146

Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ �����

�������� � �� ������� � ���� ��� ��������

������� ������� ������� � ���������

��������� ��������� � � ����� � ���������� � � ����� � �������� � � � � ����� �� ����� � ��������� ��������� ����� � ������ �� ���������� �� �����

!��� � ���������" �������� �� ����� � ��#����$������ �" ��%& '��& ����� (������� ���)

��� �������

Page 2: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP

Barbosa, Daniel B238e Estimação da freqüência em sistemas elétricos de

potência através de filtragem adaptativa / Daniel Barbosa ; orientador Denis Vinicius Coury. –- São Carlos, 2007.

Dissertação (Mestrado – Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Sistemas Elétricos de Potência) –- Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, 2007.

1. Sistemas elétricos de potência. 2. Estimação de

freqüência. 3. Filtro adaptativo. 4. Proteção digital. 5. Variação de freqüência. 6. ATP. 7. Mínimos quadrados. I. Título.

Page 3: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

FOLHA DE JULGAMENTO

Candidato: Engenheiro DANIEL BARBOSA

Dissertação defendida e julgada em 08/08/2007 perante a Comissão Julgadora:

Prof. Titular E(Escola de En

~~\\ei~ _Prof. Dr. FERNANDO AlJGUSTO MOREIRA(Universidade Federal da BahialUFBA)

'1, \"c~-m,V,

Dr/ SÉ CARLOS DE MEL?IVIEIRA JUNIOR(Pós-doutorando FAPESP) U

Afl<.OVAJ) O

O ROBERTO MARTINS DA COSTACoordenador Programa de Pós-Graduação em

em Engenharia Elétrica ePresidente da Comissão de Pós-Graduação da EESC

/c::----.-- ~/: -

-------·-,-~._~ •••w ••••,_.~_ _ '._

Page 4: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Page 5: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ ����

��� ��� ����� ������ � ��������� ��� ���� � ��� ��

���� � ���� ��� � � � �� � �� �� !������� ���

���� ����� � ����� ��������� ��� ��� �� ������� ����

������"#�� ����� �� ����� �� ���$��� �� ���%���&��

����� ���%�� � � � �� � �� ������ �#�� ���� � �� �

����� ��

Page 6: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Page 7: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

���������� ��

� !��� ���� �� � #��� � �� $����

�� ��������� !���� '������� ����(� ���� �������&��� ��� ���� � ���� #��� �� ������&� ����

��� �� ���������� � ������� � �� %� ���� ����&�� ����������

�� ��������� )"��� *���+�#���� ���� ����&�� ����������� ������ �������#� � � ����� � �����

�� � ������

��� � ���� � ������� �� �,��������&�� � � �������� � -������� *������ .������� �$�#���

�����(� )���� �������� ���/����� 0���1����� 2��$��� � 3������� ������ ������� ���� � ����� �

��/$��� #�������� ��� � ���� )����� � �������� ���� ���$ ���� ����� � ������&��� �� � ���

-����� )� )����� ����� ����������� �� ��������� ����� ����� ���������� �� ������ ���� �����

���%�� ��

� �� � �� ����� �#�� ��� ��� ������&�� �� ��������� �� ��� ����� � � �������#��

4� � ���� ��� � 5�6�� ���� �� ��� �� � � ����� �� ��������

� ����� �� ����������� � �������"���� �� !������ ���� �� 7���� ���� 7�������� �� 7�����

�� 7���� ���� �� ��� ������ 877��9 � .��#�������� �� ��� 0���� 8.�09� ��� �� ���� ���

����%����� ������� � �� � ��� ��1���� ����� ���#���������

�� 2�%����,��� �� ����� �� �� 7������ 7������� � 2�77� ���� ��� ���&�� � ������ �����

�������%�������� �� �����#��#� ���� ����� ���%�� ��

4 ��07� 8��������&�� �� �������&�� ���� �� 0������ �� 5$#�� ��������9 � �� �50� 8����

��� � 5������� �� !����#��#� ���� �����$��� � :�����,����9 ���� ��������� �� %���� �� �������

� ���� ����� ��������� ���� � �������&�� ����� ���������

Page 8: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

Page 9: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

;<����� ���� � ����������� ����� ���� � ����� � �����"����;

=� �� >��� ��

Page 10: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

Page 11: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������

������ ��

��� �� ����

���� �� ����� � ���

���� �� � �� � �����

���� �� ���� ��� � � ���� � ���

� ���������� �

?�? �����/�������&�� � 6���������#� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?

?� *%6���#�� �� ���%�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @

?�A )���������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B

?�@ 7�������� �� ���%�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C

� ������� ��������� �

���!� ���!����� ��

A�? >��#� �#���&�� ���,���� ��� ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

A� -���� �� ������ �� ����D1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B

A��? ������&E�� �� ����� �� ����D1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C

A�� -���� �� ����D1���� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A

" ������ ��!����� � ��� ��

@�? F�� ���&�� ��� "���� ���� � �%���&�� �� ����� �������� � �������� � ��������)����% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A@

@� ����� � �������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � AB

@��? G������ �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � AC

@�� :������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @

@��A )������� ��� ��� �� �� ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @@

Page 12: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

@��@ ������ ���������� �� ����� � �������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � @H

# ������� � $� ����� #�

B�? F������ ��������#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B

B� 7��������� �� ����� ��������#� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B@

B�A :����� %"���� �� ����� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B�

B�@ * ������� � ))< %"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C

B�B *����� ������ ��������#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CB

B�C .������&�� ��� ������ ��������#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CB

% �������� $ � ����� ��� � &��'()��� �����* ��� ++, %-

C�? ������� � �� ���� �&�� �� ����D1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CH

C�?�? ������&�� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CI

C�?� 5�� �����&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

C�?�A F����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �?

C�?�@ :������� �&�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �?

C�?�B G������ �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A

C�?�C F����� ��������#� � ))< � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A

C�?�� :���� ���� �� ����� �� ��$�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

C�?�H �"����� �� ����D1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �H

C�?�I �������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �I

- ������ ��� .����� ��� � +!���� �� +/����� ,� �� ��� $ � 0���� ��� �

���'()��� 1�

��? -��������� �����&���� ���� ������� � ���� ������ ������� ���� ��� ���&�� ���� "���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � H

��?�? '����&�� �� �J ��� �� �����&E�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � HA

��?� '����&�� �� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � H@

��?�A '����&�� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � HB

��?�@ '����&�� �� �J ��� �� ��� �� ��! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � HC

��?�B '����&�� �� ����D1���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � H�

�� -��������� �%����� ���� ������ ������� ����#�� �� �� ���&E�� �� � �������� �:0 HI

���? 7������ � ��$�� �J%��� �� � %���� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � I?

��� F���� � BK �� ��� � �� ����� ����� 2:? � � � � � � � � � � � � � � � � � � I?

���A F���� �: �� %���� ���� >2: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I

���@ 7�������&�� �� �������� ���� :-A� ��% �����&�� �� ����� �/����� � � � � IA

���B F���� �>�: �� %���� ���� >2:A* � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I@

Page 13: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

1 2������3�� �#

H�? ���������&E�� ��%�� � ������� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IB

H� ������E�� ���� � ������������ �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I�

��&��)��� � 4��������� � ��

�'���� &���� � ����� ��� �� �5 �6#

Page 14: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

Page 15: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�����

>�->*��� !� 0���� ��� � ���'()��� �� ������ � 0�!������ �� 5��)��� �� �!�

�� ����� ��� � $� ��� � �� ? �� !�������&�� 8)�������9 � 7����� �� 7���� ���� ��

��� ������� .��#�������� �� ��� 0����� ��� 0����� ��

7��� ���%�� � ��������� � ����� ���� � ���� �&�� �� ����D1���� � ����� �� ��������� ��

���1���� ���������� ������ ��������#�� %������� �� ������� � ��� $�� �� ��������� 8 �� �

����� ���� ������9� � ��"���� �� ����� � �� ���1���� � ��������� ����#�� �� ���#����� ��� ����

�E�� ����"����� � � ����� �� ���/� ���� ������&�� �� �������� ��� αβ� ��6� ��� � �� ���/�

��� ����������� �� ������� � �� ������� ��������#�� * ����� � %������ �� ������&�� �� ���

����� ��������#� ���� � �������&�� �� �������� �� ����� �� �������� � ��� ��� ��� #������� �

��� �� ����� ���� #������� �� �� ��� * ������� � �������� ��� ������� ����#�� �� ��� �� ��

����� ������� �� � �������� )����% � �� �� ���&E�� ���������� ����#�� �� �������� ����������

��������� ������� 8�:09� L � �������� ��������� ��� ��� �� ���&E�� �� �:0 ���� ������

��� ��#����� ������ ����� ��� ��������� � ����� � �������� �� ���1����� ��������� � �������

�$������ �� ������&�� �� #���������� ��� �� �� ����� ����� �� #����&�� � ����D1���� � ������

��� ������ �� ���1���� �� ���� ��������#�� ���#�� �� ������&��� 7���� ��������� ��#���

��� �%6���#� ����� ����� ��� ��� ��#����� � ��������� �����&E�� ���� � #������&�� � ��"���� ��

���������� ��������� *� ���������� �� �������� ����� � �/���1���� �� ������%������� �� ���

����� � �������� �� ���� �&�� �� ����D1���� �� � ����� � ��������� �� � �� ������ ���������

��� �� �������� ��� �� ����D1���� � �����&E�� �� ���%�� � �����&��� ������ ��� ����������

������������ �� ���� �� ���� �&E�� �%����� ���� ������� �������� � ����&�� M� ���� �&E��

�� � ����� ����� ���� �� ������� �%������� M �����#���� �� ����D1�����

5 � �� �728 ��9 ���� �&�� �� ����D1����� ����� ��������#�� �����&�� �������� ����� � ��������

Page 16: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

�� ���1����� #����&�� �� ����D1����� �:0� $�� �� ����������

Page 17: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

��� ���

>�->*��� !� ���'����: 0���� ���� �� 5�;�� �:���� �8����8 � $���� ����������

�� ? �� !����������� 8)�����9 � 7����� �� 7���� ���� �� ��� ������� .��#�������� �� ���

0����� ��� 0����� ��

: �� N��+ �������� � �� �� ��� ��������( ���� ����� �� ��N�� �(��� � ����� ������#� ������

%���� �� � � ������� �� ����� ��� ������ 82)�9� : � ����(��� �� � � ��N�� �(��� �� ���

� ���� � � ���#������ �� � � � ����� ��� #������� �� � �� ���/ ������ N�� � � ����������� �� αβ

�������� � N ��� �� ���/ ��� N�� �������� �� � � ������� �� ������#� ��������� : � �� ��

�� %���� �� � � ����������� �� � � ������#� �������� ��� ����+��� � � ����� ������� ��� �� ����N�

#����(��� ��� #������ %� �#��� �� �� �� : � ������� N�� ������ � ���� N�#���� � ���������

%( )����% ����N��� ��� �� �������� ������� ��� � ���� ���������#� :��������� 0����� 8�:09

����N���� O� �� � ������� �� ����� ��� � �� �� � � �� �������� ����� �:0 ��( �������� ��N��

�(��� ����� ���� �� %��� ������� ��������� � �(�� ������ ��������� N�� ����� �����������

����� ������ ����� N�� #�������� �� ��������( ��� ��N�� �������� ��� N�� � ��� ����������

���#��� : � �%6����#� �� � ��� ����� N�� �� �������� ���� ��� ��#���� ��� �������� ����������

��� � � #���������� ��� � � ����(��� �� � � �������� �� ������(� : � ������� �� � � �������

� �N � � �/�������� �� � � �������%����( �� � � ������� ���������� �� ��������( ���� ����� ��

�� ���������� �(��� � �#�� N�� ����( �������� �� N��� �� � � ����+��� �� � � ��������( ������

���������� �� � �� � � ������� ��� �� ����� �� � � ���� ��������� %( � �� ������ ����( ��� ��

����+ ��������(�

<�:;����9 ��������( ���� ������ ������#� ������ ������� ����������� ��N�� �(��� � ��������(

#��������� �:0� ����� ��� �������

Page 18: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�����

Page 19: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

��� � �� �����

?�? 2� ���&E�� ��� ���%��� � #���� ��% �����&E�� ���� ��� �� ����D1����� � � � � � � @

?� )����� �� �����#��#� ���� �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C

A�? ��%����� �� �� ����� � �� �����&��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

A� -���������&�� �,���� ��� ����� �� �����&��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?

A�A 0��������� �� �������� �� � ���� ������ ��P���� �� �������� -�� �� ���� � � �

A�@ 7���� � �� � ���� �� ������ �,����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A

A�B 7���� "���� �� � ���� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @

A�C 7���� � �� ��6��&�� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � H

A�� �� ����� ���� �� ����D1���� ������� � ��6��&�� �� ����� ���� "����� � � � � � � I

A�H -���� �������� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A?

@�? F��/���� � �� ����&�� ��� ������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A@

@� :���E�� ����"����� ������� �������� �� �������� )����%� � � � � � � � � � � � � � � AB

@�A )����� �� ����� � �������� ��������� �������� �� �������� �:0� � � � � � � � � � � AC

@�@ )������� �� ������� �$������ �� �:0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � AH

@�B 7���� � �� �� �� �� �� �������� �� �70� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � AI

@�C 7���� � �� ��������� �� ����� �� #���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � @

@�� F��&�� �� ��������1���� �� ��������� �� #���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � @

@�H !����� � �� >��� �� ���&�� �� ��������1���� �� ��������� �� #���������� � � � � @?

@�I !����� � %"���� �� �������� ���� �� ����� � �� ������ � � � � � � � � � � � � � � @?

Page 20: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

@�? )������� �� �� � �� �������� �� ����D1���� �� �:0� � � � � � � � � � � � � � � @

@�?? )����� �� �������� ���� ����"���� ���#���� � ������� #�� �:0� � � � � � � � � @A

@�? !���� �� ��� ����/E�� ��� ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @A

@�?A �����#� �� ������� �� ����� �� �������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � @@

@�?@ ���#� �� ������&�� ��� �������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @B

@�?B �����#� �� ������� �� ������ ��:.-�:O*5� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @B

@�?C ��� ���� �� ����� �� ��� � �� ?AH+'� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @C

@�?� :��������&�� �� � � ��� � �� ����� ����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � @�

@�?H -���������&�� �� ����� ��� ���P ����� ������%�$���� � � � � � � � � � � � � � � � @�

@�?I '����&�� �� ,���� �� � ���P���� ��������$����� �� 2: � ���&�� �� ����D1����� @H

@� �����#� �� ������� �� ������ 3)�-:O� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @I

B�? !����� � ����� "���� �� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B?

B� ���� �� ��������&E�� ��� ������ ��������#��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B@

B�A !����� � �� %����� �� ����� ��������#� �� � �������� �� ��$��� � � � � � � � � � B@

B�@ F����� ��������#� �����#������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � BB

B�B F����� ��������#� ��� �� %���&�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � BC

B�C 7�������� �� ����� OO-� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � BC

B�� F����� %"���� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � BH

B�H ������$��� �� ���� ��� � �� ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � BI

B�I O ��� ����&�� � �������� ���� � ������� ��������#� � �� �� ����� � � � � � C

B�? O������&�� �� #����&�� ��� ����������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C

B�?? '����&�� �� ������$��� �� ���� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CA

B�? O������&�� �� ��%������&�� ��������� ����� � ����� � � ��$��� � � � � � � � � � � � � CC

C�? F��/���� � �� ������� � �� ���� �&�� �� ����D1����� � � � � � � � � � � � � � � � � CH

C� !����� � �� ������&�� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � CI

Page 21: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

C�A � ������&�� �� ����� ��������� �� ��� � 6�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

C�@ F��/���� � �� ��� �����&�� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

C�B F��/���� � �� ������� �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A

C�C !����� � ���� ��� �� ������� � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �B

C�� 0���� ���� � � ����"��� ��� ����������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �B

C�H 0���� ���� � � ����"��� �� ����� �� ������� �� ���/�� � � � � � � � � � � � � � � � � �C

C�I F��/���� � �� ����� !F:� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �I

��? F��/���� � �� ����&�� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � HA

�� 7��� �&�� �� �7F))< ������ � #����&E�� �� �J ��� �� �����&E��� � � � � � � � � H@

��A 7��� �&�� �� �7F))< ������ � #����&E�� �� � ������� �� ������ � � � � � � � � HB

��@ 7��� �&�� �� �7F))< ������ � #����&E�� �� ���� �� ����� ����� � AC ������ � HC

��B 7��� �&�� �� �7F))< ������ � #����&E�� �� �J ��� �� ��� �� ��!� � � � � � H�

��C 7��� �&�� �� �7F))< ������ � #����&E�� �� ����D1����� � � � � � � � � � � � � � HH

��� -������� �� �7F))< ���� � � �J%��� ������&�� �� ����D1����� � � � � � � � � � HI

��H 7����� ��%��������� ���� �%���&�� ��� ���������� �� ���� �� ������� � � � � � � � � HI

��I F���D1���� ���� � ����� � � ���� � ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � I

��? 7������ � ��$�� �J%��� �� %���� �� ������ A� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I?

��?? F���� Aφ � BK �� 2:? �� � ��� ��������� ������� ����� � � � � � � � � � � � � � I

��? 7��� �&�� �� ����D1���� ���� � � ����� �: � >2:� � � � � � � � � � � � � � � � IA

��?A 7�������&�� �� �������� ���� :-A� ��% �����&�� �� ����� �/������ � � � � � � � � IA

��?@ 7��� �&�� �� ����D1���� ���� ����� �>�: � >2:A*� � � � � � � � � � � � � � � � I@

Page 22: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

Page 23: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�����

��� � �� �������

@�? !���� �� ������� �$������ ��������� �� �� ���&��� � � � � � � � � � � � � � � � � � A�

@� 0��P ����� �� ��������� �� #���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � @

@�A !���� �� ������ � �������� ���� � ������ ��:.-�:O*5� � � � � � � � � � � � � � @@

@�@ !���� ��� ������ � ������� ���������� ��� �� ���&E��� � � � � � � � � � � � � � � � B

@�B !���� ��� ������ � ����� ���������� ��� �� ���&E��� � � � � � � � � � � � � � � � � B

��? �� �������� �� Q����� ��� ��� �� �� ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � H

Page 24: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

Page 25: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

��� � �� ������� ��� � �����

0��+� ������� � �� 7��� �&�� �� F���D1���� ��� ���� ���� ������

= ������� � G�������

�5 ���������� ��������� �������

2> ���#����� ����,���� !������

22 �������� ����$���

2.+��>0 ������ ������ ��� �������� ���� �� �����

25�� �� ��� �� 0������� �� F��&� � 2��

>2 ��� � �������

>�5 0���������� !������ �� ������

��� F����� �� -������� �� O �����

��� F����� �� -������� O������ �� O �����

?+��� -����� �� �:0 ���� ������� �� ��� �� �� ����� ����� �� #����&��

� ����D1����

�02 ����� ���� ������

�0� ���� ����� ������

�+� ���� ���� ������

�� 2�� � �� :���� �����

.@� *������� 5������� �� ����� �

$� ��� �������

,00 <�������� �� 7������ 7�������

�@ -��� 5����� ���������

��A���.@ -����� �� �:0 ���� � ����&�� �� ���#� �� ������&�� �� �������� ����

�05 ����� � 7������� �� 0��1����

�!" ����� !��� "���

�2 :������� ���� �� ��������

Page 26: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

�>� :������� ��� !������� �� F������

�5 :������� ���� �� 0��������

�B :������� ��� ��#����

C2. *�������� �� :����� ����������

Page 27: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��������

�� ������

��� ��������� ��� � ���������

* ����$��� �#��&� ������,���� � � ��������� ����������� �� � � ���� ������ �� �������

�������� �� � ���������� � � �/������ ���������#� �� ����� � �������� �� ���1���� 8�709� �����

�� ��� ,����� �� ��� ����&�� ��� 7������ .����� � ?HHB� ��� �� ���� ������ 8���#������ ?IHC9�

:�� ����� � � %����� ���� �� ����� �� ��1� ������� ��%������ ��R � ����&��� � ����� ����� �

� ������%��&��� �� ����� ��� �����6���� ���� ������������ ��������� ����E�� �� ��������� ��

������� ���� � ������ � �� ���� �� ������� �������� ���� �� ����� �������

L � �������� ��������� ��� � � ����&�� ��� ������ �� �70 ���� � � ����� �� ��#�� ������� M

����� ����� 6" ��� ���� ��S�/�� ��������� ������ ���� ��� ����E�� �� ���������� �����%�������

� ������������ �� ������� ��������� �� � ����� �� �� ��� � �����1���� �� ������ �� �����&E��

�������,���� ��� ����D���� ���� �%���#���� �� ����� �� ����� �� ������� ���#���� ��� ����� ��

� �������� ���� ���� �� �� �� �� ��6� ���� �����1���� �� ���� ���� �� ����� �� ���� ����

%�� �� ���� ������ ���� ��� ������ ���� ����� 7���� �����&E�� �� �����&�� ��� ������6"#��� �

���� �������� ������ � ������ ����� � ���"���� ��� �� %������� �� �70� !�� ����$#��� �����

���#������ ��� �����&E�� �������,����� ������ � ������ ��� G������ � !�� 8A9� ���� ���R �

��������&�� �� �������� ���� ��� ������ �������� �� ������ ���� � � ��� ����$#�� ���������&���

'��� �� ����� ��� ���� �����&E�� ���������� �� ����������� �� ����J�%�� � ��������%������� ��

������ ���� ������ M� ��� ������ 7���� ���%�� �� ���#�������� ��� ������ �� ����� � #1 �����

�#���������� ��� J��� �� ���� ��#��� M #���� ������&�� �� ���������#�� �������� �� ���� #���������

� ����������������� � ����� �� �� ��������� ����������� � ������ ������ ����� �����Q�����

Page 28: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����$#���� �� ���� ������ �� ������ ������"��� � ��� �� ������ �� ��� ����� �#���� ��

��� ���� � � ����� �� ���� ���%�� �� � ���&�� �� �������&�� �� ��������� � �������� ����� ��

�� �����&���

0�������� ������ ������"��� �%���#�� �� ��#����� ����J�%��� ��� ����� ������ ���� � ����

����� ���� �� ����� � �������� �� ���1���� � � ��������� �� ������� ���#������� ����� � ����

��������������� ������D1������ ������� !���� �� ��� 89� �� ���������� ���%�� �� ����������

��� M <77 �� ������D���� ����� M ���� �������� ���R

?� �������,����T

� #����&E�� �� ������ �� ����� �� ����� ����&��T

A� ��������$%���� ��� ����� �� ������T

@� ������&E�� �� ��� � �� ����T

B� S����&�� �� ������ �

C� #����&E�� �� ����D1�����

:��� ���Q ���� ����� ������ ���� ���������� M� ��������� ��������� �� ������ � ����D1�����

� ��� �����%����� � �������&�� ������ �� � ���P ����� �� �����&�� �� �70� � � #�� ��� � ���

�������� ���� ���� ��� ��������� � ���������� ��� ����� #���"#����

� ������� �� � ���P ���� �� ���� ��� � �� ����� � ��������� ��� ��#� �%������ �� #����

��� ������� �������� ���� !������ 5� �A�H� �� B �� ��#� %�� �� ?I�A 8>-��O2� ?I�A9� �

� ����D1���� �� ����&��� ��#� ������� ��������$������ ��������� ��������� �� �R �� ����� �

��������������

� ����D1���� � � � ��� ��������� ����� ������ �� ����� �� ��6� ���� �&�� � �� �/��� �

� ����P���� ���� � �������� �� � � �����&�� ��� ��%���� � ����� ������ � �����&E�� �� ����J�%���

� �����%��������� ���� � �� ���� �� �� ���/����� �� �����&�� �� �70 � ��� ������&�� �� �

� ����� L � �������� ���� %��� ��� � #���� �� ���� ���� � ����� � ��������� ����� ����� ����

!������ 5� @?�?I� �� C �� ��#������ �� ?IB� 8>-��O2� ?IB�9� � �� C =�� ������� ������� � �

���/� �� #����&�� �� ± �B =�� ����� ��� ��6� �������� � ������� ���� ���� "���� �� ����&��

�������"#�� ���� ����� � 8*5�� ?9�

'��� ���� %��� ��� � ����D1���� � � �������� �������� ��� ���" ������ ���� ��������� M #����

������ �� ����&�� ��� ��������� ��� ������� ������� �������� �� �70� !���� ���� � ����$#�� �

Page 29: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������&�� �� �������� #����&E�� �� ����� �� � ����� ����� ���$���� �� ����� ��� ���#��������

�� %����&� ���P ��� ����� �� ������ ���������� �� ����� � � ����&��� �� ��� � �������� ���

���� � ���1���� ��P���� ����� ��� ��������� ��6� ����� ��� ����� ������ � ����� ������ �

���� � �/������ �� ���� �������� 87� ���� ?II@9�

�������� �� �� ���� �� ����D1���� �� �70 ���� �����&�� ��� �� �������� ���� *������� 5��

������ �� ����� � 8*5�9� ������ � ���� ��� �� �� �����&�� 8*5�� ?9� ���� ��� �/�������

��#��� � ������ �� ����J�%��� �� ���� ��������� ��6� ����� �������� ���� ��,���� ���P ��� ��

�������� ���� �� ����� � �� ���� ����� ��������� �� ���1����� �� � � ��$�� �� ������� �� �

������ %���� �� ����� �� � ������� ���� �� � � ����� �� ����&���

* �� �� � �� #����&�� �� ����D1���� � ��� ����&�� ������� �� ���� �� ����� � �� �� �� ��

�������� ��� ����������� �� #���������� ��� �6���� � ���1���� ����� ��� ��������� � ���&��

�� ������&�� �� ����D1���� �� ����� 5���� �����/��� � �/����� �� ������� ��P���� �� ����� �

���#��� � � ���#�&�� �� #��������� �� ������� � ��� � � ������� � �� ����D1����� ��������

��� � �������� ����� � � ����� �� ����D1���� �� ����� � ���������

'��� �� ����� ��� � �����1���� �� #����&E�� �� ����D1���� ��������"#��� ��� �� � ���� �%�

���#���� � ����� �� ��������� �� ��6�� "���� ������ � �� ���� ���� �� ���������� ���������� ��

������� ��� ������ �� ������� ����#"#��� � �� %���&�� �� ��������� � ������� �� � �������

)�����#�� � ��������� 8B9� 5����� ����� ��� �������� #����&E�� �� ������ ���� ���#����

��������$%���� �#������� ����� � ���1���� ���#� ��������� � � �� ������� 6" ��� � ����&�� � � ����

�� � ��� ��,/� ��� � ������������ � � ������D���� �����&�� �� �����%������� ��� �� ��� ���

� �������� ���� �� ����� � �������� � ���� ����� � �� ����&�� ����������

�� ������&E�� �� ����D1���� �� ����� � ���� �� ���/� �� �����&�� ��� �� ���#��� � � �����

�� ����������� ��� ���"���� �� �� �� 6" ��� �� ������ ����� ��������� ����� � ����&��

�� #��� J��� � ������&E�� ����������#�� ��� ��������$������ ���������� �� ��� � �� ��� ���� �

��� �������� ����� 5���� �������� � � �������� #���� %��� �� � ������ ��� �� #����&E�� ��

����D1���� ����� � ��� �� �� ����� ������ %���� �� ����������� � "������ ���������� ���� ��

������&E�� ��� � ���P����� ������ ���������#�� ����� ������� ������D1����� M �����&�� �� ����

��������� ��������� ������&E�� �� ������� �� S�/� �� ����� � �� ����%������� �� �� �� !����

��� �� ����������� ����� ��� � �����&�� �� ��� � ����D1���� �� ����� � ��6� ������ %� ��,/� �

�� ��� #���� �� ����� � ����� ?�? ������� �� �� ���&E�� �$����� ��� ���%���� � #���� �������

�����&E�� �� ����D1���� ���� ���� �����&���� � ����������� �� � �������� ������� �����

F����� �� �/������ #���� %����� � ������� ���� � �����#������ ���� �� ����D1���� ���

Page 30: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ ��� ����� ��� ��� ������� � ����� ��� ����� ��� �������� �� �����������

����� ������� �� �!�

�����%����� ������������ � �� ����� ���� �� �70 ������ M� #����&E�� ���P ���� �� ����� � ����&���

:��� ������� ��%� ��� ����� ����������� ��� �� ��������� ���� ����J�%�� �������� �� ����

�������� ���� ��%�� �� ���6�������� � � �� ������ � ���%�� �� ���� �� �� ���� �� �����&�� ��6�

��������������

��� ��������� �� ������

�� �&E�� �����#��#���� ����� ���%�� � �%6���#� �%����� �� ���%�� �� ������������ ��

� #����&�� �� ����D1���� �� �70� ���� �� � ���������� � � � ��� ����&�� �� ����������

%������ � ������ ��������#�� ����� �� ���� �� � ����D1���� �� �����&�� �� ��� � ���P ����

�"���� � ��������

* ����� �������#� ��������� �� ������� �������� � ����� � ������� � ��� $�� �� ���������

�� �������� �� ����� #���"#��� �� ��� � ��� � ���#���1���� ��6� �"���� � ������ � ������

��������� � ��� �#��������" � ��%����� � � �����%������� �� ������� � ����� �� ��������� ����$����

!����� �� ���������� �� � ��� ����&�� � �� �������� ������������ ���� ������� �� � �������

�%6���#� ��� ��� ����� ���� ������%��&�� �� �������� ��� � � �� ��� ���� � �����&� �� ��������

��� ����#�� �� ������&E�� ������������ � �/� ���� � #��������� �� �������� ����� #���� %�����

� � ������ ������&�� � ����� �� ��������

Page 31: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��� ���������� ����

� �������� ��� �����#��#��� �� ������� �� � ��� ����� � ������� � �������� � �� ���"��� ��

������ �������� �� ���� �&�� �� ����D1���� ��������� �� ����������� 5���� �������� � ������� � ���

� ��� ������ ������� ���� � � �#� �� � �������&�� �� �������� )����% 8)�� ���+�� ?9 �

��������� ���� � �������� �� ������ �&�� � 8�� ����� ?IIC9� �����%�������� � �������&�� ��

� � ����� �� ������ ��� #��%�������� � #������&�� �����#� �� ���� ��� � �� �� �� *� �����

���� �������&�� ����� ��#������&�� ���� �%����� ����#�� �� �� ���&E�� �������� ��� ���������

�:0 877.G� ?IH�9 � )����%�

*� ���������� ���� ������������ �#���������� � ������%�������� �����%������� � �������� ��

����� �������� ������ ��� ����� �� �������� ��� ����� ���%�� � ��� ������������ ������ ��

� ��������� �� � � ��"���� ���������#� � �� ������#� ��� ���������� �%����� ���� ������� �

���������

0��� �����&�� �� �%6���#�� ��������� �������� ����� � �������� �� �����#��#�� � ������ ���

������ ��� ��� ������������ � ������R

�� -�#���� %�%�����"��� U � ��$��� �� �������� ������� � ������ �� ��#���� ���� %�%�����"���

��� �%����#� �� �� �� � �����&��� ������ �� ���� �&�� �� ����D1���� � � � ����P����

�� ������� ���� �� ����D1���� ���� � �����&�� ��� �� �� �70� ����� ���� ���� �����

���� ����������� ������� �� "���T

%� !����#��#� ���� ����� ���� U � ������ �� ��#���� %�%�����"��� � �� ����� ���&�� �� �����

� ��� �����#��#���� ��� � ��� ������ � ������� � � � �#� �� )����% ���� � �������&�� ���

������ ��������� �� ��� � � #������� � ���#���1����� #��������� � � ��S�1���� ��� ���P �����

�� ��������&�� �� ���� ��� � �� �� �T

�� *%���&�� �� ���������� U ��,� �� ������ ����� ������� ���������� � ��"���� ��� �����������

#���������� � ����D1���� �� ����� �� �������� �$#��� �� ��$��� � �� ���P ����� �� �������

��&��T

�� *�� ���&�� �� ������� � U ��,� �� �� ����&E�� � #������&E�� ��� ����������� ���� ������

������&E�� � ���� �� ������ �� ������� � � � �� ����"��� ��� �"���� � ��������� ����

�� ���P ����� ���� ������������ �� ��� � � �%��� �� �� ���� �����������

�� !����#��#� ���� �� ������� � � �������� � U �� � �������&�� ��� �6����� � ��� ���&E��

�� �������� �������#�� � ������� � ��� ������� �� �������� � )����% ���� � ��������

Page 32: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�� ������ �&�� �� ���������� �����#�� ���� ��� �"���� � �������������� � � �� ��

�����%������� ����� �� ��#����� ����� �� ������������ �/���������

�� �� ����&�� �� ���������� U ����� ������ ������ ��� ���������� �%����� ���� ������� �

�������� ���� �� ������� �� �� �����&���� ����� ����� �� ��������

�� �������E�� �� �������� U �� � �����&�� ���� �� ������� �� ����� �� ����� ����������

������ �� ��������&��� ����������� � ���� ��� � ���%�� �� ������� ������ �� ��#����� ���

���&E�� � ���� ���� ��� ��% ������ ���������� ��%�$���� ���� � ��� ���&�� ��� �������E��

�� �������� ��� �����%� �� ���� ���������� � �� ���� ����&E�� ���� ��#�� ������� �����

�������� �� �� ��

� ����� ?� � ������� ����� �� ���"���� ����#�� ��� ����� � �������� ��� �����#��#���� 5����

����� ���������� �� ������ �� ��������� ������ � �������� ���� ���������

������ ��� "#���� �� ��������������� �� ���������

��� ������ �� ������

5� ��� ���6����� ���� ���%�� � ����� ���� ���$������ ������������ � �������&���

Page 33: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

5� ;O������&��;� ����� ������������ � �����/�������&�� � � 6���������#� �� ��������� � ����

%�� � � �� �%6���#�� �� ���%�� �� � �����#��#� ���� � � ���������� ��������� �� ��������� ���

�� ��� ���������� 5� ���$���� � ��6� �$���� � ;-�#���� %�%�����"���;� � ����� � � �%������

������ �� �#���&�� �� �� � ������� �� ����� �������� �� #"���� �����&E�� � ������ ���������

��� ��#����� �������������� *� ����� �� ������� ������ ����� ��� ������� �� ��#����� ������� ��

�����#��#����� %� �� � � ������&�� ������ �� ������� ���� �� ����D1���� ��� ������������

�� ���$���� A� � #�����&�� �� ������� �������� � �������� � ���� ������ ���������� �� ����� ���

��������� � ������������ �� ���$���� @� ��������� ����� �� ��� ���&E�� ��� "����� M� �� ����

&E�� �� ����������� ��������� ������� � �������� �� ��������� 5� ���$���� B� ���������� ;F������

��������#��;� ������#� ��� �� ��������$������ ��� ������ �������� � � ������ %"���� ��%�� � �������

�%������� ����� �� ���$���� B � ����� � � ������ ��%�� � ������%������� ��� ������ ��������#���

��������� ������ �/� ���� �� ���������� � ������ �/��������� 5� ���$���� C � ����������� �

����� �� � ������� � ��������� ��������� ����� �� ������ � ��� ������� � � �#� �� )����%�

����� � ������&�� ��� ����� ��� ������"���� ��� �������� ������ �� ��������� 8:0�9 ��� �� ������

���� �� ������ ���������� �� �������� �������#� �� �� �� * ���$���� � ���� �� ���������� �%������

���� �� � � � ��"���� ���������� �� ���������� ��������$������ �� �� �� 5� ���$���� H ���

������������ �� ���������&E�� � �� ���� ����&E�� ���� � ������������ �� ���������

Page 34: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

Page 35: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��������

������� �����������

* ��������� �� ���� �� � ����P���� �� ������� �������� ���� � ��������� � �� �/������ ��

�70 ��� J��� �� ������� �#�������� � ����������� �� � � %���� ����$��� ��� ��#�� ������

� ����������� ��� ������� � �����%������� � �������&� ��� ��#����� �����&E�� �� �����&�� ��

���� ��������� O��� �������� ��� �� �������� ��� �����%����� � ������&�� �� �����%������� ��

����� � � �����&E�� ���� ���� �� ��� � � ������ � ���%�� � �� ���� �� �� ����$#��� ��6�

���� #�� ��� ��������� � ��%����� � � �� �������� � "/� � �������������� �� ����� � ���������

5���� �����/��� ���� � ����� �� ����� � �������� ��� � �� ������ ���������� � ��������

�� ��������� �� ������������� � ����� ����� ���� �� ����� ���� �� ����D1���� ��� #�������

��������P������ � � #�� ��� ���� ���������� � � �������� ���P ���� �� �����&��� :�� P�� �

�� �� � ��S�/� � ���#�&�� �� �J ��� �� ��%����&E�� ��� ��� � ��������� ��#����� � ����������

���������� �� �������� ��������� ���� � ����&�� � ������� �� ��� �����&� %��� ���������� �

������ ����$��� ���� ������&� �� ��$��� � �� �������� �� Q������

7��� ��#���� ���� %�%�����"��� #��� �� ����� ������ ��� ���%�� �� � �������� ��� �����

����� ����������� �� ���� �&�� �� ����D1����� %������� �������&��� �� ����� �� �� �����&��

M� ����� ��� ����������

*� ������������� �����#��� � �� ������ 8?I��9 ���� ��� ��� ����������� �� ������ ��

������� �� ���� � ������&�� � ����� ��������� �� � �%6���#� �� ���� �� � ����D1���� � �#�����

��� #����&�� � ���&�� �� �/����� �� ����� �� ������ 7���� ������� �#��������� �� #��������

�� ��� ��� ������ ��#��� M �����%������� �� �������� �� ����%������� ����� � ����&�� � � ������

��� �� ������#� �� ��������� �� � ��� ����&���

���� �� � �� ���� ������������� ��� ��# � G���( 8?I�H9 ����������� � ������� � �������

Page 36: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���� ����� ���� � ����D1���� �� ����� � �������� � ��� ��/� �� #����&�� ����� ��� �� �� ����

�� ������� ��,� � ����� ���&�� �� ����� � ��� ���������� ����#�� �� � � ��#������&�� ��

������ ����$#��� ������ �� �����%�������� �� ������&��� � ���� ������� ��� �����#��#���� :��

���������#� ��� � �� � �%6���#� ������ � �������� � ���� ��� � ����� �� �������&�� �� ����� ��

�� ��6��&�� �� ������ � � #�� ��� �� ������� �� �������� ��������� � �����%������� �� ������&E��

�� �,����� S�/$#���� ��� �� ��������$������ �� �����&�� �������� ��� ���� ���� �V�� �� ��� �

����$����

�� � � �� ��� ��� ����� � ���%����&� ���������� ����� � ����� � 8�����9 � � ����&�� ��

������� �������� ���#������ ��� ����J�%��� �� � � " �����&�� �� ����� � �������� �� ���1�����

���� ��������� � ����$#��� #����&E�� �� ����D1����� � �������� �� ����������� ������ #�����

&E��� ������� ������ ����� ��� ������ ����� � ��� �� ��� ����� �� ����������� 5���� ��������

�� ������������� G����� � =� 8?IH9 ��������� � ������� � ���� � �����&�� �� ������ ����

������� � �������� ��� �"���� �� ������8���� ������ ����������� � FF:9� 7���� ��������

��� � ������� ������� � ���#�� �� ����D1���� �%���#��� � ���#1 � ���������� �� ����&�� �� ��

������ � ��������$%���� * ������� ���� �#��������� ���� ������ ��� ������ �/��������� �� �

�� ��� ��� ���� �� ����%������� �� ��������� ������ �� ���� ��������� �� #��������� �� �����

�&�� � �� ��� #��%������� �� � ��� ����&�� � ��������� � �������� ���� ������� ���� ��� ���

�������� ��#��� �� ���� ����� ��� ����������������� �� ������

0 ��+� �� ��� 8?IHA9 �����#��#��� � � ������� %������ �� �������&�� ��� ������� �� ������

���� � ����� ���&�� �� ����D1���� �� ����� �� � ��"���� �����#��#��� ���� ����� ������� ��

�� �������� �� ���D1���� ������#� ��� ������� �� ������� ����� ����� �������� ������� ���� �

���������� ������ ���� ��� %����� ������������ �� ����� �� �� ���������� #�������� ������������

��� ���� �������� ������� ����� �������� ��� � ��� ������1���� ����� �� ������� ���� ����

�� � ��� ������D����� ����� ���#������ ����� �� �������� �� Q����� � � �����%������� ��

� ��� ����&�� � �� ��������� ��������� �V�� �� � ����� �� �,���� ��� ����� ���� �����&��

�� ��� �� �� ����� ������ * �����#��#� ���� ��"���� ����� ������� ��� ���6������� ���� �������

���������� �� ����� � ��� �� ������� ���� �����������

��� ��# � G���( 8?IHB9 �������� � ����� ��� $�� �� ��������� � � ������ �� ������

������������� �%����� �� ����� �� ��������&�� �� ����� * �����#��#� ���� ��� "���� �� �����

��� � �������� ��������� ��� � ����D1���� �� ���� �������� � ���� ��� � �����&E�� ��� ��� ��

�����&��� �� ��6�� ��� ����������� �����&E�� ��� ����� �/���� � � ��������������&�� �� ��� � ��

����� �� � ��� �/� ���� �����&E�� �� ������ !���� ��� �� ������� ����������� � ��� � �� ����

Page 37: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�� ������ �������� ���R

v(t) = Vmaxsen(ωt + θ) 8�?9

���� Vmax � #���� "/� � �� ������� ω � #���� �� ����D1���� � �������� � θ � P����� �� �����

� �/������� ��� ����� ��� � ����D1���� �� ����� � �������� � �����&��� ��,� ���������� �����

������� ������� ������� ��� ������ � � ����� �� ��$��� �� ����&�� �?� *� ������� �#�������

��� �� ���������� �%����� ��� ������ ��� ��������,����� � %��� � ���� ��� � �� ������� ��6�

���� ��S�������� ����� ��������� ���P ����� �� ��������&��R � �� �� � �� 6����� �� ������

� ����D1���� �� � ������� � � ����/� �&�� ��������� �� �/������ �� ����� �� ��$����

�� � ��������&�� ��� ������� ��%�� ������ �� ���� �&�� �� ����D1����� G���( � ��� ��#

8?IHI9 ��������� � ��#� ������� � ��� ������� � � ������� � � ����D1���� �� ����� �� ������

���������� � � ������� ��������� �� ���� �����"���� 827� � ���� ����� ������9� �����%��������

� �� ���� �� ���/� �� ����&��� 7��� ���������� �������� � � � �� ��� �� � ������ ��

������ �� ����� � �������� �� ���1����� ������������ ��� � ����� � ������� ��6� �������� ��

� � �� ���� ����D1����� *� ������� �#������� � ������&�� ��#��"#�� �� ������� � � ����� �

�������� ��������� ��#��� ��� %��� ���������� � � � ����� ���/� �� ����D1����� 7����������

��� ��� �/��$���� �� ��/�� � �������&�� �� ������ � ������ ����$��� �� �� Q����� � ��$����

���� �� �� ��� 8?II9 ����������� � ����� ��� ��� ���� ����/� �&�� �� J��� � #����

�%������� ��6�� � ������ �� ������ ���������� �� ����� �� ��������&�� �� ���� ��� ���������� ����

����� ���� � ����D1���� � ��� ��/� �� ������ * �����#��#� ���� ��� "���� �� ������� � ���

�����#��#��� ���� ���� �� �� ������� ���� � � �������� � ����D1���� � � ���#�� �� ����D1���� ��

����� � ��������� ����� �/������ ���� ������R � ���� ���� � ����D1���� ��������� � � ������

#���"#��� *� ������ ��� ������ ��������� ���� ��% ������ � � ������ ��������� ��� �����

� �� %� � �����&E�� ����������� �� ������&� �� ��$��� �����,���� � �� � ����� ���������� ��

������&���

�� � ���������� �� �����#��#� ���� ������������� ���� �#��&� ��� ����������������� ���

J��� �� �������� ��#����� ������� ��������� ����&E�� %������� �� �����%������� � #���������

��������� M� ������������ ����� ����� ���������� M "��� �� �����&�� �� ����� �� ���������� ���� �

�������� � ����1����� �� ������������� ��� ��# � 5����� 8?II?9 ����������� � ������� �

�������#� ��� ������� � ���� ���� �����"���� ���� ���� �� ��������� ��������� �� ����� � �

��"����� !��������� � ���� ��� � ��������,��� �� ������� � ������ ���������� � ����1���� �� ���

Page 38: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�������� � � ��� ������&�� �� ���� �&�� �� �� Q����� � �� �� ������� ����$��� �� ������

* �� ���� �/�����#� �� �� �������� �� Q����� �� ���� ��������� ��#��� � ������ �����

�� ��� �� �����Q���� �� ���1����� ����� � � ��������&�� ��������� ��� ����������� � � #�� ���

�� ������&E�� ����������� ����� �� ����� ��%�������� M� ��� �� �� ������ �� ��� ��� � ������

��� ���� ��� �� �� ����� � �������� � � ��������� �� ������� ���� �� ������� ��������� !�����

������ ������ >���#�� �� ��� 8?IIA9 %������ ��#�� ���������#�� ��� ���� ���� � ����D1�����

�� � �� ������&� �� ����� $������ �� ������&E�� �� Q������ 5����� �������� �� ������� ������

����� ��1� �������� ��� ���� ��� ���������� � � �� �� ��%����� ��� ���%�� �� �������� ���

���� ����J�%���� � ��� ���� ����������� � %��� %������ �� ������� �� ����� �� ������� ����

����� ��� ��������� �� ����������� �������� � �������� ���������� ��� ��������� � �� �

�����$��� �� �������� ����� * ������� ����� ����� ������� �� �6���� ������ ��� � �������#�

�� ����� ������#� �� :!F� ����������� ��� 0 ��+� �� ��� 8?IHA9� � �������� ������� �� ���� �&��

�� ����D1���� ����� �� � ����� �� ���/� �%���� ����#�� �� ������� �� �� �����&�� ������������

7���� ������� �������� ��� ������ ��� ���������� ���� ��������,���� � ��������� � ���� ����

��� � ������������ ����� ��������� � ��������$����� �� � ������� � ������ $������ �� ��$��� �

�� Q����� ��%�� � ����� ��

!6���� � :����6� 8?II@9 ��������� � ������� � ������� ���� ���� �&�� � �� �� ���� ��

����D1���� �� ����� � �� ���1���� %���������� �� ����� �� 5�N����-�� ���� � ������� �������

� ������ �%����� �� %���� ���� �� ������� ��� ��� ����������� �� ������� ���� ���� �����

��� $�� �� ��������� � �������#� ���� ��� 5�N����-�� ��� ���� ����� ���� � ����D1���� �

����� �� ������ ���P ����� �� ����� ����������� *� ������� ������ ��� � ������� ���� �������#�

��6� ������������ ���� $�� � ��������� � � #�� ��� � ������� %��� ������ � � ����&�� �������� *�

���������� ���� ��������,���� ���� � � ����� ���/� �� ����D1����� � ��� �#������� � �����%�������

�� ������&�� � ����� �� ����D1�����

�������� � ��� � �� �����#��#� ���� �� ������� �� ��� #��� ��� ���� � ���� �����"�����

)������ �� ��� 8?IIB9 ����� � � ������� ��� ������� � � ��� � �� ���� �������� �����������

���� � �����#��#� ���� ���������#� �� ���� ���#� �� ����D1����� � � �� �����%������ � ���

�������%�����&�� � �� �� ����� ��� �� �����%������ ��� ������&�� � ����� �� ����D1����� ���

������� ���� ��� ������� � � ����,����� � ���� ���������� %��� � �������� ����������� ���#����

� #��%������� �� � ��� ����&�� ��"���� �� �� ��

)���� �� ��� 8?IIC9 ����������� � ���� �� ����D1���� %������ �� �������� ���� �������

�� ������ ����� �� ������� �� ��%�� � ��%�����D1����� �������P���� � ���� #����&E��� ��� ��

Page 39: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

���������� �� �����&E�� ���P ���� �� ����� �� * ������� � �� %� ��������� ������ �� ���

�#��� �����&E�� ��� ����6���� �� ���� ���#�������� �� � ������ �� ����� �� �������� * ���������

%����$���� ����&��� ����� �������� � � �%���&�� �� ����D1���� �������P��� ������������ ���� ��

P����� �� ���� �� ����� �� �������� ��� ��� %��� ��������� �%���#���� ������ M� �����&E��

���P ���� �� ����� �� ���������� ����� ������ � ����D1���� ��%��� �� ����� �� *� ������ ��

������ ������ �� ����� � ��� ���������� �� � ������� �� ������ ��#��� M� ��������$������ ��

� �������� ������ ��� �� �����"��� �� ��������� ��� ������ ��������� ���� ������� � �����&��

��� �� �� ���� ��������� ��,� � ������&�� ��� ������ � ������� � ������� ������ �� �������� ��

� ����� ����� 8FO-9 ����#���� �� :!F �� � �%6���#� �� ������������� � ����� �� �������� � ���

�����%����� � ���� �&�� �� ����D1���� �� � ����������� �� ��� � ����� ���� ���� � � �������

�� ����� �� ��������

7 ���� �� �� ��� 8?IIC9� ������� ����� �"����� � �������� ��� ��������� ���� �� ����� �

#���� �� ����D1���� ����� � �� � ������� �� ����� �� ������ � ������ �� ������ ����������� ���������

�� %���� �� ������� * ������� � �������� #������ �������P���� �� ����� �� ������� � ���� �����

#����� ����� ���� ������ ����� ����� ��� ��$��� �� � ��� �� Q������ 0��� �� ������� ������

� �J ��� �� ����� �� � ������ � ������"��� ���� �������� � � ������� �� ����� � � ����D1�����

�� ���&E�� �� ����������� �� �������� ��� � ����� ������ %�� �%������� �� ���� �&���

����� ��� � � ������� �� ����� � � ����D1���� ��6� ������������� �� �� ���

O�������� �� �������� �� �� �����&�� ������������ �++� 8?II�9 ���������� � �� �����&��

��� ���� ������ �� ���/�� ����� ���� ���� �� � ����D1���� �� ����� �� ����� ���#���� ��� ��

��1� ����� �� ����� � ����"���� � � ����� �� ���/� ����#�� �� �������� ��� αβ� * �����

���#������ � �� ������� ����#�� �� � ����� �� ���/� ��� ����� �� ����&�� ������ � �����

* ����� ����� � ��� � #������ �� ������� �%������ � � ��� �������&�� �� �� �������� ��

����D1����� �� %��� ���������� �%����� � � #��������� �� �"����� ���� ������ �� %��/� �$#�� ��

��$��� :���#��� � ���������� ��� � ����&�� ��������� ���� ������� � � ���� ��S�������� ����

�����J�� �� �� ������� �� ���D1���� ������#�� ��� �� ��� ��� ��1� ����� �� ����� � � #�� ��

������ � �� �� � ����������� ��� ������ ���������

2�%�� � -�� �� 8?II�9 �������� � ����� �� �%���&�� �� ����D1���� �� ����� � �������� ��

���1���� ��� �� ����� ���� �� ������� ������� � �� ������� �� ���� �&�� �� ����$� O������ �����

� ����� �� ������ ��������� �� ���� � ������� ��� � ������� � %������ �� :!F� ��6�� �����������

��� ���������� ��� ������ ���� ���� ���� � ����D1���� ���������� �� � ����� � ��� ����#��

�������� ��� �� ����� �� ��6�� �/����� � ���#�� �� ����D1���� �� ����� �� �������� � �������

Page 40: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� ���" ������� � ���#����" � ����� 7���������� �� � �%6���#� �� �� ���� � ������� � �#����

�� ����� ���� " ���������� ������ ��� �� ���&E�� �� 6����� ���� �� &����� � '�� (���� 0���

�������� � ����D1����� ������ � ����� �� ��$�� �� ����� � � ������� � �� ���� �&�� �� ����$� ��

�� ���&E�� ���������� ����� ������� ����������� ���� �������� � #��������� �� � � �����&E��

��#������ * �� �� �� �������� ���� ���� ������ ������� �� �������� � �� ��1� � ������ ���$����

�� �� ������� ����� ������

!�� �� ��� 8?II�9 ����� � � ����������� �� ���� ������ ��������� 8-5�9 ���� � ���� �&��

�� ����D1����� � ����/� �&�� ��� ����Q���� ���������� �������� ��������#�� ��� ������ �� �

;�������; ���� ���������&�� ��� ���P ����� �� ����� �������� �� ����� �� ������ �� ����

��������� :��� #���"#��� ��� �6������� ���� ���&�� � �� ����� � ���� ����� � ����� � � ���������

�� �� ��#�� � ������ ����������� ������������ � ����&�� �� ����%������� �� �������&� �� ���� �

��� ������ � ���&�� �� ����� * ������� � �������� ����� ������������� ���������� ���� ����

�� ��%����� � ��������� ���P �����

��������� � ������ �� �� �������� ����������� �� ������� ������� � -�%����� 8?IIH9 �������

���� ��%�� � ��#� ������� � ��� ������� ���� ������ ���������� �� ���� �� �������� �� � ������

���� � ���� �&�� �� ����D1����� � ����������� ��������� �� �������� ������� �� ��������������

� � �/������� � ������� M � ������� ��� �� �������� ���������� � �� ��� �� #���"#��� �� ������

�� ����� �������� ���������� �� �������� �� 1, 5 − 20mHz� . � � �������� #������ �����

������� ���� � � �������� ������������ ���� �� ��/� �� � ������� �� ����� �� �������� ���

�� �� ��������� � ����%�������� � ��� �����%����� ��� ������&�� � ������ ����� �� �����&���

��� � 8?III9 ���������� � ������� � %������ �� ���������� �����#��#��� ���� � �������

�� ���� ������� �� ������ �� � ���������� �� ���� �� � ����D1���� �� ����� � ��������� :��

���������� ������� � ������ ������������� �� ������ � � ����� ������� �� �������� �� � �����

���� ��� ���� � ������ �� ��$�� � ��� �� Q������ � ��������� #������ �� ������� � ��������

� � ���������� �� �%��� ���������� �������� �� � �� ������&� �� ��$��� � �� Q������ ��� ��

#��%������� �� � ��� ����&�� � ������������� �������� �� ������

!�� �� ��� 8?III9 ��������� � ����� �� )����� �� ���/� ��������� ���� � �%���&�� ��

����D1���� �� ������&� �� ��$��� � �� ������&E��� * ������� � ������� #������ ��������� ��� ��1�

������ �� ������� �� �� ����� � ��� ��� � #���� �� ������ �� ���/� ���� �������� ��� αβ� �

��� ���&�� �� ������ �� ����&� ���������� � �%���� ���� � ����� �� ���/� � � ����/� �&�� ��

����� ��������� �� )����� � ����� ���� �������� � #��������� ������ �� ����� �������#� ������

� ��$��� ����������#�� � ������&E�� �� Q������ �� � ������� �� ����D1���� �� � ������� �

Page 41: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

���� �&�� ��� ������� �� #���� ������ � ����D1���� ������ ����� ��� ����� �� ����� � ���������

*� ���������� �%����� ������ � � �������� � ����� �� 0, 01− 0, 02Hz� �� � �� ������&� ��

��$���� 7���������� ����� ������� ������ ��%�� � ����&�� �� #��������� �� ���#���1���� ������

�� ������&� �� ���P��� �� ��$��� � �� Q����� �� ������

7��5����� � W������ 89 ����������� � ����� ���� �������� �� ����D1����� �� � ����

���� � �� P����� �� ���� �� � ���� ����� �� �������� %������ �� ������� �� ��� ���&�� ���

������� �� ��������� 8�G�9 �� ����������&�� %��"���� *� ������� �������� ���������� ���&E�� ��

�#����&�� ���� ��� ���� � ���� ���� ���� * �G ����������� ��� ��% ����� � ��#����� �� ���&E��

��� �����$� � #����&�� ��� ��������� ���P �����R � �������� ����D1����� ��/� �� � ������� �

�� �� � �� 6����� �� ������ *� ���������� �%����� ���� ��������,���� �� ���� �&�� ��� ���P ��

���� �� ����� ��������� ���� �� ����D1����� :���#��� � � �������� �%���#�� ��� �� ������� ���

����������� ���������� �� ����� �� �����&E�� ����� � �� �� �� ���&E�� �������� �� ���������

��������������� �� � � �:0 8���������� ��������� �������9� ��� �/� ����

* �"����� ������� �� ����D1���� �� ����� � �������� �������� �� ���/� ������ ����� �/����

��$��� ����Q ����� �� �������� �� Q����� � ����$��� 8��9� !�#��� � ����� ��� ������ �� �

����������� ������ � )�+ ��� 89 �����#��#��� � ������� � ��� ���� ������ �� �����1���� ��

����� �������� ���������� ����� ��$��� � �� ����� ����� ��� � ����D1���� �������P��� �� ������ *�

������ �� �����1���� ��� ����� ������ � ������ �� ��������$����� �� �� ����� �� ����� ����������

�����%�������� � ����� ���&�� �� �� �� �� � ������� ����� �� ������ ���������#�� �� ����������

����� � ���� �&�� �� ����D1����� !��� ��������$������ � ��������� ��� � �������� �� �����R

� ;�������&��; ����� � ����� �������� � � ����� ����� ��� ������ � �/���&�� �� ������ ��� ��$����

� � ��������$����� �� ;�����&�� �� ������;� ���� ����� � ����� �� �����1���� � �� ���� � ����

����� �� �� �� � ���� ������ * ����� � ����������� ���� � ������&�� �� ����� �� ����D1����

���� ��6��&�� �� ������ � � #�� ��� �����%����� ������&E�� � �� �� ���� � ��� ��� � ��� ������

� �������� � ������� ������ �� �� ���/� �� ����&�� �/������

'���� %����� � ����D1���� �� � � ���P ���� � �������� �� �70 � �� � ���������� ��

��������� �� ������� �������� 8<779� �� ������� 2�� �� ��� 8?9 ��������� � � ��#� ����/� ��

&�� �������#� �� ���� �&�� �� ����D1���� ���������� � :������� ��� ������ 8:�9� *� �������

�#������� ��� � ������� � ���� ��� �������� � � � ����� ���/� �� ���#�� �� ����D1���� ��

���� ��%����� � �������� �� ���� �&��� �� � ��% �����&E�� ���P ���� � ������ �� �� ������

��� �� Q����� � �������� ����$��� ��� ����� ����� ��� �� ���������� �� � ��� ����&�� �

�� �� ����� ����� ����� ���%�� �� �� ������������� ���� � � %��#� ��"���� ��� ��������$������

Page 42: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �� ���&E�� �� ������� � �� ������� ��� F������ � �� ����&�� M ������� ���������

�� � � ���� �&�� �� ����D1���� � ��������� ����� �� �������� ������ �� �����&�� �� ����� ��

�� ���1����� X��� ��G ���� ��� � O��#��� 8A9 �����#��#��� � ���� ���� ����� �� ����

���#��� �� ����D1���� � ����&�� �� #���� �� ����� :�� ������� � �������� ��� ��� �� #����&E��

�������,���� �� ��� � �� �� �� � ������� *����� ��������$������ � ��������� ���������� �����

������� ���R �� ��������� ����������� ���� ��� � ��%���� �� ������&� �� �� �������� �� Q���

��� � ����J�%��� �/������� � ������� � ��$�� � S�/�%������� �� �������� �� #��������� � ���������

� ������� � %������ �� ��������� �� ������ ���������� 8'�*9 ��� ������������ �� �������� ��

���� �� ���� � ����� �� ������� �� ����� ������ ���� ���������� ��� ��� � ���� ��6� ��� ������

*� ������������� �#������� ��� � ���/� �� �������&�� �� ����� � �� 10− 100Hz �� � ����

���� �� 20mHz�

���� �� �� ��� 8A9 ��������� � � �������� �� �#����&�� �� ����D1���� � �� �� Q�����

� � ����� ����� ����� � �������� �� ���1����� � ������� � %������ �� ��������� ������ ��**$

� � ����� � ������ ������������� �� ������ ���� ���� �� � ����D1���� � � �����J�� �� Q����

�� ������ . ���%�� � �� ��� ���&�� ��� ��� ����� �� � �%6���#� �� ��� ���� � �/������ ���

� ������ �� ������ ��� � ��������&�� �� ���� ���� ���������� ���� ������&E�� �� ������������� �

���� ������ � ��������

0���������� �� � ����%������� �� ����� � ��������� �� ������������� ���� �� ��� 8@9 ���

���#��#��� � ������� � �� ������� ��������#� ���� ����� ��� $�� �� ��������� 8))<9

����� �� ���� �� � %��/� ����D1���� �� �������� ���� ������ ��P����� �� ��$��� �� ����� ���

������ ���� �� ����� � ����D1���� � ����� ���� ����� �����&E�� ������ � ���������� �� ���#��

��� �����%������� �/�����#� �� ����� � ��������� *� ���������� ���#���� ���� ������� �� �������

%������� �������� � ��������,���� ��� ��#����� �����&E�� �� �������

0��� �� �� ��� 8B9 �/�E� � � ���������� ��� ������� � ����� ������� %������ �� �����

��� � ��� $�� �� ��������� �� ��� � �� ���/�� �� � �%6���#� �� ����� ���� � ����D1���� ��

����� � �������� �� ���1����� � ��������� ������� ����� ������� � �� ����� �� � � ���#�����

��� ����E�� ����"����� ���� � ��� � �� ���/�� ����#�� �� �������� ��� αβ� * ����� ))< �����

����� ����� #���"#�� � � ���� �&�� �� ����D1���� ���#� � ������ ��� ����������� �� ����� ��,�

��� ���#���1����� *� ������� �������� ��� ��� ������ ����������� �� ���������� �%����� ����

�/���� � �"������ �� � �� ������&� �� ��$��� � �� Q������ *����� #�������� ������������

��� � �� ��������� �� ��� ���&�� � � ����1���� �� ����������� �����%�������� � ������&�� ��"����

� ����� �� ����D1�����

Page 43: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

-���������� ��� � �������� ���� ����������� ������ �� ��������� ��������$������R �������&��

�� 6����� ,#�� �� �� ��� �������� ���� ��� ����������� �� ����� ��������#� ���� ���� ���

�� ��� � � ������&�� �� ��� �����&�� ��� ����� ����������� 7���� �������� ��� �#� � �

�� ��� �� #��������� �� ���� �&�� �� ����D1����� � �� ���� �� �� � �� ������&E�� ����$#���

� � ���������� �� ���������� ����������� � 0��� �� �� ��� 8B9�

Page 44: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Page 45: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�������� �

��� � �� �����

*� ����� �� �����&�� ��� ���������#�� �� ������ ��� ��� ���������� �� �70 � ������ ������

���$������ �� ���6��� � �������� ���� ������������ �� �����&�� �� �����&E�� ���� ��� �� �����&��

��� �/���� �� ���� �����"#���� � �� ����������&�� �� �&E�� �������#�� ��� �����%����� � �������

�� �70 � ��� ������ ��� �� 8=���N��� � 0 ��+�� ?IIC9� :��� ������ ������ ��6� ����,�����

� �� ��������� ��� �������"#��� ���� ��"���� ��� ��������� ��������� ���������� M ���� �������� �

���� �,���� ������"��� M �� ��� �� ������� ���� ����� � �� �����&��� ���� ���� ����J�%�� ��6�

�����������

7 %��� � ��������� ���&�� �� ���� ��6� ������ �� ������� ��� ���������������� � �� ������

�����&E�� ���� ��� �� �����&��� ����� �/���� � � ���&�� � �������� �� ����� ���&�� �� ����

�� ����J�%�� ��� ���" ��������� �� ����� �� �� � � ��� ��������&��� �����%�������� � � ��"����

��� � ��� �� ���%�� � � ���� ����$#��� ����&E�� 8)����� ?IC9�

7���������� � ����� � �� �����&�� ��� � �� ����� ������ ���� ����� �� ��� � ���6���� ��

��%����� �� ���������� ��� �������� ����� �� �� � �%6���#� �� �������� � �� �� ����&�� ��%��

� ����� �� �� ��6�� ������ � "��� ���������� �� ��� ���� �� ��� ��� � �������� �� �70� 7����

��%����� �� ��� ��� ���� %����� ���� ��� ������ ���6�������� �������� ������ �� ������ ����&��

� ���� ����� � �� ����� ���� �� ������� 80 ��+� � : ���� ?II@9� � ����� A�? � ������� �������

�� ��%����� �� �� ����� � �� �����&�� �� � ��� ��������������

�� ���������� ���&E�� �� ���� ��%����� � ����������� ���R

�� -����R �������"#��� ���� �,���� �� ����&�� �� ����� � �� �����&��� ��� ����#�� ��� �����&E��

��� ������ �� �������� ��6� ������ �V�� ��������� ���� �� ��� ��%�� �� ���6������� ������

�� �� ���� �����������

Page 46: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ $�� %���������� �� ������� �� ����� &��

%� !��6�������R ������� �� � ������� �� �������� � ����� � �� � ���������� �� ����� ��

����� � ��������� 7���� ��� �������������� �� � �� � �#�� �� ���6��&�� ��� ��������� ����

� ����� ��

�� :������� ������ �� ������ ����&�� 8������������9R ������� � ����&�� ��� �$#��� �� ������

�V�� ��������� ��������� �� ��� �� �� ���� ��������� �� ����� � �������� � ����� ��

������ ����� � ����� ����������� �� ��� �6� ����� �� ����� �&���

�� >������� 8����� ���� ��/�����9R ������� ������� �� ����� � �� �����&�� � ���� �� ��� � ��

����� � ��������� �� ��� � �������� � �������� ���� ��� ������ ��%����� �� �����������

5� ���������� �� ����� �� �����&�� ��� ������������ �� ��� � ��������� �� �������� ��

����� � �� �����&��� � � #�� ��� � ������� �,���� ��%�� � ����&�� � � � ����� ����� ������

� ����� ��� ����� ������ ����� 80 ��+� � : ���� ?II@9� 0�� ����� ����� � ����P���� ���� �

����� �� �� ����� ��#� ��� ������ ����� �/��� � ���� ����"#��� � ��%������ ���� ���� ���&E��

�, ����� �/������ � �����&E�� ���� ��� �� �����&��� ��� ����� ���������� ������� � �����&��

��� �� �� �70 87� ���� ?II@9�

�������� � �������� ���� ��� ����� ������� ������ ���� ��� �������� ������ �� ������ ���

��&�� � ����� ����������� �� ��6�� ��� ������ ���������� ��� ������"���� ��� ������������ ��� ��� �

%��� �� �����&�� ��� ������ ��6� ����� ����,����� 8:�� � :0�9 �� �������� 8:�� ,������9� ��%��

�� ������ ������������ ��6� ������ ���� �� ����#�� �� �� %���&E��� ��� ��������� �� �����&E��

�� �� ����&�� �� �� �� ����� ���#�� ���� ����%��������� � ����� A� ������� � � ����������&��

�,���� ��� ����� �� �����&��� �� ���� ���� %���� ���������� � � ����� � ��� �/������� ���� �����

��6� ���� ������ ��P���� �� ��������

L � �������� ��������� ��� � �� ��� �� ������� �� � ���� �� �����&��� ���� �� � ��#�� �� �����

Page 47: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ $�� '��������� &� �(���� ��� ���#� �� ����� &��

����� )���*���� ��+,-!�

�� �%������ �� ���6����� 8��#9� � ����� ����� ���� ���� �� ���&�� ��� � ���� ���" �/��������

� �� ���� ��������&E��� 6" ��� ���� ������&�� �/��� � � ���� ������&�� �����$��� �� ������

�� � ��������� �� ���� ��������� �� ������� �� �����&�� ������� � �� ���&�� �� ����� � ��� ��

����6� ��������� � ����� �� ����� � �������� � ���� � ���� ��#��" ����� �� ������� �� ������1���

� ��� ����� �� � ���� �� �����&���

*� ������ ����� ���� ������&�� � ����� �� �� �����&��� ��������� �� ������ ��#� �%���#��

���� �� ��������$������ %"����� ���� � �������&�� ��������,��� �� �����&�� �� ����� �� �������

>���+%��� 8?IH�9� �� ������������ �� ������� ���� � ����� � �� �����&�� ���R

�� �����%�������R ��������� ��� � �����&�� �����" ������� ���� ������ ��� ������"���� ����

��������� ����� �����&E�� �� ����� � �����&E�� ��� ��� �� �����&���

%� ������#�����R �/� ���� � ������������ �� ���#�&� �� ������� ���� �� �������� ���������

����� � $�� � �� ����� � � �����&E�� �� ������

�� '��������� �� �����&��R ��� ���� � �� �� �� ����&�� �� ����� � ������D���� ������ ����

�� ������ ������

�� �� ���������R $�� � �� ������ ����� �� �����&�� � ��������� ��������� ���������� ����

�/������ �� �%6���#�� �� ������� �� �����&�� ����6����

�� 7���� ��R "/� � �����&�� �� � $�� � �� ������

L ����$#�� �%���#�� ��� ���� �� ������ ��� ����� ������� ��� ������ ���� ��S��������� ����

�� ����� ���� ��� ����� ��������� �� ����� � �� �����&��� �� ��� ��� �� ����&�� ��� ���

������$������ �� �70 � ���� ��������#�� ������� �� � � ������&� �� �� Q������ ��������� ��

�������� ���� ��� ����� � ���#��� ����$#��� ����� �� ����&��� !���� ��� �� ��� ����� ��� ��

���������#�� �� �����&�� ����������� � �������� ����������� �� � � �#���&�� ������� �� ����

���� ��������� �� �$#��� �� �����%������� �/�������

Page 48: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� ���� ������� ����!��� ��� ���"� �#"�����

� ������&� �� ����� �� �����&�� � ��������� �� �������� ���� �� �70 ������� ����� ��� ����

��&�� ������ ���� ���������� �� ������� � ��� ����� �� ������ ���� ������$#���� !���� ��� ��

� �#���&�� ����$��� ������ ���������#�� � � � ������D1���� �� ����������� �� ����%����� ����

�� ��#�� �����&E�� ������������� �� ������� � �����%������� � ��������� �� ���6�$��� ��������

��� ���%�� �� ��� ������ �� ���� ���������

*� ��� ����� ����� �����#��#���� �� ���������� �����$���� ���� ����&E�� ���� #����&�� ��

���� � �������� �������� ��� %�������� ����� ����� �� ����&�� �� ���&�� ���������� ���� ���

����&�� ������ �������� ����� �� ��������� � � S�/� �������� ��%�� � �������� ,#��� 7���

��������$�� ��� � ����� �� � ��������� �� � �� ����� � ���� 8=���N��� � 0 ��+�� ?IIC9�

7���� ���������#��� ��#��� M ��� ��������� ��������$����� �� �����&��� ��� ��� ������ �� � �����

�� �����&�� ������ ��P������ 7���������� ������ ������ ������ ����� ������� � ���&� ���������

���� �/������ �� ����� ������� ���� �� ���� �� �� �������� ��#��� M ������� �� ��������

��������� � ����� A�A ������� �� ���������� �� �������� ��� ��������� � ���� ������ ��P�����

������ $�$ .��������� ����������� �� �� ���# ���������/���� �� �������� '%� �� 0�0�

����� 0����1� ��+--!�

L � �������� ��������� ��� �� ����� ������ ��P����� ���� ��� ���&�� ������� �� �� %���&��

�� ������ �� ������� 8���������� ����E��� ���9� ������� �� ������� � ���� �������� �� � ������

����#�� �� � ������ ���� �� � ����� � #�%��&�� 8=���N��� � 0 ��+�� ?IIC9� :��� ������ �����

���� �������� J������� ������ �� �������� ���� �, �/����� � ����� ����� ���� �� ���&���

Page 49: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�� ��6�� ��� ��������������

� �/������� � �� ���� �� �� ���/����� � � ����&� ��� ��������$������ ��� ������ �� �70

������ ����� � �� ���� �� ����������� �� � ����� � �� �����&�� ���� #�� ��� ����"#��

� ������� � ��� �� ��S��� �� ������� � �� #��������� � �� ����������� ��������$������ ��� ����� ��

�����&��� 5���� �������� �� � �����#��#� ���� ��� �� �������� �� ����������� � �� �������

��� ���� ������%��������� ���������� � ���6��� �� ����� �� �����&�� ��� �"����� ��� �������#�

�� �������� ��������� �� ����������� �� �����"��� ��� ������ ��P����� ��� ������#� �� ������

��� ��P������ ����� ��������� ���� ��� ������ �� � ����� �� ������ �,���� �� ���"������ � �����

A�@ ����� � � ����$#�� ��������&�� �� � ���� �� ������ �,���� ���� � ���&�� �� ��%����������

�������P���� �� ���� �#���������� � �������&�� �� �� �������� �����Q����� � � ������ �� ��������

�� �����

������ $�2 3������ �� �� ���# �� ������ �(�����

����� 4���5��6 � .1��*� ��++7!�

��� �� �� ���� �� #��������� �� �� ��� �� �������� � � ������&�� ������ ��#�� �����

�� ����� �����Q����� �����%������� � �� ����&�� �� ����&� �$���� ��� ��%���� �� �����&�� ���

��%����&E��� �� ���� �� S�/�%������� ��� �������� �� �����&�� � � ������&�� ��� ��������$������

���� �6���� ��� ��� ����� �,������ :���#��� ����� ���������#�� ���������#� ������ ���%�� ��

� ����&�� �� � %����� �� �������&��� � � #�� ��� � ���������� �� �����P���� M �� �������� �

M � ����� ��� �� ������ ��� �� ����������� �� ����� �/��� �� ����� ���� �� �������� ���������

� � ������&�� �� ����� �� ���������� �� ��� ����&���

�� � ��������� �#���&�� ������,���� � � �������&�� �� ������������������ �� ����� �� ������

&�� ������� � � ������ �#���&��� ����� ��� �������� ���������#�� ������ �� ��� ������&�� ��

�������� ����� � ��� �����%������ � �� ���� ��������"#�� �� ���� ��� � � �� �����%�������

��� ����� �� �� �����&�� 8����( �� ���� �9�

*� ����� ��������������� �� �� ������� ���� �� � �� ����� ���#��������� 8������ ��P���

���9� ��� ��������� � ����E�� ���#�������� �� �70 �� � ������ �� �������� �������� �����

Page 50: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��������� �� ����������&�� ������� ��� �� ��� �� ��6�� ��� �� ������ ����,����� ��6� � ���

������ � ������������� ���� � ��$��� �� �������� ���� �� ����� � ����� A�B ������� � ������ �

��������� �� �������� �� ���� �� ������ ��������� �� ���������� ������ �� S�/� �� ����� �&��

�%���� ��� ������������� ����� �� ������ ������%��/� �� ������� ��� � �������� ���� �����#�

����#�� �� �������&�� �� ������������������

������ $�8 3�����9���� �� �� ���# ���#�����

����� :��1� � %����� ��++8!�

5���� ��#� ����&�� �� ������ ������ ��������� ���� ��� ������������� � ������� �� �%������

�� ���6����� 8��#9 � ������� ���� ��������� �� �����&E�� ��� "������ � ��� �����%����� � �����

���&�� �� #"���� ���&E�� � � J���� ������ ����� ��� �� �������&�� �� J������� ���&E��� ��

����� ��������������� ����� ���� �� #�������� ���������� �� � 80 ��+� � : ���� ?II@T 3�� �

� ��� ��� ?IIB9R

�� ������ ����� � �����%�������R � ���� �� ������������ ���� ��� ������ ��� ���� ����

����� �������� ���� �� ��%����� �� �� �������� � ��������� �� ��� � �������� ����$#���

��� �� �� �����&�� � � ������D���� ������� �� �������� �����%�������� ��� �������� �� �

�� ��� ��� ���� �� �����&�� ��� ���� ����������

%� O������&�� �� ����� �� � � %����� �������R �� ����� �� �������� �����%����� � � ����

�������&�� ����� ���� �� ��������� � ��� ��� ��� � � ���� S�/�%������� � #��������� ��

�%���&�� ��� ����� �&E�� ����������� ����� ������ ������ ��� �� �����%������� �� �����

�� ����� �&E�� ����� �� ���������#�� ���� � �� �� �� ��� �� �������� ��� �/� ���� �

Page 51: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��������&�� �,�����

�� F��/�%������� ��������� � ������%�������R ���#�� � � ��� ���������� ��������$������ ��� �����

������� � � ���������� �� ������&�� ��� ���� ���P ����� �� ��������&�� �� ������

�� � ��������� ����� �� ����� �� ��6�� �� � ���� ���" ������ ��� ���� � � ����� �����

��������$����� �� �����&�� �� ����� � ��������� � ���� ���� � ���� �� � ���������� ��

���������� � ���� �� ����&� ��������� � ������ ���P ����� ��� �� �� �� ������ M�����

��#� �����&���

�� ���������&E�� �� ������%����$���R � �#��&� �� ���������Q���� � � ����� ���&�� ����� ��

������&�� �� ����� �� �����&�� �1 ��������� � � ����&�� ��%�������� ��� ������ ��� �������

��� ��������� � %���� �� �������� ���������� �� �� ��������� ��� � �� ������� :���#���

� ����$#�� �%���#�� ��� �� ����� �� ������ �/����� ��#����� ���&E�� � � � �� � ����

����� �� � ��� �� ���� � ����� �� �����V%����$���� ��������� ���� ��� ������������ �����

������ ��P������

��� $��"� �#"����� �� %��&'(���

*� ����� �� ����D1���� ��� ������ ����� ��� ������� � ������� � �� ����� ���� ��

����D1���� ��� ������ �� ������ �� �70� %���������� � ���P ����� ���#�� ���� �������� ���

�����%����� ����$#��� �����#��&E�� �� ���� �������� � �����&E�� �� ����J�%����

7���� ������ ���� �� � �� �� ���� �#���$�� ����� �� ������ ������ ��P����� ��� �����

����������� �� ��� � �������� � � �� �� ���� �&�� �� ����D1���� � � ������� ���� ���

�"���� � ������� �� �� ����� ���� �� �70 ������ ��� ����$#��� ����J�%����

������ ����� �� ������ ������� �����$���� ��,/� �� ��� ��������� ��� ����� �������� 8������

�,����9� ���� �� �������� � ��������&E�� ���������� 87� ���� ?II@9� :���#��� �� � �#��&�

������,����� ��������� ���� �� ��� �� ������������������ ��#����� ������ �� �"����� ����

��� � ��� ������� ���� � ���� �&�� �� ����D1����� 7���� ���� ���" � ������� �� ������� ����

����� ��� �������� � ����� ���� � �� �� ����� ���� ��������� ���������#�� �� ����� �� �������

���� ��/� ��� �%��������

*� ������� ����� ��/������� �� ������ ����� � �� ������� ������� �� �� �#����&�� ���

���������� ��� ����� ������ ��� ��� � � ���� �/������ �� �"����� �� ����D1����� � ����� ��

�� ����� �� ������ v(t) � ���� ����v(t) = Vmaxsen(2πfsistemat + φ) + ξ(t)

Page 52: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

±0, 5% �� ����� � � �����#��#� ���� �� ����� ����� ��� ��� �#� � #������&�� �� ����$#���

��� �� �� �����&�� �� ������ ����� ��� ������ ���� �����%����� � ������&�� ���#����#� ��

�� �� �#������ ���%�� �� ��� ���#���

��� ��� ����������� �� �����&�� � ������&�� �������������� ���� �������&�� ��� ���������

����������� � ������&�� �� ���������� ���&E�� �� �����&��� ���� �� � � ��%�� �� ��%�����D1����� �

� �������� ���� ���� "���� ��� ������� ����� �� ��������&�� � ��6��&�� �� ������ � � J����

������ �� �����%������� � �� ���� �� �����%������� �� ����� � � �� ���� ����E�� �� ���������

�� ������� ���������

����� ������ � � � ��� � �� �����

)����� ��� ������&E�� ������ ����� ��� ���������� � �������� � ������� ���� �� �� ������

���� �� "������ ������#�� ������ � #����&E�� �� ����D1���� �� ����� �� �� � ��� �/� ����

�� ����� �� ��%�������D1���� ��������� � ��������� ��� ������� � ������ ���� ������ ��%��

#��������� ������� � ������� �� ������ " � � �������� �%����� �� ����� �� ����� �� �#������

����$#��� ����� ��P����� � ������� ����������� �� ����� � �� ����&��� *� ����� �� ����D1����

�� %� ��� ��������� �� ������� ���� �� ��������� � �� ��������� �� � ���� �������� � ��

��������&�� �V�� �����#���� �� �����%����� ���� ��� ������ ��,� � ����%�����&�� �� �70�

7���������� ������ �� ������&E�� � ����D1���� ��� ����������#��� ������ ������� ����� ��

�����&�� �� ����� � �������� ��#� ��� �������� �� �������#� �� ��������� �� �����&E�� ��� ���

�� �����&�� � �������� � ������������ �� ������� ���� �� �������� ����� ������ ������� ����� ��

� � ���� �����&E�� �� ��6��&�� �� ������

��D����� �� � �� �

� ��6��&�� �� ����� ���� ��� ����������� �� � � � ��"���� � ��� ��������� � �����&E��

�/��� ��� ��������� ���� � ���J������ �� ���1����� ��6�� ��������$������ �������� ��� � #��

��������� � �� ��������� � �� ������D1����� ��� �&E�� �������� 8��������� �� ���� ?IIB9� ���

������&�� ������ � � ������ ����� �� ������%��&�� �� ������� ��������� ���� � ���� �� �����&��

�� ��%�����D1����� �����%�&�� �� ���� � ������� ���� � ��������� � ���� �������� #�� �������� M�

�����&E�� ��� ��� �� �����&�� �� ��� � ��� �"���� � ��������

* �����$��� %"���� �� �������� ���� �� ��6��&�� �� ������ � � ��� ���&�� �������#� �� �

���6���� �� ������ ��� ���� �� ����������� �� ��� � ��� ���� � #���� �� ����D1���� ����

Page 53: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���� ���� �� ���$#���� 7���������� ��#����� ���P ����� � ��������� ��#� ��� ������������ �

��� � ������&��� �� � ��� �/� ��� 87� ���� ?II@T ��������� �� ���� ?IIB9R

• �� �� ���� �� ����D1���� � ���� ����������T

• �� �� �� �� ��� ������ �� �������T

• � ���������� ������ ������T

• � �� �� �� ������ ����� ���� ������� ���������T

• �� ����������� � � ����� � �� ������%��&�� � ���� ���������� �

• � ������� �� ����� ��� ����������" �� ����� � �� ��6��&���

*� �� ���� �� ����D1���� ��� ���#�� ���� �������� � ����������� �� ������ �� �� ��������$��

����� � �� �� ����� �� �� �����&�� ��� ������ ����� � "������ ��� ������� ���� ���� ���������

�� ��� � ��� �� ��� ���� � ���� ��� � � � #��� J��� � �����&E�� �� ���#"#�� �����&�� ��

������� ���� ���� ���������

!�� ���P ����� �������� � ��� ��� ����������#�� � � ��������� ���� � ������&�� �����

���������� � � ���������&�� �� ���1���� � ��� ��6������ ��� ������ ��������� ��� � ����� ���&��

��� %����� �� ����� ��6� ����� %������ �� ���������� �� ��%�������� 6" ��� � ����%������� ��

����� � � ������ ���� ��S�������� ���� ����&�� �����V����&��� ������ � ������ �������� ����

87� ���� ?II@9�

L � �������� ���� %��� ��� � ����� � �������� ��� ��������$%���� ���#�������� ��� �#� ���

��&E�� �� ������� � �������� �� ����� �� ���� ��������� ��� � �������� �� ���������� �� ���1����

��������� �� ����� ���%���� ���� ���#�� ������ �������1����� �� �������� ���� �� �70�

���� � � �6���� ��� ������ ��#� ���#�� �� ��� #������� �����&E�� �� �����%�������� ��� ������

� � �� �� ������%������� �� ����� � �� ��6��&�� �� ����� ������� �� ����$#��� ����J�%����

� ����� A�C ������� � ������ � ������� �$���� �� ����� � �� ��6��&�� �� ������� �� ����

�� ����������� �� ������ ��� �������� �� ������ �� � � ����P���� ����� ���� � ������ � ����

� ����� � ��������� L ����$#�� �%���#�� ��� � ���� �� ����D1����� �������� �� ����� � ��

��6��&�� �� ������ ���� ������ ���� ��%�� �� ���6������� �� ��$�� �� ��� � ������������ � �

�� �� ����&�� ����&��V����� � � � ������D���� ��� �����&�� �� �����&�� �� ����� � ��������

� �����&E�� �� ����J�%���

Page 54: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ $�7 3������ �� ��;�� &� �� �������

� ����&� ��� ������� �� ����� � �� ��6��&��� �� ��6�� � �� ���� �� �������� �� ������

��#��� �� �� ���� �� ����������� � ����� ����#�� �� ��"���� �� ����D1���� �� ����� � �� ��

�� ���� �� � ����P���� ��������%��������� �� ����� #��� ������#�� �� ����� �� #����� ��� �������

���� ����� � �������� � ��������

� S�/�%������� ����6��� ������� �� ���%�� �� �� � ��� ��#��������� �� ���%�%��������

� ������ ����� #����� � � �J ��� �/�����#� �� ���#"#��� ��� ���&E�� �� ������ ��� ��� ���

#�� ����������� ������ ����������� �� ��������&�� � �������� ���� ��� ������������ 0�� ����� ��

������ ��� ������&E��� ������� ��� ����� ���� � ��1� ������� �� ��� ���� �� ����� � �� ��6��&��

�� ������� ���� � ������� ���� ��#�"#�� � ��������&�� ������ 87� ���� ?II@9� L � ��������

�� %��� ��� �� ��� ������ �� ���/�� �� ����D1���� ��������� ���� ���#���� ����� �� ����&��

��� ������ � � #�� ��� �� ����������� �� ��� ���&�� �� ����� � ����� ��������� � ���� ��6��&��

�� ������

. � ������ �� �#���� �� ���%�� �� ��� �������,���� ����� � ��� ���&�� �� %����� �� ������

� � ��� �� � �� �� �� ������� $�� � ��������� ���� ��� ���&�� �� �70� ������ � ������� �

����� A�� � �������

*� ����� �� �� ��6��&�� �� ������ ��� �����6���� %����� ���� �������� ���� ������������ �

��%�� 8��������� �� ���� ?IIB9R

• � � ����P���� �� ����� ���� � ����� � �������� ��������� �

Page 55: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ $�- 0������������ �� ���������� ������� � ��;�� &� �� ����� �����9�����

����� 3����� ��++2!�

• � %������� �� �&�� ���� ���� � �����

L #"���� ��������� ��� � ��� ��� ���� ���#�� � ����� ��� �� ����� � �� ���� �� ����6� � ����

����� � ��"���� �� ��6��&�� �� ������ � ��� ������ ����� ���� � ��������&�� ��� ������ �������"#���

���� ����&�� ��� ���6������� � ������D���� �������/�� ��� ������� �� � ���� ����� ���� �� ����

�������� � �� � ������� �� %� ��� ������ �� � ����J�%���� ���#������ ��� ���� ��� ���&���

*���� ������� � ��� ����������� � �������� ������ � ������&�� �� ����� �� �� ��6��&�� ��

������ � � ��������&�� �� ���#�&�� ���� �� � �����������&�� ��� ������ ����� ��� ���� ���������

�� ����� �� *� ������� ����� �� ������ ���� ������ �� �� �� ��������&E�� 6" ������� ��

��������&��� �� ��� � ��� ���� ��� � ����� � ����� �%���#�� � ����� �� ������ ��������1�����

�� �����%�&E���

5�� �� ���� � ����� ��6������ � ���������� ���D������ ���� � %����� �� ���1���� ���

#���� �� ? � AK �� ����� ���������� �� �����#���� �� ��� ���&�� ���������� � A ��������

87� ���� ?II@9� !� � � ��� � ������ ���� � ������� ���� � ��������� �� ��� � ����$��� �

���� "����� ���������� �� �� ����1���� � �����%������� ���� � �70�

Page 56: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����� � ��� � �� ����� �� ����

*� ������� ����� ��������������� �� ����D1���� ����� ���� �� ������������ ������� #"�

���� ���&E�� �� �����&��� ��������� ������� ����� ��������&�� � ��"����� ��� �� �����%������� ��

����� ����� �� �� ��6��&�� �� ������ �� ������ ��� � J���� ������ ���� ��6� ����� �� �����

��%�� � ����� � � �����%������ � �����&�� ��� �� �� �����&�� � �����&E�� �� ��������$%��� �����

����&�� � ������

�� ��� S�/�%������� � �%����1����� � #"���� ��������� �� ���������� ��������$������ ���������

��� ����� �� �������� ����� �� ����� ������� ��� 8G7� AT ��� ���� ?9R

�� ����$��� ������� ���� �� �������� � �������� ���� � �"���� �����&�� �� ������ ���������

%� ������� �� ������������ ��� ��� �� �� �����

�� )������� ���� � �������� �� ����D1���� �� ���� ���������

�� ),����� �� ������ ������ "#��� ���� � �������&�� �� ����� �� �� ��6��&�� �� ������

�� ��������&�� �� #����&�� �� ����D1���� �� �� ��

(df

dt

)�

�� !��������� �� %���&E�� �� ���&E�� �� �����&�� � �����#�����

�� O��������� �� ��������&�� ��� �������� �� ��������

� 0����� �� �� �����&���

�� O ������� � ����������� � �� Q������

� ����� A�H ������� ������ ������ �� ����� �� ����D1���� �� ������������ ��� ��#����� ��%���

������ � ��� ������ ��������$������ �� �������� ���� �� �������

Page 57: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� �� ���!� "� #$$�

�%� &'' �(&$�� ) ��� ���*��� +,

������ $�, '��#� �������� �����������

Page 58: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Page 59: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�������� �

��� ��� �� ���� ���������

� #�����&�� �� ������� �������� ��� ���� ���%�� � ��� ��������� � ���� ������� � ��� ����

��� %������ ��� ��� �� �� ���� ������� ���� �������� )����%� ������ � ���" �%������ �� ��&��

@�?� � �������&�� �� )����% ��� ��� � �������� ��� ���P ����� ��� ������ � ���� �����������

�����%�������� � � ��"���� ��� ����� ��� �� �� ����� ���� �� ������� �� 5� ������� ������

� ����� ��� �#������ �� ����� �%����� ����#�� �� �� ���&E�� �� � ����� � �������� ��,/� �

�� ����� :��� �� ���&E�� ���� ���������� ����#�� �� �������� �:0� � ������� ���� �� ���� �

����� � �������� � �����&E�� ��� ��� � ���� ��� �� �����&��� �� � �%6���#� �� ����� ���#��

��������$������ �� �� #����&E�� ���P ���� ������"���� ���� ������ ��#��� ���� � ���� �&�� ��

����D1�����

* �������� �:0 � � � ����� ���� �� �� ���&�� �� ���������� ���� ��"���� �� �������,����

������ ��������� � ������ ��P����� � �70 �� ������ S�/�%������� � �� ���� �����%������� ���

���������� ����������� �� �� ���&E�� ����������� ��� ��������� ��������� ����� �������� ����

��� � #�����&�� � � ��#������&�� �� ��#�� ������ ���� � �����&�� �� ����� �� ��������� ���

��#����� �����&E�� �� �����&�� � ���&E�� �� �����&��� 5���� �������� ��� �� �� ����� �����������

�� �� ���&E�� �����#��#���� ����� ����� ���� ���� ���������� �� ������� ����� �� �������� ��

#�����&�� �� ������� � �����#��#� �����

Page 60: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� )��#���� #��#*��� +� �������� �� ���� �������

�#+������ � �������� ����

5� %���� ���� #�����&�� � �������&�� ���� �� ������� � ��������� �������� ���� �������&�� ��

��� �� �� ����� �������� ��� ����� ����� ������ � � ����&�� @�? � ������ 8'������ B9R

v(t) = Vmaxsen(2πfst + φ) + ξ(t) 8@�?9

�� ���� Vmax � � � ������� "/� � �� ����� �� ������� fs � � ����D1���� �� ������ t � � ��������

�� �� ��� φ � � ���� �� ����� � ξ � � ���� ��������� � ���� �������� �� �� ���

* ���� ��������� �� ����� � #������� �� �� �� � ���������� � � ������� � �������� �� ����

���� ���������� ���� � ���� ��� � �� ��������� ���� ��� � �������"#�� ���� �����������&�� ���

�� Q������ ��� ��$��� � ��� �� ��� ������&E�� ��� � ����� ����� �������� � ����� @�? ����� �

S�/���� � �� ����&�� ��� ������ ����"����� �� ����� �� %��� �� ��� ���&�� ��� "����� L

����$#�� �%���#�� ��� � ������� � �������� ������� ������ ����"����� ���� � �%���&�� �� ����D1����

�� ����� � �������� � ��"�����

������ 2�� ���<������ �� ���� &� ��� ������ �� ������

7���������� �� � �������&�� �� ������ ����� ��������������� � �� ������� �� ���������

�/���� � ����������� �� �������&�� �� � ���6���� �� � ������ ��������� �� ������� �� � ������

������������ ���� � ��"���� � �� �#������� ������� ��� ���������� ���� ����� �� �������� �� #����

��&�� �� ������� �� ��� �%����� �� ��� �� �� ���� ��� ����� ��� � �������� � � � ����D1����

�������� ����� � ���������� � ����&�� @� ������� � ����� � ������� � ���&�� �� �����#��� ��

� ������� � �� ���� ���������� ��6� �����1���� �� �� �� � ��%���"����

Page 61: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

v(t1) = Vmaxsen(2πfst1 + φ) + Ξ1

v(t2) = Vmaxsen(2πfst2 + φ) + Ξ2

���

v(tn) = Vmaxsen(2πfstn + φ) + Ξn

v(k) = Vmaxsen(2πfskΔt + φ) + Ξ(k)

8@�9

�� ���� k � � �J ��� �� � ������ Δt � � �����#��� �� � ������� � Ξ � � ���� ��������� �� �����

�������� ��������� ��� ����� ���#�������� �� �������� �� ����������&��� ����� �� ����� ����������

� ���� �� ��������&��� � ����� @� ��������� ��� �� �� ����� ������� �������� �� ��������

)����%� �������������� ��� ?� '���� �� � ������� � � � ����D1���� �� � ������� �� IC=��

������ 2�� =������ ����9����� ������� �������� �� �������� "������

��� ,����# ��"����� ��#���

0��� � �������&�� �� ������� ����� �� ������� �� � ������D���� #�����&�� �� ������� �

��������� ���" ��������� � ����� �� ����� �� � �70� �� ���� ����� �����$��� ��� ����� ��

����&��� ����� ����� � ������%��&�� �� ������� ��������� � ����� @�A � ������� ����� � ����� �

������������#� �� ����� � �������� ������������ �� � �������&�� ��� ���������� �,� ����������

��� �����#�� �� ��������

* ����� � �������� �������� �� � ������� �$������ �� ?A�H+' �� ���1���� �� �C)'�� ���

������� � ������� �������� ������ �� %���� ���� ����� �� ���������� �� ����� ����� �� ����

�� �B)'�� 5� %���� ����� ��1� �������� ������ ���#������ 8?A�HV?AH+'9 �� B)'� ���� ���

��� ���������� � ���������� ������� ���� ��1� ��� �� �� ����� ����� 82:�9 �� �� ��� �����

#������� ����� H � ?B + �� �/������� �� ���� �� ���� 2: ��� ���������� �������� ������

�%��/������ 8?AHV?A�H+'9� �������� �� ������ �� ���������� ���1����� � ������� �� ���1�����

Page 62: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 2�$ "����� �� ������� ��#����� �����6��� �������� �� �������� �=.�

��������� � � � ����������&�� �� ������&�� �� �� ���&�� � ��� ����� �%������

����� � ���� �������

*� ��������� ��� ������ ����� ���������� ���� � ����� � ��������� ���� ����� ��� �������"#���

���� ������� ���� �� ������� �������� � ���� ������&�� �� ���1���� �������%������� ��� ��#�����

�� �� ��� ��������� � � ���� ��������� 5� ������ ��� ������&E�� �� ���������� ������� ���

"������ �$�������� ��� � ����� �� �������� 8� J���� ������� �$������9 ����� � ���1����

����� ��� ����� ������ � ��� �� � � � ����� �� ������ ��6� ����D1���� � ����� ����� ����

#��������� �� ����� ��� "��� �� ������� �� ;����� � ���� ��� "���; 8F��������� �� ���� ?I�B9�

!���� ���� ��������� � ����� � ��� ������ ������ � J���� ������� �$������ �� ���

���������� #��%�������� �� ��"����� �� �� ����� ���� �� �� � M� #����&E�� �� ����� � ������&E��

����������� �� ���� ��������� �� � ��� �/� ���� ������ �� ��$�� �� � � ����� ����� ��� � ��

����� ������ 7��� ����� � ���" ����������� �� ����� @�A ��� �� :���#��� ���� �� �#�������

�� ������&E�� ���� ��������� ���� � #��%������ �� �� ���&E�� �����������

0��� � �������&�� ��� �� ���&E�� ����#�� �� �:0� ���������� � ����� �� "����� ����"����

�$������ ���P ���� ��6�� ���P ����� ���������� M ������� ��������� �� ������� � �������

�������� 8+�9 ��� ������������ �� ��%��� @�?�

� ������&�� ����� ����� �� "����� �������� ��� ��� � �%���&�� �� ��#����� ���P �����

Page 63: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

=����� 2�� >���� �� ������� �?������ �����6��� �� ������ &��

�������� ��� ����

.������� ������� �S! -7 �"@�!AB���� �� �(��� �Np! ,=���&� ������� �� ���1� �VL! �$C, �*@rms!���������� �f! 7 �46!0������� �� ����� �IFD! �8 ��!'���������� �� �������� �Ra! C 2 �����!'���/���� �� �������&� �&� �������� �Xl! C�-8 �����!'���/���� �� ��������� 6��� �&� �������� �Xo! C�$� �����!'���/���� �?������ �� ��<� ������ �&� �������� �Xd! �C�8 �����!'���/���� �?������ �� ��<� �� ���������� �&� �������� �Xq! C7,8 �����!'���/���� �������(��� �� ��<� ������ �&� �������� �X ′

d! C$� �����!'���/���� ����������(��� �� ��<� ������ �&� �������� �X ′′

d ! C�� �����!'���/���� ����������(��� �� ��<� �� ���������� �&� �������� �X ′′

q ! C�,� �����!0�������� �� ����� �������(��� �� ��6�� �� ��<� ������ �τ ′

do! 8C,8 �����!0�������� �� ����� ����������(��� �� ��6�� �� ��<� ������ �τ ′′

do! C $7 �����!0�������� �� ����� ����������(��� �� ��6�� �� ��<� �� ���������� �τ ′′

qo! C -$ �����!"������ �� D�#���� �4D0E! $C$$$ 78 �*�F�2�� 6!

����� 33GH ��+,-!�

�� �����&��� ��������� �� ��������� �� �� ��� �� ���� � �� �� ������ �� ������� �������� �

��������� �� P������ ��P������ ������ ������� 7���������� � ��������� #���"#�� �� ��$�� ���� ����

���%�� � � � ���#�� �� #��������� ��P���� � ����&�� M #��������� �$������� ���� � ����#��

����� ��� � ����D1���� �� ������ �� ��$�� � ����������� !���� ������� � ����D1���� �������� �

��������� ���� ����&�� @�A� 8F��������� �� ���� ?I�B9�

fsistema =Npω

2π8@�A9

�� ���� fsistema � � ����D1���� �� ������ �� ��$��� ω � � #��������� ������� �� "����� � Np

� � �J ��� �� ����� �� �,���� � ����� @�@ ������� � ������ �� ������� �� �:0 ��������� ����

������ � "����� �$������ ����"���� ����6���� ��6�� ���P ����� ���������� ����� ������������

�� ��%��� @�? ��� ��

� #����&�� ��������� �� ������ �� �����$%��� �����V����&��� ������ � ������������ ��� ��

��� �6� � � %���� ����$��� ���� �����%����� ���� �� �����$%��� �������#� �� �70� �� ��6�� ���

�� ���1����� ������ � ����� ��� ��6� �� �� ��� !���� ��� �� #��������� � ����������� ��

� ������&�� �� � ����� � �� �������� ����� �� �������� ���� ������&E�� �� ���1���� �� ���� �

����� � �����&�� ��� �� �� �����&�� 8'����� F�� �� ?IH@9�

5���� �����/��� ������������ � ����� � ����������� �� ����� @�A � ��� � ������� �$������ �

Page 64: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

� � � ����� ���� �� ��� �� ����� ������� ���������� ��� ����

��������

������ ��! "��#���$���� �%��% � "��� ���� � �� !$��&�#�� !$�&�' �� �$&� �� �(& �� ���% � �� !�) �� !") � ** )+,� ,+ $- � !.�/��� � � ��� ��� 0��� ����� "����

*��� �� �� 1� �� 1) �� 1' �� 1)) �� 1'' �� 1))) �� 1''' � ** #+�23�4�� ��54�6/������ ���0� ����� ����� ����� ����� ��"�� ����"

� �)�# �� �'�# �� �)�## �� �'�## �� 1� �� � �� 1 �� 1�� � ** #+�23�4�� ��54�6/������ ����� ���0� ����"

� � �� �1��! �� 7%�� �� )!� �� 7!# �� )!� � ** )+,� , �6�4�3+ 3�/2�6/� ���� ���������

��� ( ���) � )% � $�!! ���)!� *** )��� �8�#8�/ ��� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

���% %!7

������ 2�2 "�������� �� ������� �?������ �� �=.�

������ ���� ��S�������� ����� #����&E�� �� �����$%���� ������� ���������� ��� � �&�� �� ���������

�� #��������� ���" �������"#�� ���� ������&�� � %���� �� �����$%��� ����� ����� � ����&���

L � �������� ��������� ��� � �70 �� � ����������� �� �����&�� � ��#� ����� �� �����$%����

�� � ��� ���� ��� ��������� ��� � ���� �� �&�� ����������� :�� �����&�� ���� ��� �/�������

���� ���� �� ��� � ����� #���� �� � ����D1����� ������� �� ���� � ������ � #���� �%������ ��

����� �� ���� �� � �������� � �� ����D1����� 7��� ��������$����� �������� �� ����� � ��������

� ��� ����� �� � ������&�� ��,���� 8'����� F�� �� ?IH@9�

:���#��� � �������&�� �� ������&�� ��,���� ���� � �%���&�� �� ��#� ����� �� �����$%��� �

���������� ���� � � #�� ��� ���� �������� � � ������ #����&�� �� ����D1���� �� �70� !����

��� �� ������ ������"��� � ������&�� �� ����� �� ���� "����� �� �������� ��� ������� � �������

�� �����$%��� ����� ����� � ����&�� ������� � �����&�� �� �70� ��� �� � ����������� #����

���� ��� ���� � ���&�� �� �� ���

0�� ����� ���E��� �� ��������� ��� ������� �� ������ �� �� ������&�� �� #���������� ����

���#��� �� ����D1���� 8#��������� �� �������9� � �� ����������� �� ������� ���������� ���� �����

� ������ �� ��$�� �� ������� ���������� L #"���� ��������� ��� �/���� � � ����� ������&�� �����

� ���1���� ���#� 8P 9 � � ����D1���� 8f9� ���� �� � ����� � ���1���� �����#� 8Q9 � � ������ 8V 9�

7���� ����&E�� ��������� �� ���� ������� �� �� �� �������� �� �70R �� � �� �������� ��

����D1���� 8�� ��/$��� ��� ���1����� ���#��9 � � �� � �� �������� �� ������ 8�� ��/$��� ���

���1����� �����#��9� � ����� @�B ������� � �&�� ������ ���� �� �� �� �������� � � �������

����������� �� �70 8'����� F�� �� ?IH@9�

Page 65: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ 2�8 3������ ��� �� ���1�� �� �������� �� %3.�

����� �������� �� @����� ���1� ��+,2!�

5���� ���%�� �� ������ � �� � �� �������� �� ����D1���� ��� ���������� � � #�� ��� � ���� ��

������ ��������� � � ���� �&�� �� ����D1���� �� �70 � � ��� �� ����� ���� ������ � #����&E��

��� ��#����� �����&E�� �� �����&���

����� ��� �� ������� ��

��� �� ������� �$������ ������� ���� ����� � �� ���&�� ���������� � ��S�1���� �� ���������

�� #��������� �� �������� �� "������ �������������� � � �� �� ����������&�� �� ����� �

�������� ��������� L � �������� ��������� ��� � �������� �� ��������� �� #��������� ��� ��� ��

�%���#�&E�� ��������#�� ��%�� � �� ����� ���� �� ������� M� #����&E�� �� ����� � �#��� � �����

�� ��������� � ������� � �� ����� ���� ���P ��� �� �70�

!����� �� ��#����� ����� �� ����������� �� #��������� ����������� �� ����������� �������� ����

������&�� �� ��������� �� ����� �� #���������� ��6�� ��������$������ �� ����� ����&�� � �����

�"���� � ���"#��� ������ � ��������� �� ����� @�C�

* �� ����� ���� �� ��������� ��������� ���� ��� �/������ ����#�� �� ���&�� �� ��������

�1����� ����������� �� ����� @��� �� ���� � ������1���� �� #����&�� �� ����D1���� ΔF (s) ���

�#����������

5���� ������ ΔF (s) � � #����&�� �� ����D1����� R � � ��������� �� ������&�� �� #��������� �

Page 66: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 2�7 3������ �� ��������� ��� ����� �� �����������

����� @����� ���1� ��+,2!�

������ 2�- ��� &� �� ������������� �� ��������� �� �����������

����� @����� ���1� ��+,2!�

���� � ��� ������ 8������� � ��� ������9� Tg � � ��������� �� �� �� �� ��������� �� #���������

� ΔA � � ������� � �� ���1���� � ��� �������� �� ���%��� �� �������� �� %� ��� ����� �� �

���1���� �����������

*� ���P ����� �������� ���� � ��������� �� #��������� ��� �$����� �� ���6����� �� ����� ��

���"������ � ��� ������������ �� ��%��� @� 8'����� F�� �� ?IH@9�

=����� 2�� .��/������ �� ��������� �� �����������

�������� ��� ����

0�������� �� =���� �Tg! C7 ����!0�������� �� =���� >��1��� �Tr! C,$, ����!3�������� =������(��� �r! C�-+3�������� .��������� �R! C� 0�������� �� D�#���� �� H������ �M! �C$22 ����!0�������� �� =���� �� .������ �� I��� �TW ! C�8 ����!

������� ����� 89� �� ���P ����� r � Tr �� �� �������� ��#� ��� �6������� ����

� %� �� ����� ���� �������,���� :�� �6���� � ���������� � ������ � ����� �� �������� �

Page 67: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�%����� �� ����&E�� @�@ � @�B� ��6�� ���������� ��� ������������ �� ��%��� @� ��� ��

r = 2, 5TW

M8@�@9

Tr =

⎡⎣ r

R − 10, 536 r

R

+

√( rR − 1

0, 536 rR

)2

− R

r

⎤⎦ · TW

0, 48@�B9

� �������� � ����D1���� �� ����������� �� #��������� ��������� � ��������� ����#�� �� !���

��� � �� >��� ���� ����� @�H� ���� � � ����$#�� #������� �� ������� �� ���� � � �������&�� ��

� ������� � ���&�� �� ����D1�����

������ 2�, >������� �� )��� �� ��� &� �� ������������� �� ��������� �� �����������

* ������ � %"���� �� �������� ���� �� ����� � �� ��������� �� #��������� ���� ��� �%����

#��� �� ����� @�I� :���#��� �������� �� ��� �� ������� �� ���%��� � �� �&�� ������ �� #�������

�� #��������� 8Δγ(s)9 ��� ���� ������������ ��� ��������

������ 2�+ >������� �9���� �� ������������� �� ������� ���������

Page 68: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

L ����$#�� �%���#��� ����#�� �� ����� @�I� ��� � ��������� �� #��������� �������� M� #����&E��

�� ���1���� �� ������ ���� ����� 8ΔPD(s)9� ���������� �� ��������� ���1���� ��P���� �� ����

%��� �� ������� 8ΔPm(s)9� 7��� ������� ������� ��� ���1���� ��� ��$��� 8ΔPG(s)9� ����������

� %����&� ���������� ����� �� ������ � � ����� � �� ����&���

� ����� @�? �/�%� � ������ �� ������� �� �:0 �� �� � �� �������� �� ����D1����� �� ����

����� �����$��� �� �"������ �� #����&�� �� ����D1����� ��� �� � �� ���&�� �� ��������1���� ��

��������� �� #����������

���! 79��%)� ������� )� � &����%)�)� )� ����)�� � � % %� ��� �%$ ��"&���� *���������00&���� ���"�000��� ���':; �%� )� �����; �%� * ��7<� ��8� ���� � �� � �� � � � � % %� ��� �%$ ����!��� ������������������������������ *���������� �=��8�� )� ���':; �%� ��8�� #��� &����%)�)� )� ����)���������� > ??� @ &����A B ?" @ #%AA� ����8�� )� &��%���� )� ���'8� �%� * ��$#���)�����)���� > �!��� * ������� �� 7� * �B�� � �$���� �% � � �% " � �% � � �% � � �% � � ���% ��� ����� 7%�� ���� 7%����� 7 C�)���� �����

� �8 DE� )� ��� !���; �%� )� ���8��)�� )� &����%)�)� ��$ '8�)� )� &����%)�)�� � �$���� �% � � �% " � �% � � �% � � �% � � ���% ��� ����� 7%�� ���� 7%�"���� C��� 7 �����

� � �� � �� " �� � �� � �� � �� � �� 0 �� )� �� )� �� )" �� )� �� )� �� )� �� )� �� )0 �

����� ���������� ����" �����

� �=��8�� )� #��; �%� $=1%$���!��$)� > ���� C ���!��$)�� �%$%��DE� )� #��; �%� )� � ���)� )� ����)��� � �$���� �% � � �% " � �% � � �% � � �% � � ���% ��� ����� 7%�� ���� 7%������ C!��$)� ���� ���� ��"�

� ���'8� $��F %��00!���$ ���������!���$ >������� ( ���) � )% � ���! )���

������ 2�� "�������� �� ���1� �� �������� �� ���������� �� �=.�

����� ����������� �

*� �������� ������ �� ���1���� ���� ��� � � � ���&�� � �������� �� �70� � � #�� ���

����� ��� �� �������"#��� ���� ���������&�� ��� ��1� ���������� �� �� �� �70 8����&��� ����� �����

� ������%��&��9� ��� �� ����� ���� �� �$#��� �� ����E�� ����6����� ���#���� �� �� ������� �

������ �� ���� �� ����� �� ����� ��

!�#��� M ������ ����#P���� ������ ������ ����� ���� � �� ����&�� �� ����� �� ����� �

�������� ���������� � ��������� � � ������� �� ����� #�� �:0 ���� ����������� � �� ����

Page 69: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�� ���� ������� ��������� � ����&�� �� �������� �&��� ���#� �� ������&�� � ����/E�� ��� ���

���� ����� ����� � �������� �� ������ @�?? � @�? ��������� � ��������#� ����� � ����� ��

�������� ���� ����"���� � ������� � � ����� � ��� ����/E�� ��� ������ ������ ���� �� � �

�������&�� �� ���#� �� ������&�� �������� �� ������ �����

������ 2��� "����� �� ������������� �����9���� �������� ��������� ��� �=.�

5� ����� @�??� � ����$#�� �%���#�� � ����������&�� ��� ������1����� 8-? � -9 � �����P�����

82? � 29� ����� �� ��� "��� ������ �� ������"���� ��������#� �����

������ 2��� >����1�� ��� ����<��� ��� �������������

� ����� @�?A ��������� � ������ �� ������� �� �:0 ��������� ���� ������ � �������� ����

����"���� ����������� �� ����� @�?� L ����$#�� �%���#�� ��� �� ������� �� ������ ����

��� ����������� � ���#� �� ������&��� �����#���� � �������&�� �� ����� �� ���P ����� ���� � �

�� �� �����������&�� �� �������� ���� ������ �� #����&E�� ���P ���� �� �70 �� ������

� ���#� �� ������&�� �� �������� ���� ��� �%���� ���� �������&�� �� ������ ��:.-�:O*5

877.G� ?IH�9� � ���� ������� �� ����� �� �������� � �� S�/� � ������ ��� #������ �� ������ � ��

�������� �� �������� ���� ���#�������� �� �������� �����%�������� � �������&�� ������ ����� �&E��

�� �����������&�� �� ������ ����� � ��%��� @�A ������� �� #������ �� ������ � �� �������� 8���

Page 70: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

� ��� !���$���� �� ����81���8!����$���� ����� !���$�� ������"��������� �����������������C�� "�������0"�C����"��������C�� "������0�0�C��"������"���C�� ��"�00"�""�C����"����"���C�" ����0������C������0������C�" ���"��"�"��C��

����� ��8!����8!"�� �� � �� � ��&����� �%����#� ����0� �����0��0��"���!� ���!� ����������00������

� �����, 4�+�G�3+,���� !���$�� ���� ��������#�"���!� ���!�

� 4��/�6� 4�+��G�3+,���� !���$�� ���� ��������#�"���!� ���!�

������ 2��$ ������� �� ������� �� ������ �� ��������������

������� � ����9 ���� � ������&�� �� ������ ��:.-�:O*5�

=����� 2�$ >���� �� ����&� � �������� ���� � ������ %�=G'�=DEA�

����� ��� ������� ���� � 10−3�

C+ 0, 717�C �C28 �C� -C+-,�C�8 2�C����C�, ��$C---

����� )�������� �� 7!�

�� �� #������ �� ������ � �� �������� ������"���� � � ��� ��� ���� �� ������ ��:.-�:O*5�

� ���#� �� ������&�� � ��������� ����� � ������ ������� ��� ��������� �� �����#� ��������� ��

�� ���&��� � ����� @�?@ ������� � ���#� �� ������&�� ��������� ���� �� �������� ������ ��

B)'��

� ����� @�?B ������� � �����#� �� ������� �� ������ ��:.-�:O*5 ���� � �"����� �� ���#�

�� ������&�� ��� �������� ������ �����������

����� ��� �� � �� ��� � � !�������"�

� ��������� �� ��� � �� ����� ����� �� ?AH+'� ������ � ������� � ����� @�?C� � � � �������

��&�� �$���� � ������� �� �� ��� �� 0������� �� F��&� � 2�� 8�0F29 �� �������� ���������

�� � �����&�� �� ��������� � ��� ��������� ���� � �������&�� �� ������� � �� ���&��

�� ����� � ��������� ������ ������"��� � ��#���� ���� ��� ���P ����� �V�� ��� ��������$������ ��

Page 71: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ 2��2 0���� �� ������ &� ��� ����������������

���% �H )��� ��!�I���!�!��8���%� � ���' ��&��!� ��!��!� � � (�7%�)����� 0���0����������� �� %�$! ?#8A �� &�$! ?#8A ���0�0��������*�� ����������"������*�� ����0��0���������*�� ���������"�������*�� ��������000������*�� ����

����I#8 �7��� ( �% ����% �H )��� ��!���� ( �% � � )% � ��� ��!�!

������ 2��8 ������� �� ������� �� ������ %�=G'�=DEA�

��� � �� ����� ������ ������ � ������������ � ������ 8F�� �� ?I��9�

• �������� �� ����R ��%� 2�����

?� ��P ���� �/����� �� ��������R ?H�A?A

� ������1���� � �������� ����$��� � Bo�R �?I?� ΩV

A� ���� ��� ������ ����R ��@

• ��%�� �"��������R 7=� BV?C;

?� ���� �/����� �� ��������R H�CH

� ������1���� � �������� ����$���R B�BI ΩV

• -������#����� �� ����

?� RsoloR ?Ω�+

Page 72: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 2��7 %��1���� �� ����� �� ���1� �� �$,*@�

• F��� � � ��� #��

?� ���������� ����R ��B

� ��%�� �"��������R C�

0��� � �������&�� �� �� ���&�� �� ����� � �������� �� �������� �:0 ���� �� ���������&E��

���� ��������� � ���&�� ��� �������&E�� ��� ������� ��� ���������� ��� ������ �� ����� �����

������������ �� ����� @�?C� 7��� ������ � ���������� � � ����� �� ����� ����� �� ����� ���

���� ��������� � ��������� ���� ���� ���������� !����� �� ���������&E�� ����������� ����������

��� ��� �� ������������ � � #�� ��� ���� �����&�� �� ����� �� ��������$%���� ��������� �����

�� ����������� �� ���������� ��"����� � � ���� ��% � ��� � �� ����� ������ ������� ���#�����

8?IHC9� �� ����� �� ��� ����������� ���#��� ����� ������ ������6"#��� ����� �� ����������� ����

�������� � � ������D���� �������&� ����� �� ����P����� ��� �� ��� !���� ��� �� ����������

� ���������&�� ���� ���#���� ���� �������� � ����� @�?� ������� � ���������&�� �� � � ��� � ��

����� ����� ���������

� ������� �� ��� � �� ����� ����� ��� �������� ��������������� ���P ����� ������%�$���

� #�������� �� � ����D1����� � ��� �����%����� � ������ ��� ����� ��� �� �� ����� ���� ��

�� � ������� �� ���� �� � �� �70� 0��� ��� �����&��� � ��������� � ������ 3)�-:O �����$��

Page 73: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 2��- =�������� &� �� ��� ���1� �� ���������&� ���������

����� %�������� ��+,7!�

�� �������� �:0� � ���� ���" ����� ��� �� ��� ������

������� ���#� 8A9� � �������� �� � � ����&�� ������� � �/��� ���� �� ���P ����� ��

�������� ��� � �� ����� ����� �� ��#� M ���������&�� �� ������%��&�� ������ � ��� ���P �����

�� �������� �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ��6�� ��� �/������� � � ���������&�� ������ � �

J���� ������ � ����� @�?H ������� � ����� � ����"���� �� ����� �� ���P ����� ������%�$���

��������� ���� ������ 3)�-:O �� �"����� �� ��� � �� ����� ������ *� ���P ����� �� ������1����

8R9� �����P���� 8L9 � �������P���� 8C9 ��� ������������� ��� ������� � � ���&�� �� ��������

���� �� 8Δx9 �� ��� � �� ����� ������

������ 2��, '��������� &� �� ������ ��� ���/������ ��������?����

����� %���� �� $!�

����� ?+��� � �'���� �� ���� � $ � � �������� �5

� ������ 3)�-:O � � � ���&�� ����������� �� �:0 ����� �� ����� � ����� ���� ��� �� ��

����� ����� %������ �� ������ �� ����� #��6������ ������������ � #����&�� ��� ���P ����� �����

�� � ����D1����� � #����&�� �� ����D1���� ��� ���P ����� �� ��� � �� ����� ����� � ���������

�� ����� @�?I� ���� � �� ����� ���� ���������� �� ����D1���� � �� ,���� �� � ���P����

��������$����� �� ��� � ��� �#����������

5���� ������ ��� ������������ ��#����� ��������$������ �� ����� � � ��� �������� �� � ���

�/� ���� � ��������� �� ������ � �J ��� �� ���������� ��� ����� � �������#����� �� ����� � �����#���

�� ����D1���� � ��� ���������� � �������&�� �� ��� � 8�� �� �� ���������&��9� ������ �������

Page 74: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

100

1000

10000

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

|Zc|

(oh

ms)

Freqüência (Hz)

������ 2��+ @���� &� �� �(���� �� �����/���� ��������?����� �� = �� ��� &� �� �����������

!�#��� M ������ S�/�%������� ������������� ��� ���� ������� ����� ����������� ����� ������ ����

� �"����� ��� ���P ����� ��� ��� �� �� ����� ����� �������� �� ����� �� ����� � ��������

��������� * �����#� �� ������� �� ������ 3)�-:O ���� � � ��� ��� �� �� ����� ����� � �������

� ��������� ���� ����� @��

����� #��� �� !�� � ���! � ��!��� ���$���

�� � ������������ � #����&�� ���P ��� ����� � ���1���� ������ � � ����� ��� ����� ������

������ ������ ���Q ���� �� ����� � ��������� ����� �� ����� ���������� � #����&�� �� ����D1�����

5���� �����/��� � � � �� ���������� � �� ���&��� �������� ���� �������&�� �� � ���6���� ��

������ �� ��������$������ �����$���� ��� ����� ��������� M ���� �������� � �� ��� ���������� ��

� �%6���#� �� #������� � �� ����� ���� ���P ��� � � ���������� S����&�� �� ����D1����� :��

��#������&�� � ������"��� � � �� �%��� ����� ��� ��������� ���� � ���������&�� ��� ����������

�%����� ����#�� �� ������� � ���������

�� ������ �� ������ ����� ����� � ��� �� ������ ��� ��� ����� �������#��� ������#�� � �����

����#��� �� ���������� ���� ��� � ���6���� ��� � � ����� �� ���1���� �� δ = 0, 92 ������#�� L

� �������� ��������� ��� � ���1���� ����� ��������� � �%���#��� ���� ������� #���� �� 25 � 110%

�� ���1���� �� ���� �� �� ��

> ��� ��&������� E� � �� � ������ � � �� ������ FGH � �� ���� FΔH

0��� � �����������&�� ��� ����� ��� ����� ��������� ���� ������������� ���� ������������

�� ��������� ��������$������ ���������R

Page 75: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

���% �H )��� ��!�J$���% !��8#K ���I���!�� � �!� )��������!� )�����"��!� )��������!� )��������!� )��������!� )���������� �7 ����%�����������%�����������%����������"%����"�����"%����"�����"%����"���% � �� !�� �!$���%�� �� )8����! ��!�� ��!(%����!%! ��������� ��)%�$ ��7��%L ��&��H����&$%) �

��"""� �����0 � ������ *���� ""�"�� ���0��"�"""� �����0 � ������ *���� ������ ������

� �����"""� �����0 � ������ ���� ""�"�� ���0��

� �� )8����! )�! ����! #=��*��%�!� ���� ����" � ��0��0� *��"� "���� "����� ���� ����" � ��0��0� ��"� "���� "����

��� ( /+�, ��,6�� /�,�/4�! /+�,�� �7� �� ���' �� ���� �� �� )%!� � % �)��#� ��

����� ��� � ��� ������ ���� � ��� � �� �

��� ( /+�, ��,6�� G�� ���/M /+�,���� ( ���) � )% � �% � �� !�� �! %�N�,,�, 8!���� � %)��8���%#8 �7��(�8�#����$�)� �

� ���)*0� �1$%���#!����� ��$�1��%���)��� %�H����%�#�����%�)�� ��% ��%$���$% ���

��� �� � � � � ���� �� � � � � � ��

��� ( /+�, ��,6�� J$���% ��!�I#8 �7���% �H )��� ��!���� (

������ 2�� ������� �� ������� �� ������ :"�'=D�

�� :����� �� ��� � 8VL9R ?A�H kVrms

%� F���� �� ���1���� 8θ9R �I ������#�

θ = arccos(0, 92) = 23, 074o

0��� � ����� ��������� � ������� 8G9 �� �� �� ��������� ����&E�� 8O�N��� 9R

S3φ =√

3VLIL

|ZY1φ| =

VL√3IL

|ZY1φ| =

V2L

S3φ8@�C9

� ��%��� @�@ ��������� �� #������ �� ������1���� � �����P���� ���� �� ������ ���������� �

�������� ������ � ����&E�� ������������ �� ����&�� @�C ��� ��

0��� �� ������ ���������� � ����� 8Δ9� �� �� �� ��������� ����&E�� 8O�N��� 9R

Page 76: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

=����� 2�2 >���� ��� ������ �� ������� �����6���� ��� ������ ����

������� ��� ����������� � ���������� � �

�8C -C ,�+� -C+�+��2�8C ��C7, $� �$C�+,-�� C �-C8� 2, �+C-+, 78C $8C 2 +7 $+C8+7��

IΔ =IL√

3

|ZΔ1φ| =

VL

|ZΔ1φ| = 3

V2L

S3φ

ZΔ1φ= 3ZY1φ

8@��9

� ��%��� @�B ����E� �� ����� ��� ������ ���������� � ����� �� ������ �� � ���1����

�� ���� ������

=����� 2�8 >���� ��� ������ �� ����� �����6���� ��� ������ ����

������� ��� ����������� � ���������� � �

�8C ��C �28, �$C-8-7-�8C $8C 2 +7 $+C8+7��� C 8�C87�22 8+C$+2�,8C � 8C���+ ��,C-,,2

Page 77: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��������

��� ��� ���! � ����

* ��� � ,���� � �� � ���� ��������� ���� ������#�� �� ����������� ����� �� ��� �/���� ��

����� ����6���� �� � ����� ����� ����� �������� ������ �����$����� *� ��6�� ����� ��� �� ����

����� ������� �� ������� ����� ������ �� �������� �� ����D1����� ��� ������ � ����� �&E��

�� ��������� ������ �� � � ����� ����� %���� �� ����D1�����

*� ������� ���� �� � ����� �� � ������ ���� ��� ������������ � �������� � �������������

*� �������� ��� ������� ��6� ���&�� �� ��������1���� �%����� � ���&E�� ��������� �� ��6�� �� �

��$�� ���������� �� �������� �� ������� ��� ���&�� ������ �� �������� ���� ��� �����&�� ��� ��6�

��������� � ����� � � � ��� �� ��� ������� � ����� B�? ������� � ������ � ����� "���� ����� ��

� ����� ��������#� ����������� � ����� �� �������� �&�� �� ����� �� ������� �� �� ����%�����&��

�� ����� ����6����

������ 8�� >������� ������9���� �� �� J�����

����� ���1���K)����;��L ��+++!�

� �������&�� �� ������ ���� �������� �� ������ �� ������� � ����� ������ ��$��� � � � %��

����/� �&�� ���� �� �%��� � ����� ����6���� * �������� �� ����&�� ��� ���P ����� �� ����� �� �

� %���� ���� �� �� ����/� �&�� ����� � ����� ����6��� � �� ��$�� �� ����� � ��������� ����

�������� �� ��� ���&�� ��� � ������� �� � � � ���&�� �� ���� ��� � 8F�� ����>����6��(�

?III9� � ���&�� �� ���� ��� � ���� ��� ������� ��� ���������� �����$������ �� ����� ��$�������

����� � �����$����� � ��� ���������� ��������� ���� ������� ���������� �� #���� ���� �����"����

Page 78: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�� ����� ���� �� � �������&� ����� � �������� ����6��� � � ��$�� ����� �� ����� 8=�(+��� ?9�

0��� �������� ��������"����� � ����&�� ,�� � ���� ���&E�� �� ���� ��� � ���������� �� ����

���� �����"���� � ��� ����� �� � ����� �� ����� ����%���� � ����� �� $�� � �� ������$���

�� ���� � �������&�� �� ����-.� �� �����

-�� )������ �+������

*� ������� �� � ������������ ��� ������"���� ���� �%��� �� � ���� ����� ����6��� ����������

����� ������ ��������$������ ����� ��$������ � �� �����"������� � ��� ���&�� �����$������ �� �

� ����� �� ����� ������ � ���#�� ��� ��� ���� ��� ��������$������ �� ����� �� ������� ���� �

����� ���&�� ��� ������������ ������"���� ��� ���������� � ��������� ����6���� *������� �� �

����� �&�� �� ������� ��� ��� �� ����� ���� ��� ����� �� ���� ������ ��� �� ����� ���� ��

�������� �� �� ��� ���� ���� �� ��� ���&�� ��� � ��������� 2���� �������� ������"��� � �����

��� ��������� ��� �� ���P ����� ������ ������ �� ����� �� ������� � ������� ����� ����������

�� ������&�� ��� ���P ����� �� ������ 5����� ����� �� ������ ������� ������ ��� �� ������

��������#��� ��� �� ��������6��� ����#�� �� ������� �� �������#���

0��� ��� �� ������� �� ������ � �������� �� �6���� ��� ������ ��������#��� ���� ���������

� � ��������&�� �������� ����� ��%�� ���� � �����&�� �������� �� ��� ��� �� ����� �&E��

���#�� ���� ��� ������ ��%�� � ����� ��6� ������������� �� � ����� �� ������� ��� ��������"����

� ������� � ������� ��,� �������#�� �����&E�� � ���#���1���� ���� � ����&�� ,�� � ��������� ����

����� �� ����� :���#��� �� � ����� ��� ��� ��������"���� � ������� � ��" �������� �� #����&E��

�����$������ �� ����� �� ������� ���� ������������ � �� �� ����&��� ����� ��� �� #����&E�� ��6�

��������� ���� ������ 8=�(+��� ?9�

. � ������ #�������� �� ������� �� ��������#�� ���� �����#��#���� �� ���������� �� �

�%6���#� �� �� ���� � �� � �� ������&E�� ���� � ������� ������� ��� ��� ��#����� "���� ��

��� ��� ����� 7��� %���� #��� ������� � �� ������ ��� ��������� ������� 8=�(+��� ?9R

�� -���� �� ���#���1����R � � ����� ������� �� � � �J ��� �� �����&E�� ������"���� ���� �

������� � ���#����� � �������� �� ����� �� ������� ��������"����

%� 7��� �� �6����R ���P ���� ���� ���� � #���� ���� �� ���� ���� �����"���� ���#�� �� ����

�� �����1���� ��������� ���� ����� �� �����

�� -������� �� ��� (�� R � � ���P ���� �������"#�� ���� ����&�� �� ������� � �������#� �

Page 79: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

� %������ ��� ��������"�����

�� -�%�����R #������ �� �������� ����J�%��� �� ����� �� ������� ���#��� ������� ����� ��

��$���

�� -��������� �� �����������R ���� ����� � �������"#�� ��� �#����� � �J ��� ����� �� �����&E��

������"���� ���� �/������ � ������� �� � �� �� � �� �����&�� �� � ,��� ��������� � �

����� �� ������ ���� � ��� � ������� � ���" � ��� �������

�� 7��������R ����� ��������� M ��������� �� S�/� �� ����� �&�� �� ������� �� ����� ������

���� � ��� � �� � ��� ����&�� �������� ���� � �/���&�� �� ������ ��

-��� ��� ����� ������� ������ �� ������ ��������#�� �� � ������ ��������� ��� �6���� ����

���P ����� �� ��������$������ ���� ����� ���� ����#�� �� ������� �� �������#��� ��������������

� � �� ��� �� ���� ��� �� �� ������ �� ������ ���������� ��� ������ �� ������� � �� ���������

��������%���������

� ���������&�� ��� ������ ��������#�� � ��� ��� %����� ���� ��� ���� ������ ���������R � �����

������� �� �� ����������� �6���"#��� � � ������� � ��������#� ��������� ���� �6����� �� �������

�� ����������� �� ������ ��� �� ��� �&�� %"����� ����� ���� ������� #"���� ��������&E�� ����

���������� �����$���� �V�� ����,����� �� ����&��� ����� �� ����� ������� ���R � ������� ���� ��

��$��� � �����&�� ������� � ���� ��� ���� �� ����� ��������#� � � �������� ��������#�� 7 ������

�� ���������� ���������� ������� ������ �� �����1���� 8yk9� ��$�� 8xk9 � ���� 8ek9� �� ����$#���

����#�&E�� � �������� �� ������&��� ���� �� ��� ��������&E�� ���� ������ ��������#�� ���

������������ �� ����� B��

������������ � ��������&�� �� �������� �� ��$��� ��� �/� ���� �� ��� ��� ���� �������

�� ������� ���� �� ������ �� ��$�� 8xk9 � �� �����1���� 8yk9� L � �������� ��������� ��� � �����

yk � �� ����� ���� ����� ����6��� 8sk9 � �� � ��$�� 8nk9� ����� ��� ��6� ���� ��� ��� ��� "

�������&�� ����� ������ !���� ��� �� � ������� ������� � �������"#�� ��� ���� �� � ��$�� ��������

�� ����� �� �����1����� ���� ��� ����� �%��� ���� � ����� ����6���� � ����� B�A ��������� �

����� � �� �������� ���� �� ����� ��������#� �� � �������� �� ��$���

* ��������� �%6���#� �� ������� ���� �� ��$�� � � �����&�� �� ���� �&�� ,�� � �� ��$�� ���

����� ��� � ����� �� �����1���� � �������� �/� ���� � �������� �� ���� �&�� �� ����� ����6����

:�� ����� � �%���� ���� �������&�� �� ����� ���� ��� 8Y�k9 �� �����6� �� �������� ����&�� ���� �

��� -����� ��.�����/ �* ���0�� .�����/ ��� ��*1��23�� �� -����� ����4.�%�� %15� ����4���� � � ����%�2�� �**�%�����%���������/ �1 ��5�/ �* �����*�� ���%����� �(��6� � '1��1�/ ����7

Page 80: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� )��%������ � �����8��9�%�� ����4��%� ��*8���� ������� �� ��8��9�%��7

�!� :��0���� �� ���0� ����������7

������ 8�� ������� ���J���� ��� ��� J����� ������������

����� D����1�� � :����� ��++$!�

������ 8�$ >������� �� ������ �� J���� ���������� ���� �������� �� ��?���

F����R O���� �� � 3��#�� 8?IIA9

�6���� ��� ����������� �� ����� ���� ������� � ��������#�� ����#�� �� ��� ���&�� �� ��$�� �

Y�k ����������� �%��� � ��������� ��������� 5� ���������� � ����� �� ��$�� ���� ��� 8Y�k9 ���#� �

���� ����,�����R �� � ���� ���#� �� ����� ����6��� � �� � ����� �� ���� � ��� ��������� �� �6����

��� ����������� �� ������

-�� ������� �� ����� �+�����

5� ������ ��� � ��� ����&E�� �� ����� �� ��������#�� ��������� � ��������� �����#������

�� %� ��� ����� �� � ��������� �� ����� �� �������� ����� �� � ����� 8FO-9� �������� ����

����� B�@� 5����� � ����� ��������#� ������ � � ������� �� ���� 8x(n)9 � � � ��$�� 8y(n)9� ���

�� � ����� ����6���� d(n)� * ����� �� ��$��� y(n)� � ������ �� � � � �� %���&�� ������ ���

� ������ ��������� �� ���D1���� �� #������ �� �������� x(n)� �� ������ �� � ����&�� B�?�

y(n) =N−1∑i=0

wi(n)x(n − i), 8B�?9

Page 81: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�� ���� wi(n) ��� �� ����������� �� ����� � N � � �� �� � �� ������ �� � ������ �� �������

��� ����� ��� x(n − i)� ���� i = 0, 1, ..., N − 1� *� ����������� ��� #�������� �� �� �� � ���

����������� ���� ������� � ��������#��

������ 8�2 ������ ���������� ������������

����� ���1���K)����;��L ��+++!�

7 ���� �� ������&E��� �� ����������� �� ����� ��� ��� ��������� � ����&�� M� � ������ ��

����� �� �������� � ��� ��#� M �������&�� �� � � ����� ���������� ��� ����� �� � �� %���&��

������� :�� �����6� ��� �� ��� � ��$�� �� ����� ��6� � � �� %���&�� ������ ������ ����� ��

���������� ������ ����%���� �� ������� �� ����� � �� ���� ��������#�� ������������ ����������������

�� � ������ �/������� �� ��������� ��������� 7��� �� %���&�� � ��������� ���� ����&�� B��

����������� � �������

y(n) =N−1∑i=0

wi(n)x(n) 8B�9

L ����$#�� �%���#�� ��� � ��������� �� �� %���&�� ������ � ��� ������������ �� ��� � ������

���� �����#������ � � #�� ��� ���� ���� ��� �%���� �� ��� ���� ������������ xi(n) = x(n − i)

8F�� ����>����6��(� ?III9� � ����� B�B ������� � ��� � �� ��������� ��� �� %���&�� �������

L � �������� �%���#�� ��� �� ���������� �������� ���� ������������ ��� ���������� ��� ������

��� �������#��� ��� ����� � �"����� �� ��$�� �� ����� ��� ��#��#� ��� � ���� �� ������ �

�� �������� ����&��� � ������&�� �� ���� �����6��� ������ � �� ������ B�@ � B�B ������������

�������� ����� � #�������� � ������ �� ���� FO-� ����� ��� � �������� �� � ����� ��6� �� ����&��

�� ����� �� �� ��� * ����� �� �������� ������� �� � ����� 8OO-9� ������ �� ���� �� ����� ���������

����� ��#������ ��� ����&E�� �������#�� �� � � ����������� �� ����&�� B�A� � �������

Page 82: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 8�8 ������ ���������� ��� ������� &� �������

����� ���1���K)����;��L ��+++!�

y(n) =N−1∑i=0

ai(n)x(n − i) +M−1∑i=1

bi(n)y(n − i) 8B�A9

5����� �� ai(n) � bi(n) ��� �� ����������� �� ����� �� ������� ������ � �� �������� ����&��� ����

�����#� ����� :���#��� �� ������&E�� �� ������ �� ���� OO- ��� ���������� ���� �� ������� ��#���

M� ����� ����������� ��� ��#��#� � ��� ������&�� � � ��� ����������� ������ M ����%�������

������� � �������� �� ������&��� � ����� B�C ����� � ������ � �� ��������� �������� � ������

�� ���� OO-�

������ 8�7 3�������� �� J���� DD'�

����� ���1���K)����;��L ��+++!�

* �������� �� ����� � �� ���� �� ����� � ��� ���������� ��6� FO- �� OO- � ��� ������D����

���������� ������� �� ���������&E�� ��"����� � ����������� �� � ��� ����&��� 7���������� �

Page 83: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������&�� �� ��������� �����$������ ���� � ��� ���&�� � �������&�� ���� �� ���6��� �� ����� ����

��� ��S��������� ���� ����� ���� ��� "����� � ��� ���� ������������ ������ ������&E�� ��

��������� ����6����

*����� ��������$������ ��#� ��� ������������ �� ����&�� �� � ������ �� �������� ���� �

����%������� ������ M� �����&E�� �� ������&��� . ����� FO-� ��� �/� ���� � ���������� ����

���"#�� ��#��� �� ���� M �/���1���� �� �� �� �� ������� �� �����&�� �� ��������� ����6"#��� �

��� ����������� � � ��%����� ������ � ����$#��� �����%�������� �� ��� ���&�� ��� ������������

0�� ����� ����� � ����� OO- ������ �� �� �� ������� � �������� ������� ��� ���������� � ��$��

��������� ��� ���� �� � ����������� �� ����&�� B�A� 5���� ����� ������ #���"#��� �������� ����

��� ��� ������� ����#�� �� �������� :�� ���������#� ����� ��� ���� ���� ��� ��6� ��#��� ����

���6������ �/���� � �����%������� �� ����� ��������� ����"#�� � �� ��������� �%���� ��� ���������� �

��� ����� ��� �����&�� �������"#��� 7 %��� � ���%�� � �� ����%������� ����������� ��� ������ ��

���� OO- ��6� ���6"#��� ����� � �����&E�� ��,����� ������ ��"������ ���� �� ����#� ������ "

� �������� �� ��������#������ � ��� �/����� � �������&�� �� ������ FO- �� ������ ��� ������&E��

�� ������ ��������#�� 8=�(+��� ?9�

-�� .���� �*��� �� ����� �� ����

* ��� ��� ���� ���#�� �� ����� �� ���� � � �������� ���� � �� �������� �� �� ������

���� ��� ������ �������� ��������#��� � � #�� ��� � ������ ��� ������� �� �� �6����� �����

����#�� ���� ��� #����������� �� � ����/� �&E�� �� ����� �������� �� ����� �� � ���������

�� ����� B��� 5���� ����� �� ���� ������ 8x(n) � y(n)9 ��� ��������� �� ������� ���� �� ������

���� ����� ���� y(n) � � � �� ������� ����������� �� x(n)� :�� ���������&�� � ��������� ��

�����&�� �� ���� ���#� ,�� � �� y(n)� ����� ����#�� �� ��� ���&�� �� ����� 8e(n)9� �� ��� �

�������� �� ��$�� �� ����� �� ������� � � �%���&�� �� ����� ����6����

������������ � ��������� �����#����� ����������� �� ����� B�@� � ���� 8e(n)9 � ���������

����#�� �� ����&�� B�@� � ������R

e(n) = y(n) − r(n) = y(n) − W(n)T X(n) = y(n) −N−1∑i=0

wi(n)x(n − i), 8B�@9

�� ����� r(n) � � ��$�� ���� ���� N � � �J ��� �� ������������ W(n) � X(n) ���������� ��

�� ���� ���������� � ��8����2� ����� � ����� ����*��� � � ����� ����5��� �d(n)�

Page 84: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ 8�- ������ �9���� �� �����

����� D����1�� � :����� ��++$!�

#������ �� �� ����������� ��� ������ � � ����� �� �������� ��������#� ����� 7���� #������ ���

����� ���R

X(n) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x(n)

x(n − 1)���

x(n − N + 1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

W(n) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

w0(n)

w1(n)���

wN−1(n)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

8B�B9

* �"����� ��� ����������� ,�� �� �� ����� �� ���� �%����� M �������� ���D1����� O�������

����� ��#� ��� ��������� � �������� �� ����� ����� ����� ���� ����&�� B�C� � ������R

e2(n) =[y(n) − WT (n)X(n)

]2

= y2(n) − 2y(n)XT (n)W(n) + WT (n)X(n)XT (n)W(n) 8B�C9

* ���� ���� �����"���� 8JMSE9� � �%���� ���� �� ��� �� �������&� ��� "����� � � %��

�� ����� �� ����&�� B�C� ����� ��� � #���� �� ������� 8X(n)9 � � ����� y(n) ��6� ���� ����

��������"���� � � ����&�� �� ������ *� ��6�� ��� �� ����� �� �� �� �� ������ ��� ���&�

�� � �� � �� ����� ���� ����� ��� !���� ��� �� ������� �%��� � ���� ���� �����"���� ����

����&�� B���

�& �������2� *���*;��%�/ �1 ��*����*���� �������2�/ � ��-���� %�*� � ��*� �� 81�2�� �� 1*� ����;��������4��� �g(X)� ��� �1� ������!1�2�� �� ���!�!������� �pX(x)� �����./ � ��7

E[g(X)] =∑

i

g(xi)pX(xi)

Page 85: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

JMSE = E[e2(k)] = E[y2(n)] − 2E[y(n)XT (n)W(n)] + E[WT (n)X(n)XT (n)W(n)]

= E[y2(n)] − 2E[y(n)X(n)]T W(n) + WT (n)E[X(n)XT (n)]W(n)

= σ2 + 2PT W(n) + WT (n)RW(n) 8B��9

*��� E[· ] �� %����� � �������&�� σ2 � #���P���� �� y(n)� P � #���� �� �������&�� ������� ��

�� �� � N ����� �� #������ �������� � ����� �� ������� � � ����6��� � R � � ����� �� �����

�������&�� �� �� ����� N/N �� #���� �� � ����� �� ��������

� ������ ��� ����&E�� ���������� � ����$#�� �%��� � ������$��� �� ���� 8SMSE9 ���� � ����� ��

����� ��������� ���� ����� B�H�

������ 8�, %�����?��� �� ��������1� �� J���� �����

����� D����1�� � :����� ��++$!�

5���� ������ �� ����������� �� ����� �� ���� 8wk(n)9 ����������� � ������ ����� ����

�� ������$��� �� ���� ��� �� � ��� ���&�� ������ 8����������� ,�� ��9 ���" �����&��� ������ �

��������� �� ������$��� ��� ����� � ����&�� B�H� �� %� ��� ����� �� ����&�� �� ���� �=����

��������� ���� �����&���

∇SMSE =∂J

∂W(n)= −2P + 2RW(n) = 0

Wotimo(n) = R−1P 8B�H9

*��� ∇SMSE � � ��������� �� ������$��� �� ���� ��� ��

� ������ �� ������� ��������#� � �6����� ����� �� ����������� �� ����� �������� ����� ���

W(n)� ������ � � ����&�� B�B� ����#�� �� ������� � ����� �� %����� �� ������$��� �� ���� ��� �

Page 86: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� ����� � ��� � ���� ��6� ��� ������

7 %��� � ����� %"���� �� ���� ��������� ���������� ��������,����� ��� ��������� ���� ��

�� ���&E�� ��"������ �������������R

• � ����������� �� ����� �� ������������&�� �� ����� �� ������� 8R9 � � #���� �� �������&��

������� ����� � ����� �� ������� � � ����6��� 8P9� � %�� ������ ������ � #��� T

• ���� �� ������ ��� ��6� ��������"���� 8�� ��6�� �� #������ �� R � P �� ������ �� � �� ��9

� #���� Wotimo(n) ��#� ��� ��������� �������� ����� � ��� �� ���� ���������#�� ���� �

�����&� �� �����������

-�� � ������#� ��/ �*����

* ������� � ))< � � ��� ������ ��������#�� �� ������ �������� �� ���� ����� ���

�����#��#� ���� ��� ����� � &�/ � ?IC� � ����� �������&�� �� ������� � ))< ���

��� #������� ������&E�� ���� ��� ����%�$�� M �� ��������� � M ��%����� �� �������&�� ��

������ �����$������� � � ����P���� �� ))< ���� ��� #�������� ���� ���������� �� ����&E�� �

���%�� �� �����#��#���� ��� ��#����� ������� �� �������� ����� ���� ���� ���� � ����� ��J ����

������&E�� ����������

7��� ������ ��������� �� ����� �� ���� ������ �������� ����� �6���� �� ����������� ��

� ����� � � ����� �� ��� ��� � ���� ���� �����"���� ��6� ��� ������ * ))< ���#���������

�� %� ��� ����� �� � ))< %"����� � %������ �� � ��� ����&�� �����"����� �� ������� �

�� ����#��� ��� ���� �� ���� �� ����������� ��� ����������� ������ � � ����&�� B�I 8F�� ����

>����6��(� ?III9�

W(n + 1) = W(n) − μ∇e2(n) 8B�I9

5� ����&��� W(n) ���������� � #���� �� ������������ μ � ���P ���� �� �������� �� ����%������� �

����� �� ���#���1����� e(n) � ���� ����� � ����� ����6��� 8d(n)9 � � ����� �� ��$�� �� ����� 8y(n)9

� ∇ � ��������� � ����&�� � ���� ���������� �� ������ ����� ������� ���� ����&�� B�?�

∇ =[

∂w0(n),

∂w1(n), · · · ,

∂wN−1(n)

]T

8B�?9

������������ � ���� �����"���� 8e2(n)9 � ������������ � #���� ��������� � ����� � � �����

Page 87: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��%�� ���� ����� �%���#���� ��� � ���� � ��� ���� �� ∇e2(n) � ���� ������� � ����&�� B�??�

∂e2(n)∂wi(n)

= 2e(n)∂e(n)∂wi(n)

8B�??9

��%��������� � ���� 8e(n)9 �� ����&�� B�?? ��� ��� �����&��� ��%���� ��� � d(n) � ��������

����� �� wi � ��� y(n) � ���� ���� ����&�� B�?� ������� � ��������� �� ����� �� � �����#�������

�%�� ���R

∂e2(n)∂wi(n)

= −2e(n)∂y(n)∂wi(n)

∂e2(n)∂wi(n)

= −2e(n)x(n − i) 8B�?9

��������� � ��������� �� ����&�� �������� � ������������ � ��������� �� ����&�� B�I� ���������

�� � ������� � ))< �� ����%&�#� ���� ��������&�� ��� ����������� �� ����� ��������#��

������ � ����������� �� ����&�� B�?A�

W(n + 1) = W(n) − 2μe(n)x(n) 8B�?A9

*��� x(n) � � #���� �������� �� � ������ �� ����� �� �������� ���� �� � ������� �� ����&��

B�B�

* ������� � ))< � � ����� ��"���� ���� ���� �� �� ����������� �� ����� 8W(n)9 �

�� �� ����� 6" ��� � �%���&�� ������ � ���� ��#� � ����� �� ������� ���� ���� � � ��������

���� �������#�� ��� �#���� � ����������� �� ��#����� �� �������� �� �"����� �� ������������&��

� �� �������&�� �������� �� � �� ����� �� ����� !���� ��� �� #��������� ��� � ������� � ))<

��� ������� �� ���#�� ��� ��� ���� �����$����� ��� ������� � %��� ������� �� �����$������ �������P�

���� 8O���� �� � 3��#��� ?IIA9� � ����� B�I ��������� � ����� � �� � ��� ����&�� � ��������

���� � ������� ��������#� � �� �� ���� ���������� � ))<�

*� ����������� �%����� ���� � ������� � ))< ��� ���� �&E�� ��� #���� �������#� ���� ��

�� �� �� ��� � �������&��� �� �6����� �� ������ ��� ������ �%������ �� ��������$������ ���������

��� ������ ����������� 7���������� ����� �� ������&�� ������ ����� �������� ���������&E�� ��%�� ��

�����&E�� �� ���#���1���� ��#� ��� ����������� �� ��� ��� �� ����������� ����������� ��������

� & ����1�1�� �� -���� ����������� � ���%���� ���� y(n) =N−1∑i=0

wi(n)x(n−i)/ %��8��*� ��������*���� ���������7

Page 88: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 8�+ D��������� &� �� ��� ���� ���� � J������� ���������� �� ����� �����

����� D����1�� � :����� ��++$!�

������� ���� � �� ����� ���� �� ����� �� ������� � ���#��6� ���� � #���� �������� � �����&��

�� ���#���1���� � ���&�� �� ����� ��#���P���� � ��������� ���� ������&�� B�?@ 8F�� ����

>����6��(� ?III9�

0 < μ <1

λmax8B�?@9

����� λmax � ���� ����#���� �� ����� ��#���P���� ��� ����� �� �������� 5� ��"����� W(n)

����� �����&� �� #������ ��,����� ,�� �� ���������� ���� ����&�� �� ����� �� ���������� ���

S���� � ����� ������ �� � ����������� �� ����� B�?�

������ 8�� D������ &� �� ����� &� ��� ���J������� �� J�����

����� D����1�� � :����� ��++$!�

Page 89: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����� �3�� $����� � � �����* ��� �� �������� ++, �����

� � ��� ����&�� ��"���� �� ������� � %"���� �� ))< �������� ���� �� %��������� �����

����� ���� � ����&�� �� ���� ��� �� !���� ��� �� ������ ��� ���������� ���%�� �� �����

������������ � ������ 8O���� �� � 3��#��� ?IIA9R

�� 7������ �� ��� ���������������

7 � � %����� ��������"���� � ������$��� �� ���� ��� � �� ���� ����������� ���� �����

������ ��� � � �������&�� ����������� � � ����� ��������#� �� ���� ���� ���#���� ���� �

����� ,�� � �� �����&�� �� ���� ��,/� � ����� �� � ����� �����$����� �� ������� ��,� �

���#���1���� ��� ������������ � ����� ��������#� �������� M ����&� � ���6���� �� #������

��� ����������� ���� �� ��#�� #������ ,�� ��� ����� ��� � ����� ����� � #����&�� �� ��� �

����� � � ����� ����� ��������� � ��#� ����� �� ���#���1�����

:���#��� �� � � %����� ��� ��� ��������"���� � ����� �������� �� $�� � �� ������$���

�� ���� ��� � �#���� �������� ���� � ������ ����� � �������&�� ������ � ���#�����

������ 5���� �����&��� � ������� � ��� �� ������ � ������ �� �������� � ����� $�� �

�� ������$���� �� �� %� ������"���� � ��� ��S������ ������ ���� �� ���� ��� � ��

��������� � ����� B�??� ������� � ����&� �� ������$��� �� ���� �� �� �� ���� � ����� �

��� ��������"����

������ 8��� @���� &� �� ������?��� �� ���� �� ������

����� D����1�� � :����� ��++$!�

%� -��������� �� �J ��� �� ���

<����� �� ������ ��������#�� ��� � ��� ������� � �� �� ����� ���� �� � ����� �� � �

%�������� �/���� � ����������� �� ����������� �� ����������� � �� #���"#��� �� ������� ���

� �J ��� �� ����� �� ���� ���� �� � �� �����&E�� ��� "����� ��#��#���� �� ��������

�� �������� ���� ������� � � ����� ����� �������� ���� ������ 7���� �� ���&E�� �� �����

Page 90: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������� 6���� ���� �� � �������� �������#� �� ������� � ))<� ��� �� ��� �6� �����

�� ������ ���� 5���� �����/��� " � � �� ���&�� ������ M �������� ������� � �"������ �

��� ���� ������ ������&E�� ����������#�� ��� #������ ��� #���"#��� ��#��#���� � ������D�����

����� ��� ������������ �� ����� ��������#��

*� ����� ���#�������� �� �� ���&E�� �� �������� ���� ������� ���#��� ������� �� �������

��������#�� ����� �� ����� ������� ���R

?� � �����%������� �� ��� ���#���1���� ���� � ����&�� ,�� ��

� � ��$�� �� ����� ���� ������ ��$�� ��#��� � S����&E�� �����,�����

A� � ��� ���&�� ��� ����� �� ������� � ���� ��������

������ �� ���� ����������� ���� �� ���&�� �� �J ��� �� ���� ���� ���� ��� ��� �����

� #������ �����"#���� 0�� ����� � ����� � ������� �� ����������� ������� � ��� �������� ��

� ��� ����&�� � �� �� ���� � ���� � ��������� � ���������� ������#� ��� ���� �����

� ���� � �$#��� �����"#���� �� ������ �� ������� � � ����6��� ��#� ��� ������������� ���

�J ���� �� ����� S������� ����� H � ?C ��� � �� ����������� ����� ?C � C ����

�� F�����&�� ��� �����������

*� ����������� �� ����� ��������#� ���� S����� � ����� ��� #������ ,�� �� �� ��������

�� ��������� �� ���#���1���� ���� ������ ����� �� ������ �� �������� ������� �/����� �

�������� ��������� ���� �J ��� �� ��� ������$#��� ���� ���� #���"#��� 7��� ���%�� � �

�������� �� ������� � ))< � � �������� �� �������&�� �� ���� ��� � �� �� �� ��6�

���� ���� �%���� �� ��$��� ��6� ���� �� ��� �� ���#���1����� 5� ��"����� � S����&�� ���

����������� � ��������� ���� �������&�� �� � ����� �� ����&�� ��� �� ��� � #����&�� �/�����#�

�� ��������&�� ������� ������ � ����������� ��� ����&E�� B�?B � B�?C �������� �����

wi(n + 1) = δwi(n) + 2μe(n)x(n − i) 8B�?B9

wi(n + 1) = wi(n) + 2μe(n)x(n − i) ± δ 8B�?C9

5����� ����&E��� δ ���������� � #���� �� ����&�� � #���� ����� � ?�

� ��������� �� ������� � ))< %"���� �� ���� ��������� ���� �� ���� �� ��������&�� �

������&�� �� ���� �� ��������$������ ��� ��#�� ������� �� %������� �� ))< ��"������

Page 91: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

-�- ����� ������ �+������

�� � �����%������� �� ������&�� ��� ��#����� "���� �� ��� ��� ����� �� ������ ��������#��

����� � � �#���&�� ����$��� ��� ���� ������� �� �������#��� �� ��� � ��� � ��������&�� ���

��������$������ ������ ������ ��6� � ��� ��#��"#�� ����$#�� ���� � ����� ���&�� �� ����� ����6����

5���� �������� ��#����� �������� ���� ������������ �� ����������� ��� �� ���� �� ��������� ��

������� � ))<� � ���� ��� ����� �� ����� �� ������ ����� ���%�� ��

���� �� ��� ���������� �������� �� ������ ��������#��� ��6� ����� ����#�&E�� �� ))< ��"��

���� �� ������ ���#������� ��� �������� �%��/�R

�� ������� � ))< �� ���/�T

%� ������� �� ))< �"�����T

�� F������ ��������#�� �� � ��� ����&�� � %����T

�� F������ ��������#�� �� ��%�%����T

�� F������ �� 2������ �

�� F������ OO- ��������#���

-�0 1���� ��� ��� ������ �+������

� ����� ���&�� �� ������ ��� ��$�� � � ������� �� ��������� ��� ��#����� "���� �� ��� ��

�� ���� ��� ������� � �������� ���� �� ������� 6" ��� ���� � ������6"#�� � ������ � ������ ���

������&E��� * ��$�� � � ���%�� � ����� ���� �������� ��� ��#����� �������������� ���� ����

��� ������� ��� ��#����� ������� ������ %����� �� ����D1���� ���������� �� ����� �� ����� �&��

� ���#����� ������D���� ����� ����$#��� ������ �� ������

<����� � ��$�� � � ����� ����6��� ����� ����� �/� ���� ��������� �� �������� �� ����D1��

���� ������� �������� ������ �������� ���#��������� �� ����������� �/�� ���� �/����� � ����� ��

����� �&�� �� ��$�� � ���� ��������� �� ����� ����6����� 5� �������� ������ �/���� � ������

������ �� �� ������� �� ��������$������ �� ����� M� #����&E�� ��� ������ �� �������� �� ������ "

���������&�� ��������� ����� � ����� �� ����� �&�� � � ��$��� �� ������ �������� ��� ���������

� � �������� ����1����� ����������� � ��,����� ���� ����� ������&E��� � ����� B�? ������� �

������ �� ��%������&�� ��������� ����� � ����� � � � ����� ��������1�����

Page 92: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 8��� D������ &� �� ��������� &� ��������� ����� � ����� � � ��?���

����� D����1�� � :����� ��++$!�

7���� �� ���&E�� �� ������&�� ��� ������ �� ����������� �/�� ��� ��������� �� � ��������

&�� ��� ������ ��������#��� ��� ����#�� �� ���� ��������$������ �� ������6����� �����%����� �

��� �������&�� ��� ��� ��#����� �����&E�� ���� � ������&�� �� ����� �� ������� � ����$�����

�� ��������� 5���� �������� ������� ��� �� ��������� ������&E��R ��������� �� �����&��� ������

�������� ���� ������� �� ������� ������� ���� �� ��������1����� ����� ���� %�� ����� � ������

8F�� ����>����6��(� ?III9�

Page 93: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�������� �

����� �� !��� � �� ������ ��

"��#$%���� ���&���� ''(

*� ������ ����� ��������������� ���� � �����&�� ������� �� ����� �� ��������� �� ���1����

������� ������ �� ������ � ��� ������� � �� �� ����� :��� �������� � ���� ������&E��

������� �� ���� �� ���&�� ��� � �����&�� ������� #�� ���� ��� �� ������ M� �����&E�� ��

�����&�� �� ���� ��������� ���� �� � ������� � �������� ��� ���������#�� ��� �����$���� ���� ����

��������� � ��� �/������ ���� ������� �� �����&�� �������� 5���� �������� " � �� ����

�/������#� �� ��������� ���� ��� ��� ����� �� �������� ��� ����� �� �� �����&��� ����� � ������&��

�� ����� ��� ��� �������&�� �� ����� �� �����#��,�����

�� � �#���&�� �� ������ �� � �/��������� � ���$����� ����������� ��#����� ������ �� ��

����� ���� ��������� � �����#��#���� ���� � �%���&�� ���� #�� ��� ������� �� ����D1���� ��

�70� O��� ������� �� �%���#�&�� �� ���� �� �� ����� ���� ���P ��� �� ����D1����� ��#�����

����� �&E�� ���� ��� �%����� ��%�� � ������ �� ����� � �������� ������ M� ��#����� �����&E�� ��

�����&��� ����� ����� ��� ��� �� ��%�� � ������ �� ���� ����J�%���

!����� ����� �����/��� � � ��� ���������#�� ������������ ���� ���������� ���� � ���� �&��

�� ����D1���� � � �������&�� �� ������� � �� ������� ��������#� %������ �� ������� � ))<

80��� �� �� ���� B9� :�� ������� ��������� � � �������� ���� �� � �������� ���� �"����

��� ����� �&E�� �� �������� �����%�������� ��� ������&�� � ����� �� �����&��� ��� �� ��������

� %��� �� ������� � �� ���� �&�� �� ����D1���� ��� ���" ����������� ����� ���$�����

* ������� � �������� ���" ����������� � �������� ����� � ������&�� ��� ����E�� ���#��������

�� ����� � �������� ��������� ��� � #���� ���� ��� �� ����D1����� �#���������� � ��������� � �

Page 94: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�������� ���� �������#� �������� � ���� ��������

0�� 2������#� �� ����#��� � %��&'(���

5���� ��&��� ������#���� � ������� � �� ���� �&�� �� ����D1���� %������ �� ������� �������

���� ����� ��� $�� �� ���������� ���� ����� ������� � �� 7��� �&�� �� F���D1���� ����

))< 8�7F))<9� �� � ��� �������� �������� ����� � ����� � �������#� � %���� � �� ��

����/� �&�� ����� � ����� ����6��� � � ����� �� �������� �� ��� ��� �� ����������� �� �����

��������#� ����������� �� �������� ����������� � � ��� ���&�� �� ����� �� ������D���� �����

� ��������� ���������

� ����� C�? �/�%� � S�/���� � �� �������� �� ������� � ���� ���� �� ����D1����� ����

���������� ���"���� �� �������� ���� ����� ��#��#�����

������ 7�� ���<������ �� ��������� �� ������ &� �� �����������

�� � ���� ��� �%���#��� �� ����� C�?� �� ������ ��� �� �E� � ������� � �� ���� �&�� ��

#���� �� ����D1���� ��� �� ���������R ������&�� ��� ������ ��� �����&��� ����� �������� ���������

Page 95: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�&�� ����� ����� ��������#� � ))<� ������� �� ������������ ����� ���� �� ����� �� ��$�� �

�"����� �� ����D1���� ��� ����E�� ����"������ 7���� ������ ����� ��������� � ����� �� � ������R

%���� ��$����"� ��� ����

*� ������ �� ������ ���� � �������&�� ��� �"������ ��� �%����� #�� �� ���&E�� �� ���� ��/�

�� � ������� � �� ��� ��� �� ����� ������������� ����������� ���������� ��� ���� �� ������

����,����� ����������� �� ���� ��������� 5���� �������� �� ������ ����� ������ �� � ����� ��

#������ �� �����1���� ���� � ������������ ��� �������� � ����� C� ����� � ������ � �� S�/�

�� ����� �&�� �� ����� �� ������&�� �� ������

������ 7�� >������� �� ������ &� �� ������

7��� ���"���� �� ���������� �� � �%6���#� �� �� ���� � ������� �� ����� �� � ���� �� �������

�� ���� �#���������� � �������&�� �� ������ ����� %��/� 8 �������� ������� � ����/� �&�� ��

>�����N��� 9� � � ������� �� ���P��� ��� ��1� ����E�� � � �������� �� ����������&�� ����#�� ��

� ���#����� ����,���� ������� 8��!9 �� ?C %���� . � ��������$����� � �������� � ��� ���������

� � ���������&�� �� ���� �� ��������&�� �������� �� �������� �� ����������&�� �� ����� �� ��������

���� �������� � ������ ��$���� ���� ���#���� ����� ��������"#��� �� ���� �&�� �� ����D1�����

7 ������1���� �� �������� �� ������&�� ��� ����� ���������� �� ����� C�� ���� ���� ���

�� ����E�� ����"����� �� ���� �������� ��6� ������������� ���� ����&�� C�?� � �������

Va(n) = Amaxcos(ωnΔt + φ) + ξna

Vb(n) = Amaxcos(ωnΔt + φ − 2π3 ) + ξnb

Vc(n) = Amaxcos(ωnΔt + φ + 2π3 ) + ξnc

8C�?9

Page 96: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���� Amax � � � ������� �� ���� �� ����� ω � � ����D1���� ������� �� ������� n � � �J ��� ��

� ����� �� ����� ������������� Δt � � �� �� ����� ���� � ������ ���������#��� φ � ���� �� �����

� ξn � � ���� ��������� � ���� � ����� �� ������

� ������&�� �� ����� � ��������� �� ��� � 6������� �� � �� �� � �� � ����� �� ����� �&��

� �� ����� �/� �� � � � ������ �� ��6�� ����� �� �� ��� ������ � ������ ��� �����#��#����

���� ������ � � 6����� �� ������ ����� ���� #������ � ���� ��#� � ����� �������� �� ����� ��

� ����� C�A ������� � ����� �� 6����� � ���� � ����� ��#��

������ 7�$ � ������ &� �� ����� �����6��� �� ����� ;��������

%���� &�����'�"�

� ��� �����&�� � � ,���� �� ������� � ��� ��������� �� ����� �%����� �� ����� � ��������

��������� ����� ������������ ���� �� �$#�� �� ������ ���������� !���� ��� �� ���� ������

� ������ ���� �� ���#�&�� � � � �� ��� ����� �� �70� � ������� � �����" ��� ���� �&��

�� ����� �� �������� �� �� #���������� � ����� C�@ ������� � ������� ���� �� ��� �����&��

��� ����� ��������� �� �70�

������ 7�2 ���<������ �� �������6� &� ��� ������

�ω = 2πf / ����� f � 8��<=9�%�� �� �����*�

Page 97: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

:���#��� � � �������� ��������� ��� � �������&�� ����� ����� ��� �������������� � ����D1����

��� ����� ��������� �� �70� � � #�� ��� ������ � � ������� �� ����� ���" ����� ���������

%���� (��!�� ����!�

��,� � ����������&�� ��� ������ �� ������� ���� ��!� �� ����� ��� �������� ������� ���� ���

� ����� �� �������� ����� �� � ����� 8FO-9 ����� %��/� �� � ����/� �&�� �� '����������

�� ������� ���� �� ����D1���� �� ����� � 200Hz� 7��� ��#� ������� ����������� � �

����&�� �� ��$�� ����������� ���� ���#����� ����,������������ � � � ������D���� �� ��� ���

���������� �%������ ��6� �� �������� ����������� �� �� ���&E�� #�� �������� �:0 �� �� �����

����� �%����� ����� ������������� � �� ���

L � �������� ��������� ��� � �������&�� �� ������ �������� ��,� � ���#����� ����,������������

� �������� � ������ ����� �� �������� ��� �� ��� ��������� ���� �#����� � �� ����� ���� �

������%������� ������ � ������ ����� �� ������� 8�� N������ � =��� ?IIA9�

%���� ���������"� ����

� �������&�� �� �������� ��� ���� �� � �%6���#� ���������� �� ����� �� ����� � ����"����� ��

��� ��� � ���� ��6� ������� �� � ��1� ��������� ����"����� � �������������� �� ��6�� �����%�����

� ��� ���&�� �V�� � ����&�� �� ������ �� �����P���� J��� �%���#���� ��� ����� �� ��������� ��

���1�����

*� ����� �� �� ����� ������������ ���#�������� �� �������� �&��� ��� ��#������ � ��1�

������R ���� ������ 8α � β9 � � ���������� * J��� � ��������� � ��S�1���� �� ����� �� ����

� � ���P���� ��������$����� � � #��������� �� �������&�� ��� ��������� � ����&�� ��� ����

������� 7#����������� ������ � � ����P���� �� �� ������� ��� ������� ���� ���� ��� ���� � ������

�� ���� ������ ��� �� ��� ����� � � #�� ��� ����� ������&�� �� ������ �� ��������� ��� �����%�

� ������

5���� ���%�� �� � �������� �&�� ���� ��������� � � ����� � �������� �� ������� � ����

������ ���� ��� �� ������� �� ���� �� ���D1���� ������#�� ������#� � ���� ��� ����E�� ����"�����

� ���� ����������� �����%����� � ��� ���&�� �� ���/� �� ���%�� � �� ��� ��� ;� Z 6%;� 0����

�� #������� ��� � ����� ���� ����� � �� ������� �� ���D1���� ������#� � � ����� � ����"���� �

���D1���� ������#�� �����%�������� � � ������P���� �� �������� ���� �� ����� �&���

. � #�� ��������� � ��������� ���� ��� ������ �� ������� �� ���� ������ α � β ��� ������

Page 98: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�� � ������� ���� � ����� �� ������� ������� �� ������� �� ���� ����� ���� �� ��� � #����

�� ���/� ��� ���" � %��� �� ���� ���#� �� ����D1����� �� ��6�� ������������� � ����� �� ���� ���"

�/���$�� � ����D1���� ������ ����� �� ����� � �������� ����������

��� �� %������� �� ��� ��������� ��#��� �� ��� ��������� �� ������ �� ������ � ��� ���� ���

� ��������� ���� ���� ��� �� Q����� ���� ��� ���� ��������� ���� ��� ���D1���� ����� �����&��

��� �����%����� � �/������ ����� ��� ��� ��"����� ������� ����� ���� ��� ���� �� �� ����� � ������

��� �� �������� �� Q������ �� � �� �� �������� ���� � ������ ���� �� ������� � �/� ���� �

#��������� ��� �"������� �����%�������� ��� ������&�� � ����� �� �� �� �� ���� 8�++�� ?II�9�

5���� ���%�� � ��� ��������� � ����� %��� �� �������� �&�� αβ� �� %� ��� ����� �� � ��

���� ������ ��� �� �������� �� ����(�� ��� � ���� ��� 8�++�� ?II�9R

MT =

√23

⎡⎣ 1 −1

2 −12

0√

32 −

√3

2

⎤⎦ 8C�9

�� ������� � �������� ��� � ������� ��� ������ �� ������� �%�1 ��� �� �� �������� �����

������ ���� �� � ������������ ����� ���������� ���� � ���� �&�� �� ����D1����� :�� �������� �&��

� �������� ������ � ����������� �� ����&�� C�A� � ������R

⎡⎣ Vα(n)

Vβ(n)

⎤⎦ = MT

⎡⎢⎢⎢⎣

Va(n)

Vb(n)

Vc(n)

⎤⎥⎥⎥⎦ 8C�A9

�� ���� Vα,β(n) ��� �� #������ ����� ������ �� ������ � Va,b,c(n) ��� �� #������ �� ���� ��

������� ������ � ������������ �� ����&�� C�?�

��,� � �������� ���� � � ��������� ���� ��������� ���� �"����� ��������� �� �� �������� α

� β ��� ����E�� ��� �%����� � �������� �� � � ����� �� ���/� ��� ���" ��������� �� � �����������

�� �� ����&�� �� ����D1���� �� ����� �� 7��� #���� �� ���/� � ������� ������� � ����&�� C�@�

U(n) = Vα(n) + jVβ(n) 8C�@9

���� U(n) = [u(n), u(n − 1), . . . , u(n − N + 1)] � N � � �J ��� �� � ������ �� � � 6����� ��

������

Page 99: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

%���) � ���� � � *� �! �

7��� ,���� �� ������� � � �������"#�� ���� ����&�� ��� ����������� �� ��� ���� �����&��

�� ����� ��������#�� 7��� ������� �� ����������� �� W(n) ��� ��������� � ���� �&�� ���� � �

����� ����� ����D1���� �� �����1����� ��� ����� ����� � � ����D1���� ����� ����� �� ����� � ����

������� 7��� ������� ���� �� � �%6���#� �� �� ����� � #��������� �� ����������&�� �� ������� �

�������� � ����� ��������� �������� � �����&E�� ��� ��� 8>��%��� �� ���� C9�

*���� ���&�� �/������ ���� G������ �� ����������� 8G�9 � � �� ����� ���� ��� �����������

�%����� ��,� � ���#���1���� �� ����� ���� � � ���� 6����� �� ������ � � #�� ��� ����� �����

���������� �� ��� ���� �����&�� �� ��,/� � 6������ !���� ��� �� �#���������� � � ����&�� �����

� �������� ���� �� 6����� �� ����� ����� � ��� ������������ �������������� � � ����&�� ������

�����#� �� �����&� �� ����������� � � #�� ��� � ������� � ������ ��������" � �������� �����

� ������ ���������#��� � ����� C�B ������� � �������� ���� �� G�� ����������� � �������� ���

��&�� ��� ����������� ���� t > 0s � � �%���&�� ��� ����������� �� ��� � ������ �� �� �����#�

�� ����� � t = 0s�

������ 7�8 ���<������ �� ������� �� ���J��������

%���% (��!�� ��!!�+� , ��-

* ����� ��������#� ����������� M ����� ��������� �� ������� � �����#��#� ����� ���� � �����

��� � �������� ���� �����#� �� ����� ���" ���������� ���� �� ���� �� ����������� ��� �����������

�������#� ����� �������������� � � ����&�� �� ���� �����"���� � � ���#���1���� �� �� ��

* ������� � ��������� ���� �������� � �� ����� ���� �� ����� �� ������� �������� ���� ��

�>� �����*� ������%� !���������/ � 8��<=9�%�� ��*���� � �� 60Hz

Page 100: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

,���� ��������� � � ))< �� ���/� �����#��#��� ������� ���� ��� �����N �� ��� 8?I�B9� �

��������� ���� �������� ��� 0��� �� �� ��� 8B9�

* ))< �� ���/�� ���� �� � � %"���� ������������ %���� � ��� ���&�� ��� ����������� ��

����� ��������#� �� ��� � ��� ���� �� �6���� M� ��������$������ �� ����� �� �������� !���� ����

� �������&� ����� � #���� ����6��� �� ��$�� � � ���� ��� ���� ����� � ��� ������ ���������� �

����� �� ���� 8e(n)9 � �� ���� �����"#���� � ����&�� C�B ������� � �"����� �� ���� ���� � ����

���������

e(n) = u(n) − y(n) 8C�B9

������ y(n) ���������� � #���� ���� ��� ���� ������� � � u(n) � � � ����� ����6��� ���#�������

�� �������� �&�� αβ� � ������ �� ���/� 8u(n)9� ���� � ���� ��� �������� ������� � ����&��

C�C�

u(n) = Umaxej(ωnΔT+φ) + ξ(n)

= y(n) + ξ(n) 8C�C9

�� ���� Umax � � � ������� �� ����� �� ���/�� ξ � � �� ������� �� ��$�� � ω � � ����D1����

������� �� ����� ���������� � ������ �� ���/� ���� ��� y(n)� ��� ��� #��� ���� ��� ��������

���� ����&�� C��� ��� 6���� �� � ����&�� C�C ����������� � %��� �� ����� � ��� ���������

�� ���� �&�� �� ����D1���� ���������

y(n) = y(n − 1)ejωΔT 8C��9

* ������ � �� � ����� � ��� ������#� � ������� ���� �� ���� �&�� � ��������� �� �����

C�C� ���� �#���������� � �"����� ��� #���"#��� �������������

� ��$�� ���� ��� �� ����� 8y(n)9� � %��� ��6� ������������ ���� ����� ��������� �������� ��

� � �� %���&�� ������ ����� � #���� �� ������� �������� �� � � � ����� 8U(n − 1)9 � � #����

�������� �� ����������� �� ����� 8W(n)9� ������ � � ����&�� C�HR

y(n) = WH(n)U(n − 1), 8C�H9

�� ���� H � � ���������� ���6����� �� #������ * #���� W(n) ������ � �������� ����� ����

� ������ ������������� ���� �� � �������&� �� ���� ����� �� � ������ � ��"����� �� ��� ��� � ���

�?�*!�* %��0�%��� %�*� �����8��*��� �� �������

Page 101: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 7�7 >������� �������� �� ��������� ���������

� ��� ������� ����� ��� �������� ������� � ����&�� C�I�

W(n) = ejω(n−1)ΔT 8C�I9

5���� J��� � ����&��� ω � � ����D1���� ������� ���� ����

� ����� C�� ������� � �� ����� ���� ��� ����������� 8W(n)9 �� � ����� �� ����#� ����

� � ���� ��������� *%���#���� ��� �� ����������� ����� � �� ����%������� �� ��� � ��� �

�������� ������� ��6� �� ��������

��� (���� ���� �� ����� W(n). �!� (���� �*�.��;��� �� ����� W(n)7

������ 7�- .���� ���� � ������9��� ��� ���J������� �� J�����

� ����� C�H� � ������� ������� � ����� ���� � � ����"��� �� #���� U(n) ���� � � ���� 6�����

�� ����� �������� � ����� �� ����� �&��� 5���� ����� �#���������� � #���� U(n − 1)� ��� ���"

����� ����������� ���� ����� ���� ���P������ � � � ����� ��� ���" ���� ��� �� ���������

5� %���� ���� ��� ���&�� �� ���� � �� ��� ���&�� ��� ����������� ���� �� #������ ,�� ��

���������� ���� ����� �� ����� � ������� � ))< �������� �� ����������� �� ����� � ����

Page 102: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��� (���� ���� �� ����� U(n). �!� (���� �*�.��;��� �� ����� U(n)7

������ 7�, .���� ���� � ������9��� �� ����� �� ������� ������<��

�����&�� ����#�� �� � � ����&�� ����� � ���� �%���� � � ����� �� �������� �� ��� ��� � ����

���������� �� �������� ����6� ������ �� �� ���� ���������� � ����&�� C�?� � ������� ���������� �

��������&�� ��� ��#� ��� �������� ��� ����������� �� ����� �� ���� �&�� ���������

W(n + 1) = W(n) + μ(n)e(n)∗U(n − 1), 8C�?9

�� ���� � �$ %��� ∗ ���������� � ���6����� �� ���/� � μ ������� � ����� �� �������� � �� �����

�� ���#���1���� �� ������� ��

0��� �� ���� � #��������� �� ���#���1����� ��������������� � ������� � ��0 �� � �� ��

� � �� ����� #���"#��� 5���� ����� � ���� �����&��� � ���P ���� �� ���#���1���� 8μ9 � ��������

������ �� �� ���� ��������%��������� �����%�������� � � �� ��� ����������#� �� ���� ��� � ��

����� �� � ����� �� ����%������� �� ��������� � ��������&�� �� μ � ��������� ������� �%�������

� )�((�� 8?II�9� ������ � � ����&�� C�??R

μ(n + 1) = λμ(n) + γp(n)p(n)∗, 8C�??9

�� ���� p ������� � �����������&�� ��� ����� ������������ � λ � γ ��� ���������� ����� ������

��� ������� �����$������ ���� �������� �� �� �� �� ���#���1����� *� #������ �� λ #���� �����

� ? � γ ���� � #������ ���������� � � ������ � ��������� ����� ������������� XN��� � 3� �����

8?II9�

� �����������&�� ��� ����� ��������� � ������1���� ����� ���� ����� ���������#�� ���� ��� �

�����&�� ��� ����������� ����� � #������ ��� ��,/� �� �� ,�� �� �� ��� ��� � ��� � �������� ��

���#���1���� ��6� ��� �"����� � ����&�� C�? ������� �� � ����� ���������&E�� ��� ����������

Page 103: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �� ��������

p(n) = ρp(n − 1) + (1 − ρ)e(n)e(n − 1) 8C�?9

������ ρ � � ��������� ��� ���������� � ������� ���� �/��������� � �� %� �������� � �� ��

�� ���#���1���� �� ������� �� 7��� ���P ���� ���� � #������ ����� � ? �� �� ���� ���� ���

���P ����� �� ��������� ��� ����� ������ ��� ������� �����$������ 8XN��� � 3� ������ ?II9�

0�� ���� �� �� ++,

� ����%������� � � ����� ��$���� �� �������&�� �� ������� � ))<� ��������� ���� �� � ���

�P ���� �� ���#���1���� 8μ9 ���� �� �����#��� ���������� !�#��� � ����� ���%�� ��� � ������

�� ���� ����$��� ��� � ������ ��������� �� 6����� �� ����� � �/�������� �������������� �

������6���� �� �����#��� �� ���#���1����� � ����&�� C�?A ��#���� � �� ����� ���� �� μ � �

��������� � ������ ���� �� ��� 8@9�

0 < μ <1

NM

∑M−1n=0 U(n)U(n)∗

8C�?A9

�� ����� ��� ���� ����&��� N � M ���������� � �� �� � �� ����� � �� 6����� �� ������

��������#� �����

%���. ��!� �!� �� ���� � ���

* ����� �� ��$�� �� ������� � �7F))< � �� ����� ����� ��������� ����� �&E��R � ����

������#�� ������ � ����������� �� ��&�� C�?�I� � �J ��� �� �����&E�� ���������� � � ����D1����

���� ���� 7 %��� � ���� �&�� �� �7F))< ������ ���� �������� � �����%�������� ���� ������

� � ��������$����� ��������� ���#������� �� ������� ��������� � � ���&�� ��� �������,���� ���#��

����� ��� ������&E�� %����� ��� ����E�� �� �������� �� � �� �����1���� �� ������� �� ��6��&E�� ��

������ ����

0��� ���������� ���� ���%�� �� ����������� � ����� ������� ����� %��/� �� � ����/� �&��

�� '���������� �� ������ ���� �� ����D1���� �� ����� � 5Hz 8)����� �� ���� �9� L

� �������� ��������� ��� ������ �� ������ �������� ���� ������ ���� ��� �� ��� ��� � #���������

�� ����&�� �� ������� �� ������ � ���� ��� �%���#��� ��� ���������� ������������ �� ���$����

��

Page 104: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

%���/ #0�$�� � �� �����

� ���� �&�� �� ����D1���� ��� ����E�� �%����� �� �70 � �������� %������ �� �������&� ��

���� ����� ���� � ������ ���������#��� 0��� ������������ � �������&� �� ����� ��������� � #���"#��

�� ���/� à ������ � � ����&�� C�?@ �%��/��

Γ = y(n)y(n − 1)∗ 8C�?@9

7/�������� ���� ����&�� C�?@� �%�� ��� � ����&�� ����� à � � ����D1���� �� ����� �� �����

���� �������� ���� ����&�� C�?BR

Γ = Umax

[ej(ωnΔT+φ)e−j(ω(n−1)ΔT+φ)

]= Umax

[ej[ωnΔT+φ−ωnΔT+ωΔT−φ]

]

= Umaxej2πfestΔT 8C�?B9

�� ���� fest � � ����D1���� ���� ��� �� ���� �������� � ΔT � � �� �� �� � ������� �� ������

)���������� � ����&�� C�?B� � ����D1���� ������ ����� �� ����� U(n) � ��������� ���� �����

&�� C�?CR

fest =fs

2πarctan

(�(Γ)�(Γ)

), 8C�?C9

�� ���� fs � � ����D1���� �� � ������� � �(·) � �(·) ��� �� ������ ����� � � ����"���� �� #�������������#� �����

������ $�� ����� ��� � &��'()��� �� ���$� F>��H

��� �� ������&�� �� ����� ������� ������������ ��� ��������� � ����� ��� ��������� � #����&��

�� ����D1���� �� �� ��

(df

dt

)� :�� ����� �� � �%6��� �� ��� ���� � ������� ���� �� #����&E��

�%������ �� ����D1���� ���� ���� � � #�� ��� � ������� � ))< ��������� � � ������&�� ������

� 6����� �� ����� ��������� ������ ����������#�� ������&E�� �� ��� � �� ����� * S�/���� � ��

�������� ���� ����� ����� � ����������� �� ����� C�I�

L � �������� ��������� ����� �,����� ��� � �� ��� ��������� �� ����� !F: ��� �%���� � �����

�� ���� ����#�� �� �%���#�&E�� ��� �� ���&E�� ���������� ����� ���%�� ��

Page 105: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������ 7�+ ���<������ �� J���� >�=�

%���1 #��!���� � ���

*� ��������� �� ������ ��� �� �����&E�� ��� ����� ��� � � �� �������� �������#�� � ���

��� ��� � �� ���&�� �� �� �� �� �������� ����� ������ ��������� ���� �������� ���� ��������

� �� ����&�� �� ����D1����� ����� ����� �������� �%��/�R

�� 5J ��� "/� � �� �����&E��R ���� ����� ��S��� ��%�� � �� �� "/� � ��� � ������� �

���� ���� �������� ���� ����������� � ����� �&�� �� ��� �� ������ �������1����� ��6�

������������ 5���� ���%�� � ��� ������� ? �����&E�� �� � � "/� � �� ������

%� 7��� �%������R � � �������� ��������� �� ���� ��������,��� ���� � �����&�� �� ���#���1�����

���� �� � � �������&� ��������,��� ����� � #���� ���� ��� � � #���� ����6���� �� ��� �6�

� � �������&�� ����������#� ��� ���������� ������������ 5���� ��������� � ���� � ���������

���� ����&�� C�?� � ��#� ��� �������� � 0, 1%R

eperc = abs

(y(n) − u(n)

u(n)

)100%, 8C�?�9

�� ���� eperc � � ���� ����������� abs(·) � #���� �%������� y(n) � #���� ���� ��� � u(n) �

#���� ����6��� �� � ����� �� ��������

Page 106: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

Page 107: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�������� �

���� ���� )� ���� ��� � ' ��� ��

'*����� (������� !��� +� ������ ��

���#$%����

5���� ���$���� ����� ������������ �� ���������� �%����� �� ������&�� �� ������� � ))<

��������� ��%�� ��#����� �����&E�� �� �����&�� �� �����$���� ����� �� ���������� � � �� �%���#��

� �������� � �� ����� ���� �� ��������

L � �������� �#�������� ��� �� ���� ���#�� �� ����D1���� ����������� ���� �� � �� ����

�����#�� ������ ��������� �� ��������� ���P ����� �� ��������&�� �� ������� �R pinicial = 0�

λ = 0, 97� γ = 0, 01 � ρ = 0, 99� :�� �����������&�� �� ��� ������"��� ��#��� M ������ ��S�1����

��� ���P ����� �� �6���� ������� ��� ���������� ������������� ����� ��� ���� ���������&E��

���� �������� ������ � �� ������������ ��� XN��� � 3� ����� 8?II9�

*� ���������� ����� ��#������ � ���� ������ ���������� �� ������ �� � ����� �� ����&��

��� ������ �� �������� ��6� ����� ������� ��� ��� ���&�� ��� "���� 8)����%9 �� ����#�� ��

�� ���&E�� �� � �������� �:0� � ��� ���� ����� ����������� ��� ������ ���������� �� ����E��

������� ����#�� ��� ����&E�� ��� "������ ������ � �� ������������ �������� ���� �� ��&�� @�?�

���� ��� ����� ��� ������������ �� �� �������� �� Q����� � ��$��� ����������� 5� ������� �

������#� ������ �� ������ ��� ������� ����#�� �� �� ���&E�� �� �� ����� ���� �� �70� ���������

�� ���P ���� �� ������ ����� � ��� �� �� ����� ������ �� � ����������� �� ��&�� @��

Page 108: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

3�� $������� ������� +��� ������#� +� ����� ������ +��

%��#���� #��#*���

����� �� ��"���� ��� ���������� �%����� ����� ��&��� ���� �� ���������&E�� ������ M� ���

���&E�� ���� ��� ���&�� ��� "���� ��#� ��� ����������� ��������� ���� �� ���������� M�

��������$������ ��� ��� �� �� ���� ������� � �� �����J�� �� Q���� ������������ !���� ��� ��

�� ��������� ���P ����� �� ���� ������������ ��#� ��� ������������R

�� � �������R �� �� ���&E�� ��������� � � ������� ��� �������� �/���� � �����&E�� ��� �

���P ���� ��% ��"���� � � �� ����� ���� �� ������� � ������� ������ ��� ��� ���������

%� F���D1���� �� � ������� �� ����&�� �� �����R ����� �� ��� �� �� ����� �%���#���� ����

������� �� � ����D1���� �� 1MHz� :�� ����D1���� ��� ������� �� ��� � �� ���� �� �����

����������� ��� ��������� �� � ������� � ����������&�� �� ����� ����#�� �� ���#�����

����,���� ��������

�� -���&�� ��������$�� 8�5-9R � ����&�� ��������$�� ������ � ���������� �� ��$�� %����� �����

����� ��� ��� ���������� �� ����� � ��"����� 7��� ���P ���� #���� ��� ��#����� �����&E��

���������� � � ����������� �/������� ���� � ���� ���� ������������

�� F���D1���� �� �����R � ����D1���� ��� ������ ������� ����������� M ����D1���� �� ����� �

�������� %���������� �� ��6�� 60Hz� :���#��� " �����&E�� � ��� � #����&�� �� ����D1���� �

��������� �� ��� � #������� � ���������� �� ���� �&�� � � � ����� ���/� �� ����D1�����

�� �� �������� �� Q�����R �� �� ���&E�� ��� ��������� �� �� �������� �� Q����� ����

������ � ������%��&�� ���������� ������ ������ � ��������� �� ��%��� ��?�

=����� -�� 0���������� 1���M����� ��� ������ �� ���� ��������

!���� � $ 2 8 7 - , + � �� �� �$

" � $ �C8 $ C8 � $ C- �C8 �C8

*� #������ ������������ ���� ��%��� ��? ���� ����������� �� %��� �� ��� � O777 B?I

8O777� ?II9� � %��� ����� ��� ���������� ���������� ���� �� #������ ����� ������ ��� ����

���������&���

Page 109: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

*� ���������� ����� ������������ ������� �� ����� ���������� ��� ����� � ������� � ��� ��%�

������ ��������� � #����&�� �� ����D1����� � �J ��� "/� � �� �����&E�� ��� 6����� ����� �

��$��� � � ������� ��� ������ � � ������&�� �� ���#����� ����,���� ��������

��%� �������� ��� ����� �� ���&E�� ��������������� ������� �%���#�� � ���� "/� � �������

���� ����������� ���� ������� �� ������ M #����&�� �� ���P ���� � ��"����� !���� ��� �� �������

#������� � �� ����� ���� �� ������� � ������� M� ��#����� #���"#��� ��#��#����� � ����� ��?

������� � S�/���� � �� � ���D1���� �� �#����� ���������� ���� � ����&�� ������ ����������

���������

������ -�� ���<������ �� ���� &� �� ������

.���� 2���"� �� �3� �� � �! ��� �

0��� ���� �%������ � ������������� � � #����&�� "/� � �� �J ��� �� �����&E�� ���� �

��������� �� ��6�� � �J ��� "/� � �� #����� ��� 6������ ��� � ������� � ))< ���" ����

�������� � ����D1���� ����6���� 7��� ���P ���� �� ��S�1���� ������ �� ���� ��� � � �� ��������

�� ������� �� ����� � ����� ������#� ���� � � ��� ����&�� �� ������� � �� �� ����� � �����

�� ��������� �� ����� �%����� ���� � ���� �&�� �� ����D1���� �� � ����� � �������� � 60Hz�

��������� �� �����&E�� �� �� Q����� � ��$��� ������ � ��������� �� ����� ��8%9�

�� �� ����� �� ������ ��8�9 � ��8%9� �%���#���� � �� ���� ����������#� �� ���� �������

���� ��#��� M ������&� �� �� Q����� � � ��������"#�� ��$�� �� ������ 7���������� �� � �����

�����&�� � ������� � ���������� � ���� �%��/� �� 1%� � ���� ���������� � �� ��� �� ������%��

������ �� �������� '��������� ����� ��� �� ����� ��� ������� ������ �� � � �� � ���/� ��

���������&��� � ��� ����� � � �����%������� �� ����� ���� �� #����&E�� �� �J ��� �� ������

&E��� !���� ���� ����� ������� ? �����&E�� �� � �����1���� 8�J ��� "/� � �� #����9�

Page 110: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� ����� �1��7

�!� ����� %�* 0��*@��%�� � �>+ � 7

������ -�� 3����� &� �� �3�""N ������ � ����� ��� �� �B���� �� ����� ����

���� ��� �� ������������ ���������� ��������,����� ���� #���� ��� ������ � �/�����#� �����&�

�� �����������

.���� 2���"� � ����!$�

:� ����� � #����&�� �� � ������� �� � %��� ���� � ��"����� 0��� ���� �����&��� �/����������

�� � � ������� ������ �� � � ���/� ��� �� ���� ���������� � ������"���� �� �������� ������

�� ��������� 8:0�9� �� ��6�� �����115√

3� 115 #����� ���� � #���������� ���� � ���� "/� � ���

� ������� � ��������� ���� ���� #����&�� ��� � ��������� ���� ����� ��A�

-��������� � � ��"���� ��� ��"���� ��A8�9 � ��A8%9 ��� #�������� ��� � ������� � � � ��� �

#����&E�� �� � �������� ���� � ����� �� ������� ��� ����6� �� ����� �$#��� �� �����&��� �����

�� �� Q����� ������ �� ��$��� ������ �� ��� ��S�1���� �� �������� �� �������� ��%� �� �����

���� �� � ������ � � ������� �� ����� � �� ������� ���������� ��������,���� �������� �����

����������� ��� #���� � �� ��� ���� � �����%������� �� ���� ����������

Page 111: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� ����� �1��7

�!� ����� %�* 0��*@��%�� � �>+ 7

������ -�$ 3����� &� �� �3�""N ������ � ����� ��� �� ��������� �� ������

* �� ���� ������ �� ���� ����������� � ����&�� �� ������� � �� � ������� ���� ��� �%����

#��� �� � � � ������D1���� �� ��%������&�� �� � ������� ��� �� �������� �� Q����� � ��

��$��� 6" ��� � %�� ��� ������������� M � ������� �� ������ L #"���� ���� %��� ��� �� ��������

��� ��������� ������ � ���� "/� � �%���� ���� ������� � ���� � ����� ����� ���6���� ��

����E�� ���#�������� ��� �� ���&E���

.���� 2���"� � ��

� ����� ��@ ������� � �� ����� ���� �� �7F))< ������ M #����&�� �� ���� �� ����� ������

����� � ���/� ��������� ��#��#� ����� �� �����%�������� �� � AC ����� �� ����� �� ? ����� �

��� �������� AC? �����&E�� �������� ���� ���� ���P ���� � ��������

�� ������ ��@8�9 � ��@8%9 ������� � ��������1���� �� �������� �� ������� � ������� � #����&��

�� ����� '��� ���� %��� ��� � ������� ��� ��������� � ���� �� ����� ��������� ���� � ���� �&��

Page 112: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��� ����� �1��7

�!� ����� %�* 0��*@��%�� � �>+ � 7

������ -�2 3����� &� �� �3�""N ������ � ����� ��� �� ���� �� ����� ����� � $7 ������

�� ����D1����� ������ � ����������� �� ��&�� C�?�H�

.���� 2���"� �� �3� �� � ���� �� #�4

5� ������� �� #������� � ������%������� �� ����� � �������� ���� � � ������ � ��� ���

��&�� � �� �� ����� ������ � � ��"���� �� �����%������� �� ������� � ��� ����� �� ��������&��

���#�������� �� ���#����� ����,���� ������� 8��!9� � ����� ��B ����� �� ������� �� �� ����

���� � #����&�� �� �J ��� �� ��� �� ���#����� ���������� ����� ���� ������ �� ���� �� ��6�� ��

��$�� � �� Q������ ������ ���� � ����� �� � � ��������"#�� ������&�� �� ��� � �� �����

*� ��"���� ��B8�9 � ��B8%9 ����� �������E�� � ��������� ������ �� �J ��� �� ��� � ����

����������� � � #�� ��� ���� �� ���� �����&E�� �/��� �� ������������� � �������� ����������

���� ���� ������� � ����� � � ����� ����� ���� ��� *� ��6�� � ���� ����$����� �� ������� �

�������� �������� �� ���� ����������� ���� ��! � � ��S�1���� ����� �� ��������� ���� ���� ���

Page 113: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��� ����� �1��7

�!� ����� %�* 0��*@��%�� � �>+ � 7

������ -�8 3����� &� �� �3�""N ������ � ����� ��� �� �B���� �� ��� �� 0�>�

�������������� � ������ �� � ����� ����� �J ��� �� ����

.���) 2���"� � �� �����

� ��"���� �� �� ����� ���� �� �7F))< ���� � #����&�� �� ����D1���� �� � �%6���#�

�� #������� ���� � ���/� �� ����D1���� � � ���� ��������� � ����� ��� ����� � ������� � �� �

���������� �� �������� ���������� ��������,����� 5���� �����/��� #�������� � ����D1���� ����� 57

� 63Hz� ������ � ����������� ���� ����� ��C� � �������

'��������� ����#�� �� ����� ��C� ��� � ������� � ��� ��������� �����%������� ������ M ����D1��

��� �� ����� ���� ���� �� ��6�� � ���� ���� �� ���� �&�� ��� ����� ������� ���� � �� �� ����

��� �� ���/� ��������� !���� ��� �� �%���#���� � ��%����� �� ������� �������� ������ ����$#���

#����&E�� ���P ���� �� ����D1���� �� ����� � �������� � ��� ����������

0��� �� ��� ����� ���� ������ �� �� ��� � �����&�� �� � ������ %���� �� ����� ���� ������

Page 114: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� ����� �1��7

�!� ����� %�* 0��*@��%�� � �>+ ��7

������ -�7 3����� &� �� �3�""N ������ � ����� ��� �� �����������

� ������ �� ����� �� ����� �� ������� �� ��� � ����D1���� ����� ���� ������ ���� � � �����

����&� �� �� ��� !���� ���� � �%���#��� �� ����� ��� � �������� �� ������� � ���� � ������

�� ������� �������������� � ������D1����� � � #����&�� �%����� �� ����D1���� �� 60Hz ����

59Hz�

!����� ����� �����&��� � #�������� �� ����� ��� � ������ �� � � 6����� �� ���� �&�� ��

����D1����� ����� ���� ������������� ���� �� �� ������"��� ���� � ����������&�� �� ������� ��

�� ������� � #����&�� �%����� �� ����D1����� � ������� � ��������� �� %� �� � � 6����� ����

�������� ������� ���� � ����D1����� � � #�� ��� ��� 6������ �� ������&�� � ����� ��������� ���

������ � � ����D1���� ��������$������

Page 115: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������ -�- '������� �� �3�""N ���� ��� �B���� ������ &� �� �����������

3�� $������� ������� +� ����� ������ ���"� �� ��#��4��

��# � �������� 2.5

* ������� � �� ���� �&�� �� ����D1���� 8�7F))<9 �� ����� � ��������� �� ����&�� ���

���������� ����� ��&�� ��� � ��� ������ � �������� �� ������ �&�� � � ������� ����������

����� ���#�������� �� �� ���&E�� #�� �������� �:0� 0��� � � � ��� �� �������� ��� ������

� #�����&�� ������ M �����%������� ��� ����������� ����� ����� ������������ 6���� ���� �� ��

������������ �%����� �� � ���� �� ������ �� ������� ���� �� ����D1���� 8H?9� ��������������

�������E�� ������#�� � �,������

0��� � �������&�� ��� ������ � �������E�� ������������ ����� ��&��� ��� ��� ���P ����� ��

��������&�� ������������� ���� ������������ �� ��������� ���������R ����D1���� �� � �������

�� ?Hz� ����� ��������#� �� A ����������� � �� ��� �� ����� !F: ����� � ?�B� L ����$#��

�%���#�� ��� ����� �� ���������� �%����� �� ���� �� ������ ������� � ���������� �����������

��� >�������� �� ��� 8C9� ���� �� ��� � ���� ���� ���� ��� ������������ ���� ����� ��H�

������ -�, 3����� ������������ ���� ����� &� ��� ���������� �� ���# ����������

Page 116: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����� �� ����&�� �� ���� �� ������� � � �������� #������� ��� � ������� ������ ��� ��� ����

������ �%����� ��� ���#����� ���� %��/� ������&�� ��� ������������� � � #�� ��� � �������&�� ��

� � ���� ��/� �� � ������� � �������� ������ ���� �� ����� � �� � ,���� ������D�����

���� �� �� �� ����� �� ��������� *���� ����� ����#���� � � ����������&�� ��� ���������� %������

��� ���&E�� ��� ����E��� � ��� ������� � �� � ���� �� �� �� �� � ����� �� �� ����&E��

�����������

����� �� ���������&�� ��� ����������� ������ ������"��� �������� � ����� � � ���� � ��� ��

����� ���� ����������� �� ������� ��"����� � �%���#�&E�� � ���� ������������� 5� ����� ��I �

������� � ���� �&�� �� ����D1���� ���� � ����� � � ���� � ��� ������� L #"���� ���������

��� �� � ���� ���� �����&��� �/���� � � ������� ������&�� �� ����D1���� �� ����� �� � ����

���� ��� ����%�$�� �� �������� �� #��������� �� ������� �$������� � � #�� ��� � ���&�� ��

��������1���� �� ��������� �� #��������� � �� ������� ���� �

� ����� ��I ������� � ���� �&�� �� ����D1���� �� �7F))< �� � �� � ����� !F:� � �����

�1���� �� �:0 ��������� � ������ �� #��������� �� ������� �$������ � � ����������� �� ����D1����

�/�%��� ��� � ���� �� ������ �� � ���&�� H? ������������

Fre

ên

cia

(Hz)

Tempo (s)

������ -�+ ���������� ���� � ������� �� ������ �����������

L � �������� ��������� ��� � ����� �� ������� �� ����E�� ���� ������ �� %���� ���� ��

������� �$������ 8>G7-9� � � #�� ��� � ��������� ����� ��#������&�� � #������� � #��%�������

�� �������&�� �� ������� � �������� � ����� �� �� ��6��&�� �� ������ � �����&�� �� ����������

����� J��� � � ���� ��� ���������� � �������

Page 117: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

.���� 5�!�� ��� �36�! � $� 6��� � ���

� ����� ��? ������� � ���� �&�� �� ����D1���� �� ������� �$������ ���� � ������� �J%��� 8��

�������� �� �� �� �� ��������9 �� B )'� �� ����� �� %���� ���� >G�=A � � ��� ��������#�

��$�� �� �������� �� �� �� �� C ��������� L � �������� �%���#�� ��� � �� ����� ���� ��

����D1���� �� �������� �� � ���������� �� ����������� #���� ������ � � ������� �� ��$�� ��

������ #�������� � �� ���&�� �� �70�

Fre

ên

cia

(Hz)

Tempo (s)

������ -�� 3������ � ��?�� �B���� �� ����� �� ������ $�

������������ � ����D1���� ��������� ���� �:0 �� � �����1����� #��������� ��� � ���� H? � �

�7F))< ����������� %��� ���������� ������ M ���� �&��� � %��� � ���� H? ��������� �

������� ������ �� �� �� L ����$#�� �%���#�� ��� � ������� � �������� ��� ��� � ��� ����

� �� ����� ���� �� ����� � ��� ���� �����&E�� �� ���%�� �� ��� ���� ��������� ��� �

������ �� ���� �&���

����� �� ����� ��? � ����$#�� �%���#�� ����� � ����� � �� � ������ ������������� ���� ����

�� ������ � ���� ������� � �������� � �� ����&�� �� ��������� ���� �:0 ��� � � �����1�����

.���� (�! )78 � ��� � !�������"� 9��

0��� ���� �%������ � ������������� � � ����� ����"���� � BK �� ��� � �� ����� ����� 2:?�

�� � ��� ��������� ������� ���� ��,� H �� !���� ������� ��� �� ����� � ����� �� � � ���

��� �� ��� ��� ���� � %���� ���� �� ����� >G�=?� � #�����&�� ���� ���� �����&�� � ���������

���� �%���#�� � ��%����� �� ������� ������ � �����&E�� �/��� �� �� �����&��� � ����� ��??

��������� � ���� �&�� �� ����D1���� ���� ���� �����&���

Page 118: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Fre

ên

cia

(Hz)

Tempo (s)

������ -��� ����� $φ � 8 O �� =� ��� � ��� ��������� �������������

�� �� ����� � ���� �&�� �� ������� � �7F))< � � �� ���� H?� �%���#���� � � ��������"#��

������&�� �� ���� �&�� �� ������� �������� �� � ���� �� �����1���� �� ������ � ���� �� ��#�

���� �������� �� ������� � M ������&�� ��� ����E�� �� � ���� �� ���%��� � ��� ��� ������

�� � ���� H?� :���#��� � � �������� #������� ��� ������ �� ���������� ������������ � ���������

�� ������� � ��� ��� � ����/� ��� ���� � �� ����� ���� �� �70 ���������� �������� ��� �

���� H? ��������� � ������ ��������"#�� �� ��$��� �� ���� �&��� � ��� #����� � ����� ��������

�� � � � ���������#� M� �������� ����� ���� ��������� � ������ ����� �� ��������

.���� (�! �� �� 6��� �!� :9��

� ����� ��? ������� � �� ����� ���� �� �7F))< ���� � � �����&�� �� ����� ��#��#����

� ���� ;�; �� ����/�� � ����� 8�:9 �� %���� ���� >2: � �� � �%������ ��� ���6�������

���������� ��,� ? �� L � �������� ��������� ��� � �70 ������� ���������� � ����1���� ��

��������&�� �� ��������� � �� �������� ���� � ����D1���� �/�������� �� �� ���� �� �����&�� ��

60 ± 0, 5Hz �������� ���� *5� 8*5�� ?9�

5���� �����&�� �� �����&��� �%���#���� ��� �� � �� � ����&�� �� �����&�� �� %���� ����

8�� ����� ���� �%������ ��� ���6������� � ? �9 � ����� � ��� ��������� ��������� � ����D1��

��� � �� �� "%��� �� ��6�� ����� ��� ���� �������� � ����%�������� !���� ��� �� #���������

� � ����P���� �� � � %�� ���� �&�� �� ����D1����� ����� ����� ��� ���� �������&��� ���������

����#�� �� �7F))<�

L � �������� #������� � ��������� �� ���� �&�� ����������� ���� ������� �� ��� �� � �

Page 119: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Fre

ên

cia

(Hz)

Tempo (s)

������ -��� 3����� &� �� ���������� ���� ��� ����� �= �� )=��

Fre

ên

cia

(Hz)

Tempo (s)

������ -��$ 3�����6� &� �� ������������� ='$� ��� ����� &� �� ����� �<������

�����&E�� �� � � ��������"#�� #����&�� �� ����D1���� �������� ������������ � � %�� ���� ��

&���

.���� 5� ���'�"� �� !���������� ���� ��6 �����"� � ��! ;! ��

� ����� ��?A ����� � �� ����� ���� �� ����D1���� �� ����� � �������� ������ M �����&�� ��

��������&�� �� �������� ���� :-A� ��% ����� �/����� ��,/� � �� �������� ���� �� �������� ��

������"���� '��������� ��� � #��������� �� "����� �������� ������� �� ��� �6� � ������� �

����������#� �� ����D1�����

*%���#���� ����� �� ����� ��?A ��� �� ���� �&E�� �� ����D1���� ���� �7F))< � ���� ����

Page 120: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

H? ����� � ����1����� ���� � �� � �� � �� ����� ���� ������� ���� ��������� �� ��%����

� ���� �� ������ ������ � ������ �� ���&���

.���) (�! �:#� �� 6��� �!� :9��<

� ����� ��?@ ������� � �� ����� ���� �� �7F))< ���� � � �����&�� �� ����� �>�: ��

%���� ���� >2:A* � �� � �%������ ��� ���6������� ���������� ��,� ? �� 5���� �����&��

�%���#���� � � ������ ������&�� �� ����� � � ��� � ������� � �������� � � ��������� �� ����

�� ������ ��� ��,/� ���

Fre

ên

cia

(Hz)

Tempo (s)

������ -��2 3����� &� �� ���������� ���� ����� �)0= �� )=$E�

L ����$#�� �%���#�� ��� � ��������� �� �7F))<U!F: ��� ���������� �� �� �� ������&E��

�� �7F))<� 6���������� � ��� � ��� ����&�� � �������� �� ������� � �� � � ����%���������

�#������ ��� � ����� � �� �����&�� ���� ����#��� �����

Page 121: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

�������� �

,�����-��

7��� ���%�� � ���������� � � ������� �� ���� �&�� �� ����D1���� � ������ ��� ����E�� ����"�

����� �� ����� � �������� �� ���1����� * ������� � �������� � ����� ������ �� ������ �� ������

��������#��� � ��� ��� ��� � � �� �� ������&�� ��� #����&E�� ���P ���� � ����������� �

�������� ���� �"���� � �������� ���������� ���� ���� �������� ���� � ������&�� � ����� ��

�� �����&���

0��� � �������&�� ����� ���%�� � ���� ���������� ��� �� �� ����� ��%���"���� ����"����� �������

����#�� �� �������� )����% � �� �� ���&E�� �� ����������� ���������� ����#�� �� �������� �:0�

��� ����� ���� ������������ ��#����� ������ ����� ��� �� �E� � �70� ��,� � ������&��

��� ������ �� ��6�� ��� ����E�� ����"������ ����� ���� ��% ������ �� ������� � �����#��#���

8�7F))<9 � � �� #������� ��� ������%�������� ���� �� � � �������� � �����%������� ���

���������� �������������

6�� ���������4�� ����� � ������#� +��+����

* ������� � �������� ����� ���%�� � � ��� ��� ��� � ���6���� �� ���� %����� ���������

��� ����#�� �� ���&E�� �����$���� ����������� � %� ���� ��� � ��� ��� ��#���� �����&E���

������ � �Q�� ��� �%���#��� �� ���$���� �� �� ���� �� ���������� ��� ������������ � �����������

L ����$#�� #������� ��� �� ���������� ���� ������������ � ���� ������� * ��� ���� ��������

��� �� ����� �%����� �� ������ �� � �� ��$��� ���#�������� �� �� ���&E�� �������� �� ��������

)����%� �������� ��� � ������� ����� �� ���������� ������ � ���� �&�� �� ����D1���� ���� ���

���� �� ������ ����#�� �� �:0� ��� ����� � #����&�� �� ����D1���� ��� �%���� ����#�� �� ���%���

Page 122: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

�������#�� �� ����� � �� ������

������������ �� ����� ��� ���� �&E�� �� ��� ���� ����� �� ����������� �%���#� �� ��� �����

��� ��%��#������ � ���� ������� 5� ��� ����� ��������� ��� ������ ������ �� ��6�� �� ���

��� � ���� �� ��$�� ����� �������� M� ����E�� �� �������� �������� �� �������� �������� �

�� ������ ����$��� ��� �� Q����� � ��$��� �� ������� �� ������� �� :��� �������&E�� ���������

���� �����%���� ���� �%���#�&�� �� ��� � ������&� �� ������&E�� �� ��� � �� ���� ��� ����E��

����"����� �������� ����� ��������"#��� �� ���� �&�� �� ����D1���� ��������� ���� ������� ��

������ �� ������ � ����� �� ��������� �� ����� �&E�� ��� ��� �� �� ����� :���#��� �� �

�� � �� ���� �� ��������� �� ���������� � ������� � ���������� $������ ��������,����� � ���

������6� � ��������&�� �� � ��� ����&�� �� �� � � ������� ��������

�� ���� �&E�� �� ����D1���� ���#�������� �� �:0 ������� � �����%������� �� ������� �

������ �� ������ �� ���� �� ������ ��������� #���� ��� � ����D1���� �� �����1���� �����������

���� �:0� � ��������� � ������ �� #��������� �$������ �� "������ L � �������� �%���#��

� �/���1���� �� � � ����� �� ����� �&�� ������� ������ �����&E�� �� ���%��� :�� �����&��

� ���#������� �� ������&�� ����� �� � ������ �� ���������� ����D1������ � ��� ���#��� � �

������&�� �� #���� �� ����D1���� ���� ���� :���#��� ������ ��� ���������� �������� ��6� ���� ��$��

�� ����� ���%���� � ������� � ���������� $������ ��������,����� �����%�������� � ��� ������&��

��"���� �� �������

7���������� ���� �� �%���#�&E�� ������#�� �� �������� �� ������� � ��#� ��� ������������

� � #�� ��� ����� ���������� � � ������ ��S�1���� ��%�� �� ���������� � ��%�� � ���#���1��

���� #���� ��� �������� #����&E�� ���� #�� � ������ � � �����%������� �� ������� � � �

������D���� ��#���1����� 7 %��� � �� ���/����� �� %���� ��� ���P ����� ��� ������ �/�����

���� �� ��� ����������� ��� ������� XN��� � 3� ����� 8?II9 ��� ������ ����� �� #������ �

���� �������� �� ��� � �������� � ����%������� � � #��������� �� ���#���1���� ��������� �

������&E�� #������� M �����&�� � �70�

*���� ������� �� ������ � ����P���� �%���#��� �� �������&�� �� ������� ������� � � �����

&�� ����� � �� �� � �� 6����� � � �� �� � �� ������ ���� �� ������ ������� ��� � ����1����

�� ���������� �� ������ ���� �� � � ���������� �� �������� ����� ��S�1������ ��������

��� ���� ���������� ������ ���� ����� ���� ���� � �����������1���� �����#� ����� �� ���P ��

���� ������������� ����� �� ���� ������������ �� ������� ���������� ������������ �� ����������

����������

Page 123: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

6�� ,����4�� +� ���������� � +��&��

!� ����� ��� ���������� 6" �%������ �� ��� � ���#�&�� ���� � ��������&�� �� �������� �

���&�� �� � � ����$#�� ������%������� �� ����� � ����� �� ��%���� ��� ��� �����%��������

�� �� ���� ������ �������� �� ���%�� �R

�� � ����&�� �� �� ���&�� �� ����� � �������� ������� #�� �������� �:0� ������������� ���

������$������ �� �������� �� �������

%� -������&�� �� � ������ �� ������#� ����� �� ������ �������� ���� #������� ���� � �� ��

����/� �&�� � ��� ������� ���� � ��$�� �� ������� ��

�� !����#��#� ���� �� � ������ �� ������#� ����� �� ��#����� �������� �� ���� �&�� ��

����D1���� �/��������� ��������� �������� ������������� �� �� ��� �/� ���� �� ������� ��

����������

Page 124: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

Page 125: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��"��%����� .�����������

�%�������� :� � X� )�((�� 8?II�9� � ��%��� #����%�� ��������� 2)���(�� ������� R ����(���

��� �� ��������� 1��� ������ ���� �� ����� ��� ����� 23 8A9� CA?UCAI�

�++�� )� 8?II�9� F�������( ���� ����� %( �� ��������� �� �N� �� ���/ �������� 1��� ����%

�� ���� �� ����� ������$ 45 8?9� ?B�U?CA�

�� ����� 0� �� 89� 7���� �� �� �����&�� �� ����� �� �� ������� ��������� !�������&�� ��

)�������� 0�����$��� .��#�������� ���,���� �� -�� �� 3������� -�� �� 3�������

>��%���� !�� -� )� )������ !� '� ����(� � )� *���+�#��� 8C9� F����� ��������#� %������ �

$�� �� ��������� ���� ���� �&�� �� ����D1���� � ����� �� ���������� O� ��#6�� '�������

�� ������� ��7�� ��� �� ���� G������

>���#��� )� )�� 0� )� !6����� �� !������ � �� G� 0 ��+� 8?IIA9� F�������( ����+��� �� ��N��

���N��+� �� � � �������� �� �� ������ 1��� ������ ���� �� ����� ������$ 8 89� @HU@HC�

>��������� �� 0� 8C9� 7���� � �� ����� �� �����&�� ����������� �� �������� ������ ����

������ � � ���� �������� !�������&�� �� )�������� 7����� �� 7���� ���� �� ��� ������ U

.��#�������� �� ��� 0�����

>��������� �� 0�� )� �� ���#�� !� >��%���� )� *���+�#���� !� '� ����(� � -� �%%��� 8C9�

0�"���� ��%��������� ���� � �#����&�� �� �����&�� ����������� �� �������� ������ �� ���1����

������������ � ���� �������� O� ����9�� '������� �� ������� ��7�� ��� �� ���� G������

>���+%���� 3� 2� 8?IH�9� ����� ��� "���$��: ��� #��� ��� �##� ������ 5�N W��+R )�����

!�++��� O���

>-��O2 8?IB�9� !������ ��� @?�?I� �� C �� ��#������ �� ?IB� U ������ ���� �� ���#�&�� ��

������� ��������� �����;� � �� "�#<�� � = ���� ��� = ��� ��,� #��� �������� >��?� ���

Page 126: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

>-��O2 8?I�A9� !������ ��� �A�H� �� B �� ��#� %�� �� ?I�A U ������ � ������ @�� �� �������

�J ��� @?�?I� �� C �� ��#������ �� ?IB�� ��� ������ ���� �� ���#�&�� �� ������� ���������

�����;� � �� "�#<�� � = ���� ��� = ��� ��,� #��� �������� >��?� ���

�� �� �� �� �� 8?I��9� 1������-.� @ #����-.� ��� ������� ��7�� ��� ��� 0����R 7������ 7�����

>�D� �� 2����

���������� ��� 2� =� F��+� � G� 0�����++�� 8?IIB9� 2��� � ������ �� �� �������� �(��� � 1���

������ ���� �� ����� �$����� 4A 8A9� ?@C�U?@��

������ �� �� 89� �6���� �� ���P ����� �� ����������� �� #��������� �� ���%���� ���"�������

�������� ������$#�� � R ���RVVNNN���%����������%�V �� ���V�������V�#� ��������

����(� !� '�� )� *���+�#���� � -� G��#����� 8�9� �����-.� ����� �� ������� ��7�� �� �� ��%

�;� �: ��� "��7� �������� B� �� ��� � ��#�� ������� 1����������� ��� ������R .��#��������

�� ��� 0����� O�>5R I�H�HB�HBB��H��

!�� � 0� X�� �� X� 0�� ��� � G� 0���� 8?III9� F�������( ���� ����� �� ��������� ��N�� �(���

������� ����� �/������ �� ���/ +�� �� ������ 1��� ������ ���� �� ����� ������$ 42 8A9�

�C?U�CC�

!�� � 0� X�� !� 0� �N���� �� -�����(� � �� �� 2��N 8?II�9� �� ������#� ������ ���N��+ �������

��� � � ���� ����� �� ��N�� �(��� ��������(� ��� �� ����� �$����� "����� � 24� AU?�

!6����� )� >� � '� '� :����6� 8?II@9� �� ������� ��� ��������( ����(��� %���� �� � � ��N����

��� ��� �� ��� ��� �� ����� �$����� "����� � C4� ??IU?@�

!����� -� ��� )� F� )�G����� ��� =� �� >���(� � �� ������� 89� ��� �� �� #���� �$�����

�����$ 8 ���9� 5�N W��+R )�G��N�=��� 0������������

77.G 8?IH�9� ���������� ��������� ������� "��� '��(� 27��

7��5������ X� )� � =� X� )� W������ 89� � ������� %���� ������� ��� ��������(�����(���

������������� ��� �� ����� �$����� "����� � 33� ?�AU?�H�

7� ���� �� �� 87��9 8?II@9� ����� ��� ����$�� �����$ ��� �##� ����� 8? ���9� 5�N W��+R �>>

0�N�� :[! �� ���( O���

F�� ����>����6��(� >� 8?III9� ���#��� ������: �����$ ��� �##� ������ � �� �����R 3� �

����( [ ����� O���

Page 127: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

F���������� �� 7�� �� +������( 3��� � �� X��+� 8?I�B9� �9����� ��7�� ��� ��� 0����R 7������

)�G��N�=��� �� >������ �����

F�� �� -� !� 8?I��9� ��������.� �� ������ ��7�� �� '��� � � -�� �� 3������R 2:� V 7F7O�

G������� -� � �� X� !�� 8A9� 0�N�� ���� ��������� ������������ ��� ��������� ��� ������� O�

1����������� �������� � �� ��� ��������� 1��������� � ��� ���#�����$� ��� ?@�U?B@�

G7 8A9� ����� ������� $ "���$ ��� ����� 4AAA: 1����� ���� D�) 4AE4EE�� G������

7������� ���

G���(� )� )� � )� �� ��� ��# 8?IHI9� *\��� ���� ��������( ������ ���� �� ������� ��N��

�(��� �� 1��� ������ ���� �� ����� ������$ 2 8A9� ?B�AU?B�H�

G������ �� �� � F� )� =� 8?IH9� � ��N \��%���� ������� ��������( ����( ��� ���� � �������

1��� ������ ���� �� ����� �##������ ��� �$����� ���%4A4 89� @AAU@AI�

=�(+��� �� 8?9� ���#��� ����� �����$ 8@ ���9� 5�N 3����(R 0������� =����

=���N���� �� =� � �� G� 0 ��+� 8?IIC9� ����� �$���� "���$�� 8 ���9� -������ ������� 0����

2���

O777 8?II9� O777 ���� ����� ��������� ��� ������� ���� ��� �� ���� ������� �� ����������

��N�� �(��� �� 1��� 1������$ �##� ����� �� ��$ F ����� ��������� �� ��$ �

O���� ��� 7� �� � >� �� 3��#�� 8?IIA9� ����� ����� ��� �����: � #��� �� �##��� �� 2�����R

�������������( 0��%��� ��� 2���

O�N��� 3� !� 89� ��9��� �� � ���� �� ��������� 8@ ���9� ��� 0����R 0������ 7��������

�� >������

3�� �� �� :� � �� X� ��� �� 8?IIB9� ����� ����� ��� ��� ����� �$������ '��� � ?B �� 1��

����� ������ ���#�����R 0���� 0��������� 2���

X��� ��G ���� ���� )� � )� -� O��#��� 8A9� ����������� ���� ��� ��%��� ���� ����� �� ��N��

�(��� ��������(� ��� �� ����� �$����� "����� � EE� ?IU??��

XN���� -� =� � 7� �� 3� ����� 8?II9� � #����%�� ���� ���� 2)� ������� � 1��� ������ ����

�� ����� ��� ����� 2A� ?CAAU?C@�

2��� :�� )� :��6�� � 7� W� ��� 8?9� � N�#���� ������� �� ���� �� � ���� ����� �� ��N��

�(��� ��������(� O� ��� ������ �� ��� 2A�� �1�� ������ �������� �� ��� BHUCB�

Page 128: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

2�%��� :� � 3� -�� �� 8?II�9� -������ � ����� ������� �� ��N�� �(��� ��������(� 1���

������ ���� �� 1������������� ��� ����������� 2E 8@9� H��UH??�

)����� �� -� 8?IC9� ��� ��� G � �� � �� ����� ��� "���$��� G������ 7�������� �������� � R

� �� 6�� � �� C�

)�� ���+� 8?9� H��� ��� �' ������ E� : � )�� ���+�� O���

)�����#��� )� � G� ��������� 8B9� G��������� ������� �� � ��� �������� ��N�� �(��� �� O�

��� ������ �� ��� CI�� ������ !���� ���� �� ����� �$�#����� ��� B@UBI�

)������ -� )�� !� >��%���� !� '� ����(� � )� *���+�#��� 8�9� 7��� �&�� �� ����D1���� ����#��

�� ������� ��������#� ���� ��"���� �� ��������� �� ������� �������� �� � ����� � ��������

�� ���1����� O� J11 ������;� � '������� ����� 0������� �� ������ ��7�� �� �������

)����� 0� 3�� 3� =� ��� ������ � �� :� 3� �� 8?IIC9� F�������( ����(��� %���� �� ������������

��������( ������ ���� 1��� ������ ���� �� ����� ������$ 44 8@9� ?�A�U?�@�

)������� )� ��� )� 7� 7��=�N��(� )� )� )������� X� )� 7��5������ � �� )� 7�����%��( 8?IIB9�

0����� ���� �#�������� ��� ���� �� � � ��� ������� �� ����� ������ ���� ����� ��� ����� ���

��������( ����(���� O� ������� �������� � �� ��� �� �� ��� ���#���� ���������� '��

�� � � ��� ?HAU?HC�

*5� 8?9� ����6���� 4AK8 = !���� �� L#���-.� = �������� �� D���-.� �� L#���-.� !�����

8 ���9� *������� 5������� �� ����� ��

0��+�� :� �� � �� �� >����� 8?IH�9� ����� ����� ������ 5�N W��+R 3� � ����( [ ����� O���

0 ��+�� �� G� � 3� �� : ��� 8?II@9� ���#���� "���$�� ��� ����� �$����� �� �����R -������

������� 0���� 2���

0 ��+�� �� G�� 3� �� : ���� � )� G� ��� ��+ 8?IHA9� � ��N ������ ��� ��� ����� ��� ����+���

#������ � ������ ����� �(��� ��������(� ��� ���� �� � ���� �� ��������(� 1��� ������ ����

�� ����� �##������ ��� �$����� ���%4A5 8B9� ?BU?AH�

0��� ��� �� X�� �� -�����(� � �� >���+ 8B9� 0�N�� �(��� ��������( ���� ����� ����� �����

��� ������ ��� ������ 1��� ������ ���� �� ����� ������$ 5A 8A9� ?H?U?H?C�

��� ��#� )� �� � )� )� G���( 8?I�H9� � ������� ��������( ��� ���� �� � ���� �� ��������( ����(�

������ ���� �� ��� ������� ��� �� �� ���� ���� 4I� ?U?�

Page 129: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

��� ��#� )� �� � )� )� G���( 8?IHB9� � ����� ����� ������� ��� ����� ��� ����� ����� ��N��

�(��� ��������(� 1��� ������ ���� �� ����� �##������ ��� �$����� ���%4A2 89� @A�U@@@�

��� ��#� )� �� � )� 5����� 8?II?9� � �������#� ����� ����� ������� ������� ��� ��N�� �(���

����(��� ��� ������ ��� ������������� 1��� ������ ���� �� ����� ������$ E 8A9� ?HU

??B�

������� ]� � -� )�+ ��� 89� � ��N �� �� ��� ������������� ��N�� �(��� ��������( ���

���� ��� ����� ��������� ������ ���������� ��� �� ����� �$����� "����� � 33� I�U?�

�� ����� =� 8?IIC9� � ���#���� � ����� 8A ���9� ��� 0����R )�+��� >��+��

�� N������� 7� *� � !� =�� 8?IIA9� F�������� ��� ��������#� ����(�� O� 2I�� ������ D����� �� �

����� ��� "���$�� ������� �� ��������

��� �� :� �� 8?III9� �������� ������ ��� �� ��N�� �(��� ��������( ����� � ������� ������

���������� ��� ������ 1��� ������ ���� �� 1������������� ��� ����������� 28 8?9� �BUH?�

��� ��� 8?9� �#���� I"EAA: 1����� ��� ������ 8A ���9� ��� ��� �G�

���#�� )� 8A9� 2�������&�� �� ������ � ��� �� �� ����� ����� ���������� � ������ �� �����

#��6����� � �������� ��� N�#����� !�������&�� �� )�������� 7����� �� 7���� ���� �� ���

������ U .��#�������� �� ��� 0�����

���� ��� �� ��� �� )� ���X������� � )� 7� 7��=�N��( 8?IIC9� 0��������� ��� �������� � �

����� ��������( ��� #������ � ���� �������� �� ��������� #������� ��� ��N�� �(��� ����(����

��� �� ����� �$����� "����� � C8� ?@BU?B?�

���� ��� �� ��� -� �� ��� ���� � )� 7� 7��=�N��( 8A9� F�������( ��� �� ����� �#�������

�� ��N�� ���N��+� ����� ����( ���������� ��� ������ ��� �� ����� �$����� "����� � EE�

?�?U?���

���� ��� �� ��� G� �� � ���������� !� =� X���(� � 5� 2�� 8?II9� �� ������� ��� ��������(

����(��� %���� �� ����� �%������ #���� �����/� ������� ��� �� ����� �$����� "����� � 4M�

�AUH@�

������ :� :� 8@9� ������������ �� #�������$ ��� ������ � ��� ��������� � �� �����R 3� �

����( [ ���� 2���

���#������ �� !� 8?IHC9� ��������� �� ��9��� �� ������� �� #��;� � 8 ���9� ��� 0����R

)�G��N�=��� �����

Page 130: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

�������� 3� � �� -�%����� 8?IIH9� 0�N�� �(��� ��������( ���� ������ 1�� ��� ������ D�����%

���N ���������� ��� ��������� 423� B�HUBH�

'������ 7� :� 8B9� ������&�� �� ������� �� ��������� � ����� �� ����D1����� !�������&�� ��

)�������� 7����� �� 7���� ���� �� ��� ������ U .��#�������� �� ��� 0�����

'����� F�� �� ^� 8?IH@9� L#���-.� �� ������� �� ���;� � �� �������� �����9� � �� D���-.��

-�� �� 3������R 7������ �� ��� 2����

�����#���� >� �� � -� 7� �� ������ 8?I��9� � ������� ��������� ���� �������������( ��������#�

����( ��� ��N�� �(��� �� 1��� ������ ���� �� ����� �##������ ��� �$����� ���%ME 8B9�

?��U?�?@�

�����N� >�� 3� )������ � )� >��� 8?I�B9� : � �� ���/ 2)� ������� � ��� ������ �� ���

1��� EC� �?I U ��

����� -� ��� 3� �� 0������ � !� 3� :�����N�+� 8@9� .�� �� ����� ��� ������� 82)�9 ������#�

�������� ��� ����� ��� ���� ����� ��N���������( ������� �� ������ ���� �� ��N�� �(��� �� O�

1��� ����� ��������� �� ��$ D������ ������� '��� � � ��� ?HIAU?H��

Page 131: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

�������� �

��#��� "�� � �� �������� �� ��/

5� ��� ������ ������������ � "����� 8�����#� �����9 ��� ���#� �� � ������� ���� �� ������

&E�� ������� � �� ������ �������� �� �������� �:0� 7��� "����� ������� � �����&�� �� ���� �

��� ������ �� ����� � �������� �� ������ ������ � � ������ � ������� ����������� �� �����

@�A�

������

�� �� ���������� ��

� ���−� ��

������ � � � � �

��� �����

������

������ � !���� ������� �����

������

��"�#�� −���������

$$"�#�� �����$$$��

��"�#��

�����## ����������� ���������� ��������� −���������

�����##

�������� % &&� ∗ "�#��' ( &� ∗ � ' '

��������

�����#� % ���## − ������

�����#�

������ !���#� �����

�������

���# !����� �����

����� ��� �

��� � ����� ����

����#

������� % ��# ! �

�������

��� !����� ���� � � � � ���

Page 132: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

����

$$���� �������

������ %��

������

�#��) ���� ����� ��� ���

−�#���#���� � � � ��� −�

�� ����$� �������� ������!��

���� ������$����$���!�� ������ � � ��������!�� ���� ����� ���� ����!��

−������$ ������������!�� �������$�������$����!�� �� �������$$� �$����!��

������������$$������!�� ��������������� ����!� ����$� ���������$���!�

���� ���������������!� ����������$����$$���!� �������������$������!��

������ ������$�� ���!�� �����������$��������!�$ ��$� ����������$����!�$

$� ��� ��$����� ���!�$

��� ���� � ���������!�� �������$ �� ��������!�� ��� ��� � ����$�����!��

���������� ��$������!�� ������ ���$��������!�� ����� ����� �$��$���!��

��������$���� ������!�� ��������$�����������!�� �� ��� ���� $���$���!��

�����$��������������!�� ��������������$�����!�� ��������$ ����������!��

������������� ������!� ������ ������ ��$���!� �����$$�� ����������!��

������$�������������!��

�� ������������ $��������−��

����$� �$��$� ������−�� ���$�����$����������−�� ����� $� ��� �����−��

���$ �$���$$�� �$���!�� $��� ������� �������!�� ��$������$� ��������!��

$�� ����� ��$�� ����!�� ��$�� ���� �� �����!�� ���� � ������$� ����!��

��������$���� � ����!�� �����$$ ��� ���$$���!�� ������������ ������!�

−����� ������$� �����!�� ��� ���� ��$�������!�� −�� ����$�� �� � ����!��

����� ��$������ ���!��

������ �������$�����!�� ��������������������!�� ����$� ����$� �$����!��

����� �$ ���� ����!�� � � ������$� ������!�� ��������������������!��

���� �$� $����������!�� ��� ��������� ������!�� ��������������������!��

��������$ ����������!�� �����$$�� ����������!�� ���$ �� ����� �$����!��

��� ����� $�� ������!� ������$���� $ � ����!�� ����� ������� �����!��

�����$��$���� $�����!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ���������$������������−��

Page 133: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

������$�������������−�� ��� ������$��� �����−�� ��$�����$ $��� $���−��

������ ������ �$����!�� �� �$�����������$���!�� ��$� ��$������������!��

�����$ ���� ��������!�� ����� $�� ���������!�� �� ������� ���������!�

−����$�� $�� ����$���!� $���$�� ��$$���$����!�� −���������������$����!��

$���� �$����� � ���!��

�����$$$�� ���������!�� ������������ �������!�� ���$��� ����� ������!��

�����$��������������!�� ����$���������� ����!�� ������� ��� ��������!��

����� $����$$�������!� ��� ��$$�� ���$�����!� ���������������� ���!��

������ � �$���������!�$ �� ������ ����������!�� �� �������$����$ ���!��

�� ����$������������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ���������$������������−��

������$�������������−�� ��� ������$��� �����−�� ��$�����$ $��� $���−��

������ ������ �$����!�� �� �$�����������$���!�� ��$� ��$������������!��

�����$ ���� ��������!�� ����� $�� ���������!�� �� ������� ���������!�

−����$�� $�� ����$���!� $���$�� ��$$���$����!�� −���������������$����!��

$���� �$����� � ���!��

�����$$$�� ���������!�� ������������ �������!�� ���$��� ����� ������!��

�����$��������������!�� ����$���������� ����!�� ������� ��� ��������!��

����� $����$$�������!� ��� ��$$�� ���$�����!� ���������������� ���!��

������ � �$���������!�$ �� ������ ����������!�� �� �������$����$ ���!��

�� ����$������������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

Page 134: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ���������$������������−��

������$�������������−�� ��� ������$��� �����−�� ��$�����$ $��� $���−��

������ ������ �$����!�� �� �$�����������$���!�� ��$� ��$������������!��

�����$ ���� ��������!�� ����� $�� ���������!�� �� ������� ���������!�

−����$�� $�� ����$���!� $���$�� ��$$���$����!�� −���������������$����!��

$���� �$����� � ���!��

�����$$$�� ���������!�� ������������ �������!�� ���$��� ����� ������!��

�����$��������������!�� ����$���������� ����!�� ������� ��� ��������!��

����� $����$$�������!� ��� ��$$�� ���$�����!� ���������������� ���!��

������ � �$���������!�$ �� ������ ����������!�� �� �������$����$ ���!��

�� ����$������������!��

− #���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ���������$������������−��

������$�������������−�� ��� ������$��� �����−�� ��$�����$ $��� $���−��

������ ������ �$����!�� �� �$�����������$���!�� ��$� ��$������������!��

�����$ ���� ��������!�� ����� $�� ���������!�� �� ������� ���������!�

−����$�� $�� ����$���!� $���$�� ��$$���$����!�� −���������������$����!��

$���� �$����� � ���!��

�����$$$�� ���������!�� ������������ �������!�� ���$��� ����� ������!��

�����$��������������!�� ����$���������� ����!�� ������� ��� ��������!��

����� $����$$�������!� ��� ��$$�� ���$�����!� ���������������� ���!��

������ � �$���������!�$ �� ������ ����������!�� �� �������$����$ ���!��

�� ����$������������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

Page 135: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

� �

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ���������$������������−��

������$�������������−�� ��� ������$��� �����−�� ��$�����$ $��� $���−��

������ ������ �$����!�� �� �$�����������$���!�� ��$� ��$������������!��

�����$ ���� ��������!�� ����� $�� ���������!�� �� ������� ���������!�

−����$�� $�� ����$���!� $���$�� ��$$���$����!�� −���������������$����!��

$���� �$����� � ���!��

�����$$$�� ���������!�� ������������ �������!�� ���$��� ����� ������!��

�����$��������������!�� ����$���������� ����!�� ������� ��� ��������!��

����� $����$$�������!� ��� ��$$�� ���$�����!� ���������������� ���!��

������ � �$���������!�$ �� ������ ����������!�� �� �������$����$ ���!��

�� ����$������������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�� ����$� �������� ������!��

���� ������$����$���!�� ������ � � ��������!�� ���� ����� ���� ����!��

−������$ ������������!�� �������$�������$����!�� �� �������$$� �$����!��

������������$$������!�� ��������������� ����!� ����$� ���������$���!�

���� ���������������!� ����������$����$$���!� �������������$������!��

������ ������$�� ���!�� �����������$��������!�$ ��$� ����������$����!�$

$� ��� ��$����� ���!�$

��� ���� � ���������!�� �������$ �� ��������!�� ��� ��� � ����$�����!��

���������� ��$������!�� ������ ���$��������!�� ����� ����� �$��$���!��

��������$���� ������!�� ��������$�����������!�� �� ��� ���� $���$���!��

�����$��������������!�� ��������������$�����!�� ��������$ ����������!��

������������� ������!� ������ ������ ��$���!� �����$$�� ����������!��

������$�������������!��

�� ���� ��� �������������−��

���� $���� ��������−�� ���$����$����� ����!�� ��������������� ����!��

��$����$������������!�� �$�$������$� ������!�� �������$����� ������!��

����� �$������$�$���!�� �� �$��� ���$ ������!�� −������ ���$�� � ����!��

��� ��������$�������!�� ������$��$��� ������!�� −��������������������!��

����$$����$��� �����!��

��������� ����������!�� ����� � $�����������!�� ��$������$����� $���!��

���$����������� ����!�� ����$�$��� ���������!�� ��$��������� �$� ���!��

��� ����� $ � � ����!�� ������$�����$�� ���!�� ���$���� ����$ �����!�

���$ �� �$����������!� ���� ���������������!� ������$$������$�����!�

����$���������������!�

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

Page 136: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ����� �����$� ��������−��

������������$$ ����−�� ��$���$���$$��������−�� �������������� �����−��

��� ���$������������!�� ��������������������!�� ���� � �������� ����!��

�������$�� � ������!�� $� $� ����$$��������!�� ��������� �$��� ���!�

��������������������!�� ��������������������!�� −��� ����$�� �$$�����!��

�������$ �����������!�� ��������������������!�� ���������$����������!��

��� ����������������!�� ����������$� �������!�� ���� ���$�����������!��

����$� �$�$���������!� �� � �� ��� ��� ���!� �������� ���� �� ���!��

����$����$����$�����!�� ���$����� ���� �����!�� ���$$���$�� ��$�����!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ����� �����$� ��������−��

������������$$ ����−�� ��$���$���$$��������−�� �������������� �����−��

��� ���$������������!�� ��������������������!�� ���� � �������� ����!��

�������$�� � ������!�� $� $� ����$$��������!�� ��������� �$��� ���!�

��������������������!�� ��������������������!�� −��� ����$�� �$$�����!��

�������$ �����������!�� ��������������������!�� ���������$����������!��

��� ����������������!�� ����������$� �������!�� ���� ���$�����������!��

����$� �$�$���������!� �� � �� ��� ��� ���!� �������� ���� �� ���!��

����$����$����$�����!�� ���$����� ���� �����!�� ���$$���$�� ��$�����!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

Page 137: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ����� �����$� ��������−��

������������$$ ����−�� ��$���$���$$��������−�� �������������� �����−��

��� ���$������������!�� ��������������������!�� ���� � �������� ����!��

�������$�� � ������!�� $� $� ����$$��������!�� ��������� �$��� ���!�

��������������������!�� ��������������������!�� −��� ����$�� �$$�����!��

�������$ �����������!�� ��������������������!�� ���������$����������!��

��� ����������������!�� ����������$� �������!�� ���� ���$�����������!��

����$� �$�$���������!� �� � �� ��� ��� ���!� �������� ���� �� ���!��

����$����$����$�����!�� ���$����� ���� �����!�� ���$$���$�� ��$�����!��

− #���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ����� �����$� ��������−��

������������$$ ����−�� ��$���$���$$��������−�� �������������� �����−��

��� ���$������������!�� ��������������������!�� ���� � �������� ����!��

�������$�� � ������!�� $� $� ����$$��������!�� ��������� �$��� ���!�

��������������������!�� ��������������������!�� −��� ����$�� �$$�����!��

�������$ �����������!�� ��������������������!�� ���������$����������!��

��� ����������������!�� ����������$� �������!�� ���� ���$�����������!��

����$� �$�$���������!� �� � �� ��� ��� ���!� �������� ���� �� ���!��

����$����$����$�����!�� ���$����� ���� �����!�� ���$$���$�� ��$�����!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

Page 138: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ����� �����$� ��������−��

������������$$ ����−�� ��$���$���$$��������−�� �������������� �����−��

��� ���$������������!�� ��������������������!�� ���� � �������� ����!��

�������$�� � ������!�� $� $� ����$$��������!�� ��������� �$��� ���!�

��������������������!�� ��������������������!�� −��� ����$�� �$$�����!��

�������$ �����������!�� ��������������������!�� ���������$����������!��

��� ����������������!�� ����������$� �������!�� ���� ���$�����������!��

����$� �$�$���������!� �� � �� ��� ��� ���!� �������� ���� �� ���!��

����$����$����$�����!�� ���$����� ���� �����!�� ���$$���$�� ��$�����!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�� ����$� �������� ������!��

���� ������$����$���!�� ������ � � ��������!�� ���� ����� ���� ����!��

−������$ ������������!�� �������$�������$����!�� �� �������$$� �$����!��

������������$$������!�� ��������������� ����!� ����$� ���������$���!�

���� ���������������!� ����������$����$$���!� �������������$������!��

������ ������$�� ���!�� �����������$��������!�$ ��$� ����������$����!�$

$� ��� ��$����� ���!�$

��� ���� � ���������!�� �������$ �� ��������!�� ��� ��� � ����$�����!��

���������� ��$������!�� ������ ���$��������!�� ����� ����� �$��$���!��

��������$���� ������!�� ��������$�����������!�� �� ��� ���� $���$���!��

�����$��������������!�� ��������������$�����!�� ��������$ ����������!��

������������� ������!� ������ ������ ��$���!� �����$$�� ����������!��

������$�������������!��

�� �� $������� ���������−��

������ ������$�$����−�� ���$�� ������$������−�� ���$���� ���� ������−��

���������� $��������−�� ��������$���$������!�� ���$���$��������$���!��

−��$������$����������!�� ��$������$�� �������!�� �������$������ �����!��

������ ������� �$���!�� ��$�� ��������$�����!�� ��� $����$$ �$������!��

�������$� �� �������!� �� ���������� �����!� ���$��������� ��$���!�$

−�� ����������� �����!�$

�� �$���������$� ���!�� �� �����������$$ ���!�� ����$�������� � ����!��

�������� �� � $� ���!�� �������$� �$���$$���!�� ����������$�� ������!��

������$����$��$�����!�� ��������������� ����!�� �����������$����$���!��

���$�$� $�$����� ���!�� $���$$��$$����������!�� ����������� ��������!��

������ ��������� ���!�� �$ � $������������!�� ������� �����������!��

��� �$�$������� ���!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

Page 139: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ��������$������ �����−��

������������$� �����−�� ���� ���������$�����−�� �� ����$������������−��

���� �������� ������−�� ����$����$� ��������!�� ���������� ��������!��

����$ ����������$���!�� ���$����������������!�� ���$�������� �������!��

����� ��������������!�� $��$�������� �������!� ������ ��� ���������!��

��$��$$�����$������!�� − ��$����������������!��

��� � $�$����������!�� ���� ������ $$�����!�� ��$����$�� ���������!��

������ �������������!�� ������$���$$��������!�� �������� �����������!��

�����$ �������������!�� ������� $� ����� ���!�� ����$�� ������������!��

������$��$�����$����!� ��$� ������$ ������!� ��������$������� ���!��

�������$�$$���$�����!�� ������$��� �� ������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ��������$������ �����−��

������������$� �����−�� ���� ���������$�����−�� �� ����$������������−��

���� �������� ������−�� ����$����$� ��������!�� ���������� ��������!��

����$ ����������$���!�� ���$����������������!�� ���$�������� �������!��

����� ��������������!�� $��$�������� �������!� ������ ��� ���������!��

��$��$$�����$������!�� − ��$����������������!��

��� � $�$����������!�� ���� ������ $$�����!�� ��$����$�� ���������!��

������ �������������!�� ������$���$$��������!�� �������� �����������!��

�����$ �������������!�� ������� $� ����� ���!�� ����$�� ������������!��

������$��$�����$����!� ��$� ������$ ������!� ��������$������� ���!��

�������$�$$���$�����!�� ������$��� �� ������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

Page 140: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ��������$������ �����−��

������������$� �����−�� ���� ���������$�����−�� �� ����$������������−��

���� �������� ������−�� ����$����$� ��������!�� ���������� ��������!��

����$ ����������$���!�� ���$����������������!�� ���$�������� �������!��

����� ��������������!�� $��$�������� �������!� ������ ��� ���������!��

��$��$$�����$������!�� − ��$����������������!��

��� � $�$����������!�� ���� ������ $$�����!�� ��$����$�� ���������!��

������ �������������!�� ������$���$$��������!�� �������� �����������!��

�����$ �������������!�� ������� $� ����� ���!�� ����$�� ������������!��

������$��$�����$����!� ��$� ������$ ������!� ��������$������� ���!��

�������$�$$���$�����!�� ������$��� �� ������!��

− #���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ��������$������ �����−��

������������$� �����−�� ���� ���������$�����−�� �� ����$������������−��

���� �������� ������−�� ����$����$� ��������!�� ���������� ��������!��

����$ ����������$���!�� ���$����������������!�� ���$�������� �������!��

����� ��������������!�� $��$�������� �������!� ������ ��� ���������!��

��$��$$�����$������!�� − ��$����������������!��

��� � $�$����������!�� ���� ������ $$�����!�� ��$����$�� ���������!��

������ �������������!�� ������$���$$��������!�� �������� �����������!��

�����$ �������������!�� ������� $� ����� ���!�� ����$�� ������������!��

������$��$�����$����!� ��$� ������$ ������!� ��������$������� ���!��

Page 141: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

�������$�$$���$�����!�� ������$��� �� ������!��

−�#���#���� � � � ��� −�

�$ ��������� ������������!��

�$����� �� $�$�����!�� ������� ������������!�� ��� ���$�����$������!��

����� ��$�����$�����!�� �� �����������$�����!�� ������ �$������$����!��

���������$���$������!�� ��$��� �����$�� ����!�� �������� ����� $���!��

����������$���������!�� $� �����$���$�$�����!�� ��������������������!��

������� ������� ����!�� ��������������������!�� ������ $�$ ���� ���!��

�������� $$� ������!�� �����$����$���������!��

���� ��$�$����������!�� ���� ������ $�������!�� �������������� ����!��

���������������� ���!�� �����$� �$��� ������!�� ������ ���� ��� ���!��

���� �$ ��� �������!�� �������$���� ���$���!�� ������$ ������������!��

���� �$� ������$����!�� �������$� ���$������!�� �$� �$�� �$$�������!��

��������������������!�� ������������$�������!�� �����$ $�$ �$�������!��

��$��������$��������!�� ���$���$�$��$�������!�

�� ��������$������ �����−��

������������$� �����−�� ���� ���������$�����−�� �� ����$������������−��

���� �������� ������−�� ����$����$� ��������!�� ���������� ��������!��

����$ ����������$���!�� ���$����������������!�� ���$�������� �������!��

����� ��������������!�� $��$�������� �������!� ������ ��� ���������!��

��$��$$�����$������!�� − ��$����������������!��

��� � $�$����������!�� ���� ������ $$�����!�� ��$����$�� ���������!��

������ �������������!�� ������$���$$��������!�� �������� �����������!��

�����$ �������������!�� ������� $� ����� ���!�� ����$�� ������������!��

������$��$�����$����!� ��$� ������$ ������!� ��������$������� ���!��

�������$�$$���$�����!�� ������$��� �� ������!��

�"����� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

������ $��������!�� $��������!�� ������������!�� �

���� ��� ������������−�� ������������!�� ������������!�� �

��� � �

���� ��� ������������−�� ������������!�� ������������!�� �

��� � �

���� ��� ������������−�� ������������!�� ������������!�� �

��� � �

���� ��� ������������−�� ������������!�� ������������!�� �

��� � �

��� �� ������������−�� ������������!�� ������������!�� �

�� � �

���� ��� ������������−�� ������������!�� ������������!�� �

Page 142: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

��� � �

���������� �������� ������� ������

� ���� ����!�� ������ �$��!��

�������� ��!�� �������$�$�!��

�����������!�� ����$$�����!��

����� ����!�� ����$������!��

����$������!�� �� ��������!��

����

����� ���� ����$ � � ��$��$ ��

����� ���� �������� � $$��� � ��

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� �������� ������� ������

� ���� ����!�� ������ �$��!��

�������� ��!�� �������$�$�!��

�����������!�� ����$$�����!��

����� ����!�� ����$������!��

����$������!�� �� ��������!��

����

����� ���� ����$ � � ��$��$ ��

����� ���� �������� � $$��� � ��

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� �������� ������� ������

� ���� ����!�� ������ �$��!��

�������� ��!�� �������$�$�!��

�����������!�� ����$$�����!��

����� ����!�� ����$������!��

����$������!�� �� ��������!��

����

����� ���� ����$ � � ��$��$ ��

����� ���� �������� � $$��� � ��

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� �������� ������� ������

Page 143: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

����� ����!�� ������ �$��!��

�������� ��!�� �������$�$�!��

�����������!�� ����$$�����!��

����� ����!�� ����$������!��

����$������!�� �� ��������!��

����

����� ���� ����$ � � ��$��$ ��

����� ���� �������� � $$��� � ��

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� �������� ������� ������

� ���� ����!�� ������ �$��!��

�������� ��!�� �������$�$�!��

�����������!�� ����$$�����!��

����� ����!�� ����$������!��

����$������!�� �� ��������!��

����

����� ��� ����$ � � ��$��$ ��

����� ���� �������� � $$��� � ��

���������� ��� ���

����� ���

����� ����

���������� ��� ���

����� ���

����� ����

���������� �������� ������� ������

� ���� ����!�� ������ �$��!��

�������� ��!�� �������$�$�!��

�����������!�� ����$$�����!��

����� ����!�� ����$������!��

����$������!�� �� ��������!��

����

����� ���� ����$ � � ��$��$ ��

����� ���� �������� � $$��� � ��

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

���������� ��� ���

����� ����

����� ����

�#��) ���� ����� ������ ���

���� ����� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ����� −�����!�� ������!�� ������!�� �

Page 144: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

���� ����� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

����� ���� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� �#�� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#�� #��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

Page 145: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

���

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

#�����#��� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#������� −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

���� ������ −�����!�� ������!�� ������!�� �

�#��) ���� ����� � �� ���

����� ����$�� �� �� � �� ��

����

����

�#������� ���

�������� ��� ���

� � � � �� � �� $� �� ����� � ���

−��

� ���� ���$ ��� � ���� ����� ���� ����� �����

�� � ����� ���$� �����

� � ��� ������� �

�#��) ���� ����� ���� �����

��

��

��

�#��) ���� ����� ���� ������

$����� �

$�"�#�� �

����

�#��) ���� ����� ������ ���

Page 146: Estimação da Freqüência em Sistemas Elétricos de Potência

��

���� ���� ����

�#��) ���� ����� ��#��"� ���� "�#��� ���� ������

����� �#�

�#��) ���� ����� �#� ������

���� �� ��� ����

�#��)