EstimaciÃ³n Adaptable Para Sistemas No-Lineales Inciertos

Estimacion Adaptable para SistemasNo-Lineales Inciertos: Enfoque por Modos

Deslizantes

Roberto Franco ∗ y Hector Rıos ∗∗

∗ Tecnologico Nacional de Mexico/I.T. La Laguna, Division deEstudios de Posgrado e Investigacion, C.P. 27000, Torreon Coahuila,

Mexico.∗∗ CONACYT-Tecnologico Nacional de Mexico/I.T. La Laguna,Division de Estudios de Posgrado e Investigacion, C.P. 27000,

Torreon, Coahuila, Mexico.

Abstract: Este artıculo estudia el problema de la estimacion adaptable, i.e., la estimacionsimultanea del estado y los parametros, para cierta clase de sistemas no-lineales inciertos. Unobservador no-lineal adaptable por modos deslizantes es propuesto basado en un algoritmode estimacion de parametros no-lineal. El algoritmo de estimacion de parametros no-linealproporciona una velocidad de convergencia mas rapida que la exponencial mientras queel observador por modos deslizantes asegura acotamiento final para el error de estimacionatenuando los efectos de perturbaciones externas. Desigualdades lineales matriciales sonpropuestas para la sıntesis del observador adaptable y se presentan resultados de simulacionque demuestran la factibilidad del esquema propuesto.

Keywords: Observador Adaptable, Sistemas No-Lineales, Modos Deslizantes.

1. INTRODUCCION

Las perturbaciones e incertidumbres existen en casitodos los sistemas fısicos, en la forma de perturbacionesexternas, dinamicas no modeladas y/o parametros de-sconocidos. Uno de los principales problemas para eldiseno de control robusto es la existencia de ciertasperturbaciones y el hecho de que todo el estado noesta disponible para su medicion. Una herramienta utilpara lidiar con este problema ha sido estudiada durantelas ultimas decadas, i.e., la teorıa de control adapt-able. Esta teorıa ha recibido gran atencion dada lanecesidad del diseno de controles adaptables. El areade control adaptable ha crecido para convertirse en unade las areas mas amplias en terminos de algoritmos,herramientas analıticas y tecnicas para su diseno (vease,e.g. Astolfi et al. (2008)). Particularmente, el disenode observadores estimando simultaneamente el estadoy los parametros del sistema por alguna ley adaptableen linea es un problema importante en el area de controladaptable (vease Besancon (2007)).

En este ambito, una clase de observadores adaptablespara un sistema extendido es propuesto en Pu et al.(2015) el cual incrementa significativamente las aplica-ciones de los observadores para sistemas extendidos asistemas no-lineales perturbados. En Ekramian et al.(2013) el problema de observadores adaptables parasistemas Lipschitz no-lineales es abordado. Condiciones

? Los autores agradecen el apoyo financiero de CONACYT772057 y 270504, ademas al TECNM por sus proyectos.

suficientes estan dadas en terminos de DesigualdadesLineales Matriciales (LMIs) que aseguran la conver-gencia a cero del error de estimacion del estado conparametros conocidos. Por otro lado, un observadoradaptable hıbrido es disenado en Folin et al. (2016) yse demuestra que el error de estimacion parametricaconverge exponencialmente a cero si el periodo demuestreo es suficientemente pequeno y la condicionde excitacion persistente se satisface. Sobre este tema,en Farza et al. (2009) un observador adaptable fuepropuesto para estimar el estado y los parametrosdesconocidos los cuales convergen exponencialmentea cero bajo una condicion de excitacion persistentepara sistemas no-lineales uniformemente observablescon Multiples-Entradas-Multiples-Salidas (MIMO). Losautores tambien proponen un observador adaptablepara cierta clase de sistemas no-lineales MIMO uni-formemente observables con parametrizacion no-lineal,la cual provee convergencia exponencial a cero delerror de estimacion adaptable. Observadores adapta-bles usando retardos son propuestos en Oyvind et al.(2010). Los autores proponen un metodo para el re-diseno de observadores adaptables para sistemas no-lineales que incrementan el calculo computacional peroque otorgan mejores estimaciones de los parametrosy algunas propiedades de robustez. En este contextode parametrizacion no-lineal pocos resultados se en-cuentran disponibles en la literatura. Por ejemplo, enKojic and Annaswamy (2002) un control adaptable espropuesto para cierta clase de sistemas no-lineales conuna estructura triangular y parametrizacion no-lineal.

Memorias del Congreso Nacional de Control Automático

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 307 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

Martin

Typewritten Text

ISSN: 2594-2492

Este enfoque proporciona acotamiento final para tareasde regulacion y seguimiento. En Tyukin et al. (2013) ob-servadores adaptables son propuestos para cierta clasede sistemas con no linealidades en los parametros. Es-tos observadores pueden reconstruir asintoticamente elestado y los parametros desconocidos.

En el area de modos deslizantes, tambien se han pro-puesto diferentes observadores adaptables. En Zhangand Wang (2016) un observador adaptable por modosdeslizantes es disenado para un sistema de reduccionde seleccion catalıtica en un motor diesel despues desu tratamiento, obteniendo mejor desempeno con re-specto a un observador de Luenberger. En el problemade deteccion de fallas, un observador adaptable pormodos deslizantes es propuesto por Rahme and Meskin(2015) para solucionar el problema del diagnostico defallas en sensores en una turbina de gas industrial. EnLaghrouche et al. (2015) un observador de gananciaadaptable por modos deslizantes de segundo orden esdesarrollado para estimar los estados del sistema y losparametros desconocidos. El desempeno del observadorpropuesto se muestra en un sistema de alimentacion deaire por medio de simulaciones tipo hardware-in-the-loop. Un observador adaptable por modos deslizanteses propuesto en Yan and Edwards (2008) para ciertaclase de sistemas no lineales con parametros descono-cidos y fallas. Basados en las principales propiedadesde los observadores por modos deslizantes, una re-construccion asintotica de la falla es proporcionadatomando en cuenta que el grado relativo de la salida,con respecto a la falla, es igual a uno. Es importanteresaltar que la mayorıa de los observadores adaptablespropuestos estan basados en algoritmos de estimacionde parametros lineales. Adicionalmente, la mayorıa deestos trabajos no consideran perturbaciones externas yla velocidad de convergencia es asintotica o exponencial.En este contexto, en Efimov and Fradkov (2015) seha demostrado que no se pueden lograr mejoras, en lavelocidad de convergencia para el error de estimacion deparametros, simplemente incrementando las gananciasdel observador adaptable, pero sı cambiando la estruc-tura de dichos observadores.

En este artıculo un observador adaptable por modosdeslizantes es propuesto, basado en un algoritmo no-lineal de estimacion de parametros, para cierta clasede sistemas no-lineales. El observador adaptable no-lineal propuesto es una extension del propuesto enRıos et al. (2018). Esta extension incrementa la clasede sistemas no-lineales para los cuales el observadoradaptable puede ser aplicado permitiendo tener unamatriz de distribucion de parametros y terminos no-lineales dependiendo de todo el estado y la entrada. EnRıos et al. (2018), tales funciones dependen unicamentede la salida y de la entrada. El observador adaptablepropuesto garantiza el acotamiento final del error deestimacion tanto del estado como de los parametrosatenuando los efectos de las perturbaciones externas.La sıntesis del observador esta dada en terminos deLMIs. Las pruebas de convergencia son desarrolladaspor medio de la Teorıa de Lyapunov y la teorıa deestabilidad entrada-estado (ISS). Resultados de simu-

lacion muestran la eficiencia del observador adaptablepropuesto.

El artıculo tiene la siguiente estructura. El planteamientodel problema se encuentra en la Seccion 2. Los prelimi-nares son discutidos en la Seccion 3. Las ecuaciones delobservador y el analisis de sus propiedades ası como suspruebas de estabilidad son presentadas en la Seccion4. Los resultados de simulaciones y la comparacioncon el algoritmo lineal se muestran en la Seccion 5.Finalmente, las conclusiones se encuentran en la Seccion6.

Notacion: La norma Euclideana de un vector q ∈Rn es representada por ‖q‖. Para una matriz Q ∈Rm×n σmin(Q) =

√λmin(QTQ) y ‖Q‖ := σmax(Q) :=√

λmax(QTQ), donde λmax es el eigenvalor maximo yλmin el mınimo, σmax es el valor singular mas grande.Para una funcion Lebesgue medible u : R≥0 → Rm,se define ‖u‖(t0,t1) := ess supt∈(t0,t1) ‖u(t)‖, entonces

‖u‖∞ := ‖u‖(0,+∞) y el conjunto de funciones u con lapropiedad ‖u‖∞ < +∞ es representado por L∞. Parauna matriz Q : R≥0 → Rm×n ‖Q‖∞ := ‖Q‖(0,+∞).Una funcion continua α : R≥0 → R≥0 pertenece ala clase K si es estrictamente creciente y α(0) = 0;pertenece a la clase K∞ si ademas es radialmente noacotada. Una funcion continua β : R≥0 × R≥0 → R≥0

pertenece a la clase KL si, para cada valor fijo s,β(r, s) ∈ K con respecto a r, y para cada valor fijo r,β(r, s) es decreciente a cero con respecto a s. El termino∇V (x)f(x) representa la direccion de la derivada de unafuncion continuamente diferenciable V con respecto alcampo vectorial f evaluado en cualquier punto x.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Considere la siguiente clase de sistemas no-linealesinciertos,

x=Ax+ φ(x, u) +G(t, x, u)θ +Dω, (1)

y =Cx, (2)

donde x ∈ Rn es el vector de estado, y ∈ Rp es el vectorde salida, u ∈ Rm es el vector de entrada, θ ∈ Rq es elvector de parametros constantes desconocidos, y w ∈ Rles un vector de perturbaciones externas. Las matrices A,C y D son conocidas con dimensiones correspondientes;y ademas el par (A,C) es detectable. Las funcionesφ : Rn × Rm → Rn y G : R≥0 × Rn × Rm → Rn×qson conocidas y aseguran la unicidad y la existenciade las soluciones para el sistema (1) para cualquierperturbacion permisible. Es importante recalcar que enRıos et al. (2018) las funciones φ(x, u) yG(t, x, u) fueronconsideradas solo dependientes de la salida medible y yla entrada u.

El objetivo de este artıculo es estimar el vector de esta-dos y parametros, i.e., x y θ, respectivamente; utlizandounicamente la informacion de la salida, atenuando tantocomo sea posible los efectos de las perturbaciones exter-nas.

Se considera que el sistema (1)-(2) satisface las sigui-entes reestricciones.


Suposicion 1. Asuma que ||x||∞ < +∞, ||u||∞ <+∞, ||ω||∞ < +∞, y ||G(t, x(t), u(t)||∞ < +∞ paratodo t ≥ 0.

Suposicion 2. Las funciones φ(x, u) y G(t, x, u) songlobalmente Lipschitz con respecto a x; y el vector deparametros θ esta acotado; i.e., para toda t ≥ 0, todax, x ∈ Rn y toda u ∈ Rm, ||φ(x, u)−φ(x, u)|| ≤ Lφ||x−x||, ||G(t, x, u)−G(t, x, u)|| ≤ LG||x−x||, ||θ|| ≤ θ+, conLφ, LG, θ+ > 0 constantes positivas y conocidas.

3. PRELIMINARES

Considere el siguiente sistema no lineal,

x = f(x, ω), (3)

donde x ∈ Rn es el estado, ω ∈ Rl son las perturba-ciones externas, y f : Rn × Rl → Rn es una funcion lo-calmente Lipschitz. Para una condicion inicial x0 ∈ Rny una perturbacion externa ω ∈ L∞, la solucion esrepresentada por x(t, x0, ω) para cualquier t ≥ 0.

Las siguientes propiedades de estabilidad para el sis-tema (3) son introducidas (para mas detalles vease Rıoset al. (2018), Bernuau et al. (2013) y Jiang et al. (1996)).

Definicion 1. Bernuau et al. (2013). El sistema (3)se dice que es Estable Entrada-Estado (ISS) si paracualquier ω ∈ L∞ y cualquier x0 ∈ Rn existen ciertasfunciones β ∈ KL, γ ∈ K tal que

||x(t, x0, ω)|| ≤ β(||x0||, t) + γ(||ω||∞),∀t ≥ 0.

Considere el siguiente sistema interconectado no-lineal

x1 =f1(x1, x2, ω), (4)

x2 =f2(x1, x2, ω), (5)

donde xi ∈ Rni , ω ∈ Rl, y fi : Rn1 × Rn2 × Rl → Rniaseguran existencia de las soluciones del sistema almenos localmente, para i = 1, 2. Suponga que existenfunciones de Lyapunov ISS V1 y V2, para (4) y (5), re-spectivamente; y algunas funciones ψi1, ψi2, ψi3 ∈ K∞,γi, χi ∈ K, tales que, para toda xi ∈ Rni y cualquierω ∈ L∞, las siguientes condiciones se satisfacen:

ψi1(||xi||) ≤ Vi(xi) ≤ ψi2(||xi||), i = 1, 2, (6)

V1(x1) ≥ max[χ1(V2(x2)), γ1(||ω||)]⇒ ∇V1(x1)f1(x1, x2, ω) ≤ −ψ13(V1(x1)), (7)

V2(x2) ≥ max[χ2(V1(x1)), γ2(||ω||)]⇒ ∇V2(x2)f2(x1, x2, ω) ≤ −ψ23(V2(x2)). (8)

De esta manera, el siguiente resultado de pequenasganancias no-lineal es introducido en terminos depropiedades de funciones de Lyapunov ISS para el sis-tema interconectado (4)-(5).

Teorema 1. Jiang et al. (1996). Suponga que el sistemainterconectado (4)-(5) tiene funciones de Lyapunov ISSV1 y V2 que satisfacen las condiciones (6)-(8). Entonces,el sistema (4)-(5) es ISS si

χ1 χ2(r) < r, ∀r > 0. (9)

4. OBSERVADOR ADAPTABLE POR MODOSDESLIZANTES

Considere el siguiente observador adaptable

Ω = (A− LC)Ω +G(t, x, u), (10)

˙θ = ΓΩTCT dy − Cxcα, (11)

˙x = Ax+ φ(x, u) +G(t, x, u)θ + L(y − Cx)

+ kDsign[F (y − Cx)] + Ω˙θ, (12)

donde la funcion dacα := |a|αsign(a), para cualquierα ∈ [0, 1) y cualquier a ∈ R; y la funcion sign[q] := q

||q|| ,

para cualquier q ∈ Rm, ademas θ ∈ Rq y x ∈ Rn sonlas estimaciones de θ y x, respectivamente; y Ω ∈ Rn×qes una variable auxiliar. Si la senal G es de excitacionpersistente (PE), entonces, dada la propiedad de filtrode la variable Ω, la variable CΩ tambien es PE. Se puedeapreciar que la funcion dy−Cxcα en (11) es entendida enun sentido elemento-a elemento. La matriz de gananciadel observador L ∈ Rn×p tiene que ser seleccionadatal que (A − LC) sea Hurwitz, Γ = ΓT > 0 ∈ Rq×q,mientras F ∈ Rl×p y k ≥ 0 son disenadas mas adelante.Considere que la siguiente suposicion se satisface,

Suposicion 3. Asuma que 0 < %min ≤ σmin(CΩ(t))para toda t ≥ 0 y ||CΩ||∞ ≤ %max < +∞.

La existencia de %max esta garantizada por la Suposicion2 y el hecho de que la matriz (A−LC) es Hurwitz; mien-tras que si la matriz CΩ tiene rango columna completo,entonces la existencia de %min se asegura. Los valoresde %max y %min pueden ser evaluados numericamentedurante experimentos.

4.1 Algoritmo de Identificacion de Parametros no-lineal

Se define el error θ := θ−θ y δ := x+Ωθ con x := x− x.Entonces, la dinamica del error esta dada por:

˙θ = −ΓΩTCT dCΩθ − Cδcα, (13)

δ = (A− LC)δ +D(ω − ksign[F (y − Cx)])

+ ∆φ(x, x, u) + ∆g(t, x, x, u)θ, (14)

donde ∆φ(x, x, u) := φ(x, u)−φ(x, u) y ∆g(t, x, x, u) :=G(t, x, u)−G(t, x, u). Las propiedades de convergenciaISS de la dinamica del error (13) con respecto a laentrada δ para α ∈ [0, 1) estan dadas por los siguientesresultados.

Lema 1. Rıos et al. (2018). Si la Suposicion 3 sesatisface; entonces, la dinamica del error (13), conα ∈ [0, 1) y Γ = ΓT > 0, es ISS con respecto a δ ylas trayectorias satisfacen:

||θ(t)|| ≤√r1

(rα−12

2 ||θ0||1−α + ψθt

) 11−α

, ∀t ≤ Tθ0 , (15)

||θ(t)|| ≤√

r1

r2µθ, ∀t > Tθ0

, (16)

donde θ0 := θ(0), ψθ := 2α−1α2%α+1min (2r2)

α+12 /2(1 + α),

r1 := 2λmax(Γ), r2 := 2λmin(Γ) y

µθ =p

1α+1 [(1 + α)α + 22−ααα−1]

1α+1

%min(1 + α)αα+1

||C||||δ||∞,

Tθ0≤ max

[0,

21−α(1 + α)(||θ0||1−α − µ1−α

θ

)α2%α+1

min r2

],

para cualquier θ0 ∈ Rq con p la dimension de la salida.


Los resultados del Lema 1 establecen que las trayecto-rias de la dinamica del error (13), i.e., θ(t), entran den-

tro de la cota√r1/r2µθ en tiempo finito para cualquier

α ∈ [0, 1). Es claro que el tamano de la cota depende deα. En el mismo contexto, el siguiente Lema presenta laspropiedades de convergencia ISS para la dinamica delerror (14) con respecto a las entradas θ y ω.

Lema 2. Asuma que las Suposiciones 1 y 2 se cumplen.Suponga que k = ‖ω‖∞ y que las siguientes desigual-dades matriciales

PD ≤ CTFT , (17)ζ

β

2In P P

? −Λ−1 0 0? ? −Λ 0

? ? ? − ε

η22

In

≤ 0, (18)

ζ := (A− LC)TP + P (A− LC) + η1P + σCTC,

tienen solucion para 0 < PT = P ∈ Rn×n, F ∈ Rl×p,L ∈ Rn×p, 0 < ΛT = Λ ∈ Rn×n, η1 := 2(Lφ + LGθ

+),η2 := η1||Ω||∞, y algunas constantes positivas β, ε, σ >0. Entonces, el sistema (14) es ISS con respecto a las

entradas θ y ω. Ademas, las trayectorias satisfacen:

||δ(t)|| ≤e−ψδ2 t

√λmax(P )

λmin(P )||δ0||, ∀t ≤ Tδ0 , (19)

||δ(t)|| ≤

√λmax(P )

λmin(P )µδ, ∀t > Tδ0 , (20)

donde δ0 := δ(0), ψδ := αδ(1 − ρ)/λmax(P ), αδ :=βλmin(P ) + σ‖C‖2/2, ρ ∈ (0, 1) y

µδ =

√2ε+ σ%2

max

2ραδ||θ||∞ +

√8||F ||2ραδσ

||ω||∞,

Tδ0 ≤ max

(0,

2[ln(||δ0||)− ln(µδ)]

ψδ

),

para cualquier δ0 ∈ Rn.

Es claro que el tamano de µδ puede ser minimizadopara atenuar los efectos de ω. Por otro lado, noteque la condicion (17) introduce algunas reestriccionesestructurales en el sistema. Particularmente, se requiereque la tripleta (A,D,C) no tenga zeros invariantes, yque el grado relativo de la salida y con respecto a laentrada ω sea igual a uno. La solucion de (18) puede serasegurada para valores pequenos de η1 y η2, dado que elpar (A,C) es detectable. En este sentido, es importantemencionar que la desigualdad matricial (20) puede serfacilmente reescrita para obtener una LMI con respectoa las matrices P y Y := PL fijando los valores para β,σ, ε y Λ.

4.2 Convergencia del Observador Adaptable

Para mostrar las propiedades de convergencia del ob-servador adaptable (10)-(12), los resultados dados porlos Lemas 1, 2, y Teorema 1 son aplicados. El siguienteresultado demuestra que el sistema del error interconec-tado (13)-(14) es ISS con respecto a las perturbacionesexternas ω, para cualquier α ∈ [0, 1).

Teorema 2. Si las Suposiciones 1, 2 y 3 se satisfaceny las desigualdades matriciales (17), (18) y(

(pκδ)2

α+1 ‖C‖2(2ε+ σ%2max)λmin(P )r1

%2min(1 + α)

2αα+1λmax(P )ραδσ

)< 1, (21)

tienen solucion para 0 < PT = P ∈ Rn×n, F ∈ Rl×p,L ∈ Rn×p, 0 < ΛT = Λ ∈ Rn×n, 0 < ΓT = Γ ∈ Rq×q,constantes αδ = βλmin(P ) + σ‖C‖2/2, η1 = 2(Lφ +Lgθ

+), η2 = η1||Ω||∞, κδ := (1 + α)α + 22−ααα−1,β, ε, σ > 0, α ∈ [0, 1), r1 = 2λmax(Γ), ρ ∈ (0, 1)y p la dimension de la salida. Entonces, el sistemainterconectado del error (13)-(14) es ISS con respectoa la entrada ω.

El Teorema 2 implica que la estimacion del error e :=x− x = δ+ Ωθ es ISS con respecto a la entrada ω, paracualquier α ∈ [0, 1), dado que

||e(t)|| ≤ (1 + ||Ω||)∥∥∥∥[θ(t)δ(t)

]∥∥∥∥ , ∀t ≥ 0.

En el caso ideal, i.e., ω ≡ 0 y k = 0, las estimaciones

θ y x convergen a sus valores reales y la velocidad deconvergencia de θ es mas rapida que exponencial paracualquier α ∈ [0, 1), i.e., tiempo finito. Para el casoperturbado, i.e., ω 6≡ 0 con k = ||ω||∞, el efecto de lapertubacion externa ω esta atenuado completamente.

5. RESULTADOS DE SIMULACION

Consideremos el sistema de un Quadrotor Garcıa et al.(2013) representado por la siguiente dinamica,

mx= uz(cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ)− kxx,my = uz(cosφ sin θ sinψ − sinφ cosψ)− ky y,mz = uz(cosφ cos θ)−mg − kz z,Jxθ= uθ + (Jy − Jz)φψ,Jyφ= uφ + (Jz − Jx)θψ,

Jzψ = uψ + (Jx − Jy)φθ,

donde x, y, z ∈ R definen la posicion del centro demasa del Quadrotor, θ, φ, ψ ∈ R son los angulos decabeceo, balanceo y guinada respectivamente; las en-tradas de control uθ, uψ, uφ, uz ∈ R, ademas m ∈R≥0 corresponde a la masa del Quadrotor y g esla aceleracion de la gravedad, Jx, Jy, Jz represen-tan los momentos de inercia en su correspondienteeje. Finalmente kx, ky, kz representan los coeficien-tes de arrastre los cuales se consideran constantes yseran los parametros desconocidos a estimar. Se definex = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12)T =

(x, x, y, y, z, z, θ, θ, φ, φ, ψ, ψ)T . El sistema se puede ree-scribir como en (1) y (2) con las siguientes matrices yfunciones,

A = diag(I , I , I , I , I , I), I =

[0 10 0

],


φ(x, u) =

0uz

m(cosx9 sinx7 cosx11 + sinx9 sinx11)

0uz

m(cosx9 sinx7 sinx11 + sinx9 cosx11)

0

−g +uz

m(cosx9 cosx7)

0uθ

Jx+Jy − JzJx

x10x12

0uφ

Jy+Jz − JxJy

x8x12

0uψ

Jx+Jx − JyJz

x8x10

,

G(t, x, u) =

0 0 0

−x2

m0 0

0 0 0

0 −x4

m0

0 0 0

0 0 −x6

m06×3

, C =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

.

No se consideran perturbaciones externas, por lo tantoω = 0. Los valores numericos de los parametros delsistema son Jx =0.032[Kgm2], Jy = 0.030[Kgm2],Jz =0.040[Kgm2], g = 9.8

[m/s2

], m = 1 [Kg] y kx, ky, kz

=1.

Puede ser demostrado que el sistema satisface las Su-posiciones 1 y 2. Se considera que el Quadrotor realizala tarea de seguimiento a una altura constante mientrasque las condiciones iniciales para el observador adapt-

able (10)-(12) estan dadas por Ω(0) = 0, θ(0) = 0 yx(0) = 1.

Ajustando Γ = diag(100, 100, 10000), k = 1 y Λ =I12, se utiliza el paquete SeDuMi a traves de Yalmipen Matlab para encontrar la solucion de las LMIs(17) y (18), y entonces, verificar (21). La solucion esencontrada con Lφ1 = 2, LG1 = 1, ‖Ω‖∞ = 0.577,

P = diag(P1, P2),

P1 =

14.5 −0.9 0 0 −0.1 0 0 0

? 0.34 0 0 0 0 0 0

? ? 14.3 −0.9 0.1 0 0 0

? ? ? 0.34 0 0 0 0

? ? ? ? 14.7 −0.9 0 0

? ? ? ? ? 0.34 0 0

? ? ? ? ? ? 14.7 −0.9

? ? ? ? ? ? ? 0.34

,

P2 =

[14.4 −0.9 0 0

? 0.34 0 0

? ? 14.7 −0.9

? ? ? 0.34

]

L =

25.2 0 0.32 −0.02 −0.09 0.0174.4 0 0.56 −0.01 −0.14 0.03−0.01 25.1 −0.31 0.05 0.07 0−0.05 73.9 −0.52 0.1 0.14 0−0.45 0.48 25.4 −0.1 −0.01 0−1.59 1.58 75.4 −0.17 −0.03 00.04 −0.07 0.14 25.3 −0.03 −0.020.16 −0.25 0.49 75.1 −0.06 −0.050.15 −0.1 0.01 0.04 25.2 0.020.56 −0.34 0.02 0.15 74.2 0.04−0.02 −0.01 0.01 0.03 −0.04 25.3−0.9 −0.05 0.04 0.09 −0.12 75

,

β = 0.4192, ε = 833.3063, σ = 209.67.

Las simulaciones correspondientes fueron hechas enMatlab con el metodo de integracion de Euler y untiempo de muestreo igual a 0.001. Basado en simu-laciones, se puede demostrar que la Suposicion 3 semantiene con %max = 0.008, %min = 0.001 y ajustandoρ = 0.9. Tomando los valores correspondientes, se de-muestra que las condiciones del Teorema 2 se satisfacen.Los resultados de la simulacion fueron realizados paradistintos valores de α ∈ [0, 1) los cuales son mostradosen las Figuras 1, 2 y 3. Se puede ver que los estimadosde los parametros convergen a su valor real, ademas dedemostrar que converge mas rapido que el algoritmolineal, i.e., α = 1.

Para mostrar el desempeo del algoritmo propuesto seintroduce el siguiente ındice de error:

eRMS(t) =

(1

∆T

∫ t

t−∆t

||θ(τ), e(τ)||2dτ) 1

2

,

donde ∆T = 2 es el ancho de la ventana del tiempo en elcual la senal correspondiente es evaluada. Los resultadosse muestran en la Figura 4. En este caso, se muestra quecon α = 0 se obtiene el mejor resultado.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

0

1

2

Tiempo [s]

[m/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.4−0.2

00.20.40.60.8

Tiempo [s]

[m/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

4

Tiempo [s]

[m/s]

x2 x2 with α = 0 x2 with α = 0.5 x2 with α = 1



Figure 1. Estimacion de las velocidades lineales.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.04

−0.02

0

Tiempo [s]

[rad/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

0

10

Tiempo [s]

[rad/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

Tiempo [s]

[rad/s]




Figure 2. Estimacion de las velocidades angulares.


0 10 20 30 40 50 60 700

1

2

Tiempo [s]

[Kg/s]

0 10 20 30 40 50 60 700

1

2

Tiempo [s]

[Kg/s]

0 10 20 30 40 50 60 700

1

2

Tiempo [s]

[Kg/s]

θ1 = 1 θ1 with α = 0 θ1 with α = 0.5 θ1 with α = 1



Figure 3. Estimacion de los parametros.

0 10 20 30 40 50 60 70 8010

−2

10−1

100

101

Tiempo [s]

α = 0α = 0.5α = 1

Figure 4. Indice del error de estimacion eRMS .

6. CONCLUSIONES

Este artıculo contribuye con un Observador Adaptablepor Modos Deslizantes basado en un algoritmo de esti-macion de parametros no-lineal para cierta clase de sis-temas no-lineales. El Observador Adaptable propuestogarantiza el acotamiento final del error de estimaciontanto del estado como de los parametros atenuando losefectos de las perturbaciones externas. La sıntesis delobservador esta presentada en terminos de LMIs. Laspruebas de convergencia son desarrolladas por mediode la teorıa de Lyapunov y la teorıa de estabilidadISS. Resultados de simulacion muestran la eficiencia delObservador Adaptable propuesto.

REFERENCES

Astolfi, A., Karaglannis, D., and Ortega, R. (2008).Nonlinear and Adaptive Control with Applications.Springer-Verlang London UK.

Bernuau, E., Polyakov, A., Efimov, D., and Perruqueti,W. (2013). Verification of ISS, iISS and IOSS prop-erties applying wighted homogeneity. System andControl Letters, 62, 1159–1167.

Besancon, G. (2007). Nonlinear Observers and Appli-cation. Springer-Verlang Berlin Heidelberg.

Efimov, D. and Fradkov, A. (2015). Design of impulsiveadaptive observers for improvement of persistency ofexcitation. Int J Adapt Control Signal, 29, 765–782.

Ekramian, M., Sheikholeslam, F., Hosseinnia, S., andYazdanpanah, M. (2013). Adaptive state observerfor Lipschitz nonlinear systems. Systems and controlletters, 62, 319–323.

Farza, M., M Saad, M., Maatoug, T., and Kamoun,M. (2009). Adaptive observers for nonlinear param-eterized class of nonlinear systems. Automatica., 45,2292–2299.

Folin, T., Ahmed-Ali, T., Giri, F., Burlion, L., andLamnabhi-Lagarrigue, F. (2016). Sampled-dataadaptive observer for a class of state-affine output-injection nonlinear systems. IEEE Transactions onAutomatic Control, 61, 462–467.

Garcıa, R., Dzul, E., Lozano, R., and Pegard, C. (2013).Quad Rotorcraft Control. Springer-Verlag London,London.

Jiang, Z., Mareels, I., and Wang, Y. (1996). A Lyapunovformulation of the nonlinear small-gain theorem forinterconnected ISS systems. Automatica, 32, 1211–1215.

Kojic, A. and Annaswamy, A. (2002). Adaptive controlof nonlinearly parameterized systems with a triangu-lar structure. Automatica, 38, 115–123.

Laghrouche, S., Liu, J., Ahmed, S., Harmouche, M.,and Wack, M. (2015). Adaptive second-order sliding-mode observer-based fault reconstrucion for PEMfuel cell air-feed system. IEEE Transactions onControl Systems Technology, 23, 1098–1109.

Oyvind, N., Morten, A.O., and Glenn-Ole, K. (2010).Redesign of adaptive observers for improved param-eter identification in nonlinear systems. Automatica,47, 403–410.

Pu, Z., Yuan, R., Yi, J., and Tan, X. (2015). A classof adaptive extended state observers for nonlineardisturbed systems. IEEE Transactions on IndustrialElectronics, 62, 5858–5869.

Rahme, S. and Meskin, N. (2015). Adaptive sliding-mode observer for sensor fault diagnosis of an indus-trial gas turbine. Control Engineering Practice, 38,57–74.

Rıos, H., Efimov, D., and Perruqueti, W. (2018). Anadaptive sliding-mode observer for a class of un-certain nonlinear systems. International Journal ofAdaptive Control and Signal Processing, 32, 511–527.

Tyukin, I., Nijmeijer, H., and van Leeuwen, C. (2013).Adaptive observers and parameter estimation for aclass of systems nonlinear in the parameters. Auto-matica, 49, 2409–2423.

Yan, X. and Edwards, C. (2008). Adaptive sliding-mode-observer-based fault reconstruction for nonlin-eary systems with parametric unvertainties. IEEETrans Ind Electron, 55, 4029–4036.

Zhang, H. and Wang, J. (2016). Adaptive sliding-mode observer design for a selective catalytic reduc-tion system of ground-vehicle diesel engines. IEEETransactions on Mechatronics, 21, 2027–2038.


Documents

EstimaciÃ³n Adaptable Para Sistemas No-Lineales Inciertos