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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA
ESTUDIO COMPARATIVO DE LA RELAJACIÓN LAGRANGEANA Y LA PROGRAMACIÓN ENTERA-MIXTA EN EL PROBLEMA DEL PRE-DESPACHO DE
SISTEMAS MEDIANOS
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN CS. DE LA INGENIERÍA, MENCIÓN INGENIERÍA ELÉCTRICA.
FRANK JOSE LEAÑEZ GRAU
PROFESOR GUÍA: RODRIGO PALMA-BEHNKE
MIEMBROS DE LA COMISIÓN: LUIS VARGAS DÍAZ
HUGH RUDNICK
SANTIAGO DE CHILE 2013
1
ESTUDIO COMPARATIVO DE LA RELAJACIÓN LAGRANGEANA Y LA PROGRAMACIÓN ENTERA-MIXTA EN EL PROBLEMA DEL PRE-DESPACHO DE SISTEMAS MEDIANOS
El trabajo de tesis compara en forma sistemática las diferencias de rendimiento entre las principales metodologías de solución del problema de Predespacho (UC) y muestra la aplicación de la relajación lagrangeana a casos reales del Sistema Interconectado del Norte Grande (SING). Se propone una metodología para la creación de casos sintéticos de UC que permitan obtener diversidad a distintas escalas sin que resulten alejados de la realidad, siendo ésta la principal contribución del presente trabajo junto con los resultados estadísticos que favorecen MIP por sobre LR para sistemas de medianas dimensiones. La relajación lagrangeana (LR) y la programación entero mixta (MIP) son los métodos de solución que han encontrado el mayor número de aplicaciones prácticas al UC. Sin embargo, las comparaciones de rendimiento y calidad entre ambas, aunque propuestas conceptualmente y cuyas nociones intuitivas se encuentran dispersas en la bibliografía especializada, adolecen de falta de generalidad, escasa representación de la realidad, ausencia de especificaciones computacionales o, inclusive, éstas pueden haber quedado obsoletas. Ante la escasez de librerías de modelos de UC o, al menos, de métodos de creación de casos de aplicación, en el presente trabajo se propone y aplica un generador de casos sintéticos de prueba de UC. Este método formula casos basados en la combinación de datos estandarizados con la generación aleatoria de parámetros. De esta forma, los problemas de UC creados adquieren diversidad (universalidad) sin que las instancias se alejen demasiado de la realidad. La diversidad de las instancias generadas es controlada mediante los parámetros de las funciones de distribución de probabilidades, tanto para la selección de unidades candidatas como para la variedad en los parámetros técnicos característicos. Estas instancias son resueltas por los métodos para resolver el UC en una misma plataforma computacional. El método de LR encuentra soluciones factibles para 429 instancias de las 480 (89,4%), cumpliendo con el gap objetivo de 0,01% en tan sólo 90 casos (18,8%), mientras que el MIP encuentra la solución óptima para el 98,3% de los casos. Los resultados obtenidos verifican que para el rango de 10 a 100 unidades, la mejor solución entera factible alcanzada por LR tiene una menor calidad (valor mayor de la función objetivo en problemas de minimización) que la encontrada por el optimizador MIP. Los resultados permiten determinar que el sobrecosto (respecto al MIP) esperado de las soluciones mediante LR fue de 6,03%. El aumento de la dispersión en los parámetros técnicos beneficia ambos métodos al obtener la mejor solución factible en menores tiempos de ejecución. De esta forma se muestra que no sólo la calidad de la solución por LR se ve afectada por unidades similares, sino que también afecta al método MIP. Se comprueba que a medida que los problemas son más difíciles (juzgando por la adaptabilidad y por el número de unidades), la cota inferior de LR resulta en promedio mayor (mejor) a la cota inferior promedio por MIP. Respecto al caso práctico inspirado en el SING, la calidad de la solución por LR se ve especialmente deteriorada cuando las restricciones de mínimos técnicos de las unidades obligan que la solución óptima entera se aleje de la relajación lineal. Si bien para este caso la resolución mediante MIP también se dificulta requiriendo de hasta un 60% más tiempo de ejecución, este efecto es comparativamente menor al deterioro de la calidad de la solución observada mediante LR (que resulta hasta 4.5% mayor que MIP). Conceptualmente, este hallazgo se explica por los valores de actualización de los multiplicadores en LR, lo que se traduce en imposibilidad para explorar zonas del espacio de soluciones. Como conclusión general, el estudio entrega evidencia práctica a favor de la tendencia observada en la revisión bibliográfica en relación a privilegiar desarrollos de tipo MIP, la cual es aplicable a sistemas medianos como el caso real en estudio basado en el SING chileno. Esta conclusión no se extiende para otros sistemas “reales” de grandes dimensiones (eg. CAISO, MISO, UCTE). Como futuros desarrollos se sugiere explorar esquemas integrados LR-MIP explotando las mejoras de la cota inferior que proporciona LR en comparación con la relajación lineal del MIP y la creación de soluciones factibles por el método LR para inicializar el MIP.
2
Tabla de Contenido
Capítulo 1 Introducción .................................................................................................................................. 6
1.1 Objetivos ........................................................................................................................................ 6
1.2 Motivación ..................................................................................................................................... 6
1.2.1 Reconocimiento bibliográfico como las más efectivas .......................................................... 8
1.2.2 Coexistencia de ambos métodos como motores de solución ................................................ 9
1.2.3 Dudas acerca de la calidad de la solución de la LR ...............................................................10
1.2.4 Dudas acerca de los tiempos de ejecución del MIP .............................................................11
1.2.5 Dudas acerca de la factibilidad de implementación de LR ...................................................13
1.3 Metodología .................................................................................................................................13
1.4 Organización .................................................................................................................................14
Capítulo 2 Definición del problema de Pre-despacho .................................................................................16
2.1 Planteamiento del problema .......................................................................................................16
2.2 Métodos de Solución....................................................................................................................19
2.2.1 Revisión bibliográfica métodos de solución .........................................................................20
2.2.2 Relajación Lagrangeana ........................................................................................................23
2.2.3 Programación entero-mixta .................................................................................................26
2.3 Resumen .......................................................................................................................................28
Capítulo 3 Algoritmo de UC por relajación Lagrangeana .............................................................................29
3.1 Introducción .................................................................................................................................29
3.2 Generalidades del Método ...........................................................................................................29
3
3.2.1 Inicialización o relajación de los multiplicadores de Lagrange ............................................30
3.2.2 Evaluación de la Función Dual ..............................................................................................32
3.2.3 Despacho Económico sin Restricciones de Transmisión ......................................................32
3.2.4 Verificación de Convergencia ...............................................................................................33
3.2.5 Actualización de los Multiplicadores ....................................................................................33
3.3 Resumen .......................................................................................................................................35
Capítulo 4 Comparaciones MIP vs. LR ..........................................................................................................36
4.1 Introducción .................................................................................................................................36
4.2 Comparación bibliográfica ...........................................................................................................37
4.2.1 Factores de Ponderación ......................................................................................................38
4.2.2 Tiempos de Ejecución ...........................................................................................................41
4.2.3 Calidad de las Soluciones .....................................................................................................43
4.2.4 Tiempo vs. Optimalidad .......................................................................................................44
4.2.5 Análisis de Resultados ..........................................................................................................45
4.3 Comparaciones Experimentales ...................................................................................................45
4.3.1 Ejemplo sintético ..................................................................................................................45
4.3.2 Comparación estadística ......................................................................................................55
4.3.3 Aplicación al SING .................................................................................................................75
4.4 Resumen .......................................................................................................................................88
Capítulo 5 Discusión y Conclusiones ............................................................................................................89
Capítulo 6 Bibliografía ..................................................................................................................................93
4
Capítulo 7 ANEXOS .....................................................................................................................................100
7.1 ANEXO A - Relajación Lagrangeana: Teoremas de Dualidad ......................................................100
7.1.1 Introducción .......................................................................................................................100
7.1.2 Optimización Dual [1] .........................................................................................................100
7.1.3 Teoremas de Dualidad de la Función Lagrangeana............................................................101
7.1.4 Dual en Programación Lineal (LP) [2] .................................................................................102
7.1.5 Referencias .........................................................................................................................103
7.2 ANEXO B – Programación Dinámica Individual de Unidades .....................................................104
7.2.1 Introducción .......................................................................................................................104
7.2.2 Algoritmo de Solución ........................................................................................................106
7.2.3 Referencias .........................................................................................................................107
7.3 ANEXO C - Método Subgradiente ...............................................................................................108
7.3.1 Introducción .......................................................................................................................108
7.3.2 Reglas de control de los pasos ...........................................................................................109
7.3.3 Convergencia ......................................................................................................................110
7.3.4 Referencias .........................................................................................................................111
7.4 ANEXO D - Relajación Lagrangeana Aumentada ........................................................................112
7.4.1 Introducción .......................................................................................................................112
7.4.2 Técnicas de Descomposición ..............................................................................................113
7.4.3 Referencias .........................................................................................................................115
7.5 ANEXO E – DATOS DEL SISTEMA RTS-96 ....................................................................................116
5
7.5.1 Datos del RTS-96 necesarios para el pre-despacho ...........................................................116
7.5.2 Construcción de formulaciones de pre-despacho .............................................................117
7.5.3 Referencias .........................................................................................................................118
6
Capítulo 1
Introducción
1.1 Objetivos
El objetivo central de esta tesis es realizar comparaciones prácticas entre los métodos de programación
entero-mixta (MIP), basados en el método branch-and-bound en optimizadores de uso general y el
método por relajación lagrangeana (LR) al resolver el problema del Predespacho. La forma de realizar las
comparaciones se basan en 3 documentados métodos de comparación de algoritmos de optimización: 1)
Histórico (bibliográfico) 2) Sintético-Aleatorio y 3) Práctico.
El presente trabajo reúne en un contexto uniforme las ideas intuitivas acerca de los desaciertos de la
relajación lagrangeana como método general de solución, tales como problemas para encontrar
soluciones factibles cuando coexisten unidades idénticas (o muy similares) o la necesidad de
sintonización de los parámetros del subgradiente y las expone mediante comparaciones estadísticas de
los resultados de optimalidad versus requerimiento computacional, lo cual es otro de los aportes de la
presente tesis.
Finalmente, se desea verificar la aplicabilidad de ambos métodos a casos reales de Predespacho de
mediana escala basados en las características de las unidades y demanda del sistema eléctrico chileno
SING.
1.2 Motivación
El problema de asignación de unidades o Predespacho, en adelante abreviado por sus siglas en inglés
Unit Commitment (UC), se plantea en forma generalizada como un problema de optimización no-lineal,
entero-mixto, de gran escala, del tipo combinatorial np-complete [1]. La dimensionalidad del espacio
combinatorial hace que sea imposible en la práctica resolverlo mediante una enumeración exhaustiva de
7
todas las combinaciones posibles. Por lo tanto, se han planteado en la bibliografía una diversidad de
algoritmos de solución, basados en métodos matemáticos o heurísticos, que prometen encontrar
soluciones cercanas al óptimo en tiempos de cómputo razonables. En [2] es posible encontrar una
amplia revisión bibliográfica conceptual de una diversidad de métodos propuestos en los últimos 20 años
de investigación especializada en UC. Aunque la revisión comprende 151 artículos publicados en revistas
especializadas, no están orientados a comparar métodos en el sentido práctico. En la referencia [3] en
cambio, se hace un esfuerzo por concentrar resultados de rendimiento de las pruebas realizadas y
reportadas en la bibliografía, “normalizando” las comparaciones al multiplicar o penalizar los tiempos de
ejecución obtenidos por cada algoritmo por un factor de ajuste basado en la potencia de la plataforma
computacional donde fueron ejecutados respectivamente. Este factor fue obtenido basado en la
estadística de rendimiento de los computadores en distintos benchmarks internacionales, agregando
una banda de error proporcionada por las máximas diferencias de los distintos resultados consultados.
En resumen, las principales dificultades para llevar a cabo una comparación de rendimiento son:
No existe en la bibliografía de UC un problema genérico tipo benchmark sobre el cual se puedan
realizar los experimentos y, por lo tanto, establecer comparaciones de rendimiento entre dos o más
algoritmos probablemente se refieren a comparaciones de casos numéricos distintos.
No existen datos de las instancias utilizadas en los 151 reportes con experimentos relacionados al UC
en [2], más otros tantos referidos en [3]. En tan sólo diez de ellos es posible extraer especificaciones
mínimas, tanto computacionales como de características de los casos de prueba.
Otras particularidades tales como la escalabilidad del problema sólo ha sido explorada en función del
número de unidades, la modelación no siempre se refiere a una estructura idéntica del problema en
cuanto a las restricciones y la función objetivo, dependencia con parámetros de sintonización de los
algoritmos evaluados.
Continuando con [3], se concluyó que históricamente y como respuesta a la ausencia de librerías
benchmark de UC, un conjunto de autores han empleado un ejemplo sintético, cuyos datos se
8
encuentran sintetizados en la misma referencia, que entre otras características presenta las siguientes
limitaciones:
Se especifican curvas de costo cuadráticas para las unidades generadoras, lo cual dificulta la
comparación con métodos lineales.
Los problemas de mayores dimensiones se obtienen repitiendo el conjunto base compuesto por 10
unidades generadores.
Se mantiene la curva de demanda, escalando la demanda máxima proporcional al número de
unidades totales.
Por otra parte, a partir de su versión 1996, el “IEEE Reliability Test System” [4], presenta un conjunto
muy reducido, de apenas nueve unidades termoeléctricas pertenecientes a tecnologías diferentes, con
datos suficientes para preparar ejemplos de UC sintéticos. A pesar que [4] pudo haber sido empleado
para crear instancias mínimas de UC, a penas en una de las referencias revisadas en [3], se tomaron sus
datos sistémicos para la elaboración de los casos numéricos.
1.2.1 Reconocimiento bibliográfico como las más efectivas
Entonces, la dificultad de comparaciones extiende las especificaciones computacionales de las pruebas,
habiéndose detectado que además existe una carencia de librería(s) de casos de prueba en la bibliografía
sobre la cual construir instancias de prueba de UC. Por lo anterior, el esfuerzo de normalizar los
resultados en [3], de acuerdo a lo expuesto anteriormente, tuvieron que limitarse a apenas 10 reportes
prácticos con UC con las siguientes características explícitas:
Datos de velocidad del procesador.
Ejemplos numéricos similares (no idénticos) del orden de 10-100 unidades.
Resultados de tiempo computacional de ejecución y valor de la mejor solución entero-factible.
Los resultados normalizados corresponden a algunas nociones intuitivamente aceptadas, en donde un
método de programación MIP (B&B en combinación con CLP) y la relajación lagrangeana LR, requirieron,
para una calidad de solución comparable, un tiempo de ejecución órdenes de magnitud menores
9
respecto a las metaheurísticas. Quiere decir que, inclusive considerando amplios márgenes de error, los
casos puntuales comparables que se pueden rescatar de la bibliografía referente al UC, penalizando
aquellos realizados en computadores “más modernos”, entregan respuestas similares a aquellas que se
pueden conseguir en forma dispersa en los distintos software y papers de discusión referente a los
métodos de solución del UC. De hecho en [5], se describe un proceso de evolución de un sistema
comercial de UC, donde se abandona la resolución del problema mediante el método de LR por el MIP
resuelto mediante una rutina de uso general CPLEX. Aunque es de relevancia y parece anotar una
victoria del MIP sobre la LR, esta comparación sin embargo, fue diseñada y aplicada a un sistema
específico de potencia de grandes dimensiones (PJM). Una ventaja que se apunta el uso de rutinas
comerciales MIP es la facilidad de modelación, dado que no dependen (como LR) de una estructura
específica del problema que permita la descomposición.
1.2.2 Coexistencia de ambos métodos como motores de solución
De acuerdo con [6], LR y MIP son los dos principales contendientes para resolver en problema de UC.
Existe una diferencia de esfuerzos de desarrollo computacional notable entre ambos. Mientras que la
relajación debe estar profundamente integrada con el proceso completo de solución del problema, las
soluciones MIP tienden entregar a un optimitizador, tipo “caja negra”, en ocasiones en forma iterativa. El
agregar nuevas restricciones para ser mucho más fácil en MIP, dado que no requiere la integración de un
nuevo multiplicador que actualizar [5]. Se dice que MIP tiende a buscar en un espacio mayor en
problemas con numerosas restricciones, pero que su convergencia no está asegurada. También en [6] se
asegura que para problemas con algunas decenas de periodos ambos métodos tienen un desempeño
similar, sin embargo, de igual forma se señala que una mayor fuente de comparaciones entre ambos
métodos se hace necesaria.
10
1.2.3 Dudas acerca de la calidad de la solución de la LR
La relajación lagrangeana logró posicionarse como uno de los algoritmos más efectivos para resolver
problemas de UC de grandes dimensiones. El desacople de las restricciones “difíciles”, fue una de las
ideas que mejores avances introdujo al desarrollo de algoritmos de optimización en décadas pasadas [7].
Conceptualmente, la relajación resultó prodigiosamente atractiva para resolver problemas de UC por dos
motivos principales:
La estructura intrínseca del UC permite clasificar las restricciones en dos grandes bloques: las propias
de las unidades (eg. potencias máximas/mínimas, tiempos mínimos de operación/detención) y las
sistémicas (eg. balance de energía, requerimiento de reserva en giro).
Porque los subproblemas luego del desacople, parecen fáciles de resolver aun cuando cumplen con
un conjunto extenso de restricciones (el problema de asignación individual de unidades).
Sin embargo, la utilización de varios multiplicadores para la modelación de las restricciones complicadas
y la aplicación de heurísticas para actualizar los valores de los multiplicadores, puede llegar a ser poco
práctico para la modelación de sistemas eléctricos reales. En general, no es posible garantizar un
conjunto de multiplicadores para el cual la solución a la relajación será igual al óptimo del problema
completo, aunque esto puede suceder por razones particulares, siendo el mejor conjunto aquél que
maximiza el dual del problema. Sin embargo, el óptimo del dual no necesariamente tiene que ser factible
por lo que se han propuesto una diversidad de alternativas de perturbación de la vecindad al máximo del
dual, para obtener soluciones factibles de calidad [7]. Lo que puede ser inclusive peor, puede que
durante todo el proceso de maximización no se encuentre ninguna solución factible. Por esta razón, la
relajación lagrangeana ha sido cuestionada como método de solución del UC porque la pura
maximización no generaliza su aplicación a cualquier caso, por lo que rutinas basadas en heurísticas ad-
hoc son requeridas. Para darle generalidad a la LR, post-procesos de búsqueda y mejoras de soluciones
factibles son requeridos como parte integral del algoritmo de solución del UC [8].
11
1.2.4 Dudas acerca de los tiempos de ejecución del MIP
La garantía de optimalidad del branch-and-bound, usualmente medida por el gap entre la mejor solución
entera y la cota inferior (solución a la relajación LP), suele ser la señal de optimalidad que entregan los
optimizadores comerciales de uso general. El valor del gap que mejores resultados puede traer a un
sistema determinado, debe ser obtenido de forma empírica y su efecto ha sido estudiado escasamente
en la bibliografía especializada del UC.
Los problemas de UC son considerados de la clase de problemas difíciles tipo np-completos [9]. Aunque
es cierto que se han reportado aplicaciones a problemas de dimensiones reales, por ejemplo en [5], las
características intrínsecas del problema imposibilitan garantizar la generalidad de los de los tiempos de
ejecución para todas las instancias. En efecto en [10] se muestran ejemplos numéricos que, basándose
en un sistema de pocas unidades cuyo horizonte de evaluación fue discretizado en 252 periodos, los
tiempos de ejecución en un computador moderno, para 2 de los 10 casos analizados en detalle, superó
los 1800 segundos (30 minutos) de cómputo sin satisfacer un valor de gap objetivo del 0.4%. Quiere decir
que el problema de UC resuelto por la misma rutina comercial que en [5] -aunque mediante una versión
más avanzada- para un problema mucho más sencillo en cuanto al número de unidades (apenas 32
unidades aunque un horizonte mayor de 2 semanas), puede requerir 72 veces más tiempo de cómputo
para intentar satisfacer la misma calidad de solución. Siguiendo con [10], la dispersión de los tiempos de
ejecución para los 10 casos también fue elevada. Alrededor del promedio, la desviación estándar alcanzó
el 85%.
Conceptualmente, la gran mayoría de las veces que el UC de dimensiones reales es ejecutado mediante
una rutina MIP, a menos que el proceso logre obtener el óptimo global del problema completo, lo que
ocurrirá en un número ínfimo de casos reales, la mejor solución entera que cumple con el gap deseado o
alcanza el límite de tiempo, por lo general ha sido obtenida mediante las heurísticas generalizadas del
optimizador. Entonces, surge la pregunta si las rutinas MIP pueden ser sistemáticamente aplicadas como
motores de solución para el “market clearing”, la solución entera final delegada a las heurísticas primales
12
cumplen con una garantía de calidad suficiente, especialmente cuando es detenido el algoritmo en
tiempos razonables, como para considerarse implementables en mercados reales. La dispersión de los
tiempos de ejecución de los paquetes de optimización MIP permite realmente implementar un tomador
de decisiones basado en resultados del UC. Podría realmente establecerse una relación confiable entre la
calidad de la solución y el valor del gap objetivo/tiempo máximo de ejecución. Es posible implementar en
un sistema como el SING una rutina branch-and-bound a sabiendas que casos similares pueden requerir
más de 72 veces mayor tiempo computacional.
Estas preguntas son consistentes con los más recientes esfuerzos en por lograr formulaciones entero-
mixta del UC usando MIP más “ajustadas” [11], [12], [13], [14] (Ajuste se refiere, en el contexto de
problemas de minimización MIP, obtener en el nodo raíz del “branch-and-bound” una cota inferior
mayor). Por ejemplo en [11] se propone una reformulación de las restricciones de tiempo mínimos de
operación, condiciones iniciales, potencia máxima/mínima que proveen, para los casos numéricos
resueltos, una cota inferior más ajustada. En [12] se propone la reformulación de las rampas de partida y
detención de tal forma de favorecer la búsqueda de soluciones factibles con MIP. Los resultados de los
casos experimentales muestran mejoras de la cota inferior en comparación con formulaciones clásicas,
además de resultar en un formulación del UC más “compacta” (menos restricciones, variables y no-
ceros). En [13] se formulan desigualdades (cortes) agregadas al problema UC que mejoran la envolvente
convexa (“convex hull”), enfocándose en las restricciones de rampa fundamentalmente. De esta forma,
se mejora (aumenta) la cota inferior en el nodo raíz en la totalidad de los experimentos. Sin embargo,
pueden hacer que la relajación lineal en el nodo raíz resulte considerablemente más difícil de resolver. La
referencia [14] se concentra en la reformulación de la función objetivo mediante una aproximación lineal
por tramos que busca encontrar la división óptima en tramos de la función cuadrática de costos de
operación. Los resultados prácticos permitieron concluir que “facilita” el proceso de solución mediante
optimizadores MILP (“Mixed-Integer Linear Programming”).
13
El presente trabajo se concentrará en encontrarles respuesta a algunas de las grandes interrogantes
planteadas anteriormente, especialmente orientadas a dar ideas al caso real del SING (sistemas
medianos) que se usa como objeto central de la presente evaluación.
1.2.5 Dudas acerca de la factibilidad de implementación de LR
La relajación lagrangeana tiene serias dificultades para lidiar con unidades iguales [15]. Dado que en la
etapa de la programación dinámica individual de las unidades, las señales de precio, en todas las
iteraciones del algoritmo, son iguales para todas las unidades, el grupo de unidades idénticas (o muy
similares) reacciona de igual forma a estas señales. De esta forma, serán encendidas/apagadas en forma
simultánea. La manipulación de las curvas de eficiencia de las unidades para crear diversidad, puede no
ser la forma más justa de resolver el problema. En [15] se señala al problema de unidades iguales como
la razón central por la cual LR no pueda encontrar soluciones óptimas e incluso podría no encontrar
soluciones factibles. En la misma referencia, se hace una sensibilidad para determinar “el porcentaje de
similitud”, para un caso numérico de 4 unidades, que hace que la solución óptima no pueda ser
alcanzada en ninguna de las fases del algoritmo. Sin embargo, la medición del deterioro de la calidad de
las soluciones y la dificultad de obtención de soluciones factibles, las cuales no sólo corresponden a los
casos de unidades idénticas, han estado lejos de poder haber sido identificados y mucho menos
cuantificados.
1.3 Metodología
El estudio comprende abordar las comparaciones de rendimiento entre las metodologías MIP y
relajación lagrangeana mediante una revisión bibliográfica y tres enfoques prácticos diferentes:
1. El primer enfoque del tipo empírico consistirá en resolver un caso “pequeño” de la bibliografía
mediante ambos métodos, escalando el problema en función del número de unidades. Este es el
enfoque clásico en la literatura de pre-despacho para la comparación de métodos de solución, pero con
algunas variantes innovadoras, tales como análisis del efecto de inclusión de algunas restricciones,
14
ampliación del horizonte de evaluación, etc. Permitirá exponer la necesidad sintonización del algoritmo
de relajación lagrangeana.
2. Sin dudas el enfoque central de la presente tesis será la comparación estadística del desempeño
de las principales metodologías ante un conjunto de instancias amplio pero representativo. Los casos son
creados mediante un generador aleatorio de instancias, el cual deberá cumplir con las principales
sugerencias especializadas en el diseño de experimentos con métodos computacionales disponibles en la
bibliografía. Las principales variables de rendimiento y calidad, serán analizadas en forma gráfica y
estadística en funciones de los parámetros controlados de los experimentos.
3. Finalmente y considerando el interés que los países latinoamericanos deben tener en estudios de
sistemas de dimensiones medianas, serán resueltas instancias puntuales interesantes de Predespacho,
basadas en las características de las unidades y demanda del sistema chileno SING.
Sería ideal poder demostrar sistémicamente que para un universo suficientemente representativo del UC
los tiempos de ejecución del MIP son estables y que efectivamente logra sobreponerse por sobre la
mejor alternativa clásica, la relajación lagrangeana. Las instancias deberán ser acotadas para evitar caer
en la trampa del no free lunch, pero con la suficiente generalidad para abordar las que caracterizan al
UC.
1.4 Organización
La organización del presente trabajo es como sigue: En el siguiente capítulo se mostrará el
planteamiento matemático del UC, la revisión bibliográfica de las metodologías, así como las
generalidades de los dos métodos analizados en profundidad. El tercer capítulo describirá los
fundamentos teóricos del algoritmo de solución por relajación lagrangeana. Se darán detalles de los
pasos de ejecución de la rutina, la cual fue desarrollada y programada en JAVA en el marco de la
presente tesis. El Capítulo 4 muestra un completo análisis empírico de las comparaciones prácticas entre
ambos métodos de solución. El análisis comparativo se basa en tres enfoques distintos: la comparación
de resultados existentes en la bibliografía haciendo uso de penalizadores a computadores antiguos (lo
15
cual es el primer aporte del presente trabajo) con lo cual se pretende responder a la pregunta de si son
realmente las dos mejores alternativas según la bibliografía; la comparación estadística de soluciones
sistemáticas a instancias sintéticas aleatorias del UC elaboradas en función de distintos factores de
escalamiento y diversidad (lo cual es el segundo aporte de la presente tesis) con lo cual se intentará
responder la difícil pregunta acerca de la generalidad y aplicabilidad del MIP versus LR; y, finalmente, se
aplicará a algunas instancias del problema basado en las características de generación y demanda de un
sistema real (sistema chileno SING) con el fin de resolver incógnitas relacionadas a las características de
sistemas eléctricos medianos, característicos de Latino América. En el último capítulo se dará a conocer
en un contexto uniforme los resultados más consecuentes de los análisis anteriores, así como puntualizar
aquellos aspectos que claramente puedan señalar advertencias para la implementación de uno u otro
método. También serán incluidas las futuras líneas de investigación que se prevén de interés
relacionadas al tema.
16
Capítulo 2
Definición del problema de Pre-despacho
2.1 Planteamiento del problema
La primera dificultad que surge para poder establecer comparaciones de rendimiento entre distintos
reportes del UC es la necesidad de resolver una simplificación del problema completo. Es decir, la
bibliografía presenta una variedad de alternativas de solución para una versión simplificada del Unit
Commitment Generalizado [1].
Esto da origen a la primera diferencia, las simplificaciones al UC no suelen ser homogéneas. Por ejemplo,
en la referencia [16] se evalúa un modelo de UC con curvas de costos lineales por tramos, mientras que
el popular ejemplo sintético en [17], empleado como benchmark en una variedad de experimentos
según se muestra en [3], se entregan datos de curvas de costos totales cuadráticas. De hecho, alguno de
los motivos de la rica variedad de modelos de UC es justamente la respuesta a hasta qué punto modelar
cada vez más complejidades, de tal forma de acercarse a una propuesta para resolver el problema en [1].
Para todos los efectos de las comparaciones presentadas en este trabajo, el modelo de UC corresponde a
una modelación MILP simplificada de [1], como se muestra a continuación:
Minimizar: Costos Operativos + Costos de Partida + Costos de Parada
Min: T
t
stop
ti
start
ti
I
i
titi SSPFCU ,,,, )( (2.1)
Sujeto a las siguientes restricciones:
Restricciones de balance energético (horario):
I
i
C
c
ac
tctiti PPU arg
,,,ˆ T,...,1t (2.2)
Requerimientos de reserva en giro:
17
tI
i
tititi RPPU ,
max
,, T,...,1t (2.3)
Límites de capacidad de las unidades:
max
,,
min
, tititi PPP I,...,1i ; T,...,1t (2.4)
Costos de Partida:
t,i1t,it,i
start
t,i SU1US (2.5)
Donde:
off
ti
cold
i
cold
i
cold
i
off
ti
hot
i
warm
i
hot
i
off
ti
hot
i
ti
ttsiS
tttsiS
ttsiS
S
,
,
,
,
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆ (2.6)
Límites de rampa (tasas de toma de carga):
60ˆ1,,
Up
ititi GPP I,...,1i ; T,...,1t (2.7)
Tiempos mínimos de parada/arranque:
Se componen fundamentalmente de dos restricciones operativas:
Tiempo mínimo en servicio: tiempo mínimo que la unidad deber permanecer en servicio
sincronizada a la red.
Tiempo mínimo de detención: tiempo mínimo que la unidad debe estar detenida
inmediatamente después de salir de servicio.
off
i
off
ti
on
i
on
ti
titt
tt
si
siU
ˆ
ˆ
0
1
,
,
, (2.8)
Donde las variables de decisión son:
tiU , Variable binaria on/off de operación (1 si la unidad está en operación; 0 si está detenida) del
generador “i” en el tiempo “t”.
tiP , Potencia activa neta de generación del generador “i” en el tiempo “t”.
18
start
tiS , Variable binaria on/off de encendido (1 si la unidad “i” tiene una partida en el tiempo “t”; 0 en
caso contrario).
stop
tiS , Variable binaria on/off de encendido (1 si la unidad “i” se detiene en el tiempo “t”; 0 en caso
contrario).
Con los siguientes parámetros técnicos (datos de entrada):
min
,tiP Potencia mínima de operación del generador “i” en el tiempo “t”.
max
,tiP Potencia máxima de operación del generador “i” en el tiempo “t”.
tiS ,ˆ Costo de partida del generador “i” en el tiempo “t”.
hot
iS Costo de partida desde estado “caliente” del generador “i” en el tiempo “t”.
warm
iS Costo de partida desde estado “tibio” del generador “i” en el tiempo “t”.
cold
iS Costo de partida desde estado “frio” del generador “i” en el tiempo “t”.
ac
tcP arg
,ˆ Demanda de potencia activa de consumo “c” en el tiempo “t”.
tR Requerimiento de reserva en giro en el tiempo “t”.
Up
iG Tasa de toma de carga máxima del generador “i” en [MW/min]
on
it Tiempo mínimo de operación de la unidad “i”.
off
it Tiempo mínimo de detención de la unidad “i”.
)( ,tiPFC Función de costos. Típicamente como un polinomio lineal (por tramos), cuadrático o
cúbico en función de la potencia activa de generación tiP , .
I Número total de unidades.
T Número total de periodos en el horizonte de evaluación.
19
Adicional a las restricciones del modelo referenciado, existe una variedad de restricciones no
mencionadas enmarcadas dentro del pre-despacho. La “generalización” de este problema puede
encontrarse en [1].
Para los propósitos del presente trabajo, se dividirán las restricciones presentadas anteriormente en dos
clases: individual y de acoplamiento. Se define como restricción de acoplamiento aquella que involucre
en la misma ecuación, bien sea de igual o de desigualdad, variables de estado pertenecientes a más de
una unidad generadora. Por ejemplo, en el planteamiento de pre-despacho anterior, (2.2) y (2.3) son las
restricciones de acoplamiento.
Se define como restricción individual aquella que puede involucrar variables pertenecientes a distintos
períodos de tiempo pero correspondientes a una misma unidad generadora. Por ejemplo, (2.4)-(2.7) son
restricciones individuales para cada una de las unidades. Nótese que algunas, como por ejemplo (2.5) y
(2.6), involucran a más de una variable de estado perteneciente a distintos tiempos.
2.2 Métodos de Solución
El problema de optimización combinatorial entero-mixto presentado anteriormente, no puede ser
resuelto por simple enumeración exhaustiva de todas las posibles combinaciones de despacho.
Entonces, una metodología es necesaria para obtener soluciones factibles y, afortunadamente, una
prueba de optimalidad. Existe una diversidad amplia de métodos propuestos en la bibliografía, tanto
heurísticos como matemáticos, de los cuales se escogieron las metodologías MIP y LR por ser
reconocidas como las más efectivas para resolver el UC y coexistir en la actualidad en motores de UC
comerciales (detalles se encuentran en la sección 1.2 “Motivación”). Por lo tanto, la presente sección
muestra una extensa revisión de los métodos de solución en la bibliografía especializada y, a
continuación, se explican los principales fundamentos teóricos de los 2 métodos seleccionados.
20
2.2.1 Revisión bibliográfica métodos de solución
La literatura presenta extensas revisiones bibliográficas de las metodologías para resolver el problema
del pre-despacho. La primera resume las metodologías clásicas disponibles hasta el año de su publicación
(1994) [18]. La segunda es una exhaustiva compilación de los puntos principales en 151 artículos
internacionales publicados en los últimos 35 años [2]. En estas dos referencias se pueden encontrar citas
para casi cualquier metodología de solución del problema de UC.
Las listas de mérito, programación dinámica y relajación lagrangeana son, de acuerdo con la clásica
referencia [19], los métodos “más revisados” al año de su publicación. En las revisiones se presentan
explicaciones sencillas de los principales aspectos que caracterizan estas tres técnicas acompañadas con
ejemplos numéricos. Todas ellas tienen versiones mejoradas que prometen menores tiempos de
ejecución, mejor calidad de las soluciones, mejor convergencia o combinaciones de varios de estos
atributos. Una solución rápida al UC usando listas de prioridades mejoradas o de mérito mejoradas se
puede encontrar en [20]. En la referencia [18] se listan quince formas distintas de realizar la
programación dinámica de las unidades. Son básicamente quince propuestas distintas para limitar la
búsqueda en el enorme espacio de estado producido por la “explosión” combinatorial. La relajación
lagrangeana ha sido objeto de intensas investigaciones en los últimos quince años. Ciertamente esta
metodología requiere de una delicada afinación de parámetros, evidencia una convergencia irregular
(especialmente cuando existen pocas unidades) y presenta dificultad para encontrar soluciones factibles
(en especial cuando coexisten unidades con costos muy similares). Sin embargo, los autores coinciden en
que es una técnica rápida, de calidad aceptable y aplicable a grandes sistemas con muchas restricciones.
La referencia [8] explica el método más usado para actualizar los multiplicadores de Lagrange en cada
iteración. En [21] los autores probaron planos cortantes (solos) así como una combinación de punto
interior con planos cortantes para realizar la actualización de estos multiplicadores. A diferencia de [8],
no necesitan afinar parámetros pero muestran una convergencia irregular, incrementándose
adicionalmente los tiempos de ejecución. En [22] se propone una alternativa para este efecto haciendo
21
uso de un algoritmo genético. En este caso se presentaron similares inconvenientes a los reportados en
[8].
La relajación lagrangeana aumentada [23], [24] consiste en agregar un término cuadrático a la función
objetivo para manejar de forma más eficiente la brecha entre las soluciones del dual y las del primal. Sin
embargo, este término involucra más de una variable de decisión eliminando la posibilidad de separar el
problema en asignación individual de unidades. Para restablecer la separabilidad, el término cuadrático
es linealizado alrededor de la solución de la iteración anterior usando técnicas de descomposición y
coordinación. Dos métodos distintos de descomposición, aunque aplicables al UC de acuerdo con [24],
hacen que el problema continúe evidenciando convergencia irregular.
La “desasignación de unidades” [25], [26], en inglés “Unit Decommitment”, parece ser la solución
matemática al problema de sobreasignación (soluciones factibles) normalmente causado por la
relajación lagrangeana, pero no necesariamente la más justa [15]. Un método adaptativo basado en
relajación lagrangeana para resolver el UC que básicamente resume varias de las mejoras antes
mencionadas puede encontrarse en [27]. Los autores además propusieron un método heurístico para
realizar la programación dinámica de cada unidad por separado de forma rápida. Los resultados
mostrados parecen prometedores. Además de la diversidad de mejoras propuestas, la relajación
lagrangeana es sin duda la técnica más estudiada a la hora de considerar el efecto de otras restricciones
operativas en el UC, tales como restricciones de rampa [23], [28] (o de toma de carga), restricciones de
transmisión [29], [30], de seguridad y voltaje [28], [30] e incluso, las restricciones del flujo de carga
óptimo [31] [32].
Métodos primales, como las técnicas Branch & Bound y la programación lineal, son pioneros en la
resolución de problemas de optimización como el UC. Empleando algoritmos y software (CPLEX)
considerados como clásicos, de acuerdo con [33], los métodos duales como la relajación lagrangeana son
más rápidos, pero con menor precisión que los primarios Branch & Bound y programación lineal. La
programación lógica puede ser usada para obtener un eficiente chequeo de restricciones [34]. Esto,
22
combinado con técnicas Branch & Bound para la búsqueda en el espacio puede llevar a un eficiente
método para resolver el UC llamado programación lógica de restricciones. Los resultados presentados
usando el lenguaje CHIP para casos pequeños son ciertamente impresionantes y serán presentados y
analizados posteriormente. Algunas propuestas clásicas de aplicación de programación entero-mixta,
programación lineal y técnicas Branch & Bound al UC pueden ser encontradas en diversas referencias
citadas en [18].
Las técnicas meta-heurísticas también tienen diversas aplicaciones en la solución del UC. El complejo
problema de optimización que representa el UC parece ser sumamente atractivo para modelos
matemáticos no exactos. Sin embargo, todos ellos parecen aumentar considerablemente los esfuerzos
computacionales. Los algoritmos genéticos [35]- [36], la programación evolutiva [37] y lógica difusa [38],
[39], representan algunas de las rutinas exploradas. La calidad de la solución ha sido reportada como
superior a la de métodos clásicos, lo que se ha manifestado en mayores tiempos de proceso.
La referencia [40] utiliza un algoritmo genético que emplea una clasificación de unidades de acuerdo con
las características de costos de operación y partida, mostrando que es factible reducir los tiempos
computacionales. Sin embargo, los resultados siguen siendo muy inferiores a la relajación lagrangeana.
Las redes neuronales artificiales [9], [41] y otros sistemas expertos han sido también investigados. La
principal queja de los autores ha sido la falta de resultados con óptimos globales para sistemas de gran
escala. Por ende, las aplicaciones reportadas de redes neuronales sólo pueden ser entrenadas
adecuadamente para resolver problemas de dimensiones reducidas.
Las simulaciones de temperatura [42], [43] basadas en el mínimo de energía de un metal enfriado
lentamente, en inglés “Simulated Annealing”, es otra de las formas planteadas en la bibliografía de
resolver el problema del UC. Prometen mayores probabilidades de obtener soluciones cercanas al
óptimo. Sin embargo, en aplicaciones prácticas, los tiempos requeridos para obtener esta calidad de
soluciones son elevados. La combinación de algoritmos genéticos, simulaciones de temperatura, y
búsquedas tabú [44] ha reportado mejores resultados, al menos en problemas de pocas unidades.
23
Una variante de la búsqueda loca (“local search”) denominada “External Optimization” es empleada en
[45] para encontrar soluciones factibles que, de acuerdo a la misma referencia, resultan mejores (menor
costo total de operación) para los mismos casos en el rango 10-100 unidades resueltos por otras meta-
heurísticas en [35] y [37]. Sin embargo, no se presentan resultados comparativos de tiempos
computacionales.
La búsqueda tabú ha sido también combinada con la programación evolutiva para solucionar el UC [46],
pero incluso un pequeño ejemplo numérico de 34 unidades excedió la hora de cálculo. En [2] se puede
encontrar otra serie de propuestas relacionadas con metaheurísticas e inteligencia artificial. De acuerdo
con [18] y [2] existen otras metodologías como el Análisis de Riesgos, Análisis de Decisión, Sistemas
Expertos, Programación Separable, Programación por Flujo de Redes, Algoritmos de búsqueda por
colonias de hormigas y otros modelos híbridos que combinan uno o varios de los antes mencionados.
Esta variedad de métodos y publicaciones vienen por lo general acompañados con ejemplos numéricos y
tiempos de ejecución. Sin embargo, por haber sido ejecutadas en plataformas diferentes, en la literatura
no se presentan comparaciones objetivas de los rendimientos, dificultándose el desarrollo y la selección
de los mismos en aplicaciones reales. Por lo tanto, el presente trabajo presenta resultados de
rendimientos con full detalle de las instancias resultas y especificaciones técnicas del hardware y
algoritmos utilizados para resolver los problemas de UC. Esto facilitaría a distintos autores realizar
comparaciones de performance respecto a las metodologías en el presente estudio (MIP y LR) en el
futuro con mayor precisión.
2.2.2 Relajación Lagrangeana
Es uno de los más conocidos métodos para resolver problemas de optimización de gran escala [47]. Se
suele aplicar a problemas que por sus condiciones permite clasificar las restricciones en dos tipos:
sencillas y complejas. La idea principal consiste en resolver problemas de optimización sujeto a las
restricciones sencillas (definidas en el ámbito específico de UC como “individuales”), “olvidando” o como
24
se suele llamar “relajando”, las restricciones más complejas o complicadas (definidas anteriormente en
el ámbito del UC como de “acoplamiento”).
Llamemos primal al siguiente problema de optimización:
min: )x(f
s. a.: 0)x(g
(2.9)
Donde: zyx
y son variables enteras y z pertenece a n .
Supongamos que existen condiciones que permiten dividir (o clasificar) las restricciones en dos grupos.
Denominemos )x(g1 las restricciones de igualdad o desigualdad que son consideradas complejas y
denominemos )x(g2 al resto de restricciones, las cuales son consideras sencillas tal que:
)x(g),x(g:)x(g 21 . Re-escribiendo el problema primal con estas definiciones se tiene:
min: )x(f
s. a.: 0)x(g1
0)x(g2
(2.10)
Al incluir a la funcional f(x) las restricciones 0)x(g1 con factores de ponderación no negativos
(multiplicadores de Lagrange), se obtiene:
min: )x(gˆ)x(f 1
s. a.: 0)x(g 2
(2.11)
donde:
: Multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones “complejas” o “restricciones de
acoplamiento”, como fuese definido en la sección 2.1. Se dice que (2.11) es la relajación Lagrangeana del
problema (2.9).
25
El uso de la relajación lagrangeana es efectivo cuando las características del problema hacen que
resolver (2.11) sea mucho más sencillo. Por ejemplo, si las restricciones 0)x(g2 consisten de bloque
no-conexos, es decir, la “forma” de la matriz de coeficientes es agrupable en bloques, entonces el
problema puede además ser descompuesto en subproblemas de dimensiones reducidas. Es exactamente
éste el caso del Predespacho.
Para cualquier m
se cumple la siguiente desigualdad [47]:
)( (2.12)
Donde:
)( : Es la solución de (2.11) para un valor m
: Es la solución óptima de (2.10).
Esto quiere decir que resolviendo el problema (2.11) se obtiene una cota inferior al problema original.
Quizás la siguiente sea la pregunta más pertinente: ¿Cuál vector de multiplicadores de Lagrange
permiten realizar la mejor estimación de la cota inferior? La respuesta es aquel m
que entrega el
mayor valor posible de )( .
El siguiente, es el llamado problema dual de Lagrange:
z=max )(
s.a.: 0
(2.13)
La función )( es por definición convexa (lineal a trozos cuando se trata de programación lineal) [47].
Por lo tanto, puede resolverse mediante cualquiera de los abundantes métodos de maximización de
problemas convexos no-diferenciables que existen en la bibliografía. La diferencia z es conocida en
la literatura como la brecha dual, en adelante (DG) o simplemente “gap” “duality gap” por su significado
en inglés. El DG aparece por la presencia de variables enteras y por la admisibilidad del dominio no-
convexo de (2.9).
26
A veces la solución óptima del dual (2.13) puede obtenerse sin maximizar la función )( . Se dice que el
valor óptimo se ha obtenido si el valor de la funcional )( no varía ante la ausencia de las condiciones
de integralidad de las variables enteras.
Entonces, si estas condiciones se cumplen, es suficiente con resolver el siguiente problema de
programación lineal:
=min: )x(f
s. a.: 0)x(g1
0)x(g2 tal que: )x(g),x(g:)x(g 21 ; nx
(2.14)
Nótese que todas las variables x son continuas (relajación de las condiciones de integralidad), por lo
tanto, se cumple que: =z.
Tradicionalmente se ha utilizado al gap dual (DG) como una medida de convergencia. Según [19],
mientras mayor sea la dimensión del problema, menor será la brecha relativa, denominada en adelante
(RDG) por sus siglas en inglés “Relative Duality Gap”:
DGRDG (2.15)
Algunos métodos numéricos iterativos se detienen cuando encuentran un RDG , para un valor pre-
establecido de , señalando el resultado actual como la solución al problema (2.9). No existen entonces
garantías de que la solución sea factible, haciendo que la relajación lagrangeana sea dependiente de un
post-proceso, típicamente heurístico, para encontrar soluciones factibles en la cercanía de la solución
encontrada. Existe una abundante bibliografía con tales métodos adaptados al problema de asignación
de unidades [26].
2.2.3 Programación entero-mixta
Existe una rica bibliografía especializada en programación lineal-entera. La referencia [48] es un
completo manual de referencia que cubre desde los fundamentos matemáticos básicos sobre la cual se
sustenta la programación lineal, la teoría de grafos y la teoría poliedral, hasta los detalles más específicos
27
de los principales algoritmos para la programación lineal-entera-mixta, incluso detallando adaptaciones a
las principales aplicaciones a problemas de programación entera conocidos (eg. vendedor viajero,
problema de la mochila, etc). Los detalles de los fundamentos teóricos como de las implementaciones
prácticas del motor de optimización MIP empleado en el contexto de la presente investigación [49] están
fuera del alcance los objetivos del presente trabajo, por lo que se sugiere al lector revisar las referencias
[48] y [49] para más detalles.
El problema de UC en las ecuaciones (2.1) – (2.8) corresponde al tipo lineal entero-mixto, cuyas variables
de estado de las unidades requerirán cumplir con la condición de integralidad (ie. variables binarias).
Aunque conceptualmente existen otras modalidades, todas las rutinas comerciales se basan en el
método branch-and-bound mediante relajaciones lineales.
Supongamos el siguiente problema generalizado de optimización entera:
(2.16)
Un algoritmo de enumeración implícita, es decir un algoritmo branch-and-bound para (2.16), según [48],
posee los siguientes pasos:
Paso 1- Inicialización: Se plantea el problema como una colección, denominado L, el cual es una
colección de problemas enteros , cada uno de los cuales consiste en la forma
{ } donde .
Paso 2- Prueba de finalización: Si , entonces la solución a es óptima.
Paso 3- Selección de problema y relajación: Seleccionar y extraer de L un problema . Resolver su
relajación . Se denominará al valor óptimo de la relajación LP y
a la solución óptima si
existe.
Paso 4- Podado:
Si ir al paso 2.
28
Si ir al paso 5.
Si y
, asignar . Eliminar de L todos los problemas con cota superior
menor a . Si
ir al paso 2.
Paso 5- División: Plantear y agregar divisiones de a L, donde la cota inferior de cada uno de las
divisiones será . Ir al paso 2.
Las principales propiedades del método branch-and-bound son las divisiones, las estrategias de
desarrollo del árbol, reducción del árbol, mínimo árbol [48].
2.3 Resumen
El presente capítulo definió las bases tanto teóricas como metodológicas del presente estudio. La
definición (y alcance) del UC fue presentado con su formulación matemática entera-mixta. Tanto la
función objetivo como sus restricciones básicas fueron expuestas. Una vez definido el problema en
estudio, se presentaron los posibles métodos de solución (revisión bibliográfica), incluyendo detalles
técnicos de los 2 métodos en estudio. Sin embargo, la relajación Lagrangeana no es una rutina genérica
de optimización, sino requiere de un desarrollo específico para el UC. Dada la diversidad de variantes
propuestas en la literatura, como se describió en la presente sección, el capítulo a continuación presenta
todos los detalles del algoritmo desarrollado en el marco de la presente tesis.
29
Capítulo 3
Algoritmo de UC por relajación Lagrangeana
3.1 Introducción
Considerando la diversidad de propuestas en la literatura para la elaboración de un algoritmo de
Relajación Lagrangeana para resolver el UC, el capítulo a continuación presenta los detalles técnicos del
algoritmo desarrollado en el marco de la presente tesis.
El algoritmo de programación elaborado en el contexto del presente trabajo está basado en la relajación
lagrangeana aumentada [28]. A continuación se describen las etapas fundamentales de dicho algoritmo.
Algunos detalles de los métodos matemáticos subordinados que se requieren han sido ubicados en los
anexos A, B y C del trabajo. Para la presente explicación además, se ha preferido dejar la variante que
incluye el término de “aumentación” para el Anexo D. Los fundamentos básicos del método y la validez
de la descomposición son presentados en la sección 2.2.2, sin embargo, se sugiere referirse a [47] para
detalles de los de los fundamentos teóricos que soportan el método como tal, así como ciertos aspectos
formales y demostrativos. Considerando además que el método branch-and-bound en las rutinas
comerciales MIP es de conocida documentación y que, adicionalmente, escapa del presente trabajo una
sintonización de parámetros del MIP que involucren un profundo conocimiento de las diversas etapas de
solución, se sugiere al lector revisar detalles conceptuales del método en la referencia [49].
3.2 Generalidades del Método
La relajación lagrangeana es uno de los métodos de mayor aplicación al problema del pre-despacho, en
especial a problemas de gran-escala [19]. Se basa en la descomposición del dual al “relajar” las
restricciones de acoplamiento (ver sección 2.2.2). En la ilustración 3.1 se presenta un esquema de
ejecución clásico de relajación lagrangeana basado en [19].
30
Ilustración 3.1. Esquema general de ejecución del algoritmo de relajación lagrangeana.
Cada una de las etapas del algoritmo será brevemente descrita en las secciones a continuación.
3.2.1 Inicialización o relajación de los multiplicadores de Lagrange
Al relajar las restricciones de balance de potencia y de requerimientos de reserva, el problema del pre-
despacho básico se desacopla en problemas de optimización en el tiempo individuales para cada una de
las unidades generadoras en consideración. Para ello, las variables duales asociadas a esas restricciones
deberán ser constantes. Los valores que se sugieren en la bibliografía pueden ser muy variados y puede
que el algoritmo converja a soluciones diferentes [15]. El siguiente método es una combinación de la
sugerencia presentada en [27] y un aporte propio. Consiste fundamentalmente en resolver el problema
del pre-despacho por listas de prioridades, sin considerar las restricciones que acoplan al problema en el
tiempo. Para ello se realiza el siguiente procedimiento heurístico:
Restricciones de balance de Potencia: Los multiplicadores de Lagrange o variables duales asociadas a
la restricción (2.2) serán iguales al valor del costo marginal (o linealización) de la unidad “más cara”
que cumpla con el balance de potencia, siendo asignadas de acuerdo al orden de mérito establecido
en la lista, sin verificar las restricciones de tiempos mínimos de operación ni los costos de partida
asociados.
Inicialización de los Multiplicadores
Evaluación del Problema Dual
Programación dinámica individualde las unidades
Evaluación del Primal:Despacho económico
con requerimientos de reserva
Verificación de Convergencia
Actualización de los Multiplicadores
31
Restricciones de requerimientos de reserva: Las variables duales asociadas a (2.3) son inicializadas
de acuerdo al siguiente criterio:
0t ; 0PRp t
demanda
tM
i
max
i (3.1)
max
min
t
s
tp
p ; 0PRp t
demanda
tM
i
max
i (3.2)
Donde es la variable dual a relajar, s es el costo marginal de la unidad “S” necesaria para cumplir con
la reserva en giro mínima exigida, es decir, aquella que cumpla: demanda
tM
i
i PRP (con M = número
de unidades necesarias para satisfacer la demanda).
Programación Dinámica de las Unidades: Se realiza la programación dinámica individual de las
unidades en el sentido del tiempo (en inglés forward DP). En esta etapa deben cumplirse las
siguientes restricciones:
Límites Operativos de las unidades.
Tiempos mínimos de encendido/apagado.
Límites de potencia máxima por: reserva en giro impuesta individualmente para cada unidad,
garantías de entrega de reserva primaria, límite sistémico por estabilidad
dinámica/transiente, consumos propios, etc.
Se realiza un proceso de optimización aplicando el método de programación dinámica, mediante el cual,
se calculan los valores de las variables binarias ( t
iU ) y de las potencias ( tiP , ) que minimizan la función
lagrangeana para multiplicadores t y t constantes. Siguiendo con la notación en 2.2.2, esta etapa de
programación dual corresponde con el cálculo de:
xmin ))x(g(ˆ)x(f)ˆ,x(L: 1 (3.3)
32
sa: 0)x(g2
El algoritmo de programación dinámica empleado, por su parte, se encuentra detallado en el Anexo B. La
programación dinámica aplicada al pre-despacho como método único de solución, es decir, no como un
subproceso dentro de la relajación lagrangeana, puede encontrarse explicada y ejemplificada en [19].
3.2.2 Evaluación de la Función Dual
El proceso iterativo aplicado a la programación dual exige que en cada iteración se deba verificar la
diferencia entre las soluciones del dual y el primal. Entonces, la evaluación del dual consiste en sustituir
en la función lagrangeana el valor constante de las variables duales junto con el valor del vector binario
de decisión y la potencia obtenida por programación dinámica. Es decir, se evalúa el valor del llamado
“lagrangeano” (L) en el resultado obtenido por la minimización en t
iU y t,iP con programación dinámica
y con las variables duales obtenidas de la maximización del dual.
)),((ˆ),()ˆ,,( 1 PUgPUfPUL (3.4)
Nótese que corresponden en forma estricta con la definición de la optimización dual definida en el
Anexo A.
3.2.3 Despacho Económico sin Restricciones de Transmisión
Esta etapa es también conocida como evaluación del primal. Consiste en encontrar una solución factible
al problema del pre-despacho completo. Existe una variedad de métodos disponibles en la bibliografía,
las cuales pueden agruparse en dos grupos:
Heurísticos y Meta-heurísticos: Consiste en encontrar una solución factible al problema haciendo uso
de técnicas no-precisas basadas en heurísticas.
Basados en el vector binario del dual: Consiste en sustituir las variables binarias (enteras), obtenidas
de la programación dinámica individual de las unidades, en el problema original (2.1)-(2.7). Al asumir
conocidas las variables enteras, el problema resultante se resuelve por programación lineal o
33
cuadrática. Es conocido en la literatura clásica como el despacho económico para cada una de las
etapas.
La alternativa seleccionada a ser aplicada por la rutina de programación fue la opción basada en el vector
binario del dual porque es la que resulta en los mejores tiempos de ejecución. Presenta como principal
desventaja la dificultad para encontrar soluciones factibles en un número finito de iteraciones. Sin
embargo, un debido control de los parámetros de sintonización puede resultar en la sucesiva evaluación
de soluciones factibles.
3.2.4 Verificación de Convergencia
Se realiza haciendo una verificación de la “brecha dual relativa” (RDG). La RDG está definida por:
)ˆ,(
)ˆ,(*
xL
xLLRDG
(3.5)
La mayoría de los métodos numéricos sugiere que el algoritmo debe detenerse cuando se encuentre un
RDG , siendo un valor pre-establecido. Existen alternativas referidas a las soluciones -óptimas
obtenidas cuando se resuelve un problema de optimización que no cumplen algunas de las restricciones
relajadas. En el Anexo A se analiza esta alternativa.
3.2.5 Actualización de los Multiplicadores
La actualización de los multiplicadores de Lagrange se corresponde con la maximización de la función
lagrangeana respecto a las variables duales. Siguiendo la notación en 2.2.2, corresponde a la solución de
la siguiente etapa:
z = max: )(
s.a: 0
(3.6)
El problema de optimización lineal que plantea (3.6) suele ser resuelto por el método del subgradiente
por la simplicidad de su planteamiento e implementación [19]. Sin embargo, es también reconocido por
ser un método inestable y, en ocasiones, lento para resolver problemas de descomposición entero-
mixtos [27]. Más aún, se le suele asociar con la dificultad que caracteriza a la relajación lagrangeana para
34
encontrar soluciones factibles. En todo caso, lo que es evidente es que es una etapa crítica del método y,
como tal, merece especial cuidado.
Existen diversas maneras de plantear el subgradiente. Las más conocidas se muestran en el Anexo C. El
mismo anexo muestra la validez de los métodos y las demostraciones de la convergencia al valor óptimo
(o a una tolerancia pre-establecida). El método de actualización del algoritmo tiene dos variantes:
Prioridad → búsqueda de soluciones factibles:
Emplea la variante Longitud del paso constante (ver Anexo C y las referencias citadas). De tal manera, los
multiplicadores de Lagrange se actualizan según la siguiente relación:
)(1 L
k
kk
con:
2
)(
k
L
hk
(3.7)
El valor de la longitud del subgradiente h es escogida por el usuario o programador. Su valor suele
determinarse experimentalmente [19], [27]. El error se encuentra acotado por:
hk
khGRError
2
222 (3.8)
Donde R es la diferencia entre el valor inicial y la solución óptima, G es la cota superior de la norma del
sugradiente y k es el número de iteraciones. Entonces, para un número de iteraciones muy elevado el
error 2
22hGError . Evidentemente, la búsqueda abandona la garantía del óptimo pero puede generar
con mayor probabilidad soluciones factibles para ciertos valores de h si se le combina con la siguiente
heurística sencilla de búsqueda de soluciones factibles:
Si la solución no es factible, hacer:
2
)(
2,0
k
L
hk
(3.9)
Si es factible, usar el h por usuario o programador.
35
Prioridad → búsqueda del óptimo:
Emplea la variante series sumables pero cuadrados no sumables (ver Anexo C y las referencias citadas en
el mismo). La aplicación de esta regla demuestra que se puede obtener el óptimo cuando el número de
iteraciones k . Es el más inestable y puede que no genere ninguna solución factible para un número
finito de iteraciones. Sin embargo, se mantiene la posibilidad de encontrar los valores óptimos de los
multiplicadores.
2
)(*
)(
L
L
subsub
k (3.10)
Donde 0,0 subsub , nuevamente seleccionados por el programador o usuario del programa por
métodos experimentales.
3.3 Resumen
Considerando la necesidad de personalizar un algoritmo basado en LR al tipo de problema que se desee
resolver, combinado con el requerimiento de sintonización de ciertos parámetros, características
intrínsecas de LR, se presentaron en detalle los fundamentos matemáticos y características principales
del método de solución LR, aplicados al problema del UC. La rutina de programación desarrollada sigue
en forma estricta la definición de relajación, método de subgradiente, programación dinámica y criterio
de convergencia definido en el presente capítulo. Dado que para efectos comparativos se empleó un
optimizador comercial MIP tipo “black-box”, no fue requerida la elección de alternativas de desarrollo o
sintonización de parámetros, por lo que se sugiere al lector referirse a la documentación en [49].
36
Capítulo 4
Comparaciones MIP vs. LR
4.1 Introducción
El presente capítulo entrega los resultados de un análisis extensivo de rendimiento entre las
metodologías para resolver el UC. El capítulo comienza con un análisis de los resultados de rendimiento
publicados en la bibliografía. Además de resumir por primera vez en un único documento los resultados
de una diversidad de trabajos de investigación acerca del UC, se plantea y aplica una metodología para
“estandarizar” los tiempos de ejecución, haciendo uso de factores de rendimiento tomados desde
reconocidos benchmark computacionales, de tal forma de hacerlos comparables. Posteriormente, se
presentan los resultados de todas las simulaciones realizadas en el contexto del presente trabajo. Se
muestran los resultados, tanto de performance como de calidad de solución, de las simulaciones por
ambos métodos (LR y MIP), comparados mediante 3 enfoques diferentes:
1) Comparación clásica haciendo uso de casos sintéticos: Se crearon y resolvieron casos sintéticos
sencillos que permitieron sintonizar y validar la rutina de LR desarrollada.
2) Comparación de casos aleatorios. Se generaron y resolvieron, mediante ambos métodos,
múltiples casos de UC creados mediante la combinación de las técnicas de creación de casos
aleatorios con correlación explícita y el uso de librerías estándar. Esta sección incluye además
todos los detalles del método de generación de instancias aleatorias y método de análisis.
3) Comparación aplicada a casos reales: Ejemplos de programación de la operación del Sistema
eléctrico chileno SING.
37
4.2 Comparación bibliográfica
Plantear una comparación de rendimiento entre distintos computadores puede ser una tarea difícil. El
proceso de obtener soluciones computacionales pasa por una variedad de “cuellos de botella” como
pueden ser la memoria RAM, el bus del controlador, el bus de video y otros. Comparar la eficiencia de
distintos algoritmos en computadores diferentes es una tarea aún más difícil. Entre otras, éstas son las
principales limitantes: No siempre los autores publican las especificaciones del computador o del sistema
operativo, o del lenguaje de programación en que fueron desarrollados los casos numéricos; no existe un
caso base estandarizado IEEE para el UC que pueda ser utilizado con fines comparativos; no se puede
evaluar la eficiencia del algoritmo en sí (métodos de inversión de matrices, eficiencia en la adquisición de
datos, ciclos internos, etc.) Lamentablemente, tuvieron que ser descartados algunos resultados
interesantes de la presente comparación debido a la ausencia de información del hardware evaluador.
En general, el objetivo de la comparación bibliográfica es encontrar rangos aceptables donde ubicar los
tiempos de ejecución de las diversas metodologías, sobre una misma base. Es decir, la idea es emplear
resultados públicos de “benchmarks” oficiales para poder “trasladar” artificialmente todos los resultados
a un mismo computador. Entre las principales organizaciones para la medición del performance se
encuentran: SPEC - Standard Performance Evaluation Corporation, BAPCo - Business Applications
Performance Council, EEMBC - EDN Embedded Microprocessor Benchmark Consortium, Iozone - I/O File
performance Test benchmark y TPC: Transaction Processing Performance Council.
La información más completa acerca de los diversos rendimientos se encuentra en la página oficial de
SPEC [50] y serán usados posteriormente en el presente trabajo. La referencia [51] por su parte, muestra
una excelente comparación de los rendimientos de una variedad amplia de computadores resolviendo
problemas de ecuaciones lineales. Los tres benchmarks empleados en [51] fueron: Linpack® [52], TPP
(“Towards Pick Performance”) y TP “Theorical Pick Performance”. La comparación se fundamenta en la
medición en MFlops (Millones de operaciones completas de punto flotante) al resolver sistemas lineales
de n ecuaciones. Los detalles de las mediciones y su validez se encuentran en [52]. Por su parte,
38
Dhrystone [53] y Whetstone [54] son dos conocidos benchmarks sintéticos empleados desde 1988 y
1976 respectivamente para la medición y comparación de los rendimientos de diversos computadores.
Dhrystone fue diseñado para medir en MIPS (Millones de operaciones con enteros por segundo)
operaciones aritméticas típicas de varias aplicaciones. Más antiguo inclusive, Whetstone sigue siendo
utilizado en la actualidad para medir rendimientos de FPU y Coprocesadores, especialmente en el área
de ingeniería. Mide el tiempo que tarda en realizarse una serie de operaciones de punto flotante
(convertidos a MFlops). Los resultados de ambos “benchmarks” usando el software comercial
©Syssoftware Sandra complementarán la data requerida para la comparación de rendimientos
empleada en este trabajo.
4.2.1 Factores de Ponderación
Los tiempos serán ponderados al multiplicarlos por un factor escalar comprendido entre cero y uno. Este
factor será determinado como el promedio del puntaje obtenido por el computador en cada uno de los
siete “benchmarks” referidos, divididos entre el máximo puntaje. De esta forma, trasladamos al
computador más veloz, de acuerdo con los “benchmarks”, los tiempos obtenidos en otros
computadores. El error inicial será determinado por la desviación estándar del factor según los distintos
“benchmarks”. Los resultados son presentados a continuación.
Tabla 4.1. Ranking usando los Benchmarks SPECint® y SPECfp® [50].
int95 fp95 int2000 fp2000 int fp
486 Dx2 /66 - - - - - -
HP 9000/720 1.57 2.02 - - 0.0280 0.0294
HP 9000/735 4.04 4.55 - - 0.0720 0.0662
Sun Ultra 2 2200 6.85 12.9 - - 0.1220 0.1877
P- 200 Mhz 6.40 4.68 - - 0.1139 0.0680
HP C160 10.4 16.3 - - 0.1853 0.2371
P4 - 1.5Ghz - - 562 615 0.9558 0.9565
P4 - 1.6Ghz - - 588 643 1 1
Dell Precision 35.7 31 374 290
Workstation 420
(733Mhz)
SPEC®Nombre
rank
39
La primera columna en la tabla 4.1 muestra los nombres comerciales de los computadores empleados
por los autores en las distintas referencias para obtener los resultados numéricos en sus publicaciones
originales. Las columnas segunda a la quinta de la misma tabla muestran la puntuación asignada por los
“benchmarks” SPECint®95, SPECfp®95, SPECint®2000 y SPECfp®2000 respectivamente.
De acuerdo con la política de “uso justo” de SPEC® [35], no existe ninguna forma lineal de comparar los
resultados de “benchmark” distintos, lo cual representa un grave problema porque no hay datos
disponibles sino los mostrados en la tabla 1. Para poder establecer el ranking lineal deseado, se empleó
el computador “Dell Precision Workstation 420 (733Mhz)” como referencia. Los números presentados en
las dos últimas columnas fueron calculados de acuerdo a la siguiente relación:
)}(2000max{int)9(95int
)9(2000int)(95int)int(
iii
(4.1)
Donde:
i: representa la columna “i” en la tabla 4.1.
(9): representa los datos del computador de referencia.
La misma relación (4.1) fue empleada para calcular los valores de la columna 7 (cambiando int por fp).
Los resultados extraídos de [51] son los mostrados en la tabla a continuación:
Tabla 4.2. Ranking usando el Ecuaciones Lineales [51].
Al igual que en la tabla 4.1, la primera columna de la tabla 4.2 muestra los nombres comerciales de los
computadores a evaluar. En los casos en que sólo se disponía de la información del procesador, se tomó
el peor rendimiento (mín) y el mejor (máx) de sistemas que emplean procesadores de la misma
LinP TPP
N=100 N=1000 N=100 N=1000 pick
486 Dx2 /66 2.4 - - 0.00356 - -
HP 9000/720 18 36 50 0.02667 0.02584 0.01471
HP 9000/735 41 120 198 0.08192 0.08615 0.05824
Sun Ultra 2 2200 114 117 500 0.16889 0.08399 0.14706
P- 200 Mhz 38 - 200 0.07592 - 0.05882
HP C160 140 421 640 0.20741 0.30223 0.18824
P4 - 1.5Ghz 500.5 1133 2250 0.74148 0.81335 0.66176
P4 - 1.6Ghz 363 1393 3400 0.53778 1 1
Nombrerank
pick
40
característica y velocidad. Los márgenes de error tomarán en cuenta estas diferencias. Las columnas 2, 3
y 4 muestran los MFlops promedio registrados para los tres “benchmarks” antes mencionados. El ranking
lineal en este caso fue calculado sencillamente como el cociente entre la puntuación del computador y la
máxima entre los computadores para la misma operación. Los resultados pueden verse en las columnas
5, 6 y 7 de la tabla 4.2.
Finalmente, los dos benchmark sintéticos Dhyrstone y Whetstone, sirven como una tercera referencia
para ampliar los márgenes de error y tratar así de asegurar la certeza de los resultados y la validez de las
comparaciones. Los siguientes resultados fueron obtenidos mediante el uso del programa ©SYSoftware
Sandra 2004.2.9.104:
Tabla 4.3. Ranking usando Benchmark Sintéticos [53], [54].
Finalmente, de las tablas 4.1 – 4.3 se puede obtener la siguiente clasificación de los rendimientos
promedio y la desviación estándar para los diversos computadores empleados en la bibliografía referida
al UC. Los detalles del cálculo se encuentran en [3]. La tabla 4.4 a continuación muestra estos resultados:
Tabla 4.4. Factores de ponderación.
La columna 2 muestra el número de procesadores del PC o Workstation. La columna 3 la velocidad del
reloj de cada procesador. “Relac Vel.” es el cociente entre la velocidad del procesador actual y la del más
Dhrystone ALU Whetstone rank rank
(MIPS) (MFLOPS) MIPS MFLOPS
486 Dx2 /66 83 68 0.020 0.057
P- 200 Mhz 450 268 0.109 0.226
P4 - 1.5Ghz (min) 3768 1019 0.914 0.861
P4 - 1.6Ghz 4121 1184 1 1
Nombre
Proc Clock Relac AVG
# (Mhz) Vel. (pu) (pu) %
486 Dx2 /66 1 66 0.04125 0.027 0.028 102.0
HP 9000/720 1 50 0.03125 0.021 0.009 44.8
HP 9000/735 1 99 0.06188 0.069 0.004 5.9
P-200Mhz 1 200 0.125 0.10182 0.05799 57.0
Sun Ultra 2 2200 2 200 0.125 0.152 0.047 30.6
HP C160 1 160 0.1 0.224 0.048 21.6
P4 - 1.5Ghz 1 1500 0.9375 0.849 0.130 15.4
P4 - 1.6Ghz 1 1600 1 0.934 0.175 18.7
NombreError
41
rápido (en este caso el reloj más veloz es de 1600Mhz). La columna 4 es el factor de ponderación lineal
promedio junto a su desviación estándar (en por unidad y en porcentaje). Como puede observarse, los
márgenes de error correspondientes a computadores cuyo único dato disponible era el procesador son
muy amplios.
Este ranking será empleado como único factor de ponderación de los tiempos obtenidos en los ejemplos
numéricos. Quiere decir que serán totalmente ignorados los siguientes aspectos también influyentes en
los tiempos de ejecución: eficiencia del algoritmo, lenguaje de programación, expansiones y/o mejoras
de hardware realizadas postventa.
4.2.2 Tiempos de Ejecución
En la Tabla 4.5 y Tabla 4.6, presentadas a continuación, se muestran los tiempos de ejecución que fueron
requeridos por cada metodología para solucionar el UC de distintas dimensiones, multiplicados por los
factores de ponderación mostrados en la tabla 4.4 del presente trabajo.
Tabla 4.5. Tiempos de Ejecución Ponderado (en segundos) Metodologías “Rápidas”.
Tabla 4.6. Tiempos de Ejecución Ponderados (en segundos) Metodologías “Lentas”.
ALR-APP ALR-BCD EPL[4] DP [20] LR [20] CLP [20] LR [6]
P4 - 1.6Ghz P-200Mhz
10 0.412 0.515 0.672 0.162 0.108 0.081
20 1.037 1.770 2.774 0.189 0.379 0.135
30 1.463 1.210 0.460 0.649 0.189 1.094
40 2.744 2.487 11.114 0.730 0.433 0.270 2.089
50 4.466 4.369 1.217 0.514
60 5.793 8.156 21.481 1.298 1.163
70 7.469 15.236 1.541 1.704 3.979
80 10.152 22.025 41.468 1.271 2.218
90 13.917 11.181
100 22.759 16.693 60.241 5.669
Sun Ultra 2 2200 [9] 486 Dx2 /66Unidades
LRGA [7] BCGA [21] ICGA [23] EP [24] ELR [13] DPLR [13]
486 Dx2 /66 HP 9000/720 P4 - 1.6Ghz HP C160
10 14.0 4.6 6.9 22.4 3.4 90.5
20 31.0 15.2 20.9 76.2 13.4 250.6
40 58.5 55.8 54.5 263.5 43.6 1005.8
60 65.3 120.9 109.6 507.9 94.7 2681.4
80 91.5 207.7 164.4 803.0 175.2 7080.3
100 109.4 346.3 226.5 1371.3 289.2 10424.7
UnidadesP4 - 1.5Ghz
42
Las figuras en Ilustración 4.1 e Ilustración 4.2, presentadas a continuación, muestran gráficamente los
resultados presentados en las tablas anteriores. Márgenes inferiores y superiores representan el error
según lo expuesto en la Tabla 4.4.
Ilustración 4.1. Márgenes de Ejecución. Metodologías Rápidas.
Ilustración 4.2. Márgenes de Ejecución. Metodologías Lentas.
Nótese la diferencia de escala de los ejes de las coordenadas (eje “y”) en cada gráfico. Haciendo una
simple comparación de la Ilustración 4.1, comparada a la Ilustración 4.2, es posible observar que los
tiempos de ejecución “normalizados”, incluyendo los amplios márgenes de error, de los métodos
matemáticos como la Relajación Lagrangeana, Branch-and-Bound o Programación dinámica, resultan en
43
el orden de 0-30 segundos, mientras que la mayoría de las meta-heurísticas se encuentran en el rango 0-
500 segundos.
Esta comparación estandarizada de rendimientos publicados en la bibliografía del UC es realizada por
primera vez en el presente trabajo y reafirma por qué LR y MIP (métodos matemáticos) son los de
mayores aplicaciones prácticas.
4.2.3 Calidad de las Soluciones
Medir la calidad de las soluciones es también una tarea difícil y los márgenes de error asociados son
también amplios. Las dificultades principales son las siguientes: no todos los resultados se refieren al
mismo ejemplo numérico; no siempre se dispone del criterio de convergencia. Sin embargo, existe un
número importante de publicaciones citadas a continuación en las que se dispone del ahorro en (%) con
respecto a otra metodología de referencia. La muestran algunos resultados del ahorro empleando otra
metodología distinta a la relajación lagrangeana.
Ilustración 4.3. Ahorro relativo en (%) de las diversas metodologías usando la Relajación Lagrangeana
LR como referencia.
Con la excepción de CLP y DP tomados ambos de [34], todos los ahorros presentados en esta sección
[20], [22], [27], [38], [40] pertenecen al mismo ejemplo numérico. De manera que existe un margen de
44
error para DP y CLP en la Ilustración 4.3, pero para el resto la comparación es directa. Todos los datos
para resolver este ejemplo común se encuentran en [55].
4.2.4 Tiempo vs. Optimalidad
Los datos requeridos para realizar el gráfico de la Ilustración 4.4 provienen de los resultados presentados
en las secciones 4.2.2 y 4.2.3, extrayendo de ellos los tiempos ponderados y el ahorro respecto a LR, para
una dimensión del problema equivalente a 38-40 unidades. Estas dimensiones son aproximadas a las
unidades candidatas para el despacho del Sistema Interconectado del Norte Grande [56] (excluyendo las
combinaciones producidas por los modos de operación de los ciclo combinados y combustibles
alternativos), por lo que la presente comparación, mostrada en resumen en la Ilustración 4.4 es la
primera comparación bibliográfica “normalizada” realizada para el SING.
Ilustración 4.4. Tiempo y Ahorro de las Distintas Metodologías para un problema de 38 unidades.
Lamentablemente no se disponían de especificaciones ni del computador, ni del ahorro respecto a
alguna otra publicación en metodologías que suponen un ahorro importante como [43], [44], [46]. La
información “Power PC” en [43], [44] resultaba muy escasa para darle un valor en el ranking. Los
resultados de SA en [42] fueron obtenidos en un computador IBM de 8Mhz. La comparación está fuera
de orden para este caso.
45
4.2.5 Análisis de Resultados
A pesar de la amplitud de los márgenes de error utilizados, los gráficos que se construyeron en la sección
4.2.2 muestran el aumento los tiempos de ejecución para los métodos meta-heurísticos y las mejoras a
la relajación lagrangeana. Nótese que, inclusive, tuvieron que dividirse en dos gráficos apartes el set de
resultados, de tal forma que el ajuste de escala permitiera visualizar todos los resultados.
Evidentemente, son varios órdenes de magnitud mayor el performance de los algoritmos en Ilustración
4.2 respecto a los algoritmos en la Ilustración 4.1. De igual forma, se observa la dificultad generalizada de
los métodos para mantener la promesa de crecimiento de los tiempos de ejecución en forma lineal
respecto a las dimensiones del problema.
En la sección 4.2.3 se mostró también que para estos ejemplos pequeños ninguna de las metodologías
pudo superar el 1% de ahorro. Lamentablemente, la falta de información no permitió la inclusión de [43]
ni [44] los cuales prometen ahorros entre 0.79%-2.1% y 1.05-2.15%, respectivamente. En esta revisión la
relajación lagrangeana probó ser el método más eficiente para resolver el UC. Mejorar tan solo un 0.7%,
la solución que ésta entrega puede costar, de acuerdo al resultado para las dimensiones 38 unidades,
hasta 3000% del tiempo de ejecución si se intenta con otra metodología. Por supuesto que ese 0.7%
puede representar varios millones de dólares en ahorro para las empresas del sector.
4.3 Comparaciones Experimentales
4.3.1 Ejemplo sintético
Para las simulaciones presentadas a continuación se elaboró un ejemplo sintético, construido a partir del
modelo de confiabilidad RTS-96 del IEEE, abreviaturas del inglés “Reliability Test System - 96” presentado
en [4] y disponible resumidamente para el pre-despacho en [57]. La forma de construir las formulaciones
básicas de pre-despacho fue tomada textual de la propuesta en [57]. El ejemplo base consta de 10
unidades, escogidas al azar por sorteo de una variable aleatoria de distribución uniforme. Los datos y
detalles topológicos del ejemplo sintético se muestran en el Anexo E.
46
4.3.1.1 Parámetros de sintonización
A continuación se muestran los resultados de las simulaciones para distintos valores de la longitud del
paso “h” escogida para el método del subgradiente (ver Anexo C).
Longitud
del Paso h
Tiempo
Total (seg) Iteraciones
Tiempo
Datos
(seg)
Tiempo
Pre-solver
(seg)
Gap Dual
(%)
8 4.876 180 0.17 0 0.0087
12 8.946 317 0.188 0 0.0081
4 12.278 277 0.188 0 0.0089
7 1.329 66 0.172 0 0.0099
6.8 4.237 162 0.187 0 0.0095
20 8.529 287 0.204 0 0.0082
Tabla 4.7. Parámetro fundamental de sintonización.
Nótese que las variaciones del número total de iteraciones se encuentran en el rango 31766 para
variaciones del parámetro h 204 . Los tiempos de ejecución por su parte, son proporcionales al
número de iteraciones. Se observó que el algoritmo en todos los casos convergió a la misma solución
primal cuya función objetivo fue de 3.7175E+05 [us$]. Sin embargo no así el dual, evidenciado por las
diferencias de los valores del gap dual. La Ilustración 4.5 permite visualizar la dispersión de los resultados
evidenciando la sensibilidad del parámetro h sobre el rendimiento del método.
H vs Tiempo Ejecucion Prog. Dual
0
2
4
6
8
10
12
14
4 9 14 19Longitud Paso (h)
Tie
mp
o (
seg
)
Tiempo Ejecucion Prog. Dual vs Iteraciones
Error= 0.8152
0
2
4
6
8
10
12
14
0 100 200 300 400Iteraciones
Tie
mp
o (
seg
)
47
Ilustración 4.5. Efecto de la longitud del paso y la relación “lineal” iteraciones-tiempo.
También se observa que, efectivamente, el esfuerzo computacional en cada iteración del algoritmo de
relajación lagrangena es constante, lo que se ve reflejado en la proporción lineal que guarda con los
tiempos totales de ejecución.
4.3.1.2 Efecto del número de unidades
A continuación se muestran los resultados para problemas de pre-despacho con un número de unidades
crecientes en el rango 10010 . Nuevamente, se realizó una muestra aleatoria de las unidades
disponibles para generar cada una de las instancias. La demanda se escaló proporcionalmente con la
capacidad instalada total de las unidades (ver detalles del método de selección en [57]).
Unidades Tiempo
Total (seg)
F. Obj
(us$) Iteraciones
Gap Dual
(%)
Longitud
del Paso
10 2.12 3.72E+05 89 0.0099 7
20 16.717 5.31E+05 130 0.0014 7
40 0.843 1.06E+06 5 0.0054 7
60 3.91 1.66E+06 3 0.0047 7
100 0.704 2.64E+06 3 0.0042 7
Tabla 4.8. Parámetro fundamental de sintonización.
La Ilustración 4.6 permite visualizar nuevamente la dispersión de los resultados. Sin embargo, se
evidencia que la relajación lagrangeana es, en definitiva, un atractivo método para resolver problemas
de grandes dimensiones. Estos resultados serán debidamente comparados más adelante con los
obtenidos por un método de solución primal ejecutado por una conocida rutina comercial.
48
Ilustración 4.6. Respuesta ante número variable de unidades
Los resultados corroboran que, una particularidad de LR, resulta en una reducción del gap dual en
proporción a las dimensiones del problema [19].
4.3.1.3 Efecto del número de períodos de tiempo del horizonte de evaluación
Se muestran resultados simples para períodos de evaluación en el rango 1684 hrs. A pesar de ser
periodos probablemente “ficticios” para la planificación de la operación de corto plazo, pueden ser
reales para proyectos de planificación de mediano y largo plazo. En todo caso, se pretende ilustrar la
respuesta del método ante los incrementos en esta dimensión (poco tratado en la bibliografía). Para este
caso nuevamente se empleó el ejemplo básico de 10 unidades.
Longitud
del Paso Periodos
Tiempo
Total (seg)
Tiempo
Dual (seg) F. Obj (us$) Iteraciones
Gap Dual
(%)
7 4 16.954 0.713 3.2881E+04 150 0.03
1.5 4 15.094 0.698 3.2881E+04 150 0.013
4 12 48.343 1.668 1.5173E+05 150 0.0167
0.8 12 49.212 1.784 1.5173E+05 150 0.0144
7 24 45.422 1.6433 3.7175E+05 66 0.0099
7 168 1488.4 52.385 2.7921E+06 300 0.08511
Tabla 4.9. Desempeño del algoritmo - número de períodos de tiempo
Los valores de la longitud del paso mostrados fueron los mejores obtenidos para 5 ensayos
experimentales. El número de iteraciones en este caso fue reducido en ciertos casos a 150. A pesar de
Escalabilidad del Número de Unidades
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 20 40 60 80 100Número de Unidades Generadoras
Tie
mp
o (
seg
)
49
que, en ocasiones, el algoritmo se detuvo por el número máximo de iteraciones, los resultados se
consideran comparables por las similitudes de las brechas duales obtenidas. La Ilustración 4.7 muestra el
tiempo de solución del dual en función de los períodos de tiempo.
Ilustración 4.7. Respuesta ante número variable de períodos de tiempo
Si bien la evaluación anterior demostró una de las fortalezas de la relajación lagrangeana, ésta en cambio
mostró quizás una de sus debilidades. La respuesta ante el número creciente de períodos fue, en este
caso, no-lineal con un marcado crecimiento al final (168hrs). En el caso del UC semanal, LR requirió un
tiempo de ejecución 30 veces mayor que para el problema diario (dimensiones del problema UC semanal
es 7 veces mayor al diario). Además, se registró una mayor dificultad para encontrar soluciones factibles
haciendo necesario el ajuste reiterativo del parámetro “h” para cada uno de los casos en estudio como
evidencia la Tabla 4.9.
4.3.1.4 Efecto de las restricciones de rampa y reserva
A continuación se muestran los efectos de la inclusión de las restricciones de acoplamiento “reserva en
giro”, sobre el desempeño general del algoritmo (y la solución final). El valor de la reserva en giro fue
escogido arbitrariamente al 5% y 10% del total de la demanda en cada uno de los períodos de tiempo.
0
10
20
30
40
50
60
0 24 48 72 96 120 144 168
Tie
mp
o (
seg
)
Divisiones de tiempo (horas)
Tiempo Ejecucion Vs Horizonte Evaluación
50
Longitud
del Paso
Tiempo
Total (seg) F. Obj (us$) Iteraciones
Gap Dual
(%)
Reserva
Mínima (%)
7 1.62 3.7175E+05 66 0.0099 5
8 4.408 3.7175E+05 57 0.0099 5
10 1.282 3.7175E+05 51 0.0099 5
11 2.153 3.7175E+05 87 0.0099 5
5 3.55 4.0389E+05 150 0.0939 10
1.5 3.74 4.0730E+05 150 0.107 10
10 3.75 4.2788E+05 150 0.1803 10
Tabla 4.10. Efecto de la restricción de reserva en giro
Para este caso, el mejor resultado fue obtenido con h=10. Nótese que sin la restricción de reserva, los
mejores resultados se habían obtenido para h=7. Por lo tanto, no existe un patrón, al menos evidente, de
la obtención del mejor valor de este parámetro. Por ello, se confirma que el mejor procedimiento es
experimental [27]. Como era de esperarse, la asignación de reserva del 10% encarece notablemente la
solución final porque se requiere el despacho de la segunda unidad U197.
Para demostrar los efectos de la inclusión de las rampas en el mismo ejemplo, se realizaron las
simulaciones respectivas para ambos casos. Se decidió mantener constante el parámetro de
sintonización (h=10) para una comparación directa.
Longitud
del Paso
Tiempo
Total (seg) F. Obj (us$) Iteraciones
Gap Dual
(%)
Reserva
(%)
10 3.96 4.2788E+05 150 0.177 10
10 1.457 3.7175E+05 57 0.0099 5
Tabla 4.11. Efecto de las tasa de toma de carga
En la Ilustración 4.8 mostrada a continuación se muestran los resultados obtenidos de la Tabla 4.11. Los
puntos de color amarillo son los tiempos obtenidos con la restricción de reserva en giro activa y, en
consecuencia, los rojos son aquellos obtenidos al resolver el problema sin restricción de reserva.
51
Ilustración 4.8. Efecto de las restricciones de reserva y de rampa
Los tiempos de ejecución se ven reducidos dado que las restricciones de rampa restringen el espacio de
soluciones durante el proceso de programación dinámica de las unidades, lo que reduce el tiempo de
ejecución del dual.
4.3.1.5 Comparaciones con un modelo comercial MIP
A continuación se presentan los resultados del algoritmo desarrollado con aquellos obtenidos mediante
el empleo de una rutina comercial CPLEX [49]. Este es un código de optimización que puede resolver
problemas generales de programación entero-mixta haciendo uso del método Branch-and-Cut1. La
explicación y validez de este método escapa de los objetivos del presente trabajo. Los fundamentos del
método se pueden encontrar en la referencia [48] y algunos detalles de la implementación en CPLEX, (así
como las heurísticas subordinadas que pueden ser invocadas) en [49]. El branch-and-cut de CPLEX es
reconocido como uno de las mejores opciones comerciales de programación entero-mixta en cuanto a la
robustez y desempeño. Además, ha sido evaluado exitosamente en aplicaciones de UC de dimensiones
reales (sistema PJM) en [5]. Por tanto, las comparaciones permitirían:
Validar los resultados con aquellos obtenidos por un software desarrollado.
1 Se denomina brach-and-cut a la generalización del conocido método de programación Branch-and-Bound en
donde se agregan ciertas desigualdades (planos cortantes) a la relajación LP.
Tiempos de Ejecución
0
2
4
6
8
10
12
14
4 9 14 19Longitud Paso (h)
Tie
mp
o (
seg
)
Tiempos de Ejecución
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Sin rampas Con rampas
52
Comparar el desempeño y efectividad del método de relajación lagrangeana para resolver el pre-
despacho con el mostrado por el método de solución primal branch-and-cut.
La Tabla 4.12 muestra los resultados de las simulaciones usando el CPLEX para formulaciones básicas de
pre-despacho con un número de unidades en el rango 10-100(se usaron los mismos datos y modelo de
pre-despacho que para los casos analizados en la sección 4.3.1.2). Inmediatamente después, en la tabla
4.13, se muestran los resultados obtenidos con la relajación lagrangeana.
Unidades Tiempo
Total (seg) F. Obj (us$) Iteraciones
Tiempo
Datos
(seg)
Tiempo
Pre-solver Gap (%)
10 3.84 3.7175E+05 427 0.41 0.36 0.01
20 24.31 5.3594E+05 1204 0.53 0.95 0.07
40 5.19 1.0626E+06 910 0.43 1.31 0
60 6.18 1.6611E+06 1256 0.41 2.16 0.01
100 727.63 2.6367E+06 19128 0.68 3.33 0.01
Tabla 4.12. Resultados ejemplos sintéticos con MIP (CPLEX)
Unidades Tiempo
Total (seg) F. Obj (us$) Iteraciones
Gap Dual
(%)
Longitud
del Paso
10 2.12 3.7175E+05 89 0.0099 7
20 16.717 5.3083E+05 130 0.0014 7
40 0.843 1.0650E+06 5 0.0054 7
60 3.91 1.6636E+06 3 0.0047 7
100 0.704 2.6393E+06 3 0.0042 7
Tabla 4.13. Resultados ejemplos sintéticos del modelo de Relajación Lagrangeana
Los resultados muestran una paridad de ambos métodos tanto en la calidad de la solución como
respecto al esfuerzo computacional requerido. La ilustración 4.9 a continuación, compara gráficamente
53
los resultados de los tiempos de ejecución y los valores de la función objetivo. La ilustración 4.10
muestra los resultados de las iteraciones requeridas por cada uno de los métodos y, finalmente, la
ilustración 4.11 compara la calidad de la solución obtenida por el branch-and-cut del CPLEX, graficando la
diferencia o ahorro (resta de los valores de la función objetivo) entre ambas soluciones.
Ilustración 4.9. Comparación Tiempos de Ejecución y Calidad de la Solución en función del número de
unidades generadoras
Ilustración 4.10. Comparación del número de Iteraciones en función del número de unidades
generadoras
54
Ilustración 4.11. Comparación del ahorro obtenido al usar el CPLEX respecto a LLR
Las Ilustración 4.9, la Ilustración 4.10 y la Ilustración 4.11, en conjunto con la Tabla 4.12 y Tabla 4.13,
demuestran empíricamente que ambos métodos resuelven el pre-despacho obteniendo soluciones de
calidades muy similares. Se valida de esta forma el método y la rutina de programación en el Capítulo 3
por comparación.
Adicionalmente, se observa que la calidad de las soluciones del CPLEX fueron en general superiores para
problemas de 40, 60 y 100 unidades. Sin embargo, los tiempos de ejecución e iteraciones necesarias
fueron notablemente más elevados. Se observa además el “buen” comportamiento de la relajación para
dimensiones mayores, porque las curvas del número de iteraciones disminuyeron con la dimensión del
problema. Además, se mantuvo constante la calidad de la solución y, en los casos mencionados, fueron
muy similares a las obtenidas por el branch-and-cut. Quizás lo que no pueda observarse en los gráficos es
el tiempo que toma en determinar el valor de la mejor longitud del paso (h=7) requerido previamente
por la relajación. Sin embargo, una vez obtenido experimentalmente, el desempeño de la metodología
ha sido inclusive superior, comparativamente, con el mostrado por el CPLEX.
55
4.3.2 Comparación estadística
4.3.2.1 Introducción
En la bibliografía de optimización y métodos heurísticos, se han propuesto completas guías para la
elaboración y evaluación de experimentos computacionales. Desafortunadamente, difícilmente son
seguidas para la elaboración de los reportes en la literatura. En [58] se dan pautas para la medición del
rendimiento de experimento con heurísticas. De acuerdo a esta referencia, las comparaciones deberían
concluir acerca de: resultados computaciones, robustez y velocidad de convergencia. Las comparaciones
deben venir acompañadas de las bases sobre las cuales fueron desarrolladas, por lo que las conclusiones
pueden significar poco sin contar al menos con descripción del código, detallada especificación
computacional, valores de sintonización. En [59] se mencionan y analizan las metodologías de creación
de casos de prueba. Hay tres variantes usuales de creación de casos: casos prácticos (realismo),
problemas estándar (compasiones directas) y aleatorio (sintéticos). Los buenos generadores de casos de
prueba deben controlar los atributos de los problemas de optimización: número de variables y
restricciones, distribución de los coeficientes función objetivo y restricciones, términos constantes de
restricciones, dispersión de la matriz de restricciones y correlación entre función objetivo y cada
restricción. Las fuentes de obtención de casos de pruebas, según [60] son las siguientes: problemas
reales, variantes aleatorias de casos reales, librerías públicas y generador aleatorio de casos. Hay tres
formas de creación de problemas sintéticos [59]: generación de coeficientes en forma aleatoria,
mediante correlación implícita y correlación explícita. Los resultados de la comparación analítica de los
métodos de creación de casos en [59] sugiere, para la creación de casos sintéticos, el uso de la
correlación explícita porque resulta la más adecuada para la selección aleatoria multivariable.
4.3.2.2 Motivación
De acuerdo con [60], existen las siguientes alternativas para la creación de casos de prueba:
56
Set de datos reales: Presentan como principalmente ventaja la posibilidad de relacionar la capacidad
del algoritmo para resolver instancias reales. Sin embargo, los resultados obtenidos pueden ser caso-
específicas.
Variaciones aleatorias de casos reales: es una modalidad poco usada en la bibliografía. Sin embargo,
justamente logra superar la limitación del uso de casos específicos reales, al brindarle generalidad a
los resultados.
Librerías públicas de casos de prueba: como principal ventaja se tiene que las librerías de uso público
es posible encontrar una variedad de soluciones y de tal forma que se puede validar y contrastar los
resultados versus una variedad de métodos y heurísticas. Además, puede que las instancias hayan
sido diseñadas cuidadosamente bajo ciertos estándares, de tal forma que la responsabilidad por
crear casos interesantes puede ser delegada. La principal desventaja es que no siempre hay
disponible librerías para los problemas que se desea resolver, i.e existe una abundante variedad de
librerías para el problema de TSP o MKP, pero difícilmente para otros problemas de optimización
como el UC; y, además, pueden no ser útiles para investigar algunos factores de incidencia.
Instancias aleatorias: presentan una variedad de fortalezas:
Las características de los problemas están bajo el control explícito del investigador.
Si el generador es documentado, las características de las instancias son conocidas. En contraste,
como ocurre con algunas las librerías estándares, los orígenes de los casos pueden ser
desconocidos.
Una vez propuestos, no existen límites sobre la cantidad de instancias que es posible generar.
Sin embargo, no están exentos de dificultades. Aunque en [59] y [60] presentan por separado una lista
de los “pitfall” de los generadores aleatorios, en algo coinciden: si no existe un control sobre la
correlación entre los valores y distribución de los coeficientes de la matriz de restricciones, entre ellos y
con la función objetivo, las instancias generadas pueden alejarse demasiado de la realidad o pueden
57
terminar siendo poco representativas de los casos reales para los cuales se plantea el algoritmo de
solución en estudio.
Los estudios prácticos tienen que limitarse a un espacio acotado de instancias de un determinado
problema de optimización. La “sobre-generalización” de un problema, hará que el experimento peligre
en caer en la trampa del teorema no-free-lunch [61]. No-free-lunch consiste en una serie de teoremas
que demuestran estadísticamente que ningún algoritmo es mejor que otro sobre todas las posibles
instancias de un problema de optimización. Cada instancia de un problema tiene asociado un valor de la
función objetivo. Si llamamos A al conjunto de funciones y B a un conjunto particular de funciones a ser
probadas, se define A-B como el conjunto no testeado. El teorema NFL implica que si algoritmo K es
mejor en promedio que otro algoritmo Z sobre el set A entonces el algoritmo Z será mejor en promedio
que K sobre las instancias A-B. El NFL demuestra que la evaluación comparativa es una “suma a cero”.
Considerando el NFL, las comparaciones sólo son significativas si se puede asumir que el set de casos
prueba usado para las comparaciones son realmente representativas del subconjunto de problemas que
se intenta resolver.
En la bibliografía del UC han sido empleadas distintas técnicas para la creación de casos de prueba, que
difícilmente pueden enmarcarse en las alternativas bibliográficas citadas anteriormente. De acuerdo con
[57], los ejemplos numéricos de UC que pueden ser comparables, son una forma básica del modelo
propuesto en [17], la cual consiste en repetir unidades idénticas al conjunto básico de 10 unidades,
escalando la demanda por un factor de proporcionalidad.
4.3.2.3 Generador de instancias de UC
El método de generación de casos de UC que se presenta a continuación, cuyas instancias creadas
deberán respetar la estructura descrita en el Capítulo 2, intenta rescatar las bondades de cada una de las
alternativas de generación de casos expuestas en 4.3.2.1, intentando generalizar tanto como sea posible
las posibles instancias del UC.
Los principales fundamentos del generador de casos son los siguientes:
58
1. Realismo: Todas las unidades empleadas por el generador de instancias se basan en las
características técnicas de las unidades en la referencia [4]. El comité de confiabilidad, Reliability Test
System Task Force, ha propuesto y mejorado continuamente el modelo sintético RTS versión 96
específicamente para estudios como el que se desarrolla en el marco de la presente tesis. El problema
que surge con el RTS-96 es el escaso número de unidades (sólo nueve), por lo que los autores para poder
generar instancias de mayores dimensiones han tenido que “repetir” los datos para otras semejantes.
Como ser verá en el próximo punto, esto puede ser mejorado haciendo uso de algunas variables
aleatorias.
2. Diversidad de las unidades generadoras: para generar variedad, se emplearán dos métodos:
Diversidad tecnológica: Mediante un sorteo aleatorio de distribución uniforme, se escogerá una
de las nueve unidades disponibles en [4], la unidad candidata “j”.
Diversidad de características propias (Parámetros técnicos): a la candidata “j” seleccionada
anteriormente, se le sumará vectorialmente una variable aleatoria cuya función de distribución
de probabilidad estará dada por una función gaussiana, centrada en el parámetro del RTS (i.e.
=0) y cuya dispersión será controlada y evaluada durante el presente análisis.
3. Diversidad del requerimiento de energía: En función de las curvas de demandas en la misma
referencia, se realizará un sorteo aleatorio de distribución uniforme para escoger alguna de las
alternativas de la forma normalizada (en p.u.) de la curva de demanda. La curva de demanda se ajusta a
la capacidad de generación mediante un factor de adaptación (f). Este factor también es parte de las
variables controladas del experimento.
4. Correlación explícita: Los coeficientes de la matriz de restricciones serán dispuestos acorde con las
ecuaciones (2.1)-(2.8), manteniendo la consistencia de la matriz de restricciones con las características
de un problema de UC. Los valores de los coeficientes no-nulos de la matriz de restricciones serán
determinados por los sorteos aleatorios de tecnologías y diversidad anteriores.
59
El proceso de creación de casos basado en los fundamentos anteriores se resume en la Ilustración 4.12
mostrada a continuación:
Ilustración 4.12. Generador de instancias de UC. Ejemplo selección unidad U155 RTS-96.
En la Ilustración 4.12 se puede observar que el proceso parte con la información del RTS-96 en [4]. Esta
distribución uniforme, o mediante probabilidades discretas, puede estar relacionada con alguna zona
geográfica en particular donde la distribución de los recursos e insumos sea conocida o se desee evaluar.
Por ejemplo, en la siguiente tabla se muestran las distribuciones para ambos sistemas interconectados
en Chile y Estados Unidos.
VARIABLE ALEATORIA.
RUIDO GAUSSIANO (:
Donde es un vector aleatorio cuya función de distribución de probabilidad viene dada por:
U155
RTSUj PP 155
max
*_155
max
SORTEO ALEATORIOSelección tipo modelo.
Probabilidades (SING):CARBON =50%FUEL OIL (CT)=10%FUEL OIL (ST)=39%HIDRO=1%NUCLEAR=0%
U76U350
CARBON
U12
U197U100
FUEL OIL
U50 U400
HIDRO
U20
NUCLEAR
U155_j
%20,10,5,0
0
2
1)(
2
2
2
x
exf
RTSUjU PP 155
min
*_155
min
RTSU
up
jU
up TT 155
min
*_155
min
RTSU
down
jU
down TT 155
min
*_155
min
RTSU
down
jU
down IHRIHR 155
min
*_155
min
RTSU
startCost
jU
startCost SS 155*_155
U155_j*
U155_j*
Unidades RTS-96
60
Tecnología SING [Chile] [56] SIC [Chile] Estados Unidos [62]
Carbón 50% 9% 44%
Diesel-Fuel Oil-Gas 49% 38% 19%
Hidro 1% 53% 20%
Nuclear 0% 0% 17%
Tabla 4.14. Distribución aproximada principales recursos energéticos SING (norte Chile), SIC (centro
Chile) y USA.
Una vez realizado el sorteo y seleccionada la unidad “prototipo”, con el objeto de lograr la diversidad,
sus parámetros son “alterados” al sumarle un valor producto de una muestra aleatoria de distribución
normal (4.2):
[ ] ( )
√ ( )
(4.2)
Donde =0 y es la variable de control del experimento. En efecto, será estudiado el resultado sobre los
tiempos de ejecución y calidad de la solución para variaciones discretas en el rango [0-20%]. Los datos de
las unidades para todos los casos estarán entonces “centrados” en los parámetros del RTS-96 en la Tabla
4.15.
61
Unidad
Fuel Fuel Price2 Start Fuel
Price2,3 Ramp
Hot
Start
Cold
Start
Incr.
Heat4
mills/kBTU mills/kBTU MW/min MBTU MBTU Btu/kWh
U12 Oil #6 6.720 6.720 1 38 68 13219.00
U20 Oil #2 6.192 6.192 3 5 5 14427.00
U50 Hidro 0.000 0.000 0 0 0 0.00
U76 Coal 1.623 1.623 2 596 596 13311.00
U100 Oil #6 6.720 6.720 7 250 566 9877.00
U155 Coal 1.623 6.192 3 260 953 9381.00
U197 Oil #6 6.720 6.720 3 443 775 9620.00
U350 Coal 1.623 6.192 4 1915 4468 9768.00
U400 LWR 5.100 0.000 20 0 0 9436.00
Tabla 4.15. Datos del sistema RTS-96 [4].
Finalmente, la curva de demanda es obtenida mediante el simple proceso a continuación:
En función de los porcentajes de distribución horaria, diaria y semanal de la demanda máxima anual
en [4], se construyen las curvas diarias de demanda (con resolución horaria) para cada uno de los
365 días de un año calendario.
Se realiza un sorteo aleatorio con probabilidad uniforme, donde cada curva de demanda tiene una
probabilidad de ser seleccionada igual a 1/365.
Cada valor horario de la curva de demanda seleccionada , es multiplicada por la capacidad
instalada de generación de la instancia a la cual pertenece y multiplicada a su vez por un factor de
escalamiento f del rango [0,1]. Es decir, ∑ . Este factor es otra de las variables
2 Los valores en esta columna no pertenecen al RTS-96. Estos valores fueron aproximadamente los vigentes durante
el año 2006 en el sistema SING según referencia [51]. 3 Por simplicidad, se asumió que el combustible durante el proceso de partida es igual al combustible de operación,
lo cual es conocido por no ser necesariamente iguales [57]. 4 Estos valores corresponden al punto de la curva IHR de mayor potencia de salida.
62
de entrada controladas del experimento. Evidentemente, el método descrito requiere que sea
ejecutado previamente el sorteo de las unidades candidatas.
De esta forma el modelo propuesto permite cumplir con lo siguiente:
Cumplir con las sugerencias en [58], teniendo precaución de evitar los “pitfall” de la generación
aleatoria señalados en [59] y [60].
Como se sugiere en [59], la diversidad de las instancias estará contralada por los parámetros de las
funciones de distribución: dispersión de tecnologías, dispersión del ruido gaussiano a los parámetros
operacionales de las unidades, número de unidades y coeficiente de adaptabilidad (f).
Desde el punto de vista de las curvas de costos marginales sistémicos, el generador de casos
permitirá evaluar en forma experimental el desempeño de los principales algoritmos para resolver el
UC, partiendo de una aguda curva escalonada -por la presencia de grandes grupos de unidades
iguales (caso dispersión nulo)- hacia una curva suavizada producto de la dispersión del IHR de las
unidades.
Estadísticamente, el valor esperado de los parámetros técnicos de las unidades de cada caso será
aproximado a una librería fundamentada y especializada para estudios de sistemas de potencia.
No hay límites de escalabilidad en cuanto al número de unidades. El aumento de las dimensiones no
distorsionará la representatividad del problema. Es decir, las instancias no se crean por repetición
como tradicionalmente ha sido empleado en la bibliografía del UC [57], evitando una estructura
ficticia por bloques simétricos en la matriz de restricciones (lo cual puede beneficiar/perjudicar
artificialmente a uno u otro método de solución).
El proceso es automático, por lo que no está sujeto a intervención involuntaria.
Las instancias no serán alejadas de la realidad siempre que los valores de dispersión sean razonables.
La matriz de restricciones tendrá en todo momento las características de dispersión y pesos propias
del UC, por el cumplimiento de (2.2)-(2.8).
La aplicación de estadísticas para el análisis de los resultados es directa [63].
63
En resumen, el generador de casos propuesto permitirá plantear, luego de aplicar análisis estadístico a la
variedad amplia de resultados de casos no alejados de la realidad, conclusiones acerca de la estabilidad
de los tiempos del MIP y podrá exponer, por primera vez en forma práctica, las debilidades intuitivas y
conceptuales usualmente relacionadas a la relajación lagrangeana.
4.3.2.4 Especificaciones
El proceso de creación y ejecución de casos fue automatizado mediante el uso de las siguientes
herramientas, desarrolladas también en el marco de la presente investigación:
Generador de instancias: Planilla Excel con Macros. Los datos de entrada son la Tabla 4.15 y los
parámetros controlados según 4.3.2.3.
Generador de casos relajación lagrangeana: Planilla Excel con Macros para la generación automática
de archivos de texto con formato de entrada para la rutina JAVA de relajación lagrangeana.
Generador de casos CPLEX (formato .lp): Página web programada en lenguaje PHP que, a partir de un
archivo de texto separado por comas, genera el archivo formato CPLEX lp.
UCOPT: Algoritmos de LR descrito en el Capítulo 3, programado en lenguaje JAVA y compilado con la
versión 6.0.
Todas ellas son de libre acceso y se encuentran disponibles en [64].
El proceso completo y los pasos se describen en la Ilustración 4.13 mostrada a continuación.
64
Ilustración 4.13. Proceso de creación, simulación y análisis de resultados de instancias sintéticas de UC.
El ambiente computacional también fue cuidadosamente reservado. Las especificaciones en detalle se
muestran en la Tabla 4.16. En cuanto a la sintonización del software requerido, la Tabla 4.17 muestra los
valores empleados para la relajación, mientras que la Tabla 4.18 muestra los parámetros configurables
del CPLEX.
Definir parámetros de distribuciones
Excel “Macro” de generación Selección de candidatas
IEEE RTS-96
Excel Macro generación de datos de
entrada UCOPT
Excel Macro generación de archivos
CSV
CPLEX_LP-file generatorPHP
http://powertools.awardspace.com/tools/ucinstance.php
CPLEX 10.5BRANCH & CUT
JAVA-Based UCOPTRELAJACION
LAGRANGEANA
RESULTADOSCOMPARACIONES
65
Característica Valor
Modelo Comercial Lenovo T400
Velocidad CPU (GHz) 2.53 GHz
Nº de procesadores 1 (doble core)
Memoria RAM 4 GB
Índice SPEC [50] 18.85
Dhrystone 1981,7
Whetstone 640,2
Sistema Operativo Windows 7
Versión JAVA 6.0
Tabla 4.16. Especificación del ambiente de simulación.
Parámetro Valor
Gap Dual 0.01%
Método subgradiente Paso constante
H (subgradiente) 0.9
Tiempo Máximo 10min
Despachos Económicos Programación lineal (Simplex). GLPK 4.8
Tabla 4.17. Parámetros de simulación UCOPT (Relajación Lagrangeana).
Parámetro Valor
Gap 0.01%
Prioridad Soluciones factibles.
Tiempo Máximo 10min
Método LP Simplex
Tabla 4.18. Parámetros de simulación CPLEX 10.5 (MIP).
De esta forma, se considera que la obtención de un gap menor al 0.01%, por cualquiera de las
metodologías, será considerado como el óptimo global del problema.
5 Indice “Base” SPEC 2006. Resultados corresponden al procesador Intel T9500, 2,60 Ghz en Dell Precision M6300.
Fue escogido por ser el procesador de características más similares.
66
4.3.2.5 Casos y simulaciones
Mediante el generador de instancias descrito en 4.3.2.3 se construyeron 480 casos de prueba
organizados de la siguiente manera.
f=0.3
Unidades 0% 5% 10% 20% Total
10 20 20 20 20 80
50 20 20 20 20 80
100 20 20 20 20 80
Total 60 60 60 60 240
Tabla 4.19. Número de casos de prueba para f=0.3
f=1.0
Unidades 0% 5% 10% 20% Total
10 20 20 20 20 80
50 20 20 20 20 80
100 20 20 20 20 80
Total 60 60 60 60 240
Tabla 4.20. Número de casos de prueba para f=1.0
Parámetro Valor Nº Casos
f 0.3 240
f 1 240
0% 120
5% 120
10% 120
20% 120
Unidades 10 160
Unidades 50 160
Unidades 100 160
Tabla 4.21. Resumen de casos disponibles para cada parámetro en estudio.
67
De esta forma el estudio permitirá concluir acerca de la adaptabilidad del sistema (nunca antes
estudiada en la bibliografía), la variedad (dispersión) de las características propias de las unidades
(tampoco estudiada en la bibliografía) y, por supuesto, del número de unidades.
4.3.2.6 Resultados y comparaciones
A continuación se presentan los resultados comparativos de las mejor soluciones factibles, tiempos de
ejecución, gap final y otros valores relevantes para el análisis de rendimiento de los métodos bajo
análisis, con sus respectivos gráficos y estadísticas, según sugerencias en [58].
SOLUCIONES FACTIBLES Y MEJOR SOLUCIÓN ENTERA:
Ilustración 4.14. Número de soluciones factibles en función del coeficiente de adaptabilidad (f)
MIP no necesita evaluar muchas soluciones factibles para problemas “fáciles” (capacidad muy por
encima de la demanda de energía). MIP consiguió 1501 soluciones factibles, lo que representa un 50% de
más soluciones factibles que LR. Además, evaluó en promedio 3.5 soluciones factibles por cada caso,
mientras que LR evalúa apenas 2.3 por caso. Se observa que cuando la dispersión de los parámetros es
cero, lo que implica que las unidades serán iguales, se ratifican los problemas para encontrar soluciones
SOLUCIONES FACTIBLES
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
f=0.3
f=1.0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
68
factibles cuando coexisten unidades iguales [15]. El problema es más grave mientras mayor sea la
capacidad disponible, debido a que se requieren apenas unas “pocas” unidades y éstas son iguales.
Ilustración 4.15. Número de soluciones factibles en función de la dimensión del problema (número de
unidades)
El número de soluciones factibles que evalúa LR crece en proporción casi lineal al número de unidades.
En forma global, el número de soluciones factibles del MIP, por su parte, se mantiene invariable ante las
variaciones de los parámetros de tamaño y dispersidad.
unidades=10
unidades=50
unidades=100
SOLUCIONES FACTIBLES
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 20
LR
MIP
69
Ilustración 4.16. Promedio valor función objetivo en función del coeficiente de adaptabilidad (f)
Ilustración 4.17. Promedio valor función objetivo en función de la dimensión del problema (número de
unidades)
MEJOR SOLUCIÓN ENTERA
f=0.3
f=1.0
0.0E+00
5.0E+05
1.0E+06
1.5E+06
2.0E+06
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
5.0E+05
1.0E+06
1.5E+06
2.0E+06
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
1.0E+05
2.0E+05
3.0E+05
4.0E+05
5.0E+05
6.0E+05
7.0E+05
8.0E+05
0 5 10 20
LR
MIP
unidades=10
unidades=50
unidades=100
MEJOR SOLUCIÓN ENTERA
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
3.0E+05
3.5E+05
4.0E+05
4.5E+05
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
2.0E+05
4.0E+05
6.0E+05
8.0E+05
1.0E+06
1.2E+06
1.4E+06
1.6E+06
1.8E+06
2.0E+06
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
5.0E+05
1.0E+06
1.5E+06
2.0E+06
2.5E+06
3.0E+06
3.5E+06
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
5.0E+05
1.0E+06
1.5E+06
2.0E+06
0 5 10 20
LR
MIP
70
Para cualquiera de las dimensiones analizadas, conforme se observa en la Ilustración 4.16 e Ilustración
4.17, la mejor solución entera que encuentra LR tiene una menor calidad (valor mayor de la función
objetivo en problema de minimización) que la arrojada por el optimizador entero-mixto. Estos resultados
son consistentes, lo que definitivamente permite dimensionar el sobrecosto esperado al utilizar LR. El
aumento de la dispersión beneficia ambos métodos, porque existen unidades de menor costo para
seleccionar para el despacho. Para las 480 instancias, MIP no logró arrojar la solución óptima (gap menor
al 0,01%) en apenas 8 de las 480 instancias analizadas (98.33% de efectividad al resolver los problemas).
En contraste, mediante el método LR por su parte, las soluciones aportaron garantías de optimalidad en
tan sólo 90 (18.75%) de las instancias analizadas.
(a) LR
(b) MIP
Ilustración 4.18. Número de soluciones óptimas
Quiere decir que resultará difícil mediante el método LR conseguir consistentemente soluciones de una
elevada calidad al problema de UC. En la Ilustración 4.18 se muestra el número soluciones óptimas para
las instancias resultas por ambos métodos en función del tiempo máximo de ejecución. Del gráfico, se
observa que al asignar los mismos recursos computacionales a ambos métodos, es mucho mayor el
número de casos resueltos por MIP (cuya solución es óptima) respecto a LR. El algoritmo LR se detuvo,
para el máximo tiempo de ejecución según la de las cuales solo el 18,75% de las soluciones cumplían con
la exigencia de optimalidad.
90
390Optimas
Sub-óptimas472
8
Optimas
Sub-óptimas
71
Ilustración 4.19. Casos resueltos en función del tiempo de ejecución.
MEJOR COTA INFERIOR:
De acuerdo con [7] y [48], la integración de LR en la programación entero mixta tiene una interesante
aplicación de LR para proporcionar cotas inferior. Esto es especialmente cierto cuando al relajar ciertas
restricciones “claves” los problemas desacoplados resultan mucho más fáciles. Sin embargo, aunque
conocida en teoría, esta integración no ha sido explotada para problemas de UC, el cual cumple
precisamente con la característica conceptual requerida [19]. Por lo tanto, es de mayor interés explorar
la calidad de las cotas inferiores. A continuación se evalúan y comparan sistemáticamente los resultados
de la maximización del dual respecto de la mejor relajación lineal encontrada mediante el proceso de
podado del árbol en el branch-and-bound.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0.001 0.01 0.1 1
Po
rce
nta
je d
e in
sta
nci
as
resu
elt
as
Tiempo de ejecución (normalizado)
LR
MIP
72
Ilustración 4.20. Promedio valor mejor cota inferior en función del coeficiente de adaptabilidad (f)
Ilustración 4.21. Promedio valor mejor cota inferior en función de la dimensión del problema (número
de unidades)
MEJOR COTA INFERIOR
f=0.3
f=1.0
1.1E+06
1.2E+06
1.2E+06
1.3E+06
1.3E+06
1.4E+06
1.4E+06
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
1.0E+05
2.0E+05
3.0E+05
4.0E+05
5.0E+05
6.0E+05
7.0E+05
8.0E+05
0 5 10 20
LR
MIP
1.8E+06
1.8E+06
1.9E+06
1.9E+06
2.0E+06
2.0E+06
2.1E+06
0 5 10 20
LR
MIP
unidades=10
unidades=50
unidades=100
MEJOR COTA INFERIOR
1.1E+06
1.2E+06
1.2E+06
1.3E+06
1.3E+06
1.4E+06
1.4E+06
0 5 10 20
LR
MIP
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
3.0E+05
3.5E+05
0 5 10 20
LR
MIP
1.0E+06
1.1E+06
1.1E+06
1.2E+06
1.2E+06
1.3E+06
1.3E+06
0 5 10 20
LR
MIP
2.1E+06
2.2E+06
2.2E+06
2.3E+06
2.3E+06
2.4E+06
2.4E+06
2.5E+06
2.5E+06
0 5 10 20
LR
MIP
73
Es de notar que la mejor cota inferior obtenida por LR, la cual corresponde al máximo del problema dual,
resulta mejor que la relajación lineal MIP para algunos de los parámetros controlados del experimento.
Si bien las soluciones factibles encontradas por LR son inferiores en calidad a las obtenidas por MIP, para
el caso de las cotas inferiores resulta diferente. Como se observa en la Ilustración 4.20, cuando el
problema resulta mejor adaptado (fp=1), la mejor cota inferior promedio de LR fue siempre mayor a la
del MIP.
Unidades LR MIP Diferencia
10 270182.726 277960.227 -2.80%
50 1208122.63 1190337.95 1.49%
100 2382739.24 2369772.91 0.55%
Tabla 4.22. Promedio de la mejor cota inferior en función del número de unidades.
Además, la medida intuitiva de la calidad de LR para sistemas grandes, que como es conocido se ha
asociado a la disminución del gap [19], puede observarse que los resultados experimentales permiten
concluir que no debe atribuírsele a la mejora de las soluciones factibles respecto al óptimo global, sino
que la función dual resulta más cercana al óptimo del problema. De acuerdo a los resultados
experimentales mostrados en la Tabla 4.22, es posible deducir que el valor esperado de la función dual
aumenta (mejora) respecto de la mayor relación lineal mediante el MIP a medida que el problema crece
(juzgando por el número de unidades y, por lo tanto, por el número de variables binarias).
TIEMPOS DE EJECUCIÓN:
Incluso cumpliendo con lo especificado en [58], resulta difícil realizar comparaciones 1-a-1 de los
tiempos de ejecución de dos algoritmos de optimización. Es el presente estudio, la principal razón es
promovida por las diferencias de desarrollo entre ambos software. Mientras que CPLEX es un programa
comercial con presencia dominante en el competitivo mercado del software, la rutina “amateur” de LR
fue desarrollada tomando mínimas precauciones de optimizar el algoritmo, librerías, uso de memoria,
etc. Aunque se sugiere al lector explorar escalar los resultados y hacerlos comparables asumiendo que la
rutina LR puede ser mejorada, de acuerdo a los objetivos expuestos en el Capítulo 1, la principal
74
preocupación acerca de la aplicabilidad del MIP por sobre LR viene dada por la irregularidad de los
tiempos de ejecución. Esto debido al comportamiento exponencial del tiempo en función de las
dimensiones que requiere el método branch-and-bound para resolver problemas np-completos.
Entonces, aunque los gráficos en Ilustración 4.22 e Ilustración 4.23 muestran valores absolutos (medidos
en segundos) del tiempo de ejecución de ambas rutinas, la presente sección se concentrará además en
investigar las estadísticas que puedan arrojar señales acerca de la dispersión y peores casos.
Ilustración 4.22. Promedio de tiempo de ejecución (seg) a mejor solución entera factible en función del
coeficiente de adaptabilidad (f)
TIEMPO MEJOR SOLUCION
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 20
LR
MIP
f=0.3
f=1.0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 20
LR
MIP
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 20
LR
MIP
75
Ilustración 4.23. Promedio de tiempo de ejecución (seg) a mejor solución entera factible en función de
la dimensión del problema (número de unidades)
Se puede observar que para los únicos casos para los cuales, en promedio, el algoritmo de relajación
lagrangeana en la sección 3.2 logró encontrar la mejor solución entera en menor tiempo respecto al MIP,
resulta los casos de mayores dimensiones (100 unidades). Es decir, sólo cuando los sistemas son grandes,
existe un valor esperado de ejecución que puede superar en la búsqueda de soluciones factibles a la
rutina MIP evaluada.
4.3.3 Aplicación al SING
Los ejemplos mostrados a continuación son una representación de las unidades generadoras disponibles
en el SING [56]. El modelo incluirá tantas restricciones como sea posible para representar lo más cercano
la realidad de este sistema eléctrico. Sin embargo, no se pretende mostrar una posición respecto a la
forma en que se realiza la operación real del sistema. El objetivo principal es demostrar la aplicación de
la rutina en un sentido académico y continuar con la validación de la rutina de programación en la
unidades=10
unidades=50
unidades=100
TIEMPO MEJOR SOLUCION
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 20
LR
MIP
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 20
LR
MIP
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 5 10 20
LR
MIP
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 20
LR
MIP
76
sección anterior. Como se identificó adecuadamente la dependencia de los parámetros de sintonización,
entonces se plantea realizar una estimación experimental de valores de la longitud del paso que
permitan obtener soluciones factibles para brechas duales relativas pequeñas además de, por supuesto,
realizar la comparación respecto a la rutina comercial MIP.
4.3.3.1 Características fundamentales del SING
El Sistema Eléctrico Interconectado del Norte Grande (SING), tiene una capacidad instalada total de 3596
MW, constituido en un 99.6 % por unidades térmicas y en un 0.4 % por unidades hidráulicas. Del total de
unidades sólo dos funcionan usando energía hidráulica (13 MW), por lo que el parque generador se
puede considerar netamente térmico. La topología del sistema podría definirse como poco enmallada,
aunque tampoco longitudinal, con una barra principal de referencia de la cual se distribuyen las
principales líneas del sistema de transmisión 220kV. El sistema equivalente del SING empleado
tradicionalmente por el CDEC-SING comprende lo siguiente [56]:
Un máximo de 322 barras, de las cuales del orden de 185 barras son principales.
Un total de 107 líneas que constituyen 3.934 km de trazado en niveles de tensión que van desde 66
kV hasta 345 kV. Dentro de estas existen varias líneas de gran longitud (entre 150 a 200 km, y sólo
una de 408 km).
178 transformadores de los cuales 153 son de dos enrolados y 25 de tres enrollados.
33 unidades generadoras las que constituyen 75 posibilidades de configuración que pueden ser
utilizadas en la operación del SING.
Exceso de capacidad instalada de generación. (Capacidad 3596 MW siendo la demanda máxima de
registrada de 1897 MW6)
Curvas de demanda constituida esencialmente por consumos de clientes libres (90%) asociados a
empresas mineras y clientes industriales. El 10 % restante lo constituyen los consumos de clientes
regulados de empresas de distribución que mantienen un crecimiento vegetativo.
6 Generación bruta, hora 23 del 21 de diciembre de 2008 [51].
77
Durante el año 2006, por razones de estabilidad dinámica post-contingencia, era necesaria la
aplicación de límites de generación según [56].
demás240
24t18si260Pmax
t,i (4.3)
4.3.3.2 Resultados de los parámetros de sintonización
Como se mencionó previamente, antes de incorporar un algoritmo de relajación lagrangeana, debe
realizarse un proceso de sintonización de los parámetros de sintonización para la actualización de las
variables duales. A continuación, se muestran resultados de las simulaciones del caso SING de acuerdo a
los parámetros en [56] para la primera semana de enero de 2006 con la restricción de limitación de (3.1)
activa y para diversos valores de la longitud de paso del subgradiente h.
Longitud
del Paso h
Tiempo
Total (seg)
Tiempo
Dual (seg)
F. Obj
(us$) Iteraciones
Tiempo
Datos
(seg)
Gap Dual
(%)
1.5 298 22.9 628835.81 100 0.28 0.0297
2.5 212.9 15.5 618711.97 78 0.28 0.008
3.5 221.5 16.99 617473.85 80 0.28 0.00582
4.5 176.5 13.7 618098.61 62 0.28 0.00443
5.5 109.9 11.2 617573.85 38 0.28 0.00464
6.5 192.8 14.129 617573.85 68 0.28 0.00624
7.5 47.93 3.66 618098.61 17 0.28 0.00673
8.5 170.89 13.172 618711.97 59 0.28 0.0084
9.5 216.6 15.773 619153,94 76 0.28 0.0099
Tabla 4.23. Parámetros de sintonización pre-despacho SING
78
Ilustración 4.24. Parámetros de Sintonización para el pre-despacho del SING
Nótese que, a pesar de haberse escogido intervalos “pequeños” de variación de h, se obtuvieron dos
mínimos locales. Resulta muy difícil entonces realizar sugerencias objetivas sobre la escogencia de este
parámetro. Nótese además, que para el rango establecido de h el algoritmo convergió a tres soluciones
diferentes.
4.3.3.3 Comparaciones con modelo comercial MIP
El objetivo de la presente sección es utilizar el algoritmo de LR sintonizado en 4.3.3.2 para aplicarlo a la
solución de problemas típicos del SING y comparar los resultados respecto al mismo problema resulto
mediante el optimizador comercial CPLEX [49]. Se debe señalar que las condiciones exactas de operación
del SING para los períodos citados no son conocidas en detalle. En función de los resultados de los
programas de generación diarios/semanales disponibles al público en [56], se plantearon los escenarios
aquí analizados, asumiendo una disponibilidad de unidades, combustibles, potencias máximas de
despacho y mantenimientos, acordes con los resultados publicados. Por consiguiente, tampoco es el
objetivo comparar los resultados respecto de los obtenidos por el organismo en [56]. Sin embargo,
ambos métodos cuentan con exactamente los mismos supuesto y, en consecuencia, los mismos datos
operativos.
H vs Iteraciones
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10Longitud Paso (h)
Itera
cio
nes
79
Los resultados mostrados a continuación corresponden a las simulaciones usando como referencia el
caso real de operación del SING del día 15 de Abril de 2009 [56], considerando los supuestos antes
mencionados. Los resultados comparativos de tiempos de ejecución, el valor de la función objetivo y gap
se muestran en la Tabla 4.24.
Resultados MIP LR
Diferencia relativa
de LR respecto
MIP
Mejor Solución 1.4745E+06 1.4775E+06 0.20%
Mejor Cota inferior 1.4744E+06 1.4705E+06 -0.26%
Gap 0.009% 0.474% 0.46%
Tiempo mejor solución 0.56 1.34 139.29%
Tabla 4.24. Resultados de rendimiento Caso SING por ambos métodos
Estos resultados muestran una solución entera factible por LR que resulta en un costo de operación 0.2%
mayor que la obtenida por MIP. La diferencia de los tiempos requeridos de ejecución, aunque notable en
términos relativos, muestran que ambos métodos resolvieron en forma eficiente el problema operativo.
Sin embargo, aunque la diferencia es tan solo de un 0.2%, vale la pena analizar por qué la solución es
más costosa. Las respuestas se encuentran en el análisis detallado de la solución. La Ilustración 4.25
muestra el despacho obtenido por MIP, mostrando los valores ordenados por orden de mérito (orden de
menor a mayor costo variable medio). En la base (zona inferior de la figura) se encuentran los
generadores con mayor prioridad (menor costo de operación) y en el tope aquellos con menor prioridad
(mayor costo de operación).
80
Ilustración 4.25. Solución del pre-despacho del SING por ambos métodos
El código de colores en la figura, corresponde a la siguiente notación:
Celdas en color gris claro indican periodos donde generadores son “despachados” por ambos
métodos.
Celdas en color gris oscuro indican periodos donde generadores son “despachados” solo por el
método LR.
Celdas en color rojo indican periodos donde generadores son “despachados” solo por el método
MIP.
Los valores numéricos corresponden al nivel (potencia en MW) para abastecer la demanda por
MIP (escogido arbitrariamente por ser valores numéricos irrelevantes para el presente análisis).
La Ilustración 4.25 muestra que la diferencia fundamental entre ambas soluciones se centra en el
despacho de la unidad generadora de ciclo combinado “TG2B+0.5TV2C(Diesel)”. Durante todo el período
de evaluación, este generador es despacho por LR (celdas resaltas en color gris), mientras que MIP, en su
lugar, encuentra una solución de menor costo despachando unidades de mayor costo de operación, pero
Generador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
DEUTZ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
CUMMINS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TGIQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TGTAR 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0
U16-TG+U16-TV(Diesel) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ZOFRI_1-6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.204 0 0 0
SUIQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1.207 0 0
TG1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TG2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ZOFRI_2-5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0
MIIQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 1.5 0
M1AR 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.811 3 3 2.809 1.463
M2AR 0 0 0 0 0 0 0.066 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3
GMAR 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.172 6 6 6 6 6
TG3(Diesel) 34.17 10 0 0 0 0 0 0 10 10 10 12.46 11.16 0 0 22.79 33.6 16.02 35 35 35 35 35 35
CTM3-TG+CTM3-TV(Diesel) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MAIQ 6 5 5.19 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6
TG2B+0.5TV2C(Diesel) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5E-13 0
TG1A+TG1B+TV1C(Diesel) 332 330.5 332 326.4 323.5 331.9 332 325.2 304.2 308.5 330.9 332 332 314.7 329.9 332 332 332 332 332 332 332 332 332
U10 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
U11 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
MIMB 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17
U12(Carbon) 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79
U13(Carbon) 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80
CTTAR(Carbon) 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140
U14(Carbon) 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127
U15(Carbon) 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121
CTM1(Carbon) 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154
CTM2(Carbon) 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163
NTO1(Carbon) 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127
NTO2(Carbon) 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131
TG11 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182
CAVA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
CHAP 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
81
a su vez mayor utilización (nivel de generación en MW) de generadores de menor costo (ver detalles de
ambas soluciones en Anexo F). En otras palabras, la solución por LR propone mayor “desplazamiento” de
energía por generadores de menor costo (o base) para lograr introducir el bloque de energía por
“TG2B+0.5TV2C(Diesel)”, la cual tiene como potencia mínima de operación un valor “elevado” (125MW).
Por qué LR no explora la posibilidad de sustituir un generador de elevado mínimo técnico por
“pequeños” generadores de mayor costo pero que permitan mayor uso de los generadores en base,
lográndose de esta forma un menor costo global de operación? La respuesta viene por la fase de
programación dinámica individual de generadores de LR. La decisión de despacho (on/off) de los
generadores, está basada en la función lagrangeana desacoplada
0Pˆp
Copt,i
t
t,i
t,i
(4.4)
Si el costo marginal del generador ( ) es menor que el multiplicador, es decir se cumple que
entonces el generador debería ser despachado (ver detalle de metodología LR en Anexos A y 2. Nótese
que es común para todos los generadores. Por ejemplo, para que un generador como “TG3(Diesel)”
sea despachado, el valor del multiplicador debe ser mayor que . Si el valor del multiplicador,
durante el proceso iterativo, alcanza este valor, la unidad “TG2B+0.5TV2C(Diesel)” será despachada
también porque su costo ( ) es menor ( ). No hay entonces incentivo alguno retirar
(no despachar) una unidad con menor costo que el valor del multiplicador. Esto reduce el espacio de
exploración de LR, aun cuando se obtenga se maximice el dual, al no explorarse todas las combinaciones
de unidades que puedan retirarse para un valor dado del multiplicador. La no-convexidad del UC, sugiere
que entre estas combinaciones pueden encontrarse el óptimo global (o una solución de menor costo
como se demuestra en el presente ejercicio). En la Ilustración 4.26 se muestra el despacho resaltando en
color gris oscuro los periodos de tiempo en que tendrían que ser despachados los generadores si los
multiplicadores alcanzaran los valores suficientes para lograr el despacho de las unidades más costosas
obtenidas según el método MIP. Los valores en el tope de las columnas en la Ilustración 4.26
82
corresponden al valor de para lograr el despacho de las unidades obtenidas según el método MIP. En
este caso y como fue explicado, LR no exploraría las combinaciones de despacho de las unidades y
periodos en las celdas resaltas en color gris oscuro.
Ilustración 4.26. Predespacho del SING mostrando el espacio de soluciones no explorado por LR
4.3.3.4 Relación entre las potencias mínimas de operación y la calidad de la solución por
relajación lagrangeana
Esta sección presenta los resultados de sensibilidad de los tiempos de ejecución en función de las
potencias mínimas de operación. Dada la formulación del problema de UC simplificado presentado en la
sección 2.1, las restricciones de potencia mínima son directamente responsables de las condiciones de
integralidad. Siendo esta restricción determinante en el planteamiento del UC, se desea entonces
investigar la influencia que tienen los valores de potencia mínima en la solución del problema
empleando los métodos de solución LR y MIP.
Para realizar la sensibilidad, se utilizó como referencia el caso real de operación del SING del día 15 de
Abril de 2009 [56]. El parámetro de sensibilidad “ ” se utiliza como valor de ajuste de la potencia
Generador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
DEUTZ
CUMMINS
TGIQ 96.41
TGTAR 8
U16-TG+U16-TV(Diesel) 92.2 0
ZOFRI_1-6 0.204 0
SUIQ 4 1.207
TG1 0 0
TG2 0 0
ZOFRI_2-5 5 5 86.78
MIIQ 81.34 3 3 1.5 81.34
M1AR 80.68 2.811 3 3 2.809 1.463
M2AR 0.066 80.45 3 3 3 3 3
GMAR 0 2.172 6 6 6 6 6
TG3(Diesel) 34.17 10 0 10 10 10 12.46 11.16 22.79 33.6 16.02 35 35 35 35 35 35
CTM3-TG+CTM3-TV(Diesel) 0 0 66.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MAIQ 6 5 5.19 0 61.54 0 0 0 6 6 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6
TG2B+0.5TV2C(Diesel) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5E-13 0
TG1A+TG1B+TV1C(Diesel) 332 330.5 332 326.4 323.5 331.9 332 325.2 304.2 308.5 330.9 332 332 314.7 329.9 332 332 332 332 332 332 332 332 332
U10 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
U11 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
MIMB 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17
U12(Carbon) 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79 79
U13(Carbon) 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80
CTTAR(Carbon) 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140
U14(Carbon) 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127
U15(Carbon) 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121 121
CTM1(Carbon) 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154
CTM2(Carbon) 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163 163
NTO1(Carbon) 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127 127
NTO2(Carbon) 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131
TG11 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182 182
CAVA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
CHAP 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
79.0
66.3
61.5
79.0 79.0
83
mínima de operación en función de la capacidad máxima de generación y pertenece al rango mostrado
en la ecuación (4.5).
(4.5)
De esta forma, se tomaron 5 valores (en forma arbitraria) contenidos en el rango de “ ” anteriormente
definido. Los valores de “ ” y los resultados de: tiempos de ejecución y calidad de la solución (medidos
con el valor de la función objetivo final y “gap”); son mostrados en la Tabla 4.25 y Tabla 4.26 para MIP y
LR, respectivamente.
Caso ω Pmin MIP (seg) LR (seg)
1 0 0% 0.02 0.003
2 0.5 50% 0.3 0.667
3 0.7 70% 0.39 0.625
4 0.85 85% 0.48 0.673
5 0.9 90% 0.47 0.651
Tabla 4.25. Tiempos de ejecución en función de la Potencia Mínima de generación (Caso SING)
Caso ω Pmin MIP (%) LR (%)
1 0 0% 0.00% 0.00%
2 0.5 50% 0.01% 0.20%
3 0.7 70% 0.01% 0.38%
4 0.85 85% 0.01% 3.08%
5 0.9 90% 0.01% 4.70%
Tabla 4.26. Calidad de la solución en función de la Potencia Mínima de generación (Caso SING)
84
Ilustración 4.27. Tiempo de ejecución (segundos) en función del parámetro de sensibilidad “ ”
(Potencia mínima de generación como “porcentaje” de la potencia máxima)
Ilustración 4.28. Brecha (o gap, medido en %) en función del parámetro de sensibilidad “ ” (Potencia
mínima de generación como “porcentaje” de la potencia máxima)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
TIe
mp
o (
segs
)
ω
Tiempo de Ejecución
Tiempo Ejecución MIP
Tiempo Ejecución LR
-0.1%
0.9%
1.9%
2.9%
3.9%
4.9%
5.9%
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Bre
cha
(Gap
) %
ω
Calidad de Solución: Gap
Gap MIP
Gap Dual LR
85
Ilustración 4.29. Función objetivo final (o mejor solución entera) en función del parámetro de
sensibilidad “ ” (Potencia mínima de generación como “porcentaje” de la potencia máxima)
Los resultados gráficos en Ilustración 4.27, Ilustración 4.28 e Ilustración 4.29, permiten formular el
siguiente análisis de resultados:
1. Si las unidades generadoras poseen (en global) un margen estrecho de operación (valor de w
cercano a 1 en presente experimento), el problema de UC, juzgando por los tiempos de
ejecución, resulta “más difícil” de resolver. Se señala que afecta inclusive al MIP como se
muestra en la Ilustración 4.27. Se observa que el método MIP requiere un tiempo de ejecución
de 30% y hasta un 60% mayor al resolver problemas donde el margen de operación (Pmax-Pmin)
es menor (valores desde =[0.7-0.9]) respecto al tiempo de ejecución para problemas con un
margen de operación del 50% ( =0.5).
2. La brecha dual “inconciliable” con el método LR aumenta a medida que se estrecha el margen de
operación (aumenta valor de ). Esto se evidencia en la tendencia constante-creciente
observada por LR en la Ilustración 4.28, incluso cuando se usó un amplio margen de iteraciones
(500). Los valores alcanzan un “peak” máximo de 4.7% para , lo cual cuestiona la calidad
de la solución al deteriorarse las pruebas de optimalidad (posible sobrecosto teórico del 5%).
Esta conclusión resulta de relevancia para un sistema eléctrico como el SING donde, en
1.46E+06
1.47E+06
1.48E+06
1.49E+06
1.50E+06
1.51E+06
1.52E+06
1.53E+06
1.54E+06
1.55E+06
0 0.5 1
Fun
ció
n O
bje
tivo
ω
Función Objetivo
Mejor Solución (MIP)
Mejor Solución (LR)
86
promedio, las potencias mínimas operación se considera “elevado” dada las características del
parque generador, conforme lo descrito en la sección 4.3.3.1. Para el caso en análisis, el
promedio ponderado de las potencias mínimas (como porcentaje de la potencia máxima de
despacho) supera el 50% (55.1% [56]).
3. Dado que se dispone de la solución entera factible mediante el método MIP, se determina
además con certeza que el valor del gap dual elevado no corresponde a un “fallo” de LR en la
maximización del dual, sino que la solución factible encontrada resulta hasta 4.43% mayor (más
costosa), para el caso más extremo ( ), que “otra” solución factible (encontrada por el
método MIP, ver Tabla 4.27). Nótese además que el gap fue del 4.7% (ver Tabla 4.26), clara
indicación de que la brecha dual es ocasionada por la pobre calidad de la solución entera factible
encontrada por LR.
Caso ω Mejor Solución
(MIP)
Mejor Solución
(LR)
Diferecia (MIP-
LR en %)
1 0 1.470E+06 1.470E+06 0.00%
2 0.5 1.473E+06 1.473E+06 0.00%
3 0.7 1.475E+06 1.476E+06 0.10%
4 0.85 1.475E+06 1.516E+06 2.79%
5 0.9 1.475E+06 1.540E+06 4.43%
Tabla 4.27. Comparación de la mejor solución entera factible MIP vs. LR en función de la Potencia
Mínima de generación (Caso SING)
4.3.3.5 Recomendaciones, sugerencias y futuros desarrollos
En vista de los resultados obtenidos, existen evidencias prácticas que muestran que el método MIP
resulta más efectivo para resolver el problema de UC en sistemas medianos. Resulta importante
diferenciar con sistemas de dimensiones muy grandes, como CAISO, MISO, UCTE, etc, donde el
crecimiento exponencial del tiempo y los requerimientos de memoria para resolver un problema único
(sin descomposición) permanecen siendo un problema irresuelto.
87
Sin embargo, LR aún puede ser empleado para obtener soluciones al UC (aunque no necesariamente
para sistemas medianos). Las siguientes sugerencias relacionadas con LR se realizan en función de la
experiencia obtenida con las simulaciones de prueba presentadas previamente. Se advierte sin embargo,
que los procedimientos aquí presentados no son de ninguna forma genéricos y que para cualquier
variación de disponibilidades, demanda, reserva y otros, requieren hacer probablemente reajustes de
sintonización.
Para el método de paso constante (soluciones factibles): Usar un paso de longitud que en ningún
caso supere el rango esperado0 , donde esperado puede corresponder al valor esperado del
multiplicador de la restricción de potencia (i.e. costo linealizado de la unidad marginal). Para el SING
con las restricciones activas analizadas se recomienda utilizar parámetros en el rango 1.5-9.5 para
facilitar la obtención de soluciones factibles.
Para el método de diferencias constantes (búsqueda directa del óptimo): Usar valores sugeridos en
la bibliografía preferiblemente debido a que su relación es aún menos directa. Por ejemplo, se
recomienda revisar la sugerencia en [15].
Para el lagrangeano aumentado: Emplear valores de 1c que no afecten notablemente la forma
de la curva. Es fundamental que el segundo parámetro cumplan siempre con:
2
1c y 0 .
Sugerencias específicas de SING: Los mejores resultados se obtuvieron para valores de paso en el
rango 5.95.1 . La relajación lagrangeana aumentada para valores escogidos de c en el rango
001.002.0 y tal que se cumpla con
2
1c , mostró tener desempeños muy similares. Sin
embargo, se recomienda su uso y los rangos propuestos, por la estabilidad que aporta a la
convergencia del método.
88
4.4 Resumen
En el presente capítulo se mostraron los resultados numéricos de las simulaciones realizadas, así como el
análisis de rendimiento de las referencias citas. Los resultados muestran que:
La revisión bibliográfica, con los factores de normalización, muestran un claro mejor desempeño
de los métodos matemáticos por sobre los heurísticos.
Que para los casos sintéticos se pudo sintonizar LR para producir el óptimo global de los
problemas pequeños. Misma solución obtenida por MIP en un tiempo de ejecución similar.
La comparación estadística en cambio no deja dudas que MIP, para sistemas medianos es
superior en cuanto al tiempo de ejecución (menor tiempo para solución factible), obteniendo
soluciones.
El caso real del SING muestra también un mejor desempeño de MIP sobre LR y, expone además
que la capacidad de producir soluciones factibles de LR es especialmente susceptible cuando se
reduce el margen de operación (definido como la diferencia entre y ). Aunque LR es
aplicable al SING, la mejor solución factible puede resultar hasta 4.43% más costosa que MIP.
89
Capítulo 5
Discusión y Conclusiones
La presente tesis mostró las comparaciones prácticas entre los métodos de programación entero-mixta
(MIP) y relajación lagrangeana (LR) para resolver el problema del Predespacho. Los principales aportes
son:
Plantear y aplicar por primera vez un método de generación de instancias aleatorias y analizar el
desempeño de LR y MIP en una plataforma computacional uniforme.
Revisar resultados numéricos en la bibliografía especializada y hacer uso de benchmark
computacionales para normalizar los tiempos de ejecución, de tal forma que se puedan
comparar en forma más justa la efectividad de diversos métodos matemáticos y metaheurísticos
para resolver el UC.
Exponer la debilidad de LR para cerrar el Gap Dual y obtener soluciones de calidad cuando los
sistemas poseen generadores térmicos con margen estrecho de regulación (diferencia entre pmin
y pmax).
Aplicar y comparar la efectividad de LR y MIP para resolver el Predespacho del sistema chileno
SING.
La forma de realizar las comparaciones de UC se basaron en tres (3) métodos de comparación de
algoritmos de optimización: 1) histórico (bibliográfico) 2) Sintético-aleatorio y 3) Práctico aplicado a un
sistema real (SING). Los resultados mostrados permiten concluir que el método de solución MIP resulta
más efectivo (menor valor esperado de los tiempo de ejecución, mayor calidad de solución a juzgar por
el menor gap, mayor efectividad para encontrar soluciones factibles) para resolver problemas de UC de
medianas dimensiones que el tradicional método LR.
90
La comparación bibliográfica de resultados mostró que ninguna de las diversas metodologías logró una
mejora superior al 1% (juzgando por el valor de la función objetivo) respecto a LR. En este primer
método de comparación, LR probó ser el método más eficiente para resolver el UC. Mejorar tan solo un
0.7%, la solución que ésta entrega puede costar, de acuerdo al resultado para las dimensiones 38
unidades, hasta 3000% del tiempo de ejecución si se intenta con otra metodología. Sin embargo, este
primer análisis no incluyó resultados por MIP comparables, con la excepción del método combinado
branch-and-bound y constraint logic programming (CLP) [25] que demostró un desempeño muy similar a
LR.
Los resultados obtenidos para los casos sintéticos sencillos por el modelo LR, desarrollado en el contexto
del presente trabajo y detallado en Capítulo 3, fueron comparados con los obtenidos por el programa
comercial de optimización (CPLEX) basado en MIP. Los tiempos de ejecución fueron similares (diferencias
en el orden de 0-8 segs) para problemas de dimensiones reducidas (10 unidades), pero LR confirmó ser
más eficiente para sistemas de mayor escala (100 unidades) en este ejercicio (más de 700 segundos). Se
probó además que ambos obtuvieron el óptimo global del problema básico de pre-despacho (10
unidades – 24hrs) lo que sirvió como validación de la rutina LR desarrollada. Entre las distintas pruebas
realizadas a casos sintéticos resueltos mediante LR se cuentan: solución de ejemplos de 10 hasta 100
unidades, períodos de tiempo en el rango 4-168 hrs, restricciones de reserva, rampa y límite común de
generación. Todas requirieron de ajustes del parámetro fundamental de sintonización del subgradiente
“h”. LR tuvo dificultad para resolver problemas con un número elevado de períodos de tiempo (1 semana
ó 168 períodos), requiriendo hasta 30 veces mayor tiempo de ejecución respecto al problema diario (7
veces menor). Éste último resultado se considera un aporte del presente trabajo considerando que la
bibliografía consultada se centra en la comparación del UC diario (24 períodos).
En cuanto al análisis estadístico de ambos métodos, el método LR encontró soluciones factibles para 429
instancias de las 480 (89,4%), cumpliendo con el gap objetivo de 0,01% en tan sólo 90 casos (18,8%),
mientras que el MIP encontró la solución óptima para el 98,3% de los casos. Los resultados obtenidos
91
verifican que para el rango de 10 a 100 unidades, la mejor solución entera factible que encuentra LR
tiene una menor calidad (valor mayor de la función objetivo en problema de minimización) que la
encontrada por el optimizador MIP. Los resultados permitieron determinar que el sobrecosto esperado
de las soluciones mediante LR fue de 6,03%. El aumento de la dispersión en los parámetros técnicos
beneficia ambos métodos al obtener la mejor solución factible en menores tiempos de ejecución. De
esta forma se muestra que no sólo la calidad de la solución por LR se ve afectada por unidades similares,
sino que también afecta el rendimiento del método MIP. Se comprueba que a medida que los problemas
son más difíciles (juzgando por el coeficiente de adaptabilidad y por el número de unidades), la cota
inferior de LR resulta en promedio mayor (mejor) a la cota inferior promedio por MIP.
Finalmente, se demostró que, para casos reales de sistemas medianos (SING), distintos valores del
parámetro de sintonización llevó a la relajación (LR) a converger a soluciones diferentes. Este problema
surge como uno de los mayores retos de implementación con este método. Como nota positiva en favor
de LR, se recuerda que la variación del parámetro de sintonización “h” en el rango 1.5-9.5 siempre
generó soluciones factibles en un número muy reducido de iteraciones (menor a 100). La calidad de la
solución del MIP resultó apenas mejor que LR (función objetivo 2% menor que LR). El tiempo de
ejecución de LR resultó 139.3% mayor que el tiempo requerido por MIP (aunque ambos menor a 1.34
segundos). Sin embargo, el problema de calidad de la solución puede ser mucho más profundo dado
que, por definición de la metodología LR, no es posible explorar combinaciones que involucren el
despacho de unidades de mayor costo y evitar despachar unidades que “desplacen” energía de
generadores base (de menor costo). Esto resultó evidente al analizar la calidad de la solución LR cuando
las restricciones de mínimos técnicos de las unidades obligan que la solución óptima entera se aleje de la
relajación lineal. Si bien para el caso SING la resolución mediante MIP también se dificulta
(experimentando un aumenta entre 30% y 60%), este efecto es comparativamente menor al deterioro
de la calidad de la solución observada mediante LR que alcanzó soluciones de hasta 5% mayor costo de
generación. Conceptualmente, este hallazgo se explica porque los valores de actualización de los
92
multiplicadores en LR actúan como “precios” a los que los generadores responden individualmente, sin
observar que existen combinaciones entre todos (para ese mismo precio) suficientes para abastecer la
demanda, lo que se traduce en imposibilidad para explorar zonas del espacio de soluciones factibles.
Esto se agudiza especialmente cuando se introducen “grandes” bloques de energía debido a elevados
mínimos técnicos. Este problema no es evidente y no se encuentra señalado en la bibliografía revisada,
por lo que se considera una de las contribuciones del presente trabajo.
Futuros desarrollos se concentrarán en la integración LR con MIP. LR podría aportar las cotas inferiores
que, como se demostró, resultan mejores (mayores) que la simple relajación lineal empleada por el
método MIP. Adicionalmente, el método LR puede entregar soluciones enteras las cuales podrían
inicializar el método MIP y, en combinación con heurísticas simples como local search aprovechar las
señales de las primeras soluciones enteras (no necesariamente factibles) para generar soluciones
factibles de calidad en el mismo nodo raíz y, adicionalmente, orientar el proceso de “branching” si se
requiere explorar el árbol del branch-and-bound. De esta forma, LR reforzaría el método MIP en ambos
extremos: con generación de soluciones factibles de calidad y aportando una mejor cota inferior.
93
Capítulo 6
Bibliografía
[1] R. Baldick, “The Generalized Unit Commitment Problem,” IEEE Transactions on Power Systems, vol.
10, pp. 465-475, 1995.
[2] P. N. Prasad, “Unit Commitment – A Bibliographical Survey,” IEEE Transactions on Power Systems,
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[Accessed 1 Abril 2013].
100
Capítulo 7
ANEXOS
7.1 ANEXO A - Relajación Lagrangeana: Teoremas de Dualidad
7.1.1 Introducción
Es uno de los métodos más conocidos para resolver problemas de optimización de gran escala. Se suele
aplicar a problemas que por sus condiciones permite clasificar las restricciones en dos tipos: sencillas y
complejas (en el contexto UC se denominan “individuales” y de “acoplamiento”, respectivamente). La
idea principal consiste en resolver problemas de optimización sujeto a las restricciones sencillas,
“olvidando” o como se suele llamar “relajando”, las restricciones más complejas o complicadas.
7.1.2 Optimización Dual [1]
Existe quizás una confusión alrededor de los conceptos de los teoremas de dualidad. Se pueden citar
varios casos particulares de dualidad que dependen de las condiciones del problema, determinados
tanto por las características de la función objetivo como del conjunto de restricciones. Por este motivo se
presenta una aclaratoria haciendo referencia a los teoremas de dualidad que interesan para problemas
de las características del pre-despacho. El problema de optimización que en adelante se utilizará tiene la
siguiente forma:
max: )x(f
s.a: 0)x(h
0)x(g
(A.1)
101
7.1.2.1 Definición
Se le llama dual al artificio matemático que cumple con la propiedad que su función objetivo está
limitada por el problema original (denominado primal). Supongamos que el dual se corresponde con la
función:
min: )y(f
s.a: Yy (A.2)
Entonces, )x(f)y(f para todos los Xx y para todos los Yy . Esto implica que si el primal es
factible, el dual no puede ser ilimitado y viceversa, si el dual es factible, el primal está acotado. El dual
suele proveer pruebas de suficiencia para determinar el óptimo. Existen particularidades acerca de estas
pruebas que serán tratadas individualmente.
7.1.2.2 Dual de una Función Lagrangeana
En general, se puede definir como sigue: si existe un valor factible x y y pueden ser calculados de tal
forma que f(x)=f(y), entonces se dice que x es la solución del primal y y es la solución óptima del dual. Si
solo provee cotas, se dice que la dualidad es débil. En detalle, el dual del lagrageano resulta:
min: )v,u(L
s.a: 0u (A.3)
donde: )v,u(L= sup Xx)x(hv)x(gu)x(f
Este teorema llevó a la unificación de las teorías previas acerca de la dualidad. A continuación se
presentan los tres principales teoremas de dualidad.
7.1.3 Teoremas de Dualidad de la Función Lagrangeana
7.1.3.1 Teorema de Dualidad Débil
El lagrangeano dual provee la siguiente cota superior al óptimo de la función objetivo parametrizada,
)c,b(f 7:
7 f*(b, c) = Sup{f(x): x in X, g(x) b, h(x) = c}.
102
vcub)v,u(L)c,b(f (A.4)
Más aún, si definimos:
Xxv,u,xLmaxargx (A.5)
entonces,
b)x(g)x(fmaxargx y )x(h)x(h (A.6)
7.1.3.2 Teorema de Dualidad Fuerte
Se dice que el lagrangeano dual anterior es un dual fuerte para un problema convexo que satisface las
condiciones de interioridad de Slater. Esto es, si x es la solución óptima, entonces deben existir un
conjunto de multiplicadores v,u tal que )v,u(Lf .
7.1.3.3 Teorema de equivalencia de un punto Saddle:8
Los valores v,u,x
mn , , son un punto saddle, si y solo si se cumplen las siguientes
condiciones de dualidad fuerte:
x* está contenido en: argmax {L(x, u*, v*): x in X}
x* es factible. Es decir: 0)x(g y 0)x(h
u*g(x*) 0
7.1.4 Dual en Programación Lineal (LP) [2]
Dada la siguiente forma general de un problema de optimización:
min: xc
s.a: 11 bxA
22 bxA
0x i
(A.7)
Su correspondiente dual sería:
8 Saddle: Punto de inflexión o Punto silla. Suele asociarse con puntos de una función continua donde
0x
)x(f
103
max: b
s.a: 0i
11 cA
22 cA
(A.8)
7.1.4.1 Teorema de dualidad en programación lineal
Para un problema LP primal-dual, exactamente alguna de las siguientes condiciones se cumple9:
El primal tiene una solución óptima y, por tanto, el dual también y sus funciones objetivos son
iguales.
El primal es infactible, por lo tanto el dual es infactible (no-acotado)
El primal es no-acotado, por lo tanto el dual es infactible.
7.1.5 Referencias
[1] Vladimir Tsurkiov, “Large-Scale Optimization - Problems and Methods”, Applied Optimization
series. Luwer Academic Publishers. Sept, 2003.
[2] Christos H. Papadimitriou, Kenneth Steiglitz, “Combinatorial Optimization - Algorithm and
Complexity”, Dover Publications Inc. NY, 1998.
9 Condiciones de Khun-Tucker
104
7.2 ANEXO B – Programación Dinámica Individual de Unidades
7.2.1 Introducción
La programación dinámica es una técnica pionera en solución de problemas de optimización. Ha sido
empleada para resolver una vasta gama de problemas operativos. El método ha demostrado efectividad
en reducir los esfuerzos computacionales necesarios para encontrar trayectorias óptimas o políticas de
operación y control. Fue desarrollada inicialmente por el Dr. Richard Bellman y sus asociados a finales de
los 50’s. Si bien las bases matemáticas que sustentan el método son complejas, las aplicaciones prácticas
suelen ser sencillas por la forma lógica en que se plantean los procedimientos. Existe una abundante
bibliografía referente a los fundamentos teóricos del método [1] y a sus aplicaciones a la operación de
sistemas eléctricos como el pre-despacho [2]. La técnica de programación dinámica es también una de
las pioneras en la solución del problema de asignación de unidades [3]. Sin embargo, la aplicación a
grandes sistemas se ha visto limitada por la dimensionalidad del problema. Para ello, existe una variedad
de alternativas de reducción del espacio de soluciones que básicamente consisten en la limitación
simultánea de estrategias (o arcos) y de estados (nodos) [2] trayendo como principal consecuencia
negativa la exploración de un espacio de soluciones reducido que limitan las garantías de encontrar la
solución óptima. A pesar de esto, la programación dinámica sí ha podido ser aplicada con éxito a casos
reales (o de gran-escala) cuando ha sido planteada como solución a los sub-problemas generados dentro
de un esquema de descomposición basado en la relajación de la función lagrangeana (ver detalles de la
descomposición en anexo A y las referencias allí citadas). Ha sido ampliamente utilizada para resolver el
problema estos sub-problemas denominados como “asignación individual de las unidades”. Aunque esta
aplicación específica como parte del procedimiento de relajación lagrangeana ha sido propuesta desde la
creación del método de relajación lagrangeana, pocas referencias detallan las estrategias más exitosas
para su aplicación. De esta forma, a continuación se presentan las principales consideraciones para
realizar una eficiente asignación individual de unidades basadas en programación dinámica, sin recurrir a
técnicas heurísticas (ver por ejemplo referencia [4]).
105
Supóngase el siguiente problema de pre-despacho básico:
min: T
t
t,i
I
i
t,i stCCop (B.1)
sujeto a: T,...,1tPPI
i
t
dt,i (B.2)
La función lagranjeana original se plantea de la siguiente forma:
Lr= min:
T
t
I
i
t,i
t
d
t
t,i
I
i
t,i PPstCCop (B.3)
Se puede “relajar” al suponer conocidos los multiplicadores de las restricciones de acoplamiento (
tt ), resultando: (ver anexo A)
Lr= I
i
T
t
t,i
t
t,it,i PˆCstCop:min (B.4)
Entonces, para cada i=1,...,I se debe resolver el siguiente problema:
T
t
t,i
t
t,it,i PˆCstCop:min (B.5)
Sujeto a: todas las restricciones operativas de las propias de la unidad “i”
La presencia de variables binarias de decisión en los costos de operación y los costos de partida
conforman un problema de optimización no-convexo entero-mixto. Aunque existen diversas técnicas de
solución para esta clase de problemas, la más utilizada ha sido la programación dinámica en el sentido
del tiempo (forward dynamic programming) [1]. Se plantea encontrar la asignación óptima de la unidad
en los períodos t=1,...,T teniendo para cada t, dos (2) posibles estados de operación: encendido,
apagado. La ilustración B.1 muestra el esquema de programación dinámica individual tradicional.
106
Ilustración B.1. Esquema de Programación Individual de las Unidades
7.2.2 Algoritmo de Solución
La técnica abordada consiste en el registro de 2 trayectorias históricas. El algoritmo de solución
propuesto en detalle es el siguiente:
1. Para t=1: Determinar estados posibles en función de la condición inicial, tiempos mínimos de
operación/detención, salidas programadas, etc.
2. Determinar el nivel de generación (Pi,t) óptimo a partir de la siguiente expresión: (considerando
los límites de generación de la unidad)
0Pˆp
Copt,i
t
t,i
t,i
(B.6)
3. Determinar los costos de operación para el (Pi,t). Si 0, tiCop , considerar la posibilidad de
encender la unidad. Si 0, tiCop hacer 1 tt y volver a 1.
Posible Encendido?
Posible Apagado?MW Optimo
Costo Oper
Trayectoria Encendido:
-Actualizar mejor
destinatario-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Trayectoria Apagado:-Actualizar mejor
destinatario
-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
T=1 T=2 T=3 T=4
0 0 0 0
Cop(1) Cop(2) Cop(3) Cop(4)
Posible Encendido?
Posible Apagado?MW Optimo
Costo Oper
Trayectoria Encendido:
-Actualizar mejor
destinatario-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Trayectoria Apagado:-Actualizar mejor
destinatario
-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Posible Encendido?
Posible Apagado?MW Optimo
Costo Oper
Trayectoria Encendido:
-Actualizar mejor
destinatario-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Trayectoria Apagado:-Actualizar mejor
destinatario
-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Posible Encendido?
Posible Apagado?MW Optimo
Costo Oper
Trayectoria Encendido:
-Actualizar mejor
destinatario-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Trayectoria Apagado:-Actualizar mejor
destinatario
-Actualizar costo
acumulado
-Actualizar tiempo
acumulado
Cos
to P
artid
a
Costo D
etención
107
4. Determinación de la mejor trayectoria para llegar al estado de encendido:
Calcular: costo acumulado(t-1) + costo de encendido - costo mantener encendido.
Si >0 registrar mejor “venir desde apagado”.
Si <0 registrar mejor “venir desde encendido”.
5. Determinación de la mejor trayectoria para llegar al estado de apagado:
Calcular: costo acumulado (t-1) encendido + costo de detención - costo mantener apagado.
Si >0 registrar mejor “venir desde apagado”.
Si <0 registrar mejor “venir desde encendido”.
6. Actualizar el costo y el tiempo de operación acumulado en las dos (2) trayectorias.
7. Si Tt , hacer: acumulado encendido - costo acumulado apagado. Si >0, hacer que trayectoria
hacia apagado sea el despacho de la unidad. Si <0, hacer que trayectoria hacia encendido sea el
despacho de la unidad. Finalizar.
8. Si Tt volver a 2.
7.2.3 Referencias
[1] Stuart E. Dreyfus & Averill M Law, “The Art and Theory of Dynamic Programming”, New York,
USA, Academic Press, 1977.
[2] G. B. Sheblé & G. N. Fahd, “Unit Commitment Literature Synopsis”, IEEE Transactions on Power
Systems, Vol. 9, No 1, pp. 128-135, Feb 1994.
[3] Allen J. Wood & Bruce F. Wollenberg. “Power Generation Operation and Control”. John Wiley
and Sons, Second Edition, NY 1996.
[4] Weerakorn Ongsakul & Nit Petcharaks. “Unit Commitment by Enhanced Adaptive Lagrangian
Relaxation”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 19, No 1, Feb 2004.
108
7.3 ANEXO C - Método Subgradiente
7.3.1 Introducción
El método del subgradiente es un algoritmo sencillo para resolver problemas de optimización de
funciones convexas no-diferenciables. En la referencia [1] puede encontrarse un resumen de sus
variantes y algunas aplicaciones simples. Fue desarrollado originalmente en la ex Unión Soviética por
Shor en los años 70’s [2]. El método es muy similar a los métodos de gradiente (derivativos de primer y
segundo orden [3]) con algunas notables excepciones. Por ejemplo, el subgradiente avanza por pasos de
longitud predefinida mientras que los derivativos lo hacen por una recta en dirección del gradiente. No
es un método descendente y por lo tanto es posible encontrar valores mayores de la función objetivo en
iteraciones consecutivas en problemas de minimización. Suelen ser mucho más lentos que los métodos
de gradiente con la ventaja de poder ser aplicados a una variedad mucho mayor de problemas. Han
mostrado una variedad de aplicaciones en algoritmos de programación genéricos y, en particular, a
métodos de descomposición dual.
El subgradiente de una función f es cualquier vector g que satisface la siguiente desigualdad:
)xx(g)x(f)x(f 1212 (C.1)
Entonces, supóngase que se desea resolver el siguiente problema de optimización:
Maximizar: )x(f
Xx
(C.2)
Se define el método del subgradiente como la búsqueda iterativa de la solución a (C.2) de la siguiente
forma:
k
k
k1k gxx (C.3)
donde kg es cualquier subgradiente de f. En efecto, si f es diferenciable, la escogencia ideal sería:
)( kk xfg , convirtiéndose entonces en un método de gradiente convencional con la excepción del
control de longitud k .
109
El método del subgradiente no garantiza que el resultado de la siguiente iteración sea mayor en
problemas de maximización. Por lo tanto, es usual llevar registro de la mejor solución encontrada hasta
entonces. En métodos descendientes no es necesario llevar tal registro sino que se considera al punto
actual como el mejor hasta el momento.
7.3.2 Reglas de control de los pasos
En la literatura, existe una variedad notable de proposiciones para controlar el tamaño de los pasos k .
Se supone dependiente de las características del problema y su determinación involucra usualmente
procedimientos heurísticos. A continuación se resumen algunos de las principales formas de control
tomados de [1]:
Tamaño del paso constante: hk , con h = constante.
Longitud del paso constante: Se refiere a mantener la norma eucleniana entre soluciones
consecutivas constantes en cada iteración. Es decir:
2
kkg
h
, tal que: hxx
2
k1k
(C.4)
Series sumables pero cuadrados no sumables: se escoge el parámetro k que satisface la
condición:
1k
2
k y
1k
k
(C.5)
Series no sumables diminutivas (diminishing step size rule): el parámetro k tal que se satisface
la condición:
0lim kx
y
1k
k
(C.6)
Por ejemplo si se escoge: k/hk con 0h
110
7.3.3 Convergencia
Para el método del subgradiente la prueba de convergencia no se basa en la observación del
crecimiento/decrecimiento progresivo de la función objetivo como en los métodos de gradiente
convencional. En su lugar, se suele medir la distancia euclediana a la solución óptima. Para funciones f
que satisfacen las condiciones Lipschitz, el empleo del método del subgradiente permite el cumplimiento
de la siguiente desigualdad:
k
1i
i
k
1i
2
i
22
*i
k,...,1i
*k
mejor
2
GR
f)x(f:minff (C.7)
donde:
k
mejorf : El mejor resultado obtenido hasta la iteración “k”
*f : Valor de la función f en la solución óptima
G: Es la cota superior de la norma del sugradiente 2
g
Y además, R se define como una constante proporcional a la norma de la solución inicial. Es decir:
2
2
*1 xxR
(C.8)
La demostración de la desigualdad (C.7) escapa del alcance del presente trabajo. Se puede encontrar en
las referencias [1] y [2].
Entonces, a partir de (C.7) se pueden deducir las siguientes afirmaciones:
Para Tamaño del paso constante: ( hk )
hk2
khGRff
222*k
mejor
(C.9)
Implica que el subgradiente converge a 2/hG2 si k . Es decir, la mejor solución luego de un
número muy elevado de iteraciones se alejará del óptimo en 2/hG2 .
Para Longitud del paso constante: (2
k
k g/h )
111
hk2
khGRff
222*k
mejor
(C.10)
Implica que el subgradiente converge a 2/hG si k . Es decir, el método del subgradiente
converge a una solución acotada en 2/hG de la solución óptima.
Series sumables pero cuadrados no sumables:
k
1i
i
2
2
22
*k
mejor
2
GRff
(C.11)
Por lo tanto, para k :
0
2
GRlim
k
1i
i
2
2
22
k
(C.12)
Queda demostrado entonces que el método del subgradiente converge a la solución óptima.
Series no sumables diminutivas (diminishing step size rule):
Si la serie k converge a cero (condición inicial de k ), entonces el lado derecho de (A.3.7) converge a
cero también. Quiere decir que para este caso, el método del subgradiente también converge a la
solución óptima. Se sugiere al lector referirse a [1],[2] para ver la respectiva demostración formal.
7.3.4 Referencias
[1] S. Boyd, L. Xiao, A Mutapcic, “Subgradient Methods”, EE392o: Optimization Projects, Professor
Stephen Boyd and Professor Z.-Q. Luo home page at Stanford University, Available online at:
http://www.stanford.edu/class/ee392o, 2003.
[2] N. Z. Shor. “Minimization Methods for Non-differentiable Functions”, Springer Series in
Computational Mathematics. Springer, 1985.
[3] P. E. Gill, W. Murray, M. H. Wright, “Practical Optimization”, Academic Press Inc, London, 1981.
112
7.4 ANEXO D - Relajación Lagrangeana Aumentada
7.4.1 Introducción
La función lagrangeana aumentada se define como la incorporación a la función lagrangeana de un
término no lineal, denominado “de aumentación”, con el objeto de modificar a favor las características
de un problema de optimización. Se pueden definir como un subconjunto de una clase más general de
funciones denominadas “funciones auxiliares” para la solución de problemas de optimización global. Las
funciones auxiliares son todas aquellas funciones que convolucionan la función objetivo con las
funciones de restricciones, generando un único problema de optimización sin restricciones [1]. Una
excelente referencia de los diversos tipos de métodos de aumento puede encontrarse en [2]. Quizás la
aplicación principal se concentra en sumar a la función objetivo otra función convexa que involucre las
variables del problema y que tienda a “desaparecer” en el óptimo [3]. Por ejemplo, dado el siguiente
problema de optimización:
min: 01xx3 (D.1)
La función lagrangeana convencional estaría dada por la convolución lineal:
x1xL 3
aug (D.2)
Una función lagrangeana aumentada podría ser la siguiente:
23
aug x1cx1xL (D.3)
Entonces, para este sencillo caso se puede observar que el término agregado “desaparecerá” en la
solución óptima x=1. Sin embargo, el término “de aumentación”, para ciertos valores del “c”, convierte al
problema original (D.1) en un problema de optimización estrictamente convexo. La figura D.1 muestra la
mejora de convexidad introducida por el lagrangeano aumentado a la función 3xy .
113
Ilustración D.1. Efecto de Introducción del término cuadrático
Dos dificultades evidentes pueden resultar del empleo de los lagreangeanos aumentados:
1. Si es aplicado a problemas de programación lineal o lineal-entero-mixto, el término “de
aumentación” lo transformará en un problema no-lineal.
2. Puede atentar contra el método de descomposición para problemas de estructuras por bloques.
7.4.2 Técnicas de Descomposición
Como las técnicas de optimización suelen definirse dentro de un proceso iterativo, para sobreponer las
dificultades en el uso de los lagrangeanos aumentados (mencionadas anteriormente) se pueden aplicar
técnicas que se fundamentan en linealización del término agregado en la vecindad de la solución la
iteración anterior. Esta propuesta es referida en algunas referencias como técnicas de descomposición y
coordinación [5]. Aunque originalmente fueron propuestas para la solución de problemas de
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
y=x^3
c=0.5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
y=x^3+ c(1-x)^2
c=2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
y=x^3+ c(1-x)^2
c=20
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
y=x^3+ c(1-x)^2
114
optimización no-separables, futuros desarrollos se concentraron en la aplicación a soluciones a
inecuaciones variacionales. Sin embargo, suelen plantear la separabilidad en términos no-lineales para
que el lagrangeano aumentado pueda continuar siendo estrictamente convexo.
Existe una variedad métodos de descomposición aplicables a la solución de inecuaciones variacionales.
Uno de los pioneros fue el denominado principio del problema auxiliar, en inglés Auxiliary Problem
Principle y en adelante APP, presentado por Cohen en 1980 [4]. Fue originalmente desarrollado para el
análisis de algoritmos de optimización basados en métodos de gradiente y subgradiente así como
también algoritmos de descomposición. En general, el APP consiste en la separación del término
cuadrático 2
Axb2
c en la linealización alrededor de la solución anterior más un término cuadrático
separable convexo. Sin embargo, posteriores estudios se centraron en la ampliación del método al
aplicar el operador variacional en un punto variable recibió la denominación de métodos de punto
próximo, en inglés Proximal Point Methods y en adelante PPM.
Informalmente, el APP consiste en la linealización de cualquier término no separable en el lagrangeano
aumentado y, simultáneamente, la adición de términos convexos escogidos de tal forma que sigan
siendo separables. Suponiendo que el término de aumento sea 2
Axb2
c , el APP consistirá en la
linealización de este término alrededor de la solución de la iteración anterior x(k) más un término
cuadrático separable. Es decir:
2)k()k(2)xx(Ab
2
1AxbAxbcAxb
2
c
(D.4)
Nótese que (D.4) puede ser estrictamente convexo en función de la escogencia de c y . En la referencia
[4] se demuestra que el algoritmo iterativo converge a la solución óptima si se escoge valores de c y
tales que
2
1c .
115
7.4.3 Referencias
[1] Yu. G. Evtushenko, A.M. Rubinov, V.G. Zhadan, “General Lagrange-Type Functions in Constrained
Global Optimization Part II: Exact Auxiliary Functions”, Optimization Methods and Software, vol
16, pp 231-256, 2001.
[2] A.M. Rubinov, Lagrange-Type Functions in Constrained Non-convex Optimization”, Kluwer
Academic Publisher, Applied Optimization Series, Vol. 85, Nov. 2003.
[3] P. E. Gill, W. Murray, M. H. Wright, “Practical Optimization”, Academic Press Inc, London, 1981.
[4] G. Cohen, “Auxiliary Problem Principle and Decomposition of Optimization Problems”, Journal of
Optimization Theory and Applications, vol. 32, pp. 277-305, 1980.
[5] L. Murphy, J. Contreras and F.F Wu, “A Decomposition-Coordination Approach for Large-Scale
Optimization”, Proceedings SIAM Conference on Parallel Processing for Scientific Computing, pp:
78-83, Feb 1995.
116
7.5 ANEXO E – DATOS DEL SISTEMA RTS-96
Se presentan a continuación los datos de las unidades y de la demanda necesarios para formular
problemas de pre-despacho térmico [1].
7.5.1 Datos del RTS-96 necesarios para el pre-despacho
Tabla E.1. Curvas de Calor de las Unidades
Unit ID Fuel Type MWNet Plant Heat
Rate [Btu/kwh]
Incremental Heat Rate
Calculated by continuos
function [Btu7kwh]
2.4 16017 10179
6 12500 10330
9.6 11900 11668
12 12000 13219
15.8 15063 9859
16 15000 10139
19.8 14500 14272
20 14499 14427
U50 Hydro 50 N/A N/A
15.2 17107 9548
38 12637 9968
60.8 11900 11576
76 12000 13311
25 12999 8089
50 10700 8708
80 10087 9420
100 10000 9877
54.25 11244 8265
93 10053 8541
124 9718 8900
155 9600 9381
58.95 10750 8348
118.2 9850 8833
157.6 9644 9225
197 9600 9620
140 10200 8402
227.5 9600 8896
280 9500 9244
350 9500 9768
100 12751 8848
200 10825 8965
320 10170 9210
400 10000 9438
Fossil Steam
Fossil Steam
Fossil Steam
Nuclear
Steam
Fossil Steam
Combustion
Turbine
Fossil Steam
Fossil Steam
U155
U197
U350
U400
U12
U20
U76
U100
117
Tabla E.2. Restricciones de operación
Tabla E.3. Datos de la Demanda (% de la carga máxima diaria)
7.5.2 Construcción de formulaciones de pre-despacho
Como se mencionó en la sección 4.3.1, las formulaciones se hacen tomando de forma aleatoria unidades
de las tablas E.1 y E.2. El vector aleatorio de distribución uniforme se realizó con la “semilla” propia de la
función ALEATORIO() de MS Excel. Los resultados para el caso sintético en sección se muestran en la
tabla a continuación:
Unit ID Hot
Start
(Mbtu)
Cold
Start
(Mbtu)
Min
Down
Time [hr]
Min Up
Time
[hr]
Start
Time
Hot
[hr]
Start
Time
Cold
[hr]
Warm
Star Time
[hr]
Ramp
Rate
MW/Minu
te
U12 38 68 2 4 2 4 12 1
U20 5 5 1 1 0 0 1 3
U50 N/A N/A N/A N/A N/A N/A N/A N/A
U76 596 596 4 8 3 12 10 2
U100 250 566 8 8 2 7 60 7
U155 260 953 8 8 3 11 60 3
U196 443 775 10 12 4 7 24 3
U350 1915 4468 48 24 8 12 96 4
U400 N/A N/A 1 1 N/A N/A N/A 20
Hour% of Daily Pick
LoadHour
% of Daily Pick
Load
24 67 12 95
1 63 13 95
2 60 14 93
3 59 15 94
4 59 16 99
5 59 17 100
6 60 18 100
7 74 19 96
8 86 20 91
9 95 21 83
10 96 22 73
11 95 23 63
118
Tabla E.4. Resultado sorteo Aleatorio de Unidades
7.5.3 Referencias
[1] C. Grigg, P. Wong, P. Albrecht, R. Allan, M. Bhavaraju, R. Billinton, Q. Chen, C. Fong, S. Haddad, S.
Kuruganty, W. Li, R. Mukerji, D. Patton, N. Rau, D. Reppen, A. Schneider, M. Shahidehpour & C.
Singh, “The IEEE Reliability Test System – 1996. A report prepared by the Reliability Test System
Task Force of the Application of Probability Methods Subcommittee”, IEEE Transactions on
Power Systems, Vol. 14, No.3, pp. 1010-1020, Aug 1999.
Número de
UnidadesUnidad ID
Número de
UnidadesUnidad ID
Número de
UnidadesUnidad ID
Número de
UnidadesUnidad ID
Número de
UnidadesUnidad ID
1 U20 21 U350 41 U100 61 U155 81 U50
2 U350 22 U350 42 U20 62 U50 82 U197
3 U12 23 U400 43 U20 63 U197 83 U12
4 U100 24 U12 44 U100 64 U12 84 U155
5 U76 25 U76 45 U197 65 U50 85 U350
6 U197 26 U20 46 U76 66 U20 86 U76
7 U155 27 U12 47 U76 67 U12 87 U100
8 U197 28 U20 48 U50 68 U20 88 U12
9 U76 29 U20 49 U12 69 U12 89 U155
10 U76 30 U100 50 U350 70 U350 90 U197
11 U155 31 U350 51 U155 71 U197 91 U12
12 U20 32 U76 52 U155 72 U100 92 U400
13 U50 33 U12 53 U100 73 U76 93 U350
14 U197 34 U350 54 U76 74 U100 94 U50
15 U20 35 U155 55 U197 75 U400 95 U350
16 U12 36 U350 56 U350 76 U20 96 U76
17 U20 37 U100 57 U100 77 U50 97 U155
18 U12 38 U20 58 U350 78 U155 98 U12
19 U350 39 U20 59 U12 79 U197 99 U20
20 U12 40 U100 60 U350 80 U50 100 U20
