ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar Cerqueira Prof. Cezar Augusto Cerqueira – UPE/UNICAP CURSO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA BÁSICA

ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar Cerqueira

Prof. Cezar Augusto Cerqueira – UPE/UNICAP

CURSO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA BÁSICA


ESTATÍSTICA: UMA VISÃO GERAL

ESTATÍSTICA Ciência de coletar, organizar, interpretar

dados Visando...tomada de decisões

ESTATÍSTICAS Somos bombardeados por elas a todo

momento Números, informações, indicadores...

Sociais, econômicos, demográficos, gerenciais


A estatística reúne métodos para:

Coleta Processamento Análise e interpretação de dados

Informações numéricas analisadas servem de base para tomada de decisões;

As estatísticas nos auxiliam a entender melhor os fenômenos em geral;


Métodos Estatísticos: Importância - profissional

Ferramenta fundamental no processo de solução de problemas

Gestores modernos lidam com grande quantidade de informação.

Auxílio na determinação de planos de ação para resolução de problemas

Tomada de decisões “bem informadas“ Apresentar e descrever de forma apropriada as

informações Tirar conclusões sobre grandes populações com base em

amostras Melhorar processos Obter previsões confiáveis


Métodos Estatísticos: Importância - empresa

Aumento na competitividade Eliminação de desperdícios Redução na necessidade de

inspeção Aumento no grau de satisfação dos

clientes


PROCESSO Equipamentos Insumos Métodos ou procedimentos Condições ambientais Pessoas Informações do processo Fabricação de um bem ou fornecimento de

um serviço

Uma Ferramenta importante: o fluxograma


PROBABILIDADE Teoria matemática utilizada para se estudar a

incerteza, oriunda de fenômenos de caráter aleatório.

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Trata da análise e interpretação de dados

amostrais O principio básico é tirar conclusões sobre a

população a partir de uma amostra de dados obtida da mesma.


População

Amostra

Descrição Análise Inferência


Coleta de dados Dados: base para tomada de

decisões

Dados Observados (análise exploratória)

Informação (Modelos Probab - Inferencia))

Conhecimento (Tomada de decisão)

Inteligência (Projetos)


COLETA DE DADOS: OBJETIVOS

Desenvolvimento de novos produtos Pesquisas de mercado

Inspeção Classificação de produtos/insumos

Controle e acompanhamento de processos produtivos

Verificar se o processo está sob controle; quantificar a variabilidade; verificar se o processo é atende a especificações.

Melhoria de processos produtivos Produtos que não satisfazem à meta Melhoria frente a novas exigências e necessidade de

sobrevivencia da empresa.


Indivíduo e Variável

Indivíduos: objetos descritos por um conjunto de dados (pessoas, empresas, municípios, animais, ações, tempo, etc)

Variáveis: qualquer característica de um indivíduo, podendo assumir diferentes valores, de acordo com o indivíduo a que se refere.


OBSERVAÇÃO versus EXPERIMENTO

Estudo observacional Investiga indivíduos e mede variáveis de

interesse, sem influenciar as respostas Experimento

Impõe algum tipo de tratamento sobre os indivíduos, a fim de observar suas respostas


TIPOS DE DADOS: VARIÁVEIS QUALITATIVAS

Nominais (sexo, região...) Ordinais (grau de instrução)

QUANTITATIVAS Discretas (contagens)

Ex: número de itens defeituosos; número de arranhões em certa peça; número de acidentes de trabalho no mês.

Contínuas (mensurações em escala contínua) Diâmetro de uma peça; rendimento de uma reação

química; tempo gasto na execução de uma tarefa; espessura de uma peça.


O Banco de Dados

Nome Idade Sexo Renda (Sal. Min) InstruçãoJosé 27 Masc 5,32 SuperiorCatarina 30 Fem 6,43 2 GrauPedro 21 Masc 1,20 1 GrauCibele 22 Fem 2,33 2 GrauHelena 25 Fem 3,56 2 GrauMarta 20 Fem 1,70 1 GrauCarolina 35 Fem 4,50 TécnicaJuan 45 Masc 8,00 Superior


Levantamentos amostrais

População Grupo inteiro de indivíduos sobre o qual

se deseja informações Amostra

Parte da população da qual se coletam de fato informações, utilizadas para se tirarem conclusões sobre o todo.


Aleatória simples

Estratificada

PROBABILÍSTICA Sistemática

Grupos (cluster)

Multifásica

AMOSTRAGEM

(Tipos)

NÃO PROBABILÍSTICA

Amostragem


ESTRATIFICAÇÃO

Agrupamento da informação (dados) sob vários pontos de vista para dar foco à ação.

Equipamentos, insumos, pessoas, métodos, medidas, condições ambientais.

Tempo (manhã, tarde, noite) Local (linhas de produção, regiões) Tipo (fornecedor) Indivíduo(operadores)


Gráfico de Pareto

Princípio de Pareto (80/20) Em torno de 80% dos problemas

vem de 20% das causas Atacar 1/5 das causas solucionaria

4/5 dos problemas


Distribuições de frequência: Gráfico de Pareto

Tabela 2.4 – Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas pela indústria

Tipo de Defeito Freqüência de defeitos

Total Acumulado

Freqüência relativa (%)

Percentual Acumulado

Revest. Inadequado 55 55 43,3 43,3 Trinca 41 96 32,3 75,6 Arranhão 12 108 9,4 85,0 Espessura inadequada 11 119 8,7 93,7 Mal-acabada 5 124 3,9 97,6 outros 3 127 2,4 100,0 Total 127 - 100,0 -

FONTE: Indústria de lentes 0

10

20

30

40

50

60

Revest.

Inadequado

Trinca

Arranhão

Espessura

inadequada

Mal-acabada

outros

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

defeitos% Acum


Gráfico de Pareto Para causas: equipamentos, insumos,

informação do processo ou medidas, condições ambientais, pessoas, métodos ou procedimentos.

Para efeitos: qualidade, custo, entrega, moral, segurança, etc.

Expresso em unidades monetárias Gráfico de Pareto estratificado (por operador,

etc) Comparações tipo antes e depois Desdobramento de gráficos de Pareto (causas e

sub-causas)


Organização e Análise de dados


FERRAMENTAS GRÁFICAS FERRAMENTAS GRÁFICAS SIMPLES: VARIÁVEIS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUASCONTÍNUAS

o o o o o o 3 4 5 6 7 8

Diagrama de Pontos

Considere os dados: 3 4 4,5 4,5 6 8

Exibem: Dispersão, conglomerados de pontos, lacunas, outliers, comparações


GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUASCONTÍNUAS : Gráfico Ramo-e-Folhas

Exemplo: Considere os dados abaixo representando a resistência à compressão de uma amostra de 80 corpos de prova de liga de alumínio:

105 221 183 186 121 181 180 143

97 154 153 174 120 168 167 141245 228 174 199 181 158 176 110163 131 154 115 160 208 158 133207 180 190 193 194 133 156 123134 178 76 167 184 135 229 146218 157 101 171 165 172 158 169199 151 142 163 145 171 148 158160 175 149 87 160 237 150 135196 201 200 176 150 170 118 149

Ramo Folha Frequencia7 6 18 7 19 7 1

10 51 211 580 312 103 313 413535 614 29583169 815 471340886808 1216 3073050879 1017 8544162106 1018 361410 719 960934 620 7108 421 8 122 189 323 7 124 5 1


Apresentação de DadosDistribuições de frequências: caso nominal

Tabela 2.1 Empregados do setor de produção, segundo o grau de instrução, 2005.

GRAU DE INSTRUÇÃO Freqüência (fi) Primeiro Grau 15 Segundo Grau 25 Superior 10 TOTAL 50 FONTE: Pesquisa direta

Empregados do Setor de Produção, segundo grau de instrução - 2000

30%

50%

20%

Primeiro Grau

Segundo Grau

Superior


VARIABILIDADE Sempre presente em processos de produção

ou serviços É afetada por diversos fatores Produtos defeituosas são produzidos devido à

presença da variabilidade A redução da variabilidade implica na redução

do número de itens defeituosos Causas comuns (inerentes) e causas especiais Processo sob controle: atuam apenas as

causas comuns


Gráfico de Sequencias no tempo

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Os dados representam a resistencia à compressão de uma amostra de 20 conectores plásticos:

241 194 190 209258 225 250 212237 190 240 123210 250 190 178189 220 180 190


HISTOGRAMA Distribuição: modelo estatístico para o padrão de

ocorrencia dos valores de determinada população O histograma é um gráfico de barras no qual o

eixo horizontal é subdividido em vários pequenos intervalos, sendo construída uma barra vertical, de área proporcional ao número de observações na amostra cujos valores pertencem ao intervalo correspondente.

As informações são dispostas de modo a permitir a possível visualização da forma da distribuição dos dados e a percepção do valor central e da dispersão em torno desta valor central.


Distribuições de frequência: Caso contínuo - Histograma

As distribuições podem diferir em: Locação (centralidade, média, mediana) Variabilidade (desvio padrão, variância) Forma (assimetria)


Um procedimento para construção de um Histograma (variáveis contínuas)

Coletar “n” observações Escolher o número de intervalos (k) Calcular a amplitude total dos dados (R)

R = Max - Min Calcular o comprimento de cada intervalo (amplitude

de classe, h) h=R/k

Arredondar convenientemente h Calcular os limites de cada intervalo Construir a tabela de frequencias, que deve conter:

Limites de cada intervalo; ponto médio; frequencia simples (fi); frequencia relativa; frequencia acumulada (simples e relativa)

Desenhar o Histograma


Distribuições de frequência variável contínua: Histograma

Dados relativos ao comprimento de uma amostra de 100 parafusos


Distribuições de frequência: Caso discreto

Peças0 351 402 73 54 25 1

Total 90

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5

Dados referentes ao número de defeitos encontrados em uma amostra de 90 chapas de aço


Tipos de Histogramas: simétrico

Valor médio no centro Frequencia mais alta no centro diminuindo gradualmente de

forma simétrica em direção aos extremos

0

20

40

60

80

100

Média=mediana=moda


Tipos de Histogramas: assimétrico positivo

freqüência decresce bruscamente em um dos lados e de forma gradual no outro

Média fora do centro do histograma cauda mais longa em um dos lados

0102030405060708090

Média>mediana; média>moda


Tipos de Histogramas: despenhadeiro

0102030405060708090

0102030405060708090

Frequencia diminui de forma abrupta de um ou dos 2 ladosProcesso não atende às especificações


Tipos de Histogramas: dois picos

Mistura de dados com médias diferentesDados de 2 máquinas ou 2 turnos, etc

0

20

40

60

80

100


Tipos de Histogramas: ilhas isoladas

Erros de medição, erros de registro ou transcrição dos dados Anormalidades temporárias no processo

0

20

40

60

80

100


Tipos de Histogramas: achatado (platô)

Mistura de várias distribuições com médias diferentes Classes centrais possuem aproximadamente a mesma frequência.

01020304050607080


Histograma: estratificação

Quando estratificado o Histograma pode exibir diferentes distribuições para distintos fatores.

A existencia de diferentes distribuições podem estar contribuindo para aumentar a variabilidade do processo.


Histogramas e limites de especificação


Resumindo dados: análise descritiva e exploratória

“Um estatístico é um sujeito que se está com a cabeça num forno e os pés enterrados no gelo, ainda diz que na média a temperatura está ótima”.( K. Dunnigan)


RESUMO NUMÉRICO DE DADOS QUANTITATIVOS: LOCALIZAÇÃO DO

CENTRO DOS DADOS Média Aritmética

Mediana Valor do meio em uma sequencia ordenada de dados

Moda Valor mais frequente de uma série de dados

n

XiX

n

i 1

n

fXX

k

iii

1Dados brutos

Dados agrupados

2

)1]2/([)2/( nn

e

XXM “n” ímpar “n” par

cf

FnLiMe

Me

ant .])5,0[(

Dados agrupados

)2

1( nX


OUTRAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO: Quartis

Primeiro Quartil 25% das observações são menores e

75% maiores

Segundo Quartil (Mediana) Terceiro Quartil

)4

1(

1 nXQ

)4

)1(3(

3 nXQ


VARIABILIDADE

Medidas de tendência central podem mascarar importantes aspectos em uma série de dados

Um processo de produção de bens e fornecimento de serviços sempre apresenta variabilidade

A variabilidade é resultado de uma série de alterações nas condições sob as quais as observações são tomadas. matérias-primas, condições de equipamentos, métodos de trabalho,

condições ambientais e operadores


VARIABILIDADE: Problematizando Os dados abaixo referem-se a notas obtidas em 3

turmas de 5 alunos cada: Turma A: 3 4 5 6 7 Turma B: 1 3 5 7 9 Turma C: 5 5 5 5 5

Em termos de tendência central como podemos analisar os grupos ?

E em termos de dispersão? Qual deles parece mais disperso? E qual deles apresenta maior variabilidade?

Façamos uma investigação gráfica do fenômeno. Como obter uma medida de variabilidade média

para os grupos?


MEDINDO A VARIABILIDADE Variância Populacional

Variância Amostral

Desvio Padrão Corresponde à raiz quadrada da

variância

])(

[1 222

nX

Xn

ii

])(

[1

1 222

nX

Xn

s ii


MEDINDO A VARIABILIDADE: outras medidas

Amplitude Total Xmax-Xmin

Amplitude Interquartil J = Q3–Q1

Coeficiente de variação

Comparação de grupos muito diferentes Comparação de dispersão com escalas diferentes

XS

médiapadrãoDesvioCV


ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA

Curva Simétrica

Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da Companhia A

0

5

10

15

20

25

30

6 10 14 18 22

sal.min.

freq.

sim

ples


ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA

Assimetria Negativa

Assimetria PositivaSimetria


Gráfico Box-Plot

Juntas: Q1,Q2,Q3

Extremos: E1 e E2

E1 Q1 Me Q3 E2

REGIAO

COSULSENENOID

HMUN

1.0

.9

.8

.7

.6

.5

.4

Índice de Desenvolvimento Humano no Brasil, por Região - 2000


Explorando a relação entre variáveis


EXPLORANDO A RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS

Mensurar o tipo e grau de associação entre duas ou mais variáveis.

Foco inicial: duas variáveis quantitativas Etapas:

Abordagem gráfica: diagrama de dispersão Cálculo do coeficiente de correlação linear de

Pearson,


Diagrama de dispersão

Gráfico utilizado para a visualização do tipo de relacionamento entre 2 variáveis quantitativas

Este entendimento contribui para aumentar a eficiencia dos métodos de controle de um processo


Construção do diagrama de Construção do diagrama de dispersãodispersão

1.1. Coletar ao menos 30 pares de observações (x,y) Coletar ao menos 30 pares de observações (x,y) das variáveis a serem estudadas;das variáveis a serem estudadas;

2.2. Registrar os dados em uma tabela;Registrar os dados em uma tabela;3.3. Escolher uma variável a ser representada no eixo Escolher uma variável a ser representada no eixo

‘x’ (preditora) e outra variável em ‘y’ ‘x’ (preditora) e outra variável em ‘y’ (dependente);(dependente);

4.4. Determinar os valores máximo e mínimo para Determinar os valores máximo e mínimo para cada variável;cada variável;

5.5. Escolher as escalas para ‘x’ e ‘y’Escolher as escalas para ‘x’ e ‘y’6.6. Representar no gráfico os pares de observações Representar no gráfico os pares de observações

(x,y). (x,y). 7.7. Registrar informações importantes que devem Registrar informações importantes que devem

constar no gráfico: título, legendas, unidades de constar no gráfico: título, legendas, unidades de medidas, etcmedidas, etc


Interpretação de diagramas Interpretação de diagramas de dispersãode dispersão

Correlação Correlação positiva: à positiva: à medida que x medida que x aumenta, y aumenta, y também também aumenta.aumenta.


Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de

dispersãodispersão Moderada Moderada

correlação correlação positiva: y tende a positiva: y tende a aumentar com x, aumentar com x, porém com porém com elevada elevada variabilidade.variabilidade.



dispersãodispersão Ausência de Ausência de

correlação: os correlação: os valores das valores das variáveis não variáveis não estão estão relacionados.relacionados.



dispersãodispersão Moderada Moderada

correlação correlação negativa: y tende negativa: y tende a diminuir com o a diminuir com o aumento de x.aumento de x.



dispersãodispersão Forte correlação Forte correlação

negativa: à medida negativa: à medida que x aumenta, y que x aumenta, y diminui.diminui.


Outliers: SãoOutliers: Sãoobservações extremasobservações extremasnão condizentes com não condizentes com o restante dos o restante dos dados.dados.


dispersãodispersão



dispersãodispersãoExemplo: O Exemplo: O

diagramadiagramaao lado mostra forte ao lado mostra forte correlação negativa correlação negativa entre as variáveis entre as variáveis Tensão e Variação Tensão e Variação no Corte.no Corte.


Estratificação de Diagramas Estratificação de Diagramas de Dispersãode Dispersão

Em muitos casos a estratificação de Em muitos casos a estratificação de um diagrama de dispersão permite um diagrama de dispersão permite

a a descoberta da causa de um descoberta da causa de um

problema.problema.


CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão

Gráfico que representa no plano cartesiano duas variáveis quantitativas

Ferramenta simples que permite aprofundar o estudo da associação entre 2 variáveis.

Como ilustração, considere a tabela abaixo, que representa o tempo de serviço e o volume de vendas semanais de uma amostra de 5 vendedores de determinado produto:

5550424035Vendas

86431Tempo (anos)


Diagrama de Dispersão

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5Y

ve

nd

as

X te m p o


CORRELAÇÃO

Quando as variáveis crescem no mesmo sentido temos o caso de correlação positiva.

Quando as variáveis crescem em sentidos opostos temos uma correlação negativa.

Se os dados estão perfeitamente alinhados sobre uma reta temos uma correlação perfeita.

Quando o crescimento de uma variável é acompanhado de variações casuais da outra variável a correlação é nula.


COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: FÓRMULA DE CÁLCULO

YYXX

XYXY SS

Sr

n

YXXYS XY

nX

XS XX

22 )(

nY

YSYY

22 )(

onde:

Lembre que: -1 rxy 1


COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: CÁLCULO PARA O EXEMPLO ANTERIOR

Elemento Tempo (anos) Vendas X2 Y2 XY1 1 35 1 1225 352 3 40 9 1600 1203 4 42 16 1764 1684 6 50 36 2500 3005 8 55 64 3025 440

Total 22 222 126 10114 1063

106310114;126;222;22 22iiiiii YXeYXYX

2,295

22126)( 22

2 nX

XS xx

2,2575

22210114)( 22

2 nY

YS yy

2,865

)222)(22(1063))((

n

YXXYS xy

995,0)2,257)(2,29(

2,86

yyxx

xyxy SS

Sr Indica uma

associação forte e positiva !!

CUIDADO!!! Correlação não implica em relação de causa efeito. !!


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: QUANTITATIVAS X

QUALITATIVAS Comparação do Comportamento de

uma Variável Contínua por Grupos Captar diferenças: i)nos níveis

médios, ii)em variabilidade, iii)na forma da distribuição, iv)detalhes individuais. Via: Diagrama de Pontos Gráficos tipo Box-Plot Gráfico Ramo-e-Folhas


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS

Tabela de contingência a 2 fatores Variável dependente e explicativa Medir associações Encontrar distribuições percentuais Distribuições marginais Distribuições condicionais


Noções de Probabilidade e Inferência: mensurando a incerteza...

O Acaso existe?

“ O acaso não existe: tudo é provação, ou punição, ou recompensa, ou previdencia”. (Voltaire)

“O acaso é a causa ignorada de um efeito conhecido” (Voltaire)


NOÇÕES DE PROBABILIDADE Aleatoriedade Experimentos aleatórios

Resultados imprevisíveis regularidade

Probabilidade chance de ocorrência de um evento aleatório. idealização do que aconteceria se feita uma

sequencia longa de repetições Proporção de vezes em quem um evento ocorre

em uma sequencia longa de repetições do experimento

Independencia Resultado de uma tentativa não deve influenciar o

resultado de outra


Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas:

Distribuição Binomial Considera n repetições independentes de um

experimento de Bernoulli. Exemplos:

Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X=nº de caras obtido Uma máquina produz 1% de peças defeituosas. Seja

X=nº de peças defeituosas nas próximas 25 produzidas. Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade,

seja X=nº de meninas observado.

Seja a VA X=nº de sucessos obtidos. Portanto:

E(X)=np e V(X)=np(1-p) nkppkXP knknk ,.....,1,0,)1()(


Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas:

Distribuição de Poisson Largamente empregada quando se deseja contar

o número de eventos de certo tio que ocorrem em um intervalo de tempo, superfície ou volume.

Exemplos: Fórmula:

Número de chamadas telefônicas recebidas em uma central em um intervalo de tempo.

Número de falhas em um computador em um dia de operação.

Número de defeitos em uma chapa de metal de 1 m2 produzida.

!)()(

ktekXP

Kt


Modelos Probabilísticos para variáveis contínuas: Distribuição Normal

Representação Gráfica:

A distribuição Normal é um modelo estatístico que fornece uma base teórica para o estudo do padrão de ocorrência dos elementos de várias populações de interesse.

µ é a média da distribuição (centro)ơ é o desvio padrão da distribuição (dispersão)

+ -

68%


Curva Normal

Para calcular probabilidades associadas a uma variável Normal de média µ e desvio padrão ơ, (N(µ,ơ)), deve ser utilizada a variável Normal padronizada ou reduzida:

A média de Z é zero e seu desvio padrão é 1.

Xz


µ µ+2ơ

µ+3ơµ+ơ

µ-ơµ-2ơµ-3ơ

0 1 32-1-2-3

X

z


Distribuição Normal: uso da tabela

0 z

Xz

0 1

P(0<Z<1)

1

P(Z>1)

0,3413

0,5-0,3413

-1 0

P(Z<-1)0,5+0,3413

z=1,64

0 z

5%

Uso inverso da Tabela


Curva Normal

Propriedades:1) A área sob a curva é igual a 1.2) A curva é simétrica em relação à sua média.3) f(x) tende para 0 quando X tende para +/- 4) A curva possui um ponto máximo em x = .

Intervalo Probabilidade (Área)Interna Externa

(µ±ơ) 68,3% 31,7%(µ±2ơ) 95,5% 4,5%(µ±3ơ) 99,73% 0,27


DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Lei dos grandes números – Extraia observações

aleatórias e independentes de uma população de média

À medida que o número de observações aumenta, a média amostral aproxima-se cada vez mais da média da população .

Características de uma população podem ser descritas pelos parâmetros.

Os parâmetros são quantidades desconhecidas, a serem estimadas via amostra.

As distribuições amostrais podem ser vistas como: Distribuição de probabilidades de uma estatística

amostral Indicam como variam as estatísticas devido a

variações no processo de amostragem.


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS

Obtida a partir da média aritmética de uma série de amostras de tamanho n, extraída de uma população que tem média e desvio padrão .

A média da distribuição amostral de médias é igual à média populacional

O desvio-padrão da distribuição amostral de médias é dada por:

A distribuição amostral de médias é aproximadamente normal, para n grande.

A estatística correspondente à equação abaixo é aproximadamente N(0,1).

n

nxZ )(


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES

Obtida a partir da proporção de elementos em uma amostra que possuem certa característica de interesse.

A média da distribuição amostral da proporção é igual à proporção populacional.

O desvio-padrão da distribuição amostral da proporção é dado por:

A distribuição amostral da proporção é aproximadamente normal, para n grande.

A estatística correspondente à equação abaixo é aproximadamente N(0,1).

npp

p)1(

nPPPpz a

)1(


INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA – com desvio

padrão conhecido Objetivo do IC: estimar um parâmetro desconhecido

com uma indicação da precisão da estimativa. Formato: estimativa +/- margem de erro Nível de confiança: probabilidade de que o método

forneça uma resposta correta. A média amostral varia de amostra para amostra Para levar em consideração esta fato devemos

construir um intervalo de confiança para a verdadeira média populacional, com base na média amostral.

Tal intervalo tem uma probabilidade (nível de confiança) de estar estimando corretamente (conter) o parâmetro.


INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA – com desvio

padrão conhecido O intervalo para a média, com desvio-padrão

conhecido, pode ser representado pela expressão:

nZx

2

normaltabelanaobtidovalorZ 2

adotadociasignificandenível

médiadaamostralãodistribuiçdapadrãoerron

amostralmédiax

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