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ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
RETICULADOS ISOSTATICOSIng. Xavier Steverlynck
Captulo I
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
La palabra reticulado proviene del latn, reticulum, redecilla o que tiene forma de red. En ingeniera civil se denominan vigas de celosa, son armaduras formadas por barras, cuyos esfuerzos son de traccin o compresin, evitando esfuerzos de flexin. Estructura formada por barras sujetas por sus extremos, de forma tal que conforman un cuerpo rgido. Se consideran que las barras que conforman el reticulado son elementos rectos sometidos a la accin de dos fuerzas.
Ing. Xavier Steverlynck
Definicin
2
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Clasificacin de reticulados
Reticulados Simples: Es una estructura rgida (indica que la armadura no colapsar) plana que puede ser formada por elementos estructurales rgidos dispuestos de manera, que partiendo de tres barras, donde sus ejes forman un triangulo, se van agregando dos barras de ejes no alineados por cada nuevo nudo. # barras = 2n - 3
3
Reticulados Compuestos:
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Cuando dos o ms cerchas simples se unen para formar una nueva estructura rgida. Esto se har mediante la conexin entre nodos de los elementos simples por medio de vnculos (barras) no paralelas ni concurrentes o mediante vnculos equivalentes.
Ing. Xavier Steverlynck
Clasificacin de reticulados
4
Los reticulados planos se utilizan en techos y puentes.
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Uso de los reticulados
5
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Uso de los reticuladosPor su longitud o luz entre apoyos
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Partimos del tringulo primitivo, aadindole un par de barras (a) formando un nuevo triangulo
En forma generalbr = 3+2*a
br = 3+2*2
n=3+2
Reemplazando tenemos n = 3 + a
br = 2* n - 3
Condicin de estabilidad de un reticulado
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
br (# barras) = 3 n (# nudos) = 3
br = 3+2*1
n=3+1
Ing. Xavier Steverlynck
Estabilidad interna y externa Estabilidad Interna:
7
La barra debe ser de eje recto
Los nudos se suponen articulados
Las cargas solo son concentradas y actan sobre nudos
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Ing. Xavier Steverlynck
Condiciones bsicas
8
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Condiciones bsicas
Los ejes de las barras concurren a un nico punto nodal Las barras exclusivamente trabajan a SOLICITACION AXIL
9
Interna
Nmero de barrasrequeridas br = Nmero de nodos= n Nmero de reacciones R = br = 2 * n- R
br = 9 n= 6 R=3 br = 2 * n- R 9 = 2* 63 9=9
Es isosttica
10
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Si Si Si
br = 2 * n- R Isosttico br 2 * n- R Hiperesttico br 2 * n- R Inestable
Ing. Xavier Steverlynck
Determinacin esttica de reticulados
Externa
SiN.R. N.E. Hiperestt ico
SiN.R. N.E. InestableN.R = # de Reacciones N.E.= # de ecuaciones
# de Reacciones # de ecuaciones = 3= 3
11
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Determinacin esttica de reticulados
SiN.R. = N.E. Isosttico
Interna
Nmero de barrasrequeridas br = Nmero de nodos= n Nmero de reacciones R = br = 2 * n- 3
Si Si Si
br = 2 * n- 3 Isosttico br 2 * n- 3 Hiperestt ico br 2 * n- 3 Hiposttic obr = 9 n= 6 R=3 br = 2 * n- 3 9 = 2* 63 9=9
Es isosttica
12
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Estabilidad interna
Estabilidad internabr = 7 n= 5 br = 2 * n- 3 7 = 2* 53 7=7
Es estable
13
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Ejemplo
Determinacin esttica enfoque internobr = 7 n= 5 R= 4 br = 2 * n- R 7 = 2* 5 4 76
Determinacin esttica enfoque externo4 reacciones > 3 ecuaciones
Es hiperesttica
14
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Es hiperesttica
Ing. Xavier Steverlynck
Ejemplo
Estabilidad internabr = 7 n= 5 br = 2 * n- 3 7 = 2* 53 7=7
Es estable
15
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Ejemplo
br = 10 n= 8 R= 6 br = 2 * n- R 10 = 2 * 8 6 10 = 10
Determinacin esttica enfoque externo
6 reacciones > 3 ecuaciones
Es hiperesttica 3 exterior
16
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Es isosttica
Ing. Xavier Steverlynck
Ejemplo
Determinacin esttica enfoque interno
Estabilidad internabr = 10 n= 8 br = 2 * n- 3 10 = 2 * 8 3 10 13
Es hiposttico interior de 3 grado
17
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Ejemplo
NomenclaturaESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012 Ing. Xavier Steverlynck
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CORDN SUPERIOR
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Ing. Xavier Steverlynck
CORDN INFERIOR
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MONTANTES
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DIAGONALES
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Ing. Xavier Steverlynck
APOYOS
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Ing. Xavier Steverlynck
FUERZAS
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ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Ejercicio
br = 9 n= 6 R=3 br = 2 * n- R 9 = 2* 63 9=9
Es isosttica
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ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Mtodo de los Nudos
Nudo F
Mtodo de los NudosESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Nudo CIng. Xavier Steverlynck
26
Mtodo de los NudosESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Nudo BIng. Xavier Steverlynck
Nudo A
27
Mtodo de los Nudos Nudo EESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012 Ing. Xavier Steverlynck
28
br = 11 n= 7
R=3 br = 2 * n- R 11= 2 * 7 3 11= 11
Es isosttica
Reacciones
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ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Mtodo de las Secciones o de Ritter
Mtodo de las Secciones o de RitterESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012 Ing. Xavier Steverlynck
30
3t
M1.5 tX 5 25 = X= 5 8 8
A
=0
1.5 t
3x5-VE x10=0VE =1.5t
M
E
=0
3x5 + V x = 0 V = 1.5t A 10 A
H
=0
H A = 3t
31
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Ejercicio
3 P1=20 t
4
B
Bx
n= 6By
R=3 br = 2 * n- R 9 = 2* 63
1 P2=20 t 2
= 0 x + 20 + 20 + 20 = 0x = 60t
A P3=20 t Ay3.00 m 3.00 m
= 0 y * 6 60 * 6 + 20 * 6 + 20 * 3 = 0 y = 180 y = 30t 6
V = 0 By + Ay = 0 Ay= ByAy = 30t
32
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
9=9
Ing. Xavier Steverlynck
br = 9
3 P1=20 t
4
B
Bx = 60 tIng. Xavier Steverlynck
By = 30 t
1 P2=20 t 2
A P3=20 t Ay =30 t3.00 m 3.00 m
33
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
3 P1=20 t
4
B
Bx = 60 tIng. Xavier Steverlynck
By = 30 t m
1 P2=20 t 2
n A P3=20 t Ay =30 t3.00 m 3.00 m
34
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
3 P1=20 t S1 m S1 1 P2=20 t S2 S3 n S3 A P3=20 t Ay =30 t3.00 m
4
B
Bx = 60 tIng. Xavier Steverlynck
By = 30 t
S2 2
0 0 M1 = S3 * 3 * cos45 +20 * 3 = 20 28.28t S3 =2t = M 2 = 0 S1 * 3 20 * 3 + 30 * 3 = 0 S1 = 10t
3.00 m
35
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
= 0 20 * 3 + S2 * 3 = 0 S2 = 20t
36
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Estos se forman conectando dos o ms reticulados simples de modo que cumplan las exigencias establecidas para la completa inmovilidad en un plano. Reticulados compuestos Ejemplos:
Reticulado simple
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ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Reticulados Compuestos
br = 2*nbr = 11 n= 7 br = 2 * n- 3 11= 2 * 7 3 11= 11 br = 10 n= 8 br = 2 * n- 3 10 = 2 * 8 3 10 13 br = 10 n= 5 br = 2 * n 10 = 2 * 5 10 = 10
38
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Reticulados Complejos
Para que exista un reticulado rgido de acuerdo a lo estudiado y deber cumplir br = 2*n -3 Pero si tenemos
Si tenemosA
B
C
D
E
F
G
H
Y sustituimos la barra FC con otra BHA B C D
E
F
G
H
Para inmovilizar completamente nudos en un plano debemos conectarlos entre si y con el cimiento mediante br = 2*n barras o vnculos concurrentes.
39
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Reticulados Complejos
Si tenemosA B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
H
E
F
G
H
Por lo tanto:
As aun cuando cumple br = 2*n Este sistema NO es rgido.
Debemos modificar nuestro criterio de rigidez diciendo 2 *n barras son necesarias y cuando se las dispone convenientemente, suficientes para vincular rgidamente entre si y con el cimiento n nudos en un plano
40
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Reticulados Complejos
Sustituimos la barra FC con otra CH
A
D
Este es un reticulado simple Remplazando BF por EC Esta disposicin de barras y vnculos exteriores satisface an la relacin br = 2*n-3
E F
G
Figura AB C
A
D
Este tipo de sistema se denominaE F G
RETICULADO COMPLEJO 41
Figura B
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Reticulados ComplejosB C
EjercicioA C
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ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
500 kgF E
1000 kgB D
500 kg
Ing. Xavier Steverlynck
S' i
s'i
XEn el ultimo caso tenemos fuerzas de intensidad X en cualquier barra ser
si '* X
43
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Por superposicin de los dos casos el esfuerzo en cada barra ser
Para la barra BE ser
= Si= Sa
'+ s i ' X Si
S a '+ s a ' X
44
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
si
=0 Sa
'+ s a ' X = 0 Sa
X= ' Sa
sa
'45
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
0 0 0 = S cos = S = 0 0 V = S + 500 = S = 5002 2 1 1
2
2
2
1
1
46
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
0 0 =S cos + 1 cos = 0.9918S + 1* 0.7433 = 0 S = .749 0 0 V = S + 1* 0.6699 0.7494 * 0.1276 = S = 0.574
Ing. Xavier Steverlynck
Calculamos
1
0 0.9098S 1 + 0.5 * S 4 .6699 * S 3 = S 3 =
Si
SSi
1
500 455 = S3 = S4 = 391 0.574 S 3 = .5222 S 4 = = 0.448
S
1
47
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
0 = S 0 V = S
4
3 / 2 + S 3 * .7433 = S 4 =0.8582S 3 0
X
872 = = 953 0.915
48
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 a
S'i -500 0 455 -391 0 1,000 0 0 -872
s'i (0.5740) (0.7490) 0.5220 (0.4480) (0.7490) (0.1910) (0.8580) (1.0980) 0.9150
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 a
S'i -500 0 455 -391 0 1,000 0 0 -872
s'i (0.5740) (0.7490) 0.5220 (0.4480) (0.7490) (0.1910) (0.8580) (1.0980) 0.9150
s'iX -547 -714 497 -427 -714 -182 -818 -1,046 872
Si -1,047 -714 952 -818 -714 818 -818 -1,046 0
Ing. Xavier Steverlynck
s'iX
Si -500 0 455 -391 0 1,000 0 0 -872
br = 33 n = 18 br = 2 * n- 3 33 = 33Ing. Xavier Steverlynck
33 = 2 * 18 3
Calculamos reacciones
2 * 4.5 + 2 * 9 + 4 * 12 + 1 * 12 + 5 * 18 + 10 * 24 + 10 * 30 + 5 * 36 + 2.5 * 42 V i * 48 = 0
M
a
=0
V
1002 = 20.875 48 = 0 4 + 5 + 10 + 10 + 5 + 2.5 V i V a = 0 V a = 15.625
Vi =
H
= 0 H a + 2 + 2 + 1 = 0 H a = 5
49
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
50
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
51
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
15.625 * 24 + 5 * 12 5 * 6 4 * 12 2 * 3 2 * 7.5 S de * 12 = 0x
9 45
= s de
336 = 28 12 s de = 28C
sen 45 = 2 cos 45 = 2
M2 2
=0 9* 2 = 0 2
15.625 * 12 + 5 * 9 + 5 * 6 2 * 4.5 28 * 9 S iE * = s iE 1.5 * 2 = 0.236 9* 2 s iE = 0.236
52
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
M
E
=0
Ing. Xavier Steverlynck
V15.625 5 4 + S DE *
=0
SDC
D
SDE
S DC *
12 12 + S DE * = 0 S DC = S DE 3 * 17 3 * 17
H
D
=0
SDI
S DC *
3 3 * 17
v+ S DE *
D
=0 S Di = 0 S Di = 0
3
3 * 17
53
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
3 2 + 0.236 * =0 2 3 17 sDE = 28.003
Ing. Xavier Steverlynck
28.003 1 1.5 1.5 4.5 4.5 0 Haa b c d
E F G
4 2C
28.003 D 0 .236J
5e
10f
10g h
5i
Va
5
108a6m
10
5
2.5
Vi
54
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
2
B
I
H
Ing. Xavier Steverlynck
L
3
J
K
M
N
5
Analizar la armadura y calcular el esfuerzo de las barras AH, BC y DI debido a las cargas que actan sobre ella
9A B
H C D
I E F G
3
5
10 6a8m
8
5
M = 0 0 R * 48 3 * 40 5 * 32 10 * 24 8 * 16 5 * 8 + 5 * 9 = 733 = = 15.271t M = 0 R 48 0 R * 48 + 3 * 8 + 5 * 16 + 10 * 24 + 8 * 32 + 5 * 40 5 * 9 =G A A
A
G
Comprobamos
= RG
755 = 15.729t 48
V = 0
3 5 10 8 5 + 15.271 + 15.729 = 0
OK
55
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
L
3
J
K
M
N
58
3
95A B
H C D D
I E F G
15.271
3
5
10 6a8m
8
5
15.271* 24 3 * 16 5 * 8 + S K Lsen * 8 + S K L cos * 9 = 0
M
D
=0 278.504 = 24.787t Comp. 8 * sen + 9cos
SEn el nudo K
= K L
H = 0 0 S S * cos = = 24.787 * cos 23.209t Comp. = SK J K J K K L
56
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
tan = 3 = 20.55605 8
L
3
J
K
M
N
58
3
95A B
H C D D
I E F G
15.271
3
5
10 6a8m
8
5
15.271* 16 5 * 4.5 3 * 8 + S K L cos * 4.5 S C D * 4.5 = 0 = S C D 93.394 = 20.754t Tracc. 4.5
H
=0
H = 0 0 S S = S = 20.754t Tracc.K B C C D B C
En el nudo C
V = 0 S = 5t Tracc.K C H
57
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
M
Ing. Xavier Steverlynck
tan = 3 = 20.55605 8
tan = 9 = 48.36646 8SAJ SAH
tan= 4.5
5
A
20.754 15.271
S
5 + 20.754 + S AH * cos + S AJ * cos = 0A H
25.754 * cos + S AJ * cos =A
S
A H
* sen + S AJ * sen = 15.271
S S
A H
* cos + S AJ * cos = 25.754 * sen + S AJ * sen = 15.271 A H
Resolviendo
S S
A H
= 16.8698t = 14.3209t
58
AJ
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
15.271 + S AH * sen + S AJ * sen = 0
V
=0
Ing. Xavier Steverlynck
H
16
= 15.70864
A
=0
L J K M N
4.5
5
H A B C D D
I E F G
tan = 4.5 = 29.35775 8 Ing. Xavier Steverlynck
8
3
5
10 6a8m
8
5
15.729t
M S
0 15.729 * 24 + 5 * 16 + 8 * 8 5 * 9 + S L Msen * 8 + S L M cos * 9 = = L M 278.496 = 24.787t Comp. 8 * sen + 9 * cos
D
=0
M
15.729 * 16 + 5 * 8 5 * 9 ( 24.787) * cos + S D I cos * 4.5 = 0 47.792 = 12.185t Comp. cos * 4.5
E
=0
S D I =
S
= 12.185t Comp. D I
59
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
2.5 * 7.5 + 5 * 15 + 5 * 22.5 + 2.5 * 30 + 2.5 * 37.5 + 10 * 9 V g * 45 = 0 375 V g = 45 = 10.3333
M
a
=0
H = 0 10 H = 0 Ha
a
= 10
2.5 * 7.5 2.5 * 15 5 * 22.5 5 * 30 2.5 * 37.5 + 10 * 9 + V a * 45 = 0
M
g
=0
V
a
=
322.5 = 7.1667 45
V
=0
60 OK
10.333 + 7.1667 2.5 5 5 2.5 2.5 = 0
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
Prctica 2Ejercicio 1
Calcular los esfuerzos en las barras Ac -Dd - Ce - de
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
9
15 7.5
Nudo gSEg0
S
Eg
* sen + 10.333 = 0 S Eg = 20.084 C
V = 0
Sfg
Va=10.333
g
H = 0 S * cos S = 0 SEg fg
fg
= 17.222 T
61
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
tan =
9 15 = 30.9638
9
9 7.5 = 50.1944 tan =
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
9
15 7.5
Nudo fSDf0
SSfg
Df
* sen 2.5 = 0 S Df = 4.859 T
V = 0
f
Sef
2.5
H = 0 S * cos S + S = 0 SDf ef fg
ef
= 13.056 T
62
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
9
9 7.5 = 50.1944 tan =
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
Nudo ESDE0
E
V = 0 S * sen S = 0 SEg Ee
Ee
= 10.333 T
SEg SEe
H = 0 S * cos + S = 0 SEg DE
DE
= 17.222 T
63
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
Ce
Ee
SEe SCe Sdee
S Ce = 15.225 CSef
2.5
H = 0 S * cos + S SCe ef
de
= 0
S de = 26.111 T
64
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Nudo e
V = 0 S * sen + S
2.5 = 0
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
SDd SBd Scdd
SSde
Bd
* sen S Dd 5 = 0 S Bd = 14.577 T
V = 0
5
H = 0 S * cos S + S = 0 SBd cd de
cd
= 13.611 T
65
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Nudo d
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
SCD
D
SDE
V = 0 S * sen + S = 0 SDf Dd
Dd
= 2.5 C
SDd
SDf
H = 0 S * cos + S S = 0 SDf CD DE
CD
=
13.056 T
66
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Nudo D
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
10
A
B
C
D
E
F
G
9m
b
c
d
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
Nudo CSBCC
SSCe
Ce
* sen SCc = 0 SCc = 7.833 T
SCc
H = 0 S * cos S + S = 0 SCe CD BC
BC
= 26.111 C
Nudo cSCc SAc Sbcc
Scd
5
S
Ac
* sen + SCc 5 = 0 S Ac = 5.507 C
V = 0
67
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
SCD
V = 0
Ing. Xavier Steverlynck
a
g
Calcular los esfuerzos en las barras Ac -Dd - Ce - de
10
A
B
C
D
E
F
G
7.507C
15.225C
2.5C9m
a b c d
g
26.111T
e
f
Ha=10
Va=7.167
2.5
5
56 a 7.50 m
2.5
2.5 Vg=10.333
68
ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012
Ing. Xavier Steverlynck