7/21/2019 ESTOCASTICOS ESPINOZA

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METODO DE MONTECARLO Universidad Nacional de Ingeniería

Macedo Flores, José Enrique

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RESUMEN– El presente informe

nos dará a conocer una técnica

que permite resolver problemas

matemáticos mediante la

simulación de variables

aleatorias, conocido como el 

Método de Montecarlo. Este

método es mu utili!ado para la

toma de decisiones frente a

 problemas comple"os.

I. INTRODUCCION

Esta técnica fue desarrollada por

tan Ula! " #o$n %on Neu!ann& En los

a'os () " con los pri!eros

ordenadores* aplica la si!ulaci+n para

resolver pro,le!as co!ple-os .ue no

podían ser resueltos de for!a

analítica&

En a'os posteriores* la si!ulaci+n

de Monte Carlo se $a venido aplicando

en varios ca!pos co!o alternativa a

los !odelos !ate!/ticos e0actos o

incluso co!o 1nica $erra!ienta para

esti!ar soluciones a pro,le!as

co!ple-os& Es así* .ue se pueden

encontrar !odelos .ue $acen uso de

si!ulaci+n Montecarlo en las /reas

e!presarial* infor!/tica* industrial*

econ+!ica e incluso social&

II. MARCO TEORICO

La si!ulaci+n de Monte Carlo es

una técnica cuantitativa .ue $ace uso

de la estadística " los ordenadores

para i!itar* !ediante !odelos

!ate!/ticos* el co!porta!iento

aleatorio de siste!as reales nodin/!icos 2por lo general* cuando se

trata de siste!as cu"o estado va

ca!,iando con el paso del tie!po* se

recurre ,ien a la si!ulaci+n de

eventos discretos o ,ien a la

si!ulaci+n de

siste!as continuos3& La clave de la

si!ulaci+n MC consiste en crear un!odelo !ate!/tico del siste!a*

proceso o actividad .ue se .uiere

anali4ar* identi5cando a.uellas

varia,les 2inputs del !odelo3 cu"o

co!porta!iento aleatorio deter!ina

el co!porta!iento glo,al del siste!a&

Una ve4 identi5cados dic$os inputs o

varia,les aleatorias* se lleva a ca,o un

e0peri!ento consistente en 263

generar 7 con a"uda del ordenador8!uestras aleatorias 2valores

concretos3 para dic$os inputs* " 293

anali4ar el co!porta!iento del

siste!a ante los valores generados&

 Tras repetir n veces este e0peri!ento*

dispondre!os de n o,servaciones

so,re el co!porta!iento del siste!a*

lo cual nos ser/ de utilidad para

entender el funciona!iento del !is!o

7o,via!ente* nuestro an/lisis ser/

tanto !/s preciso cuanto !a"or sea el

n1!ero n de e0peri!entos .ue

lleve!os a ca,o&

  GENERADORES DE NUMEROS

ALEATORIOS

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1.  Método de los centros de los

cuadrados

Desarrollado por %on Neu!ann&

ea un n1!ero inicial lla!ado se!illa*

γ 0=0.9876   for!ado por ( cifras&

O,tene!os γ 02

 .ue tendr/ : cifras "

elegire!os las ( centrales*

γ 02=0.97535376

estas cifras for!ar/nγ 1=0.5353

* "

elevando al cuadrado γ 12

 *

γ 12=0.28654609

o,tendre!osγ 2   ; )&<=(< " así 

sucesiva!ente& Este !étodo presenta

algunos pro,le!as* entre otros la

o,tenci+n de n1!eros pe.ue'os con

!a"or frecuencia .ue n1!eros

grandes&

2.  Método Congruencial

Dire!os .ue dos n1!eros  x  e  y

son congruentes !+dulo m  si>

 x ≡ y mod (m)

Esto e.uivale a .ue  x   e  y

producen el !is!o resto al ser

divididos por m &

La e0presi+n !/s co!1n a la $ora de

calcular n1!eros aleatorios es la dada

por>

γ n=(γ n−1) ·a+bmod(m)

Donde a   " b   son n1!eros

elegidos conveniente!ente "γ 0   se

deno!ina se!illa&

?&  Método !ultiplicativo

Es una !odi5caci+n del !étodo

congruencial en el .ue b=0 &

γ n=γ n−1 ·amod (m)

Nor!al!ente ! se elige tal .ue

m=c p

  donde c  es el n1!ero de

dígitos diferentes del siste!a usado

2,inario* 93 "  p es el ta!a'o de una

pala,ra& El periodo !/0i!o de

repetici+n es m /4   con m=2 p

  "

to!ando co!oγ 0   una se!illa

i!par&

III. APLICACIONES

•  C/lculo de integrales

∫0

1

 x2

dx

@ara eso* se genera aleatoria!ente

alrededor de 9=) coordenadas& Tal .ue

0< x<1 ,0< y<1

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A continuaci+n

) )&6 )&9 )&? )&( )&= )&< )& )&: )&B 6

)

)&6

)&9

)&?

)&(

)&=

)&<

)&

)&:

)&B

6

igura& ra5ca con los 9=) coordenadas

aleatorias&

Co!o se puede ver* se coloca el

criterio>

Si y< x2

,contador=contador+1.

Entonces*

) )&6 )&9 )&? )&( )&= )&< )& )&: )&B 6

)

)&9

)&(

)&<

)&:

6

igura& ra5ca con las coordenadas .ue

cu!plen el criterio

 Te+rica!ente se conoce*

∫0

1

 x2

dx=0.333

@or lo .ue el error relativo es

 Errorrelativo=0.336−0.3330.333

∗100

¿0.9

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e conclu"e .ue la apro0i!aci+n por

!edio de n1!eros aleatorios es

v/lida&

•  #uegos de a4ar

El -uego consiste en lan4ar 6

!oneda>

i la !oneda sale cara* el -ugador

gana 6 d+lar& i la !oneda sale

sello* el -ugador pierde 6 d+lar&

@ri!ero o,tene!os aleatoria!ente

6))) n1!eros* x i   * tal .ue

0< xi

<1&

Entonces*

Cara* si xi ≥0.5

 &

ello* si x i<0.5  &

e reali4an 96 prue,as del

 -uego " se o,tuvo lo siguiente>

La colu!na INAL* es lo .ue se o,tuvo

luego de lan4ar la !oneda 6)))

veces&

En las 96 prue,as se o,tuvo>

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PRIMALIDAD ESTA EN RP

Lema de Fermat:  i  N   es pri!o*

entonces ∀ a>0 * con a ≤ N −1   se

cu!ple .ue a N −1=1mod N  &

Algoritmo de MoteCarlo !ara N

"om!#e$to:

Elegi!os 2≤ a ≤ N  −1  

• i a N −1

≠1mod N    * entonces N

es co!puesto&

• i a N −1=1mod N   * entonces N

es pri!o 2pro,a,le!ente3

Algorit!o en C>

Resultado>

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I%. &I&LIOGRAFIA ' %INCULOSo Investigaci+n de

operaciones& F edici+n&Ga!d" A& Ta$a& Cap& 6:

Modelado de si!ulaci+n*

9))(&o $ttp>HH,enas.ue&orgH,enas.u

eH9))=taeH9))=tae8

talsH96?s?&pdf 

o $ttps>HHJJJ&ucl!&esHprofeso

radoHlicesioHDocenciaH!coiHT

e!a(Kguion&pdf o $ttp>HHJJJ&uoc&eduHin?He!a

t$HdocsHi!ulacionKMC&pdf 

o $ttps>HHJJJ&"outu,e&co!Hc$annelHUCC<spJK"4Dv

uAfEaA  8 Dr& erard

%ersc$uuren&

%. CONCLUSIONES1. El !étodo de MC es una

$erra!ienta 1til para to!ar

decisiones ante pro,le!as

difíciles&2. El !étodo de MC tiene una

alta tasa de con5a,ilidadpara ser un !étodo

iterativo&?& Este !étodo es aplica,le

para cual.uier tipo de

pro,le!a "a sea

deter!inístico o estoc/stico&