança un dau. Si surt un nombre primer, guanya tants euros com
indica el dau, però si no perd tants euros com marca el dau. Determina la funció
de probabilitat i l’esperança matemàtica del joc.
2.7 Exercicis de repàs de variables aleatòries discretes.
2.7.1
La probabilitat de guanyar en una competició és p=1/5. Si se celebren sis proves,
quina és la probabilitat de guanyar quatre vegades?
2.7.2
Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la probabilitat d’obtenir tot
creus.
2.7.3
El 3% de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen
en caixes de 25 unitats cadascuna. Quina és la probabilitat de que una caixa
contingui almenys 2 peces defectuoses?
2.7.4
Una urna conté 3 boles vermelles i 7 de verdes. Se’n treu una a l’atzar, se anota
el color i es torna a l’urna. Si aquesta experiència es repeteix 5 vegades, calcula
la probabilitat d’obtenir 3 boles vermelles.
2.7.5
Calcula la esperança i la variància d’una distribució binomial n = 20 i p = 0.37.
2.7.6
Representa gràficament la funció de densitat d’una distribució Binomial n = 10,
p = 0,3
2.7.7
Tenim una variable aleatòria X amb la següent funció de densitat P(X)
associada:
determina P(2)
2.7.8
Donada una variable aleatòria X amb la següent funció de densitat P(X) ,
determina E[X].
2.7.9
Un jugador de futbol té un promig de 0.5 gols per partit. Quina és la probabilitat
de que faci 3 gols al pròxim partit? (distribució Poisson)
3 Variables aleatòries contínues. La distribució normal.
3.1 Concepte de variable aleatòria contínua. Funció de densitat.
3.2 La distribució normal. La distribució normal standard.
Observa les següents distribucions estadístiques, agafades del Google:
Direm que una variable aleatòria contínua és normal ),( N , (on és un nombre real
i és un nombre positiu) si la seva funció de densitat és
2
2
1
2
1)(
x
exf
on x és qualsevol valor de la recta real.
Interpretació visual de la desviació típica.
La desviació típica determina el grau de concentració de les dades al voltant del
valor central
El 68.26% de les dades estan dintre de l’interval , .
El 94.4% de les dades estan dintre de l’interval 2,2 .
El 99.7% de les dades estan dintre de l’interval 3,3 .
Més informació: https://www.bbc.com/mundo/noticias-45207968
Exemple resolt 1.
Donada una variable )1,0(NX , calcula 47.1XP
Solució.
Busquem a la taula la final 1.40 i la columna 0.07, i obtenim el valor 0.92922
Exemple resolt 2.
Fent ús de la taula de la normal tipificada, determina les següents probabilitats:
a) 35.1XP b) 338.0XP c) 1.2XP d) 1XP
e) 44.039.1 XP f) 897.052.1 XP
Solució:
a) 91149.035.1 XP
36693.063307.01
34.0134.034.0338.0)
XPXPXPXPb
c) 01786.098214.011.211.2 XPXP
d) 84134.011 XPXP
24771.067003.091774.0
44.039.139.144.044.039.1)
XPXPXPXPe
75168.0
93574.0181594.052.1190.052.190.0
52.190.090.052.1897.052.1)
XPXPXPXP
XPXPXPXPf
3.2.1
Determina les següents probabilitat, on X és una variable aleatòria normal
standard.
a) 22.0XP b) 8.1XP c) 0092.1XP
d) 61.1XP e) 24.006.2 XP
f) 7.102.0 XP
3.2.2
Utilitzant la taula de la distribució normal, calcula les probabilitats següents:
a) 25.00 XP
b) 25.0 XP
c) 15.123.2 XP
3.2.3
Utilitzant les taules de la distribució )1,0(N , calculeu les següents probabilitats
sobre una variable aleatòria Z normal estàndard :
a) Probabilitat que la variable prengui valors inferiors a 0.5 : 5.0ZP
b) Probabilitat que la variable prengui valors superiors a 1.5 : 5.1ZP
c) Probabilitat que la variable prengui valors inferiors a -1 : 1ZP
d) Probabilitat que la variable prengui valors superiors a -0.65 : 65.0ZP
e) Probabilitat que la variable prengui valors compresos entre 0.6 i 1.3:
3.16.0 ZP
f) Probabilitat que la variable prengui valors compresos entre -2 i -0.3:
3.02 ZP
g) Probabilitat que la variable prengui valors compresos entre -1.6 i 0.9:
9.06.1 ZP
3.2.4
Si Z és una variable aleatòria )1,0(N , calcula:
a) 32.1ZP
b) 17.2ZP
c) 52.103.2 ZP
3.2.5
Donada una distribució normal estàndard )1,0(NX , representa’n el recinte
gràficament i determina el valor de k (exacte o aproximat)
a) 8944.0 kXP
b) 0051.0 kXP
c) 385.0 kXP
d) 1788.0 kXP
e) 8.0 kXkP
f) 35.0 kXkP
3.3 Estandarització d’una distribució normal.
Nosaltres disposem de taules de valors només per a la variable aleatòria normal
estàndard )1,0(NX . Si hem de calcular probabilitats associades a una variable
aleatòria normal general ),( NZ , podem fer servir aquestes mateixes taules
mitjançant un procés que s’anomena estandarització:
bX
aPbZaP
Exemple resolt.
Donada una variable )10,80(NZ , calcula 100ZP
Solució:
*21210
80100100
XPXPXPZP
La probabilitat 2XP la trobem a la taula (línia 2.0 , columna 0.00): 0.97725
0.0227597725.01*
3.3.1 Exercici del Youtube
Donada una distribució )4,6(NX , determineu:
a) )9( XP
b) )4( XP
c) )85( XP
Solució: https://youtu.be/2v_0AmKIuAA (Mates con Andrés) A partir del minut 4:58
3.3.2 Exercici del Youtube
Una variable aleatòria X segueix una distribució normal amb mitjana 5.8 i
desviació tipus 5.2 . Calculeu la probabilitat de què la variable prengui un
valor comprés entre 8 i 9.3.
Solució: https://youtu.be/XFM664bbHg4 (Mates con Andrés)
De la probabilitat al punt de tall.
3.3.3
Donada una distribució normal no estàndard ),( NZ , representa’n el
recinte gràficament i determina el valor de k (exacte o aproximat)
a) )10,178(NZ 75.0 kZP
b) )7,40(NZ 2.0 kZP
c) )74,1200(NZ 47.0 kZP
d) )10,110(NZ 651.0 kZkP
e) )10,110(NZ 8482.0 kZP
3.3.4 Exercici del Youtube
Si l’alçada una determinada població segueix una normal 12,170NX ,
determineu l’alçada que deixa per sota d’ella al 80% de la població.
Solució: https://youtu.be/c6e-PlmXpyg (A partir de 5:23)
3.3.5 Exercici del Youtube
Una variable aleatòria X segueix una distribució normal amb mitjana 5.8 i
desviació típica 5.2 . Trobeu el valor de a tal que 05.0)( aXP .
Solució: https://youtu.be/XFM664bbHg4 (A partir de 9:17)
3.4 Exercicis de distribució normal.
3.4.1
Els resultats de l’examen d’una oposició a la qual s’han presentat 3500 persones
es distribueixen segons una N ( 6 , 3 ). Calcula quantes persones han obtingut
més d’un cinc.
3.4.2
Les puntuacions d’un test d’aptitud per entrar a treballar en una empresa
segueixen una distribució normal, de mitjana 500 i desviació estàndard 100.
Trobeu el percentatge d’aspirants que tindran una puntuació superior a 650.
Trobeu el percentatge d’aspirants que tindran una puntuació inferior a 250.
Trobeu el percentatge d’aspirants que tindran una puntuació compresa entre 300
i 650.
Si l’empresa només pot admetre el 10% dels aspirants, quina és la puntuació
mínima que cal treure per ser admès?
3.4.3
La duració mitjana d’una màquina de rentar roba és de 8 anys, amb una
desviació standard de 9 mesos. Si suposem que la vida útil de les màquines de
rentar roba es distribueix normalment, calculeu la probabilitat que una màquina
duri més de 9 anys, i quina és la probabilitat que en duri menys de 6.
3.4.4
En una població determinada, l’alçada dels homes i la de les dones es distribueix
normalment. La mitjana de l’alçada dels homes és 172 cm, amb una desviació
estàndard de 9 cm, mentre que la mitjana de l’alçada de les dones és de 160 cm,
amb una desviació estàndard de 8 cm. Suposant que en escollir parella l’alçada
no es tingui en compte, quina és la probabilitat que en un matrimoni triat a
l’atzar, tan el marit com la muller facin més de 165 cm d’alçada?
3.4.5
S'assegura que el pes de les pomes d'un carregament és una variable amb
distribució normal amb mitjana 250 i desviació estàndard 30 g. Calculeu la
probabilitat que una poma escollida l' atzar pesi menys de 200 g.
3.4.6
La precipitació anual en una regió és una mitjana de 2000 mm, amb una
desviació estàndard de 300 mm. Calculeu, suposant una distribució normal, la
probabilitat que un any determinat la pluja no superi els 1200 mm.
3.4.7
El temps de vida d'un article es distribueix normalment amb una mitjana 1000 h
i desviació estàndard 100 h. Doneu un temps de vida tal que el superin el 90%
dels articles.
3.4.8
Una màquina fabrica cargols el diàmetre dels quals es distribueix normalment
amb mitjana 0.25 i desviació estàndard 0.008.
a) Es rebutgen els cargols amb un diàmetre que difereix de 0.25 en més de 0.01.
Quina és la proporció de cargols rebutjats?
b) Fixeu una nova norma de tolerància per tal que només es rebutgin el 10% dels
cargols.
3.4.9
Una empresa fabrica bombetes amb una vida mitjana de 2000 h de funcionament
i amb una desviació estàndard de 500 h. Calculeu la probabilitat que una
bombeta duri menys de 1000 h, suposant que la distribució del temps de vida és
normal.
3.4.10
La mitjana dels pesos dels pollastres que arriben a un escorxador és µ = 1700 g i
la desviació estàndard s = 200g . Suposem que la distribució dels pesos és
normal.
a) Quina proporció dels pollastres anteriors supera els 2 kg de pes?
b) Quina hauria de ser la mitjana dels pesos perquè el 90% de pollastres superés
els 1500 si es mantenia la mateixa desviació estàndard?.
3.4.11
La mitjana de vendes diàries d'un venedor d'uns grans magatzems és µ = 95000
pts. i la desviació estàndard s = 20000 pts. Suposem que la distribució de vendes
és normal.
a) Quina és la probabilitat de vendre més de 125000 pts. en un dia?.
b) Per a quin valor de la desviació estàndard la probabilitat de vendre més de
80000 pts en un dia és del 70%, si es manté constant la mitjana de vendes?
3.4.12
L'edat mitjana en què les dones d'un cert país tenen el primer fill és µ = 25 anys i
la desviació estàndard s = 3 anys. Suposem que la distribució d'aquestes edats és
normal.
a) Quina proporció de dones tenen el primer fill abans dels 20 anys?.
b) Quina hauria de ser la desviació estàndard perquè el 10% de les dones tingués
el primer fill després dels 30 anys, si es mantenia constant l'edat mitjana?
3.4.13
L'alçada mitjana dels individus d'una certa població és µ = 1.65 m i la desviació
estàndard, s = 0.10 m. Suposem que la distribució de les alçades s'ajusta bé a una
distribució normal.
a) Calculeu la proporció d'individus amb una alçada superior a 1.80 m
b) Quina hauria de ser la mitjana de les alçades dels individus de la població
anterior perquè el 90% tingués una alçada superior a 1.60 m., si es mantingués
constant la desviació estàndard?
3.4.14
La puntuació mitjana de les notes obtingudes en les proves d'accés a una
universitat és 5.50 i la desviació estàndard 0.5. Suposant que la distribució de les
notes s'ajusta bé a una distribució normal.
a) Quina proporció d'alumnes supera el 4.
b) Per quin valor de la desviació estàndard el 40% dels alumnes superaria el 6, si
es mantingués constant la puntuació mitjana?
3.4.15
La distribució del pes d'una població és normal amb una mitjana de 60 kg i una
desviació estàndard de 10 kg. Calculeu la probabilitat que una persona pesi
menys de 45 kg.
3.4.16
Una gasolinera ven una mitjana de 15000 l de gasolina al dia, amb una desviació
estàndard de 1000 l. Quanta gasolina ha de tenir al dipòsit en començar el dia si
vol que la probabilitat de quedar-se sense durant aquell dia sigui igual a 0.05?
Suposeu que la distribució és normal.
3.4.17
En l'home sa la mitjana de glòbuls vermells és de 5.200.000 per mm cúbic, amb
una desviació estàndard de 300.000. Suposant que la distribució normal,
calculeu la probabilitat que la sang d'un home sa contingui menys de 4.700.000
glòbuls per mm cúbic.
3.4.18
El nombre de litres de llet venuts per una central lletera té una distribució normal
amb mitjana 17000 i desviació estàndard 2500 litres/setmana.
a) Calculeu la probabilitat que una setmana determinada es venguin menys de
12000.
b) Quants litres s'han de produir setmanalment si es vol que la probabilitat de no
poder satisfer la demanda sigui de 0.05?
3.4.19
El quilometratge de vida útil d'uns pneumàtics té una distribució normal amb
una mitjana de 40000 km i una desviació estàndard de 3500. Quina probabilitat
té de malmetre's un pneumàtic abans de recórrer 32000 km?
3.4.20
Una companyia aèria fa un vol setmanal amb un avió que té una capacitat de 170
passatgers. Si la demanda és de 150 passatgers de mitjana amb una desviació
estàndard de 15, quina és la probabilitat que una setmana es vegi obligada a
deixar gent a terra? Suposeu que hi ha una distribució normal.
3.4.21
L'índex d'audiència de cert programa diari de TV és una variable amb una
distribució normal que té una mitjana d'1,2 milions d'espectadors i una desviació
estàndard de 0,3 milions.
a) Indiqueu un nombre d'espectadors que se superi amb una probabilitat d'1/2.
Raoneu la resposta.
b) Un altre programa té un índex d'audiència normal amb una mitjana d'1,3
milions i una desviació estàndard de 0,5. Quin dels dos programes té una
probabilitat més gran que no arribi al milió d'espectadors un dia determinat?
3.4.22
La mitjana dels pesos dels habitants d'una ciutat és de 65 kg i la desviació
estàndard, 5 kg. Suposant-hi una distribució normal, calculeu la probabilitat que
un individu pesi entre 60 i 70 kg. És 0 la probabilitat d'escollir a l'atzar una
persona de més de 100 kg? Raoneu la resposta.
3.4.23
El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a un centre d'esports es
distribueix segons una variable normal que té una mitjana de 17 minuts i una
desviació estàndard de 3 minuts.
a) Determineu la probabilitat que el temps d'arribada estigui comprès entre 13 i
21 minuts.
b) Per a quin valor de t, la probabilitat que l'ambulància tardi més de t minuts en
arribar és el 5%.
3.4.24
Els pesos de 600 persones es distribueixen normalment segons N(60;5).
Calculeu quantes persones esperem que pesin més de 70 kg.
3.4.25
El temps que cal per resoldre un test es distribueix segons una normal amb
mitjana de 110 minuts i desviació estàndard de 20 minuts.
a) Quina proporció d'alumnes esperem que acabi abans de les dues hores?
b) A partir de quin temps esperem que el 90% dels alumnes hagi acabat?
3.4.26
Una empresa compra una partida de pomes de bona qualitat el diàmetre de les
quals es distribueix normalment amb una mitjana de 8,73 cm i amb una
desviació típica de 1,02 cm.
a) Si posem en caixes només les pomes que tenen un diàmetre superior a 8 cm,
quina proporció esperem de rebutjades?
b) Calculeu la probabilitat que una poma tingui un diàmetre d'entre 8,5 i 9 cm.
3.4.27
Suposem que el temps en mesos que les criatures triguen a caminar segueix una
distribució normal N(12;1,5). Calculeu quina probabilitat tindrem perquè un nen
camini abans dels 10 mesos, i quina, perquè comenci a caminar després dels 15
mesos.
3.4.28
Considerem que la distribució de notes de matemàtiques d'una classe de 40
alumnes és normal, amb mitjana 5,4 i desviació típica 1,8. Quants alumnes
esperem que tinguin una puntuació d'entre 3,6 i 7,2?
3.4.29
En una classe de 40 alumnes s'ha fet un examen de Matemàtiques i s'ha obtingut
uns distribució de notes que es pot considerar normal, amb una mitjana de 5,4 i
una desviació típica d'1,8. Calculeu la probabilitat que un alumne tregui una nota
entre 3,6 i 7,2.
3.4.30
La mitjana de vendes diàries d’una botiga és de 95.000 ptes. i la seva desviació
típica és de 20.000 ptes. Si suposem que la distribució és normal, calculeu la
probabilitat de vendre per un valor de més de 125.000 ptes. en un dia.
3.4.31
Segons les informacions mèdiques actuals, el nivell de colesterol d'una persona
adulta sana segueix una distribució normal centrada en el valor 192 i amb una
desviació típica de 12 unitats. Quina és la probabilitat que una persona adulta
sana tingui un nivell de colesterol inferior a 186 unitats?
3.4.32
Les alçades dels individus de dues poblacions A i B segueixen distribucions
normals de mitjana 1,70 metres (la mateixa mitjana per les dues poblacions) i de
desviacions típiques respectives 1 i 2 , amb 21 . Quan s'escull un
individu a l'atzar de cada població, digueu en quina de les dues poblacions és
més probable que l'individu escollit estigui entre 1,68 i 1,72 metres d'alçada.
Raoneu detalladament la resposta.
3.4.33
Els diàmetres d'una població de tomàquets determinada segueix una distribució
normal de 7,2 centímetres de mitjana i 1,7 centímetres de desviació estàndard.
a) Si el diàmetre comercial mínim és de 6 centímetres, quina és la proporció de
tomàquets rebutjats?
b) Si es volgués acceptar el 90% de la població de tomàquets, quin hauria de ser
el diàmetre comercial mínim?
Font dels enunciats: http://www.xtec.es/~jlagares%20/mates2/esapdino.htm
Solucions : Gerard Romo.
3.5 Llistes de repàs de distribució normal.
Primera llista.
3.5.1
Donada una variable aleatòria )1,0(NZ , determina )15.1( ZP
3.5.2
Donada una variable aleatòria )1,0(NZ , determina k de forma que
%90)( kZP
3.5.3
Donada una variable aleatòria )1,0(NZ , determina a de forma que
%40)( aZP
3.5.4
X és una variable amb una distribució normal N( 64 , 2.5 ) , determineu:
a) )70( XP b) )3.61( XP c) )6859( XP
3.5.5
Amb la variable aleatòria anterior N( 64 , 2.5 ), si 2358.0)( aXP , determina
a .
3.5.6
Analitzades 240 proves de colesterol en sang, es va observar que es distribueixen
segons una normal de mitjana 100 i desviació estàndard 20.
a) Calculeu la probabilitat de que una prova doni inferior a 94.
b) Quina proporció de proves tenen valors entre 105 i 130?
c) Quantes proves van ser superiors a 138?
3.5.7
La distribució dels salaris anuals dels auxiliars administratius (X) és una variable
aleatòria normal d'esperança matemàtica de 1.500€ i desviació estàndard de
500€. Determineu:
a) La probabilitat que el salari d'un auxiliar triat a l'atzar sigui superior a
2250€.
b) La probabilitat que el salari d'un auxiliar triat a l'atzar estigui entre
1000 i 2000 euros.
c) Quin salari com a mínim pot cobrar un auxiliar que es troba entre el
70% amb sous més alts?
d) Dels 10 auxiliars que té una empresa, quants es pot esperar que rebin
salaris inferiors a 1500 €? I quants reben salaris de com a mínim 1800 €?
3.5.8
En una mostra de 1000 persones d'una determinada població, es va obtenir que
la mitjana aritmètica va ser de 170 cm amb una desviació estàndard de 10 cm. Si
suposem que la talla es distribueix normalment, calcula el nombre de persones
que:
a) mesuren menys de 160 cm.
b) més de 2 m.
Segona llista.
3.5.9
Donada una distribució )1,0(NZ , determina
a) )28.1( ZP b) )65.0( ZP c) )17.1( ZP
3.5.10
Donada una variable aleatòria )1,0(NZ , determina k de forma que
8485.0)( kZP
3.5.11
Donada una distribució )3,23(NX determina:
a) )30( XP b) )15( XP c) )2119( XP
3.5.12
Donada una distribució )5.0,9(NX , determina el valor de k de forma que
9608.0)( kXP
3.5.13
El temps, en hores, dedicat a la preparació d’un determinat producte segueix una
distribució )2,10(N . Determina la probabilitat de que la producció d’aquest
producte necessiti:
a) Menys de 7 hores. b) Entre 8 i 13 hores.
3.5.14
Suposem que el pes dels 500 estudiants d’un institut segueix una distribució
normal amb una mitjana de 70 kg amb desviació típica 3 kg. Determina:
a) Quants estudiants pesen entre 60 kg i 65 kg.
b) Menys de 64 kg.
3.5.15
A una prova d’accés d’una universitat s’han presentat 2500 aspirants per a 300
places. Les qualificacions segueixen una distribució normal de mitjana 6.5 i
desviació tipus 2. Determina la nota de tall per als admesos.
3.5.16
Suposem que les puntuacions obtingudes en un test de cultura general segueixen
una distribució normal N( 65 , 18 ). Es desitja classificar els alumnes en tres
grups: Baixa cultura general, Cultura general acceptable i Excel·lent cultura
general, de forma que al primer hi hagi un 20% de la població, al segon un 65% i
al tercer un 15%. Quines són les puntuacions que marquen el pas d’un grup a un
altre?
3.6 Ajust de la distribució binomial per la normal.
Recordem que una variable aleatòria binomial amb paràmetres p i n és la variable
aleatòria discreta que s’obté de realitzar l’experiència de repetir n vegades una prova
amb probabilitat p d’èxit i comptar el nombre de vegades que hem tingut èxit.
L’esperança, variància i desviació estàndard d’aquesta variable aleatòria venen donats
per les fórmules següents (que només serveixen per a variables binomials, amb altres
tipus de variables hem d’aplicar la fórmula general):
Esperança: pnE
Variància: )1( ppnV
Desviació estàndard: )1( ppnVD
Si n és molt gran, per exemple si fem una experiència de 500 o 1000 proves, el càlcul de
la probabilitat amb la fórmula pot acabar sent molt laboriós, i hem de tenir en compte
que les taules només ens donen resultats fins a n = 40 o n = 50.
Una molt bona aproximació a la probabilitat d’una binomial ),( pnB amb n molt gran ve
donada per la normal )1(,),( pnpnpNN , fent servir el següent criteri:
Criteri d’aproximació per la normal:
Si tenim una distribució binomial ),( pnB , de manera que 5 pn i 5)1( pn ,
aleshores es pot aproximar la distribució mitjançant la normal
)1(,),( pnpnpNNZ
que té la mateixa esperança i la mateixa desviació estàndard, i per tant:
5.05.0 aZaPaXP
5.0 aZPaXP
Podem observar que, com més proper a 0.5 sigui p, i més gran sigui n, millor serà l’ajust
realitzat.
Gràfic comparatiu entre una B(20, 0.5 ) i una N(10, 2.24)
3.6.1
Llancem una moneda 900 vegades. Calculeu, aproximadament per la normal:
a) La probabilitat d’obtenir exactament 460 cares.
b) La probabilitat d’obtenir entre 420 i 460 cares.
c) La probabilitat d’obtenir com a mínim 460 cares.
3.6.2
Suposem que la probabilitat de néixer nena és de 0.488 i en una clínica tenen
registrats 2000 naixements; quina és la probabilitat que 1000 hagin sigut nenes?
I la probabilitat de que hagin estat 900?
3.6.3
Se sap que a un institut el percentatge de fracàs escolar era del 40%. D’una
població de 500 alumnes, quina era la probabilitat que hi hagués exactament 180
fracassos? I la probabilitat que hi hagués com a màxim 180 fracassos? I la
probabilitat de que el nombre de fracassos estigués comprès entre 160 i 190?
3.6.4
Quan es fa un qüestionari per correu, se sap que només s’hi respon en el 30%
dels casos. Si enviem 1000 enquestes, quina és la probabilitat de rebre almenys
300 respostes? Si volem saber l’opinió de 500 persones, quants qüestionaris
haurem d’enviar, com a mínim?
3.6.5
El 20% dels arbres d’una comarca forestal pateixen d’una determina plaga.
Quina és la probabilitat de que en una mostra realitzada de 300 arbres, el nombre
d’infectats estigui entre 48 i 72?
3.6.6
Una enquesta ha mostrat que, en un barri determinat, el 60% de les cases tenen
almenys dos televisors. Si s’agafa a l’atzar una mostra de 50 cases d’aquest
barri, calcula les probabilitats següents:
a) Que almenys 20 de les cases tinguin com a mínim dos televisors.
b) Que entre 30 i 40 cases tinguin com a mínim dos televisors.
3.6.7
Si buidem sobre una taula un sac que conté 400 monedes, calcula les
probabilitats següents:
a) Que surtin més de 210 cares.
b) Que surtin 180 cares o menys.
c) Que el nombre de cares que apareixen estigui comprès entre 190 i 210.
3.7 Altres distribucions contínues.
Distribució exponencial.
La distribució exponencial és l’equivalent continu de la distribució geomètrica. Aquest
model s’acostuma a utilitzar per variables que descriuen el temps fins que es produeix
un determinat esdeveniment.
També permet modelitzar la distribució de la longitud dels intervals de variable
contínua que transcorre entre l'ocurrència de dos successos "rars", que es distribueixen
segons la distribució de Poisson.
La funció de densitat associada és
00
0)(
xsi
xsiexf
x
La seva funció de distribució és
00
01)(
xsi
xsiexXP
x
1)( XE
2
1)(
XV
3.7.1
Sigui X una v.a. amb distribució exponencial de paràmetre = 0.5. Calcula:
a) P(X<3)
b) P(2<X<3)
c) P(X>2)
d) El valor de a que satisfà P(X<a)=0.9
e) El valor de a que satisfà P(X<a)=0.5
f) El valor de a que satisfà P(X<a)=0.05
g) Quina és l’esperança de X?
3.7.2
Repeteix els càlculs de la pregunta anterior amb un valor = 1.
3.7.3
Els components electrònics fabricats d’una determinada empresa presenten una
vida mitjana de 1400 hores. Si la variable X és el temps de vida de cada
component electrònic (en hores) pot modelitzar-se utilitzant una distribució
exponencial, calculeu:
a) La probabilitat que la vida útil d’un component siga superior a 1600 hores.
b) El percentatge de components que tenen una vida útil inferior a 1000 hores.
c) El percentatge de components que tindran una vida útil entre 1000 i 1600
hores.
d) La probabilitat que la vida útil d’un component que porta 1000 hores en
funcionament superi les 1600 hores de vida.
e) Si seleccionem 10 components a l’atzar, la probabilitat que almenys un
d’aquests superi les 1600 hores de funcionament.
3.7.4
Un determinat component d’un instrument de laboratori té una vida mitjana d’1
any. Si considerem que el temps que passa fins que el component falla pot
representar-se per una distribució exponencial, calcula:
a) La probabilitat que la fallida es produeixi abans d’un any.
b) La probabilitat que la peça duri més de dos anys.
c) La probabilitat que la peça duri entre un i dos anys.
d) Si disposem de cinc instruments d’aquest tipus, i instal·lem una peça nova a
cadascun d’ells al mateix temps, calcula la probabilitat que alguna falli abans
d’un any.
e) Quina probabilitat tenim que comprant dues peces de recanvi no haguem de
comprar ninguna més abans d’un any?
3.7.5
La vida d’un dispositiu electrònic del tipus A segueix una llei exponencial de
mitjana 1000 hores i la vida d’un dispositiu del tipus B segueix una llei normal
de mitjana 1000 hores. La vida dels dispositius de tipus A pot considerar-se
independent de la vida dels dispositius de tipus B.
a) Calculeu la probabilitat que un dispositiu de tipus A duri almenys 1000 hores.
b) Quina és la probabilitat que un dispositiu de tipus B duri almenys 60.000
minuts?
c) Quin dispositiu escolliríeu?
3.7.6
En un experiment de laboratori s’utilitzen 10 grams de Po210
84. Si sabem que la
duració mitjana d’un àtom d’aquesta matèria és de 140 dies, quants dies passaran
fins que hagi desaparegut el 90% d’aquest material?
La distribució de Poisson.
Considerem una variable aleatòria X, la qual, inicialment, segueix un model de
distribució binomial, amb un valor molt alt n i un valor molt baix per al paràmetre p, i
on resulta complicat determinar els valors de n i p, però en la qual sí que en coneixem el
valor mitjà pn .
En aquest cas direm que X segueix una distribució de Poisson de paràmetre
)(sPX
Exemples:
- Nombre d’accidents de trànsit mortals que ocorren cada dia en un país.
- Nombre de cotxes que passen cada minut per un punt d’una carretera
- Nombre d’errors en cada pàgina d’un escrit.
- Nombre de missatges SMS setmanals que rep un usuari en el seu mòbil.
Si considerem que les variables anteriors segueixen una distribució binomial, tracteu
d’identificar els paràmetres n i p i penseu en la dificultat que comporta estimar els
valors d’aquests. Podríem, en canvi, estimar la mitjana d’aquestes distribucions?
La distribució de Poisson pot definir-se, utilitzant la distribució Binomial com:
!)1(lim
0k
eppk
n kknk
nppn
Espai mostral: E={0,l,2,3,...}
Funció de probabilitat: !
)(k
ekXPk
Mitjana de la distribució :
Variància de la distribució: 2
La distribució presenta asimetria negativa per a valors de petits, i es fa més simètrica
a mesura que n’augmenta el valor. La forma de la distribució és molt similar a la de la
distribució normal quan 9 .
Podem aproximar la binomial per la Poisson si n és gran i p és petit, on = np (a la
pràctica, si n 30 i p < 0.1)
La distribució de Poisson.
La distribució de Poisson serveix per a modelitzar la següent situació: Donat , el
promig d’èxits per unitat (de temps, de longitud…), ens preguntem quina és la
probabilitat d’obtenir 0, 1, 2…k èxits.
ek
kPk
!)(
Propietats:
XE
XV
Exemples:
1. En promig, cadascuna de les 18 gallines d’un galliner posa un ou al dia. Si es recullen
els ous cada hora, quin és el promig d’ous que es recullen a cada visita? Quina serà la
probabilitat de trobar-ne amb 4 ous?
75.024
118
ous/visita
0.0062!4
75.0)4( 75.0
4
eP
2. El promig d’accidents és de 0.02 per cada dia de treball. Si es treballen 300 dies a
l’any, quina serà la probabilitat de que hi hagin 3 accidents anuals?
630002.0
0.0892!3
6)3( 6
3
eP
3. Un mecanògraf fa un promig de 2 errors per pàgina. Quina és la probabilitat de que
una pàgina en particular no tingui cap error?
2
135.0!0
2)0( 2
0
eP
3.8 Exercicis de repàs de variables aleatòries (contínues i discretes).
3.8.1
Donada una distribució normal estàndard )1,0(NX , calcula 5.1XP .
3.8.2
Donada una distribució normal )7,145(NZ , calcula 150ZP .
3.8.3
Donada una distribució normal estàndard )1,0(NX , determina el valor de k
tal que 8.0 kXP .
3.8.4
Donada una distribució normal )15,320(NZ , determina el valor de k tal que
65.0 kXP .
3.8.5
La vida útil d’una marca de bombetes segueix una distribució normal de mitjana
1200 hores i de desviació típica 250 hores. Quina proporció de bombetes té un
temps de vida inferior a 1300 hores?
3.8.6
La mitjana d’edat en què les dones d’un cert país tenen el primer fill segueix
una distribució normal )3,25(NZ . A partir de quina edat tenen el primer fill
el 75% de les dones?
3.8.7
Una sala d’espectacles té una capacitat màxima de 1500 persones. Si el nombre
d’assistents segueix una distribució )65,1450(NZ , quina és la probabilitat
que no n’hi hagi prou seients per a tots?
3.8.8
Donada una distribució normal )48,920(NZ , determina l’interval de
confiança per al risc %10
3.8.9
Llancem una moneda 45 vegades. Determina la probabilitat d’obtenir
exactament 30 vegades “creu”,
a) Amb la fórmula de la binominal.
b) Mitjançant una aproximació per una distribució normal.
Compara els dos resultats obtinguts.
3.8.10
Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir el número 6 entre
40 i 45 vegades (ambdues incloses).
3.8.11 Un sistema d’alarma falla en un 3% dels casos. Quina és la probabilitat que,
sotmetent-lo a deu assajos, funcioni, almenys, en nou?
3.8.12
Un tirador encerta en el blanc amb probabilitat 0.4. Calculeu la probabilitat que
en efectuar sis trets:
a) No n’encerti cap.
b) N’encerti algun.
c) N’encerti exactament dos
3.8.13
La durada d’un determinat tipus de bombetes, expressada en hores, segueix una
distribució N(750, 175). Quin percentatge de bombetes dura entre 400 i 575
hores? En un lot de 1000 bombetes d’aquest tipus, quantes duraran menys de
330 hores?
3.8.14
Si X és una variable aleatòria contínua amb distribució N(5,2), calculeu:
a) )5.4( XP
b) )73( XP
c) El valor d’a per al qual 75.0)( aXP
3.8.15
El temps de vida d'un article es distribueix normalment amb una mitjana 1000 h
i desviació estàndard 100 h. Doneu un temps de vida tal que el superin el 80%
dels articles.
3.8.16
Una màquina fabrica cargols el diàmetre dels quals es distribueix normalment
amb mitjana 0.25 i desviació estàndard 0.008.
a) Es rebutgen els cargols amb un diàmetre que difereix de 0.25 en més de 0.01.
Quina és la proporció de cargols rebutjats?
b) Fixeu una nova norma de tolerància per tal que només es rebutgin el 10%
dels cargols.
3.8.17
Utilitzeu l'aproximació normal de la distribució binomial per calcular
aproximadament la probabilitat que menys de 50 persones contestin
afirmativament una enquesta feta a 100 persones si se sap que el 60% de la
població està a favor del sí.
3.8.18
Tirem una moneda 400 vegades. Calculeu la probabilitat que el nombre de cares
sigui més gran o igual que 210. (Aproxima aquesta binomial mitjançant una
variable Normal).
3.8.19
Es tira una moneda fins que apareix una creu. Quina és la probabilitat de que
necessitem almenys tres intents ?
3.8.20
Se sap que la probabilitat de cometre un error en una prova genètica és 0.0001.
En un any se fan 20000 proves. Quina és la probabilitat que el nombre de proves
errades produïdes en un any sigui major que 2 ? (Aproxima el valor d’aquesta
binomial mitjançant una variable Poisson)
3.8.21
Una empresa de telefonia rep unes 5 trucades per minut. Si la distribució del
nombre de trucades és de Poisson, calcula la probabilitat de rebre menys de
quatre trucades en un determinat minut.
3.8.22
El temps de reparació d’unes màquines d’escriure segueix una distribució
aproximadament exponencial, amb mitjana 22 minuts.
a) Determina la probabilitat que el temps de reparació sigui menor de deu
minuts.
b) Quin temps haurem d’assignar a les reparacions de forma que la probabilitat
de que aquest sigui superat només sigui d’un 0.1 ?
4 Estadística bidimensional. Regressió i correlació lineal.
4.1 Coeficient de correlació lineal o de Pearson.
El coeficient de correlació de Pearson és un índex estadístic que mesura el
grau de relació lineal entre dues variables quantitatives. A diferència de la
covariància, aquest índex és independent de l’escala de mesura de les variables.
Es defineix per
yx
xyr
El valor d’aquest índex varia en l’interval 1,1
- Si r = 0, no existeix relació lineal (sense excloure la possibilitat d’existència
d’altres formes de relació no lineal entre les dues variables)
- Si r = 1, existeix una correlació positiva perfecta: L’índex indica una
dependència total entre les dues variables, denominada relació directa: quan una
d’elles augmenta, l’altra també ho farà en idèntica proporció.
- Si 0 < r < 1 , hi haurà una relació lineal positiva feble entre les dues variables.
El núvol de punts tendirà a una línia recta creixent.
- Si –1 < r < 0, existeix una relació lineal negativa.
- Si r = -1, existeix una correlació negativa perfecta. L’índex indica una
dependència total entre les dues variables anomenada relació inversa: quan una
d’elles augmenta, l’altra disminueix en idèntica proporció. El núvol de punts
tendirà a una línia recta decreixent.
Karl Pearson va ser un matemàtic britànic que va aprofundir molt
en els estudis de l’estadística descriptiva.
Compatibilitat de les fórmules del coeficient de Pearson.
Podem trobar la fórmula del coeficient de Pearson escrita de dues formes:
n
yyS
n
xxS
n
yxxyS
SS
Sr
yy
xx
xy
yyxx
xy
2
2
2
2
22
22
Yn
yV
Xn
xV
YXn
yx
n
yY
n
xX
VVr
y
x
xy
yx
xy
Aquestes dues fórmules donen el mateix resultat, com es pot veure a continuació:
yx
xy
yyxx
xy
VV
n
y
n
y
n
x
n
x
n
y
n
x
n
yx
n
y
n
y
n
x
n
x
n
y
n
x
n
yx
n
yy
n
xx
n
n
yx
n
yx
n
yy
n
xx
n
n
yxxy
n
n
yy
n
xx
n
yxxy
SS
Sr
2222
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
4.2 La recta de regressió.
La recta que més s’aproxima al núvol de punts d’una distribució bidimensional
amb forta relació lineal és la recta de regressió.
Aquesta recta té per equació:
baxxfy )( , on 2
x
xya
XaYb
El valor a s’anomena coeficient de regressió de Y sobre X
:X Mitjana aritmètica
n
nx
X
m
i
ii 1 i de la mateixa forma,
n
ny
Y
m
i
ii 1
2
x : Variància
21
2
2
12 Xn
nx
n
nXx i
m
i
ii
m
i
i
x
xy : Covariància
YX
n
nyx
n
nYyXx i
m
i
iiii
m
i
i
xy
11
Al 1801 l’astrònom Giuseppe Piazzi va poder seguir el
planetoide Ceres durant 40 dies. Tothom va intentar estimar
la seva trajectòria (Ceres ja era conegut però mai s’havia
pogut saber on estaria en el seu futur). No va ser fins 1805
que Carl Fredrich Gauss va reunir totes les dades de totes
les observacions fetes de Ceres. Va eliminar aquelles que
distaven molt de la mitjana. I amb aquelles dades va fer
mínims quadrats i va aconseguir deduir amb una precisió
esplèndida la trajectòria de Ceres. Ceres és l’asteroide més
gran del cinturó d’asteroides.
4.2.1
Determina la recta de regressió associada a la següent taula de valors: (els punts
corresponen al gràfic de l’inici)
X : despeses en publicitat d’un producte (en milers d’euros)
Y: vendes aconseguides (en milers d’euros)
X Y
1 10
2 17
3 30
4 28
5 39
6 47
X Y 2
ix ii yx
1 10
2 17
3 30
4 28
5 39
6 47
4.2.2
Cinc nois de 2, 3, 5, 7 i 8 anys pesen, respectivament, 14, 20, 32, 42 i 44 quilos.
a) Representa el núvol de punts mitjançant un gràfic X-Y.
b) Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson associat. Què observes?
c) Determina la recta de regressió associada.
d) Quin serà el pes aproximat d’un noi de sis anys?
4.2.3
Per comprovar la fiabilitat d’una prova de raonament espacial, una
psicopedagoga es disposa a aplicar-la en dos moments diferents a un grup de 10
nens. Si la prova és fiable, s’espera que les puntuacions obtingudes en ambdós
casos estiguin correlacionades. A partir de les dades recollides, podem afirmar
que la prova és fiable?
1ª aplicació: 18 14 11 16 15 12 19 10 19 14
2ª aplicació: 17 15 9 18 15 11 18 10 17 16
4.2.4
La gràfica anterior relaciona fracàs escolar i atur.
a) Amb un regle i per proporcionalitat, completa les escales horitzontal i vertical
i “captura” les dades omplint la taula següent. Aproxima només amb valors
enters (.0) i mig punts: (.5)
b) Amb les dades obtingudes calcula tu la recta de regressió i representa-la sobre
la gràfica, verificant que s’hi adequa a la recta que apareix al gràfic.
c) Determina-hi el coeficient de correlació de Pearson i compara’l amb el
resultat que apareix al gràfic (observa que està com a quadrat).
Fracàs escolar (X) Percentatge d’aturats (Y)
Andalucía
Asturias
Aragón
Baleares
C. Valenciana
Canarias
Cantabria
Castilla y León
Castilla- La Mancha
Cataluña
Extremadura
Galicia
La Rioja
Madrid
Murcia
Navarra
P. Vasco
Font del gràfic: http://www.magisnet.com/noticia.asp?ref=5097
4.2.5
Donada la següent taula de valors (x,y)
x y
14 192
35 274
54 404
78 380
101 555
a) Representa el núvol de punts.
b) Determina el coeficient de Pearson associat.
c) Determina la recta de regressió.
d) Representa gràficament la recta de regressió al núvol de punts.
e) Dedueix mitjançant la recta de regressió el valor de y per a x = 25.
4.2.6
Determineu i representeu gràficament la recta de regressió que millor aproximi
les següents dades de diferents temperatures d’un recinte tancat i els
corresponents ritmes cardíacs d’una població de llangardaixos.
temp, (ºC) batecs/minut
22 20,8
22 22,3
24 24,1
24 25,6
26 25,7
26 27,2
28 27,3
28 28,8
30 29,4
30 31,9
32 32,4
32 33,8
34 32,8
34 34,1
36 32,4
36 37,9
38 38
38 36,5
40 39
40 41
4.2.7
Donada la següent taula de valors:
X Y
19 21
41 214
64 388
89 465
102 531
a) Determina el coeficient de Pearson.
b) Determina la recta de regressió.
c) Fes una predicció sobre el valor y=397.73
Solucions.
1.2.1
a)
Talla Fr. absoluta Fr. Ab. Acum. Fr. Relativa Fr. Rel. Acum.
37 1 1 0,05 0,05
38 0 1 0,00 0,05
39 3 4 0,14 0,18
40 7 11 0,32 0,50
41 5 16 0,23 0,73
42 3 19 0,14 0,86
43 2 21 0,09 0,95
44 1 22 0,05 1,00
TOTAL 22 1,00
b)
c) Mitjana aritmètica: 40,68 , Moda: 40 , Mediana: 40,5
1.2.2
a)
Valor Fr. absoluta Fr. Ab. Acum. Fr. Relativa Fr. Rel. Acum.
0 7 7 0,37 0,37
1 3 10 0,16 0,53
2 5 15 0,26 0,79
3 2 17 0,11 0,89
4 1 18 0,05 0,95
5 0 18 0,00 0,95
6 1 19 0,05 1,00
TOTAL 19 1,00
0
2
4
6
8
37 38 39 40 41 42 43 44
b)
c) Mitjana aritmètica: 1,526 , Moda: 0 , Mediana: 1
1.2.3
a)
Valor Fr. absoluta Fr. Ab. Acum. Fr. Relativa Fr. Rel. Acum.
0 1 1 0,07 0,07
1 6 7 0,40 0,47
2 5 12 0,33 0,80
3 2 14 0,13 0,93
4 1 15 0,07 1,00
TOTAL 15 1,00
b)
c) Mitjana aritmètica: 1.733 , Moda: 1 , Mediana: 2
1.2.4
a)
Nota Fr. absoluta Fr. Ab. Acum. Fr. Relativa Fr. Rel. Acum.
0 2 2 0,06 0,06
1 1 3 0,03 0,09
2 2 5 0,06 0,16
3 1 6 0,03 0,19
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4
4 4 10 0,13 0,31
5 7 17 0,22 0,53
6 6 23 0,19 0,72
7 5 28 0,16 0,88
8 0 28 0,00 0,88
9 2 30 0,06 0,94
10 2 32 0,06 1,00
TOTAL 32 1,00
b)
c) Mitjana aritmètica: 5.25 , Moda: 5 , Mediana: 5
1.2.9
0 3 1 5 2 4 3 3 4 3 5 2 6 3 7 5 8 7 9 4 10 1
Mitjana aritmètica: 4.975 , Mediana: 5,5
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.2.10
Dies laborables Cap de setmana
Sense completar
escolarització bàsica
207.6 221.2
Escolarització bàsica sense
títol
192.6 199.05
Escolarització bàsica amb 168.0 183.25
01
23
45
67
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
títol
Batxillerat
144.6 161.4
Formació professional
141.9 162.05
Educació universitària
119.4 140
b)
Laborabl
es
Cap de
setmana
N. E.
Baix
200.1 210.1
N. E.
Mig
151.5 168.9
N. E. Alt
119.4 140
1.3.4
Grup A: Mitjana: 5,094, Variància: 3,085
Grup B: Mitjana: 5,063 , Variància: 8,996
Grup B: Mitjana: 5,063 , Variància: 16,371
2.1.1 a) 5.03.02.01)(1)(3.02.01)()()( cPcPcPbPaP
b) 7.05.02.0)()(, cPaPcaP
2.1.2 a) 0.6 b) 0.25 c) 0.65 d) 0.15 e) 0.95
2.3.1 a) 53/3125 b) 624/625
2.3.2
2.3.3 a) 0.27565 b) 0.59313 c) 0.11277 d) 0.05033
2.3.4 a) P(X=1) = 0.04756
2.3.5 a) 0.599 b) 61075.2 x c) 14108.9 x
2.3.6.
2.3.7 a) 0.0123 b) 0.59
2.3.8 a) Es tracta d’una distribució binomial 05.0,10B b) 0. 598 , 0.402 , 0.074
2.3.9 a) 0.109 b) 1410049.1 x c) 0.012 d) 0.00259 e) 0.9900
2.3.10 a) 0.5987 b) 0.3151 c) 0.0861 d) 0.2146 e) 0.2586 f) 0.1878
2.3.11 a) 0.375 b) 0.296
2.3.12 0.65132
2.3.13 a) 0.0824 b) 0.000219 c) 0.6706
2.3.14 a) 0.0085 b) 710268,3
2.3.15 X=B(10,1/6) , P(X>1) = 1 – ( P(0) + P(1) ) = 1 – ( 0.1615 + 0.3230 ) = 0.5155
2.3.16 X = B(10, 1/2) , P(X>0) = 1 – P(0) = 1 – 0.0010 = 0.999
2.3.17 X = B(10,0.3) ,
P(X>3) = 1 – ( P(0) + P(1) + P(2) ) = 1 – ( 0.0282 + 0.1211 + 0.2335 + 0.2668 )
= 0.3504
2.3.18 a) X = B(6, 1/6) , P(6) = 0.4019 b) X = B(12, 1/6) , P(2) = 0.2961
És molt més probable treure un sis amb sis llançaments.
2.3.19 X = B(20, 1/2) , a) P(10) = 0.1762
b) P(11) + P(12) + P(13) +P(14) + P(15) + P(16) + P(17) + P(18) +P(19) + P(20)
= 0.4119
2.3.20 X = B(8, 0.85) , P(6) = 0.2376.
2.3.21 X = B(6, 1/6) , P(X>0) = 1 – P(0) = 1 – 0.3349 = 0.6651.
2.3.22 X = B(20, 0.005) , P(0) = 0.9046.
2.3.23 X = B(3, 20/500) = B(3, 0.04) , P(X>0) = 1 – P(0) = 1 – 0.8847 = 0.1153.
2.3.24 X = B(500, 0.0001) , P(X>0) = 1 – P(0) = 1 – 0.9512 = 0.0488
2.3.25 X = B(2,2/3) , P(X>0) = 1 – P(0) = 1 – 0.1111 = 0.8889
2.3.26 X = B(5 , 0.1) , P(0) = 0.5905
2.3.27 X = B(5 , 0.2) , P(2) = 0.2048
2.3.28 X = B(5 , 0.04) , P(0) = 0.8154.
2.3.29 X = B(5 , 0.2) , P(3) = 0.0512
2.3.30 X = B(6 , 1/6) , P(X>0) = 1 – P(0) = 1 – 0.3349 = 0.6651
2.3.31 X = B(5 , 5/6) , P(X>3) = P(4) + P(5) = 0.4019 + 0.4019 = 0.8038
2.3.32 X = B(5 , 1/6) , P(2) = 0.1608
2.3.33 X = B(3 , 4/10) , P(X>1) = 1 – ( P(0) + P(1) ) = 1 – ( 0.2160 + 0.4320 ) = 0.352
2.3.34 X = B(5 , 0.8) , P(2) = 0,0512
2.4.1 Sigui Y el nombre d’extraccions necessàries per a obtenir la primera bola
vermella. La variable Y segueix una distribució geomètrica amb p=0.25.
421.0)3()2()1(1)3(1)4( YPYPYPYPYP
2.5.1
Sigui Y el nombre d’extraccions necessàries per a obtenir la primera bola
vermella. La variable Y segueix una distribució geomètrica amb p=0.25.
421.0)3()2()1(1)3(1)4( YPYPYPYPYP
2.6.2 cent 6.140
244
40
85
40
815)( XE
0)(XE és un joc profitós.
2.6.4
036
30)10(
36
650)( XE , per tant el joc és equitatiu.
2.6.7
053.038
20)1(
38
181)( XE .
Evidentment, es tracta d’un joc no avantatjós.
2.7.1 0.01536
2.7.2 7.889x10-31
2.7.3 0.172
2.7.4 0.1323
2.7.5 E = 7.4, V = 4.66
2.7.6
2.7.7 0.2
2.7.8 5.02
2.7.9 0.0126
3.2.1 a) 0'58706 b) 0'03593 c) 0'15625 d) 0'94630 e) 0'38547
f) 0'46341
3.2.5 a) k = 1.25 b) k = 2.57 c) k = -0.29 d) k = -0.92 e) k = 1.285
f) k = 0.45
3.3.3 a) k = 184.75 b) k = 45.915 c) k = 1205.5
3.4.1 2203 aprox.
3.4.2 a) 6.681% b) 0.621% c) 91% d) 628 aprox.
3.4.3 a) 0.09176 b) 0.00376
3.4.4
3.4.5 0.04846
3.4.6 0.00391
3.4.7 872
3.4.8 a) 0.2113 b) ( 0.23668 , 0.26312 )
3.4.9 0.02275
3.4.10 a) 0.06681 , 6.7 % aprox. b) 1756
3.4.11 a) 0.06681 b) 28846.15
3.4.12 a) 0.04846 b) σ = 3.91
3.4.13 a) 0.06681 b) 0.04846
3.4.14 a) 0.99865 b) σ = 2
3.4.15 0.06681
3.4.16 16640
3.4.17 0.04746
3.4.18 a) 0.02275 b) 21112
3.4.19 0.0113
3.4.20 0.09176
3.4.21 a) 1.2 m b) 0.25463 (la primera)
3.4.22 a) 0.68268 b) la probabilitat serà molt petita però no zero.
3.4.23 0.81648
3.4.24 0.02275
3.4.25 a) 0.69146 b) 135.6 minuts
3.4.26 0.23885 (24 % aprox.)
3.4.27 a) 0.09176 b) 0.02275
3.4.28 0.68268*40= 27 aprox.
3.4.29 0.68268
3.4.30 0.06681
3.4.31 0.30854
3.4.32
Si la desviació estàndard és més gran, la probabilitat estarà més dispersa i menys
concentrada al voltant de la mitjana, per tant, tindrà més probabilitat l'individu
de la població amb σ1.
3.4.33 a) 0.24196 b) 9,376 aprox.
3.5.1 0.8749
3.5.2. 1.28
3.5.3 0.26
3.5.4 a) 0.9918 b) 0.8599 c) 0.92245
3.5.5 8.65a
3.5.6 a) 0.38209 b) 0.3345 c) 2.87% de 240 persones = 7 proves.
3.5.7 a) 0.06681 b) 0.68268 c) 1240 euros.
d) 0.5*10= 5 treballadors, 0.27425*10=2.7=3 treballadors.
3.5.8 a) 15.87% = 159 persones. b) 0.13% = 1 persona.
3.5.9 a) 0.8997 b) 0.2578 c) 0.121
3.5.10 k=1.03
3.5.11 a) 0.9901 b) 0.9962 c) 0.1596
3.5.12 88.9k
3.5.13 a) 0.0668 b) 0.7745
3.5.14 a) 0.04802*500=24 estudiants. b) 0.0228*500=11 estudiants.
3.5.15 8.86
3.5.16
Baixa cultura general: fins a 49 punts
Cultura general acceptable: Entre 50 i 83 punts
Excel·lent cultura general: a partir de 84 punts.
3.7.1
P(X < 3) = F(3) = 1 − e(−0.5)3
= 0.777
• P(2 < X < 3) = F(3)−F(2) = (1−e (−0.5)3
)−(1−e(−0.5)2
) = 0.777−0.632 = 0.145
• P(X > 2) = 1 − P(X 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − F(2) = 1 − 0.632 = 0.368
• P(X < a) = F(a) = 1 − e−0.5a
= 0.9. Aleshores, a = ln(0.1)/(−0.5) = 4.6
• P(X < a) = F(a) = 1 − e−0.5a
= 0.5. Aleshores, a = ln(0.5)/(−0.5) = 1.39
• P(X < a) = F(a) = 1 − e−0.5a
= 0.05. Aleshores, a = ln(0.95)/(−0.5) = 0.103
• Esperança d’X: = 1/0.5 = 2
• P(X < E(X)) = P(X < 2) = F(2) = 1 − e(−0.5)2
= 0.632
3.7.2
• P(X < 3) = F(3) = 1 − e(−1)3
= 0.95
• P(2 < X < 3) = F(3) − F(2) = (1 − e−3
) − (1 − e−2
) = 0.95 − 0.865 = 0.085
• P(X > 2) = 1 − P(X 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − F(2) = 1 − 0.865 = 0.135
• P(X < a) = F(a) = 1 − e−a
= 0.9. Aleshores, a = −ln(0.1) = 2.3
• P(X < a) = F(a) = 1 − e−a
= 0.5. Aleshores, a = −ln(0.5) = 0.69
• P(X < a) = F(a) = 1 − e−a
= 0.05. Aleshores, a = −ln(0.95) = 0.05
• Esperança d’X: = 1
• P(X < E(X)) = P(X < 1) = F(1) = 1 − e−1
= 0.632
3.7.3 a) 0.319 b) 0.5103 c) 0.1706
3.7.4
3.7.5
dies 322)1.0ln(1
9,019.0)(
1401 amb ),(
aeaXP
ExpX
a
3.8.1 0.93319
3.8.2 76115.0)7142.0(7
145150)150(
XPXPZP
3.8.3 0.84
3.8.4
3.314
7.32538.015
320
15
320)(65.0
65.0)(35.0)(35.0)(
22
22
22
k
kk
kXPkZP
kZPkZPkZP
3.8.5 65542.0)4.0(250
12001300)1300(
XPXPZP
3.8.6
99.2201.2767.03
25
3
25)(75.0)(25.0
122
222
kkk
kZPkZPkZP
3.8.7
22363.077637.01
)7692.0(1)7692.0(65
14501500)1500(
XPXPXPZP
3.8.8
)72.998,28.841(72.99864.148
920
48
920)(95.0
22
22
kk
kXPkZP
3.8.9
a) 009801721.0)5.01(5.030
451530
b) )354.3,5.22(NYZ
0101.098124.099134.0)385.2087.2(
354.3
5.225.30
354.3
5.225.29)5.305.29()30(
XP
XPYPZP
0306.00098.0
0098.00101.0
Hem obtingut una aproximació amb un 3% d’error relatiu.
3.8.10
)5,30(NYZ
02824.097128.099952.0)1.39.1(
5
305.45
5
305.39)5.455.39()4540(
XP
XPYPZP
3.8.11
9655.07374.02281.0)10()9()9(
)10,97.0(
XPXPXP
BX
3.8.12
)4.0,7(BX
a) 028.0)0( XP
b) 972.0028.01)0(1)0( XPXP
c) 2613.0)2( XP
3.8.13
)175,750(NX
a) %59.1313591.0)575400( XP
b) %2.810000082.00082.0)330( XP
3.8.14
)2,5(NX
a) 40129.0)5.4( XP
b) 68268.0)73( XP
c) 65.325.0)(75.0)( aaXPaXP
3.8.15
)100,1000(NX
5.9152.0)(8.0)( kkXPkXP h
3.8.16
)008.0,25.0(NX
a) %13.212113.0)26.024.0(1 XP
b) 01316.095.0)25.0(9.0)25.025.0( kkXPkXkP
3.8.17
02619.0)5.49()49(
)9.4,60()6.0,100(
YPXP
NYBX
3.8.18
17106.082894.01
)95.0(1)5.209(1)209(1)210(
)10,200()5.0,400(
ZPYPXPXP
NYBX
3.8.19
25.075.01)1()2(1)3(
)5.0(
XPXPXP
GeomX
3.8.20
3233.06767.01)2(1)2()2(
)2()20000,0001.0(
2
20000
0001.0
YPYPXP
PoissYBX
pn
n
p
3.8.21
265.0)3()2()1()0()4(
)5(
XPXPXPXPXP
PoissX
3.8.22
)22/1(ExpX
a) 3653.01)10(10
22
1
eXP
b) hores 51567.509.019.0)( 22
1
kekXPk
4.2.1
5,3X , 5,28Y , 92.22 x , 75,20xy , 1,7a , 65,3b
La recta de regressió és: 65.31.7)( xxfy
4.2.2
Mitjana X: 5 , Mitjana Y: 30,4 , Variància X: 5.2 , Variància Y: 139.84
Covariància: 26.8 , a=5.153846154 , b=4.630769231
Pearson: 0.993842156
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 2 4 6 8 10
4.2.3
Mitjana X: 14.8 , Mitjana Y: 14.6 , Variància X: 9.36 , Variància Y: 10.24
Covariància: 8.82 , a=0,942307692 , b=0,653846154 ,
Pearson: 0,900908496
0
5
10
15
20
10 12 14 16 18 20
Observem amb la gràfica i amb el coeficient de Pearson de 0.9 una forta
tendència lineal creixent de les dades.
4.2.4
Andalucía 34 22
Asturias 16,5 13
Aragón 26,5 15
Baleares 37 19,5
C. Valenciana 34 18,5
Canarias 35 24,5
Cantabria 22,5 15
Castilla y León 22 14,5
Castilla- La Mancha 33 17
Cataluña 26 18
Extremadura 33,5 21
Galicia 24 13
La Rioja 29,5 12
Madrid 26,5 14
Murcia 34,5 18,5
Navarra 16,5 12
P. Vasco 20 10,5
Mitjana X: 27,70588235 , Mitjana Y: 16,35294118
Variància X: 42,32525952 , Variància Y: 14,66955017
Covariància: 19,88321799
a=0,46977191 , b=3,337495912
Pearson: 0,797955111
Pearson2: 0,636732359
4.2.5
a i d:
b) P = 0.9501
c) a = 3.813 , b = 145.943
e) 241.29
4.2.6
Mitjana X: 31 , Mitjana Y: 31.05
Variància X: 33 , Variància Y: 31.8175
Covariància: 31,5
a=0,954545455 , b=1,459090909
Pearson: 0,97212152
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
20 25 30 35 40
4.2.7
Pearson: 0.981 , a = 5.967 , b = -52.113 , x = 75.39
Taula de la distribució normal tipificada N(0,1).
La taula proporciona, per cada valor de z, l’àrea que queda a la seva esquerra.
z 0'00 0'01 0'02 0'03 0'04 0'05 0'06 0'07 0'08 0'09
0'0 0'50000 0'50399 0'50798 0'51197 0'51595 0'51994 0'52392 0'52790 0'53188 0'53586
0'1 0'53983 0'54380 0'54766 0'55172 0'55567 0'55962 0'56356 0'56749 0'57142 0'57535
0'2 0'57926 0'58317 0'58706 0'59095 0'59483 0'59871 0'60257 0'60642 0'61026 0'61409
0'3 0'61791 0'62172 0'62552 0'62930 0'63307 0'63683 0'64058 0'64431 0'64803 0'65173
0'4 0'65554 0'65910 0'66276 0'66640 0'67003 0'67364 0'67724 0'68082 0'68439 0'68793
0'5 0'69146 0'69497 0'69847 0'70194 0'70450 0'70884 0'71226 0'71566 0'71904 0'72240
0'6 0'72575 0'72907 0'73237 0'73565 0'73891 0'74215 0'74537 0'74857 0'75175 0'75490
0'7 0'75804 0'76115 0'76424 0'76730 0'77035 0'77337 0'77637 0'77935 0'78230 0'78524
0'8 0'78814 0'79103 0'79389 0'79673 0'79955 0'80234 0'80511 0'80785 0'81075 0'81327
0'9 0'81594 0'81859 0'82121 0'82381 0'82639 0'82894 0'83147 0'83398 0'83646 0'83891
1'0 0'84134 0'84375 0'84614 0'84850 0'85083 0'85313 0'85543 0'85769 0'85993 0'86214
1'1 0'86433 0'86650 0'86864 0'87076 0'87286 0'87493 0'87698 0'87900 0'88100 0'88298
1'2 0'88493 0'88686 0'88877 0'89065 0'89251 0'89435 0'89617 0'89796 0'89973 0'90147
1'3 0'90320 0'90490 0'90658 0'90824 0'90988 0'91149 0'91308 0'91466 0'91621 0'91774
1'4 0'91924 0'92073 0'92220 0'92364 0'92507 0'92647 0'92786 0'92922 0'93056 0'93189
1'5 0'93319 0'93448 0'93574 0'93699 0'93822 0'93943 0'94062 0'94179 0'94295 0'94408
1'6 0'94520 0'94630 0'94738 0'94845 0'94950 0'95053 0'95154 0'95254 0'95352 0'95449
1'7 0'95543 0'95637 0'95728 0'95818 0'95907 0'95994 0'96080 0'96164 0'96246 0'96327
1'8 0'96407 0'96485 0'96562 0'96638 0'96712 0'96784 0'96856 0'96926 0'96995 0'97062
1'9 0'97128 0'97193 0'97257 0'97320 0'97381 0'97441 0'97500 0'97558 0'97615 0'97670
2'0 0'97725 0'97778 0'97831 0'97882 0'97932 0'97982 0'98030 0'98077 0'98124 0'98169
2'1 0'98214 0'98257 0'98300 0'98341 0'98382 0'98422 0'98461 0'98500 0'98537 0'98574
2'2 0'98610 0'98645 0'98679 0'98713 0'98745 0'98778 0'98809 0'98840 0'98870 0'98899
2'3 0'98928 0'98956 0'98983 0'99010 0'99036 0'99061 0'99086 0'99111 0'99134 0'99158
2'4 0'99180 0'99202 0'99224 0'99245 0'99266 0'99286 0'99305 0'99324 0'99343 0'99361
2'5 0'99379 0'99396 0'99413 0'99430 0'99446 0'99461 0'99477 0'99492 0'99506 0'99520
2'6 0'99534 0'99547 0'99560 0'99573 0'99585 0'99598 0'99609 0'99621 0'99632 0'99643
2'7 0'99653 0'99664 0'99674 0'99683 0'99693 0'99702 0'99711 0'99720 0'99728 0'99736
2'8 0'99744 0'99752 0'99760 0'99767 0'99774 0'99781 0'99788 0'99795 0'99801 0'99807
2'9 0'99813 0'99819 0'99825 0'99831 0'99836 0'99841 0'99846 0'99851 0'99856 0'99861
3'0 0'99865 0'99869 0'99873 0'99877 0'99881 0'99885 0'99889 0'99893 0'99896 0'99899
3'1 0'99903 0'99906 0'99909 0'99912 0'99915 0'99918 0'99921 0'99923 0'99926 0'99929
3'2 0'99931 0'99933 0'99936 0'99938 0'99940 0'99942 0'99944 0'99946 0'99948 0'99950
3'3 0'99951 0'99953 0'99955 0'99956 0'99958 0'99959 0'99961 0'99962 0'99964 0'99965
3'4 0'99966 0'99967 0'99968 0'99970 0'99971 0'99972 0'99973 0'99974 0'99975 0'99976
3'5 0'99977 0'99977 0'99978 0'99979 0'99980 0'99981 0'99981 0'99982 0'99983 0'99983
3'6 0'99984 0'99985 0'99985 0'99986 0'99986 0'99987 0'99987 0'99988 0'99988 0'99989
3'7 0'99989 0'99990 0'99990 0'99990 0'99991 0'99991 0'99991 0'99992 0'99992 0'99992
3'8 0'99993 0'99993 0'99993 0'99994 0'99994 0'99994 0'99994 0'99995 0'99995 0'99995
3'9 0'99995 0'99995 0'99996 0'99996 0'99996 0'99996 0'99996 0'99996 0'99997 0'99997
4'0 0'99997 0'99997 0'99997 0'99997 0'99997 0'99997 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998
4'1 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99999 0'99999
4'2 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999
4'3 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999
4'4 0'99999 0'99999 0'99999 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000
