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Raciocínio RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
SIMPLES, FÁCIL E PRÁTICO
Estruturas lógicas
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INVESTIGANDO
Estruturas lógicas
As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das provas de
raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões
tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios,
deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estru-
tura daquelas relações.
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos
conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de pesquisa,
pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento.
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas pistas que
associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor.
O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se todas as informações são
verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses,
mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões.
HIPÓTESE
Uma hipótese é uma teoria provável, mas não demonstrada, uma suposição admissível. Na matemática, é o con-
junto de condições para poder iniciar uma demonstração. Surge no pensamento científico após a coleta de dados obser-
vados e na consequência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados.
É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação (rejeição) da
hipótese. Assim que comprovada, a hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.
Podemos então dizer que é uma afirmação sujeita a comprovação.
IDENTIFICANDO CADA CASO
Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas informações,
com base nas informações fornecidas no enunciado.
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação ou supo-
sição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.
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1º CASO - ORDENAÇÃO Nas questões de ordenação são dadas pistas para se colocar elementos em ordem, como a ordem de chegada em corrida,
ordem de idade, ordem de tamanho, ordem de pessoas sentadas em uma mesa, dentre outros.
A forma de organizar a questão pode facilitar a sua resolução, bem como está atendo a linguagem utilizada, com atenção
especial a linguagem de posicionamento.
POSICIONAMENTO
É importante diferenciar “em cima”, “acima”, “em baixo” e “abaixo”.
ACIMA / ABAIXO
EXEMPLO:
Se Pedro mora no 8º andar de um prédio e Milena mora:
• ACIMA, então Milena mora em um andar superior ao dele, não
necessariamente em cima.
• ABAIXO, então Milena mora em um andar inferior ao dele, não
necessariamente em baixo.
EM CIMA / EM BAIXO
• EM CIMA, então Milena mora no andar IMEDIATAMENTE acima, ou seja, no 9º andar.
• EM BAIXO, então Milena mora no andar IMEDIATAMENTE abaixo, ou seja, no 7º
andar.
MEDIATO É DIFERENTE DE IMEDIATO
• IMEDIATAMENTE ATRÁS: quem está logo em seguida, sem
ninguém entre eles.
• MEDIATAMENTE ATRÁS: quem está posição atrás, mas com
exatamente uma pessoa entre eles.
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2º CASO – ASSICIAÇÃO Nesse caso todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações
em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de uma determinada pessoa e as
linhas tratam das características dessas pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de
cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras.
EXEMPLO Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de
outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está com vestido e sapatos
de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto.
b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos.
d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO
SAPATOS
Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”, temos:
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO
SAPATOS Az
Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”, então Anna tem que ter sapatos brancos
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO
SAPATOS Br Az
Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO Br
SAPATOS Br Az
Por exclusão, deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que “somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO Br Az Pr
SAPATOS Br Pr Az
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3º CASO - SUPOSIÇÃO Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da
análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é
o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o
culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese.
Para fazer a solução desse tipo de problema de uma forma técnica e facilitar o trabalho, podemos seguir o passo a passo
sugerido a seguir:
1º PASSO:
Identificar que existem verdades e mentiras envolvidas na questão para caracterizar esse 3º caso.
2º PASSO:
Construir a tabela, lançando todas as hipóteses do lado esquerdo para poder analisar as afirmações, colocadas acima da
tabela, em função de cada uma dessas suposições.
3º PASSO:
Julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma das hipóteses. Colocando na tabela verdadeiro (V) ou
falso (F) em cada uma das afirmações em relação a hipótese de cada linha.
4º PASSO:
Aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no enunciado.
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EXERCÍCIOS
01. Aline é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas. Sejam A, B e C as
respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.
02. Aline, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em três anos
consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e
têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.
03. Aline, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas sobre o fato,
declararam o seguinte:
– ALINE: “Foi a Bruna que comeu”
– BRUNA: “Aline está mentindo”
– CAROL: “Não fui eu”
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem
comeu o bolo.
SOLUÇÕES
1º CASO - ORDENAÇÃO
• 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO.
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas,
objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O
fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado.
EXEMPLO:
Aline é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas. Sejam A,
B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.
CONCLUSÕES:
Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, então
A > B (Aline é mais velha que Bruna) e C > B (Bruna é mais nova que Carol)
Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:
A > C > B
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2º CASO - ASSOCIAÇÃO
• 2º CASO - Somente Verdades: ASSOCIAÇÃO.
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informa-
ções em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de uma deter-
minada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. O que devemos fazer é preencher a
tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteri-
ormente deduzindo as outras.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em
três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna
é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.
CONCLUSÕES: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
A B C
Profissão
Idade
Como “Bruna é a mais nova e têm 25 anos”, e que “a mais nova é Terapeuta”, deduzimos que Bruna é
Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela.
A B C
Profissão T
Idade 25
Como “Carol é a mais velha e não é Psicóloga”, deduzimos que Carol é Fonoaudióloga e têm 27 anos, já
que “as três nasceram em anos consecutivos” e “a mais nova tem 25 anos”. Logo podemos acrescentar
as seguintes informações na tabela.
A B C
Profissão
Idade
T
25
F
27
Por exclusão, deduz-se que Aline tem 26 anos e é Psicóloga. Assim, temos a tabela totalmente preenchida.
A B C
Profissão P T F
Idade 26 25 27
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EXEMPLO:
Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de
outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está com vestido e sapatos
de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto.
b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos.
d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco.
e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO
SAPATOS
Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”, temos:
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO
SAPATOS Az
Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”, então Anna tem que ter sapatos brancos
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO
SAPATOS Br Az
Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO Br
SAPATOS Br Az
Por exclusão, deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que “somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO Br Az Pr
SAPATOS Br Pr Az
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ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES HIPÓTESES A B C
Se A foi quem comeu
Se B foi quem comeu
Se C foi quem comeu
3º CASO - SUPOSIÇÃO
• 3º CASO – Verdades e Mentiras: SUPOSIÇÃO.
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e atra-
vés da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar des-
cobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que
cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou
rejeitar a hipótese.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas
sobre o fato, declararam o seguinte:
– ALINE: “Foi a Bruna que comeu”
– BRUNA: “Aline está mentindo”
– CAROL: “Não fui eu”
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra
quem comeu o bolo.
1º PASSO: (identificar que existem verdades e mentiras)
No enunciado, foi dito que “apenas uma delas está dizendo a verdade”, portanto duas delas mentem e
outra fala a verdade, tratando-se de uma questão do 3º caso, ou seja, teremos que fazer suposições.
2º PASSO: (construir a tabela e lançar as hipóteses)
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
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3º PASSO: (julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma das hipóteses)
Como Aline disse que “Foi a Bruna que comeu”, ela só estará dizendo a verdade caso (na hipótese de) Bruna realmente tenha comido o bolo, caso contrário estará mentindo, logo temos:
A B C
A comeu F
B comeu V
C comeu F
Como Bruna disse que “Aline está mentindo”, temos que Bruna só mente no caso (na hipótese de) de Aline falar a verdade, caso Aline realmente esteja mentindo então Bruna estará falando a verdade, ou seja, as colunas A e B terão valores lógicos contrários, logo temos:
Finalmente, como Carol disse “não fui eu”, ela só estará mentindo caso (na hipótese de) ela tenha comido
o bolo, caso contrário estará falando a verdade, logo analisando essa afirmação, temos:
4º PASSO: (aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no enunciado)
Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, então com base nisso devemos identi-
ficar a única linha que tem apenas uma afirmação verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou
seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo
a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas.
Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo.
A B C
A comeu
B comeu
C comeu
F
V
F
V
F
V
V
V
F
A B C
A comeu
B comeu
C comeu
F
V
F
V
F
V
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EXEMPLO:
Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de preto e uma de azul, não necessariamente nessa ordem.
Leia atentamente as declarações abaixo:
• A é azul
• B não é azul
• C não é preta
Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, julgue os itens.
A bola A é preta e a bola B é azul.
( ) CERTO
( ) ERRADO
A bola A não é azul e a bola C não é preta.
( ) CERTO
( ) ERRADO
SOLUÇÃO:
1º PASSO:
(Identificar que existem verdades e mentiras)
Foi dito no enunciado que “apenas um dos quatro disse a verdade”, ou seja, existem verdades e mentiras envolvidas no
texto.
2º PASSO:
Construir a tabela e lançar as hipóteses.
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades para cada porta:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º DECLARAÇÃO 2º DECLARAÇÃO 3º DECLARAÇÃO
V P A
V A P
P A V
P V A
A V P
A P V
3º PASSO: Julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma das hipóteses. Julgando a 1ª declaração “A é azul”, ela só é verdade (V) na 5ª e na 6ª hipótese.
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º DECLARAÇÃO 2º DECLARAÇÃO 3º DECLARAÇÃO
V P A F
V A P F
P A V F
P V A F
A V P V
A P V V
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Julgando a 2ª declaração “B não é azul”, ela só se torna falsa (F) na 2ª e na 3ª hipótese.
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º DECLARAÇÃO 2º DECLARAÇÃO 3º DECLARAÇÃO
V P A F V
V A P F F
P A V F F
P V A F V
A V P V V
A P V V V
Julgando a 3ª declaração “C não é preta”, ela só é falsa (F) na 2ª e na 5ª hipótese.
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º DECLARAÇÃO 2º DECLARAÇÃO 3º DECLARAÇÃO
V P A F V V
V A P F F F P A V F F V
P V A F V V
A V P V V F
A P V V V V
4º PASSO: Aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no enunciado. Dessa forma, apenas a terceira hipótese satisfaz a condição de “que apenas uma das declarações é verdadeira”.
Portanto, a bola A é preta, a bola B é azul e a bola C é vermelha.
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EXERCÍCIOS
01. João é mais velho do que Pedro, que é mais novo do que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é: a) João b) Antônio c) Pedro d) Carlos
02. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro professores. Rafael, o mais antigo entre eles, é gaúcho. Há também um pernambucano, um piauiense e um cearense. Pedro está sentado à direita do gaúcho. Thiago, à direita do pernambucano. Por sua vez, Eli, que não é piauiense, encontra-se à frente de Pedro. Assim, a) Pedro é pernambucano e Eli é cearense. b) Pedro é piauiense e Eli é cearense. c) Thiago é cearense e Eli é pernambucano. d) Thiago é piauiense e Eli é pernambucano.
03. Com relação a três funcionários do tribunal, sabe-se que:
• João é mais alto que o recepcionista; • Mário é escrivão;
• Luís não é o mais baixo dos três;
• Um deles é escrivão, o outro é recepcionista e outro é segurança; Sendo verdadeiras as afirmações, é correto dizer que: a) João é mais baixo que Mário. b) Luís é o segurança. c) Luís é o mais alto dos três. d) João é o mais alto dos três. e) Mário é o mais alto dos três.
04. Quatro empresas (Alfa, Beta, Gama, Delta) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Plutão, Mercúrio, Netuno, Urano) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:
• Sobre os prazos de entrega, Gama apresentou o menor e Beta o maior.
• O modelo Urano foi apresentado pela empresa Alfa, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a empresa Beta.
• O modelo Mercúrio seria entregue em 10 dias.
• Gama não apresentou o modelo Netuno. Nessas condições, o modelo apresentado pela empresa
a) Gama foi o Mercúrio. b) Beta foi o Plutão. c) Delta foi o Plutão. d) Beta foi o Netuno
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05. Joy e Max carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando Joy carrega a ficha branca, ele fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado, quando Max carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Cada um deles deu a seguinte declaração:
• JOY: "Nossas fichas são iguais"
• MAX: “Nossas fichas são diferentes"
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. a) Joy e Max carregam fichas brancas. b) Joy e Max carregam fichas pretas. c) Joy carrega ficha preta e Max carrega ficha branca. d) Joy carrega ficha branca e Max carrega ficha preta.
GABARITO 01.C 02.A 03.D 04.D 05.A
