Estatistica regular 1

CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA

www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 3

AULA 01 Olá, amigos!

Espero que estejam todos bem! E bem dispostos, a propósito!

Isso porque considero esta nossa primeira aula como a mais importante delas. Conforme dito no final do encontro anterior, exploraremos hoje tudo o que pode ser dito acerca de uma Distribuição de Freqüências!

Sem mais delongas, demos início ao nosso estudo.

A Distribuição de Freqüências é nada mais que uma tabela, por meio da qual conheceremos o resultado de uma pesquisa realizada.

O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de duzentas pessoas que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma delas lêem por ano. (Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito para uma tabela, e apresentado da forma seguinte:

Classes

(número de livros lidos por ano)

fi (pessoas)

0 !--- 5

5 !--- 10

10 !--- 15

15 !--- 20

108

72

18

2

Total 200 Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências! Trata-se, portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica marcante da Distribuição de Freqüências é que a variável estudada estará subdivida em classes!

As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito intuitivo. Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro classes:

1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano;

2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano;

3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano;

4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano;

Observem que cada classe será margeada por dois limites, chamados respectivamente de limite inferior (linf) e limite superior (lsup).

Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e no fim de cada classe. Assim, teremos que:

1ª Classe) linf=0 e lsup=5






Facilmente vocês já observaram que onde acaba uma classe, começa a próxima! Não é verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte.

Agora uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas olhando para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano entrará na contagem da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente:

Classes (número de livros

lidos por ano)

fi (pessoas)

0 !--- 5

5 !--- 10

10 !--- 15

15 !--- 20

108

72

18

2

Total 200

Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e aí? Quem lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou terceira?

Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de intervalo de classe! E esse conceito será definido com base no símbolo que estiver presente entre os limites da classe.

No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: !----

Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos melhor:

Linf Lsup

A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará incluído no intervalo de classe. Falamos em intervalo fechado à esquerda.

A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este limite estará excluído do intervalo! Falaremos em intervalo aberto à direita.

Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos:

5 10

Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez que 10 é limite superior desta classe, e aqui temos que o intervalo é aberto à direita. Ou seja, o limite superior está excluído desta contagem, embora faça parte da classe como um de seus limites!

Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define o intervalo é a simbologia que separa os limites das classes.



Este símbolo que vimos acima (ı----) é aquele com o qual trabalharemos sempre! É, por assim dizer, a simbologia clássica!

Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e aberto à esquerda.

E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que em uma Distribuição de Freqüências, trabalha-se sempre com variáveis contínuas!

Todos lembrados do que é uma variável contínua? É aquela que pode assumir qualquer resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver qualquer descontinuidade.

E se não pode haver descontinuidade entre resultados possíveis da variável, faz-se necessário que onde termine uma classe, comece a próxima.

Alguém dirá: mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável discreta! Sim. Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma Distribuição de Freqüências. Não fui muito rigoroso com o exemplo. Ok?

Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na Distribuição de Freqüências, trabalhamos com variáveis contínuas!

Outras simbologias há na definição de outros tipos de intervalos de classe. Como não são de nosso interesse, não trataremos a seu respeito.

O próximo elemento que estudaremos é a amplitude da classe. Um conceito muito simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de tamanho. Amplitude da classe será, portanto, o tamanho da classe. Representaremos esse conceito com a letra h (minúscula).

Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe apresentam a mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos:

Classes 0 !--- 5

5 !--- 10

10 !--- 15

15 !--- 20

h=5

h=5

h=5

h=5

Pergunta: é obrigado que todas as classes tenham a mesma amplitude? Não! Não é obrigado! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de Freqüência trazidas em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma regra. É apenas o usual. Na prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e apresentou uma Distribuição em que nem todas as classes possuíam a mesma amplitude.

Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de estarmos diante de uma Distribuição de Freqüência com classes de amplitudes diversas. Ok? A rigor, não muda quase nada.

Falemos agora sobre o chamado Ponto Médio. O que vem a ser? Ora, o nome é sugestivo: Ponto Médio (PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da classe. Cada classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível determinar o PM de uma classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo. Vejamos: qual é o valor que está exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro!

Daí, 2,5 é o PM da primeira classe.



Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !--- 24,5. Pode ser que não seja assim tão imediata a determinação desse PM.

Assim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse resultado por dois. Ou seja: PM=(Linf+Lsup)/2.

Assim, para a classe 19,5 !--- 24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22.

Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de Freqüências, e construamos a coluna dos Pontos Médios. Teremos:

Classes PM 0 !--- 5

5 !--- 10

10 !--- 15

15 !--- 20

2,5

7,5

12,5

17,5

Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim? Vemos que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma constante. Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre igual ao anterior somado a uma constante.

Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5? Foi este também o valor da amplitude das classes!

Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de Freqüências tiverem a mesma amplitude (mesmo h), observaremos que o próximo Ponto Médio será igual ao anterior somado àquela amplitude.

É este o primeiro atalho do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas não deixa de ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios, a primeira coisa a observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o caso, você irá apenas descobrir o valor do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira classe). Daí, basta sair somar este PM com o h e prosseguir realizando essa mesma operação, até chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que h=5, logo, teremos:

Classes PM 0 !--- 5

5 !--- 10

10 !--- 15

15 !--- 20

2,5 1º PM, calculado!

(2,5+5) = 7,5

(7,5+5) = 12,5

(12,5+5)= 17,5

Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de Freqüências. Agora precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que vêm a ser essas tais freqüências? É sobre isso que falaremos a seguir.

Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo:



Classes (número de livros

lidos por ano)

fi (pessoas)

0 !--- 5

5 !--- 10

10 !--- 15

15 !--- 20

108

72

18

2

Total 200

Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que participa da classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna do fi significa que há 108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por ano (cinco exclusive).

Assim, concluímos: a coluna do fi, chamada freqüência absoluta simples, indica o número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É a freqüência de mais fácil compreensão! E a mais importante delas também! Precisaremos conhecer os valores da fi para podermos resolver quase todas as questões de uma prova.

Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiro passo, saber reconhecer o tipo de freqüência apresentado na tabela da prova! Uma vez feito esse reconhecimento, se a freqüência fornecida houver sido a fi (freqüência absoluta simples), então já podemos resolver as questões. Caso contrário, se a prova houver fornecido um outro tipo de coluna de freqüência, diferente do fi, então precisaremos fazer algum trabalho preliminar, no intuito de transformar a coluna de freqüência da tabela na freqüência absoluta simples fi.

Ou seja, diante de uma Distribuição de Freqüências, convém seguirmos os seguintes passos:

1º) Reconhecer o tipo de freqüência fornecida na tabela;

2º-A) Se for a freqüência absoluta simples (fi), ótimo: começamos a resolver a prova;

2º-B) Se for um outro tipo de freqüência, diferente do fi, teremos que fazer algum trabalho preliminar, no sentido de transformar a freqüência fornecida na freqüência absoluta simples (fi).

Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas deste Curso, se não souber fazer esse tal de trabalho preliminar! Saber fazer isso se tornou, por assim dizer, a alma da prova! Ok? Vamos a esse estudo.

Existem seis tipos de colunas de freqüências, as quais podem estar presentes numa Distribuição. A primeira delas já conhecemos: a fi, freqüência absoluta simples.

Há ainda outros dois tipos de freqüências absolutas: a fac – freqüência absoluta acumulada crescente, e a fad – freqüência absoluta acumulada decrescente.

Haverá também três tipos de freqüências relativas: a Fi, freqüência relativa simples; a Fac – freqüência relativa acumulada crescente; e a Fad – freqüência relativa acumulada decrescente.

Relacionando-as todas, teremos:



Freqüências Absolutas:

- fi : freqüência absoluta simples;

- fac: freqüência absoluta acumulada crescente;

- fad: freqüência absoluta acumulada decrescente.

Freqüências Relativas:

- Fi : freqüência relativa simples;

- Fac: freqüência relativa acumulada crescente;

- Fad: freqüência relativa acumulada decrescente.

A primeira delas (fi) está em destaque para que não nos esqueçamos: é a mais importante de todas! É a imprescindível. Teremos que conhecê-la previamente, antes de começarmos a resolver a prova!

Vou criar outro exemplo de Distribuição de Freqüências. Ok? Suponhamos que a tabela abaixo represente os pesos de um grupo de crianças. Certo? Teremos:

Classes (pesos, em Kg)

fi

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

Já sabemos o significado da fi. Assim, temos que 3 crianças têm peso até 10 quilos (exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças, peso variando entre 20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30 e 40 quilos. Assim, se perguntarmos quantos elementos há neste conjunto, ou seja, quantas crianças há neste grupo? Para responder isso, basta somarmos os valores da coluna do fi.

Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um n (minúsculo). Assim, teremos:


fi

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

n=20

Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto será encontrado somando a coluna do fi. Guarde isso!



Suponhamos agora que precisamos construir a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente).

Neste caso, devemos saber do seguinte:

1º) A fac é construída diretamente a partir da fi. (São freqüências irmãs!)

2º) A fac será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores são crescentes, partindo da primeira classe;

3º) A fac e a fi apresentam o mesmo valor naquela classe em que a fac começa a ser construída, ou seja, são iguais na primeira classe.

4º) Os demais valores da fac serão obtidos somando-se o valor da fac anterior com a fi da diagonal. (Isso será mais bem esclarecido quando virmos o exemplo).

Voltemos à tabela do nosso exemplo e sigamos os passos acima:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

3

n=20

E para construir os demais valores da fac, seguiremos o comando de somar com a diagonal. Teremos:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

3

9 (=3+6)

N=20

E depois:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

3

9

16 (=9+7)

n=20

Iguais na primeira classe



E finalmente:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

3

9

16

20 (=16+4)

n=20

Observação importante: a fac termina sempre com o mesmo valor de n (número de elementos do conjunto)!

É isso! Aprendemos a construir a coluna da fac, a partir da freqüência absoluta simples (fi). Todos entenderam? Basta lembrar:

# De fi para fac:

fi e fac são freqüências irmãs!

fi e fac são iguais na primeira classe;

o resto da fac se constrói somando com a diagonal.

E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a fi partindo da fac? Como se fará isso? Vejamos:

1º) fac e fi são iguais na primeira classe. Teremos: Classes

(pesos, em Kg) fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

3

n=20

2º) O restante da coluna da fi será construída subtraindo a próxima fac da fac anterior. Vejamos como se faz isso:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

(9-3=) 6

3

9

16

20

Iguais na primeira classe



E depois:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

(16-9=) 7

3

9

16

20

n=20

E finalmente:


fi

fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

(20-16=) 4

3

9

16

20

n=20

Daí, concluímos, que:

# De fac para fi:

fi e fac são freqüências irmãs!

fi e fac são iguais na primeira classe;

o resto da fi se constrói subtraindo a próxima fac da fac anterior.

Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a coluna da freqüência absoluta simples fi e pretendemos construir a coluna da fad – freqüência absoluta acumulada decrescente.

A primeira coisa a saber é que fi e fad são freqüências irmãs, ou seja, são construídas uma por meio da outra.

A fad, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nesta última classe, fad e fi terão o mesmo valor!

O restante da coluna da fad seguirá um comando já conhecido nosso. Qual? Somar com a diagonal. Vejamos:



1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos: Classes

(pesos, em Kg) fi

fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

4

n=20

2º) Subindo e somando com a diagonal, teremos:


fi

fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

11 (=4+7)

4

n=20

E depois:


fi

fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

17 (=11+6)

11

4

n=20

E, finalmente:


fi

fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

20 (=17+3)

17

11

4

n=20

Iguais na última classe



Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmos construir a coluna da freqüência absoluta simples fi a partir do conhecimento da freqüência absoluta acumulada decrescente fad, como fazê-lo?

Simples. Basta lembrar que: 1º) fi e fad são iguais na última classe; 2º) O restante da coluna da fi será construída fazendo próxima acumulada menos acumulada anterior. Vejamos:

1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos: Classes

(pesos, em Kg) fi

fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

4

20

17

11

4

2º) O restante da coluna da fi será construída subindo e subtraindo a próxima fad da fad anterior. Vejamos como se faz isso:

Classes fi fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

(11-4=) 7

4

20

17

11

4

E depois:

Classes fi fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

(17-11=) 6

7

4

20

17

11

4

E finalmente:

Classes fi fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

(20-17=) 3

6

7

4

20

17

11

4

É isso!

Iguais na última classe



Se tentarmos esquematizar o que vimos até aqui, podemos fazê-lo da seguinte forma:

De simples para acumulada: somar com a diagonal

fac (iguais na primeira classe)

fi

fad (iguais na última classe)

De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior

Agora passamos a falar sobre as Freqüências Relativas!

A primeira coisa a saber é que as freqüências relativas dizem respeito a valores percentuais, ou seja, a porcentagens de elementos! Ok? Essa é a diferença entre freqüências absolutas e relativas:

Freqüências Absolutas: dizem respeito a número de elementos;

Freqüências Relativas: dizem respeito a porcentagem de elementos.

Se quisermos construir a coluna da Freqüência Relativa Simples Fi, partindo do conhecimento da freqüência absoluta simples fi, faremos apenas o seguinte:

1º) Compararemos os somatórios das duas colunas (fi e Fi), sabendo que:

a soma da freqüência simples é sempre n (número de elementos do conjunto); e

a soma da freqüência relativa simples é sempre 100%.

2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes dois somatórios. Ou seja, compararemos n com 100%, e descobriremos qual a relação entre esses dois valores. (Vocês vão já entender isso melhor!)

Voltemos ao nosso exemplo. Teremos:

Classes fi Fi

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

n=20 100%

1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor do que 100, então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem: multiplicaremos por quanto? Por 5, já que 20x5=100.

Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas de freqüências (fi e Fi), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demais valores da freqüência conhecida, e teremos construído a coluna desconhecida!

Vejamos:



Classes fi Fi

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

15% (=3x5)

30% (=6x5)

35% (=7x5)

20% (=4x5)

n=20 100%

(x5)

A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para se construir a coluna da fi partindo do conhecimento da Fi. Teremos:

Classes fi Fi

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

15%

30%

35%

20%

n=? 100%

Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valor do n (número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não revele o valor do n, adotaremos que n=100. Ok? (Isso foi feito na prova do AFRF de 2003)!

Suponhamos aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que n=20 elementos. Teremos:

Classes fi Fi

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3 (=15÷5)

6 (=30÷5)

7 (=35÷5)

4 (=20÷5)

15%

30%

35%

20%

n=20 100%

(÷5)

Lembrem-se apenas de pôr o sinal de porcentagem % nas freqüências relativas e de não colocá-lo nas freqüências absolutas!

Resta agora aprendermos como construir as colunas das freqüências relativas acumuladas (Fac e Fad). Para construí-las, partiremos de um mesmo lugar: da freqüência relativa simples Fi.

E o faremos seguindo o mesmo esquema utilizado nas transformações entre as freqüências absolutas. Teremos:




Fac (iguais na primeira classe)

Fi

Fad (iguais na última classe)


Vejamos estas transformações:

# De Fi para Fac:

Classes fi Fi Fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

15%

30%

35%

20%

15%

45% (=15%+30%)

80% (=45%+35%)

100% (=35%+20%)

n=20 100%

# De Fac para Fi:

Classes fi Fi Fac

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

15%

30% (=45%-15%)

35% (=80%-45%)

20% (=100%-80%)

15%

45%

80%

100%

n=20 100%

# De Fi para Fad:

Classes fi Fi Fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

15%

30%

35%

20%

100%(=85%+15%)

85% (=55%+30%)

55% (=20%+35%)

20%

n=20 100%



# De Fad para Fi:

Classes fi Fi Fad

0 !--- 10

10 !--- 20

20 !--- 30

30 !--- 40

3

6

7

4

15% (=100%-85%)

30% (=85%-55%)

35% (=55%-20%)

20%

100%

85%

55%

20%

n=20 100%

Certamente vocês observaram que a coluna da Freqüência Relativa Acumulada Crescente Fac termina sempre com 100%. E a da Freqüência Relativa Acumulada Decrescente começa sempre com 100%.

Será sempre assim! Anote:

Fac: apresenta 100% na última classe!

Fad: apresenta 100% na primeira classe!

Vocês perceberam também que as duas freqüências absolutas acumuladas (fac e fad) nascem da freqüência absoluta simples (fi). E viram que as duas freqüências relativas acumuladas (Fac e Fad) nascem da freqüência relativa simples (Fi).

Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e chegaremos ao seguinte:


fac (iguais na primeira classe)

fi

fad (iguais na última classe)

(comparam-se os dois somatórios)

Fac (iguais na primeira classe)

Fi

Fad (iguais na última classe)


Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna de freqüências em outra, até chegar à freqüência absoluta simples fi, é algo simplesmente fundamental.



Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceu Distribuições de Freqüências com as quais se precisaria fazer o trabalho preliminar de descobrir qual a freqüência daquela tabela e, a partir daquela freqüência, construir a fi. Vejamos abaixo duas destas Distribuições. Vamos a elas.

# (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue.

Classes de Salário Freqüências Acumuladas

( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Sol.: O primeiro passo nosso será descobrir que freqüência foi essa trazida na tabela. A primeira conclusão a tomar é se se trata de uma freqüência absoluta ou de uma freqüência relativa.

Será Freqüência Relativa em três casos:

1º) Se o enunciado o disser expressamente;

2º) Se houver um sinal de porcentagem (%) no cabeçalho da coluna;

3º) Se houver sinais de porcentagem nos valores da coluna.

Nesta tabela, nenhum sinal indicativo de freqüência relativa esteve presente, o que nos leva a concluir que estamos diante de uma coluna de freqüências absolutas.

Sabendo disso, resta-nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de freqüência absoluta é essa? Há três tipos: fi (freqüência absoluta simples), fac (freqüência absoluta acumulada crescente) e fad (freqüência absoluta acumulada decrescente).

Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de uma freqüência acumulada. Logo, restam-nos duas possibilidades: fac ou fad. Para decidir se a freqüência é acumulada crescente ou decrescente, basta observar os seus valores: começamos com 12; e aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja, estamos diante de uma freqüência absoluta acumulada crescente (fac).

Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um trabalho preliminar, no sentido de construir agora a coluna da freqüência absoluta simples fi.

Já sabemos fazer isso. Teremos:

Classes fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65)

Somente então seria possível começar a resolver a prova!

Vamos ao próximo exemplo.



# (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Sol.: Comecemos identificando a coluna de freqüência fornecida. O cabeçalho apresenta um sinal de porcentagem. Daí, concluímos que se trata de uma freqüência relativa, e é muito conveniente que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todos os valores desta coluna. Teremos:

Classes P (%) 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%

Ora, aprendemos que as duas freqüências relativas acumuladas começarão ou terminarão com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duas classes: a primeira e a última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe! Conclusão: trata-se de uma freqüência relativa acumulada.

Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seus valores. Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante.

Conclusão: estamos diante da coluna da freqüência relativa acumulada crescente, Fac.

No intuito de construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi), construiremos, como primeiro passo, a coluna da freqüência relativa simples (Fi). Teremos:

Classes Fac Fi 70-90 5% 5% 90-110 15% 10% (=15%-5%) 110-130 40% 25% (=40%-15%) 130-150 70% 30% (=70%-40%) 150-170 85% 15% (=85%-70%) 170-190 95% 10% (=95%-85%) 190-210 100% 5% (=100%-95%)



Daí, finalmente, faremos a transformação da freqüência relativa simples para a freqüência absoluta simples. Ou seja, passaremos de simples para simples. Neste caso, conforme aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destas duas colunas de freqüências.

Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos do conjunto n. A questão disse que foram examinados 200 itens... Traduzindo: n=200. Daí, teremos:

Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

Total 100% n=200 (x2) E somente neste momento a tabela estaria pronta para deixar você começar a resolver a prova! Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência, deixarei alguns exercícios, algumas Distribuições de Freqüências, para que vocês procurem identificar a necessidade de fazer o trabalho preliminar com as colunas de freqüências, e em caso afirmativo, que vocês encontrem a coluna da freqüência absoluta simples. Ok? Outra coisa: revisem esta aula com carinho! Valorizem esta aula: ela é importantíssima! Eu fico hoje por aqui (dez para quatro da manhã!), e os deixo com o dever de casa de hoje. Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!

Dever de Casa

Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o trabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi. 01. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma

amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqüências

Acumuladas (%) 2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100



02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classe Freqüência Acumulada

129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100

03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

04. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100

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Estatistica regular 1