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Docentes:> Fabiano Araujo Soares> Marcelino M. de AndradeMonitor:>Luan Felipe
Estudando com oMATLAB
Curso de Extensão
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
1 - Gerando números aleatórios:
a) rand(n,m): Esse comando gera uma matriz npor m de números aleatórios seguindo umadistribuição uniforme com valores entre o intervalo[0,1].
1ª Parte - Estatística
O comando rand(n,m) pode ser usado para gerarvalores de uma distribuição uniforme com umintervalo [a, b] da seguinte forma:
r = a + (b-a).*rand(n,m);
1ª Parte - Estatística
Exemplo 1:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20
40
60
80
100
120
140Histograma da Amostra
Valores
Fre
quên
cia
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
1 - Gerando números aleatórios:
b) randn(n,m): Esse comando gera uma matriz npor m de números aleatórios seguindo umadistribuição normal com média 0 e desvio padrão1.
1ª Parte - Estatística
O comando randn(n,m) pode ser usado paragerar valores de uma distribuição normal com umamédia a e um desvio padrão b da seguinte forma:
r = a + b.*randn(n,m);
1ª Parte - Estatística
Exemplo 2:
-10 -5 0 5 10 15 20 25 300
50
100
150
200
250
300Histograma da Amostra
Valores
Fre
quên
cia
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
2 – Média e mediana
a) mean(a): Esse comando é utilizado paracalcular a média de um vetor a ou das colunasde uma matriz numérica a.
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
2 – Média e mediana
a) median(a): Esse comando é utilizado paracalcular a mediana de um vetor a ou dascolunas de uma matriz numérica a.
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
3 – Desvio padrão, Variância, Valor Máximo eValor Mínimo ;
a) std(a): Esse comando é utilizado para calcularo desvio padrão (Standard Deviation) de umvetor a ou das colunas de uma matriz numéricaa.
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
3 – Desvio padrão, Variância, Valor Máximo eValor Mínimo ;
b) var(a): Esse comando é utilizado para calculara variância de um vetor a ou das colunas deuma matriz numérica a.
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
3 – Desvio padrão, Variância, Valor Máximo eValor Mínimo ;
c) max(a): Esse comando é utilizado paraencontrar o maior valor de um vetor a ou dascolunas de uma matriz numérica a.
1ª Parte - Estatística
Comandos Básicos para Estatística:
3 – Desvio padrão, Variância, Valor Máximo eValor Mínimo ;
c) min(a): Esse comando é utilizado paraencontrar o menor valor de um vetor a ou dascolunas de uma matriz numérica a.
1ª Parte - Estatística
Exemplo 5:
-5 0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
Histograma da Amostraµ=10.0529, S.D.=4.8641, σ=23.659, Max=23.9662, Min=-4.0183
Valores
Fre
quên
cia
1ª Parte - Estatística
4 – Correlação :
No uso estatístico geral, correlação se refere amedida da relação entre duas variáveis, emboracorrelação não implique causalidade.
1ª Parte - Estatística
4 – Correlação :
a) corrcoef(x):O comando R = corrcoef(X) retornaa matriz de correlação R dos coeficientes decorrelação calculados da matriz de entrada X cujaslinhas são observações e as colunas variáveisaleatórias;
1ª Parte - Estatística
Problema exemplo : Deseja-se estudas asvariáveis peso (y) e altura (x) em uma amostra de12 homens adultos. Os valores são apresentadosna tabela 1.
1ª Parte - EstatísticaSujeito Altura (cm) Peso (Kg)
1 182 95
2 174 72
3 170 64
4 180 95
5 183 79
6 160 72
7 156 64
8 157 62
9 168 67
10 175 75
11 176 75
12 190 96
1ª Parte - Estatística
Primeiramente vamos inserir esses dados em umarquivo .m no Matlab e traça-los em um gráficopara visualizar uma possível relação.
1ª Parte - Estatística
150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000
20
40
60
80
100
120Gráfico da altura vs peso
Altura (cm)
Pes
o (K
g)
1ª Parte - Estatística
Em seguida vamos calcular a correlação entre asvariáveis altura e peso.
A resposta encontrada é:
1ª Parte - Estatística
Coeficientes de correlação variam entre -1 e 1.Quanto mais próximo de 1 ou de -1 o coeficientede correlação estiver maior é a relação entre asduas variáveis. O sinal apenas representa umacorrelação positiva (y cresce a medida que xcresce) ou negativa (y decresce a medida que xcresce ou vice versa). Quanto mais próximo de 0 ocoeficiente de correlação estiver menoscorrelacionadas as variáveis são.
2ª Parte – Sinais
A disciplina Processamento de Sinais é umadisciplina avançada no curso de engenharia eexige conhecimentos de transformadas e séries,convolução, correlação, filtragem, etc...
Por esse motivo vamos nos ater apenas a umaintrodução do assunto sem nos aprofundarmosnas explicações.
2ª Parte – Sinais
O que é um sinal?
� Em geral, entende-se por sinal uma sequênciade estados que codifica uma mensagem.
2ª Parte – Sinais
Exemplo de um sinal de voz:
� Podemos verificas nos exemplos anteriores quea voz humana tem uma frequência máxima deaproximadamente 4 kHz.
2ª Parte – Sinais
Teorema da amostragem (teorema de Nyquist):
� Dado um sinal contínuo com largura de bandaFmax, se amostrarmos esse sinal a umafrequência maior ou igual a duas vezes Fmax,então o sinal amostrado contém toda ainformação do sinal contínuo e é possívelrecuperar exatamente o sinal original a partirdas amostras.
2ª Parte – Sinais
Teorema da amostragem (teorema de Nyquist):
� Ou seja, se amostrarmos a voz humana a umafrequência maior que 8 kHz é possívelrecuperar o sinal de voz gravado exatamente.
2ª Parte – Sinais
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1Senoide de 2kHz
Am
plitu
de
Tempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1Senoide de 2kHz amostrada a 20 kHz
Am
plitu
de
Tempo (s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1Senoide de 2kHz amostrada a 3 kHz
Am
plitu
de
Tempo (s)
2ª Parte – Sinais
O problema da filtragem:
� Um dos maiores problemas na transmissão deum sinal é o ruído que contamina este;
� O ruído tem origem nos instrumentos utilizadospara transmissão e recepção do sinal, fatoresnaturais, contaminação eletromagnética, etc.
2ª Parte – Sinais
Vamos ver agora um exemplo de filtragem:
� Um sinal é contaminado por ruído de 60 Hz(proveniente da rede elétrica);
� Como esse sinal ruidoso pode ser filtrado erecuperado?
2ª Parte – Sinais
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5Sinal Senoidal de 20 Hz (Domínio do Tempo)
Am
plitu
de (
V)
Tempo (s)0 20 40 60 80 100 120
0
200
400
600
800Espectro do Sinal Senoidal de 2 Hz (Domínio da Freq uência)
DE
P (
V)
Frequência (Hz)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5Ruído de 60 Hz (Domínio do Tempo)
Am
plitu
de (
V)
Tempo (s)0 20 40 60 80 100 120
0
200
400
600
800
1000
1200
1400Espectro do Ruído de 60 Hz (Domínio da Frequência)
DE
P (
V)
Frequência (Hz)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5Sinal Ruidoso (Domínio do Tempo)
Am
plitu
de (
V)
Tempo (s)0 20 40 60 80 100 120
0
200
400
600
800
1000
1200
1400Espectro do Sinal Ruidoso (Domínio da Frequência)
DE
P (
V)
Frequência (Hz)
2ª Parte – Sinais
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2000
-1500
-1000
-500
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100
-50
0
50
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
2ª Parte – Sinais
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5Sinal Filtrado (Domínio do Tempo)
Am
plitu
de (
V)
Tempo (s)
0 20 40 60 80 100 1200
200
400
600Espectro do Sinal Filtrado (Domínio da Frequência)
DE
P (
V)
Frequência (Hz)
3ª Parte – Imagens
A disciplina Processamento de Imagens é umadisciplina que deriva do processamento de sinais(Se pensarmos a respeito, uma imagem nada maisé que um sinal de duas dimensões) e tambémexige conhecimentos avançados do curso deengenharia;
Por esse motivo vamos nos ater apenas a algunsexemplos de uso sem nos aprofundarmos nasexplicações.
3ª Parte – Imagens
1 – Aprendendo como importar uma imagem eentendendo como ela é representada.
Para importar uma imagem utilizamos o comando:
I=imread(‘filename’,format);
Onde filename é o nome do arquivo de imagem eformat é o nome do formato do arquivo (exemplo:tif);
3ª Parte – Imagens
Para mostrar uma imagem importada utilizamos ocomando:
Imshow(nome_variavel);
Onde nome_variavel é o nome da variável onde afigura foi armazenada;
3ª Parte – Imagens
Lena : É uma imagem muito utilizada emprocessamento de imagens. uma imagempadronizada é importante para a comparação dealgoritmos.
3ª Parte – Imagens
Exemplo 9:
Observe que a figuratem 512 x 512 pixels eque ela é armazenadaem três matrizes de 8bits;
3ª Parte – Imagens
Cada matriz de 8 bits apresenta a intensidade deuma das três cores básicas: Vermelho (R), Verde(G) e Azul (B);
Vamos plotar cada matriz de corindependentemente com o seguinte comando(onde n varia entre 1 e 3):
imshow(Image(:,:,n));
3ª Parte – Imagens
É possível ver então que, em processamento deimagens, trabalhamos ou com cada matriz de corindependentemente como se fosse uma imagempreto e branca (técnicas clássicas), outrabalhamos com as três componentes de corjuntas (técnicas avançadas).
3ª Parte – Imagens
Exemplo 10: Reamostrando uma imagem:
� A imagem que temos utiliza 8 bits para cadacor, ou seja, cada cor possui 256 tonalidadespossíveis (0 a 255) o que nos dá um total demais de 16 milhões de tons possíveis;
� E se, por motivo de espaço, quisermosreamostrar essa imagem para apenas 64tonalidades possíveis?
3ª Parte – Imagens
Exemplo 10: Reamostrando uma imagem:
� Nesse caso usaremos apenas 4 bits para cadacor. ( )6443 =
3ª Parte – Imagens
Em processamento de imagem o histograma detons de uma imagem é muito útil;
Para visualizarmos o histograma de tons de umaimagem em tons de cinza utilizamos o comando:
imhist(nome_imagem)
Onde nome_imagem é o nome da variável ondea imagem está armazenada.
3ª Parte – ImagensUma das utilidades do histograma é a equalização domesmo de forma a tornar a imagem mais nítida.
O comando de equalização de um histograma de imagemé:
ImageEq = histeq(Image);
Onde ImageEq é o nome da variável onde a nova imagemserá armazenada e Image é o nome da variável onde aimagem original está armazenada.
3ª Parte – ImagensFigura original e seu histograma de tons de cinza:
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150 200 250
3ª Parte – ImagensFigura equalizada e seu histograma de tons de cinza:
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 50 100 150 200 250
3ª Parte – ImagensPor fim, um último método a ser explorado por esse cursoé a filtragem de imagens.
� Assim como os sinais, as imagens também possuemespectro de frequência (esse assunto não seráabordado devido a complexidade do assunto paraalunos iniciantes no curso de engenharia);
� Sendo assim existem inúmeros métodos de filtragempara imagens. Tanto no domínio do espaço quanto nodomínio da frequência.
3ª Parte – ImagensÉ possível verificar que a imagem mantem sua formaapesar de alguns pixels contaminados. Se utilizarmos umquadro, digamos de 3 x 3 pixels vemos que as coresnesse pequeno quadro é quase a mesma.
Se fizermos a mediana desse quadro e substituirmos umdado pixel pelo valor da mediana, possivelmenteeliminaremos os pixels preto e branco ruidosos (já queesses são tons extremas, 0 ou 255);