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Estimación de Parámetros de Circuitos Impresos: Un Estudio de Caso

Estimación de Parámetros deCircuitos Impresos:Un Estudio de Caso

M. en I. Miguel Lindig BosDirector del CINTEC-IPN.

os circuitos digitales moder-nos operan a frecuencias enexceso de 20 MHz y, salvo

aplicaciones relativamente sencillas,requieren circuitos impresos multi-capa para su realización física. Escomúnmente aceptado que el cir-cuito impreso es una componenteimportante de un sistema dado yque afecta tanto el comportamientode éste, como a su reproducibilidadindustrial y a la confiabilidad delproducto. No deja de sorprender,por lo tanto, la relativamente pocainformación disponible para poderestimar la influencia que el circuitoimpreso tendrá sobre el comporta-miento de un diseño determinado.Por otra parte, si bien existen pa-quetes de simulación poderosos, sucosto resulta prohibitivo para lamayoría de las organizaciones tan-to educativas, como industriales, denuestro país.

En general, el estudio de líneasde transmisión involucra el análisisde las reflexiones generadas pordesacoplamientos entre las impe-dancias de la fuente, de la línea y decarga. En un circuito impreso, en elcual una misma fuente puede ali-mentar a más de una carga, unestudio de esta naturaleza, basadoen medios de cálculo manuales,resulta prácticamente imposible porla cantidad de trabajo involucrado.

En el presente articulo se expo-ne un breve resumen de la teoría enque se fundamenta el estudio delíneas de comunicación, y se pre-sentan las expresiones que seránutilizadas para el análisis de un cir-cuito impreso de cierto nivel decomplejidad. El análisis está basadoen condiciones de estado estacio-nario, y supone que el dispositivoemisor (fuente) se comporta aproxi-madamente como una fuente decorriente constante, con respuestaa la frecuencia uniforme sobre elrango de frecuencias de operación.El estudio se presenta para dosconjuntos de medidas físicas de losconductores del circuito, y se con-cluye que solamente una de lasopciones utilizadas en el análisisresulta aceptable para los objetivosde diseño. Finalmente, la calidad delas señales presentes en los disposi-tivos receptores es estimada, conbase en la expansión en serie deFourier de una señal periódica detipo trapezoidal.

Como se dijo arriba, el análisisestá basado en una serie de suposi-ciones que requieren verificación, omodificación en su caso, de tipoexperimental, en virtud de que lainformación publicada para los dis-positivos utilizados es insuficientepara poder efectuar un estudio con-cluyente. Por otra parte, los pará-metros del circuito impreso puedenser estimados solamente en formaaproximada. El estudio experimen-tal se efectuará una vez fabricado elcircuito, y será objeto de un segun-do reporte técnico.

Fundamentación Teórica

A frecuencias superiores a los10 MHz, el circuito impreso debeser tratado como el soporte estruc-tural de un conjunto de líneas detransmisión, con parámetros (uni-formemente distribuidos) que de-penden de los materiales emplea-dos en su fabricación. Por otra par-

L

Ve

Ie I

V

dlzdl

ydl

L

Ir

Vr

Figura 1.

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te, la geometría de los distintosconductores y planos de tierra yalimentación influye, también, enlas características eléctricas de estaslíneas de transmisión. Considéresela figura 1.

Una línea conformada por dosconductores une a un emisor y unreceptor, caracterizados por susrespectivas tensiones y corrientesV

e, I

e y V

r, I

r. La línea es caracteriza-

da por una impedancia serie, y unaadmitancia paralela, ambas expre-sadas por unidad de longitud. Enestas condiciones, la caída de ten-sión a lo largo de un elementodiferencial de longitud dl de la líneaestá dada por [1]:

dV = Izdl

Y, similarmente, la corriente eneste elemento decrece por una can-tidad:

dI = Vydl

La solución de las expresionesanteriores conduce a las ecuacionesgenerales de la línea de transmi-sión:

V = Vr cosh√zy L + I

r√z/y senh√zy L

I = Ir cosh√zy L + Vr√y/z senh√zy L

donde la distancia L es medida des-de el extremo receptor de la línea.Expresiones similares pueden serobtenidas en términos del extremoemisor.

La cantidad √z/y se conocecomo la impedancia característica,Z

0, de la línea. Por otra parte, la

cantidad √zy constituye la constan-te de propagación γ (por unidad delongitud) de la misma. A partir de lasexpresiones anteriores, es posibleobtener una expresión para la im-pedancia de entrada de la línea, enfunción de la impedancia del recep-tor:

Ze = Z0 [ ] 1

Finalmente, las tensiones en losextremos emisor y receptor de lalínea pueden relacionarse como si-gue:

Vr = Ve [ ] 2

Parámetros de la Línea

La impedancia serie de una líneade transmisión está conformada porla resistencia óhmica y por la induc-tancia serie de los conductores quela conforman. Por otra parte, laadmitancia paralela posee una com-ponente resistiva y una capacitiva,cuyos valores dependen, entre otrosfactores, del material que separa alos conductores. Para el caso decircuitos impresos, y para frecuen-cias de operación inferiores a las delas microondas, se acepta general-mente que las componentes resisti-vas son despreciables. Por una par-te, y aún considerando efectos desuperficie, el valor de la resistenciaserie de un conductor típico es deunos cuantos ohms por metro li-neal. Por otra, y para los materialesmás frecuentemente usados (papelfenólico, epoxy-fibra de vidrio etc.),la conductividad es menor a 10-12

mhos. En consecuencia, el circuitoimpreso puede ser modelado comouna línea de transmisión sin pérdi-das hasta frecuencias cercanas a 1GHz. La impedancia serie, y laadmitancia paralela toman, respec-tivamente, la siguiente forma:

z = jωL, y = jωC

La impedancia característica sereduce a:

Z0 = √L/C 3

y para la constante de propagaciónse obtiene

γ = jω√LC 4

Nótese que, en general, γ es uncomplejo de la forma α + jβ, cuyaparte real determina la atenuación,por unidad de longitud, que sufre laseñal al viajar por la línea de trans-misión. La componente imaginariaes una medida del desfasamientointroducido por la línea, expresadoen radianes por unidad de longitud.Al despreciar las componentes re-sistivas de la línea, la atenuación sereduce a cero. De la parte imagina-ria puede obtenerse la velocidad depropagación:

vβ = 2πf = ω,

de donde v = 1/√LC 5

La determinación de la induc-tancia y capacidad asociadas a unconductor determinado del circuitoimpreso se complica por los si-guientes factores:

1.- La geometría del conductor.2.- La ubicación del conductor conrelación a plano(s) de tierra.3.- La ubicación del conductor conrelación a otros conductores.

El parámetro más significativopara la determinación, tanto de laimpedancia característica como dela velocidad de propagación es, sinduda, la constante dieléctrica delmaterial aislante utilizado en la fa-bricación del circuito impreso. De laexpresión para la velocidad de pro-pagación se desprende que éstadisminuye conforme C aumenta,esto es, para una geometría deconductores dada, conforme la cons-tante dieléctrica aumenta. Así, parael caso de epoxy - fibra de vidrio, unmaterial cuya constante dieléctrica

ZrcoshγL + Z0senhγLZ

0coshγL + Z

rsenhγL

Zr

ZrcoshγL + Z0senhγL

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relativa es de 4.7, la velocidad depropagación puede disminuir amenos de la mitad de la velocidad dela luz (a menos de 140 mm/ns).

Geometría de losConductores

En un circuito multicapa, losconductores se ubican generalmen-te en planos, separados entre sí porplanos de tierra (o de alimentación).La sección transversal de un con-ductor tiende a ser aproximada-mente rectangular, aunque, y deacuerdo al proceso de fabricación,puede tender a trapezoidal y poseercantos más o menos redondeados.Se pueden distinguir dos configura-ciones importantes:

1.-Conductores ubicados en la su-perficie del circuito impreso (cara decomponentes o cara de soldadura),separados de capas interiores porun plano de tierra. Esta configura-ción se conoce como microtira (mi-crostrip), figura 2.

En el cálculo de la capacidadasociada a esta configuración inter-vienen dos constantes dieléctricas.Por una parte, la correspondiente almaterial aislante del circuito impre-so y, por otra, la correspondiente almedio en el cual está inmerso elconductor. Así, si el conductor estácubierto por una pintura protectora(una mascarilla antisoldante, por

ejemplo), la constante dieléctricaefectiva es resultante, también, delgrosor de esta capa y de sus carac-terísticas eléctricas. La impedanciacaracterística aproximada puedecalcularse a partir de la siguienteexpresión [2]:

Z0 = ln ( ) 6

En (6), las dimensiones h, W y tdeben ser expresadas en unidadesconsistentes. Si el conductor estáinmerso en aire, la constante dieléc-trica efectiva, εrf, puede ser estima-da a partir de εr, la constante dieléc-trica (relativa) del material aislantedel circuito impreso [3]:

εrf = [(εr+1) + (εr-1)(1+10h/W)-1/2]/2 7

2.-Conductores ubicados entre dosplanos de tierra. Esta configuraciónse conoce en la literatura de hablainglesa como «stripline». En com-paración con la configuración ante-rior, la impedancia característica dela línea es menor, al igual que lavelocidad de propagación, por lamayor capacidad asociada a los dos

planos de tierra,figura 3.

Para esta confi-guración, la im-pedancia caracte-rística está dadapor [2]:

Z0 = ln ( ) 8

La expresión anterior se cumplesi W(b-t) < 0.35 y si t/b < 0.25

De acuerdo con la referencia[3], la impedancia característica, lavelocidad de propagación y la longi-tud de onda de una señal en uncircuito impreso pueden relacionar-se con los correspondientes valoresen el vacío a través de la constantedieléctrica efectiva asociada a lalínea. En particular:

v = c / √ εrf

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donde c es la velocidad de la luz envacío.

En general, un circuito impresomulticapa podrá incluir conducto-res en cualquiera de las configura-ciones anteriores, o en ambas. Adi-cionalmente, la existencia de perfo-raciones metalizadas para interco-nectar diferentes capas de conduc-tores, o para dar cabida a dispositi-vos con terminales de inserción,complica el análisis. Sin embargo,es posible obtener una idea aproxi-mada de los efectos del circuitoimpreso sobre las impedancias deentrada y de salida de las compo-nentes asociadas al circuito, así comode la magnitud de sobretiros en lasseñales, a partir de un análisis deestado estacionario, como se ilustraen el siguiente ejemplo.

Figura 2

Wt

dielectrico, εr h

W

t dielectrico, εrbPlanos de Tierra

0.8W + t√ εrf +1.41

87 5.98h

√ εr

60 4b0.67πW(0.8 + t/W)

Figura 3

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Ejemplo de Diseño

1.- Descripción del Circuito

El circuito que se analiza a con-tinuación es una red de conmuta-ción tipo crossbar para un multi-procesador de 8 procesadores. Latecnología de los dispositivos utili-zados es CMOS, con empaque demontaje de superficie y encapsula-miento de plástico (arreglo de com-puertas programables, dispositivoTPC 1280A de Texas Instruments)[4]. El diseño requiere 32 dispositi-vos de 160 terminales, que midenaproximadamente 32 mm por lado.Se estimó que el circuito impresomediría por el orden de 45 x 35 cm,y que se requerirían cinco capas,incluyendo una capa de tierra y unade alimentación.

Desde el punto de vista de distri-bución de señales, la vía más críticaestá constituida por la interface entreun procesador anfitrión, y los ochoprocesadores que conforman elmultiprocesador propiamente dicho.Un dispositivo establece la comuni-cación entre el bus de expansión delprocesador anfitrión, con otros 8dispositivos, ubicados a distanciascada vez mayores, correspondien-tes a los respectivos procesadoresdel esquema de multiprocesamien-to. Lo que se desea conocer es lamagnitud del retardo introducidopor el esquema de interconexión.Concretamente, la pregunta es si sepuede operar la interface a la velo-

cidad del bus de expansión de lamáquina anfitriona. Por otra parte,se desea saber si el circuito impresoconserva una calidad aceptable delas señales, esto es, que no se gene-ren sobretiros que comprometan ladetección confiable de transicioneslógicas o, inclusive, la integridadfísica de las componentes.

Para el subsecuente análisis sesupone una frecuencia de opera-ción de la interface de 25 MHz. Porotra parte, la capacidad de corrien-te de salida sostenida del dispositivode interface es de 25mA. La capa-cidad parasítica asociada a cadaterminal de los dispositivos utiliza-dos es de 5pfd. En virtud de que latecnología utilizada es CMOS, seconsidera una impedancia de entra-da de los dispositivos puramentecapacitiva.

En lo subsecuente se utilizará eltérmino «mils» para designar milési-mas de pulgada. Para una primeraversión del circuito impreso se utili-zaron reglas de diseño de 25 mils,con pistas de 11 mils de ancho y 1.4mils de grosor. Las diferentes capasdel circuito están ubicadas como semuestra en la figura 4.

Para un circuito impreso de1/16" de grosor, esto es, de 62.5mils, y con capas de cobre de 1.4mils, la separación entre capas esde aproximadamente 14 mils. Así,la cara de componentes está sepa-rada del plano de tierra por 29.4mils, con una constante dieléctricaefectiva dada por la expresión (7).

La separación entre el plano deconductores y el de tierra es de 14mils, con una constante dieléctricaefectiva aproximadamente igual ala del material del circuito impreso.Lo anterior obedece a que el planode conductores está totalmente in-merso en dicho material, a diferen-cia de las caras de componentes yde soldadura que están inmersas enaire. Finalmente, la cara de solda-dura está separada del plano dealimentación por 14 mils, con unaconstante dieléctrica efectiva dadapor la expresión (7).

En el diseño del circuito se buscóevitar que conductores paralelosubicados en la cara de componen-tes y en el plano de conductores seencontraran ubicados uno encimadel otro, esto es, se trató mantenerun desplazamiento horizontal comoel que se indica en la figura. Por otraparte, se limitó la longitud de losconductores de la cara de compo-nentes al mínimo, con objeto dereducir acoplamientos capacitivoscon el plano de conductores.

2.- Calculo de la PrimeraVersión

Para todos los cálculos se asumeun valor de 4.7 para la constantedieléctrica relativa del material ais-lante del circuito (epoxy-fibra devidrio). Para las dimensiones dadasarriba:

2.1 Cara de componentes.

2.1.1 Constante dielétricaefectiva.

Aplicando la ecuación (7), se tiene:

εrf = [(εr+1) + (εr-1)(1+10h/W)-1/2]/2

= [(4.7+1) + (4.7-1)(1+10x29.4/11)-1/2] 2 = 3.202

cara de componentes

plano de conductores

plano de tierra

plano de alimentación

cara de soldadura

Figura 4.



2.1.2 Velocidad dePropagación.

Aplicando (9), resulta:

v = c/√erf = 300/√3.202 = 167.7 mm/ns = 167.7x106 m/s.

2.1.3 Impedancia Característica.

De acuerdo con (6):

Z0 = ln ( )

= ln ( )

=

2.2 Plano de Conductores.

2.2.1 Constante DielétricaEfectiva:

Se tomará el valor de 4.7, dadoque los conductores están inmersosen el material aislante.

2.2.2 Velocidad de Propagación.

Aplicando (9), con εr = 4.7, re-sulta para v = 138.4 mm/ns, estoes, v = 138.4 x 106m/s.


Aplicando (6), con h=14, se ob-tiene Z

0 = 74.1Ω.

2.3 Cara de Soldadura.

2.3.1 Constante DielétricaEfectiva.

Aplicando (7), con h = 14, resul-ta εrf = 3.35.

2.3.2 Velocidad de Propagación.

Para εrf = 3.35,

v = 163.9 mm/ns =

163.9 x 106m/s.


Aplicando (6), con h=14, se obtie-ne Z

0 = 83.95Ω.

2.4 Distribución Física deComponentes.

Las distancias promedio entre eldispositivo de interface del procesa-dor anfitrión (IA), y los dispositivosde interface a los 8 procesadoresdel multiprocesador (IP

n, n = 0,

1,..,7), son las indicadas en la figu-ra 5 (medidas en mm). Las interco-nexiones horizontales correspon-den al plano de conductores, y lasverticales a la cara de soldadura.Asociado a cada dispositivo IP

n exis-

ten conexiones ubicadas en la carade componentes, con longitud pro-medio de 25mm. Las conexionescorrespondientes al dispositivo IAubicadas en la cara de componen-

√ εrf +1.4187 5.98h

0.8W + t

√ 3.202+1.4187 5.98x29.4

0.8x11+1.4

115.34Ω

Figura 5.

l2a

l1

l3a

l2f

l1

l3f

l2b

l1

l3b

l2h

l1

l2g

l1

l3g

l2e

l1

l3e

l2c

l1

l3c

l2d

l1

l3d

Figura 6.

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tes poseen longitud despreciable. Acontinuación se determinará la im-pedancia equivalente de entrada alcircuito impreso, vista desde el dis-positivo IA. Como se mencionópreviamente, los dispositivos IP

nposeen características de entradaesencialmente capacitivas, de 5 pfden cada terminal.

2.5 Procedimiento deCálculo.

2.5.1 Circuito Equivalente.

Por lo discutido en el punto 2.4,la distribución física de componen-tes da origen al circuito equivalentemostrado en la figura 6. Las líneasl1 poseen una longitud de 25 mm y

están ubicadas en la cara de compo-nentes. Las líneas l

2a, ..., l

2h poseen

la longitud indicada en la figura 5 ycorresponden a la cara de soldadu-ra y, finalmente, las líneas l

3a, l3c, ...,

l3h

están ubicadas en el plano deconductores y poseen una longitudde 55 mm.

2.5.2 Ecuaciones de Cálculo.

Para una constante de atenua-ción puramente imaginaria, y conbase en las identidades cosh(jx) =cos(x), senh(jx) = jsen(x), la ecuación(1) puede escribirse como:

Ze = Z

0 [ ] 10

y, para Zr = 1/jwC

r, se tiene:

Ze = -jZ0 [ ] 11

De la expresión anterior se des-prende que, para valores de βLpequeños, la impedancia de entra-da a la línea es capacitiva. Sea Ze =1/jωCe. Entonces, la capacidad equi-valente de entrada a la línea, Ce,está dada por:

Ce = C

r [ ] 12

Esto es, para valores de βL pe-queños, el efecto de la línea consis-te en amplificar la capacidad decarga, C

r, por un valor que depende

de la frecuencia de la señal, y de lalongitud, impedancia característicay velocidad de propagación de lalínea. Supóngase una señal de 25MHz, esto es, sea ω= 2πf =157.1x106. Por otra parte, consi-dérese la cara de soldadura del cir-cuito, para la cual Z

0 = 84Ω. De la

ecuación (5), se tiene que:

β = ω/v = 157.1x106/163.9x106

= 0.9585 rad/m.

Para una capacidad Cr = 5 pfd,

de (12) se desprende que Ce tiende

a infinito si L = 1.567 m. Para lavelocidad de propagación y frecuen-cia indicadas, esta longitud corres-ponde, aproximadamente, a0.239λ, donde λ es la longitud deonda.

2.5.3 Determinación de laCapacidad de Entrada

Equivalente.

Para resolver el circuito equiva-lente de la figura 6, se obtendrá lacapacidad de entrada C1a, ..., C1h

reflejada en los nodos a, ..., h, asícomo los valores resultantes en losnodos a, ..., h debido a los segmen-tos de línea l2a, l2b, ..., l2h. Sea C2a,C2b, ..., la capacidad de entrada a laslíneas l2a, l2c,... vista desde los nodosa, b, ... Similarmente, sea C3a lacapacidad de entrada a la línea l3a, yC3c, ..., C3h la capacidad de entradaa las líneas l3c, ..., l3h. La capacidadasociada a un nodo determinado esla suma de las capacidades de entra-da de las líneas que emanan delmismo nodo. Así, Cg = C3h + C2g,etc. La capacidad de entrada vistapor la fuente, esto es, la capacidadasociada al nodo b, puede obtener-

se entonces calculando, en secuen-cia, las capacidades asociadas a losnodos a, h, g,..., y c.

Para C1a

, ..., C1h

se tiene:

β = ω/v= 157.1x106/167.7x106

= 0.9368 rad/m, L = 0.025 m,

ωZ0 = 157.1x106x115.34 = 0.01812x1012

Para Cr = 5x10-12 y substituyendo

en (12), se obtiene:

C1a = 6.306 pfd

Este valor es el mismo para losnodos a, b, ..., h. Las líneas l

2a,

l2b

,... están ubicadas en la cara desoldadura. Para C

2a, C

2b,..., se tie-

ne, entonces :

β = 157.1x106/163.9 x106

= 0.9585 rad/m

ωZ0 = 157.1x106x83.95= 0.01319x1012

Substituyendo C1a

, ... por C

r en

la ecuación (12), se obtiene:

C2a= C2b= 22.93pfdC2c= C2d= 18.63pfdC

2e= C

2f= 14.45pfd

C2g

= C2h

= 10.34pfd

Las líneas l3a, l3c,... están ubica-das en el plano de conductores,para el cual:

β = 157.1x106/138.4 x 106

= 1.1351 rad/m,Z0 = 74.1ΩyωZ

0 = 0.01164x1012

A partir de los valores para C2a

,..., C

2h y substituyendo en (12) se

obtiene:

C3h

= 15.83 pfd, yCg = C3h + C2g

= 15.83 + 10.34 = 26.17 pfd

ZrcosβL + jZ

0senβL

Z0cosβL + jZrsenβL

(1/ωCr)cosβL - Z

0senβL

Z0cosβL + (1/ωCr)senβL

cosβL - ωCrZ

0senβL

cosβL + (1/ωCrZ0)senβL



C3g = 32.16 pfd, yC

f= C

3g +

C

2f

= 32.16 + 14.45 = 46.61 pfd

C3f

= 53.81 pfd, yCe = C3f + C2e

= 53.81 + 14.45 = 68.26 pfd

C3e = 77.49 pfd, yC

d= C

3e +

C

2d

= 77.49 + 18.63 = 96.12 pfd

C3d = 109.13 pfd, yCc = C3d + C2c

= 109.13 + 18.63 = 127.76 pfd

C3c

= 145.06 pfdC3a = 28.78 pfd

Finalmente:

Cb

= C3c

+ C3a

+ C2b

= 145.06 + 28.78 + 22.93= 196.77 pfd

2.6 Discusión.

Para el circuito impreso discuti-do, el dispositivo de interface IA«ve» una capacidad de carga deaproximadamente 200 pfd en cadaterminal. Los dispositivos utilizadosen el diseño [4] especifican retar-dos de salida con base en una capa-cidad de carga nominal de 50 pfd.

Para cargas capacitivas mayo-res, el incremento de los retardos depropagación está especificado comode 0.1ns/pfd. Aquí, el retardo adi-cional introducido por el dispositivosería, entonces, de 15 ns. Por otraparte, el retardo de propagaciónasociado al circuito entre los dispo-sitivos IA e IP

7 es de, aproximada-

mente, 2.72 ns. Así, el retardoadicional total es del orden de 18ns. Este valor es equivalente a casiun semiperíodo de la frecuencia deoperación considerada.

Dada la magnitud de los retar-dos asociados a la lógica interna delos dispositivos utilizados, así comode las señales de interface del bus deexpansión, este retardo no propor-

cionaría márgenes de seguridadaceptables en términos de una ope-ración confiable.

3.- Cálculo de la SegundaVersión

3.1 Alternativas deModificación.

El factor que más influye en elefecto multiplicador de las capaci-dades asociadas al circuito es, evi-dentemente, la longitud de las lí-neas de interconexión. Esto es, laprimera opción a considerar es la dereducir el tamaño del circuito.

Por otra parte, elevar la impe-dancia característica, así como lavelocidad de propagación, reduceel efecto multiplicador arriba citado(véase la ecuación 12). Nótese, sinembargo, que una mayor impedan-cia característica tiende a incremen-tar el efecto de acoplamientos entreconductores vecinos y, en general,a incrementar el nivel de ruido delcircuito. La velocidad de propaga-ción depende en gran medida de laconstante dieléctrica del materialaislante empleado en el circuitoimpreso.

En este sentido, el teflón-fibrade vidrio parece constituir la mejoropción (ε

r = 2.2). Las dimensiones

físicas de los conductores, así comola separación entre éstos y planosde tierra, afectan, principalmente,la impedancia característica. Enparticular, el reducir el ancho delconductor, y el incrementar la sepa-ración entre conductor y plano detierra, conduce a impedancias ca-racterísticas mayores.

A continuación, se analiza unaversión del circuito basada en reglasde diseño de 20 milésimas de pulga-da. El ancho de los conductores dela cara de componentes es 9 mils.En el plano de conductores y carade soldadura, el ancho de conduc-tores es 7 mils. La separación entreconductor y plano de tierra (14mils), así como el grosor de losconductores (1.4 mils) no fueronalterados. La reducción de las re-glas de diseño generó como resulta-do una distribución física de lascomponentes como se muestra enla figura 7, con medidas expresa-das en mm.

Figura 7.

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3.2 Determinación de laCapacidad Equivalente.

El procedimiento de cálculo es elmismo al seguido anteriormente,por lo que no se repetirá aquí. Losresultados obtenidos son los siguien-tes:

3.2.1 Parámetros.

Cara de componentes:ε

rf = 3.167 v = 168.5x106m/s,

Z0 = 122.72Ω

Plano de conductores:εrf = 4.7 v = 138.4x106m/s,Z0 = 87.34Ω

Cara de soldadura:ε

rf = 3.254 v = 166.3x106m/s,

Z0 = 99.97Ω

3.2.2 Cálculo de CapacidadesReflejadas.

Para C1a

, ..., C1h

se tiene:

β = 157.1x106/168.5x106

= 0.9323 rad/m,L = 0.025 m,Z

0= 122.72Ω

Para Cr = 5x10-12 y substituyendo

en (12), se obtiene C1a, ..., C

1h =

6.22 pfd

Para C2a, C

2b,..., resulta:

β = 157.1x106/166.3 x106

= 0.9447 rad/m,Z0 = 99.97Ω

Substituyendo C1a

, ... por C

r en

la ecuación (12) y los valores de Lindicadas en la figura 7, se obtie-ne:

C2a

= C2b

= 17.96pfdC2c= C2d= 14.95pfdC

2e= C

2f= 11.99pfd

C2g

= C2h

= 9.09pfd

Las líneas l3a

, l3c,... están ubica-

das en el plano de conductores,para el cual:

β = 157.1x106/138.4 x 106

= 1.1351 rad/m,Z

0= 87.34Ω

A partir de los valores para C2a

,..., C

2h y substituyendo en (12) se

obtiene:

C3h= 13.07pfd, yC

g= C

3h +

C

2g= 13.07+9.09 = 22.16pfd

C3g

= 26.48pfd, yCf = C3g + C2f

= 26.48+11.99 = 38.47pfd

C3f

= 43.59pfd, yC

e= C

3f +

C

2e

= 43.59+11.99 = 55.58pfd

C3e

= 62.00pfd, yC

d= C

3e +

C

2d

= 62.00+14.95 = 76.95pfd

C3d

= 85.67pfd, yC

c= C

3d +

C

2c= 85.67+14.95 = 100.62pfd

C3c= 112.83 pfdC

3a= 22.14pfd

Así, la capacidad de carga que«ve» el dispositivo IA es:Cb = C3c + C3a + C2b

= 112.83 + 22.14 + 17.96= 152.93 pfd.

3.3 Discusión.

La reducción en las longitudesde los conductores del orden del15%, así como la reducción delancho de estos conductores, pro-dujo una reducción de la capacidadequivalente de carga de casi 44 pfd.El retardo de propagación adicionaldel dispositivo IA es de aproximada-mente 10.3ns. Por otra parte, elretardo introducido por la separa-

ción entre los dispositivos IA e IP7 es

de:

(6 x 0.047) + 0.047 + 0.025

= 2.47ns

Esto es, para este circuito elretardo adicional total es de aproxi-madamente 12.8ns, una reducciónde 5.2ns con respecto a la primeraversión. Resultados de simulaciónefectuados con los valores anterio-res demuestran que el circuito ope-ra confiablemente en estas condi-ciones.

Con objeto de estimar la calidaden las formas de onda presentes enlos dispositivos IP

0, ..., IP

7, se pro-

pone el siguiente análisis. La dura-ción mínima de las señales de inter-face generadas por el dispositivo IAes de 2 períodos de la frecuencia deoperación nominal, esto es, de 80ns. Supóngase que el dispositivo IAgenera una onda trapezoidal delmismo período (12.5 MHz), conuna amplitud TTL compatible de2.8 Volts (figura 8).

Bajo la condición de que t1 + t0

= T/2, la forma de onda anterioradmite una expansión en serie deFourier de la forma [5]:

f(t) = a0 + a1cos(ω0t) + a3cos(3ω0t) + ... 14

donde:

a0 = A[(t0 + t1)/T]an = 2a0[senπnt1/T]/(pnt1/T)

[senpn(t0 + t

1)/T]/[pn(t

0 + t

1)/T],

n impar

3.4 Formas de Onda en losDispositivos Receptores.

La determinación de la forma deonda en el extremo receptor de unalínea de transmisión involucra ladeterminación de los factores de

(138.4 x 106) (166.3x106) (168.5x106)



dispositivo destino considerado.Aquí, se analizará la señal de entra-da a los dispositivos IP

1 e IP

7, que

representan, respectivamente, lasdistancias de interconexión menory mayor con respecto al dispositivofuente IA (figura 7). La tabla 1 (enla siguiente página) reproduce losvalores obtenidos con base en laecuación (10) para cada uno de losnodos de interés y el rango defrecuencias correspondiente a loscoeficientes considerados arriba.

Para determinar la amplitud decada una de las componentes defrecuencia consideradas en el nodob, se supondrá que las salidas deldispositivo IA pueden ser modela-das como una fuente de tensiónideal, en serie con una resistenciade salida. El valor de dicha fuente noes publicado [4]. Sin embargo, dis-positivos modernos tienden a pro-porcionar una impedancia de salidasimilar a la impedancia característi-ca de circuitos impresos multicapa.Aquí se considerará una resistenciade salida de 100 Ω (figura 10).

Así, para las impedancias pre-sentes en el nodo b y a las frecuen-cias consideradas, y suponiendo quela respuesta a la frecuencia de lafuente ideal es constante, se obtie-nen las relaciones V

b/V

e que se

muestran en la tabla 2.

Considérese la expansión en se-rie de Fourier de la señal trapezoidal

reflexión en los extremos emisor yreceptor, y la aplicación del princi-pio de superposición de las ondasemitidas y reflejadas por la línea.Análisis de este tipo son en extremolaboriosos para estructuras como ladel presente problema. En conse-cuencia, se propone un estudio sim-plificado basado en el cálculo de lasamplitudes de las componentes defrecuencia de la forma de ondaconsiderada, basado en la ecuación(2), discutida al inicio del articulo:

Vr = Ve [ ] 2

La determinación de los coefi-cientes de (14) requiere el conoci-miento del tiempo de transición t1

de la forma de onda propuesta.Desafortunadamente, el manual deldispositivo utilizado [4] no especifi-

ca este valor. Se considerará unapendiente de 1V/ns. Substituyen-do en (14), se obtienen los siguien-tes valores para los coeficientes a

0,

..., a9:

a0 = 1.4, a

1 = 1.779,

a3 = -0.583, a

5 = 0.339,

a7 = -0.255, a9 = 0.198

La figura 9 muestra la expan-sión de la serie para los coeficientesindicados.

La determinación del voltaje efec-tivo presente en el nodo b (véase lafigura 6) depende de la impedan-cia de entrada existente en estenodo para cada una de las compo-nentes de frecuencia consideradas.Por otra parte, la aplicación de (2)requiere la determinación de losvalores Zr asociados a cada nodoubicado entre la fuente (nodo b) y el

1[1+(R/Zb)

2]1/2 Vb = Ve tg

-1R/Zb

Figura 10

Ω

ZrcoshgL + Z0senhgL Zr

Figura 8

Figura 9

Zr

ZrcoshγL + Z

0senhγL

18 polibits 1995


100 pfd, para elrango de fre-cuencias consi-derado. Por lotanto, los coefi-cientes de la ex-pansión en seriede la señal V

b es-

tarán dados porel producto de loscoeficientes a

n y

los factores co-rrespondientes ala amplitud nor-malizada, dadosen la tabla 2.

b0 = 1.4,

b1 = 1.795,b

3 = -0.201,

b5 = 0.029,

b7 = -0.443,

b9 = 0.073

La expansiónen serie deFourier del volta-je V

b toma la for-

ma:

Vb = 1.4 + 1.795 cos(ω0t - 0.827) - 0.201cos(3ω0t - 1.354) + 0.029cos(5ω0t - 1.525) - 0.443cos(7ω0t - 0.826) + 0.073cos(9ω0t - 1.481)

donde ω0 = 2π(12.5x106)

Con base en la ecuación (2) sepuede obtener la tensión existenteen cada uno de los nodos conside-rados. Para cargas puramente reac-tivas, ya sea capacitivas, o inducti-vas, la ecuación (2) toma la forma:

Vr = Ve [ ] 15

En la expresión anterior, Zr está

expresado con el signo.

Para el dispositivo IP1, los nodos

de interés son el b, así como el deentrada al dispositivo (figura 6).Aplicando (15) a los nodos citados,se obtienen los valores para V

r /V

emostrados en la tabla 3.

Sea Vdn la tensión presente en la

entrada del dispositivo IPn, y sean

dnk

los coeficientes de la expansiónen serie de Fourier de V

dn. Enton-

ces, el valor de los coeficientes dnk

está dado por los coeficientes bk,

multiplicado por los factores Vr /V

ecorrespondientes a los nodos ubi-cados entre el nodo b y la entrada aldispositivo IP

n. Así, para el disposi-

tivo IP1, el valor de d11

está dadopor 1.008 x 1.001 x b

1 = 1.811,

etc. La expansión en serie con loscoeficientes d

1k se grafica en la fi-

gura 11.

En dicha figura, VH(min.)

es el valormínimo correspondiente al nivellógico de entrada alto. Similarmen-te, V

L(máx.) es el nivel máximo corres-

pondiente al nivel lógico de entradabajo. La señal graficada con líneadelgada corresponde a la fuenteideal considerada (V

e), mientras que

la gráfica de línea gruesa reproducelas señales de entrada del dispositi-vo IP

1.

Para el dispositivo IP7, los nodosinvolucrados, además del corres-pondiente a la entrada del dispositi-vo, son el c, d, e, f, g, h y h (figura6). Los valores para Vr /Ve son losmostrados en la tabla 5.

nodo 12.5 37.5 63.5 87.5 112.5MHz MHz MHz MHz MHz

ZPE1 - ZPE7 -2546j -849j -509j -364j -283jZ1 -2049j -680j -404j -285j -217j

Z2a = Z2b -722j -229j -122j -70j -35jZ

2c= Z

2d-863j -278j -154j -96j -60j

Z2e= Z2f -1070j -349j -199j -132j -91jZ2g = Z2h -1407j -463j -271j -186j -137j

Z3h -982j -320j -183j -121j -84jZ

g = Z

2g Z

3h-578j -189j -109j -73j -52j

Z3g -489j -155j -83j -49j -27jZ

f= Z

2f Z

3g-336j -107j -59j -36j -21j

Z3f

-303j -91j -43j -18j 0.4jZe= Z2e Z3f -236j -72j -35j -16j 0.4j

Z3e

-218j -61j -22j 0.5j 22jZd= Z2d Z3c -174j -50j -19j 0.5j 34j

Z3d -163j -41j -7j 17j 61jZc= Z2c Z3d -137j -36j -7j 21j -3660j

Z3c -129j -28j -5j 39j -323jZ

3a-590j -183j -93j -46j -12j

Zb= Z3a Z2b Z3c -92j -22j -4.6j -96j -9j

discutida anteriormente. Para Ve se

obtuvieron los siguientes coeficien-tes:

a0 = 1.4,a1 = 1.779,a

3 = -0.583,

a5 = 0.339,

a7 = -0.255,

a9 = 0.198

De acuerdo con las especifica-ciones, el dispositivo IA es capaz degenerar una señal TTL compatiblecon cargas capacitivas en exceso de

Tabla 1

Vb/V

e12.5 37.5 63.5 87.5 112.5MHz MHz MHz MHz MHz

amplitud 0.677 0.215 0.046 0.693 0.090ampl. norm. 1 0.318 0.068 1.024 0.133

fase -0.827 -1.354 -1.525 -0.826 -1.481

Tabla 2


b’ 1.008 1.080 1.255 1.643 2.724entrada 1.001 1.006 1.016 1.032 1.054

Tabla 3

1cosβL + (Z0/Zr)senβL



Los valores de la fila «producto»son el resultado de multiplicar todoslos valores de la columna corres-pondiente a cada entrada. Proce-diendo de manera similar al casoanterior, se obtiene, para los coefi-cientes d

7k:

d70

= 1.4,d71 = 1.899,d

73 = -0.377,

d75

= -0.274,d

77 = 0.754,

d79 = -0.076

La expansión en serie, con loscoeficientes anteriores, está grafi-cada en la figura 12.

3.5 Análisis de las formasde onda.

La señal recibida por el disposi-tivo IP1 es satisfactoria (figura 11),en el sentido de que no presentasobretiros excesivos y que es mono-

tónica en el rango VH(min.)

- VL(máx.)

.Para el caso del dispositivo IP

7, lo

anterior no se cumple (figura 12).Por una parte, las oscilaciones ne-gativas poseen una amplitud picode -1.45 V, un valor potencialmen-te peligroso para el dispositivo. Porotra, la señal no es monotónicadentro de los límites establecidos

para señales TTLcompatibles, loque puede pro-vocar deteccio-nes erróneas delos niveles lógi-cos. Obsérvese,sin embargo, quelas oscilacionescorresponden ala séptima armó-nica, esto es, a87.5 MHz. Aesta frecuencia,

y para el dispositivo considerado,no se cumple la suposición de que laresistencia óhmica del circuito esdespreciable. De la tabla de impe-dancias de la página 15 se despren-de que la impedancia en el nodo des inductiva, e igual a 0.5 Ω. Estevalor es comparable al de la resis-tencia de alta frecuencia asociada ala línea, por lo que ésta no puede serdespreciada en este caso.

Por otra parte, la suposición deque la fuente Ve posee respuesta ala frecuencia constante no se cum-ple en la práctica. Tanto el amplifi-cador de salida, como la conexiónfísica entre la terminal del dispositi-vo y el amplificador, poseen carac-terísticas de frecuencia similares alas de un filtro pasabajos. Para eldispositivo considerado no se dis-pone de información en este senti-do, pero no es razonable suponerque a 87.5 MHz no se presentedeterminada atenuación y desfasa-miento.

Finalmente, la forma de ondaconsiderada admite un tratamientomatemático sencillo, pero corres-ponde sólo de manera aproximadaa una señal físicamente realizable.La expansión en serie de Fourier deesta señal posee componentes de

Figura 11


entrada 1.001 1.006 1.016 1.032 1.054c 1.018 1.246 -1.497 0.570 1.036d 1.014 1.167 2.632 0.030 0.632e 1.010 1.111 1.517 -32.649 0.018f 1.007 1.073 1.259 1.879 -57.226g 1.004 1.042 1.130 1.315 1.748h 1.002 1.019 1.055 1.117 1.220h’ 1.001 1.012 1.035 1.071 1.125

producto 1.058 1.874 -9.434 -1.703 -1.042

Tabla 5

Figura 12

20 polibits 1995


alta frecuencia mayores a lo quepuede esperarse en la realidad.

Resumiendo, es de esperarseque el dispositivo IP

7 reciba señales

de mayor contenido armónico queel IP

1, pero en menor medida a la

que el presente análisis indica. Antela falta de mayor información técni-ca del dispositivo utilizado, este as-pecto deberá ser evaluado experi-mentalmente.

4.- ResultadosExperimentales Preliminares

Se midió la velocidad de propa-gación en las capas de conductoresy soldadura, utilizando una resisten-cia de fuente, y de terminación, de100 Ω. Los valores obtenidos coin-ciden, dentro del error experimen-tal, con lo reportado en el punto3.2.1. No fue posible medir la im-pedancia característica, por no dis-poner del equipo necesario. Se mi-dió la resistencia óhmica de losconductores, encontrándose 9.3 Ω/m en la capa de conductores, y2.7Ω/m en la de soldadura.

Se simuló la presencia de losdispositivos IP

0 - IP

7 en una línea del

bus que los comunica con el dispo-sitivo IA, mediante condensadoresde 5.6 pfd. Se aplicó una ondacuadrada de 25 MHz en el nodo b,con una amplitud de 2.8 V pico apico y una resistencia de fuente de100 Ω. Los tiempos de ascenso ydescenso de la señal fueron de 4.5ns. La figura 13 reproduce la for-ma de onda observada (trazo grue-so) y la obtenida mediante el análisisdescrito en el punto anterior (trazofino) para el dispositivo IP

0. De

manera similar, la figura 14 repro-duce las formas de onda correspon-dientes al dispositivo IP

7. Los retar-

dos observados coinciden aproxi-madamente con los valores calcula-dos. El contenido armónico obser-

vado, particularmente en la figura14, es considerablemente inferioral obtenido por el análisis descrito.Esto confirma la observación hechaarriba que en líneas largas, la resis-tencia óhmica no puede ser despre-ciada, y que el cálculo debe efec-tuarse con base en valores para laimpedancia característica y cons-tante de atenuación que incluyan aesta resistencia.

Bibliografía

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Figura 13

Figura 14

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Estimación de Parámetros de Circuitos Impresos: Un … de...10 polibits 1995 Estimación de ParÆmetros de Circuitos Impresos: Un Estudio de Caso te, la geometría de los distintos