REVISTA MEXICANA DE FlsICA .•.• SUPLEMENTO 3.168-172

Estructura electrónica de sistemas delta dopados tipo p

L.M. Gaggero-Sager1•2•1 y R. Pérez-Alvarez2•3•5

1Escuela de F(sica, Unh'ersidad Autónoma de Zacatecas, 98068 ?acareeas. Zac.. Mexico2Departamento de Ftsica de los Materiales. Unl\'ersidad Nacional de Educació" a Distancia

Sellda del Rey slll. 21W40Madrid, España3Facultad de Física, Universidad de La Habana. Ciudad Habana 10400. Cuba

4 e-mail: 19a9gero@camera.redulll.nu:5 e.mail: rpa@fmq.uh.edu.cu

Recibido el 16 de junio de 199R: aceptado el 30 de junio de 1998

DICIEMBRE 1998

Se hace un resumen de los resulwdos obtenidos para la estructura electrónica de pozos cuánticos consistentes en una capa atómica dopadati¡.xJp dentro de una matriz pura. Los cálculos se hacen en el marco de la aproximación de la función envolvente a bandas independientes ycon potenciales de Hartrcc. Se analizan los casos más estudiados experimentalmente (Be en GaAs y B en Si). Se dan los niveles de energía.las funciones de onda y la repartición de la población electrónica entre las distintas subbandas. así como la dependencia de estas magnitudescon la densidad de impurezas en la capa. Se analiza la participación de las bandas de huecos pesados. ligeros y de la banda desdobladapor espín. en la población electrónica total. Se discute el efecto de la temperatura y se da una posible explicación cualitativa de resultadosexperimentales de propiedades óplicas.

Descriptores: POlOS cuánticos delta dopados; banda de splin-off; efectos estadísticos de la temperatura

We surnrnarize of the results ohtained for lhe clcctronic structure 01" qllantum wells that consist in an atomic layer doped with impurities 01"

p type. The calculations are made within the frameworth of the cnvolvenl function approach to independent bands and with potentials ofHartree. We study the cases reponed experimcntally (Be in GaAs and B in Si). We prcscnt the levels of cnergy. the wave I"llnctions and therate of the e!cclronic population bctween the diffcrcnt subbands. as well as the dependencc of these magnitudes with the density of impuritiesin the layer. The pal1icipation of the bands of heavy hules is analyzed. light and splitt-off hand in the total c!cctronic population. The effectof the temperature is discussed and we gi .....e a possible qualitative explanation of the experimental oplical propcrties.

Keyt•...ords: Delta doping quantum wclls: splitl-off hand; estadi~tic cfl"ects of the tempcrature

PAes: 73.30: 73.61: S5.11

l. Introducción

Las modernas técnicas de crecimiento de cristalcs scmicon-ductores permiten obtener capas ultrafinas con una calidadexcepcional. Asimismo se logra la introducción de impurczasen apenas una capa atómica (dopaje J). La localización de lasimpurezas ionizadas en una capa muy fina origina un campoeléctrico de gran magnitud que a su vez provoca el comba-miento de las bandas y la formación de un lipo particular depozo con forma de V. El estudio de los eSlados eleclrónicosen tales estructuras no sólo es interesante desde el punto devista básico. sino y sobre todo por sus aplicaciones potencia-les [1-16]. Se crean dos tipos diferentes de situaciones segúnel dopaje sea tipo no p. En efecto, si se introducen impurezasdonadoras (n) habrá que buscar la reconstrucción del espec-tro electrónico en un entorno de la banda de conducción. Sitenemos impurezas de tipo aceptor (P) será necesario el estu-dio de los estados a energías cercanas a las de las bandas devalencia. A este último tipo de sistemas basados en semicon-ductores Ill- V está dedicado el presente trabajo. En un primermomento del estudio de estos sistemas se obvió la introduc-ción de los efectos de la temperatura, pero nada autoriza a

despreciarlos si kB T es comparable con las energías relevan-tes en el pozo por lo que trataremos este efecto.

Abordaremos el cálculo autoconsistentc de la estructu-ra electrónica de los sistemas 6 dopados tipo p en el marcode la aproximación de la función envolvente (EFA: envelopefUllctioll Gppmximation) a una sola banda con potenciales deHartree. En el caso de impurezas aceptoras es ineludible laconsideración simultánea de las bandas de huecos pesados yligeros (hh: heav)' hole; Ih: hght hole) pues la carga se distri-buye entre ambas. En algunos casos también habrá que tornaren cuenta la banda desdoblada por espín (so: sphtl-off). Ennuestro trabajo tomaremos estas bandas como independientesy parabólicas por lo que sus niveles se obtienen de problemasde Schódinger diferenles, aunque a la hora de calcular la den-sidad total de carga para el problema de Poisson habrá quesumar las contribuciones de todas las bandas consideradas.

El trabajo eSlá organizado de la siguiente manera: en laSee. 2 se dan algunos detalles del modelo. En la Seco3 se pre-senlan los resultados para pnzos J dopados de Be en GaAs yde B en Si. En las Secs. 4 y 5 se reporlarán algunos resultadosde la consideración de la temperatura y de la banda desdo-blada por espín. Por último, en la Seco 6, se establecerán lasconclusiones.

ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DE SISTEMAS DELTA DOPADOS TIPO p 169

150

""..,

100

lh.

50

-.

.........~ ..,: ~'" ~...

. hh:

oz(A](a)

............•...

.50-100

700

500

600

o-150

600

500

100

'00

~EJOll

( 1)

2. Modelo de cálculo

Al dopar fuertemente un plano con impurezas aceptaras de-bemos reconstruir la banda de valencia. El máximo de la ban-da de valencia está situado en el punto r, en el cual existeuna doble degeneración de bandas, conocidas como bandasde huecos pesados y de huecos livianos respectivamente.

Para encontrar la forma en que la capa delia dopada deimpurezas altera la estructura de bandas en la dirección per-pendicular a ella. nosotros usamos la aproximación de fun-ción envolvente para los huecos pesados (hh) y los livianosOh), tomando estas bandas como isótropas, parábolicas e in-dependientes.

La dependencia espacial de la curvatura de las bandasviene dada por la solución de la ecuación unidimensional dePoisson, esto es: .

4rre 1% 21l'"e2V(z) = - (z - x)p,(x) dx + -p2D1ZI

fr o f.r

4rre 100+ - p,(X)dx.'r oLa densidad de carga libre por su lado se expresa de la si-guiente manera:

FIGURA l. (a) Potencial autoconsistente. autovalores y densidad deprobabilidad vs z, para P2D = 9 x 1013cm-2 en GaAs dopado conBe. Las líneas discontinuas representan las densidades de probabj.lidad de los huecos pesados y las contínuas de los livianos. Estosestados están numerados como lhn y hhR• con n :::; 0,1,2,.respectivamente. (b) Lo mismo que en (a) pero en Si dopado conB. para P2D = 1 x 1014cm-2.

tados para una capa de B en Si. En ambos casos usaremos lasbandas de huecos pesados y ligeros.

Los parámetros físicos para el Be en GaAs utilizados pa-ra este cálculo son: mhh = 0.62 mo: m1h = 0.087 ma, nloes la masa del electrón libre; 'r = 12.5, Y 2 x 1012 cm-2< J>W < 1 X lO" cm-O. Para el B en Si: mi.h = 0.52 !no;mih = 0.16mo; 'r = 11.7. P2D eslá comprendida entre2x 1012 cm-2 y Ix 1014 cm-2. Vamos a soponer, para empe-zar, qoe sólo intervienen 2 bandas independientes, la de hue-cos pesados y huecos livianos. A continuación presentamoslos resullados de un conjunto de cálculos autoconsistentes.

En la Fig. la mostramos, para el Be en GaAs, el potencialautoconsistente. los autovalores y las densidades de probabi-lidad para lJzD = 9 X 1013 cm-2. De este gráfico se puedeobservar que la nube electrónica localizada alrededor de lacapa delta dopada, está casi toda contenida en un radio deunos 25 A de la capa. En la Fig. 1 b se muestra, para el B en

I (.)]em'kBT EF - tJ

p,(z) = - L: :h' L: In [1 + exl' knT 'J=l I

X IFI(z)12, (2)

donde i suma por todos los estados posibles de la banda j,EF es el nivel de Fermi. j numera las bandas. [1 es el niveli-ésimo de energía de la banda j-ésima, FI (z) es la funciónenvolvente del nivel i-ésimo de energía de la banda j. la cualserá de cuadrado integrable para los estados discretos y nor-malizable a una delta para los continuos y 1 el número debandas que se consideran. En el Ifmite de hajas temperaturas(T = O),

1 • nj

p,(z) = - L: :~:;L: [Ep - ti] 8(EF - ti)IFI (z)l2 (3)j=l r=l

Si suponemos que el sistema es neutro. E¡r:!D =- J':"oo p,eX) d\, Ytendremos que

(4)

El número de estados ocupados lo da el nivel de Fermi, porlo tanto esta es una ecuación trascendente.

3. Capa 6 de Be en GaAs y de B en Si

Analizaremos a continuación los resultados para una capa Sdopada de Be en GaAs. Simultáneamenle daremos los resul-

200

100

o.150 -100 ..., o

z (Al

(b)

50 100 150

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170 L.M. GAGGERO-SAGER y R. PÉREZ-ALVAREZ

E. - [1, (ml!V)

250

200

'50

'00/

,,,

/,,

hh" ",,,¡,,,"'o

,o

0.6

o,

o.•

----- - .•. --- --.- - -- --- -,-

50

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2

E, - (', (meV)

200

'00

- - - -o2

_.- --,o

(a)

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>O

(h)

- - _.-

hh, ~'

",- - - _._0;;':

"'",,,,,, "'o,,,,

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_.- hit,

-<~P2d (1()12cm-Z) 100

0.2

0.0

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0.0

.--.--'o

(a)

---- ~- - - ---

--,-'o

(b)

- -'- ---"'o

••- - _.-_.-______ .!'''z

P:ro (10Uem-2) 100

FIGURA 2. Nivch::s de energías autoconsistentcs (EF - Erh yEF - E:h) como función de la concentración de impurezas. Laslíneas discomÍnuas son huecos pesados y las contínuas huecos li-vianos. (a) Be en GaAs y jJ2LJ = 9 x 1013c01-2, (b) B en Si y P2D

= 1 x 1014c01-2.

Si, lo mismo que en (a) si P2D = 1 X 1014 crn-2. Ahora elgas cuasi bidimensional de huecos está concentrado en unosSOÁ _En la Fig_ 2 presentamos los aulovalores de las bandasde huecos pesados y livianos como función de la concentra-ción de impurezas (a) para el Be en GaAs y (b) para el B enSi (medidos con respecto al nivel de Fermi)_ En la Fig_ 3 pre-sentamos el valor relativo de la concentración de electronespara cada nivel úl,/¡'w) en función de la concentración deimpurezas (¡>lo) (a) para el Be en GaAs, caso para el cual losniveles de huecos livianos aportan el S % del total de la carga,y (b) para el B en Si, donde los huecos livianos son el 15%del tola!.

Damen el al. [17J han crecido los pozos delta de Be enGaAsparaP2D =6 x 1012 cm-2 y reportan que la diferenciaentre el nivel de Fcrmi y el nivel básico es aproximadamenteigual a 22 mcV. En nuestro cálculo la diferencia entre el nivelde Fermi y el nivel básico es de 21.5 meV. cantidad asombro-samente cercana al resultado experimental.

FIGURA J. Concentración relativa de electrones de cada nivel

( ¡l; I }J2D ) como función de la concentración de impurezas. Elmismo convenio que en las figuras anteriores.

Kang L Wang el al. [18] también obtienen espectros detransición intcrsuhbandas en pozos cuánticos múltiples de Ben Si. Reportan una energía de transición de 125 meV parauna densidad de impurezas de l~D ::::::4 x IOI3cm-2. Para es-te valor de P'!.lJ, la transición hhO-hh3 en nuestros cálculoscorrespondc a un valor de 131 meV, bastante parecido al re-sultado experimcntal.

4, Efectos de la temperatura

Considcraremos el efecto de la temperatura en la modifica-ción de la estructura electrónica de uno de estos sistemas. Enesta llueva situación las Ecs. (1) Y(2) son válidas. pero i sumapor todos los estados, en principio tanto del espectro discretocomo del contínuo. Supongamos que algún cstado del espec-tro contínuo tiene una uensidad de probabilidad de ocupacióndistinta de cero. Entonces existe una probabilidad distinta deccro de encontrar un electrón en regiones alejadas del pozo,es decir, ya adentrados en el volumcn. Este electrón habría

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ESTRUCfURA ELECfRÓNICA DE SISTEMAS DELTA DOPADOS TIPO P 171

TABLA 1. Niveles de energía para T == OY temperatura ambiente TABLA 11. Concenlraciones relativas de carga para T == O Y (cm-(T = 24 meV). Pozo delta-dopado de B en Si. pcratura ambiente (T = 24 meV). Pozo delta-dopado de B en Si.

Niveles T =0 K T '" 300 K ¡I,/P2D T=OK T '" 300 KEgh 274.3 343.8

l'~h 0.6595 0.6540E~h 64.2 127.2]J~h

E~h 0.1532 0.136816.1 67.9p~hE~h 0.0364 0.03441.2 34.81J.~hE~h 18.9 0.0006 0.0108

E~h 7.8p~h 0.0058hh

E;h 2.4 1', 0.0037

Ebh 197.1 264.6 p~h 0.0030

E~h 7.0 52.0 Pbh 0.1456 0.1424E~h 19.6 lJ~h 0.llO45 0.0062E~h 2.6 p~h 0.0018

EF 1.0 73.0 l}~h 0.0009V(O) 533.0 605.1

descompensado la carga del sislema en la región del POlO,de forma tal que sería automáticamente atraído hacia la capaiónica. En el equilibrio, suponiendo que existe neutralidad lo-cal y despreciando la existencia de impurezas de background.la probabilidad de encontrar cargas libres en el volumen delmaterial es estrictamente igual a cero. Por todo esto, no hayelectrones en la parle contínua del espectro de energías. Porlo tan10, la densidad de carga nos proporciona la ecuacióntrascendente que da el nivel de Fcrrni para cada valor de lalemperalura. ESla ecuación, aunque parezca muy similar a laobtenida en el límite de bajas lemperaturas, es muy diferente.En ese caso lOdos los niveles por debajo del nivel de F'ermiestán completamente llenos y por encima vacíos. Lo impor-tanle, en aquel caso, era conocer el orden preciso en que seiban llenando los niveles. En éste, la relación entre el nivelde Fermi y el número de estados ocupados es mas indirecta.La participación de un nuevo nivel (aumentar en una unidadPi) puede ser que no allere mucho el nivel de Fermi, debidoa que esté prácticamente vacío. Sin embargo, es muy impor-tante determinar. de la forma más precisa posible, la eSlructu-ra eleclrónica completa. Observemos que la neutralidad estásiempre garantizada; es decir, si no consideráramos todos losniveles. el único efecto inmediato sería una modificación dela posición del nivel de Fermi T '" 300 K.

En la Tabla 1 presentamos los autovalores (E{). el nivelde Fermi (EFl y el fondo del pozo [1'(0) J medidos todos conrespecto al fondo de la banda de valencia, para T = O meV yT = 24 mev' Hemos pasado de tener un sistema con 5 nive-les a tener uno con 12. El nivel de Fermi pasa de estar pega-do a la banda a estar a unos 70 meV del fondo de la misma.La temperatura conlleva. además, un proceso de separaciónde niveles; así, por ejemplo, ""3-""0 para T = OK es de274 meV y para T = 24 meV es de 319 meY. Como la di-fusión de las impurezas realiza un proceso inverso Uunta losnivclcs), puede suceder que amhos efectos se compensen. Es-

to pudiera explicar que al comparar los autovalores calcula-dos a T = O K con resullados experimentales donde la difu-sión es importante los resultados son aceptables.

En la Tabla" presenlamos la concenlración bidimensio-nal relativa de carga de cada nivel para T = O y T = 24 meY.Existen niveles de huecos pesados que están muy próximosa otros de huecos livianos. Esto podría traer problemas en laaproximación de bandas independientes, pero en esta tabla seve que los electrones que están en estos niveles representan alo sumo el 0.2 % (/h2), con lo cual es de esperar que el efectode acoplamiento de las banda"i no sea importante.

El ancho del coeficienle de absorción estará dado, aproxi-madamente, por la diferencia entre la energía de la transiciónque corresponde a la frecuencia más alla posible y la de latransición con la frecuencia más baja posible (pero con unnivel de partida bastante ocupado). En estas transiciones pue-den participar haSla hhO-/h2 con 324 meV y hhl-hh4 con108 meV (aunque es de esperar que no sean las mas proba-hles), lo que daría un ancho en el coeficiente de absorciónde 200 meV, muy parecido al experimenla!. En lo que res-pecta al máximo del coeficienle, en éSle deben competir lastransiciones hhO-hh3 con 309 meV y /hO-lh3 con 262 meY.

5, Banda splitt-off

En el Si la banda desdoblada por espín eSlá apenas a 44 meVpor lo que se plantea la cuestión de si acoge a una cantidadsignificativa de parladores de carga en una estructura t5 dopa-da. De aquí que rehiciéramos el cálculo pero ahora teniendoen cuenta esta banda.

En la Fig. 4 darnos los autovalores de lipa hh, lh y so co-mo función de la concentraci6n areal de impurezas, medidosdesde la cima del pozo. El cuarto nivel de tipo hh aparececuando [JZD = 1 X 1014 cm-2 y permanece muy cerca delnivel de Fcrmi. Ambos se mantienen a menos de 0.5 mcV delborde del pozo.

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172 L.M GAGGERO.SAGER y R. PÉREZ.ALVAREZ

JOO

.00._-.--.--hhO

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E,.~~.~.---;h1:_=-------- soO

~ --.~:~~ .....---:::::::::---. -~ .~ __ .-. hhO

200 ....#:!-:--: __ :. •~.---.--lOO ::::::::.--

>600!W600

FIGURA 4. Autovalores autoconsistentes (hhO, hltI, hh2. hhO.~oOJ y ,,¡vel de Fermi E1" como función de la concentración deimpurcl3s para B en Si considerando las tres bandas de valencia.

FIGURA 5. Densidad areal de huecos divididos por la densidad are-al de impurezas en la capa ó dopada (J~ /P2D) como función de laconcentración de impurezas para B en Si considerando las {res ban-das de valencia. Se sigue el convenio de la figura anterior.

La Fig. 5 muestra la población de cada nivel como fun.ción de la concentración de impurezas. Los niveles Jh contie-nen aproximadamente el 15 % de los portadores. Los niveleshh por su parte, y principalmente el hhl, contienen el 60 %de los huecos en el sistema para lodos los valores de P2D eslU-diados. El nivel soO contiene una eantidad no despreciable deportadores y para concentraciones superiores a 5 x 1013 cm-2

su población es la segunda.En una primera aproximación estos resultados pueden ser

comparados con la data experimental reportada recientemen-te por Karunasiri [16J, Zhu er al. [19J y Wang el al. [18J.

6. Conclusiones

En todos los casos estudiados hemos encontrado que elnivel de Fermi está muy cercano al borde de la banda encuestión. Los valores obtenidos para las autocncrgías. pro-fundidad del pOlencial y población de los niveles está en muybuena concordancia con los escasos datos experimentales deque se dispone en la actualidad.

Un límite de validez de nuestros resultados que no se debeolvidar es la conccntración de impurczas. Para concentracio-nes más allá de cierto valor la profundidad del pozo se hacedel orden del gap y la EFA a una sola banda deja de tenervalidez: habrá que acudir entonces a aproximaciones a variasbandas para estudiar estos otros casos.

En resumen podemos decir que hemos instrumentado elcálculo autoconsistente Harlree de pozos cuánticos obtenidospor dopamiento deltaico de semiconductores 111-V con impu-rezas aceptaras. Esto nos ha permitido reportar las energías yautofunciones de los estados electrónicos de estos pozos asícomo la posición del nivel de Fermi, la profundidad delpOlencial y la distribución de carga por los distintos niveles,para los rangos de inlerés experimental de la densidad de im.purezas en la capa dopada.

Agradecimientos

Uno de los aulores (R.P-A) conló con la ayuda del Institu-lo de Cooperación eon Iberoamérica y del Consejo Superiorde Investigaeiones Científicas de España (Acuerdo de Coo-peración con la Universidad de La Habana). Ambos autoresagradecen a la UNED de Madrid por la acogida, así como alos colegas del Depto de Física de Materiales de la UNED ydel Depto de Física Teórica de la Uf! por su ayuda constante.

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