Eduardo Sá Ribeiro de Moraes

Estruturas Algébricas

Professor Valdemar

Faculdade São Paulo – FASP

São Paulo

2014

I

Sumário

Exercício 3 Pág. 01

Exercício 6 Pág. 02

Exercício A Pág. 03

Exercício B Pág. 05

Exercício C Pág. 06

Exercício D Pág. 08

Tábua das funções compostas Pág. 09

Tábua 1 Pág. 13

Tábua 2 Pág. 14

Exercício A2 Pág. 15

Exercício B2 Pág. 16

Exercício C2 Pág. 17

1

3) Seja E um conjunto e consideremos o conjunto das partes de E, P(E), a aplicação

(x , y )↦ x∪ y, de P (E ) X P (E) em P(E), denominada união.

Que estrutura representa P(E)?

E= {3, 6, 7, 8}

P(E)= {Ø; {3}; {6}; {7}; {8}; {3,6}; {3,7}; {3,8}; {6,7}; {6,8}; {7,8}; {3,6,7}; {3,6,8}; {3,7,8};

{6,7,8}; {3,6,7,8} }

Associativa

∀a ,b , c∈ P(E)

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

( {6 }∪ {7 } )∪ {8 }= {6 }∪({7 }∪ {8 })

{6,7 }∪ {8 }={6 }∪{7,8 }

{6,7,8 }={6,7,8 }

∴Vale aassociativa

∃EN ?℮=?

∀a∈P(E)

a∗℮=a=℮∗a=a

{3,6 }∪℮= {3,6 }=℮∪ {3,6 }={3,6 }

℮= {3,6 }−{3,6 }=℮={3,6 }−{3,6 }

℮=∅=℮=∅

∴∃ ! EN e e=∅

Comutativa

∀a ,b∈P(E)

a∗b=b∗a

{6,7 }∪ {7,8 }={7,8 }∪ {6,7 }

{6,7,8 }={6,7,8 }

∴Vale acomutativa

Logo ¿

2

6) Seja um conjunto E={4, 6, 9, 13, 17}, a operação de mínimo múltiplo comum

(m.m.c.), de m.m.c.(x, y). Que tipo de estrutura representa?

* 4 6 9 13 17

4 4 12 36 52 68

6 1

2

6 18 78 10

2

9 3

6

18 9 11

7

15

3

1

3

5

2

78 11

7

13 22

1

1

7

6

8

10

2

15

3

22

1

17

4,

4

2

2,

2

2

1,

1

4

4,6 2

2,3 2

1,3 3

1,1 12

4,9 2

2,9 2

1,9 3

1,3 3

1,1 36

4,1

3

2

2,1

3

2

1,1

3

13

1,1 52

4,1

7

2

2,1

7

2

1,1

7

17

1,1 68

6,

6

2

3,

3

3

1,

1

6

6,9 2

3,9 3

1,3 3

1,1 18

6,1 2

3

3,1

3

3

1,1

3

13

1,1 78

6,1

7

2

3,1

7

3

1,1

7

17

1,1 102

9,

9

3

3,

3

3

1,

1

9

9,1

3

3

3,1

3

3

1,1

3

13

1,1 117

3

9,1

7

3

3,1

7

3

1,1

7

17

1,1 153

13,13 13

1,1 13

13,1

7

13

1,17 17

1,1 221

17,17 17

1,1 17

Associativa

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

mmc (mmc (6,9 ) ,13)=mmc (6 ,mmc (9,13 ))

mmc (18,13)=mmc(6,117)

mmc (234 )=mmc (234)

∴Vale aassociativa

∃EN ?℮=?

∄EN , pois não existemcolunae linha iguaisà colunae linha fundamental .

Comutativa

∀a ,b∈E

a∗b=b∗a

mmc (6,9)=mmc (9,6)

18=18

∴Vale acomutativa , pois a tábuaé simetrica emrelação àdiagonal principal.

Logo ¿

Construir a tábua das operações * abaixo sobre o conjunto E, de acordo com a

definição, verificar se é comutativa, se existe elemento neutro, mostrar a associativa

4

através de dois exemplos e, em seguida dizer se é semigrupo ou monoide

comutativo. Justifique suas respostas.

a) E={1 ,2,3 ,6 } x∗y=mdc(x , y)

* 1 2 3 6

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

3 1 1 3 3

6 1 2 3 6

Associativa

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

mdc (mdc (2,3 ) ,6)=mdc ¿

mdc (1,6 )=mdc(2,3)

1 = 1

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

mdc (mdc (1,3 ) ,2)=mdc ¿

mdc (1,2 )=mdc(1,1)

1 = 1

1 2

3 2 1

1 0

2

6 3

0

∴Vale aassociativa

∃EN ?℮=?

∀a∈E

5

mdc (a ,℮ )=a=mdc (℮,a )=a

mdc (3,6 )=3=mdc (6,3 )=3

∴∃ ! EN e ℮=6 , Poisa linhae colunaaque pertence sãoiguais alinhae coluna fundamentais .

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e

mdc (a∗a' )=e=mdc (a'∗a)=e

mdc (a∗a' )=1=mdc (a '∗a)=1

mdc (a∗a' )=1 ,1≠℮

U∗(E )= {6 } .

6 Simetrizado→

6

Comutativa

∀a ,b∈E

a∗b=b∗a

3∗2=2∗3

1=1

∴Vale acomutativa pois a tábuaé simetrica emrelação adiagonal principal!

Logo ¿

b) E={1,3,9,27 } x∗y=mmc (x , y )

* 1 3 9 27

1 1 3 9 27

3 3 3 9 27

9 9 9 9 27

27 27 27 27 27

3,

9

3

1,

3

3

1,

1

9

3,2

7

3

1,9 3

1,3 3

1,1 27

3,

3

3

1,

1

3

9,2

7

3

3,9 3

6

1,3 3 1,1 27

Associativa

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

mmc (mmc (3,9 ) ,27)=mmc (3 ,mmc (9,27 ))

mmc (9,27 )=mmc (3,27)

27=27

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

mmc (mmc (1,27 ) ,9)=mmc (1 ,mmc (27,9 ))

mmc (27,9)=mmc(1,27)

27=27

∴Vale aassociativa !

∃EN ?℮=?

∀a∈E

a∗℮=a=℮∗a=a

mmc (a ,1 )=a=mmc (1, a )=a

∴∃ ! EN e ℮=1Pois alinhae coluna aque pertence sãoiguais a linhaecoluna fundamentais .

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e

1∗1=e=1∗1=e

U∗(E )= {1 }

1Simetrizado→

1

Comutativa

∀a ,b∈E

a∗b=b∗a

mmc (3,9)=mmc(9,3)

9=9

Vale acomutativa pois a tábuaé simetricaem relação adiagonal principal

7

Logo ¿

c) E={1 , i ,−1,−i}x∗y=x . y

* 1 i −1 −i

1 1 i −1 −i

i i −1 −i 1

−1 −1 −i 1 i

−i −i 1 i −1

i .1=i

(−i ) .1=−i

i . (−1 )=−i

i .i=i ²=−1

(−1). (−1)=1

(−i ) . (−i )=i ²=−1

(−i ) .i=−i2=1

Associativa

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

(i .(−1))∗(−i)=i∗((−1 ) .(−i))

(−i).(−i)=i∗i

−1=−1

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

(1.(−i))∗(−i)=1∗((−i ) .(−i))

(−i ) . (−i )=1∗(−1)

−1=−1

∴Vale aassociativa !

∃EN ?℮=?

∀a∈E

a∗℮=a=℮∗a=a

8

a .℮=a=℮ .a=a

℮=aa=℮=a

a

℮=1=℮=1

∴∃ ! EN e ℮=1Pois alinhae coluna aque pertence sãoiguais a linhaeco luna fundamentais .

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e −i∗i=e=i∗−i=e

1=e=1=e

U∗(E )= {1 , i ,−1 ,−i }

1Simetrizado→

1 −i Simetrizado→

i

−1Simetrizado→−1

−i Simetrizado→

ii Simetrizado→

−i

Poisnas linhasecolunas desses elementoso℮ figuraumaúnica vez de forma,

simétricaem relaçãoà diagonal principal .

Comutativa

∀a ,b∈E

a∗b=b∗a

i . (−i )= (−i ) . i

1=1

Vale acomutativa pois a tábuaé simétricaem relação àdiagonal principal .

Logo ¿

d) E={0 ,1 ,2 ,3 }x∗ y=Restoda divisãoemZ de x+ y por 4.

* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

0+0=00÷4=0 resto 1

0+1=11÷4=0 resto 1

9

Associativa

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

(2∗1 )∗3=2∗(1∗3)

3∗3=2∗0

2=2

∀a ,b , c∈ E

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

(0∗2 )∗3=0∗(2∗3)

2∗3=0∗1

1=1

∴V ale aassociativa !

∃EN ?℮=?

∃EN e℮=0 , pois na linhaecoluna emque figura , sãoiguaisa linhae colunafundamental .

Comutativa

∀a ,b∈E

a∗b=b∗a

Vale acomutativa pois a tábuaé simétricaem relação adiagonal principal .

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e

U∗(E )= {0 ,1 ,2 ,3 }

3Simetrizado→

1

2Simetrizado→

21Simetrizado→

3Logo ¿

Construir a tábua da operação de composição de funções em E={f 1 , f 2 , f 3 , f 4 },

onde:

10

f 1=(aab c db c d ) f 2=(abb c d

c d a) f 3=(ac b c dd a b)

f 4=(ad b c da b c)

Tábua:

* f 1 f 2 f 3 f 4

f 1 f 1 f 2 f 3 f 4

f 2 f 2 f 3 f 4 f 1

f 3 f 3 f 4 f 1 f 2

f 4 f 4 f 1 f 2 f 3

f 1Simetrizado→

f 1

f 3Simetrizado→

f 3

f 4Simetrizado→

f 2

F1

f 1 ( f 1 )=f 1=(a ,a ) (b ,b ) ( c , c ) (d ,d )

f 1=(aab c db c d )

f 1=(a bc d )

f 1 ( f 2 )=f 2=(a ,b ) (b , c ) (c ,d ) (d ,a )

f 1=(aab c db c d )

f 2=(a bc d )

f 1 ( f 3 )=f 3= (a , c ) (b ,d ) (c ,a ) (d ,b )

f 1=(aab c db c d )

f 3=(a bc d )

11

f 1 ( f 4 )=f 4= (a ,d ) (b ,a ) (c ,b ) (d , c )

f 1=(aab c db c d )

f 4= (a bc d )

F2

f 2 ( f 1 )=f 2=(a ,b ) (b , c ) (c ,d ) (d ,a )

f 2=(abb c dc d a)

f 1=(a bc d )

f 2 ( f 2 )=f 3=(a , c ) (b ,d ) (c ,a ) (d ,b )

f 2=(abb c dc d a)

f 2=(a bc d )

f 2 ( f 3 )=f 4=(a ,d ) (b ,a ) (c ,b ) (d , c )

f 2=(abb c dc d a)

f 3=(a bc d )

f 2 ( f 4 )=f 1=(a ,a ) (b ,b ) (c , c ) (d ,d )

f 2=(abb c dc d a)

f 4= (a bc d )

F3

f 3 ( f 1 )=f 3= (a , c ) (b ,d ) (c ,a ) (d ,b )

f 3=(ac b c dd a b)

12

f 1=(a bc d )

f 3 ( f 2 )=f 4=(a ,d ) (b ,a ) (c ,b ) (d , c )

f 3=(ac b c dd a b)

f 2=(a bc d )

f 3 ( f 3 )=f 1= (a ,a ) (b ,b ) (c , c ) (d ,d )

f 3=(ac b c dd a b)

f 3=(a bc d )

f 3 ( f 4 )=f 2=(a ,b ) (b , c ) (c ,d ) (d ,a )

f 3=(ac b c dd a b)

f 4= (a bc d )

F4

f 4 (f 1)=f 4= (a ,d ) (b ,a ) (c ,b ) (d , c )

f 4=(ad b c da b c)

f 1=(a bc d )

f 4 (f 2)=f 1=(a ,a ) (b ,b ) (c , c ) (d ,d )

f 4=(ad b c da b c)

f 2=(a bc d )

13

f 4 (f 3 )=f 2=(a ,b ) (b , c ) (c ,d ) (d ,a )

f 4=(ad b c da b c)

f 3=(a bc d )

f 4 (f 4 )=f 3= (a , c ) (b ,d ) (c ,a ) (d ,b )

f 4=(ad b c da b c)

f 4= (a bc d )

Em seguida, calcular:

f 2∘ f 3∘ f 4 ; ( f 3)2 ;( f 2∘ f 4)

3 ; ( f ¿¿3∘ f 4)−1¿ ; ( f ¿¿2)−1∘( f ¿¿3)−1¿¿

f 2 ( f 3 (f 4 ))=f 2 ( f 2 )=f 3

( f 3 )2=f 3 ( f 3 )=f 1

( f 2 (f 4 ))3=(f 1 )3=f 1 ( f 1 ( f 1 ))=f 1

( f 3 (f 4 ))−1=( f 2 )−1=f 4

( f 2 ( f 3 )−1 )−1=(f 2)−1∘ f 3=f 4 ( f 3 )

Para a tábua ao lado:

Quem é o elemento neutro?

Quais são os elementos simetrizáveis e quais são seus simétricos e os regulares?

Associativa E={a ,b , c ,d } ∀ x , y , z∈E

( x∗y )∗z=x∗( y∗z )(b∗a )∗d=b∗(a∗d)

c∗c=a∗bc=c∴Vale aassociativa

14

* a b c d

a a c a c

b c b b a

c a b c d

d c a d b

Comutativa

∀ x , y∈E

x∗y= y∗x

a∗d=d∗a

c=c

∴Vale acomutativa , pois a tábuaé simétrica emrelação àdiagonal principal!

∃EN ?℮=?

∀ x∈ E

x∗℮= x=℮∗x=x

∴∃ ! EN e ℮=c ,Pois a linhaeacoluna aqual pertence , sãoiguais àcolunae linha fundamental .

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e

c∗c=e=c∗c=e

U∗(E )= {c }

c Simetrizado→

c

∴¿

Verifique na tábua ao lado:

a) Se * é comutativa.

b) Se existe elemento neutro.

c) Determine U∗(E ) .

d) Quantos elementos simetrizáveis e quais são seus simétricos.

e) Quantas vezes aparecem o elemento neutro nas linhas da tábua. Por quê?

* r s t u

15

r s u r t

s u r s r

t r s t u

u t u u s

Associativa

∀ x , y , z∈E

( x∗y )∗z=x∗( y∗z )

(u∗s )∗r=u∗(s∗r )

u∗r=u∗u

t=s (F)

∴Nãovale a associativa

∃EN ?℮=?

∀ x∈ E

x∗℮= x=℮∗x=x

∃! EN ,e℮=t , pois acoluna e alinhaenque figura sãoiguaisas fundamentais .

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e

u∗r=e=r∗u=e

t=e=t=e

U∗(E )= {c }

r Simetrizado→

u

uSimetrizado→

r

Comutativa

∀ x , y∈E

x∗y= y∗x

u∗s=s∗u

u=r (F)

16

∴Nãovale a comutativa , pois a tábuanão é simetrica em relaçãoàdiagonal principal !

O elemento neutro aparece mais duas vezes na tábua, pois é resultado da operação

dos elementos simetrizáveis com seus simétricos.

a) R+¿ x∗y=√ xy¿

Associativa

∀ x , y , z∈R+¿¿

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

√ab∗c=a∗√bc

√√ab∗c=√a√bc

4√abc2=4√a2bc (F)

∴Nãovale a associativa!

Comutativa

∀ x , y∈R+¿ ¿

a∗b=b∗a

√ab=√ba

∴Vale acomutativa !

∃EN ?℮=?

∀ x∈R+¿¿

x∗℮= x=℮∗x=x

√ae=a=√ea=a

ae=a2=ea=a2

e=aa=e=a

a

e=1=e=1

∃! EN ,e℮=1

Simetrizável

a∗a '=e=a'∗a=e

√a∗a '=e=√a'∗a=e

√1=e=√1=e

1=e=1=e

U∗¿

17

R+¿ Simetrizado→

R+¿¿ ¿

Logo ¿

b) R , x∗y=a2−ab+b2

Associativa

∀ x , y , z∈R

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

(3∗(−5))∗2=3∗((−5)∗2)

(32− (3.(−5))+52)∗2=3∗((−5)2−((−5).2 )+22)

(9+15+25)∗2=3∗(25+10+4)

49∗2=3∗39

492−(49.2 )+22=32−(3.39 )+392

2401−98+4=9−117+1521

2307=1413 (F)

∴Nãovale a associativa

Comutativa

∀ x , y∈R+¿ ¿

a∗b=b∗a

(−3)2−3.7+72=72−(7. (−3 ) )+32

9−21+49=49+21+9

37=37

∴Vale acomutativa

∃EN ?℮=?

∀ x∈R

x∗℮= x=℮∗x=x

22−2℮+℮2=2=℮2−℮2+22=2

2−2℮+℮2=0=℮2−2℮+2=0

2℮+℮2=−2=℮2−2℮=−2

2℮+℮2+1=−1=℮2−2℮+1=−1

(℮−1) ²=−1=(℮−1) ²=−1

℮−1=√−1=℮−1=√−1 ℮−1=i=℮−1=i

18

℮=i−1=℮=i−1

∃! EN ,e℮=1

c) R , x∗y=ab−a−b+2

Associativa

∀ x , y , z∈R

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )

(6. (−7 )−6−7+2 )∗2=6∗( (−7 ) .2−(−7 )−2+2)

(−53 )∗2=6∗(−7)

(−53 ) .2−(−53 )−2+2=6. (−7 )−6−(−7 )+2

(−53 )=(−39)

∴Nãovale a associativa

Comutativa

∀ x , y∈R+¿ ¿

a∗b=b∗a

6 (−7 )−6−7+2= ( (−7 )6 )−(−7 )−6+2

(−53 )=(−39 )

∴Nãovale a comutativa!

∃EN ?℮=?

∀ x∈R

x∗℮= x=℮∗x=x

3℮−3−℮+2=3=℮3−℮−3+2=3

2℮=4=℮ 2=4

℮=42=℮=4

2

℮=2=℮=2

∃! EN ,e℮=2