Rosa – 2014

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hoje

Função Distribuição CondicionalCalculando Probabilidades Condicionando

Aula passada

Propriedades da média e da variânciaCovariância, coeficiente de correlaçãoFunção Distribuição Condicional

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Função Distribuição Condicional: Motivação

Muitas vezes as variáveis aleatórias possuem dependência

A forma de expressar a dependência entre duas variáveis aleatórias é condicionando uma v.a. na outra e depois usar o teorema da probabilidade total e suas variações

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Função Distribuição Condicional

Considere que iremos condicionar a variável Y na variável X

Casos a serem estudados:

X e Y são duas variáveis aleatórias discretas

X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas

X é v.a. discreta e Y é v.a. contínua

X é v.a. contínua e Y é v.a. discreta

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Caso 1: X e Y v.a. discretas

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Caso 1: X e Y v.a. discretas

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Exemplo: X e Y v.a. discretas

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Exemplo: X e Y discretas O número de jobs enviados para o

servidor A dado que chegaram n jobs no sistema é uma v.a. Binomial

pY (k)=∑n=0

n=∞

pY /X (k /n) pX (n)

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Caso 2: X e Y v.a. contínuas

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Caso 2: X e Y v.a. contínuas

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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta

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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

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Calculando Probabilidades Condicionando

Muitas vezes para calcular a probabilidade de um evento temos que condicionar em uma variável aleatória

O evento pode ser uma relação entre duas variáveis aleatórias (ex: X > Y)

Depois usamos o teorema da probabilidade total e suas variações para obter a probabilidade do evento

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Probabilidade Condicional de um Evento

Considere E um evento de interesse. P[E] pode ser calculada a partir de:

P [E ]=∑y P [E /Y= y]P [Y= y] , seY é v.a. discreta

P [E ]=∫−∞

∞

P [E /Y= y ] f Y y dy , se Y é v.a. contínua

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Exemplo: X e Y v.a. contínuas

Suponha duas tarefas T1 e T2 independentes. Queremos saber a probabilidade da tarefa T1 terminar primeiro que a tarefa T2.

Sabemos que T1 tem duração representada pela v.a. X com função densidade f

X(x) e que T2 tem duração

representada pela v.a. Y com função densidade f

Y(y).

Como podemos calcular ?

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Exemplo: X e Y v.a. contínuas

Queremos calcular P[X<Y]

P [X Y ]=∫−∞

∞

P [X Y /Y= y ] f Y y dy

P [X Y ]=∫−∞

∞

P [X y ] f Y y dy

P [X Y ]=∫−∞

∞

F X y f Y y dy