ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I 12 –EFEITOS DE …

Válter Lúcio Maio 2006 1

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL

12 12 ––EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIALEFEITOS DE SEGUNDA ORDEM PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIALESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

12 12 ––EFEITOS DE SEGUNDA ORDEMEFEITOS DE SEGUNDA ORDEMPROVOCADOS POR ESFORÇO AXIALPROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL

PROGRAMAPROGRAMA1. Introdução ao betão armado2. Bases de Projecto e Acções3. Propriedades dos materiais: betão e aço4. Durabilidade5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6. Estado limite último de resistência à flexão simples7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso8. Disposições construtivas relativas a vigas9. Estados limite de fendilhação10. Estados limite de deformação11. Estados limite últimos de resistência

à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.12.Efeitos de segunda ordem provocados por esforço axialEfeitos de segunda ordem provocados por esforço axial13. Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14. Estado limite último de resistência à torção



12 12 ––EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIALEFEITOS DE SEGUNDA ORDEM PROVOCADOS POR ESFORÇO AXIAL

ÍNDICEÍNDICE1. Imperfeições geométricas2. Efeitos de segunda ordem

A. IntroduçãoB. Critérios de dispensa da consideração

dos efeitos de 2ª ordemi. Para elementos isoladosii. Para edifícios

C. Comprimento de encurvadura3. Método de análise dos efeitos de segunda ordem4. Sequência do cálculo de um pilar de um edifício




Elementos ou sistemas de contraventamento são os que são considerados para efeitos de estabilidade horizontal do conjunto da estrutura

Contraventamento em cruz de Sto André

Contraventamento com parede resistente

Contraventamento em cruz de Sto André

Contraventamento com parede resistente




1.1. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICASIMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS

Os efeitos desfavoráveis de eventuais imperfeições geométricas e de desvios na posição das cargas, devem ser considerados na análise aos estados limites últimos dos elementos e das estruturas.

A imperfeição pode ser representada por uma inclinação, dada por:

θi = θ0 αh αm

θ0 = 1/200 – valor básicoαh = 2/√ℓ ; 2/3 ≤ αh ≤ 1 – coeficiente de redução relativo ao comprimento do elemento ou altura do edifício ℓ.

αm = √[0.5(1+1/m)] – coeficiente de redução relativo ao número de elementos m.

NN

NN

θθii

MM

ℓ

αh

4m 9m

1.0

2/3

• Em elementos estruturais isolados: m=1 e ℓ é o comprimento real do elemento.

• Num sistema de contraventamento: m é o número de elementos verticais que transmitem força horizontal ao sistema de contraventamento, e ℓ é altura do edifício.




Em elementos isoladoselementos isolados o efeito das imperfeições pode ser considerado como uma excentricidade ou como uma força transversal:

ei = θi ℓ0 / 2

elementos não contraventados

NN

θθii

eeii

ℓ0 é o comprimento efectivo ou de encurvadura.

elementos contraventados

NNeeii

Em paredes e pilares isolados em estruturas contraventadas, pode-se considerar, como simplificação:

ei = ℓ0 / 400




2.2. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEMEFEITOS DE SEGUNDA ORDEM

A.A. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

NN Encurvadura: rotura devido à instabilidade do pilar devido ao esforço axial e sem carregamento transversal.

Carga crítica de Euler ou de encurvadura:

2

ccmB IEN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=l

NN




NNMM0101

MM0202 NN

e2Momentos de 1ª ordem

M02

M01

Momentos de 1ª ordem: são os efeitos das cargas aplicadas e das imperfeições geométricas da estrutura.Provocam deformação transversal por flexão do pilar (e2).

Momentos de 2ª ordem: são os efeitos do esforço axial na excentricidade causada, em cada secção, pelos momentos de 1ª ordem.

Efeitos de 2ª ordem são efeitos adicionais que resultam das deformações da estrutura (M2Ed).

Designam-se por efeitos de 1ª ordem os resultantes das acções aplicadas na estrutura e dos imperfeições geométricas da estrutura (M0Ed).

M2 = N·e2

Momentos de 2ª ordem




B.B. CRITÉRIOS DE DISPENSA DA CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEMCRITÉRIOS DE DISPENSA DA CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM

i. Para elementos isolados

Apenas as colunas esbeltas são suficientemente deformáveis para que os efeitos de 2ª ordem sejam relevantes.Os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados se corresponderem a menos de 10% dos efeitos de 1ª ordem.

Os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados se a esbelteza λ < λlim.

λ = ℓ0 / i

λlim = 20 A B C / √ν

onde é ℓ0 o comprimento de encurvadura, e i = √(I/A) é o raio de giração da secção transversal:

A = 1 / (1 + 0.2 ϕef) ≈ 0.7

B = √ (1 + 2 ω) ≈ 1.1C = 1.7 - rm ≈ 0.7 com rm = M01/M02


M02

M01

ϕef = ϕ(∞,t0) M0Eqp / M0Ed

ω = Asfyd / Acfcdν = NEd / Acfcd




|M02| ≥ |M01|

ϕef = ϕ(∞,t0) M0Eqp / M0Ed

ϕ(∞,t0) é o coeficiente de fluência final.

M0Eqp é o momento de primeira ordem para a comb. quase permanente de acções.M0Ed é o momento de primeira ordem para a comb. usada no dimensionamento aos Estados Limites Últimos.

onde M01 e M02 são os momento de primeira ordem nas extremidades do elemento, devendo ser:

C = 1.7 - rm ≈ 0.7 com rm = M01/M02

2.7

M01/M02

C

1.7

0.7

1.0-1.0 0

M01=0

M02M02

M01=- M02

M02

M01=M02

o efeito da fluência pode ser desprezado se ϕ(∞,t0) ≤ 2.0; λ ≤ 75 e M0Ed/NEd ≥ h

rm =1.0 no caso de elementos não contraventados.




ii. Para edifícios

Em edifícios, os efeitos globaisefeitos globais de 2ª ordem podem ser ignorados se: 2

ccd

s

s1Ed,V L

IE6.1n

nkF ∑⋅+

⋅≤

FV,Ed é a carga vertical total nos elementos de contraventamento e nos elementos contraventadosns é o número de pisosEcd= Ecm/(γcE=1.2) é o valor de cálculo do módulo de elasticidade do betãoIc é o momento de inércia da secção de betão não fendilhada dos elementos de contraventamento.

k1 = 0.31 se os elementos de contraventamento se encontram fendilhados em E. L. Último, e 0.62 no caso contrário.Esta regra não é válida se o sistema de contraventamento tem deformações por corte ou rotações significativas na base. Em tais situações, ver o Anexo H da EN1992.1.1. Na figura considerou-se que a secção de encastramento corresponde ao nível do piso térreo, por as paredes de contenção constituírem uma restrição significativa à deformação da parede de contraventamento, no entanto, esta hipótese é apenas uma aproximação pois existe, de facto, flexibilidade no troço de parede correspondente ao piso enterrado.

L

IIcc

nnss=3=3L é a altura do edifício acima da secção de encastramento dos elementos de contraventamento.




C.C. COMPRIMENTO DE ENCURVADURACOMPRIMENTO DE ENCURVADURANN

ℓ0 = ℓ

NN

ℓ0 = 0.5 ℓ

M M

NN

NN

M M

M M

NN

ℓ0 = 0.7 ℓ

NN

NN

M M NN

ℓ0 = 2 ℓ

M M

NN

NN

M M

ℓ0 = ℓ

ELEMENTOS CONTRAVENTADOSℓ0 ≤ ℓ

ELEMENTOS NÂO CONTRAVENTADOS

ℓ0 ≥ ℓ




COMPRIMENTO DE ENCURVADURA ELEMENTOS ÍNCORPORADOS EM PÓRTICOS

ELEMENTOS CONTRAVENTADOS

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+⋅=2

2

1

10 k45.0

k1k45.0

k15.0 ll

ℓ0≤ ℓ

M M

NNNN

M M

2

1 k1 e k2 são as flexibilidades relativas dos encastramentos parciais das extremidades do pilar. k = (θ / M) · (EI / ℓ)θ é a rotação dos elementos que se opõem à rotação da extremidade do pilar para um momento M.

EI / ℓ é a rigidez de flexão do pilar, ou dos pilares, que concorre(m) no nó. No caso geral de dois pilares:

(EI/ℓ) = (EI/ℓ)a + (EI/ℓ)b

ℓb

ℓa

ℓV1 ℓV2

EIV1 EIV2

EIa

EIb

2V

2V

1V

1V2 EI3EI41

Mll

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

1

2

3

a

b

V1V1 V2

2V

2V

1V

1V

b

b

a

a

2 EI3EI4

EIEI

k

ll

ll

+

+=

1.0k1 =

10k3 =




ELEMENTOS NÃO CONTRAVENTADOS

⎭⎬⎫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

⎩⎨⎧

+⋅

⋅+⋅=

2

2

1

1

21

210

k1k1

k1k1

;kkkk101maxll

M M

NNNN

M M

ℓ0 ≥ ℓ1

2

NN

ℓ0 ≥2 ℓ

M M NN




3.3. MÉTODO DE ANÁLISE DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEMMÉTODO DE ANÁLISE DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEMA EN1992.1.1 apresenta três métodos alternativos para a análise dos efeitos de segunda ordem em estruturas e elementos isolados:

• “Método geral” que corresponde a efectuar uma análise não linear considerando a não linearidade geométrica e a não linearidade docomportamento dos materiais;

• “Método baseado na rigidez nominal” que consiste na análise da estrutura considerando na rigidez dos seus elementos a fendilhação, a não linearidade do comportamento do betão e do aço e a fluência do betão, e, eventualmente, a interacção entre o terreno e a estrutura. Os momentos resultantes desta análise são posteriormente majorados para ter em conta os efeitos de segunda ordem.

• “Método baseado na curvatura nominal” que consiste na determinação de um deslocamento, baseado no comprimento efectivo e na curvatura máxima do elemento. Com esse deslocamento determina-se o efeito de 2ª ordem. É este método que vamos utilizar.




MÉTODO BASEADO NA CURVATURA NOMINALO momento de cálculomomento de cálculo tem o valor:

MEd = M0Ed+ M2M0Ed é o momento de 1ª ordem, incluindo os efeitos das acções e das imperfeições geométricas, eM2 é o momento de 2ª ordemSe os momentos de 1ª ordem são diferentes nas extremidades 1 e 2, respectivamente, M01 e M02, então determina-se um momento equivalentemomento equivalente

M0e = 0.6 M02 + 0.4 M01 ≥ 0.4 M02

A escolha das extremidades 1 e 2 deve ser tal que |M02| ≥ |M01|

O momento nominal de 2ª ordemmomento nominal de 2ª ordem é dado por:M2 = NEd· e2


M02

M01

NEd é o valor de cálculo do esforço normal, e e2 = (1/r) ℓ0

2 / c é o deslocamento1/r é a curvaturaℓ0 é o comprimento de encurvadura (ou efectivo), e c é um coeficiente dependente da

distribuição da curvatura

c = π2 (≈10)(Se M0Ed é constante deve considerar-se 8 ≤ c ≤ 10)




e2 = (1/r) ℓ02 / c

Estimativa da curvatura máximacurvatura máxima:1/r = Kr · Kϕ · 1/r0

Kr é um factor de correcção que depende do esforço normal.

Kϕ tem em conta a fluência do betão, e 1/r0 = 2 εyd / (0.9d)Onde d é a altura útil e εyd = fyd / Es

Kr = (νu - ν) / (νu - νbal) ≤ 1.0

com ν = NEd / (Ac fcd) ; νu = 1 + ω com ω = As,totalfyd / (Ac fcd) ; νbal ≈ 0.45 corresponde a εs = εyd .Desta forma é possível estimar εs:

εs ≈ Kr εyd

-2.0

-1.8

-1.5

-1.3

-1.0

-0.8

-0.5

-0.3

0 00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

ν

CASO 2εs > ε yd

CASO 3εs ≤ ε yd

CASO 4 - secção toda comprimida

εs = ε yd

ω =

0.0

ω =

0.50.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

ω =

1.0

μ

ν

ννbalbal = 0.45= 0.45

ννu u = 1 + = 1 + ωω

εεss = = εεydyd

νν




onde ϕef = ϕ(∞,t0) M0Eqp / M0Ed

o efeito da fluência pode ser desprezado se ϕ(∞,t0) ≤ 2.0; λ ≤ 75 e M0Ed/NEd ≥ h

Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1.0

e β = 0.35 + fck/ 200 – λ /150 sendo λ a esbelteza




4. SEQUÊNCIA DO CÁLCULO DE UM PILAR DE UM EDIFÍCIO4. SEQUÊNCIA DO CÁLCULO DE UM PILAR DE UM EDIFÍCIO

1.1. EFEITOS GLOBAIS DE 2ª ORDEMEFEITOS GLOBAIS DE 2ª ORDEMA.A. Elementos isolados contraventadosElementos isolados contraventadosB.B. Elementos isolados nãoElementos isolados não contraventadoscontraventados

2.2. AS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICASAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS3.3. OS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEMOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM

A.A. Dispensa da consideração dos efeitos de 2ª ordemDispensa da consideração dos efeitos de 2ª ordemB.B. Análise usando o Método baseado na curvatura nominalAnálise usando o Método baseado na curvatura nominal

a.a. Elementos contraventadosElementos contraventadosb.b. Elementos nãoElementos não contraventadoscontraventados




1.1. EFEITOS GLOBAIS DE 2ª ORDEMEFEITOS GLOBAIS DE 2ª ORDEM 2ccd

s

s1Ed,V L

IE6.1n

nkF ∑⋅+

⋅≤Se:

A. não se consideram os efeitos globaisefeitos globais de 2ª ordem, i.e., a estrutura é suficientemente rígida para os deslocamentos horizontais serem desprezáveis. Em consequência, os elementos isolados consideram-se como contraventados, e:

b) os efeitos da deformação são maiores no vão do pilar que nas extremidades;

Não consideração dos efeitos globaisefeitos globais de 2ª ordem

e2

ℓ 0≤ℓ


M02

M01

M2 = N·e2


M02

M01

M2 = N·e2


a) ℓ0 ≤ ℓ;




B. Caso contrário, consideram os efeitos globaisefeitos globais de 2ª ordem, i.e., a estrutura é flexível e os deslocamentos horizontais são significativos. Em consequência, os elementos isolados consideram-se como não contraventados, e:

b) os efeitos da deformação são maiores nas extremidades do pilar que no vão;

a) ℓ0 ≥ ℓ;

ℓ0 ≥ ℓ

M02

M01

M2 = N·e2



e2

Consideração dos efeitos globaisefeitos globais de 2ª ordem




2.2. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICASIMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS

ei = θi ℓ0 / 2Em paredes e pilares isolados em estruturas contraventadas: ei ≈ ℓ0 / 400M0,Ed = MEd,acções + NEd ei

3.3. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEMEFEITOS DE SEGUNDA ORDEM

A. Dispensa da consideração dos efeitos de 2ª ordem nos elementoA. Dispensa da consideração dos efeitos de 2ª ordem nos elementoss

λ < λlim

λ = ℓ0 / i λlim ≈ 20·0.7·1.1·0.7 / √ν ≈ 11 / √ν

Cálculo de ℓ0

Se não é necessário considerar os efeitos de 2ª ordem neste elemento

Cálculo de

M02,EdNEd

{O dimensionamento é efectuado com o máximo momento de 1ª ordem das extremidades ⇒

• Não sendo necessário considerar os efeitos de 2ª ordem:

• Sendo necessário considerar os efeitos de 2ª ordem, estes podem ser estimados como se segue:




B. Análise usando o Método baseado na curvatura nominalB. Análise usando o Método baseado na curvatura nominal

momento nominal de 2ª ordemmomento nominal de 2ª ordem: M2 = NEd· e2

deslocamentodeslocamento: e2 = (1/r) ℓ02 / c

curvatura máximacurvatura máxima: 1/r = Kr · Kϕ · 1/r0

1/r0 = 2 εyd / (0.9d) Kr = (νu - ν) / (νu - νbal) ≤ 1.0Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1.0

pilar esbeltoλ > λmin

pilar robustoλ < λmin




Esforços de cálculoEsforços de cálculo:

M02,Ed = M02+ M2NEd

{

b.b. Elementos não contraventadosElementos não contraventados

com |M02| ≥ |M01|

Esforços de cálculoEsforços de cálculo:

momento equivalentemomento equivalente:M0e = 0.6 M02 + 0.4 M01 ≥ 0.4 M02

com |M02| ≥ |M01|

MEd = M0e+ M2NEd

{M02,EdNEd

{

a.a. Elementos contraventadosElementos contraventados

M02

M01

M2 = N·e2

Efeitos de 2ª ordem→

Momentos de 1ª ordemnas extremidades→

efeitos de 2ª ordemnas extremidades→

M02

M01

M2 = N·e2

M01

M02

M2 = N·e2

M0e

M0e




EFEITOS GLOBAIS DE 2ª ORDEM

2ccd

s

s1Ed,V L

IE6.1n

nkF ∑⋅+

⋅≤NÃO

ESTRUTURA DEFORMÁVEL

Elementos não contraventados

ℓ ≤ ℓ0

CÁLCULO DE ℓ0

SIM

M02,EdNEd

{Pilar robustoNão é necessário considerar

os efeitos de 2ª ordem

λ < λlim

NÃOPilar esbelto

É necessário considerar os efeitos de 2ª ordem

M2 = NEd· e2

MEd = M0e+ M2NEd

{M02,EdNEd

{

NÃO

Pilar esbeltoÉ necessário considerar os efeitos de 2ª ordem

M2 = NEd· e2M02,Ed = M02+ M2NEd

{SIM

ESTRUTURA POUCO DEFORMÁVEL

Elementos contraventados

ℓ ≥ ℓ0

λ < λlim SIM

CÁLCULO DE ℓ0

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