Este método se basa en la fórmula de Newton.docx

8/8/2019 Este mtodo se basa en la frmula de Newton.docx

1/59

Este mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el

clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin:

Sustituyendo en la frmula de Newton-Raphson, obtenemos:

Que es la frmula del mtodo de la secante. Ntese que para poder

calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores

anteriores y .

Obsrvese tambien, el gran parecido con la frmula del mtodo de la

regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el

mtodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el

mtodo de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,

encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo

de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de

no converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va

a la segura.

Ejemplo 1

Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de

, comenzando con , y hasta que.

Solucin

Tenemos que y , que sustitumos en la

frmula de la secante para calcular la aproximacin :

Con un error aproximado de:

Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz Error aprox.

0

1 100%

0.612699837 63.2%

0.653442133 6.23%


2/59

0.652917265 0.08%

De lo cual conclumos que la aproximacin a la raz es:

Ejemplo 2


, comenzando con y , y hasta que

.

Solucin

Tenemos los valores y , que

sustitumos en la frmula de la secante para obtener la

aproximacin :





0

1 100%

0.823315073 21.4%

0.852330280 3.40%

0.853169121 0.09%


Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la secante, con la

siguiente ecuacin:

# Xi Xd Fxi Fxd Nuevo Xm Error

1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3

2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21

3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533

-

2.3207255

520505

-

0.0207255520

50473

4 -2.51 - -2.323251 1.180387149 - -
http://noosfera.indivia.net/metodos/Metodos.php?accion=secante


3/59

2.3207255

5205055748

2.3959690

27827

0.0752434757

76506

5

-

2.3959690

27827

-

2.3207255

520505

-

0.150430754

08291

1.180387149

5748

-

2.3460753

250876

-

0.0253497730

37123

6-

2.3959690

27827

-2.3460753

250876

-0.150430754

08291

0.740963195

30987

-2.3903292

274407

-0.0442539023

53135

7

-

2.3903292

274407

-

2.3460753

250876

-

0.047890744

83039

0.740963195

30987

-

2.3828609

830056

-

0.0367856579

17969

8

-

2.3903292

274407

-

2.3828609

830056

-

0.047890744

83039

0.087191294

668852

-

2.3898758

357919

-

0.0070148527

863751

9

-

2.3898758

357919

-

2.3828609

830056

-

0.039667231

209549

0.087191294

668852

-

2.3873888

543541

-

0.0045278713

485732

1

0

-

2.3898758

357919

-

2.3873888

543541

-

0.039667231

209549

0.005388652

9350926

-

2.3890981

847273

-

0.0017093303

731688

1

1

-

2.3890981

847273

-

2.3873888

543541

-

0.025569238

087972

0.005388652

9350926

-

2.3875932

89098

-

0.0002044347

4381393

1

2

-

2.3890981

847273

-

2.3875932

89098

-

0.025569238

087972

0.001688314

3877866

-

2.3878552

371823

-

0.0002619480

8438618

1

3

-

2.3878552371823

-

2.387593289098

-

0.0030539102982061

0.001688314

3877866

-

2.3876095139854

-

1.6224887400274E-5

Hemos terminado de analizar el mtodo de la secante, en este

ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm):

-2.3876969957131 con 13 iteracciones.

Como mencionamos anteriormente, sera bueno considerar si la raz

de una ecuacin est localizada ms cerca de alguno de los extremos

del intervalo.

Consideremos nuevamente una grfica como la anterior,

Donde hemos agregado la lnea recta que une los puntos extremos de


4/59

la grfica en el intervalo .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del

intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos

aproximaremos mucho ms rpido a la raz; sta es en s, la idea

central del mtodo de la regla falsa y sta es realmente la nica

diferencia con el mtodo de biseccin, puesto que en todo lo demslos dos mtodos son prcticamente idnticos.

Supongamos que tenemos una funcin que es contnua en el

intervalo y adems, y tienen signos

opuestos.

Calculemos la ecuacin de la lnea recta que une los puntos

, . Sabemos que la pendiente de esta recta esta

dada por:

Por lo tanto la ecuacin de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje , hacemos :

Multiplicando por nos da:

Finalmente, de aqu despejamos :

Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio

del mtodo de biseccin.

As pues, el mtodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

Sea contnua,

i) Encontrar valores iniciales , tales que y

tienen signos opuestos, es decir,

ii) La primera aproximacin a la raz se toma igual a:


5/59

iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los

siguientes casos:

En este caso, tenemos que y tienen signos

opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo

.

En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo,

y de aqu que y tienen signos opuestos. Por lo

tanto, la raz se encuentra en el intervalo .

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos

la raz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejemplo 1

Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de

, comenzando en el intervalo y hasta que

.Solucin

Este es el mismo ejemplo 1 del mtodo de la biseccin. As pues, ya

sabemos que es contnua en el intervalo dado y que toma

signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto

podemos aplicar el mtodo de la regla falsa.

Calculamos la primera aproximacin:

Puesto que solamente tenemos una aproximacin, debemos seguir conel proceso.


6/59

As pues,evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo

.

Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximacin:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.

Evaluamos , y hacemos la tabla

de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo

, con el cual, podemos calcular la nueva aproximacin:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin

buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el mtodo de la regla falsa

a la raz, a diferencia de la lentitud del mtodo de la biseccin.

Ejemplo 2Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de


7/59

, comenzando en el intervalo y hasta que

.

Solucin

Este es el mismo ejemplo 2 del mtodo de la biseccin. As pues,

ya sabemos que se cumplen las hiptesis necesarias para poder

aplicar el mtodo, es decir, que sea contnua en el

intervalo dado y que tome signos opuestos en los extremos de

dicho intervalo.

Calculamos pues, la primera aproximacin:

Como solamente tenemos una aproximacin, debemos avanzar en el

proceso.

Evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De lo cual vemos que la raz se localiza en el intervalo

.

As pues, calculamos la nueva aproximacin:

Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el

proceso.

Evaluamos .Y hacemos nuestra tabla de signos:

De los cual vemos que la raz se localiza en el intervalo

, con el cual podemos calcular al siguiente

aproximacin:


8/59

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin

buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del mtodo de

la regla falsa contra la lentitud del mtodo de la biseccin.

Por supuesto que puede darse el caso en el que el mtodo de la

regla falsa encuentre la aproximacin a la raz de forma ms lenta

que el mtodo de la biseccin. Como ejercicio, el estudiante puede

aplicar ambos mtodos a la funcin , comenzando en el

intervalo , donde notar que mientras que el mtodo de

biseccin requiere de 8 aproximaciones para lograr que ,

el mtodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.

Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la Posicin, Falsa

con la siguiente ecuacin:


1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3

2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21

3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533

-

2.3207255

520505

-

0.0207255520

50473

4 -2.51

-

2.3207255

520505

-2.3232511.180387149

5748

-

2.3959690

27827

-

0.0752434757

76506

5

-

2.3959690

27827

-

2.3207255

520505

-

0.150430754

08291

1.180387149

5748

-

2.3460753

250876

-

0.0253497730

37123

6

-

2.395969027827

-

2.3460753250876

-

0.15043075408291

0.740963195

30987

-

2.3903292274407

-

0.044253902353135

7

-

2.3903292

274407

-

2.3460753

250876

-

0.047890744

83039

0.740963195

30987

-

2.3828609

830056

-

0.0367856579

17969

8

-

2.3903292

274407

-

2.3828609

830056

-

0.047890744

83039

0.087191294

668852

-

2.3898758

357919

-

0.0070148527

863751

9

-

2.3898758

357919

-

2.3828609

830056

-

0.039667231

209549

0.087191294

668852

-

2.3873888

543541

-

0.0045278713

485732

1

0

-

2.3898758

-

2.3873888

-

0.039667231

0.005388652

9350926

-

2.3890981

-

0.0017093303
http://noosfera.indivia.net/metodos/Metodos.php?accion=posicionFalsa


9/59

357919 543541 209549 847273 731688

1

1

-

2.3890981

847273

-

2.3873888

543541

-

0.025569238

087972

0.005388652

9350926

-

2.3875932

89098

-

0.0002044347

4381393

1

2

-

2.3890981847273

-

2.387593289098

-

0.025569238087972

0.001688314

3877866

-

2.3878552371823

-

0.00026194808438618

1

3

-

2.3878552

371823

-

2.3875932

89098

-

0.003053910

2982061

0.001688314

3877866

-

2.3876095

139854

-

1.6224887399

829E-5

Hemos terminado de analizar el mtodo de la Posicin Falsa, en este



Este mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el

clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin:

Sustituyendo en la frmula de Newton-Raphson, obtenemos:

Que es la frmula del mtodo de la secante. Ntese que para poder

calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores

anteriores y .

Obsrvese tambien, el gran parecido con la frmula del mtodo de la

regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el

mtodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el

mtodo de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,

encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo

de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de

no converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va

a la segura.

Ejemplo 1


, comenzando con , y hasta que

.

Solucin

Tenemos que y , que sustitumos en la

frmula de la secante para calcular la aproximacin :



10/59




0

1 100%

0.612699837 63.2%

0.653442133 6.23%

0.652917265 0.08%


Ejemplo 2


, comenzando con y , y hasta que

.

Solucin

Tenemos los valores y , que

sustitumos en la frmula de la secante para obtener la

aproximacin :


Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:


0

1 100%

0.823315073 21.4%

0.852330280 3.40%

0.853169121 0.09%


11/59


Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la secante, con la

siguiente ecuacin:


1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3

2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21

3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533

-

2.3207255

520505

-

0.0207255520

50473

4 -2.51

-

2.3207255

520505

-2.3232511.180387149

5748

-

2.3959690

27827

-

0.0752434757

76506

5

-

2.3959690

27827

-

2.3207255

520505

-

0.150430754

08291

1.180387149

5748

-

2.3460753

250876

-

0.0253497730

37123

6

-

2.3959690

27827

-

2.3460753

250876

-

0.150430754

08291

0.740963195

30987

-

2.3903292

274407

-

0.0442539023

53135

7

-

2.3903292

274407

-

2.3460753

250876

-

0.047890744

83039

0.740963195

30987

-

2.3828609

830056

-

0.0367856579

17969

8

-

2.3903292

274407

-

2.3828609

830056

-

0.047890744

83039

0.087191294

668852

-

2.3898758

357919

-

0.0070148527

863751

9

-

2.3898758

357919

-

2.3828609

830056

-

0.039667231

209549

0.087191294

668852

-

2.3873888

543541

-

0.0045278713

485732

1

0

-

2.3898758

357919

-

2.3873888

543541

-

0.039667231

209549

0.005388652

9350926

-

2.3890981

847273

-

0.0017093303

731688

1

1

-

2.3890981

847273

-

2.3873888

543541

-

0.025569238

087972

0.005388652

9350926

-

2.3875932

89098

-

0.0002044347

4381393

1

2

-

2.3890981

847273

-

2.3875932

89098

-

0.025569238

087972

0.001688314

3877866

-

2.3878552

371823

-

0.0002619480

8438618

1

3

-

2.3878552

371823

-

2.3875932

89098

-

0.003053910

2982061

0.001688314

3877866

-

2.3876095

139854

-

1.6224887400

274E-5

Hemos terminado de analizar el mtodo de la secante, en este



Este mtodo, el cual es un mtodo iterativo, es uno de los ms

usados y efectivos. A diferencia de los mtodos anteriores, el

mtodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino quebasa su frmula en un proceso iterativo.
http://noosfera.indivia.net/metodos/Metodos.php?accion=secante


12/59

Supongamos que tenemos la aproximacin a la raz de

,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; sta

cruza al eje en un punto que ser nuestra siguiente

aproximacin a la raz .

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuacin de la

recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la

siguiente aproximacin:

, si

Note que el mtodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos

donde nos asegure que encontraremos la raz, y de hecho no tenemos

ninguna garanta de que nos aproximaremos a dicha raz. Desde

luego, existen ejemplos donde este mtodo no converge a la raz, en

cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los casos

donde si converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante,

por lo cual es uno de los mtodos preferidos por excelencia.

Tambin observe que en el caso de que , el mtodo no sepuede aplicar. De hecho, vemos geomtricamente que esto significa


13/59

que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al

eje en ningn punto, a menos que coincida con ste, en cuyo

caso mismo es una raz de !

Ejemplo 1

Usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar la raz de

, comenzando con y hasta que .

Solucin

En este caso, tenemos que

De aqu tenemos que:

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta

donde se pidi.



1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

De lo cual conclumos que , la cual es correcta en

todos sus dgitos!

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen

races -simas de nmeros reales positivos.

Observe que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz,

lo hace de una forma muy rpida y de hecho, observamos que el error

aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso.

Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para

los errores en cada uno de los mtodos que hemos estudiado, cabe

mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisinla rapidez lentitud del mtodo en estudio.


14/59

Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de Newton Raphson, con

la siguiente ecuacin:

# Fxn Dfxn Nuevo Xm

1 18 4 -3.52 -30.375 37.75 -2.6953642384106

3 -6.2771541041392 22.794965133108 -2.419989651633

4 -0.59229583988115 18.569049742033 -2.3880927130115

5 -0.0073539466744812 18.108960417816 -2.3876866186524

6 -1.1814129692311E-6 18.103142166676 -2.3876865533923

Hemos terminado de analizar el mtodo de la Newton Rapshon, en este



TEMARIO

I.- INTRODUCCIN

Importancia de los mtodos numricos

Tipos de Errores

II.- SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Raz de una ecuacin

Mtodos de intervalo: biseccin, falsa posicin

Mtodos de punto fijo: aproximaciones sucesivas, secante, Newton-Raphson

III.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Eliminacin Gaussiana

Matriz Inversa

Gauss-Jordan

Regla de CrammerJacobi

Gauss-Seidel

IV.- AJUSTE DE FUNCIONES

Fundamentos de estadstica

Interpolacin

Regresin de mnimos cuadrados

V.- DIFERENCIACIN E INTEGRACIN NUMRICA

Derivacin Numrica

Integracin Numrica, trapecio, Simpson-Romberg

VI.- SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Mtodos de 1 paso: Euler, Euler Mejorado, Runge-Kutta

Mtodos de pasos mltiples

VII.- ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Clasificacin de las ecuaciones

Mtodos de diferencias finitas.

MTODOS NUMRICOS

1.1 Problemas matemticos y sus soluciones.

Un modelo matemtico puede definirse como una formulacin o una ecuacin que expresa lascaractersticas, esenciales de un sistema fsico o proceso en trminos matemticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.Vi = variables independientes como tiempo o espacio a travs de las cuales el comportamiento delsistema ser determinado.
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15/59

P = parmetros , son reflejos de las propiedades o la composicin del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

De la segunda Ley de Newton:

F = ma ; reordenando

f

a = ______ ( 2 )m

Caractersticas de este modelo matemtico.

1.- Describe un proceso o sistema natural en trminos matemticos.

2.- Representa una simplificacin de la realidad.

3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemticos de fenmenos fsicos pueden ser mucho ms complejos.

De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de uncuerpo, tenemos un expresin de aceleracin como la razn de cambio de la velocidad con respecto altiempo:

f

dv = _____( 3 )dt m

Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:

F = FD + Fu ( 4 )

FD = La atraccin hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.

Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

En donde:

FD = mg

Fu = -cu

c = coeficiente de resistencia o arrastre

Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

dv = mg - cu ( 7 )

dt m

dv = g - c/m (v) ( 8 )

dt

Esta ecuacin es un modelo matemtico que relaciona la aceleracin de un cuerpo que cae con lasfuerzas que actan sobre l.

Se trata de una ecuacin diferencial o ecuaciones diferenciales.

Si las ecuaciones son ms complejas, se requiere de tcnicas avanzadas para obtener una solucinanaltica exacta o aproximada.

Si el objeto est en reposo, v= o y t= 0, y usando las teoras de clculo, obtenemos:

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )

Que es la solucin analtica o exacta,

v(t) = variable dependiente

t = es la variable independiente

c,m = parmetros

g = funcin de la fuerza

Ej. 1.1

Un paracaidista , con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerosttico fijo. Con la ayuda de laecuacin ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracadas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.

Datos:

m = 68.1

c = 12.5

g = 9.8 m/s

v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )


16/59

t,s v, m/s

0 0

2 16.42

4 27.76

6 35.63

8 41.05

10 44.87

12 47.48

53.39

53.39 1 - e -(0.1835)t

Cuando los mtodos numricos - modelos matemticos - no pueden resolverse con exactitud, se requierede una solucin numrica que se aproxima a la solucin exacta.

Los mtodos numricos son aquellos en los que se formula el problema matemtico para que se puedaresolver mediante operaciones aritmticas.

Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razn del cambio de la velocidad con respecto altiempo , tenemos:

dv = v = v ( ti + 1 ) - v ( ti ) ( 10 )

dt t ti + 1 - ti

Diferencias finitas divididas

v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti

v ( ti + 1 ) = es la velocidad despus de un tiempo mas tarde:

ti + 1


17/59

sustituyendo la ec. ( 10 ) en la ec. ( 8 ):

v ( ti + 1 ) - v ( ti ) = g - c/m v ( ti)

ti + 1 - ti

Reordenando:

V ( ti + 1 ) = v ( ti) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti ) ( 11 )

A cualquier tiempo

Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamao del paso.

Ejemplo 1.2

Resolver el ejemplo anterior mediante una solucin numrica para calcular la velocidad. Emplear untamao del paso de 2 segundos.

Datos:

m = 68.1 kg

c = 12.5 kg/s

g = 9.8 m/s

V ( ti + 1 ) = v ( ti) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti )

V1 = V0 + g - c/m V0 ( ti + 1 - ti ) ; t1 = 2 seg

V1 = 0 + 9.8 - 12.5/68.1 (0) (2-0) = 19.6 m/s

t2 = 4s, v2 = ?

V2 = 19.6 + 9.8 - 12.5/68.1 (19.6) (4-2) = 32 m/s

Sustituyendo:

V3 = V2 + g - c/m V2 (t3 - t2)

V3= 32 + 9 .8 - 12.5/68.1 (32) (2) = 39.85 m/s

Entonces V3= 39.85 m/s

Sustituyendo:

V4 = 39.85 + 9 .8 - 12.5/68.1 (39.85) (2) = 44.82 m/s

V5 = 44.82 + 9 .8 - 12.5/68.1 (44.82) (2) = 47.96 m/s

V6 = 47.96 + 9 .8 - 12.5/68.1 (47.96) (2) = 49.95 m/s

t,s SN SA

0 0 0

2 19.6 16.42

4 32 27.76


18/59

6 39.85 35.63

8 44.82 41.05

10 48.01 44.87

12 49.05 47.48

53.39 53.39

1.2. Importancia de los mtodos numricos

Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos detal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas.

El anlisis numrico trata de disear mtodos para aproximar de una manera eficiente las solucionesde problemas expresados matemticamente.

El objetivo principal del anlisis numrico es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos

utilizando slo las operaciones ms simples de la aritmtica. Se requiere de una secuencia deoperaciones algebraicas y lgicas que producen la aproximacin al problema matemtico.

Los mtodos numricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemticos en:

Clculo de derivadas

Integrales

Ecuaciones diferenciales

Operaciones con matrices

Interpolaciones

Ajuste de curvas

Polinomios

Los mtodos numricos se aplican en reas como:

Ingeniera Industrial, Ingeniera Qumica, Ingeniera Civil, Ingeniera Mecnica, Ingeniera elctrica, etc...

1.3 Tipos de errores


19/59

Exactitud.- Lo que est ms cerca del valor verdadero.

Se refiere a que tan cercano est el valor medido o calculado con el valor verdadero.

Precisin.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a losotros.

Cifras significativas.- Es el conjunto de dgitos confiables o necesarios que representan el valor de unamagnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.

Confiables.- Por que dependen del instrumento de medicin empleado.

Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

La longitud del pizarrn es:

En 4 mediciones, siendo en cada medicin distintas personas, los resultaos fueron los siguientes:

1.- 3.0 m

2.- 3.0 m

3.- 3.0 m

4.- 3.0 m

La longitud de la libreta :

1.- 28 cm ( flexmetro ) 3.- 28 cm

2.- 27.5 cm ( regla ) 4.- 28 cm

La longitud de un lpiz:

Regla: 14.3 cm Tornillo: 14.327 cm

Vernier: 14.32 cm

La velocidad de un automvil:

Digital: 89.5 km/h

Cartula: 90 km/h

Cuntas cifras significativas ( que tan preciso debe ser ) son necesarias ?

1.- El total de cifras significativas es independiente de la posicin del punto decimal.Ejemplo:


20/59

El medir una mujer se registr que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm = 167 cm , (tenindose 3 cifrassignificativas ).

2.- Los ceros a la izquierda de dgitos no nulos, nunca sern cifras significativas.

Ejemplo:

Un balero tiene un dimetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km ( 2 cifras significativas ).

3.- Los ceros intermedios de dgitos no nulos, siempre sern significativos:

Ejemplo:

40072 ( 5 c.s. )

3.001 ( 4 c.s. )

0.000203 ( 3. c.s. )

Los errores.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida.

Error absoluto.- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:

EA = Vv - Va ( 12 )

Error Relativo.- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:

ER = EA = Vv - Va

Vv Vv

Error Relativo Porcentual:

ERP = EA x 100 % ( 13 )

Vv

Ejercicios:

Ejemplo.- Supngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La longitud delpuente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm.

Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule :

el error absoluto

el error relativo %

para cada caso:

Puente Remache

Vv = 10000 cm 10 cm

Va = 9999 cm 9 cm

EA = 10000 - 9999 EA = 10 - 9

EA = 1 cm EA = 1 cm

Error Porcentual = 1 x 100 = 0.01 %

10,000

Error Porcentual = 1 x100 = 10 %

10

Ejemplo:

Suponga que el valor para un clculo debera ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va =0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:

EA = 0.10 x 102 - 0.08 x 102

EA = 2 = 0.2 x 101

ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%

0.10 x 102

Ejemplo:

Vv = 0.24 x 10 - 4 Va = 0.12 x 10 - 4

EA = 0.24 x 10 - 4 - 0.12 x 10 - 4

EA = 1.2 x 10 - 5 , 0.12 x 10 - 4 , por lo tanto es pequeo

ERP = 0.12 x 10 - 4 x 100 = 50%, por lo tanto es grande.

0.24 x 10 - 4

Ejemplo :

Vv = 0.46826564 x 10 6


21/59

Va = 0.46830000 x 10 6

EA = 0.46826564 x 10 6 - 0.46830000 x 10 6

EA = 34.46 , por lo tanto es grande.

ERP = 34.36 x 100 =7.33771504 x 10 - 3, es pequeo

0.46826564 x 10 6

Concluyendo , cuando se manejen cantidades muy grandes o muy pequeas el EA puede ser engaoso,mientras que el error relativo es ms significativo en estos casos.

Determinacin del error en ausencia del valor verdadero

Cuando no se conoce la respuesta verdadera, es necesario estimar el valor en ausencia de los valoresverdaderos. Ciertos mtodos numricos usan un mtodo iterativo para calcular resultados, tales casos sehace una aproximacin con base en la aproximacin anterior. Es decir, el error se calcula como ladiferencia ente la aproximacin actual y la aproximacin previa.

Ea = aproximacin actual - aproximacin anterior x 100 (14)

aproximacin actual

Ea 0, la raz se encuentra en el subintervalo superior, entonces xi = xr, contine el paso 2.

PASO 5.- Cuando Ea < , el clculo termina.

Ej. Determine el coeficiente de rozamiento c =? Necesario para que un paracaidista de masa = 68.1 kgtenga una velocidad de 40 m/s, despus de una cada libre de t = 10 seg. La aceleracin de la gravedades de 9.8 m/s2. La ecuacin a utilizar es:

f(c) = gm/c ( 1 - e-(c/m) t ) - v = 0

Solucin analtica:

Aproximacin grfica:

f(c) = 9.8 (68.1)/c ( 1- e -(c/68.1) ) -40

= 667.38/c ( 1-e(-0.146843) ) - 40

c f ( c )

4 34.115

8 17.653

12 6.067

16 -2.269

20 -8.401


27/59

biseccin

xi = 12, xs = 16

xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs

f(xi) = f(12) = 6.067

f(xr) = f(14) = 1.5687

f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) > 0, la raz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr

n = 2

xi = 14, xs = 16 , xr = 15

f(xi) = f(14) = 1.5687

f(xr) = f(15) = -0.4248

f(xi) f(xr) = (1.5687)( -0.4248) < 0, la raz se encuentra en este subientervalo, xs = xr

Ea = {15-14/15} x 100 = 6.667 %

n = 3

xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5

f(xi) = f(14) = 1.5687

f(xi) =f(14.5)= 0.5523

f(xi) f(xi) > 0, xi = xr

Ea = {14.5-15/14.5} x 100 = 3.448 %

n = 4

xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75

f(xi) = f(14.5) = 0.5523

f(xi) =f(14.75)= 0.05896

f(xi) f(xi) > 0, xi = xr

Ea = {14.75-14.5/14.75} x 100 = 1.695 %

n = 5

xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875

f(xi) = f(14.75) = 0.5896f(xi) =f(14.87)= -0.1841


28/59

f(xi) f(xi) < 0, xs= xr

Ea = {14.875-14.75/14.875} x 100= 0.840 %

n = 6

xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125

Ea = {14.8125-14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %

Ea

Documents

Este método se basa en la fórmula de Newton.docx