Universidade do Minho Escola de Engenharia

ESTATÍSTICA II

Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Industrial

FORMULÁRIO Ano Lectivo 2007-2008

Índice Intervalos de Confiança (uma amostra / duas amostras independentes)............................................................................... 1

Testes de Hipótese (uma amostra / duas amostras independentes)....................................................................................... 1

Bom Ajuste (grandes amostras)............................................................................................................................................ 2

Tabelas de Contingência....................................................................................................................................................... 2

Análise da Variância............................................................................................................................................................. 3

Planeamento Completamente Aleatório.......................................................................................................................... 3

Planeamento com Blocos Aleatórios .............................................................................................................................. 3

Planeamento Factorial com Replicações......................................................................................................................... 4

Planeamento 22 ......................................................................................................................................................... 5

Planeamento 23 ......................................................................................................................................................... 6

Testes a K Médias (não paramétrico) ................................................................................................................................... 6

Kruskal Wallis ................................................................................................................................................................ 6

Quade.............................................................................................................................................................................. 7

Bom Ajuste (pequenas amostras) ......................................................................................................................................... 7

Kolmogorov .................................................................................................................................................................... 7

Lilliefors para a Normal.................................................................................................................................................. 8

Lilliefors para a Exponencial .......................................................................................................................................... 8

Teste às Distribuições........................................................................................................................................................... 9

Kolmogorov – Smirnov .................................................................................................................................................. 9

Smirnov Unilateral.......................................................................................................................................................... 9

Regressão.............................................................................................................................................................................. 9

Regressão Linear Simples............................................................................................................................................... 9

Regressão Linear Múltipla.............................................................................................................................................. 10

Regressão Não Linear ..................................................................................................................................................... 10

Independência Estocástica.................................................................................................................................................... 11

Correlação de Pearson .................................................................................................................................................... 11

Correlação de Spearman ................................................................................................................................................. 11

FUNÇÕES DE PROBABILIDADE

DISCRETAS CONTÍNUAS Distribuição de Bernoulli

( ) ( ) 1,01 1 =−= − xxf xx θθ

( )θθσθµ −== 12 nn

Distribuição Uniforme [U(a,b)]

( )

<<−=

outros

bxaabxf

0

1

( )122

22 abba −=

+= σµ

Distribuição Binomial [B(n,p)]

( ) ( ) nxppxn

xf xnx ,...,2,1,01 =−

= −

( )pnpnp −== 12σµ

Distribuição Exponencial [EN(1/θ)]

( )

>

=

−

outros

xexf

x

0

01 θ

θ

22 θσθµ == Distribuição Poisson [P(λ)]

( ) nxxexfx

,...,2,1,0!

==−λλ

λσλµ == 2

Distribuição Normal [N(µ,σ2)]

( )( )

2

2

2

21 σ

µ

πσ

−−

=x

exf

22 σσµµ ==

σµ−

=XZ

Aproximação da Binomial à Poisson N grande e p muito pequeno

np=λ

Aproximação da Binomial à Normal

Condições

>>

55

nqnp

npq

np

=

=2σ

µ

Distribuição Uniforme (discreta)

( ) kxxxxk

xf ,...,,121==

( )∑∑ −==

i

i

i

i

kx

kx 2

2 µσµ

Correcção de Yates ( ) ( )( ) ( )5.0

5.0−>≈≥+<≈≤

yYPyYPxXPxXP

1

INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA

Parâmetro a estimar Tipo de População Dimensão da amostra Conhece σ ? E.T ~ Distribuição Intervalo de Confiança Notas

Normal Qualquer Sim ~ (0, 1)x

Z Nn

µσ−

= (1 2) (1 2)x z x z

n nα ασ σµ− −− < < + (1 2)z α− : quantil da tabela acumulada

da Normal padrão à esquerda

Qualquer 30n ≥ Não ~ (0, 1)x

Z Nsn

µ−=

(1 2) (1 2)s sx z x zn nα αµ− −− < < + Estimador do desvio padrão: sσ ≈ (1)

Média µ

Normal 30n < Não ~ 1x

T tnsn

µ−= −

( 2), 1 ( 2), 1n ns sx t x tn nα αµ− −− < < +

Proporção binomial p Bernoulli 30n > (2) -

ˆ~ (0, 1)

(1 )p p

Z Np p

n

−=

−

( ) ( )(1 2) (1 2)

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

p p p pp z p p z

n nα α− −

− −− < < +

Estimador da proporção binomial

ˆ xp pn

≈ =

Variância

2σ

População Normal

22

2 1

( 1)~ n

n sQ χ

σ −

−=

( ) ( )2 22

2 2( 2), 1 (1 2), 1

1 1

n n

n s n s

α α

σχ χ− − −

− −< <

INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS Parâmetro a

estimar Tipo de População Dimensão da amostra Conhece σ ? E.T ~ Distribuição Intervalo de Confiança Notas

Normais Quaisquer 1σ e 2σ Sim

( ) ( )1 2 1 2

2 21 2

1 2

~ (0,1)x x

Z N

n n

µ µ

σ σ

− − −=

+

( )2 21 2

1 2 (1 2)1 2

x x zn nασ σ

−− ± +

Quaisquer 1 230 e 30n n≥ ≥ 1σ e 2σ Não

( ) ( )1 2 1 2

2 21 2

1 2

~ (0,1)x x

Z Ns sn n

µ µ− − −=

+

( )2 21 2

1 2 (1 2)1 2

s sx x zn nα−− ± +

Estimadores dos desvios padrão: 1 1 2 2 , s sσ σ≈ ≈

Normais 1 230 e 30n n< < 1σ e 2σ Não

e 2 21 2σ σ=

( ) ( )1 2 1 2

1 2

~1 1 GL

p

x xT t

sn n

µ µ− − −=

+

( )1 2 ( 2),

1 2

1 1GL px x t s

n nα− ± + ( ) ( )1 2

2 21 1 2 22

1 2

2

1 12p

GL n n

n s n ss

n n

= + −

− + −=

+ −

Diferença entre as médias

1 2µ µ−

Normais Amostras

dependentes 1 230 e 30n n< < 1σ e 2σ

Não

( )1 2( 1)~

i

in

D

DT ts

n

µ µ−

− −=

2 21 2( 1), ( 1),. .i iD Di in n

s sD t D t

n nα αµ µ− −− < − < +

1iD ns s −= para

1 2i i iD X X= −

Diferença de proporções

1 2p p− Bernoulli 1 230 e 30n n≥ ≥ -

( ) ( )( ) ( )1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ~ (0,1)

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

p p p pZ N

p p p pn n

− − −=

− −+

(3)

( ) ( ) ( )1 1 2 21 2 (1 2)

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

p p p pp p z

n nα−

− −− ± +

Estimadores das proporções binomiais (4)

1 21 2

1 2

ˆ ˆ e x xp pn n

= =

Razão de variâncias 21

22

σσ

Normais Quaisquer - 1 2

21

21

,22

22

~

s

F Fs ν νσ

σ

=

1 2 1 2

2 2 21 1 12 2 22 ( 2), , 2 2 (1 2), ,

1 1s ss F s Fα ν ν α ν ν

σσ −

< < 2 1

1 2

1 1 2 2

( 2), ,(1 2), ,

1 e 11n n

FF α ν ν

α ν ν

ν ν

−

= − = −

=

(1) O desvio padrão σ , sendo desconhecido, é estimado através de 2

1

1 ( )1

n

ii

s x xn =

= −− ∑ ; (2) Proporção para amostras de pequena dimensão necessário recorrer à solução exacta através da distribuição binomial; (3) e (4) No teste à diferença

de proporções se H0 : p1 – p2 = 0 , a E.T. passa a ser ( )

( )

1 2 1 2

1 2

1 2

ˆ ˆˆ~ (0,1), com .

1 1ˆ ˆ1

p p x xZ N pn n

p pn n

− += =

+ − +

Teste do ”bom ajuste” do Qui-Quadrado para grandes amostras

• Probabilidades completamente especificadas na hipótese nula

H0 : p1 = p10, p2 = p20, ..., pk = pk0 e p10 + p20 + ...pk0 = 1.

R.R: Q ≥ c com c = χ2k−1,α

• Probabilidades não totalmente especificadas na hipótese nula

H0: as probabilidades correspondentes das classes provêm de uma distribuição da família ...

R.R: R.R: Q ≥ c com c = χ2g.l,α

graus de liberdade = no de celas -1- no de parâmetros estimados

Q =Pk

i=1(fi−ei)2

eicom a frequência esperada dada por ei =n.pi

Tabelas de Contingência

Característica B

B1 B2 B3 Bb ni.A1 f11 f12 f13 · · · f1b

Característica A2 f21 f22 f23 · · · f2bA A3 f31 f32 f33 · · · f3b

......

...... · · · ...

Aa fa1 fa2 fa3 · · · fabn.j n

1. . Teste de independência

Hipótese nula:

H0 : pij = pi.p.j (as variáveis são independentes), i = 1, ..., a e j = 1, ..., b

R.R: Q > c com c = χ2(a−1)(b−1),α

2 . Teste de homogeneidade

Hipótese nula:

H0 : w1j = w2j = ... = waj (as subpopulações A são equivalentes) para j = 1, ..., b.

R.R: Q > c com c = χ2(a−1)(b−1),α

Q =bX

j=1

aXi=1

(fij − eij)2

eijcom a frequência esperadada dada por eij=

ni.n.jn

i = 1, ..., a e j = 1, ..., b

2

Planeamento completamente aleatório

SQT =Pk

j=1 nj(y.j − Y )2 SQT =Pk

j=1

T2.jnj− 1

N T 2..

STQ =Pk

j=1

Pnji=1(yij − Y )2 STQ =

Pkj=1

Pnji=1 y

2ij − 1

N T 2..SQR =

Pkj=1

Pnji=1(yij − y.j)

2 SQR = STQ− SQT com N =Pk

j=1 nj

T.j é o total dos valores obtidos para o tratamento j ; T.. é o grande total

Tendo-se STQ = SQT + SQR

Modelo populacional: yij = µ+ αj + eij

com i = 1, ..., nj e j = 1, ..., k eij ∼ N(0, σ2)

Teste às diferenças entre os tratamentos

H0 : α1 = α2 = ... = αk = 0

(não existem diferenças entre as médias das k populações).

H1 : os efeitos da aplicação dos tratamentos são significativos

( ou existem diferenças entre os tratamentos).

R.R : F > c em que c (Fisher) é determinado por forma a α = P [F > c;H0]

Tabela ANOVA

Fonte de variação Soma dos quadrados graus de liberdade Média dos quadrados v.a. F

Tratamentos SQT k-1 MQT=SQT/(k-1)

Resíduos SQR Σnj − k MQR=SQR/(Σnj − k) F=MQTMQR

Total STQ Σnj − 1

• Intervalos de confiança para diferenças entre pares de médias de tratamentos i e j comi 6= j = 1, 2, ..., k

T =(y.i − y.j)− (µi − µj)q

SQRN−k (

1ni+ 1

nj)∼ tN−k

Planeamento com blocos aleatórios

SQT = bPk

j=1(y.j − Y )2 SQT = 1b

Pkj=1 T

2.j − 1

kbT2..

SQB = kPb

i=1(yi. − Y )2 SQB = 1k

Pbi=1 T

2i. − 1

kbT2..

STQ =Pb

i=1

Pkj=1(yij − Y )2 STQ =

Pbi=1

Pkj=1 y

2ij − 1

kbT2..

SQR =Pb

i=1

Pkj=1(yij − yi. − y.j + Y )2 SQR = STQ− SQT − SQB

Ti. é o total dos valores obtidos para o bloco i ; T.j é o total dos valores obtidos para

o tratamento j

3

Modelo populacional: yij = µ+ αj + βi + eij

para i = 1, ..., b e j = 1, ..., k eij ∼ N(0, σ2)

Teste às diferenças entre os tratamentos

H01 : α1 = α2 = ... = αk = 0

(não existem diferenças significativas entre os tratamentos).

H11 : os efeitos da aplicação dos tratamentos são significativos

( ou existem diferenças entre os tratamentos).

R.R : F1 > c em que c (Fisher) é determinado a partir de

α = P [F1,((k−1),(b−1)(k−1)) > c;H01] e F1 =MQTMQR

Teste às diferenças entre os blocos

H02 : β1 = β2 = ... = βb = 0

(não existem diferenças significativas entre os efeitos dos blocos)

H12: existem diferenças entre os efeitos dos blocos.

R.R : F2 > c em que c (Fisher) é determinado a partir de

α = P [F2,((b−1),(b−1)(k−1)) > c;H02] e F2 =MQBMQR

Tabela ANOVA

F. de variação S. dos quadrados graus de liberdade Média dos quadrados v.a. F

Tratamentos SQT k-1 MQT=SQT/(k-1)

Blocos SQB b-1 MQB=SQB/(b-1) F1=MQTMQR

Resíduos SQR (k − 1).(b− 1) MQR=SQR/(k − 1).(b− 1) F2=MQBMQR

Total STQ k.b− 1

Intervalos de confiança para diferenças entre pares de médias de tratamentos:

T =(yj1 − yj2)− (µj1 − µj2)q

MQR(2b )∼ t(b−1)(k−1)

Planeamento factorial com replicações

SQFA = qrPp

i=1(yi.. − Y )2 SQFA =Pp

i=1 T2i.

rq − T 2..pqr

SQFB = prPq

j=1(y.j. − Y )2 SQFB =Pq

j=1 T2.j

rp − T2..pqr

SQR =Pp

i=1

Pqj=1

Prk=1(yijk − yij.)

2 SQR =P

ijk y2ijk −

Pij T

2ij

r

STQ =Pp

i=1

Pqj=1

Prk=1(yijk − Y )2 STQ =

Ppi=1

Pqj=1

Prk=1 y

2ijk − T2..

pqr

SQIAB = STQ− SQFA − SQFB − SQR

Tij é a soma das observações da célula (i, j)

Modelo populacional

yijk = µ+ αi + βj + γij + eijk

4

para i = 1, ..., p , j = 1, ..., q. e k = 1, ..., r e eijk ∼ N(0, σ2)

Testes de hipóteses

• Factor AH01 : α1 = α2 = ... = αp = 0

H11: existem diferenças significativas entre os níveis de A

R.R : F1 > c com c (Fisher) determinado de

α = Pr[F1(p−1),pq(r−1) > c;H01] e F1 =MQFAMQR

• Factor BH02 : β1 = β2 = ... = βq = 0

H12 : existem diferenças significativas entre os níveis de B

R.R : F2 > c com c (Fisher) determinado de

α = Pr[F2(q−1),pq(r−1) > c;H02] e F2 =MQFBMQR

• Interacção ABH03 : γ11 = γ12 = ... = γ21 = ... = γpq = 0

H13: existem diferenças significativas devido a interacção

R.R : F3 > c com c (Fisher) determinado de

α = Pr[F3(p−1)(q−1),pq(r−1) > c;H03] e F3 =MQIABMQR

Tabela ANOVA

Fonte de variação Soma dos Quadrados graus de lib. Média dos Quadrados v.a F

Factor A SQFA p-1 MQFA

Factor B SQFB q-1 MQFB F1 =MQFAMQR

Interacção AxB SQIAB (p-1).(q-1) MQIAB F2 =MQFBMQR

Resíduos SQR p.q.(r-1) MQR F3 =MQIABMQR

Total STQ pqr-1

Planeamento 22

tratamento factor A factor B A×B observações médias

1 - - + y11 y12 ... y1r y12 + - - y21 y22 ... y2r y23 - + - y31 y32 ... y3r y34 + + + y41 y42 ... y4r y4

Estimativa dos efeitos principais

eeA =(y2−y1)+(y4−y3)

2 SQFA = r (eeA)2

eeB =(y3−y1)+(y4−y2)

2 SQFB = r (eeB)2

eeAB =(y4−y3)+(y1−y2)

2 SQIAB = r (eeAB)2

− Variância residual: s2 = 14(s

21 + s22 + s23 + s24) com s2i =

Prj=1(yij−yi)2(r−1)

Intervalos de confiança para os ”efeitos” devidos aos factores principais e à interacção

5

T =ee− µq( s

2

r )∼ t4(r−1)

Planeamento 23

factores interacções observações médiasA B C AB AC BC ABC

T1 - - - + + + - y11 y12 ... y1r y1T2 + - - - - + + y21 y22 ... y2r y2T3 - + - - + - + y31 y32 ... y3r y3T4 + + - + - - -T5 - - + + - - + ...T6 + - + - + - -T7 - + + - - + -T8 + + + + + + + y81 y82 ... y8r y8

Efeitos estimados: ee = 123−1 [±y1 ± y2 ± y3 ± y4 ± ...± y8]

A soma dos quadrados dos efeitos de cada factor (ou interacção) pode ser calculada a partir de

SQfactor ou interac.= 2n−2r(eefactor ou interac.)

2

sendo n o número de factores presentes no planeamento e r o número de replicações.

Variância residual: s2 =s21+s

22+...+s

28

8

Intervalos de confiança para os ”efeitos reais”

T =ee− ”efeito real”q

s2

2r

∼ t8(r−1)

Teste de Kruskal Wallis

H0: Não existem diferenças significativas entre os efeitos dos tratamentos ou as médias das distribuições das k populações são

idênticas

H1: Nem todas as k distribuições têm médias idênticas.

R.R: H ≥ c onde c é determinado de α = Pr[H ≥ c;H0] e

H =12

n(n+ 1)[W 21

n1+W 22

n2+...+

W 2k

nk]− 3(n+ 1)com W i=

niXj=1

Rij i = 1, 2, ..., k

Para k > 3 ou n1, n2, ... e/ou ni > 5, a distribuição assintótica de H é a χ2 com k − 1 graus de liberdade.

A ’estatística’ a justada é

H0=

H

1−P l

j=1 qj(q2j−1)

n(n2−1)

em que l é o número de conjuntos com observações repetidas existente e qj é o número de elementos nesse conjunto j (j =

1, ..., l). A ’estatística’ H0tem ainda uma distribuição assintótica χ2k−1.

6

Planeamento com blocos. Teste de Quade

Os dados consistem num conjunto de b variáveis aleatórias independentes a k dimensões

(yi1, yi2, ..., yik), i = 1, ..., b, chamadas blocos.

Os cálculos para este teste devem estar assim ordenados:

Amplitude do bloco: Ai Graduações do bloco de acordo Matriz SijAi = maxj(yij)−minj(yij) com a sua amplitude: R(Ai) Sij = R(Ai)[R(yij)− k+1

2 ]

R(yij) - graduações das observações yij , (j = 1, ..., k)

Sj =Pb

i=1 Sij ; SQT = 1b

Pkj=1 S

2j ; STQ =

Pbi=1

Pkj=1 S

2ij

Se não existirem observações repetidas, STQ reduz-se a

b(b+ 1)(2b+ 1)k(k + 1)(k − 1)/72.

Teste de hipóteses

H0 : Não existem diferenças significativas entre os tratamentos

(ou, os efeitos dos tratamentos são idênticos)

H1 : Pelo menos um dos tratamentos tende a conseguir valores observados maiores do que um outro tratamento.

R.R : T > c onde c é um ponto crítico da distribuição F que corresponde ao nível de significância α,

com (k − 1) e (b− 1)(k − 1) graus de liberdade

T =(b− 1)SQTSTQ− SQT

Comparações dois a dois

Os tratamentos i e j são considerados significativamente diferentes se

|Si−Sj | > c

s2b(STQ− SQT )

(b− 1)(k − 1)

sendo c o ponto crítico da distribuição t-Student, com (b− 1)(k − 1) graus de liberdade que corresponde a uma região derejeição de tamanho α (nível de significância)

Testes de ajuste de distribuições

Testes do tipo de Kolmogorov para pequenas amostras

S(x) é a função de distribuição empírica que é definida como fracção dos X0i s (elementos da amostra) que são menores

ou iguais a X , para cada X (−∞ < X < +∞)

Dados: F ∗(x) é uma função distribuição completamente especificada.

A. Teste bilateral B. Teste unilateral C. Teste unilateral

H0 : F (x) = F ∗(x) ∀x H0 : F (x) ≥ F ∗(x) H0 : F (x) ≤ F ∗(x)H1 : F (x) 6= F ∗(x) H1 : F (x) < F ∗(x) H1 : F (x) > F ∗(x)T = supx| F ∗(x)− S(x) | T+ = supx[ F

∗(x)− S(x) ] T− = supx[ S(x)− F ∗(x) ]

R.R: T (T+ ou T−) > c com c calculado de α = Prob(Rej H0; H0) = Prob(T > c; H0 de A.) .

7

Os pontos críticos da distribuição de T (T+ ou T−) correspondem a p = 1− α

Teste de Lilliefors para a Normal

DADOS: Os dados consistem numa amostra aleatóriaX1,X2, ...,Xn de tamanho n associada com alguma função distribuição

desconhecida F (x).

H0: A amostra aleatória foi retirada de uma distribuição normal, com média e/ou variância não especificadas.

H1: A função distribuição dos X0is não é normal.

R.R: T1 > c sendo c o ponto crítico da distribuição de T1 que corresponde a p = 1− α

X=

Pni=1Xi

ne s =

vuut 1

n− 1nXi=1

(Xi −X)2

Zi=Xi −X

s, i = 1, 2, ..., n T 1= supz| F ∗(z)− S(z) |

Teste de Lilliefors para a exponencial

DADOS: Os dados consistem numa amostra aleatóriaX1,X2, ...,Xn de tamanho n associada com alguma função distribuição

desconhecida F (x).

H0 : A amostra aleatória segue a distribuição exponencial:

F (x) = F∗(x) =

½1− e−x/β, para x > 00 para x < 0

em que β é um parâmetro desconhecido.

H1: A distribuição dos X0is não é exponencial.

X=

Pni=1Xi

nZi=

Xi

X, i = 1, 2, ..., n

F ∗(z) =½1− e−z, para z > 00 para z < 0

T2= supz| F ∗(z)− S(z) |

R.R: T2 > c sendo c o ponto crítico da distribuição de T2 que corresponde a p = 1− α.

Teste a duas distribuições. Amostras independentes.

Teste de Kolmogorov - Smirnov

DADOS: Os dados consistem em duas amostras aleatórias independentes, uma de tamanho n, X1,X2, ...,Xn e outra de

tamanho m, Y1, Y2, ..., Ym retiradas de duas populações com distribuições F (x) e G(y) (ou G(x)) respectivamente.

A. Teste bilateral B. Teste unilateral C. Teste unilateral

H0 : F (x) = G(x) ∀x H0 : F (x) ≤ G(x) H0 : F (x) ≥ G(x)H1 : F (x) 6= G(x) H1 : F (x) > G(x) H1 : F (x) < G(x)

T1 = supx| S1(x)− S2(x) | T+1 = supx[ S1(x)− S2(x) ] T−1 = supx[ S2(x)− S1(x) ]

8

com S1(x) a função empírica baseada na amostra X1,X2, ...,Xn e S2(x) a função empírica baseada em Y1, Y2, ..., Ym

R.R: T1 (T+1 ou T−1 ) > c sendo c o ponto crítico da distribuição da estatística que corresponde a um nível de significância

α.

Teste a k distribuições. Amostras independentes.Teste unilateral de Smirnov

DADOS: k amostras aleatórias de tamanho iguais a n. Se as distribuições empíricas

forem, respectivamente, S1(x), S2(x), ..., Sk(x), e as funções distribuição F1(x),

F2(x), ..., Fk(x) representam as k populações, desconhecidas,

H0 : F1(x) ≤ F2(x) ≤ ... ≤ Fk(x) para todo o x

H1 : Fi(x) > Fj(x) para algum i < j e algum x

R.R: T2 > c sendo c o ponto crítico, que corresponde a p = 1− α, ao nível de significância α.

T2= supx,i<k[ Si(x)− Si+1(x) ] i = 1, ..., k − 1

Regressão linear e simples

Yi ∼ N(α + βxi, σ2)

Yi = α+ βxi + ei com xi = Xi −X , i = 1, .., n

Os estimadores de máxima verosimilhança, para os parâmetros α, β e σ2 são

α̃ =Pn

i=1 Yin = Y ; β̃ =

Pni=1(Xi−X)(Yi−Y )Pn

i=1(Xi−X)2 =Pn

i=1(Xi−X)YiPni=1(Xi−X)2 ;

σ̃2 = 1(n−2)

Pni=1[Yi − α̃− β̃(Xi −X)]2

Testes de hipóteses

T1 =α̃− αq

σ̃2

n

∼ tn−2 ; T2 =β̃ − βq

σ̃2Pn1 (Xi−X)2

∼ tn−2

H0 : β = 0

H1 : β > 0 (ou β 6= 0)R.R: T2 ≥ c com c = tn−2,α (ou α/2)

Do mesmo modo, a ’estatística’ T1 pode ser usada para calcular intervalos de confiança e testes de hipóteses relacionados como parâmetro α

Média e variância de um valor estimado de Y:

E[Y 0] = E[α̃] + (X0−X)E[β̃] = α+ β(X0−X)

var[Y 0] = σ2(1

n+

(X0 −X)2Pni=1(Xi −X)2

)

9

Regressão linear e múltipla

Yi= α+ βxi+γzi+ei

em que xi = Xi − X, zi = Zi − Z e ei é o erro aleatório de observação,normalmente distribuído com média zero e

variância comum σ2 (i = 1, ..., n).

E[Y ] = α+ β(X −X) + γ(Z − Z).

α̃ =Pn

i=1 Yin = Y ; σ̃2 = 1

(n−3)Pn

i=1(Yi − α̃− β̃xi − γ̃zi)2

½ Pni=1 xiYi = β̃

Pni=1 x

2i + γ̃

Pni=1 xiziPn

i=1 ziYi = β̃Pn

i=1 xizi + γ̃Pn

i=1 z2i

As ’estatísticas’ T1, T2 e T3 para testes de hipóteses e intervalos de confiança, em relação,

respectivamente, aos parâmetros α, β e γ, são:

T1 =α̃− αq

σ̃2

n

; T2 =β̃ − βr

σ̃2Px2i−

(Pxizi)

2Pz2i

; T3 =γ̃ − γr

σ̃2Pz2i−

(Pxizi)

2Px2i

e seguem a distribuição t-Student com

n− 3 graus de liberdade.

Regressão não-linear

i) E[Yi] = α+ βX2i

O modelo matemático geral, é: Yi = α+ βwi+ γw2i + ei com wi =Wi−W e o ei ∼ N(0, σ2) (i = 1, ..., n).Define-se X =W e Z =W 2, o que reduz este caso à regressão múltipla e linear.

ii) E[Yi] = Xβi

O modelo matemático mais geral e comum é: Yi = αeβXiui . Os erros aleatórios ui (i = 1, ..., n) têm agora uma

distribuição, em geral não simétrica e centrada em 1.

Lineariza-se o modelo passando-se a ter: lnYi = lnα+ βXi + lnui e aplica-se a análise de regressão linear e simples.

Testes de independência estocástica

• Coeficiente de correlação da amostra. Teste de Pearson

X ∼ N(µ1, σ21) e Y ∼ N(µ2, σ

22)

H0 : ρ = 0

H1 : ρ 6= 0R.R: |R| ≥ c. O valor de c é determinado de α = Pr[|R| ≥ c;H0]

R =

Pni=1XiYi −

Pni=1Xi

Pni=1 Yi

nq(Pn

i=1X2i − (

Pni=1Xi)2

n )(Pn

i=1 Y2i − (

Pni=1 Yi)

2

n )

e que é o coeficiente de correlação da amostra de Pearson.

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A variável T = R√n−2√

1−R2 ∼ tn−2 e o teste resume-se a, rejeitar H0 se |T | ≥ c com c determinado de α = Pr[|T | ≥c;H0] .

• Correlação de Spearman

(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn) amostra aleatória bivariada, de tamanho n

R(Xi) graduação do valor de Xi

R(Yi) graduação do valor de Yi (i = 1, 2, ..., n)

A medida de correlação de Spearman RS é definida por

RS=

Pni=1[R(Xi)− n+1

2 ][R(Yi)− n+12 ]

n(n2−1)12

ou

RS= 1− 6T

n(n2 − 1) com T =nXi=1

[R(Xi)−R(Y i)]2

caso não existam observações repetidas. Existindo repetições deve usar-se a expressão:

RS=

Pni=1R(Xi)R(Yi)− n(n+12 )

2qPni=1R(Xi)2 − n(n+12 )

2.qPn

i=1R(Yi)2 − n(n+12 )

2

A. Teste bilateral

H0: As variáveis X e Y são independentes.

H1: (a) Existe uma tendência para os maiores valores de X formarem pares com

os maiores valores de Y , ou

(b) Existe uma tendência para os menores valores de X formarem pares com

os maiores valores de Y .

R.R: RS > c1 ou RS < c2, sendo c1 o ponto crítico que corresponde a 1− α2 e

c2 o ponto crítico que corresponde aα2

B. Teste unilateral para correlação positiva

H0: As variáveis X e Y são independentes.

H1: Existe uma tendência para os maiores valores de X e de Y formarem pares.

R.R: RS > c, em que c é o ponto crítico que corresponde a 1− α

C. Teste unilateral para correlação negativa

H0: As variáveis X e Y são independentes.

H1: Existe uma tendência para os menores valores de X formarem pares com os

maiores valores de Y e vice-versa.

R.R: RS < c sendo c o ponto crítico que corresponde a α.

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