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Estatística Experimental
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Estatística
Experimental Material Didático
Apostila da disciplina de estatística experimental destinada aos acadêmicos do
curso de pós-graduação em genética e melhoramento de plantas da
Universidade do Estado de Mato Grosso – UNEMAT
2012
Prof. Dr. Willian Krause
UNEMAT
2012
Estatística Experimental Prof. Dr. Willian Krause
2
1. Noções básicas de experimentação agrícola
A Estatística Experimental é a ciência que tem como objetivo estudar experimentos (ensaios),
englobando etapas como o planejamento, execução, coleta e análise dos dados experimentais e interpretação
dos resultados obtidos. Ela foi proposta inicialmente na área de ciências biológicas por Ronald A. Fisher em
1919. Fisher propôs o uso da análise de variância (ANAVA) como ferramenta para análise e interpretação de
dados. A ANAVA permite a decomposição do grau de liberdade e da soma de quadrados total em somas de
quadrados correspondentes às fontes de variação previamente definidas no planejamento do experimento.
A fase de planejamento do experimento merece considerável atenção por parte do pesquisador, pois
dela dependerá o sucesso da análise e interpretação dos resultados sendo, portanto, recomendável uma
consulta a um estatístico antes da instalação do experimento. O planejamento envolve etapas como:
a) Formulação de hipóteses
Ao planejar o problema que se vai pesquisar, deverá ser dada especial atenção aos seguintes pontos:
- Definição da importância do problema que se estuda;
- Determinação do(s) objetivo(s) e finalidade da investigação.
Definir a importância do problema que se estuda é explicar o que vamos estudar. Será impossível o
planejamento das etapas subseqüentes se não ficar claramente evidenciado o problema a investigar. Não
basta, por exemplo, dizer que se vai estudar a biodiversidade do Pantanal, o efeito da poluição do rio
Sepotuba, pois provavelmente nenhum pesquisador terá possibilidade e capacidade de abordar todos os
aspectos da biodiversidade ou da poluição. É importante também especificar sua extensão.
Antes de empreender o experimento, o pesquisador deve revisar tudo o que diz respeito ao fato em
estudo, com a finalidade de saber o que já se conhece sobre o assunto. Decerto serão encontrados vários
subsídios que fornecerão valiosa colaboração para o estudo. A revisão bibliográfica sobre o assunto deverá
sofrer cuidadosa seleção para que os resultados mais afins possam ser aproveitados no conforto e discussão
posteriores à da pesquisa.
A hipótese, resultado de um raciocínio indutivo (consciente ou subconsciente), requer demonstração
ou prova de sua adequação. Sabemos que a veracidade de uma hipótese nunca pode ser demonstrada ou
provada definitivamente. O que se faz é verificar se ela não seria falsa; o que nos levaria a rejeitá-la e a
formular outra, se necessário. Enquanto não se possa demonstrar que ela é incorreta, mantém-se a hipótese
como boa. Dela deduzimos as conseqüências ou fazemos previsões. Por sua vez, essas conseqüências e
previsões serão testadas, para ver se a hipótese adotada ainda se mantém ou não.
A hipótese estatística formulada é denominada hipótese de nulidade e é simbolizada por Ho. Suponha
que se deseja estudar qual cultivar (considerando, por exemplo, três cultivares diferentes) proporcionará a
melhor produtividade na cultura da soja. No exemplo, Ho seria: não existem diferenças significativas entre as
cultivares (ou seja, qualquer diferença observada é devida a fatores não controlados). Ho poderá ser aceita ou
rejeitada; caso seja rejeitada, aceitaremos uma hipótese denominada alternativa, simbolizada por H1 que no
exemplo seria: as cultivares diferem significativamente entre si (ou as cultivares se comportam de modo
diferente quanto a produtividade).
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b) Escolha dos fatores e seus respectivos níveis
Fatores (ou tratamentos) são aqueles que o pesquisador tem interesse em estudar o seu efeito sobre as
variáveis respostas. As subdivisões de um fator são os níveis dos mesmos. Por exemplo, se o interesse for
planejar um experimento para se estudar o efeito de seis tipos diferentes de rotações de cultura, o fator em
estudo é rotação e os níveis deste fator são os seis tipos de rotação. Em alguns casos, como por exemplo, nos
experimentos fatoriais ou em parcelas subdivididas, dois ou mais fatores são estudados. Suponha que se
deseja estudar o efeito de duas variedades de cana de açúcar e três doses de nitrogênio; neste caso se trata de
um experimento em fatorial 2x3, em que se tem dois fatores (variedade e dose de nitrogênio); dois níveis do
fator variedade e três níveis do fator dose de nitrogênio.
Um fator pode ser classificado em:
b.1) Qualitativo: quando os níveis do fator são categorias, atributos.
Por exemplo: nome de variedades de cana de açúcar (SP701143 e SP813250); métodos de plantio
(direto, convencional); origem de solos (MG, RJ, BA, SP); etc.
b.2) Quantitativo: quando os níveis do fator são mensurações de valores reais. Normalmente os
níveis são valores numéricos acompanhados de uma unidade de medida. Por exemplo: dose de nitrogênio (0,
25 e 50 kg ha-1); espaçamento de plantio de maracujá (1, 2, 3, 4m entre plantas), etc.
c) Escolha da parcela (unidade experimental)
Parcela é a unidade experimental que receberá o tratamento. A parcela pode assumir diferentes
formas e tamanhos. Por exemplo, uma parcela poderá ser constituída por uma ou várias plantas; um vaso
contendo uma ou mais plantas; uma placa de Petri com determinado meio de cultura; uma área com várias
plantas; um animal; etc.
d) Escolha do delineamento experimental
Delineamento experimental é o plano de distribuição dos tratamentos na área experimental. Como
exemplo de delineamentos tem-se o delineamento inteiramente casualizado (DIC), o delineamento em blocos
casualizados (DBC), o delineamento em quadrados latinos (DQL), os delineamentos em blocos incompletos
(por exemplo, os látices, blocos aumentados, etc.).
e) Escolha das variáveis a serem analisadas
Variáveis respostas ou variáveis dependentes ou simplesmente variáveis são características obtidas
em cada parcela. Os dados (observações) são realizações de uma variável e serão analisados para verificar se
há diferença entre os níveis dos fatores (tratamentos). Assim, exemplos de variáveis são: produção de grãos
de feijão; altura de plantas de milho; pH, teor de Ca, Mg e P em amostras de solo; número de plantas de
cana-de-açúcar atacadas por cercosporiose; etc.
Uma variável também pode ser classificada, semelhantemente aos fatores (tratamentos), em:
e.1) Qualitativa
e.1.1) Nominal: quando são categorias, atributos, sem uma ordenação natural. Por exemplo: cor dos
grãos do feijoeiro (marrom, preto, branco); textura do solo (arenoso, argiloso, silte); etc.
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e.1.2) Ordinal: quando são atributos com uma ordenação natural. Por exemplo: suscetibilidade do
cafeeiro à ferrugem (alta, média, baixa); nota para o ataque de cercosporiose em cana-de-açúcar (escala de 1,
para ausência da doença, até 9, para o máximo de doença); etc.
e.2) Quantitativa
e.2.1) Discretas: quando são contagens de números inteiros positivos com uma ordenação natural.
Por exemplo: número de chuvas em 2002 superior a 80 mm/h (ex. 20 chuvas); número de plantas atacadas
com a broca do fruto do cafeeiro (ex. 200 plantas); número de minhocas encontradas em determinada
amostra de solo (ex. 50 minhocas).
e.2.2) Contínuas: quando são mensurações de valores reais; normalmente existe uma unidade de
medida acompanhando a variável. Por exemplo: produtividade (100,0 kg ha-1); renda (R$2.050,73/mês);
altura (2,5 m); diâmetro (8,18 cm); peso (98,5 g); pH (5,5); teor de P, Ca, Mg, K, matéria orgânica, etc.
f) Análise dos dados obtidos com o experimento.
2. Definições gerais
a) Pesquisa e experimentação: o termo pesquisa deve ser empregado quando se investigam
coisas novas, e experimentação, ao se verificar a adaptação de conhecimentos ou tecnologias a situações
diversas daquelas nas quais foram criadas ou desenvolvidas. Assim a criação de novas cultivares deve ser
considerada como pesquisa, mas a realização de um ensaio de competição de linhagens e/ou cultivares em
ambiente diverso àquele no qual foram criadas é uma experimentação.
b) Fator: aquilo que se aplica em um ensaio de forma não homogênea, por exemplo, cultivar,
quando se testam várias delas; adubação ao se compararem diversas formulações; etc.
c) Nível: as diferentes manifestações de um fator, por exemplo as doses de adubações
empregadas, os espaçamentos utilizados, as cultivares que se testam, diferentes temperaturas de cocção, etc.
d) Tratamento: cada um dos níveis do fator ou cada uma das combinações dos níveis dos
fatores, quando testando mais de um fator.
e) Testemunha: tratamento padrão de comparação. Pode ser a ausência de um fator (dose zero
de um adubo), ou a aplicação usual do fator (cultivar recomendada para cultivo na região, espaçamento
adotado pelos agricultores, etc).
f) Ensaio ou experimento: o conjunto de todos os tratamentos, aplicados de forma repetida.
Quando mais de um fator estiver sendo estudado, o ensaio é chamado de ensaio ou experimento fatorial.
g) Delineamento: o esquema adotado para a distribuição dos tratamentos.
h) Unidade experimental (parcela): sujeito ao se aplica um dos tratamentos. Pode ser uma área
de solo, um vaso, um animal, uma placa de petri, um indivíduo, etc.
i) Área útil: porção da unidade experimental efetivamente utilizada na avaliação do tratamento.
j) Bordadura: parte da parcela não coletada para avaliação do efeito do tratamento. É
empregada para evitar efeito de competição ou de contaminação entre parcelas vizinhas. Normalmente é
constituída pelo mesmo material da área útil.
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k) Repetição: cada uma das aplicações de um tratamento.
l) Bloco: conjunto ambiental homogêneo que contém todos os tratamentos ou parte deles (no
caso de blocos incompletos).
3. Análise de variância
A análise de variância (ANAVA) é um dos métodos para análise dos dados que visa decompor a
variação total entre parcelas em fontes (causas) de variação devidas a efeitos principais dos fatores, efeitos de
interações entre fatores, efeitos de aninhamento e resíduo (erro). Para facilitar o entendimento, antes de
partirmos para exemplos de análises de variância, é necessário fazer alguns comentários sobre os princípios
básicos da experimentação e também sobre as pressuposições da análise de variância.
3.1. Princípios básicos da experimentação
Os delineamentos experimentais clássicos são baseados nos três conceitos a seguir, estabelecidos por
Fisher (1935).
a) Repetição: refere-se ao número de parcelas que receberão um mesmo tratamento. Os tratamentos
devem ser repetidos, possibilitando, assim, estimar o erro experimental sem o qual não seria possível realizar
testes de hipóteses. O uso de um número adequado de repetições possibilita uma boa estimativa do erro
experimental, melhorando as estimativas de interesse. É fácil entender que o teste de hipóteses será tanto
mais preciso quanto menor for a estimativa do erro experimental que, em realidade, reflete a variância da
média dos tratamentos. No entanto, o número de repetições pode ser limitado, por exemplo, pelo número de
tratamentos que serão comparados, pela disponibilidade de material e de área experimental, entre outros
fatores.
b) Casualização: refere-se à distribuição aleatória dos tratamentos às parcelas de modo que todas as
parcelas tenham a mesma chance de receber qualquer um dos tratamentos. Com isso, a casualização evita
que determinado tratamento seja favorecido e garante que os erros sejam independentes (Mead & Curnow,
1983). Alguns programas computacionais elaboram planilhas de campo já com os tratamentos aleatorizados,
como por exemplo, o GENES, SISVAR e outros.
c) Controle local: a idéia básica do controle local é a partição do conjunto total de parcelas em
subconjuntos (blocos) que sejam os mais homogêneos possíveis. Para Hinkelmann & Kempthorne (1994), o
princípio do controle local é o reconhecimento de padrões supostamente associados às parcelas. Este
princípio é utilizado para atenuar problemas de heterogeneidade ambiental (por exemplo de solo, de
distribuição de água no caso de experimentos irrigados, etc.).
3.2. Pressuposições de uma análise de variância
Quando se realiza análise de variância, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
a) os efeitos de tratamentos e ambientes devem ser aditivos porque a variação será decomposta
(Y=m+trat+erro).
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b) Os erros experimentais devem ser aleatórios, independentes e normalmente distribuídos com
média zero e variância comum (homogeneidade de variância).
• Aleatório: o único manejo que pode variar no experimento é o que se está testando;
• Independência dos erros: o erro deve ser independente da média, não pode haver
associação do erro com a média;
• Sem a distribuição normal dos erros não pode aplicar testes;
• Homogeneidade das variâncias: ao aplicar os testes, os erros precisam ser comuns para
todos os tratamentos.
3.3. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)
a) Características
- Os tratamentos são distribuídos nas parcelas de forma inteiramente casual (aleatória).
- O DIC possui apenas os princípios da casualização e da repetição, não possuindo controle local e, portanto,
as repetições não são organizadas em blocos.
- Normalmente é mais utilizado em experimentos de laboratório; experimentos em vasos ou bandejas em
casa de vegetação, onde há possibilidade de controle das condições ambientais. Nos experimentos em casa
de vegetação recomenda-se constantemente mudar as parcelas de posição para evitar diferenças ambientais
devido a posição da parcela na casa de vegetação. A instalação do DIC no campo experimental exige certa
homogeneidade das condições ambientais (como por exemplo, quanto à fertilidade do solo, distribuição
uniforme de água, etc.).
b) Vantagens
- Possui grande flexibilidade quanto ao número de tratamentos e repetições, sendo dependente, entretanto, da
quantidade de material e área experimental disponíveis.
- Pode-se ter DIC não balanceado, ou seja, com números de repetições diferentes entre tratamentos, o que
não leva a grandes alterações. Mas os testes de comparações múltiplas passam a ser aproximados e não mais
exatos. O ideal é que os tratamentos sejam igualmente repetidos.
- Considerando o mesmo número de parcelas e tratamentos avaliados, é o delineamento que possibilita o
maior grau de liberdade do erro.
c) Desvantagens
- Exige homogeneidade das condições experimentais. Se as condições não forem uniformes, como se
esperava antes da instalação do experimento, toda variação (exceto à devida a tratamentos) irá para o erro,
aumentando sua estimativa e reduzindo, portanto, a precisão do experimento.
d) Modelo estatístico do DIC
y�� = m + t� + e��, em que, y�� representa a observação do i-ésimo tratamento na j-ésima repetição;
m representa uma constante geral associada a esta variável aleatória; t� representa o efeito do i-ésimo
tratamento; e e�� representa o erro experimental associado a observação y��, suposto ter distribuição normal
com média zero e variância comum.
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e) Exemplo de DIC
Suponha que foi avaliado o peso seco da parte aérea (g/parcela) de 4 variedades de cana-de-açúcar.
O experimento foi instalado em casa de vegetação. O delineamento foi o inteiramente casualizado com 3
repetições. Cada parcela era constituída de 1 vaso com 3 plantas. Os dados de peso estão dispostos no
Quadro a seguir:
Peso seco da parte aérea (g/parcela) de 4 variedades de cana-de-açúcar (A, B, C e D) em um delineamento
inteiramente casualizado com 3 repetições.
Tratamento (Cultivares) Repetição Variável (Peso em g) Total dos Tratamentos A 1 200
730 A 2 280 A 3 250 B 1 390
1220 B 2 420 B 3 410 C 1 180
580 C 2 210 C 3 190 D 1 650
1885 D 2 610 D 3 625
Total Geral 4415
Croqui de campo
C A B B
D C C D
A B A D
A disposição das repetições de cada tratamento é realizada de forma totalmente aleatória às parcelas.
f) Esquema de análise de variância do DIC com fontes de variação e graus de liberdade
Considerando I tratamento e cada tratamento com J repetições, temos a representação esquemática
dos dados do exemplo acima num delineamento inteiramente casualizado.
Quadro dos dados:
Tratamento (Cultivares) Repetição Variável (Peso em g) Total dos Tratamentos 1 1 yij = y11 = 200
yi. = y1. = y11 + y12 + y13 = 730 1 2 yij = y12 = 280 1 3 yij = y13 = 250 2 1 yij = y21 = 390
yi. = y2. = y21 + y22 + y23 = 1220 2 2 yij = y22 = 420 2 3 yij = y23 = 410
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3 1 yij = y31 = 180
yi. = y3. = y31 + y32 + y33 = 580 3 2 yij = y32 = 210 3 3 yij = y33 = 190 4 1 yij = y41 = 650
yi. = y4. = y41 + y42 + y43 = 1885 4 2 yij = y42 = 610 4 3 yij = y43 = 625
Total Geral y.. = 4415
Quadro da análise de variância:
Fonte de Variação
(FV)
Grau de Liberdade
(GL)
Soma de Quadrado
(SQ)
Quadrado Médio
(QM)
Teste F
(F)
Tratamento I-1 ∑ y�.�
j − y..�
ij SQ����GL����
QM����
QM�
Erro ou Resíduo I(J-1) SQ��� − SQ���� SQ�GL�
Total IJ-1 � y��� − y..�
ij
Média Geral #Y$..% = y..ij
Coeficiente de Variação = CV#%% = )*+,-$..
. 100
I = nº de tratamentos; J = nº de repetições
Resolvendo o exemplo anterior, temos:
GLTot = (4 x 3) – 1 = 11
GLTrat = 4 - 1 = 3
GLE = 4 (3-1) = 8
Considerando C = y..
2
ij, temos:
SQTot = (2002 + 2802 + 2502 + 3902 + 4202 + 4
102 + 1802 + 4102 + 1902 + 6502 + 6102 + 6252) - 001230 4 5
SQTot =350972,917
SQTrat = 675839 1��839 2:839 1::235 ; − C = 345956,250
SQE = 350972,917 - 345956,250 = 5016,667
QMTrat = 502<2=,�28
5 = 115318,750
QME = 5016,667
8 = 627,083
Fc = 11251:,728
=�7,8:5 = 183,897
Y$.. = 00120 4 5 = 367,917
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CV#%% = √=�7,8:55=7,<17 . 100 = 6,81
Quadro da análise de variância:
FV GL SQ QM Fc
Tratamento 3 345956,250 115318,750 183,897
Erro ou Resíduo 8 5016,667 627,083
Total 11 350972,917
Média 367,917
CV#%% 6,81
g) Conclusão e interpretação da análise de variância
Para verificar a significância do teste F, num nível α pré-estabelecido, o valor de F calculado (Fc) é
comparado com o valor de F tabelado (Ft). O valor de Ft é obtido da seguinte forma: Ft = Fα (GLTrat; GLE),
onde o valor do GLTrat é observado para identificar a coluna e o valor do GLE é observado para identificar a
linha. O valor da tabela encontrado mediante a intercessão da linha e coluna será o valor de Ft. Deve-se
observar o valor de Ft para α a 5% (Anexo 3)e 1% (Anexo 4). Assim:
- Se o valor de F calculado é maior ou igual que o valor de F tabelado (Fc ≥ Ft), rejeita-se H0, diz-se que o
teste foi significativo no nível de probabilidade esperado, logo existe diferença significativa entre os
tratamentos.
- Se o valor de F calculado é menor que o valor de F tabelado (Fc < Ft), não rejeita-se H0, diz-se que o teste
foi não significativo, logo não existe diferença significativa entre os tratamentos.
No exemplo acima, temos:
- Hipóteses
H0: trat 1 = trat 2 = trat 3 = trat 4
H1: trat 1 ≠ trat 2 ≠ trat 3 ≠ trat 4
- Fc = 183,897
- Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F5% (3; 8) = 4,07 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F1% (3; 8) = 7,59 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc ≥ Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os tratamentos ao nível de
1% de probabilidade de erro. Ou seja, as cultivares de cana de açúcar avaliadas no experimento acima
diferem estatisticamente quanto ao peso de massa seca.
As médias dos tratamentos são calculadas conforme a seguinte fórmula Y$�. = -@.� . Assim, temos:
Y$1. = 7303 = 243,33 Y$5. = 580
3 = 193,33
Y$�. = 12203 = 406,67 Y$0. = 1885
3 = 628,33
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3.4. Delineamento em Blocos Casualizados (DBC)
a) Características
Os tratamentos são distribuídos aleatoriamente em blocos (princípio do controle local) de modo que
haja maior uniformidade possível dentro de cada bloco. O número de parcelas por bloco é igual ao número
de tratamentos, ou seja, cada bloco deverá conter todos os tratamentos. O DBC possui os três princípios
básicos da experimentação: casualização, repetição e controle local e, portanto, as repetições são organizadas
em blocos. Normalmente, é o delineamento mais utilizado em condições de campo. A eficiência do DBC
depende da uniformidade dentro de cada bloco, podendo haver heterogeneidade entre blocos. Os blocos
podem ser instalados na forma quadrada, retangular ou irregular, desde que seja respeitada a uniformidade
dentro do bloco.
b) Vantagens
- Controla diferenças nas condições ambientais de um bloco para outro.
- Leva a uma estimativa mais exata da variância residual, uma vez que a variação ambiental entre blocos é
isolada.
d) Desvantagens
- Há uma redução no número de graus de liberdade do erro, pois o DBC utiliza o princípio do controle local.
- O número de tratamentos a ser utilizado é limitado pela exigência de homogeneidade dentro dos blocos,
não podendo ser muito elevado.
e) Modelo estatístico do DBC
y�� = m + b� + t� + e��, em que, y�� representa a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco;
m representa uma constante geral associada a esta variável aleatória; b� representa o efeito do j-ésimo bloco;
t� representa o efeito do i-ésimo tratamento; e e�� representa o erro experimental associado a observação y��,
suposto ter distribuição normal com média zero e variância comum.
f) Exemplo de DBC
Estudou-se a influência de 4 tipos de cobertura morta (sorgo, crotalária, milheto e vegetação
espontânea) no peso seco de brócolis. O experimento foi instalado em DBC com 5 repetições. Os dados de
peso seco estão dispostos na Tabela a seguir:
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Peso seco (kg/parcela) de brócolis em um experimento em blocos casualizados (DBC) com 5 repetições em que foi avaliada a influência de 4 tipos de cobertura morta (1: sorgo, 2: crotalária; 3: milheto e 4: vegetação espontânea)
Tipos de cobertura morta Repetição Peso seco (kg/parcela) Sorgo 1 yij = y11 = 72,8 Sorgo 2 yij = y12 = 58,3 Sorgo 3 yij = y13 = 50,4 Sorgo 4 yij = y14 = 51,6 Sorgo 5 yij = y15 = 59,0
Crotalária 1 yij = y21 = 69,0 Crotalária 2 yij = y22 = 64,1 Crotalária 3 yij = y23 = 72,1 Crotalária 4 yij = y24 = 73,6 Crotalária 5 yij = y25 = 65,0 Milheto 1 yij = y31 = 45,3 Milheto 2 yij = y32 = 60,9 Milheto 3 yij = y33 = 67,2 Milheto 4 yij = y34 = 66,2 Milheto 5 yij = y35 = 52,0
Espontânea 1 yij = y41 = 66,5 Espontânea 2 yij = y42 = 67,4 Espontânea 3 yij = y43 = 59,3 Espontânea 4 yij = y44 = 27,4 Espontânea 5 yij = y45 = 39,0 Total Geral 1187,1
Totais dos Tratamentos
yi. = y1. = y11 + y12 + y13 + y14 + y15 = 292,1
yi. = y2. = y21 + y22 + y23 + y24 + y25 = 343,8
yi. = y3. = y31 + y32 + y33 + y34 + y35 = 291,6
yi. = y4. = y41 + y42 + y43 y44 + y45 = 259,6
Totais dos blocos
y.j = y.1 = y11 + y21 + y31 + y41 = 253,6
y.j = y.2 = y12 + y22 + y32 + y42 = 250,7
y.j = y.3 = y13 + y23 + y33 + y43 = 249,0
y.j = y.4 = y14 + y24 + y34 + y44 = 218,8
y.j = y.5 = y15 + y25 + y35 + y45 = 215,0
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Croqui de Campo
Bloco 1 2 3 1 4
Bloco 2 4 1 2 3
Bloco 3 2 1 4 3
Bloco 4 3 2 1 4
Bloco 5 1 4 3 2
A disposição dos tratamentos é realizada de forma aleatória dentro dos blocos.
g) Esquema de análise de variância do DBC com fontes de variação e graus de liberdade
No DBC as repetições representam os blocos, assim o quadro de análise de variância para os dados de
um DBC é expresso de uma maneira geral por:
Quadro da análise de variância:
FV GL SQ QM F
Bloco J-1 � y.��
i − y..�
ij SQJGLJ
QMJQM�
Tratamento I-1 ∑ y�.�
j − y..�
ij SQ����GL����
QM����
QM�
Erro ou Resíduo (I-1) (J-1) SQ��� − SQ���� − SQJ SQ�GL�
Total IJ-1 � y��� − y..�
ij
Média Geral #Y$..% = y..ij
Coeficiente de Variação = CV#%% = )*+,-$..
. 100
I = nº de tratamentos; J = nº de blocos
Resolvendo o exemplo anterior, temos:
GLTot = (4 x 5) – 1 = 19
GLB = (5-1) = 4
GLTrat = (4-1) = 3
GLE = (4-1) (5-1) = 12
SQTot = (72,82 + 69,02 + … + 39,02) – 11:7,13
0 4 2 = 2748,7495
SQTrat = 6�<�,139 … 9 1::2�2<,=32 ; − C = 728,3935
Estatística Experimental Prof. Dr. Willian Krause
13
SQJ = �25,=39 …9 �12,830 − C = 355,4020
SQE = 2748,7495 – 728,3935 – 355,4020 = 1664,9540
QMTrat = 7�:,5<52
5 = 242,7978
QMB = 522,08�8
0 = 88,8505
QME = 1==0,<208
:1� = 138,7462
Fc = �0�,7<7: 15:,70=� = 1,750 Média = 11:7,1
0 4 2 = 59,4 CV#%% = √15:,70=�2<,0 . 100 = 19,83
Quadro da análise de variância:
FV GL SQ QM Fc
Bloco 4 355,4020 88,8505 0,640
Tratamento 3 728,3935 242,7978 1,750
Erro ou Resíduo 12 1664,9540 138,7462
Total 19 2748,7495
Média 59,4
CV#%% = 6,81 19,83
h) Conclusão e interpretação da análise de variância
Para o DBC, valem as mesmas considerações realizadas para o DIC.
No exemplo acima, temos:
- Hipóteses
H0: trat 1 = trat 2 = trat 3 = trat 4
H1: trat 1 ≠ trat 2 ≠ trat 3 ≠ trat 4
- Fc = 1,750
- Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F5% (3; 12) = 3,49 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F1% (3; 12) = 5,95 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc < Ft, não rejeita-se H0. Desta forma, não existe diferença significativa entre os tratamentos.
Ou seja, os quatro tipos de cobertura morta avaliadas no experimento acima não influenciaram sobre o peso
seco de brócolis.
As médias dos tratamentos são calculadas conforme a seguinte fórmula Y$�. = -@.� . Assim, temos:
Y$1. = 292,15 = 58,42 Y$5. = 291,6
5 = 58,32
Y$�. = 343,85 = 68,76 Y$0. = 259,6
5 = 51,92
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14
3.5. Experimentos fatoriais
a) Características
Em alguns experimentos, o pesquisador avalia dois ou mais tipos de tratamentos e deseja verificar se
há interação entre estes tipos. Tais experimentos são denominados experimentos fatoriais e os tipos de
tratamentos são denominados fatores. As categorias (subdivisões) de cada fator são ditas níveis do fator.
Como exemplo, considere um experimento em que se comparou o efeito de 3 cultivares de maracujá (FB
100, BRS Ouro Vermelho e IAC 275) e o efeito de um determinado produto químico para o controle da
verrugose (Cobre-S, Recop). Neste caso, existem dois fatores: cultivares e produto químico. Os níveis do
fator cultivar são 3 ((FB 100, BRS Ouro Vermelho e IAC 275) e do produto químico são 2 (Cobre-S,
Recop).
Costuma-se representar o fatorial pela multiplicação dos níveis. No exemplo anterior o fatorial é 3x2
(fatorial 3 por 2), assim fica claro que existem dois fatores, o primeiro fator com 3 níveis de cultivar e o
segundo com 2 níveis de produto. O número total de tratamentos avaliados também é dado pela
multiplicação dos níveis, ou seja, no exemplo são avaliados 3x2 = 6 tratamentos avaliados (1: FB 100 com
Cobre-S; 2: FB 100 com Recop; 3: BRS Ouro Vermelho com Cobre-S; 4: BRS Ouro Vermelho com Recop;
5: IAC 275 com Cobre-S; 6: IAC 275 com Recop. Se fossem, por exemplo, 3 fatores com 5, 2 e 3 níveis para
cada fator respectivamente, a representação seria: fatorial 5x2x3, sendo avaliado um total de 30 tratamentos e
assim por diante. Vale lembrar que os experimentos fatoriais não são delineamentos e sim um esquema de
desdobramento de graus de liberdade de tratamentos, e podem ser instalado em qualquer dos delineamentos
experimentais, DIC, DBC, etc.
b) Vantagens
- Permite estudar os efeitos principais dos fatores e os efeitos das interações entre eles.
c) Desvantagens
- Como os tratamentos correspondem a todas as combinações possíveis entre os níveis dos fatores, o número
de tratamentos a ser avaliado pode aumentar muito, não podendo ser distribuídos em blocos completos
casualizados devido à exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. Isto pode levar a
complicações na análise, sendo preciso lançar mão de algumas técnicas alternativas (como por exemplo, o
uso de blocos incompletos).
- A análise estatística e a interpretação dos resultados pode tornar-se um pouco mais complicada que nos
experimentos simples.
d) Modelo estatístico do fatorial
O modelo a seguir corresponde a um modelo de um delineamento em blocos casualizados (DBC) em
esquema fatorial com 2 fatores (A e D), mas pode ser estendido para os casos em que há mais fatores,
incluindo os fatores isolados e as interações duplas, triplas e outras entre os fatores.
Y�L� = m + b� + A� + DL + #AD%�L + e�L� em que, Yikj é o valor observado referente a parcela que recebeu o i-ésimo nível do fator A e o k-ésimo nível
do fator D no j-ésimo bloco; m representa uma constante geral; bj representa o efeito do j-ésimo bloco; Ai
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15
representa o efeito do i-ésimo nível do fator A; D representa o efeito do k-ésimo nível do fator D; (AD)ik
representa a interação entre o efeito do i-ésimo nível do fator A e o efeito do k-ésimo nível do fator D e eikj
representa o erro experimental associado à observação Yikj, suposto ter distribuição normal com média zero e
variância comum.
e) Exemplo de fatorial
Em um experimento em blocos casualizados com 4 repetições, no esquema fatorial 2x3 foi avaliado
o efeito de 2 variedades de cana de açúcar (V1 e V2) e 3 tipos de inoculantes (I1, I2 e I3) quanto ao peso do
colmo (ton ha-1). Os dados estão apresentados na Tabela a seguir.
Tabela. Peso do colmo (ton/ha) para os 6 tratamentos de um experimento em blocos casualizados (DBC),
com 4 repetições, em esquema fatorial 2x3
Variedades de cana (Fator A)
Tipos de inoculantes (Fator D)
Repetição Peso do colmo (ton/ha) Totais (A x D)
1 1 1 yikj = y111 = 238,1
yik. = y11. = 925,4 1 1 2 yikj = y112 = 256,0 1 1 3 yikj = y113 = 267,7 1 1 4 yikj = y114 = 163,6 1 2 1 yikj = y121 = 223,6
yik. = y12. = 835,8 1 2 2 yikj = y122 = 217,0 1 2 3 yikj = y123 = 184,7 1 2 4 yikj = y124 = 210,5 1 3 1 yikj = y131 = 286,8
yik. = y13. = 977,1 1 3 2 yikj = y132 = 205,8 1 3 3 yikj = y133 = 231,6 1 3 4 yikj = y134 = 252,9 2 1 1 yikj = y211 = 347,5
yik. = y21. = 1541,0 2 1 2 yikj = y212 = 403,9 2 1 3 yikj = y213 = 347,0 2 1 4 yikj = y214 = 442,6 2 2 1 yikj = y221 = 351,2
yik. = y22. = 1499,0 2 2 2 yikj = y222 = 452,5 2 2 3 yikj = y223 = 396,9 2 2 4 yikj = y224 = 298,4 2 3 1 yikj = y231 = 372,3
yik. = y23. = 1517,1 2 3 2 yikj = y232 = 406,5 2 3 3 yikj = y233 = 374,5 2 3 4 yikj = y234 = 363,8
Total Geral y... = 7295,4
Totais dos blocos
y..j = y..1 = y111 + y121 + y131 + y211 + y221 + y231 = 1819,5
y..j = y..2 = y112 + y122 + y132 + y212 + y222 + y232 = 1941,7
y..j = y..3 = y113 + y123 + y133 + y213 + y223 + y233 = 1802,4
y..j = y..4 = y114 + y124 + y134 + y214 + y224 + y234 = 1731,8
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Totais da Interação AxD (variedades de cana x tipos de inoculantes)
yik. = y11. = y111 + y112 + y113 + y114 = 925,4
yik. = y12. = y121 + y122 + y123 + y124 = 835,8
yik. = y13. = y131 + y132 + y133 + y134 = 977,1
yik. = y21. = y211 + y212 + y213 + y214 = 1541,0
yik. = y22. = y221 + y222 + y223 + y224 = 1499,0
yik. = y23. = y231 + y232 + y233 + y234 = 1517,1
Tabela Auxiliar
D1 D2 D3 Total A1 925,4(4) 835,8(4) 977,1(4) 2738,3(12) A2 1541,0(4) 1499,0(4) 1517,1(4) 4557,1(12)
Total 2466,4(8) 2334,8(8) 2494,2(8) 7295,4(24) *Os valores entre parênteses correspondem ao número de parcelas que deu origem.
Totais do Fator A (variedades de cana)
yi.. = y1.. = y111 + y112 + y113 + y114 + y121 + y122 + y123 + y124 + y131 + y132 + y133 + y134 = 2738,3
yi.. = y2.. = y211 + y212 + y213 + y214 + y221 + y222 + y223 + y224 + y231 + y232 + y233 + y234 = 4557,1
Totais do Fator D (tipos de inoculantes)
y.k. = y.1. = y111 + y112 + y113 + y114 + y211 + y212 + y213 + y214 = 2466,4
y.k. = y.2. = y121 + y122 + y123 + y124 + y221 + y222 + y223 + y224 = 2334,8
y.k. = y.3. = y131 + y132 + y133 + y134 + y231 + y232 + y233 + y234 = 2494,2
Croqui de Campo
Tratamento 1 = variedade de cana 1, inoculante 1
Tratamento 2 = variedade de cana 1, inoculante 2
Tratamento 3 = variedade de cana 1, inoculante 3
Tratamento 4 = variedade de cana 2, inoculante 1
Tratamento 5 = variedade de cana 2, inoculante 2
Tratamento 6 = variedade de cana 2, inoculante 3
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Bloco 1 2 4 1 3 6 5
Bloco 2 5 2 6 1 4 3
Bloco 3 3 4 5 2 1 6
Bloco 4 6 1 3 4 5 2
A disposição dos tratamentos é realizada de forma aleatória dentro dos blocos.
g) Esquema de análise de variância do DBC num esquema fatorial com fontes de variação e graus de
liberdade
Quadro da análise de variância:
FV GL SQ QM F
Bloco J-1 � y..��
ik − y...�
ikj SQJGLJ
QMJQM�
(Tratamento) - - - -
Fator A I-1 � y�..�
kj − y...�
ikj SQPGLP
QMPQM�
Fator D K-1 � y.L.�
ij − y...�
ikj SQQGLQ
QMQQM�
Interação AxD (I-1) (K-1) � y�L.�
j − y...�
ikj − SQP − SQQ SQPQGLPQ
QMPQQM�
Erro ou Resíduo (IK-1) (J-1) SQ��� − SQJ − SQP − SQQ − SQPQ SQ�GL�
Total IKJ-1 � y�L�� − y...�
ikj
Média Geral #Y$...% = y...ikj
Coeficiente de Variação = CV#%% = )*+,-$...
. 100
I = níveis do Fator A; K = níveis do Fator D; J = nº de blocos
Resolvendo o exemplo anterior, temos:
SQTot = (238,12 + 256,02 + … + 363,82) – 7�<2,03� 4 5 4 0 = 172067,105
SQJ = 1:1<,239 …9 1751,:3� 4 5 − C = 3806,8083
SQA = 6�75:,5390227,135 4 0 ; − C = 137834,7267
SQD = 6�0==,039⋯9�0<0,�3� 4 0 ; − C = 1812,49
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SQAD = 6<�2,039⋯91217,130 ; − C − SQP − SQQ = 964,9733
SQE = 172067,105 – 3806,8083 – 137834,7267 – 1812,49 – 964,9733 = 27648,1067
QMB = 5:8=,:8:5
5 = 1268,9361
QMA = 157:50,7�=7
1 = 137834,7267
QMD = 1:1�,0<
� = 906,245
QMAD = <=0,<755
� = 482,4867
QME = �7=0:,18=7
12 = 1843,2071
Fator A
Fc = 157:50,7�=7
1:05,�871 = 74,78
Fator D
Fc = <8=,�02
1:05,�871 = 0,492
Fator AD
Fc = 0:�,0:=7 1:05,�871 = 0,262
Média = 7295,42 x 3 x 4 = 303,98
CV#%% = √27648,1067303,98 . 100 = 14,12
Quadro da análise de variância:
FV GL SQ QM Fc
Bloco (4-1) = 3 3806,8083 1268,9361 0,688
(Tratamento) (6-1) = 5 140612,19 28122,483 15,257
Fator A (2-1) = 1 137834,7267 137834,7267 74,78
Fator D (3-1) = 2 1812,49 906,245 0,492
AxD (2-1) (3-1) = 2 964,973 482,4867 0,262
Erro ou Resíduo (2 x 3 – 1) (4-1) = 15 27648,1067 1843,2071
Total 2 x 3 x 4 -1 = 23 172067,105
Média 14,12
CV#%% 303,98
h) Conclusão e interpretação da análise de variância
Fator A
- Hipóteses
H0: A1 = A2
H1: A1 ≠ A2
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- Fc = 74,78
- Ft = Fα (GLA; GLE) = F5% (1; 15) = 4,54 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLA; GLE) = F1% (1; 15) = 8,68 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc > Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os níveis do fator A ao
nível de 1% de probabilidade de erro. Ou seja, as variedades de cana avaliadas no experimento acima
diferiram entre si para a característica peso do colmo.
Fator D
- Hipóteses
H0: D1 = D2 = D3
H1: D1 ≠ D2 ≠ D3
- Fc = 0,492
- Ft = Fα (GLD; GLE) = F5% (2; 15) = 3,68 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLD; GLE) = F1% (2; 15) = 6,36 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc < Ft, não rejeita-se H0. Desta forma, não existe diferença significativa entre os níveis do fator
D. Ou seja, as variedades de cana avaliadas no experimento acima não diferiram entre si para a característica
peso do colmo.
Interação AD
- Hipóteses
H0: AD1 = ... = AD6
H1: AD1 ≠ ... ≠ AD6
- Fc = 0,262
- Ft = Fα (GLAD; GLE) = F5% (2; 15) = 3,68 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLAD; GLE) = F1% (2; 15) = 6,36 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc < Ft, não rejeita-se H0. Desta forma, a interação AD foi não significativa.
Quando a interação é significativa, temos que estudar o comportamento dos níveis de um fator
dentro de cada nível do outro fator. Quando a interação é não significativa podemos testar as hipóteses sobre
os efeitos principais dos fatores A e D.
Segue abaixo a Tabela com as médias:
Fator A Fator D
Y$�.. = Y�..kj Y$.L. = Y.L.
ij
Y$1.. = 2738,312 = 228,19 Y$.1. = 2466,4
8 = 308,3
Y$�.. = 4557,112 = 379,76 Y$.�. = 2334,8
8 = 291,8
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Y$.5. = 2494,28 = 311,8
Exemplo 2: Foram avaliados 7 cultivares de maracujá amarelo com e sem o uso da polinização
artificial, num esquema fatorial (2 x 7), com delineamento em blocos casualizados e 5 repetições. Os dados
estão na Tabela abaixo:
Polinização Artificial
Cultivares Rep Peso de Frutos
(g)
Polinização Artificial
Cultivares Rep Peso de Frutos
(g)
Com IAC 275 1 210,1
Sem IAC 275 1 109,2 Com IAC 275 2 138,6
Sem IAC 275 2 95,0 Com IAC 275 3 166,1
Sem IAC 275 3 131,7 Com IAC 275 4 169,2
Sem IAC 275 4 153,5 Com IAC 275 5 181,8
Sem IAC 275 5 173,2 Com IAC 277 1 149,7
Sem IAC 277 1 132,4 Com IAC 277 2 181,7
Sem IAC 277 2 161,0 Com IAC 277 3 170,2
Sem IAC 277 3 121,9 Com IAC 277 4 180,1
Sem IAC 277 4 172,0 Com IAC 277 5 166,3
Sem IAC 277 5 168,8 Com FB 100 1 242,8
Sem FB 100 1 85,5 Com FB 100 2 286,9
Sem FB 100 2 145,2 Com FB 100 3 194,3
Sem FB 100 3 187,9 Com FB 100 4 236,3
Sem FB 100 4 135,3 Com FB 100 5 261,3
Sem FB 100 5 166,5 Com FB 200 1 251,3
Sem FB 200 1 149,4 Com FB 200 2 295,3
Sem FB 200 2 220,9 Com FB 200 3 319,0
Sem FB 200 3 216,3 Com FB 200 4 247,1
Sem FB 200 4 160,4 Com FB 200 5 260,4
Sem FB 200 5 132,3 Com Sol do Cerrado 1 253,3
Sem Sol do Cerrado 1 167,4 Com Sol do Cerrado 2 239,3
Sem Sol do Cerrado 2 166,8 Com Sol do Cerrado 3 174,3
Sem Sol do Cerrado 3 121,4 Com Sol do Cerrado 4 236,3
Sem Sol do Cerrado 4 141,1 Com Sol do Cerrado 5 248,5
Sem Sol do Cerrado 5 147,7 Com Gigante Amarelo 1 171,2
Sem Gigante Amarelo 1 181,1 Com Gigante Amarelo 2 226,1
Sem Gigante Amarelo 2 182,0 Com Gigante Amarelo 3 228,7
Sem Gigante Amarelo 3 176,1 Com Gigante Amarelo 4 267,7
Sem Gigante Amarelo 4 132,5 Com Gigante Amarelo 5 280,2
Sem Gigante Amarelo 5 218,1 Com Ouro Vermelho 1 231,1
Sem Ouro Vermelho 1 155,9 Com Ouro Vermelho 2 278,8
Sem Ouro Vermelho 2 165,5 Com Ouro Vermelho 3 175,3
Sem Ouro Vermelho 3 176,7 Com Ouro Vermelho 4 204,2
Sem Ouro Vermelho 4 190,1 Com Ouro Vermelho 5 226,3
Sem Ouro Vermelho 5 205,8
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Os cálculos para a montagem do quadro da análise de variância é igual ao exemplo anterior. Dessa
forma o resultado seria:
Quadro da análise de variância:
FV GL SQ QM Fc
Bloco 4 6176,5043 1544,1261
Polinização (P) 1 69336,5926 69336,5926 74,684
Cultivares (C) 6 39050,1419 6508,357 7,01
P x C 6 14711,4887 2451,9148 2,641
Erro ou Resíduo 52 48276,507 928,3944
Total 69 177551,2345
Média 189,95
CV#%% 16,04
h) Conclusão e interpretação da análise de variância
Polinização (Fator A)
- Hipóteses
H0: Com = Sem
H1: Com ≠ Sem
- Fc = 74,684
- Ft = Fα (GLA; GLE) = F5% (1; 52) = 4,03 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLA; GLE) = F1% (1; 52) = 7,12 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc > Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os níveis do fator A ao
nível de 1% de probabilidade de erro. Ou seja, a polinização artificial influencia no peso do fruto de
maracujá.
As médias com e sem polinização artificial foram as seguintes: Y$�.. = [email protected]�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com Y$1.. = 7749,87 x 5 = 221,4
Sem Y$1.. = 5546,77 x 5 = 158,5
Cultivares (Fator D)
- Hipóteses
H0: IAC 275 = IAC 277 = ... = Ouro Vermelho
H1: IAC 275 ≠ IAC 277 ≠ ... ≠ Ouro Vermelho
- Fc = 7,01
- Ft = Fα (GLD; GLE) = F5% (6; 52) = 3,14 (Anexo 3)
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Ft = Fα (GLD; GLE) = F1% (6; 52) = 2,28 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc > Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os níveis do fator D ao
nível de 1% de probabilidade de erro. Ou seja, as cultivares diferiram entre si para a característica peso do
fruto de maracujá.
As médias das cultivares foram as seguintes: Y$.L. = -.T.��
Cultivares Peso do fruto (g)
IAC 275 152,8
IAC 277 160,4
FB 100 194,2
FB 200 225,2
Sol Cerrado 189,6
Gigante Amarelo 206,4
Ouro Vermelho 200,9
Polinização x cultivar (Interação AD)
- Hipóteses
H0: AD1 = ... = AD14
H1: AD1 ≠ ... ≠ AD14
- Fc = 2,641
- Ft = Fα (GLAD; GLE) = F5% (6; 52) = 3,14 (Anexo 3)
Ft = Fα (GLAD; GLE) = F1% (6; 52) = 2,28 (Anexo 4)
- Conclusão: Fc < Ft, rejeita-se H0. Desta forma, a interação foi significativa ao nível de 5% de probabilidade
de erro.
Quando a interação é não significativa podemos testar as hipóteses sobre os efeitos principais dos
fatores A e D. Mas quando a interação é significativa, temos que estudar o comportamento dos níveis de um
fator dentro de cada nível do outro fator.
Neste exemplo, como a interação foi significativa, temos que realizar o desdobramento para estudar
o comportamento dos níveis de um fator dentro de cada nível do outro fator.
Primeiramente vamos estudar os níveis do fator cultivar dentro dos níveis do fator polinização.
Desdobramento de cultivar dentro de com polinização, ou seja, D/A1: Y$�L. = -@T.�
Cultivares Peso do fruto (g)
IAC 275 173,1 IAC 277 169,6
FB 100 244,3 FB 200 274,3
Sol do cerrado 230,3
Gigante Amarelo 234,7
Ouro vermelho 223,1
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Desdobramento de cultivar dentro de sem polinização, ou seja, D/A2: Y$�L. = -@T.�
Cultivares Peso do fruto (g)
IAC 275 132,5 IAC 277 151,2 FB 100 144,1 FB 200 175,9
Sol do cerrado 148,9
Gigante Amarelo 177,9 Ouro vermelho 178,8
Agora estudaremos os níveis do fato polinização dentro dos níveis cultivar.
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 1 (IAC 275), ou seja, A/D1: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 132,5
Sem 173,1
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 2 (IAC 277), ou seja, A/D2: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 151,2
Sem 244,3
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 3 (FB 100), ou seja, A/D3: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 144,0
Sem 244,3
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 4 (FB 200), ou seja, A/D4: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 175,9
Sem 274,6
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 5 (Sol do Cerrado), ou seja, A/D5: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 148,9
Sem 230,3
Estatística Experimental Prof. Dr. Willian Krause
24
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 6 (Gigante Amarelo), ou seja, A/D6: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 177,9
Sem 234,8
Desdobramento de polinização dentro da cultivar 7 (Ouro Vermelho), ou seja, A/D5: Y$�L. = -@T.�
Polinização Artificial Peso do fruto (g)
Com 178,8
Sem 223,1