Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SENDIKMAD 2012 1
ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL DENGAN
MODEL REGRESI LINIER BERGANDA BAYESIAN
Vania Mutiarania, Adi Setiawan
b, Hanna Arini Parhusip
c
a Program Studi Matematika FSM UKSW
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] b Program Studi Matematika FSM UKSW
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] c Program Studi Matematika FSM UKSW
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected]
ABSTRAK
Regresi linier berganda merupakan model regresi linier dengan satu variabel dependen dan
lebih dari satu variabel independen. Dalam makalah ini, diambil data SUSENAS (Survey Sosial
Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan sebagai variabel dependen dan
pengeluaran masyarakat Salatiga (pengeluaran untuk konsumsi makanan dan pengeluaran untuk
konsumsi non makanan) sebagai variabel independen dengan sampel 𝑛 = 135. Hubungan antar variabel tersebut membentuk garis lurus yang tidak dapat ditentukan secara tepat dan
membutuhkan taksiran parameter yang dapat dicari menggunakan model regresi linier Bayesian
yaitu dengan merancang rantai Markov dari distribusi posterior (dari model regresi linier Bayesian)
dengan bantuan Gibbs sampling. Sehingga dengan mencari rata-rata dari sebanyak 4500 nilai
Gibbs sampler diperoleh hasil taksiran parameter yaitu 𝜍2 = 0.032, 𝛽0 = 1.44, 𝛽1 = 0.355, dan 𝛽2 = 0.493 dan dihasilkan pula fungsi densitasnya. Dari fungsi densitas tersebut dihasilkan interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2 berturut-turut yaitu (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan (0.365, 0.621).
Kata Kunci : model regresi linier berganda Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel.
ABSTRACT
Multiple linear regression is a linear regression model using one dependent variable and
more than one independent variable. In this paper, data are taken SUSENAS (National Socio-
Economic Survey) from BPS Salatiga in 2011. The income is supposed as the dependent variable
and expenditure of Salatiga society (expenditure for food consumption and non-food consumption
expenditure) as an independent variable with sample size of 𝑛 = 135. The relationship between these variables form a straight line that can not be precisely determined and requires estimates of
parameters using the Bayesian linear regression model. Markov chain design can be constructed
based on the posterior distribution (Bayesian linear regression model) using Gibbs sampling. So by
finding the average of the 4500 of the Gibbs sampler values, point estimation of parameters can be
found i.e. 𝜍2 = 0.032 , 𝛽0 = 1.44 , 𝛽1 = 0.355 , and 𝛽2 = 0.493 and also its density function. Based on the density function can be found 95% credible intervals for each parameter estimates 𝜍2, 𝛽0, 𝛽1, and 𝛽2 respectively are (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) and (0.365, 0.621) .
Keywords : Bayesian multiple linear regression model, parameter estimates, credible intervals.
SENDIKMAD 2012 2
Pendahuluan
Analisis regresi merupakan alat
statistik yang banyak digunakan dalam
berbagai bidang yang bertujuan untuk
mengetahui hubungan antara variabel
dependen dan variabel independen
(Suwarno, 2009). Hubungan antara
variabel dependen dan independen
membentuk garis lurus yang disebut juga
garis regresi yang tidak dapat ditentukan
secara tepat sehingga diperlukan taksiran
parameter untuk model regresi linier.
Untuk memperoleh taksiran parameter
tersebut, biasanya dicari dengan metode
kuadrat terkecil. Namun, ada cara lain
yaitu dengan model regresi linier
Bayesian.
Pada makalah terdahulu
(Mutiarani dkk., 2012) telah dijelaskan
tentang penerapan model regresi linier
Bayesian untuk mengestimasi parameter
dan interval kredibel dengan mengambil
data SUSENAS tahun 2011 yang
diperoleh dari BPS Salatiga yaitu
pendapatan dan pengeluaran masyarakat
Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30 . Untuk
mengestimasi parameter garis regresi
dengan model regresi linier Bayesian,
dirancang rantai Markov dari distribusi
posterior yaitu dengan bantuan Gibbs
sampling sebanyak 5000 iterasi dan
diperoleh taksiran parameter yang
merupakan rata-rata dari nilai Gibbs
sampler yaitu 𝜍2 = 0.0057 , 𝛽0 = 2.101
dan 𝛽1 = 0.708 sehingga persamaan
garis regresi dugaan : 𝑦𝑖 = 2.101 +
0.708 𝑥𝑖 dengan 𝑦𝑖 adalah dugaan untuk
pendapatan masyarakat dan 𝑥𝑖 adalah
pengeluaran masyarakat. Dari nilai-nilai
Gibbs sampler yang telah didapatkan,
dihasilkan fungsi densitas untuk masing-
masing parameter sehingga interval
kepercayaan Bayesian (interval kredibel)
95% untuk taksiran parameter 𝜍2 adalah
(0.0034, 0.0097), untuk 𝛽0 yaitu (1.607,
2.601) dan (0.6282, 0.7879) untuk
parameter 𝛽1.
Dalam penelitian ini dilakukan
pengembangan dari makalah sebelumnya
yaitu dengan model regresi linier
berganda. Regresi linier berganda
merupakan model regresi linier dengan
satu variabel dependen dan lebih dari satu
variabel independen. Dalam makalah ini
akan digunakan model regresi linier
berganda dalam konteks Bayesian.
Dengan mengambil data SUSENAS
(Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun
2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan
dan pengeluaran masyarakat Salatiga
(pengeluaran untuk konsumsi makanan
dan pengeluaran untuk konsumsi non
makanan) dengan sampel 𝑛 = 135, akan
dijelaskan bagaimana mengestimasi
parameter dan interval kepercayaan
Bayesian (interval Kredibel) dengan
model regresi linier berganda Bayesian.
SENDIKMAD 2012 3
Dasar Teori
1. Regresi Linier Berganda Bayesian
Dalam statistik, regresi linier
Bayesian merupakan pendekatan untuk
regresi linier dimana analisis statistik
yang dilakukan dalam konteks inferensi
Bayesian (Web 1). Saat model regresi
memiliki error yang berdistribusi normal,
dan jika bentuk khusus dari distribusi
prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia
untuk distribusi probabilitas posterior
dari parameter model.
Analisis regresi linier berganda
adalah pengembangan dari analisis
regresi linier sederhana. Analisis regresi
linier berganda ialah suatu alat analisis
peramalan nilai pengaruh dua atau lebih
variabel independen terhadap variabel
dependen untuk membuktikan ada atau
tidaknya hubungan fungsi atau hubungan
kausal antara dua variabel atau lebih
𝑋1 , 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛 dengan satu variabel
dependen (Suwarno, 2009).
Persamaan regresi ganda dengan
dua variabel bebas dirumuskan:
𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝜀𝑖
dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan galat
𝜀𝑖~𝑁(0, 𝜍2).
Fungsi likelihood :
𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍2 ∝ 𝜍2 −𝑛/2 exp −1
2𝜍2 𝐲 − 𝐗𝜷 𝑇 𝐲 − 𝐗𝜷 .
dengan 𝐗 = 𝟏 𝑥1𝑖 𝑥2𝑖 ; 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 T.
1.1. Distribusi Prior Konjugat
Prior konjugat adalah suatu prior
yang jika dikombinasikan dengan fungsi
likelihood akan menghasilkan suatu
posterior dengan distribusi yang sama
dengan distribusi prior (Gelman, 2006).
Dengan 𝜷 = 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 T , bentuk untuk
prior :
𝑝 𝜷, 𝜍2 = 𝑝 𝜍2 𝑝 𝜷 𝜍2
dengan 𝜍2 berdistribusi Inv −
Gamma(𝑎0, 𝑏0) dengan 𝑎0 = 𝑣0/2 dan
𝑏0 = 𝑣0𝑠02 dengan 𝑣0 = 1 dan 𝑠0
2 = 1 .
Kepadatan prior ditulis sebagai
𝑝 𝜍2 ∝ 𝜍2 − 𝑣0/2+1 exp −𝑣0𝑠0
2
2𝜍2 .
Lebih lanjut, prior bersyarat 𝜷|𝜍2
berdistribusi 𝑁(𝝁0, 𝜍2𝚲0
−1) . Pada
makalah ini, 𝝁0 = 𝛽0(0)
, 𝛽1(0)
, 𝛽2 0
T
=
0, 0, 0 T , 𝚲0 = I dan memiliki kepadatan
prior bersyarat :
𝑝(𝜷|𝜍2) ∝ 𝜍2 −𝑘/2exp −1
2𝜍2 𝜷 − 𝝁0
T𝚲0 𝜷 − 𝝁0
dengan 𝜷 − 𝝁0 T𝚲0 𝜷 − 𝝁0 yang
dijabarkan sebagai berikut :
𝛽0𝛽1𝛽2
−
𝛽0 0
𝛽1 0
𝛽2 0
T
I3×𝟑
𝛽0𝛽1𝛽2
−
𝛽0 0
𝛽1 0
𝛽2 0
= 𝛽0 − 𝛽0 0
, 𝛽1 − 𝛽1 0
, 𝛽2 − 𝛽2 0 I3×𝟑
𝛽0 − 𝛽0 0
𝛽1 − 𝛽1 0
𝛽2 − 𝛽2 0
= 𝛽0− 𝛽
0 0
𝟐+ 𝛽
1− 𝛽
1 0
𝟐+ 𝛽
2− 𝛽
2 0
𝟐
Sehingga kepadatan prior bersyarat
menjadi :
SENDIKMAD 2012 4
𝑝(𝜷|𝜍2) ∝ 𝜍2 −𝑘/2 exp −1
2𝜍2 𝛽0 − 𝛽0
0 𝟐
+ 𝛽1 − 𝛽1 0
𝟐+ 𝛽2 − 𝛽2
0 𝟐
1.2. Distribusi Posterior
Posterior dapat dinyatakan
sebagai distribusi normal dikalikan
dengan distribusi invers-gamma dan
diparameterisasi sebagai berikut :
𝑝(𝜷, 𝜍2|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗)𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗
dengan kedua faktor sesuai dengan
kepadatan dari distribusi
𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0
−1 dan
Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛) dengan
parameternya diberikan oleh
𝑎𝑛 =1
2(𝑛 + 𝑣0) , (pada makalah ini
𝑣0 = 1 dan 𝑛 = 135)
𝑏𝑛 = 𝑏0 +1
2(𝐲T𝐲 + 𝝁0
T𝚲0𝝁0 − 𝝁𝑛T𝚲𝑛𝝁𝑛),
𝝁𝑛 = 𝐗T𝐗 + 𝚲0
−1 𝐗T𝐲 + 𝚲0𝝁0 ,
𝚲0 = I.
Pada makalah ini, 𝐗T𝐗 bertipe 3 × 3
sehingga 𝚲0 bertipe 3 × 3 yaitu I3×3.
1.3. MCMC (Markov Chain Monte Carlo)
Salah satu cara untuk merancang
rantai Markov yaitu dari distribusi
posterior dengan
𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛) dan
𝑝 𝜷 𝜍2 , 𝐲, 𝐗 ~𝑁 𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0
−1
yaitu dengan Gibbs Sampling yang
menghasilkan rantai Markov oleh
sampling dari distribusi bersyarat.
Jika 𝜍2~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛), maka :
𝜍2|𝐲, 𝐗~Inv − Gamma 1
2 𝑛 + 𝑣0 , 𝑏0 +
1
2 𝐲T𝐲 + 𝝁0
T𝚲0𝝁0 − 𝝁𝑛T𝚲𝑛𝝁𝑛 (*)
Jika
𝛽0𝛽1𝛽2
~𝑁3
𝜇1𝜇2𝜇3
, Σ11 Σ12Σ21 Σ22
,
(Jennings et al., 2010) maka distribusi
dari 𝛽0 bersyarat pada 𝛽1 0 , 𝛽2
0 :
𝛽0|𝛽1 0 , 𝛽2
0 ~𝑁 𝜇1 + Σ12Σ22−1
𝛽1 0
𝛽2 0
− 𝜇2𝜇3
,
Σ11 − Σ12Σ22−1Σ12
′ . (**)
dengan Σ11 = 𝜍11 , Σ12 = 𝜍12 𝜍13 ,
Σ22 = 𝜍22 𝜍23𝜍23 𝜍33
.
Diberikan 𝜍2 dan vektor 𝜷 yang tidak
diketahui : 𝜷 = 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 T
1. Dipilih nilai awal 𝜍2(0)
, 𝛽0 0 , 𝛽1
0 , 𝛽2 0
.
2. Sampel 𝜍2(1)
dari 𝑝 𝜍2(1)
𝐲, 𝐗
sehingga 𝜍2(1)
|𝐲, 𝐗 memenuhi (*).
Sampel 𝛽0 1
dari
𝑝 𝛽0 1
𝜍2(1)
, 𝛽1 0 , 𝛽2
0 , 𝐲, 𝐗 sehingga
𝛽0 1 |𝜍2
1 , 𝛽1
0 , 𝛽2 0
memenuhi (**).
3. Langkah 2 diulangi sebanyak bilangan
besar B, misalnya 5000 kali.
4. Akhirnya didapatkan sampel dari
𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 dan 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗) dalam
bentuk rantai Markov.
1.4. Interval Kredibel (Interval
Kepercayaan Bayesian)
Dalam statistik Bayesian, interval
kredibel 1 − 𝛼 100% merupakan
SENDIKMAD 2012 5
interval di dalam domain dari distribusi
probabilitas posterior yang digunakan
untuk penaksiran interval (Web 2).
Salah satu metode untuk
mengestimasi interval kredibel yang
paling mudah digunakan adalah interval
kredibel dua ekor (Johnson, 2009).
Interval kredibel dua ekor disusun dengan
menemukan kuantil 𝛼/2 dan 1 − 𝛼/2
dengan tingkat signifikansi 𝛼.
Metode Penelitian
Data yang digunakan dalam
penelitian adalah nilai logaritma dari data
SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi
Nasional) masyarakat Salatiga tahun
2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan
sebagai variabel dependen 𝐲 terhadap
pengeluaran untuk konsumsi makanan
sebagai variabel independen 𝐗𝟏 dan
pengeluaran untuk konsumsi non
makanan sebagai variabel independen 𝐗𝟐
dengan sampel 𝑛 = 135 . Dalam
melakukan perhitungan, digunakan alat
bantu program WinBUGS 1.4.3.
Langkah-langkah penyelesaian
untuk mengestimasi parameter dan
interval kredibel menggunakan model
regresi linier Bayesian sebagai berikut :
1. Merancang rantai Markov dari
distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍2|𝐲, 𝐗) ∝
𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗) dengan
𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛)
dan 𝑝(𝜷|𝜍2, 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 +
𝚲0 −1) yaitu dengan Gibbs Sampling
yang menghasilkan 4 rantai Markov
dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu
untuk taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1
dan 𝛽2.
2. Taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1 dan 𝛽2
diperoleh dengan mencari rata-rata
dari nilai Gibbs sampler.
3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler
tersebut, dihasilkan fungsi densitas
untuk 𝜍2 berdistribusi invers-gamma
dan 𝛽0 , 𝛽1 dan 𝛽2 berdistribusi
normal.
4. Mencari interval kredibel 95% untuk
masing-masing taksiran parameter
berdasarkan pada fungsi densitas
dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.
Hasil dan Pembahasan
Pada Gambar 1 diperlihatkan
diagram pencar untuk data logaritma
pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma
pengeluaran untuk konsumsi makanan
(𝐗𝟏 ), sedangkan Gambar 2 merupakan
diagram pencar untuk data logaritma
pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma
pengeluaran untuk konsumsi non
makanan (𝐗𝟐).
SENDIKMAD 2012 6
Gambar 1. Diagram Pencar Data
Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran Untuk Konsumsi
Makanan (𝐗𝟏)
Gambar 2. Diagram Pencar Data
Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran
Untuk Konsumsi Non Makanan (𝐗𝟐)
Selanjutnya untuk mendapatkan
estimasi parameter 𝜍2 dan 𝜷 =
𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 T dengan model regresi linier
berganda Bayesian, dirancang rantai
Markov dari distribusi posterior
𝑝(𝜷, 𝜍2|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍2 , 𝐲, 𝐗)
dengan
𝑝 𝜍2|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛) dan
𝑝(𝜷|𝜍2 , 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁𝑛 , 𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0
−1)
dengan 𝝁𝑛 = 1.431, 0.355, 0.494 T dan
kovarians
𝜍2 𝐗T𝐗 + 𝚲0 −1 =
0.175 −0.029 0.0001−0.029 0.009 −0.0040.0001 −0.004 0.004
yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak
5000 iterasi.
1. Taksiran Parameter 𝜍2 dan Interval
Kredibel 𝜍2
Untuk mendapatkan taksiran
parameter 𝜍2 yang berdistribusi
invers-gamma, dilakukan Gibbs
sampling sebanyak 5000 iterasi
dengan memilih nilai awal 𝜍2 0
= 1.
Kemudian 500 iterasi pertama
dipotong dan diperoleh rantai Markov
yang konvergen pada Gambar 3.
Gambar 3. Rantai Markov untuk
Taksiran Parameter 𝜍2
Diperoleh hasil taksiran parameter
𝜍2 = 0.032 dengan mencari rata-rata
dari 4500 nilai Gibbs sampler. Dari
nilai Gibbs sampler tersebut dihasilkan
fungsi densitas pada Gambar 4
sehingga interval kredibel 95% untuk
taksiran 𝜍2 adalah (0.025, 0.041).
5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.85.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7
4.5 5 5.5 6 6.5 75.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7
SENDIKMAD 2012 7
Gambar 4. Fungsi Densitas Taksiran
Parameter 𝜍2
2. Taksiran Parameter 𝛽0 dan Interval
Kredibel 𝛽0
Dengan memilih nilai awal 𝛽0 0 = 0,
lalu dilakukan Gibbs sampling
sebanyak 5000 iterasi. Setelah
memotong 500 iterasi pertama untuk
taksiran 𝛽0 yang berdistribusi normal,
didapatkan rantai Markov yang
konvergen pada Gambar 5.
Gambar 5. Rantai Markov untuk
Taksiran Parameter 𝛽0
Dengan mencari rata-rata dari 4500
nilai Gibbs sampler yang ada,
diperoleh hasil taksiran 𝛽0 = 1.44 dan
dihasilkan fungsi densitas pada
Gambar 6 sehingga interval kredibel
95% adalah (0.596, 2.271).
Gambar 6. Fungsi Densitas Taksiran
Parameter 𝛽0
3. Taksiran Parameter 𝛽1 dan Interval
Kredibel 𝛽1
Untuk memperoleh taksiran parameter
𝛽1 yang berdistribusi normal, dipilih
nilai awal 𝛽1 0 = 0 kemudian dengan
melakukan Gibbs sampling sebanyak
5000 iterasi dan memotong 500 iterasi
pertama, diperoleh rantai Markov
yang konvergen pada Gambar 7.
Gambar 7. Rantai Markov untuk
Taksiran Parameter 𝛽1
Dari 4500 nilai Gibbs sampler yang
ada pada Gambar 7 di atas, setelah
dicari rata-ratanya didapat hasil
SENDIKMAD 2012 8
taksiran 𝛽1 = 0.355. Nilai-nilai Gibbs
sampler tersebut menghasilkan fungsi
densitas pada Gambar 8 sehingga
interval kredibel 95% adalah (0.176,
0.543).
Gambar 8. Fungsi Densitas Taksiran
Parameter 𝛽1
4. Taksiran Parameter 𝛽2 dan Interval
Kredibel 𝛽2
Dipilih nilai awal untuk 𝛽2 0 = 0 .
Kemudian dilakukan Gibbs sampling
sebanyak 5000 iterasi, dan memotong
500 iterasi pertama sehingga diperoleh
rantai Markov yang konvergen pada
Gambar 9.
Gambar 9. Rantai Markov untuk
Taksiran Parameter 𝛽2
Selanjutnya dengan mencari rata-rata
dari 4500 nilai Gibbs sampler yang
ada, diperoleh hasil taksiran 𝛽2 =
0.493 . berdasarkan nilai-nilai Gibbs
sampler tersebut dihasilkan fungsi
densitas pada Gambar 10 dan interval
kredibel 95% (0.365, 0.621).
Gambar 10. Fungsi Densitas Taksiran
Parameter 𝛽2
Dengan estimasi parameter yang
telah diperoleh yaitu
𝜷 = 1.44, 0.355, 0.493 T dibentuk
persamaan garis regresi linier berganda
dugaan :
𝑦𝑖 = 1.44 + 0.355 𝑥1𝑖 + 0.493 𝑥2𝑖 .
Gambaran penggunaan:
Dipilih nilai 𝑥1 = 6.15 dan 𝑥2 = 5.96 ,
kemudian nilai-nilai tersebut
disubstitusikan ke dalam persamaan
regresi linier berganda di atas, sehingga
didapatkan hasil dugaan 𝑦 = 6.56 .
Artinya, dalam nilai logaritma, dengan
pengeluaran untuk konsumsi makanan
sebesar 6.15 dan pengeluaran untuk
konsumsi non makanan sebesar 5.96,
dugaan untuk pendapatan sebesar 6.56
atau Rp 3.643.594,183. Sedangkan
SENDIKMAD 2012 9
pendapatan pada data asli sebesar
Rp 3.550.000, sehingga error (galat)
dalam persamaan garis regresi dugaan
pada titik data tersebut yaitu
𝑒 = 𝑦 − 𝑦 = 3550000 − 3643594.183 =
−93594.183 = 93594.183 atau sebesar
2.64 %.
Sebagai perbandingan, dengan program R
2.15.1., diperoleh hasil estimasi sebagai
berikut :
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.43890 0.42138 3.415 0.000849 ***
x1 0.35401 0.09423 3.757 0.000257 ***
x2 0.49355 0.06422 7.686 3.08e-12 ***
---
Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „
‟ 1
Jadi, hasil estimasi parameter 𝛽0, 𝛽1, dan
𝛽2 signifikan karena berdasarkan uji t,
nilai p masing-masing parameter lebih
kecil dari tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, dengan
mengambil data SUSENAS masyarakat
Salatiga tahun 2011 dari BPS Salatiga
dengan sampel 𝑛 = 135 sebagai
simulasi, dapat disimpulkan bahwa:
1. Dengan merancang rantai Markov dari
distribusi posterior dengan bantuan
Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi,
lalu memotong 500 iterasi pertama
agar tidak mengacaukan hasil taksiran
dan diperoleh hasil taksiran untuk
masing-masing parameter yang tidak
diketahui, yaitu 𝜍2 = 0.032 , 𝛽0 =
1.44, 𝛽1 = 0.355, dan 𝛽2 = 0.493.
2. Dari sebanyak 4500 nilai Gibbs
sampler yang ada, dihasilkan fungsi
densitas untuk taksiran parameter 𝜍2
berdistribusi invers-gamma dan
taksiran parameter 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2
berdistribusi normal. Sehingga dengan
tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 ,
diperoleh interval kredibel 95% untuk
taksiran parameter 𝜍2 , 𝛽0 , 𝛽1 , dan 𝛽2
berturut-turut yaitu (0.025, 0.041),
(0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan
(0.365, 0.621).
Pustaka
Gelman, A. 2006. Bayesian Analysis.
Department of Statistics and
Department of Political Science :
Columbia University.
Hair, J. F. 2010. Multivariate Data
Analysis Seventh Edition. USA :
Pearson Prentice Hall.
Johnson, M. S. 2009. Introduction to
Bayesian Statistics with
WinBUGS. New York : Columbia
University.
Johnson, R. A. and Wichern, Dean W.
1982. Applied Multivariate
Statistical Analysis. New Jersey :
Prentice Hall.
Mutiarani, V., Setiawan, A., & Parhusip,
H. A. 2012. Penerapan Model
Regresi Linier Bayesian Untuk
Mengestimasi Parameter Dan
Interval Kredibel. Prosiding
Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika UNY
tanggal 10 November 2012.
Supranto. 2004. Analisis Multivariat: Arti
dan Interpretasi. Jakarta : Rineka
Cipta.
SENDIKMAD 2012 10
Suwarno, B. 2009. Rumus dan Data
dalam Analisis Statistika.
Bandung : Alfabeta.
Widyaningsih, N. 2010. Statistika dan
Probabilitas. Universitas Mercu
Buana : Fakultas Teknik Sipil dan
Perencanaan.
Pustaka Internet
Jennings, R., Wakeman-Linn, M., &
Zhao, Xin. 2010. “Multivariate
Normal Distribution” tersedia di
http://www.colorado.edu/economi
cs/morey/7818/jointdensity/Notes
OnMultivariateNormal/Multivaria
te%20Normal%20Distribution_W
akeman-LinnJenningsZhao.pdf.
Diakses tanggal 12 November
2012.
Web 1 : http://en.wikipedia.org/wiki/
Bayesian_linear_regression
Bayesian Linear Regression
Diunduh pada 28 Agustus 2012
Web 2 : http://en.wikipedia.org/wiki/
Credible_interval
Credible Interval
Diunduh pada 5 September 2012
Wijayanto, A. 2003. “Analisis Regresi
Linear Berganda” tersedia di
http://eprints.undip.ac.id/ANALIS
IS_REGRESI_LINEAR_BERGA
NDA/, Diakses tanggal 21
November 2012.
http://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://www.colorado.edu/economics/morey/7818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal/Multivariate%20Normal%20Distribution_Wakeman-LinnJenningsZhao.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Bayesian_linear_regressionhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Bayesian_linear_regressionhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Bayesian_linear_regressionhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Credible_intervalhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Credible_intervalhttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Credible_intervalhttp://eprints.undip.ac.id/ANALISIS_REGRESI_LINEAR_BERGANDA/http://eprints.undip.ac.id/ANALISIS_REGRESI_LINEAR_BERGANDA/http://eprints.undip.ac.id/ANALISIS_REGRESI_LINEAR_BERGANDA/