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Estudo da teoria de grupos focalizando ahistória da Álgebra Abstrata e os processos deensino da álgebra. Aprofundamento das noçõesfundamentais das teorias de Grupos, Anéis eCorpos
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Universidade Cidade de São Paulo
Estruturas Algébricas
Prof. Me. Rafael Teixeira
Aula 3
Relações e Funções
Se uma relação é formada em um único conjunto,
podemos usar um diagrama de flechas diferente do
usado acima. Nesse formato é mais rápido a
classificação de uma relação de equivalência.
Por exemplo, R = {(a, a), (b, b), (a, c)}
a b
c
Podemos ver que a
relação não é de
equivalência, não
existe o par (c, c), por
exemplo.
Relações e Funções R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, c), (b, a),
(c, a), (c, b)}
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}
Relações e Funções
Uma relação de equivalência importante é a
congruência módulo m ou classes de restos.
Seja m um inteiro positivo. Dizemos que dois
inteiros x e y são congruentes módulo m e
escrevemos:
x y (mod m)
Se, e somente se, m|(x – y)
Relações e Funções
Por exemplo:
3 13 (mod 5), já que 5|(3 – 13) = -10
4 4 (mod 5), já que 5|(4 – 4) = 0
16 3 (mod 5), já que 5 | (16 – 3) = 13
Como dito, essa relação é de equivalência. Segue a
demonstração:
Relações e Funções
• Simétrica:
• Transitiva:
• Reflexiva:
Dados dois conjuntos A e B, ambos não vazios, uma
relação f de A em B é uma função, se, e só se, para
todo x A, existe um só y B tal que (x, y) f
Relações e Funções
1ª: Todos os elementos de A devem servir de ponto
de partida.
Para isso precisamos verificar duas condições:
2ª: Cada elemento de A deve servir de ponto de
partida de somente uma flecha.
Por exemplo: Dados os diagramas abaixo,
determinar quais são funções:
Relações e Funções
A B -1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
3
A B -1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
3
Por exemplo: Dados os diagramas abaixo,
determinar quais são funções:
Relações e Funções
A B -1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
3
A B -1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
3
1) Se R e S são relações binárias de A = {x Z | -2
x 5} em B = {y Z | -2 y 3} definidas
por:
x R y 2|(x – y)
x S y (x – 1)² = (y – 2)².
Determine:
a) As representações cartesianas de R e S;
b) O domínio e a imagem de R e S;
c) R S.
Exercícios
2) Quais dos esquemas abaixo definem uma função? Exercícios
A B 0
1
2
0
1
2
A B -1
0
1
2
-1
0
1
2
A B 0
1
2
0
1
2
A B 0
1
2
-1
0
1
2
3) Seja f a função de R em R definida por f(x) = x² -
3x + 4. Calcule:
a) f(2);
b) f(-1);
c) f(1 2 );
d) f(−1 3 );
e) f( 3);
f) f(1 - 2).
4) É dada a função real tal que:
• f(x) . f(y) = f(x + y);
• f(1) = 2 e f( 2) = 4.
Calcule f(3 + 2).
Exercícios
5) Seja p o único número natural que é primo e par.
Sendo f(x) = (0,25)-x + x – 1, determine o valor de
f(p).
6) Seja a função f de R em R definida por f(x) = 2𝑥−3
5. Qual é o elemento do domínio que tem
−3
4
como imagem?
7) Faça o diagrama de flechas para as relações
abaixo e conclua se é de equivalência.
a) R = {(a, a), (b, b), (c, c)}
b) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, a)}
c) R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}
d) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, a), (a, c)}
Exercícios
1)
a) R S
Respostas
2
0 1
-1 -2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 3
2
0 1
-1 -2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 3
b) R: D = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; Im = {-2, -1, 0, 1,
2, 3}; S: D = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; Im = {-1, 0, 1,
2, 3}.
c) R S = { }
2)
A B 0
1
2
0
1
2
A B -1
0
1
2
-1
0
1
2
A B 0
1
2
-1
0
1
2
Respostas
3)
a) f(2) = 2;
b) f(-1) = 8;
c) f(1 2 ) = 11 4 ;
d) f(−1 3 ) = 46 9 ;
e) f( 3) = 7 + 3 3;
f) f(1 - 2) = 4 + 2.
4) f(3 + 2) = 32.
5) 17
6) −3 8
Respostas
7)
a) R = {(a, a), (b, b), (c, c)}
É uma relação de equivalência.
b) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, a)}
a b
c
a b
c
Respostas
7)
c) R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}
d) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, a), (a, c)}
É uma relação de equivalência.
a b
c
Respostas
a b
c
