SÓLIDOS(figura del espacio)

POLIEDROS CUERPOS REDONDOS

PRISMAS PIRÁMIDES CILINDROS CONOS ESFERAS

Prof. Jessica Mora Bolaños No. 1Estereometría o Geometría del Espacio

La estereometría estudia los sólidos, los cuales son una porción del espacio limitada por superficies geométricas.

Los sólidos se clasifican de la siguiente forma:

Poliedros: Porción de espacio limitada solamente por polígonos.

Dentro de los poliedros podemos encontrar:

1) Los prismas

Prisma RectoSon poliedros limitados por dos polígonos paralelos y congruentes llamados bases, y por caras laterales que son rectángulos perpendiculares a las bases.

Por ejemplo:

Dos prismas muy importantes son:

El PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR o prisma de base rectangular.

El hexaedro regular o cubo.

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

- Todo prisma tiene altura (distancia entre sus bases).

- Si la base del prisma es un polígono regular entonces este tiene diagonales, un radio y una apotema.

- Se llama diagonal de un prisma, al segmento de recta que tiene por extremos dos vértices opuestos.

AREA DE UN PRISMA

A total = 2 A base + A lateral

VOLUMEN DE UN PRISMA

Volumen = A base h

CARAVERTICE

ARISTA

CARAVERTICE

ARISTA

PRISMA DE BASE

TRIANGULAR

PRISMA DE BASE RECTANGULAR

PRISMA DE BASE HEXAGONAL

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2) Las Pirámides.Pirámide recta

Las pirámides son poliedros cuya única base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos que concurren en un punto llamado vértice o cúspide de la pirámide.

Por ejemplo:

TETRAEDRO REGULAR: Pirámide recta que tiene todas sus aristas congruentes.

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

- Toda pirámide tiene altura, y el pie de la altura es el centro de la base.

- La altura de cada triángulo que forma las caras de la pirámide, se llaman APOTEMAS de la pirámide.

- La base de la pirámide, por ser un polígono regular tiene diagonales, un radio y una apotema.

AREA DE UNA PIRÁMIDE

A total = A base + A lateral

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Volumen = A base h

Cuerpos Redondos Son los cuerpos geométricos que están limitados por superficies curvas o por superficies planas y curvas.

Los cuerpos redondos son los siguientes:

3) Cilindros

Cilindro Circular Recto

Sólido que tiene dos bases circulares congruentes y paralelas, y una superficie lateral curva o alabeada.

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

- La superficie lateral es generada por un rectángulo.

- La altura es la distancia entre las bases.

PIRAMIDE DE BASE

TRIANGULAR

PIRAMIDE DE BASE

CUADRANGULAR

PIRAMIDE DE BASE

PENTAGONAL

altura: h

arista lateralapotema de la pirámide

apotema de la base

radio

altura: h

generatriz: g

radio

altura: h

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AREA DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO

A total = 2 A base + A lateral

A total = 2 ( r 2) + 2 r h

VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO

Volumen = A base h

Volumen = r 2 h

4) Conos Cono Circular Recto

Sólido cuya base es un círculo y cuya superficie lateral termina en un punto llamado vértice, y es curva o alabeada.

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

- La altura es perpendicular a la base circular en el centro.

- La superficie lateral es un sector circular cuyo arco tiene igual longitud a la longitud de la circunferencia de la base.

AREA DE UN CONO CIRCULAR RECTO

A total = A base + A lateral

A total = r 2 + r g

AB = r2 AL= r g

VOLUMEN DE UN CONO CIRCULAR RECTO

Volumen = A base h

Volumen = r 2 h

AB = r 2

AL = 2 r h

2 r

h g

g

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5) EsferaEsfera

Cuerpo tal que todos los puntos de su superficie están a igual distancia de un mismo punto fijo que se denomina centro de la esfera.

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

- El segmento que une cualquier punto de la esfera con el centro se llama RADIO.

- La sección plana de una esfera es un círculo; si éste pasa por el centro es un círculo máximo.

AREA DE UNA ESFERA

A = 4 R 2

VOLUMEN DE UNA ESFERA

V = R 3

PRACTICA

PRISMAS Y PIRÁMIDES1. Queremos forrar las caras laterales de una columna que tiene forma

de prisma triangular regular, en la cual, el lado de la base mide 4 m y la altura de la columna mide 3 m. ¿Qué cantidad de material necesitamos?

2. Halle el área total y el volumen de un cubo cuya arista mide 8cm.

3. El área total de un cubo es 294dm2. Calcule la medida de la diagonal del mismo.

4. Halle el volumen de un cubo cuya área mide 54cm2.

5. Halle el área total de un prisma hexagonal regular cuya arista basal mide 6cm y su arista lateral mide 24cm.

6. Halle el volumen de una maleta cuyas dimensiones son 9cm, 24cm y 35cm.

7. Halle el área lateral de un prisma hexagonal regular que tiene una altura de 6cm y de arista basal 2cm.

8. Halle el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular que tiene de altura 10cm y de arista basal 20 cm.

9. Halle el área total y el volumen de un paralelepípedo rectangular cuyas medidas son 12cm de largo, 5.5cm de ancho y 10cm de alto.

10. Calcule la medida de una de las aristas laterales de una pirámide de base cuadrangular regular sabiendo que la apotema de la pirámide mide 5cm y las aristas de la base miden 6 cm.

11. Calcule la medida de las aristas laterales de una pirámide regular cuya altura mide 6 cm y tal que la base es un hexágono regular de 24 cm de perímetro.

12. Halle la medida de la altura de una pirámide de base cuadrangular regular cuya base tiene un área de 32 cm2 y cuyas aristas laterales miden 5 cm.

13. Halle la medida de la apotema de una pirámide regular cuya altura mide 15 cm y cuya base es un cuadrado de 7 cm de lado.

RR

R

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14. Halle la apotema de una pirámide hexagonal regular de 6 cm de arista basal y 18 cm de altura.

15. Halle el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base es de 4 cm y cuya altura es de 10 cm.

16. Halle el área y el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya apotema basal mide 6 cm y la apotema de la pirámide mide 18 cm.

17. Halle el área y el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm y cuya altura de la pirámide es de 10 dm.

18. Determine la medida de la altura de una pirámide triangular cuyo volumen es 250 cm3, si su base tiene un área de 31,36 cm2.

CILINDROS, CONOS Y ESFERAS19. Calcule la medida de la altura de un cono que tiene un radio que

mide 3cm y una generatriz de 5cm.

20. En un cono la altura y la generatriz miden, respectivamente, 15cm y 18cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia de su base?

21. Determine el volumen de una tienda de campaña de forma cónica cuyo radio de su base mide 1.3m de longitud y tiene una altura de 1.5m.

22. Un cono circular recto tiene un volumen de 180 cm3. Sabiendo que el diámetro de la base mide 12cm, halle la medida de su altura.

23. Halle el área total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 15cm y su altura mide 9cm.

24. El área total de un cono recto es 816.4cm2 y su radio mide 7cm. Calcule la medida de la generatriz del cono.

25. Queremos pintar el área lateral de un edificio cilíndrico cuya altura mide 15 m y cuyo radio mide 3m. Calcule el área de la superficie a pintar y el costo de la obra a razón de 1500 colones el metro cuadrado.

26. Que resultará más caro, pintar un prisma de base hexagonal regular cuyas dimensiones son: 2cm de arista basal, 1.73cm de apotema basal y 11cm de altura, o un cilindro de la misma altura cuyo radio mide 2cm.

27. Halle el área total y el volumen de un cilindro circular recto de 20cm de altura y 8cm de diámetro.

28. En un cilindro circular recto el área lateral es 280cm2 y la altura del mismo es de 10cm. ¿Cuál es el volumen del cilindro?

29. Calcule el área de la Luna sabiendo que el diámetro mide aproximadamente 3475km.

30. Determine el volumen de la Tierra sabiendo que el radio mide 6340km.

31. Halle el área y el volumen de una esfera de radio igual a 4cm.

32. Determine el radio de una esfera cuya área es igual a 36cm2.

33. Halle el volumen de una esfera de radio dm.

34. Halle el área de una esfera cuyo volumen es de 4cm2.