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Cécile Guianvarc'h
Laboratoire Commun de Métrologie LNE-Cnan
Saint Denis
Estimation des incertitudes sur un système de mesure :
intérêt et exemples de mise en œuvrede méthodes de calcul
9 novembre 2016 2 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : pour quoi faire ? (1/4)
Avoir et inspirer confiance dans un résultat en chiffrant ses limites de validité
Répondre à des nécessités pratiques liées à l’activité
➔ Conformité d’un résultat de mesure par rapport à des spécifications (normes, réglementation, cahier des charges)
➔ Assurer la traçabilité de résultats au SI (métrologie)
➔ Expériences sous assurance qualité, laboratoire accrédité, ...
9 novembre 2016 3 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : pour quoi faire ? (2/4)
Juger de manière pertinente de l'accord entre des résultats de différentes sources ou de différentes natures
Module de l'impédance d'entrée d'une fente annulaire fine, résultats théoriques et expérimentaux
Valeurs de la constante de Boltzmann déterminées à différents moments et par différents laboratoires de métrologie
Résultats incohérentsRésultats cohérents
D. Rodrigues et al. JSV, 2008
9 novembre 2016 4 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : pour quoi faire ? (3/4)
Déterminer les grandeurs physiques qui ont une influence prépondérante sur un résultat de calcul ou un résultat de mesure indirecte
➔ Conception et optimisation d'expériences cohérentes avec les ordres de grandeurs des phénomènes à observer
➔ Estimation du niveau de complexité requis et pertinent pour un modèle ou un maillage compte tenu la précision expérimentale accessible
p
q Mm Rav
Cae CacRah
Cm
Caf
Mae
Membrane
Charge arrière
9 novembre 2016 5 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : pour quoi faire ? (4/4)
Le calcul d'incertitudes prend pleinement sa place dans des processus
d'analyse de résultats théoriques et expérimentaux
d'élaboration de modèles analytiques ou de maillages pour un modèle FEM
de conception de dispositifs expérimentaux
9 novembre 2016 6 / 23EXACT#1, Saint Denis
Expression des incertitudes
Tout « résultat de mesure » est une variable aléatoire
Mesures répétées de la même grandeur donnent des résultats légèrement différents les uns des autres
Résultat de mesure caractérisé par une variable aléatoire à laquelle est associée une loi de probabilité
Probabilité
68,26%
95,46%
Cux CCux C
Cux 2C Cux 2C
Cx
Espérance mathématique (valeur centrale)
Ecart-type
Intervalle de confiance à 95 %
Variance
Loi de probabilité normale
Grandeurs à déterminer lors d'une mesure
9 novembre 2016 7 / 23EXACT#1, Saint Denis
Expression des incertitudes : mesure directe
Exemple : réponse d'un microphone à la grille d'entraînement
Incertitude sur vr
Incertitudes de type ACauses aléatoires, liées aux conditions de mesure (répétabilité, reproductibilité)
⇒ Estimation sur une base statistique
Incertitudes de type BCauses identifiées, liées à la méthode et l’instrumentation (résolution, exactitude,…)
⇒ Estimation à partir des caractéristiques de la chaîne de mesure
Grille d'entraînement
Microphone Réponse à la grille d'entraînement déterminée par mesure directe
9 novembre 2016 8 / 23EXACT#1, Saint Denis
Expression des incertitudes : mesure indirecte
BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIMLGuide pour l’expression de l’incertitude de mesure, 2 édition, 1995
Résultat de mesure (indirecte) ou de calcul
Loi de composition des variances (propagation des erreurs)
Paramètres d'entrée indépendants
Paramètres d'entrée liés
Coefficients de sensibilité
Composantes d'incertitudes associées à chaque grandeur d'entrée
Coefficients de corrélation
9 novembre 2016 9 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : loi de composition des variances
+ Méthode de calcul directe et exacte
+ Composantes d'incertitudes associées à chaque paramètre d'entrée➔ Quantifier l'influence relative des différentes grandeurs d'entrées sur le résultat
- Calcul des coefficients de sensibilité fastidieux si les variables d'entrée sont nombreuses, si f(x
1,x
2…) a une forme complexe, si y est le résultat d’une
interpolation ou d’un fit...● Utilisation d'un logiciel de calcul symbolique (pas toujours faisable)
● Calcul d'incertitudes sur une expression simplifiée pour f(x1,x
2…)
● Inutilisable sur des modèles FEM
Coefficients de sensibilité
Incertitude sur y exprimée analytiquement à l'aide de la loi de composition des variances
Résultat de mesure (indirecte) ou de calcul
9 novembre 2016 10 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : méthode de Monte Carlo
« Postulat » de la mesurePrincipe de la méthode
Génération d’un jeu de N données aléatoires, en accord avec la loi de probabilité des grandeurs d’entrée
BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIMLEvaluation des données de mesure - Supplément 1 du “Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure” - Propagation de distributions par une méthode de Monte Carlo, 2008
Jeu de N données correspondant à une loi de probabilité à déterminer (histogramme)
Loi de probabilité
● Valeur centrale = valeur de la grandeur de sortie
● Ecart-type = incertitude totale sur la grandeur de sortie
N données
N données
N données
9 novembre 2016 11 / 23EXACT#1, Saint Denis
Calcul d'incertitudes : méthode de Monte Carlo
« Postulat » de la mesureCalcul de chaque composante d’incertitude
BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIMLEvaluation des données de mesure - Supplément 1 du “Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure” - Propagation de distributions par une méthode de Monte Carlo, 2008
Jeu de N données correspondant à une loi de probabilité à déterminer (histogramme)
Ecart-type
Composante d’incertitude liée à x1
N données
x2
x3
Contribution relative de chaque composante dans l’incertitude finale ?
9 novembre 2016 12 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes I (1/4)
Fréquence de résonance d'une membrane déterminée par régression non linéaire sur des résultats expérimentaux
Régression non linéaire sur une fonction lorentzienne
Fréquence de résonance et largeur à mi-hauteur (amortissement)
Réponse d'une membrane de microphone à une grille d'entraînement
Résultats expérimentaux
Incertitudes sur les paramètres de sortie du fit ?
C. Guianvarc'h et al. CFA 2016
9 novembre 2016 13 / 23EXACT#1, Saint Denis
N tirages des paramètres d'entrée du fit (série de valeurs expérimentales) selon leurs lois de probabilité respectives (simultanément ou séparément)
N estimations des paramètres de la fonction lorentzienne
Loi de probabilité normale
Incertitudes sur les données expérimentales
Loi de probabilité normale (?)
Ecart-type 0,004 Hz
N = 10 0,02 mV
Valeur centrale 47767,511 Hz
Exemples de calculs d’incertitudes I (2/4)
Fréquence de résonance d'une membrane déterminée par régression non linéaire sur des résultats expérimentaux
Calcul complexe à faire analytiquement...
9 novembre 2016 14 / 23EXACT#1, Saint Denis
N tirages des paramètres d'entrée du fit (série de valeurs expérimentales) selon leurs lois de probabilité respectives (simultanément ou séparément)
N estimations des paramètres de la fonction lorentzienne
Loi de probabilité normale
Incertitudes sur les données expérimentales
Ecart-type 0,004 Hz
0,02 mVN = 102
Valeur centrale 47767,513 Hz
Loi de probabilité normale (?)
Calcul complexe à faire analytiquement...
Exemples de calculs d’incertitudes I (2/4)
Fréquence de résonance d'une membrane déterminée par régression non linéaire sur des résultats expérimentaux
9 novembre 2016 15 / 23EXACT#1, Saint Denis
N tirages des paramètres d'entrée du fit (série de valeurs expérimentales) selon leurs lois de probabilité respectives (simultanément ou séparément)
N estimations des paramètres de la fonction lorentzienne
Loi de probabilité normale
Incertitudes sur les données expérimentales
Loi de probabilité normale
Ecart-type 0,004 Hz
0,02 mVN = 103
Valeur centrale 47767,513 Hz
Calcul complexe à faire analytiquement...
Exemples de calculs d’incertitudes I (2/4)
Fréquence de résonance d'une membrane déterminée par régression non linéaire sur des résultats expérimentaux
9 novembre 2016 16 / 23EXACT#1, Saint Denis
N tirages des paramètres d'entrée du fit (série de valeurs expérimentales) selon leurs lois de probabilité respectives (simultanément ou séparément)
N estimations des paramètres de la fonction lorentzienne
Loi de probabilité normale
Calcul complexe à faire analytiquement...
Incertitudes sur les données expérimentales
Loi de probabilité normale
Valeur centrale
Ecart-type 0,004 Hz
47767,513 Hz
0,02 mVN = 106
Exemples de calculs d’incertitudes I (2/4)
Fréquence de résonance d'une membrane déterminée par régression non linéaire sur des résultats expérimentaux
9 novembre 2016 17 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes I (3/4)
Tension d'une membrane déduite de sa fréquence de résonance
Expression analytique simple impliquant peu de paramètres
Estimation des incertitudes par la loi de composition des variances
Grandeur Valeur Incertitude-type
Masse volumique (kg.m-3) 8300 6
Épaisseur (µm) 6,95 0,03
Rayon (mm) 2 0,02
Fréquence de résonance (Hz)
47767,513 0,004
Valeurs typiques, incertitudes estimées
Mesurée, incertitude calculée
9 novembre 2016 18 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes I (4/4)
Tension d'une membrane déduite de sa fréquence de résonance
Loi de composition des variances
2,6 N/m 15,5 N/m 71,9 N/m
74 N/m
3594 N/m
0,0006 N/m
soit 2 % en valeur relative
9 novembre 2016 19 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes I (4/4)
Tension d'une membrane déduite de sa fréquence de résonance
Loi de composition des variances
2,6 N/m 15,5 N/m 71,9 N/m
74 N/m
3594 N/m
0,0006 N/m
soit 2 % en valeur relative
Composante principale
9 novembre 2016 20 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes II (1/3)
Champ acoustique en cavité : perturbation introduite par un tube fin en paroi
Techniques de thermométrie acoustique à gaz
Fréquence de résonance d’un gaz rare (He, Ar) en cavité sphérique (modes radiaux)
Vitesse du son dans le gaz
Température thermodynamique du gaz
Petits éléments localisés en paroi (transducteurs, tubes d’arrivée et de sortie de gaz)
Paramètres « importants » pour le calcul des perturbations liées aux tubes ?
Perturbations sur les propriétés de résonance du champ acoustique
9 novembre 2016 21 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes II (2/3)
Champ acoustique en cavité : perturbation introduite par un tube fin en paroi
Propriétésde l’argon (c
0 , ρ
0 , λ, μ, η)
Effet du tube sur la fréquence de résonance et la largeur à mi-hauteur du mode (0,n)
Calcul ab inito
Méthodes de calcul et modèles supposés exacts
Rayon du tube
Longueur du tube
Arguments peu nombreux mais expression un peu complexe...
Volume de l’enceinte
Rayon de la cavité
Pression, température de travail
Argon gazeux à
Cavité sphérique
Tube cylindrique
Enceinte close
Méthode de Monte Carlo2 Pa
0,1 mK
0,5080 ± 0,0127 mm
87,78 ± 0,02 mm
0,005 m³ à 10%
0.09010451 m à 3.10-7
273,16 mK
variable avec
9 novembre 2016 22 / 23EXACT#1, Saint Denis
Exemples de calculs d’incertitudes II (3/3)
Champ acoustique en cavité : perturbation introduite par un tube fin en paroi
Important contrôle du système de mesure dans son ensemble
Effet du tube sur les propriétés de résonance du champ acoustique en cavité (mode 04)
Décalage en fréquence
Largeur à mi-hauteur
Incertitudes totales très faibles !
Incertitudes liées uniquement aux dimensions du tube (autres composantes négligeables)
9 novembre 2016 23 / 23EXACT#1, Saint Denis
Conclusion
Contraintes liées au calcul d'incertitudes (quelle que soit la méthode)
Identifier toutes les grandeurs physiques indépendantes et évaluer leurs incertitudes respectives
Connaître les relations entre les différentes grandeurs en jeu et leurs éventuelles corrélations
Calcul parfois fastidieux
D'un autre côté...
Apport intéressant pour
✔ l'analyse de résultats théoriques et expérimentaux
✔ la conception et l'optimisation d'expériences
✔ l'élaboration de modèles pertinents (analytiques, FEM)
Questionnement et réflexion sur
✔ l'instrumentation utilisée pour une expérience
✔ les grandeurs physiques participant à un résultat de mesure ou de calcul