Estimación de Matrices de Covarianza con un Modelo VAR

Estimación de Matrices de Covarianza con un Modelo VAR-MARCH para

Tres Series de Tiempo Financieras

Camilo Botía Chaparro*

Departamento de Ingeniería Industrial, Universidad de los Andes

Noviembre 15 de 2008

Resumen

En este trabajo se estima un modelo VAR-ARCH multivariado para tres series de tiempo financieras. El objetivo es

comparar la matriz de covarianzas calibrada contra una aplicación del método de ponderación exponencial de media

móvil (EWMA). Se presenta un resumen de la teoría, la metodología utilizada y la manera en la que se evalúa la

capacidad de pronosticar una variable que no es directamente observable. Finalmente, se presentan conclusiones y

recomendaciones. La motivación para trabajar en la estimación de matrices de covarianza es su utilización en los

procesos de selección de portafolios (Asset Allocation). La evaluación del modelo muestra que los modelos VAR-GARCH

tienen un mejor desempeño que el modelo EWMA en los pronósticos a 1 año.

Palabras clave: VAR, MARCH, modelos de volatilidad, EWMA, Asset Allocation.

1 Introducción

Las matrices de covarianza entre activos financieros son entradas esenciales en muchas de las

actividades usuales de la administración financiera. Por ejemplo, los modelos de valor en riesgo

(VaR) para portafolios utilizan fuertemente las covarianzas entre los activos como entrada para

estimar la pérdida potencial en un portafolio. De otro lado, la cobertura financiera de posiciones

requiere estimadores de las correlaciones entre los activos que participan de la cobertura.

Además, a medida que las correlaciones entre los activos cambian también lo debe hacer la

cobertura financiera. La estimación de volatilidades juega un papel importante en la valoración de

opciones financieras.

Hoy en día es bastante conocido y aceptado que la volatilidad cambia a lo largo del tiempo y se

propaga a través de diferentes mercados. La habilidad de reconocer esta característica con un

modelo multivariado permite obtener resultados más cercanos a la realidad que los modelos

unidimensionales. En torno a la estimación de matrices de correlaciones se ha desarrollado una

gran cantidad de artículos académicos y métodos empíricos. En la práctica, se utilizan modelos

sencillos como estimación de correlaciones a futuro con las correlaciones observadas en la historia

y métodos de ponderación exponencial. Modelos más complejos como los de volatilidad

estocástica han sido investigados extensamente por los econometristas. También se han

*[email protected]

2 C. Botía

desarrollado modelos de varianza condicional heterocedástica multivariados, por ejemplo, los

modelos multivariados autorregresivos de heterocedasticidad condicional y modelos

multivariados generalizados autorregresivos de heterocedasticidad condicional (MARCH y

MGARCH, respectivamente).

La aplicación que motiva este trabajo es el posicionamiento de activos o selección de portafolios

(Asset Allocation), el cual depende, entre otras entradas, de la estimación de la matriz de

covarianzas entre los activos considerados. Una estimación correcta de la matriz de covarianzas

permite seleccionar portafolios que sean coherentes con las condiciones de mercado esperadas y

realizadas, y que, por lo tanto, produzcan mayor retorno por unidad de riesgo, es decir, sean más

eficientes. En este trabajo se discuten modelos para la varianza condicional y se aplica uno de

estos a índices de bonos de gobierno. Específicamente, se trabaja con ocho índices de bonos de

gobierno de Estados Unidos, Alemania y Japón construidos por Citigroup.

El objetivo de este trabajo es evaluar la pertinencia de la utilización de modelos VAR-MARCH para

realizar la estimación de las matrices de covarianzas frente a un modelo de ponderación

exponencial de media móvil (EWMA). Se utilizan los modelos multivariados ARCH porque tienen la

capacidad de capturar la dinámica de la matriz de covarianzas a lo largo del tiempo, que es muy

importante en series de tiempo financieras, pues la varianza condicional en general no es

constante. En este trabajo se presenta un resumen de la teoría y una aplicación del modelo a tres

series de tiempo financieras. De la evaluación del modelo se concluye que la implementación del

modelo VAR-MARCH pronostica mejor la matriz de covarianzas anual que el método EWMA.

El trabajo está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 se resume la teoría de modelos

VAR y MARCH, en particular se presenta el modelo BEKK diagonal. En la sección 3 se expone la

metodología utilizada para la estimación del modelo. En la sección 4 se presentan los resultados

obtenidos durante el proceso de estimación del modelo. En la sección 5 se realiza la evaluación de

resultados basada en Franses y Van Dijk1. En la sección 6 se desarrollan las conclusiones sobre la

evaluación del método VAR-MARCH y en la sección 7 se presentan recomendaciones para

próximos trabajos.

2 Modelo VAR-MGARCH

En esta sección se presenta un resumen de la teoría relacionada con los modelos VAR (proceso

autorregresivo vectorial) y los modelos MARCH (modelos multivariados de heterocedasticidad

condicional autorregresivos). Este contenido se encuentra en Lütkepolh2 y Tsay3.

1 FRANCES, Philip Hans y VAN DIJK, Dick. Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambridge, UK

; New York : Cambridge University Press, 2000. p. 187-199 2 LÜTKEPOHL, Helmut. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlín ; New York : Springer, 2005.

p. 13-578 3 TSAY, Ruey S.. Analysis of Financial Time Series. 2 ed. Hoboken, N.J. : Wiley, 2005. p. 339-489

Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 3

Modelos VAR(p)

Se define un proceso VAR(p) o proceso autorregresivo vectorial de orden p como:

�� = � + �� + ⋯ + �� + �� , � = 0, ±1, ±2, … , (2.1)

en donde �� = (�� , … , ��)′ es un vector aleatorio de dimensión (� × 1) y los coeficientes �� son matrices de coeficientes constantes de dimensión (� × �), �� = (��, … , ��)′ es un vector

de constantes de dimensión (� × 1) que permite obtener procesos con media diferente de cero.

Finalmente, �� = (��, … , ��)� es un ruido blanco K-dimensional, es decir, �� = 0, ��′�� =� y ��′!� = 0 para " ≠ �. La matriz de covarianzas � se supone no singular.

El proceso VAR(p) descrito por la ecuación (2.1) se dice que es estable si

det'(� − ��* − ⋯ − �*+ ≠ 0 ,-.- |*| ≤ 1. (2.2)

Esta condición se conoce como condición de estabilidad. El polinomio det'(� − ��* − ⋯ − �*+

se conoce como polinomio característico invertido.

Un proceso estocástico es estacionario si el primer y segundo momento son invariantes en el

tiempo. Es decir, �� es estacionario si

�� = 1 ∀ � (2.3)

y

��(�� − 1)(��3 − 1)′� = 45(ℎ) = 45(−ℎ)� ℎ = 0,1,2, … , ∀ � . (2.4)

Todo proceso VAR estable es estacionario. Esto se demuestra calculando directamente la función

de autocorrelación simple (fas) (ver Lütkepolh4). Sin embargo, el converso no es cierto. Esto quiere

decir que existen procesos VAR estacionarios que no son estables.

a. Pronósticos de modelos VAR(p)

Suponga que �� = (�� , … , ��)� es un proceso VAR(p) estable. Se calculará el pronóstico con el

error cuadrático medio (MSE) mínimo. Para esto, suponga que ��7 (ℎ) es un pronóstico para ��, ℎ

períodos adelante partir del período t, entonces:

en donde se utilizó que �8��93 − ��(��93)� × ��(��93) − ��7 (ℎ)�: = 0 porque la expresión ��93 − ��(��93) es una función de las innovaciones después del período t y por lo tanto no se

4 LÜTKEPOHL, Op. cit., p. 24

;<��7 (ℎ)� = �8��93 − ��(��93) + ��(��93) − ��7 (ℎ)�× ��93 − ��(��93) + ��(��93) − ��7 (ℎ)�: (2.5)

;<��7 (ℎ)� = ;<��(��93)�+ �8��(��93) − ��7 (ℎ)� × ��(��93) − ��7 (ℎ)�: (2.6)

4 C. Botía

encuentra correlacionada con los términos en ��(��93) − ��7 (ℎ), que son funciones de �!, " ≤ �.

De la ecuación anterior se observa que ;<��7 (ℎ)� alcanza su valor mínimo para ��7 (ℎ) =��(��93), por lo que queda demostrado que el pronóstico condicional con el mínimo MSE es el

valor esperado condicional, ��(��93).

Por la optimalidad de ��(��93) se concluye que

es el pronóstico óptimo h períodos adelante de un proceso VAR(p), si se cumple que �� es un ruido

blanco independiente (lo que garantiza que ��(��93) = 0, para ℎ > 0).

Modelos ARCH(q) Multivariados ( MARCH(q))

En el modelo VAR(p) presentado anteriormente se supone que la matriz de covarianzas de la

distribución condicional es invariante en el tiempo. Sin embargo, cuando se analizan series de

tiempo financieras, este supuesto es problemático. Para ver algunas implicaciones de la anterior

afirmación se recomienda consultar Lütkepolh5 y Tsay6. Por esta razón surgen modelos para la

varianza condicional.

Suponga que �� = (��, … , ��)� es un proceso vectorial de dimensión K con media cero y no

correlacionado serialmente. Es decir, �� puede corresponder al proceso residual de un modelo

dinámico (como un VAR(p)). Además, suponga que �� se puede representar como

�� = ��|��/? @� (2.8)

en donde @� es un ruido blanco K dimensional independiente e idénticamente distribuido (i.i.d.),

@�~B. B. D(0, (�), y ��|�� es la matriz de covarianza condicional de ��, dado ��, ��?, … . La

matriz ��|�� es se supone positiva definida y el proceso �� tiene una distribución condicional

dado E�� ∶= 8��, ��?, … : de la forma

��|E��~'0, ��|��+. (2.9)

Se dice que ��|�� sigue un proceso MARCH(q) o proceso multivariado de heterocedasticidad

condicional autorregresiva de orden q si

vech'��|��+ = JK + 4�vech(��′��) + ⋯ + 4Lvech'��L�′��L+ (2.10)

en donde vech denota el operador matricial que devuelve un vector formado por las columnas de

una matriz cuadrada tomadas desde la diagonal principal hasta la última fila (ver Apéndice A), JK

es un vector de dimensión �? �(� + 1) constante y los 4M´" son matrices constantes de dimensión

�? �(� + 1) × �

? �(� + 1).

5 Ibid., p. 557.

6 TSAY, Op. cit., p. 443-446

��(��93) = � + ��(��93��) + ⋯ + ��(��93�) (2.7)


El proceso MARCH(q) es estacionario si y sólo si todos los eigenvalores de la matriz (2.11) tienen

un módulo menor que 1 (ver Engle y Kroner7).

O 4ML

MP� (2.11)

Una versión que utiliza un menor número de parámetros es el modelo conocido como MARCH(q)

diagonal (DMARCH(q)), propuesto por Bollerslev, Engle y Wooldridge8, en el que las matrices 4M

son diagonales. Estos procesos pueden generar patrones de volatilidad muy variados, aunque

tiene problemas técnicos como el no garantizar que las matrices de varianza condicional ��|��

sean positivas definidas, entre otros.

a. Modelo correlación condicional constante (CCC)

En este modelo, propuesto por Bollerslev9 en 1990, se simplifica el modelo general MARCH(q)

suponiendo que las correlaciones condicionales son invariantes con el tiempo. Esto implica que la

covarianza condicional '��|��+�M es proporcional al producto entre las desviaciones estándar

condicionales de �� y �M�. Adicionalmente, se supone que las varianzas condicionales siguen un

proceso GARCH(1,1) univariado. Es decir

Q��,�? = R�� + S��,��? + T��Q��,��? B = 1, … , � (2.12)

Q�M,�? = U�MQ��,�QMM,� ∀ B ≠ V. (2.13)

o en forma matricial

��|�� = W��/?XW��/? (2.14)

en donde W� es una matriz diagonal de dimensión � × � compuesta por las varianzas

condicionales Q�M,�? y R es una matriz de dimensión � × � compuesta por las correlaciones

constantes, U�M. La matriz ��|�� resulta positiva definida si los modelos GARCH univariados

producen varianzas condicionales positivas y si la matriz de correlación R es positiva definida.

b. Modelo BEKK diagonal

Para garantizar que las matrices de covarianza condicional ΣZ|Z�� sean positivas definidas, Baba et

al.10 proponen la siguiente variante del modelo MARCH(q)

7 ENGLE, R. F. y KRONER, K. F.. Multivariate Simultaneous Generalized GARCH. En : Econometric Theory. Vol. 11 (1995). p. 122-150 8 BOLLERSLEV, T.; ENGLE, R. F. y WOOLDRIDGE, J. M. A Capital Asset Pricing Model with Time-Varying

Covariances. En : Journal of Political Economy. Vol. 96 (1988); p. 116-131. 9 BOLLERSLEV, T. Modeling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate Generalized

ARCH Approach. En : Review of Economics and Statistics. Vol. 72 (1990). p. 498-505 10

BABA, Y., et al. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH. En : Mimeo. Department of Economics, University of California, San Diego. 1991. Manuscrito no publicado.

6 C. Botía

��|�� = [K∗′[K∗ + 4�∗′��′��4�∗ + ⋯ + 4L∗′��L�′��L4L∗ (2.15)

en donde las matrices [K∗ y 4M∗′" son de dimensión (� × �), y la matriz [K∗ es triangular. Este

modelo se denominó BEKK y tiene la ventaja de ser relativamente parsimonioso pues requiere

menor número de parámetros que la versión general del MARCH(q). Adicionalmente, este modelo

garantiza la unicidad de representación (ver Lütkepolh11).

El modelo BEKK diagonal tiene la misma estructura presentada en el párrafo anterior con la

diferencia de que las matrices 4M∗′" son todas diagonales. Esta característica lo hace aún más

parsimonioso.

c. Pronósticos con modelos MARCH(q)

Considere un modelo MARCH(q) dado por la siguiente ecuación

��|�� = JK + 4��′�� + ⋯ + 4L��L�′��L. (2.16)

Defina la variable �� dada por

�� = ��′� − ��|��. (2.17)

Entonces la ecuación para el proceso MARCH(q) se puede reescribir como

��′� = JK + 4��′�� + ⋯ + 4L��L�′��L + ��. (2.18)

De la definición de ��, se sabe que es un proceso que no está correlacionado serialmente y que

por lo tanto la ecuación anterior corresponde a un modelo VAR(q) para 8��′�:. Entonces los

pronósticos para el modelo MARCH(q) se pueden obtener de forma análoga a los pronósticos de

un modelo VAR(q), explicado anteriormente.

3 Metodología para implementación de un modelo VAR-MARCH con tres series de

tiempo

En esta sección se presenta una descripción de la metodología utilizada para la implementación de

un modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo financieras. Esta metodología está basada en la

metodología propuesta en Box y Jenkins12 y Tsay13.

Datos utilizados

Se utilizaron datos correspondientes a series de precios de índices de bonos de gobierno

elaborados por Citigroup. En particular, se trabajó con ocho series de tiempo correspondientes a

11

LÜTKEPOHL, Op. cit., p. 565 12

BOX, G.E.P y JENKINS, G.. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco, Calf. : Holden-Dady, 1970. 553 p. 13TSAY, Op. cit., p. 471


índices de bonos de gobierno de Estados Unidos, Alemania y Japón, de vencimientos entre 1 y 10

años. Una descripción más completa de los datos utilizados se puede encontrar en

www.yieldbook.com o en el Apéndice B. Los datos fueron obtenidos de Bloomberg. La

periodicidad es mensual desde diciembre de 1984 hasta septiembre de 2008.

Búsqueda de evidencia de varianza condicional

Para determinar si las series de tiempo pueden ser modeladas por medio de modelos ARCH

multivariados, se examina en primer lugar la evidencia de heterocedasticidad condicional en

modelos univariados. Para esto, es necesario estimar modelos ARIMA que describan el proceso de

la media del proceso para cada una de las series analizadas y con los residuos del modelo elaborar

diferentes pruebas que permitan determinar si existe o no varianza condicional heterocedástica.

Se utiliza la metodología propuesta en Box y Jenkins14, y a continuación se resumen los cuatro

pasos que la componen (para una exposición detallada de la metodología ver Guerrero15).

1. Identificación: En este paso se estabiliza la varianza mediante la utilización de una

transformación adecuada. También se lleva a cabo una estabilización de nivel por medio

de la toma de diferencias. Con la ayuda de la función de autocorrelación simple (fas) y la

función de autocorrelación parcial (fap) se identifica un primer candidato para el orden de

la parte autorregresiva y el orden de media móvil.

2. Estimación: Se procede a estimar el modelo. En este trabajo se utilizó el programa Eviews

para realizar la estimación. Para la estimación se trabajó con los datos mensuales de los

índices desde diciembre de 1984 hasta septiembre de 2005. Se preservaron los últimos

tres años de datos para realizar las correspondientes evaluaciones de pronóstico.

3. Verificación: Se analizan los residuos para corroborar los supuestos básicos del modelo. En

particular, se observa si los residuos tienen media cero, no están correlacionados (se usan

la fas, la fap, pruebas LM y Portmanteau) y no existen observaciones aberrantes. Además

se verifica que el modelo considerado sea parsimonioso, admisible (estructura ARMA

estacionaria e invertible) y estable en los parámetros. Si alguna de estas condiciones no se

verifica, se procede a repetir los pasos 1, 2 y 3 hasta que se corrijan estos errores de

especificación.

4. Uso del modelo: Con el modelo ARIMA(p,d,q) para la media calibrado, se investiga la

posible presencia de varianza condicionalmente heterocedástica. Para esto, se hacen

pruebas con la función de autocorrelación simple de los residuos del modelo al cuadrado y

se buscan modelos de regresión lineal de los residuos al cuadrado con sus rezagos

significativos.

Selección de series de tiempo para el modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo

14

BOX y JENKINS, Op. cit., p. 1509 15

GUERRERO, Víctor Manuel. Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas. 2 ed. México : Thomson, 2003. p. 107-175

8 C. Botía

Se seleccionan las tres series de tiempo que muestren una mayor evidencia de varianza

condicionalmente heterocedástica. Para esto, se evalúan los criterios desarrollados en el último

paso de la búsqueda de evidencia de varianza condicional. Adicionalmente, se tiene en cuenta que

es deseable para los objetivos del trabajo modelar series de tiempo de diferentes países, para

estudiar las relaciones de volatilidad entre los mismos.

Calibración del modelo VAR-MARCH con dos series de tiempo

Estimación de un modelo VAR(p) que describa el proceso de la media: en este paso se utiliza la

metodología en Box y Jenkins16. Sin embargo, en el paso de identificación se utilizan herramientas

que ayudan a determinar el orden p adecuado. Además, en la parte de verificación se evalúa que

los coeficientes estimados sean significativamente distintos de cero. Así mismo, para verificar las

condiciones de estacionariedad se utilizan las condiciones que garantizan la estabilidad.

El siguiente paso es estimar el modelo VAR-MARCH. La identificación del orden adecuado para el

modelo de varianza condicional se hace observando la fas, la fap y el correlograma de los residuos

al cuadrado. Además, el proceso incluye la verificación de las condiciones de estacionariedad tanto

para el modelo de la media como para el modelo de la varianza condicional. Se utiliza un modelo

BEKK diagonal, el cual garantiza que la matriz de covarianzas estimadas sea positiva definida y es

un poco menos restrictivo en cuanto a los patrones de volatilidad que el DMARCH(q).

Calibración del modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo

Se realiza de la misma manera en la que se calibra el proceso con dos series de tiempo, con la

diferencia que en este punto se conoce además de la información de los modelos univariados, la

información que se desprende de la calibración del modelo con dos series de tiempo.

4 Resultados

En esta sección se presentan los resultados obtenidos al aplicar la metodología de la sección 3.

Evidencia de varianza condicional heterocedástica

Identificación: Con respecto a la estabilización de varianza, al trabajar con la transformación ]( �̂) = _` ( �̂), en donde �̂ es el precio del índice en el momento t, el procedimiento

presentado en Guerrero17 no sugiere que sea necesario aplicar una transformación adicional.

Además, debido a la clara tendencia creciente de ]( �̂) = _` ( �̂), se toma la primera diferencia.

Este procedimiento es bastante conveniente e intuitivo dado que la primera diferencia de la

transformación logaritmo natural corresponde precisamente al rendimiento logarítmico de la serie

de precios.

16

BOX y JENKINS, Op. cit., 553 p. 17GUERRERO, Op. cit., p. 108-113


Verificación: En la Tabla 1 se resumen los resultados obtenidos luego de realizar el procedimiento

de identificación, estimación y verificación hasta que se cumplieron las condiciones mencionadas

en la sección 3. En la tabla se observa el estadístico Q para el rezago 24 y la prueba de correlación

serial LM, con los primeros 5 rezagos para los residuos del modelo para la media. Como se puede

observar, ninguna de estas pruebas permite evidenciar la presencia de correlación serial en los

residuos a un nivel de confianza del 10%.

En la tabla también se incluye una columna en la que se indica si los parámetros resultan

estadísticamente significativos y si se cumplen los criterios para que los procesos ARMA(p,q) sean

estables e invertibles.

Tabla 1. Resultados estimación modelos univariados

Las funciones de autocorrelación simple y parcial (fas y fap) de los residuos de los modelos que se

muestran en la tabla anterior no permiten descartar que se trate de ruido blanco, pues se

encuentran dentro del intervalo a− ?√c , ?√cd, en su mayoría.

Uso del modelo: El uso de los modelos univariados en este trabajo estuvo principalmente

orientado hacia la búsqueda de evidencia de varianza condicional heterocedástica, a la selección

de las series de tiempo que participarían del modelo vectorial de dimensión dos y tres y, a la

calibración de los modelos vectoriales con la información arrojada por los modelos univariados.

Con respecto a la búsqueda de evidencia de varianza condicional heterocedástica se puede

observar en la Tabla 2 que en general las series de tiempo trabajadas presentan este efecto,

aunque en algunos casos es más evidente que en otros. Por ejemplo, para la serie de rendimientos

del índice de Japón de plazos entre 5 y 10 años no se encuentra un modelo para los residuos al

cuadrado que sea globalmente significativo al 10% y además el estadístico Q para los residuos al

cuadrado en el rezago 24 no permite rechazar la hipótesis nula de que los residuos al cuadrado no

estén correlacionados.

# SerieModelo para

la MediaQ-stat (24)

Breusch-Godfrey Serial

Correlation LM Test(5 lags)

Significancia

Parámetos

Estabilidad e

Invertibilidad

1 US 1-3 años AR(1) 0,13 0,60 si si

2 US 3-5 años AR(1) 0,45 0,53 si si

3 US 5-10 años Cte 0,47 0,17 si si

4 DM 1-3 años AR(1) 0,38 0,33 si si

5 DM 3-10 años AR(1) 0,20 0,29 si si

6 JY 1-3 años AR(10)* 0,75 0,27 si si

7 JY 3-5 años AR(6)** 0,32 0,43 si si

8 JY 5-10 años ARMA(2,2)*** 0,82 0,45 si si

* AR(1), AR(2), AR(6), AR(10) Significativos

** AR(1), AR(6) Significativos

*** MA(1) No Significativo

10 C. Botía

En cambio, para la serie de retornos logarítmicos para el índice de bonos soberanos de Japón de

plazos entre 3 y 5 años se evidencia una estructura AR(2) globalmente significativa y además el

estadístico Q en el rezago 24 permite decir que los residuos al cuadrado están correlacionados.

Tabla 2. Resultados estimación modelos univariados

Teniendo en cuenta los resultados anteriores y buscando calibrar y generar patrones de volatilidad

interesantes, se seleccionaron las siguientes series para hacer parte del modelo vectorial:

- La serie de Japón de 3 a 5 años dado su buen comportamiento con respecto al orden del

modelo de los residuos al cuadrado, a la significancia global del mismo y al estadístico Q.

- La serie de Estados Unidos de 5 a 10 años dado su buen comportamiento con respecto al

orden del modelo de los residuos al cuadrado, con respecto a las otras series analizadas

para Estados Unidos. Además, teniendo en cuenta que esta serie corresponde a un país

diferente a Japón, se presume que los patrones de volatilidad serán más interesantes.

- Finalmente, la serie de Alemania de 3 a 10 años fue escogida debido a que tiene en común

con la de Estados Unidos el período de 5 a 10 años y con Japón el período de 3 a 5 años. Es

decir, la duración efectiva que caracteriza el índice de bonos de gobierno de Alemania de 3

a 10 años está entre la duración efectiva del índice de Japón escogido y la del índice de

Estados Unidos. Esto quiere decir que la relación de los rendimientos frente a

movimientos en tasas de interés son comparables, lo que es deseable para el modelo

multivariado. Aunque el estadístico Q en el rezago 24 no apoya la existencia de varianza

condicional, otros rezagos como el 2 y el 6 muestran estructura ARCH modelable.

En la Figura 1 se pueden observar los rendimientos mensuales de los tres índices seleccionados

para el modelo vectorial. Se observa que el índice de Japón presenta alta volatilidad al comienzo

de la serie y luego baja volatilidad. Por otro lado el índice de Estados Unidos tiene a ser más volátil

hacia el final de la serie comparado con el inicio. El índice de Alemania presenta comportamientos

de alta y baja volatilidad alternados.

# Serie

Estructura

Residuos al

Cuadrado

F Test Modelo

Residuos

Q-stat (Squared Residuals)

(24)

1 US 1-3 años AR(9) 0,04 0,01

2 US 3-5 años AR(9) 0,01 0,07

3 US 5-10 años AR(3) 0,04 0,09

4 DM 1-3 años AR(5) 0,02 0,11

5 DM 3-10 años AR(6) 0,07 0,62

6 JY 1-3 años AR(9) 0,07 0,02

7 JY 3-5 años AR(2) 0,02 0,01

8 JY 5-10 años AR(1) 0,10 0,67


Figura 1. Retornos logarítmicos seleccionados

Calibración del modelo VAR-MARCH con dos series de tiempo

El primer modelo vectorial se trabajó con las series de Estados Unidos (5-10 años) y Alemania (3-

10 años).

En la Tabla 3 se presenta un resumen de los diferentes criterios de selección de orden utilizados

para el modelo vectorial autorregresivo. De acuerdo con la discusión sobre selección de orden

presentada en Lütkepolh18, se sabe que los criterios FEP y AIC son especialmente buenos para

pronósticos, ya que están diseñados para minimizar el error cuadrático medio de los mismos.

Además, se sabe que estos estadísticos sobreestiman asintóticamente el verdadero orden del VAR

con probabilidad positiva. De otro lado, los criterios SC y HQ son estimadores consistentes del

orden verdadero del proceso VAR. Debido a que el interés de desarrollar modelos VAR en este

trabajo es el de pronósticos y teniendo en cuenta la comparación de criterios discutida en

Lütkepolh19, se decidió iniciar el proceso de identificación y estimación con un VAR de orden 1.

18

LÜTKEPOHL, Op. cit., p. 135-192 19 Ibid., p. 135-192

-4,00%

-3,00%

-2,00%

-1,00%

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

-6,00%

-4,00%

-2,00%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

dic-85 sep-88 jun-91 mar-94 dic-96 sep-99 jun-02 mar-05

Citi US 5-10 años Citi DM 3-10 años Citi JY 3-5 años

12 C. Botía

Tabla 3. Criterio de Selección Orden de VAR

Al estimar un VAR(1) se obtuvo el siguiente resultado:

�� = � + �� + ��, � = 0, ±1, ±2, … , (4.1)

en donde

� = e0.653% �5.22�0.483% �6.24� l , �� = e0.132 �1.68� −0.081 �−0.64�0.051 �1.04� 0.103 �1.33� l

con estadísticos t en [ ].

Al examinar la estabilidad del proceso se encuentra que tal y como lo muestra la Tabla 4, el

proceso es estable y por lo tanto estacionario.

Tabla 4. Raíces del polinomio característico invertido

En la Tabla 5 se muestran los resultados obtenidos al realizar las pruebas de autocorrelación y de

correlación serial para los residuos del modelo. Como se puede observar, no es posible rechazar

las respectivas hipótesis nulas, lo que favorece la correcta especificación del modelo.

Observaciones: 241

Orden LogL LR FPE AIC SC HQ

0 1445,3 NA 2,15E-08 -11,978 -11.949* -11.966*

1 1450,7 10.48* 2.13e-08* -11.988* -11,90 -11,95

2 1453,2 5,05 2,16E-08 -11,977 -11,83 -11,92

3 1455,4 4,20 2,19E-08 -11,962 -11,76 -11,88

4 1458,7 6,41 2,20E-08 -11,956 -11,70 -11,85

5 1462,2 6,58 2,21E-08 -11,952 -11,63 -11,82

6 1463,3 2,11 2,26E-08 -11,928 -11,55 -11,78

7 1465,3 3,77 2,30E-08 -11,911 -11,48 -11,74

8 1467,7 4,44 2,33E-08 -11,898 -11,41 -11,70

* indica el orden seleccionado por el criterio

LR: Test estadístico LR secuencial modificado (cada test al 5%)

FPE: Final prediction error

AIC: Akaike information criterion

SC: Schwarz information criterion

HQ: Hannan-Quinn information criterion

Muestra: Dic-1984 Sep-2005

Raíz Módulo

0.117 - 0.062i 0,133

0.117 + 0.062i 0,133

Variables Endógenas: DLOGCITIUS_5_10 DLOGCITIDM_3_10

Variables Exógenas: Cte


Tabla 5. Pruebas de autocorrelación y correlación serial para residuos

Al calibrar el modelo MARCH se tiene en cuenta que no todos los coeficientes estimados resultan

estadísticamente significativos en el modelo VAR. Para corregir esto se utiliza entre otros, la

información obtenida de los modelos univariados. A continuación se presentan los resultados del

modelo MARCH calibrado, corrigiendo los coeficientes del modelo VAR que no resultan

estadísticamente significativos.

Se seleccionó un modelo VAR(1)-MARCH(1), cuyos coeficientes estimados son:

�� = � + �� + ��, � = 0, ±1, ±2, … , (4.2)

��|�� = [K + 4′��′��4� (4.3)

en donde

� = e0.709% (0.0)0.492% (0.0) l , �� = e0 00 0.151 (0)l,

[K = o1.34 × 10�p (0) 4.42 × 10�p (0)4.42 × 10�p (0) 1.46 × 10�q (0) r , 4� = e0.0834 (0) 00 0.2887 (0)l

con p-valores en ( ).

Al restringir los coeficientes del proceso VAR(1) a cero, no se pierde la estabilidad. Además, el

proceso para la varianza condicional es estacionario. De la misma manera, la prueba de hipótesis

para autocorrelaciones no sugiere que exista correlación serial en los primeros 12 rezagos.

Al examinar la función de autocorrelación simple y parcial de los residuos del modelo al cuadrado,

se observa que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que todos los

coeficientes de la fas y la fap son cero, para la mayoría de rezagos (exceptuando el 16).

VAR portmanteau test para autocorrelación

Ho: no hay autocorrelación hasta el rezago h

Rezago Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df LM-Stat Prob.

1 0,13 NA* 0,13 NA* NA* 7,09 0,13

2 6,72 0,15 6,77 0,15 4,00 6,69 0,15

3 11,70 0,17 11,81 0,16 8,00 5,14 0,27

4 18,13 0,11 18,35 0,11 12,00 6,39 0,17

5 25,27 0,07 25,64 0,06 16,00 7,25 0,12

6 26,27 0,16 26,66 0,15 20,00 1,01 0,91

7 30,73 0,16 31,25 0,15 24,00 4,46 0,35

8 34,55 0,18 35,20 0,16 28,00 3,84 0,43

9 37,12 0,24 37,86 0,22 32,00 2,58 0,63

10 39,48 0,32 40,33 0,28 36,00 2,36 0,67

df: grados de libertad para distribución chi-cuadrado (aproximada)


VAR test para correlación serial

*El test es válido sólo para rezagos mayores al orden VARProbs de chi-square con 4 df.

Ho: no correlación serial en el

rezago h

14 C. Botía

En la Figura 2 se observan los patrones de volatilidad que el modelo calibrado permite hacer sobre

los datos utilizados. En la gráfica se utiliza el pronóstico un mes adelante para generar los patrones

de volatilidad.

Figura 2. Patrones de volatilidad calibrados

Calibración del modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo

En este modelo vectorial con tres series de tiempo se utilizaron las series de Estados Unidos (5-10

años), Alemania (3-10 años) y Japón (3-5 años). Además, como ayuda para la identificación y

especificación del modelo, se utilizó la información conocida con respecto al VAR(1)-MARCH(1) y a

los modelos univariados calibrados anteriormente.

En la Tabla 6 se presenta un resumen de los diferentes criterios de selección de orden utilizados

para el modelo vectorial autorregresivo. Por el mismo argumento explicado anteriormente sobre

los criterios de selección de orden, se decidió iniciar el proceso de identificación y estimación

acorde con los criterios FPE y AIC, es decir, con un VAR de orden 1.

0,0E+00

5,0E-05

1,0E-04

1,5E-04

2,0E-04

2,5E-04

3,0E-04

0,0E+00

1,0E-05

2,0E-05

3,0E-05

4,0E-05

5,0E-05

6,0E-05

7,0E-05

8,0E-051

98

5

19

86

19

87

19

88

19

89

19

90

19

91

19

92

19

93

19

94

19

95

19

96

19

97

19

98

19

99

20

00

20

01

20

02

20

03

20

04

20

05

Var(US_5_10) Cov(US_5_10,DM_3_10) Var(DM_3_10)


Tabla 6. Criterios de selección de orden de VAR

Sin embargo, al estimar el modelo VAR(1), las pruebas para autocorrelación de los residuos del

modelo y de correlación serial, indican la presencia de correlación en los residuos. Por esta razón,

fue necesario estimar un modelo VAR(3), en el cual se obtuvo:

�� = � + �� + �?��? + �s��s + �� , � = 0, ±1, ±2, … , (4.4)

en donde

� = t0.654% �4.49�0.401% �4.49�0.280% �3.65� u , �� = t0.165 �2.06� −0.18 �−1.36� 0.18 �1.36�0.069 �1.4� 0.009 �0.11� 0.172 �2.10�0.079 �1.87� −0.05 �−0.83� 0.149 �2.12�u,

�? = t−0.12 �−1.54� −0.13 �−0.96� 0.37 �2.82�0.024 �0.49� −0.14 �−1.74� 0.187 �2.27�0.012 �0.28� 0.04 �0.61� 0.082 �1.16�u,

�s = t0.029 �0.37� 0.015 �0.11� −0.08 �−0.6�0.057 �1.19� 0.0395 �0.48� −0.016 �−0.19�0.05 �1.22� −0.14 �−2.01� −0.033 �−0.46�u

con estadísticos t en [ ].

Al evaluar las condiciones de estabilidad del proceso, se encuentra que las raíces del polinomio

característico invertido tienen módulo menor que uno, como lo muestra la Tabla 7.

Observaciones: 241

Orden LogL LR FPE AIC SC HQ

0 2258,7 NA 1.49E-12 -18,720 -18,67* -18,70*

1 2269,1 20,53* 1.47E-12* -18,73* -18,56 -18,66

2 2277,8 16,84 1.48E-12 -18,729 -18,43 -18,61

3 2283,4 10,68 1.52E-12 -18,700 -18,27 -18,53

4 2290,9 14,21 1.54E-12 -18,688 -18,12 -18,46

5 2294,1 5,99 1.61E-12 -18,640 -17,95 -18,36

6 2299,9 10,68 1.66E-12 -18,613 -17,79 -18,28

7 2302,7 5,11 1.75E-12 -18,562 -17,61 -18,18

8 2305,9 5,81 1.83E-12 -18,514 -17,43 -18,08

* indica el orden seleccionado por el criterio

LR: Test estadístico LR secuencial modificado (cada test al 5%)

FPE: Final prediction error

AIC: Akaike information criterion

SC: Schwarz information criterion

HQ: Hannan-Quinn information criterion


16 C. Botía

Tabla 7. Raíces del polinomio característico invertido

En la Tabla 8 se muestran los resultados obtenidos al realizar las pruebas de autocorrelación y de

correlación serial para los residuos del modelo. En la tabla se observa que no es posible rechazar

las hipótesis nulas, lo que favorece la correcta especificación de modelo.

Tabla 8. Pruebas de autocorrelación y correlación serial para residuos

Al calibrar el modelo MARCH se tiene en cuenta que no todos los coeficientes estimados resultan

estadísticamente significativos. Para corregir esto se utiliza la información obtenida de los modelos

univariados y del modelo estimado VAR(1)-MARCH(1) para dos series de tiempo. A continuación se

presentan los resultados del modelo MARCH calibrado, corrigiendo los coeficientes del modelo

VAR que no resultan estadísticamente significativos.

Se seleccionó un modelo VAR(3)-MARCH(1), cuyos coeficientes estimados son:

�� = � + �� + �?��? + �s��s + ��, � = 0, ±1, ±2, … , (4.5)

��|�� = [K + 4′��′��4� (4.6)

en donde

Raíz Módulo

-0.17 + 0.54i 0,57

-0.17 - 0.54i 0,57

0.48 + 0.27i 0,56

0.48 - 0.27i 0,56

0.12 - 0.46i 0,48

0.12 + 0.46i 0,48

-0.37 - 0.17i 0,41

-0.37 + 0.17i 0,41

0.19 0,19

Variables Endógenas: DLOGCITIUS_5_10 DLOGCITIDM_3_10

Variables Exógenas: Cte

VAR portmanteau test para autocorrelación

Ho: no hay autocorrelación hasta el rezago h

Rezago Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df LM-Stat Prob.

1 0,46 NA* 0,46 NA* NA* 12,96 0,16

2 1,01 NA* 1,01 NA* NA* 10,34 0,32

3 1,94 NA* 1,96 NA* NA* 10,28 0,33

4 14,14 0,12 14,36 0,11 9,00 12,46 0,19

5 20,85 0,29 21,21 0,27 18,00 6,94 0,64

6 30,99 0,27 31,61 0,25 27,00 10,15 0,34

7 35,37 0,50 36,11 0,46 36,00 4,46 0,88

8 43,18 0,55 44,18 0,51 45,00 7,85 0,55

9 50,14 0,62 51,40 0,58 54,00 6,91 0,65

10 57,86 0,66 59,46 0,60 63,00 7,69 0,57

df: grados de libertad para distribución chi-cuadrado (aproximada)


VAR test para correlación serial

Ho: no correlación serial en el

rezago h

*El test es válido sólo para rezagos mayores al orden VARProbs de chi-square con 9 df.


� = t0.708% (0)0.492% (0)0.354% (0) u , �� = v0 0 00 0 0.2362 (0)0 0 0.1887 (0)w , �? = v0 0 00 0 00 0 0w,

�s = v0 0 00 0 00 −0.1025 (0) 0w , [K = t1.57 × 10�p (0) 5.61 × 10�p (0) 4.58 × 10�x (0)5.61 × 10�p (0) 2.0 × 10�q (0) 1.63 × 10�p (0)4.58 × 10�x (0) 1.63 × 10�p (0) 1.33 × 10�x (0) u, 4� = t0.0753 (0) 0 00 0.2237 (0) 00 0 0.3102 (0)u

con p-valores en ( ).

Al restringir los coeficientes del proceso VAR(3) a cero, no se pierde la estabilidad. Además, el

proceso para la varianza condicional es estacionario. De la misma manera, la prueba de hipótesis

para autocorrelaciones no sugiere que exista correlación serial en los primeros 12 rezagos.

Al examinar la función de autocorrelación simple y parcial de los residuos del modelo al cuadrado,

se observa que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que todos los

coeficientes de la fas y la fap son cero, para todos los rezagos.

En la Figura 3 se observan los patrones de volatilidad que el modelo calibrado permite hacer sobre

los datos utilizados. En esta gráfica se utiliza el pronóstico un mes adelante para generar los

patrones de volatilidad.

Figura 3. Patrones de volatilidad calibrados

0,0E+00

5,0E-05

1,0E-04

1,5E-04

2,0E-04

2,5E-04

3,0E-04

0,0E+00

2,0E-05

4,0E-05

6,0E-05

8,0E-05

1,0E-04

1,2E-04

1,4E-04

1,6E-04

19

85

19

86

19

87

19

88

19

89

19

90

19

91

19

92

19

93

19

94

19

95

19

96

19

97

19

98

19

99

20

00

20

01

20

02

20

03

20

04

20

05

Var(US_5_10) Var(JY_3_5) Cov(US_5_10, DM_3_10)

Cov(US_5_10, JY_3_5) Cov(DM_3_10,JY_3_5) Var(DM_3_10)

18 C. Botía

5 Evaluación de Resultados

La evaluación de pronósticos se realizó frente a un método alternativo conocido como método de

promedio móvil con ponderación exponencial (EWMA por sus siglas en inglés). El pronóstico de

covarianza mensual entre las series de retorno y�� y yM� con el método EWMA se calcula como:

Q�M = z(1 − {) ∑ {��(y�� − y}�)(yM� − y}M)~�P� . (5.1)

Para los datos mensuales se utiliza el parámetro { = 0.97 (ver JP Morgan20). Además, se utilizan

60 datos (5 años) para calcular las matrices de covarianza. El pronóstico anual de la matriz de

covarianza se obtiene multiplicando el pronóstico mensual por doce. Para mayor información

sobre este método de estimación de volatilidad se sugiere consultar el documento JP Morgan21.

La evaluación de pronósticos está basada principalmente en la sección de evaluación de

pronósticos de Franses y Van Dijk22. Para un resumen de la metodología utilizada para la

evaluación de pronósticos se sugiere consultar Franses y Van Dijk23 y el Apéndice C al final de este

documento. La evaluación de pronósticos se realizó con los datos mensuales desde octubre de

2005 hasta septiembre de 2008.

El MSPE es el error cuadrático promedio de predicción y el MedSPE es la mediana de los errores de

predicción al cuadrado. De la misma manera, el MAPE es el error promedio absoluto y el

MedMAPE es la mediana de los errores de predicción absolutos. Las pruebas DM(s) y DM(a) tienen

la hipótesis nula de que los métodos comparados en cuanto a pronósticos son iguales (Ver

Apéndice C).

En las siguientes tablas se muestra el resumen de la evaluación de los pronósticos de volatilidad

del modelo VAR-MARCH frente a la metodología EWMA (p-valores entre paréntesis ( )). El

Tabla 9. Evaluación de pronósticos EWMA frente a VAR-MARCH

Tabla 10. Pruebas DM(S) y DM(A)

20

JP MORGAN. Technical Document. Disponible en < http://www.riskmetrics.com/publications>. 4 ed. 1996. p. 77-101 21

Ibid., p. 77-101 22

FRANCES y VAN DIJK, Op. cit. p. 187-199 23 Ibid., p. 187-199

Modelo Periodicidad MSPE MedSPE MAPE MedAPE a b R^2

Mensual 1,6E-07 5,3E-08 6,7E-04 4,9E-04 2,4E-4 (0,34) -1,2 (0) 0,06

Anual 9,6E-06 9,6E-06 6,0E-03 6,0E-03 2,4E-4 (0,44) -0,1 (0) 0,57

Mensual 2,2E-07 5,2E-08 7,9E-04 5,2E-04 -3,5E-4 (0,63) 15,2 (0) 0,02

Anual 9,1E-06 9,1E-06 4,6E-03 4,6E-03 -8,8E-3 (0,71) -2,9 (0) 0,72

Mensual 1,38 0,99 1,17 1,05 N.A. N.A. 0,33

Anual 0,955 0,95 0,76 0,757 N.A. N.A. 1,3

EWMA

VAR-MARCH

VAR-MARCH/EWMA

Modelo Periodicidad DM(S) DM(A)

Mensual 0,66 0,051

Anual 0 0GARCH


Como se puede observar en la fila cinco de la Tabla 9 (cociente de los criterios mensuales), el

método EWMA resulta ser superior al método VAR-MARCH en los indicadores MSPE, MAPE y

MEDAPE. Sin embargo, el método VAR-MARCH resulta superior según el indicador MEDSPE.

Adicionalmente, en el criterio X? el método EWMA es superior nuevamente. Estos indicadores

permiten afirmar que durante el período de evaluación de pronósticos la metodología EWMA fue

mejor que VAR-MARCH pronosticando la matriz de covarianza mensual de las tres series de

tiempo analizadas. No obstante, los criterios mensuales DM(S) y DM(A) permiten concluir que las

metodologías no son significativamente diferentes a un nivel de confianza del 5%.

En la última fila de la primera tabla se puede observar el cociente entre los criterios de VAR-

MARCH y EWMA para pronósticos anuales. En los criterios MSPE, MEDSPE, MAPE y MEDAPE la

metodología VAR-MARCH para pronosticar matrices de covarianza es superior a la metodología

EWMA. En el criterio X? VAR-MARCH supera a EWMA. Estos criterios permiten afirmar que

durante el período de evaluación, los pronósticos anuales de covarianza del método VAR-MARCH

fueron superiores al método EWMA. Finalmente, los criterios DM(S) Y DM(A) permiten concluir

que las metodologías consideradas son diferentes.

El método de evaluación de pronósticos de covarianzas permite concluir que aunque la

metodología EWMA tiene mejores propiedades de pronóstico mensual para las series de tiempo

analizadas, la metodología VAR-MARCH es superior a EWMA a la hora de pronosticar la matriz de

varianza-covarianza anual.

6 Conclusiones

En este trabajo se presentó una aplicación de la teoría de series de tiempo multivariadas (en

particular, de los modelos VAR-MARCH) a tres series de tiempo financieras con el objetivo de

evaluar la pertinencia de estimar la matriz de covarianzas anual a partir de esta teoría frente a una

aplicación del modelo EWMA. Se presenta un resumen de la teoría de los modelos VAR, MARCH y

del modelo BEKK diagonal. Adicionalmente se presenta la metodología utilizada para realizar la

estimación y selección de modelos. Finalmente, se evalúan los resultados obtenidos mediante una

metodología para evaluación de pronósticos de matrices de covarianzas.

Este estudio permite comparar y conocer los detalles de la estimación de un modelo VAR-MARCH

utilizado para pronosticar la matriz de covarianzas un año adelante, con el objetivo de refinar las

entradas de un proceso de selección de portafolios o posicionamiento de activos.

Los resultados obtenidos en este estudio concluyen que, desde el punto de vista de los

pronósticos de volatilidad, es conveniente estimar las matrices de covarianza con un modelo VAR-

MARCH (BEKK diagonal) debido a que en la evaluación de resultados obtuvo mejores criterios que

la aplicación del modelo EWMA. El modelo de varianza condicional calibrado permite capturar la

estructura de la volatilidad al considerar todos los datos históricos y, además, permite modelar la

dependencia temporal, a diferencia del modelo EWMA, que no permite la utilización de todos los

20 C. Botía

datos. No obstante, este estudio concluye que cuando se trata de matrices de covarianza mensual,

la metodología EWMA es superior al modelo VAR-MARCH estimado.

En cuanto al estudio de la teoría de modelos VAR-MARCH, se concluye que es más elaborada y

completa que la teoría detrás del modelo EWMA. Esta característica permite soportar propiedades

de los modelos desde la teoría aunque también ocasiona que la implementación, explicación y

práctica de dichos modelos sea limitada debido a la dificultad de la correcta identificación del

modelo.

En cuanto a la estimación de modelos de varianza condicional multivariados como el caso del

modelo VAR-BEKK diagonal, se puede concluir que requieren personal altamente calificado en esta

teoría para ser implementados correctamente. Las herramientas comerciales tradicionales no

incorporan este tipo de algoritmos. Adicionalmente, requiere bastante tiempo estimar un modelo,

debido a que no existe software que realice una calibración automática. De otro lado, el número

de series de tiempo que es posible modelar está limitado porque el número de parámetros del

modelo crece rápidamente a medida que se agregan series de tiempo (lo que hace que sea difícil

identificar la solución que representa el proceso). Todas estas características hacen que la

actualización de un modelo y su aplicación en la práctica de la administración financiera sean

bastante limitadas. En estos aspectos, el modelo EWMA tiene todas las ventajas frente a los

modelos VAR-MARCH, pues es sencillo y claro.

Finalmente, aunque en este trabajo no se estudiaron en detalle los algoritmos de estimación de

los modelos VAR-MARCH, se debe hacer una aclaración importante. Los algoritmos utilizados para

la estimación de estos procesos siguen en desarrollo, esto quiere decir que aún no se obtienen

algoritmos tan buenos y tan eficientes como se quisiera. La estimación de este tipo de procesos

requiere una interacción exhaustiva entre el modelador y el modelo. Para el lector interesado en

las técnicas y dificultades de estimación de estos modelos se recomienda el artículo de Brooks,

Burke y Persand24.

7 Recomendaciones

En este trabajo se calibró un modelo VAR-MARCH para tres series de tiempo financieras. Sin

embargo, en algunas prácticas financieras es necesario trabajar con un número mayor de activos,

por lo que es necesario contar con modelos que permitan trabajar con este tipo de situaciones.

Por esta razón, se recomienda que para aplicaciones que requieran la utilización de más activos se

24

BROOKS, C. ; BURKE, S. P. y PERSAND, G.. Multivariate GARCH Models: Software Choice and Estimation Issues. En : Journal of Applied Econometrics. Vol. 18 (2003). p. 725-734.


trabaje con modelos de factores multivariados GARCH (ver Franses y Van Dijk25) o modelos de

correlación condicional dinámica (DCC) (ver Engle26).

Por otro lado, si se quiere explotar aún más la estructura de varianza condicional de las series de

tiempo, se recomienda trabajar datos con frecuencias semanales e incluso diarias. Sin embargo, si

el horizonte de pronóstico es un año, los modelos de datos semanales o diarios tienen un reto

importante para poder pronosticar volatilidades varios períodos adelante. Esto se debe a que los

modelos de varianza condicional pronostican valores muy cercanos a la media a medida que

aumenta el horizonte de tiempo. Poder utilizar tanto datos semanales como mensuales para

mejorar el desempeño de los pronósticos puede ser un campo de investigación y desarrollo.

Adicionalmente, se concluye de este trabajo que si los modelos de volatilidad son requeridos

diariamente, un modelo VAR-GARCH es muy costoso de implementar por la cantidad de tiempo

requerido para calibrarlo. Además, cualquier actualización de datos hace que sea necesario volver

a estimar y validar el modelo.

Para futuros trabajos en el tema, se recomienda la utilización de software que permita la

calibración y evaluación de pronósticos de modelos VARMA y de modelos MGARCH más generales

(en particular, se recomienda trabajar con software que incluya modelos de factores multivariados

GARCH). Por ejemplo, el software Splus incluye modelos de factores multivariados GARCH y el

software SAS incluye modelos VARMA.

Finalmente, sería interesante utilizar y evaluar modelos no lineales de varianza condicional. Por

ejemplo, se podrían evaluar modelos como los GARCH exponencial, GJR-GARCH, Smooth-

Transition GARCH, Volatility-Switching GARCH, Asymetric Nonlinear Smooth Transition GARCH,

Quadratic GARCH y Markov-Switching GARCH.

Agradecimientos

Agradezco a mis padres, Amanda Chaparro y Alfredo Botía, por el apoyo para realizar los estudios

de pregrado en Matemáticas e Ingeniería. A María Elsa Correal, por la asesoría, tiempo y apoyo

para realizar este proyecto. A Luis Fernando Melo por los múltiples consejos y críticas certeras. A

Carlos Álvarez por su tiempo y consejos sobre los trabajos de grado. A Marco Ruíz por la

disposición y tiempo dedicado para la planeación y ejecución del proyecto. A Alejandra Buitrago

por su colaboración con los trucos de Word. A René Meziat por su insistencia y consejo para

terminar el pregrado de ingeniería.

25

Ibid., p. 200-205 26

ENGLE, R.F.. Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GARCH models. En : Journal of Business and Economic Statistics. Vol. 20 (1999). p. 339-350

22 C. Botía

Apéndice A. Operador vectorial vech

El operador vech actúa sobre matrices cuadradas. Sea � una matriz de dimensión � × �. El

operador vech asigna a la matriz � un vector conformado por las columnas de � desde la diagonal

de � hasta la última fila, así:

��ℎ(�) = ��ℎ v�� ⋯ ��⋮ ⋱ ⋮�� ⋯ ��w =�� ⋮��⋮��

��

Apéndice B. Descripción de los datos

Una descripción más completa de los datos utilizados se puede encontrar en www.yieldbook.com.

Las series de tiempo escogidas para el análisis son algunos índices globales de bonos de gobierno.

Todos los índices son construidos por Citigroup. En particular, se utilizan índices de los mercados

de Alemania, Japón y Estados Unidos. A continuación se hace una descripción general de la

metodología utilizada para la construcción y cálculo de los índices de renta fija de Citigroup. La

información fue obtenida de Citigroup27.

Índices globales de bonos de gobierno (WGBI)

Los índices globales de bonos de gobierno de Citigroup están clasificados dentro de los índices de

renta fija de grado de inversión. Para que el mercado de renta fija soberano de un país tenga uno

de estos índices debe cumplir ciertas condiciones con respecto al tamaño, crédito y barreras de

entrada.

Tamaño: El total de las emisiones (ver Tablas 11 y 12) deben sumar en total por lo menos US$20

billones, €15 billones ó ¥2.5 trillones. Para los mercados de deuda soberana en la Unión Europea

no se tiene en cuenta este criterio porque la Unión Europea se trata como un solo mercado.

Crédito: Mínima calificación crediticia de BBB-/Baa3 por S&P ó Moody’s para los emisores. De esta

manera se garantiza que el índice es grado de inversión.

Barreras de entrada: Los mercados deben promocionar activamente la inversión extranjera y

mostrar compromisos de cumplimiento de sus propias políticas.

27

CITIGROUP. Citigroup Global Fixed-Income Index Catalog. Disponible en <www.yieldbook.com>. 2007. p. 18-23


Tabla 11. Composición WGBI

Tabla 12. Información WGBI

Citigroup ha establecido varias condiciones para que un mercado deje de hacer parte del índice.

Por ejemplo, cuando la capitalización de mercado de las emisiones elegibles caiga por debajo de la

mitad del nivel de entrada durante tres meses consecutivos, el mercado será removido en el

siguiente mes. Adicionalmente, los mercados que no cumplan con los criterios de crédito y

barreras de entrada serán excluidos del índice.

Los índices de Citigroup seleccionados para el mercado de Estados Unidos son tres: Citigroup

Notas del Tesoro Estadounidense de 1-3 años, Citigroup Notas del Tesoro Estadounidense de 3-5

años y Citigroup Notas del Tesoro Estadounidense de 5-10 años.

Mercado Incluye Excluye

Alemania

Bonos de tasa fija sin opción de compra

(Bundesrepublic, Schatzanweisungen,

Bundesobligationen, Unity bonds, Treuhandanstalt y

Treuhandobligationen)

Schuldscheine, Unverzinsliche,

Schatzanweisungen, Bundespost, Bundesbahn,

European Recovery Program Bonds

Estados Unidos Bonos de tasa fija con y sin opción de recompra Bonos de ahorro, TIPS y STRIPS

Japón Bonos de tasa fija

Bonos a descuento, Bonos de tasa flotante,

Colocaciones privadas, Bonos indexados a la

inflación y Bonos del gobierno Japonés (JGBs) para

individuos

Composición de los Índices Globales de Bonos de Gobierno (WGBI)

Ponderación Capitalización de mercado actualizada 1 vez al mes

Tamaño mínimo

emitidoDepende del Mercado:

EMU Markets: €2.5 billones

Estados Unidos: US$5 billones en circulación

Japón: ¥500 billones, Bonos de 20-30 años: ¥450 billones (excluyendo los bonos del

Banco de Japón)

Composición Deuda soberana denominada en la moneda local

Calidad mínima BBB-/Baa3 por S&P ó Moody's

Características de

redenciónbullet, sinking fund, putable, extendable ó callable

Reinversión de los

fujos de cajaAl promedio diario del Eurodepósito de un mes en la moneda local

Fuente de precios Citigroup

Frecuencia de cálculo Diariamente

Fecha valor

(settlement)Mensualmente: último día calendario

Diariamente: el mismo día. Excepto el último día del mes, en el que se hace con el

último día calendario

Fecha inicial Diciembre 31 de 1984

WGBI - Criterios de Diseño y Supuestos de Cálculo

24 C. Botía

Los índices de Citigroup seleccionados para el mercado de Alemania son dos: Citigroup Notas del

Tesoro Alemán de 1-3 años y Citigroup Notas del Tesoro Alemán de 3-10 años.

Los índices de Citigroup seleccionados para el mercado de Japón son tres: Citigroup Notas del

Tesoro Japonés de 1-3 años, Citigroup Notas del Tesoro Japonés de 3-5 años y Citigroup Notas del

Tesoro Japonés de 5-10 años.

Apéndice C. Evaluación de pronósticos

Esta evaluación de pronósticos está basada en la sección de evaluación de pronósticos de

volatilidad condicional del libro “Non-linear time series models in empirical finance”, de los

autores Philip Hans Franses y Dick Van Dijk.

El objetivo de la evaluación de pronósticos es calcular varias estadísticas que ayuden a evaluar el

desempeño de los modelos en cuanto al pronóstico de la volatilidad condicional. Por esta razón, se

pretende calcular los estadísticos que se muestran en las Tablas 13 y 14.

Tabla 13. Modelo evaluación de pronósticos

Tabla 14. Modelo evaluación de pronósticos

Si la periodicidad es mensual quiere decir que se calcularan los criterios con los datos de las

matrices de covarianza mensual estimadas, mientras que si la periodicidad es anual quiere decir

que se calcularan los criterios con los datos de las matrices de covarianza anual estimadas.

A continuación se explica brevemente cada uno de los criterios.

Sean ℎ��9! | �,�M " = 1,2, … ,12, B, V = 1, 2, 3 los pronósticos de varianza (o covarianza) hechos en el

tiempo t para el período t+s de la entrada de la matriz de covarianzas en la fila i y columna j. Sean

ℎ�9!,�M " = 1,2, … ,12 B, V = 1, 2, 3 las varianzas realizadas, que siguiendo la recomendación del

libro arriba mencionado, se calculan como ℎ�9!,�� = @�9!,��? (en el caso de las covarianzas realizadas

se calculan como ℎ�9!,�M = @�,�9!@M,�9!). Defina la matriz �! como la matriz que en la fila i y

columna j se define como �!,�M = ℎ��9! | �,�M − ℎ�9!,�M. Sea ` el número de filas de la matriz de

covarianzas estimada.

1. MSPE (Mean Squared Prediction Error). Este criterio se calcula de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7

Modelo Periodicidad MSPE MedSPE MAPE MedAPE a b R^2

Mensual

Anual

Mensual

Anual

EWMA

GARCH

8 9

Modelo Periodicidad DM(S) DM(A)

Mensual

AnualGARCH


;<^� = O 112 O �!,�M?�?!P�

��,MP�

2. MedSPE. Este criterio corresponde a calcular la mediana de los errores de predicción al cuadrado. Es decir:

;�D<^� = O ;�DB-`-!(�!,�M?)��,MP�

3. MAPE. Este criterio se calcula de la siguiente manera:

;�^� = O 112 O��!,�M��?!P�

��,MP�

4. MedAPE. Este criterio corresponde a calcular la mediana de los errores de predicción absolutos. Es decir:

;�D<^� = O ;�DB-`-!��!,�M��,MP�

5. a, 6. b y 7. R^2. Estos valores corresponden a los que se obtienen al realizar la regresión

lineal dada por: ℎ�9M = - + �ℎ��9M | � + �M

en donde �M es el error de la regresión lineal. Como se obtiene un criterio para cada una de las

entradas de la matriz de covarianzas, se promedian todos los criterios para obtener el criterio de la

matriz. El Valor del X? para el modelo VAR-MARCH se reporta dividido entre 1/3, debido a la

sugerencia de Franses y Van Dijk28 de que 1/3 es una cota superior para el X? en este tipo de

modelos.

8. DM(S) y 9. DM(A). Estos criterios están diseñados para comparar dos modelos. La idea es

comparar si el SPE’s o el APE’s de dos modelos son significativamente diferentes a través

de una prueba de hipótesis. Para esto es necesario definir los siguientes números:

DM = 'ℎ��9M | �,�� − ℎ�9M,��+� − 'ℎ��9M | �,�� − ℎ�9M,��+�

Es decir, DM representa la resta de los errores de predicción de volatilidad calculados con el

método GARCH y con el método EWMA. El parámetro k tomará el valor de 1 si se quiere comparar

los APE’s y el valor de 2 si se comparan los SPE’s. Con estos datos se realiza una prueba de

hipótesis de que la diferencia promedio de errores es cero. El estadístico es el siguiente:

W; = D}√R

�� (0,1)

28 FRANCES y VAN DIJK, Op. cit., p. 187-199

26 C. Botía

en donde D} es el promedio de los DM y R es la varianza asintótica de la diferencia promedio D}. La

varianza de la diferencia promedio se calcula como la varianza muestral de los DM. El valor que se

reporta es el p-value más pequeño de la prueba para cada una de las entradas de la matriz de

covarianza.

Referencias Bibliográficas

BABA, Y. et al. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH. En :Mimeo. Department of

Economics, University of California, San Diego. 1991. Manuscrito no publicado.

BAILLIE, R. T. y BOLLERSLEV, T. Prediction in Dynamic Models with Time-Dependent Conditional

Variances. En : Journal of Econometrics. Vol. 52 (1992). p. 91-113

BOLLERSLEV, T. Modeling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate

Generalized ARCH Approach. En : Review of Economics and Statistics. Vol. 72 (1990). p. 498-505

BOLLERSLEV, T.; ENGLE, R. F. y WOOLDRIDGE, J. M. A Capital Asset Pricing Model with Time-

Varying Covariances. En : Journal of Political Economy. Vol. 96 (1988); p. 116-131.

BOX, G.E.P y JENKINS, G. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco, CA. :

Holden-Dady, 1970. 553 p.

BROOKS, C. ; BURKE, S. P. y PERSAND, G.. Multivariate GARCH Models: Software Choice and

Estimation Issues. En : Journal of Applied Econometrics. Vol. 18 (2003). p. 725-734.

CITIGROUP. Citigroup Global Fixed-Income Index Catalog. Disponible en <www.yieldbook.com>.

2007. 61 p.

ENGLE, R.F. Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GARCH models. En :

Journal of Business and Economic Statistics. Vol. 20 (1999). p. 339-350

ENGLE, R. F. y KRONER, K. F.. Multivariate Simultaneous Generalized GARCH. En : Econometric

Theory. Vol. 11 (1995). p. 122-150

FRANCES, Philip Hans y VAN DIJK, Dick. Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance.

Cambridge, UK ; New York : Cambridge University Press, 2000. 280 p.

GUERRERO, Víctor Manuel. Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas. 2 ed. México :

Thomson, 2003. 395 p.

JP MORGAN. Technical Document. Disponible en <http://www.riskmetrics.com/publications >. 4

ed. 1996. 283 p.

LÜTKEPOHL, Helmut. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlín ; New York :

Springer, 2005. 764 p.

TSAY, Ruey S.. Analysis of Financial Time Series. 2 ed. Hoboken, N.J. : Wiley, 2005. 605 p.

Documents

Estimación de Matrices de Covarianza con un Modelo VAR