ESTUDIO DE LA MODELIZACIÓN DE LA LOCALIZACIÓN …oa.upm.es/32344/1/Tesis_master_Miguel_Garcia_Madero.pdf · ESTUDIO DE LA MODELIZACIÓN DE LA ... TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 4 - ÍNDICE

ESTUDIODELAMODELIZACIÓNDELALOCALIZACIÓNDE

DEFORMACIONESENELHORMIGÓN

MásterUniversitarioenIngenieríadelasEstructuras,CimentacionesyMateriales.

UniversidadPolitécnicadeMadrid.

TrabajoFindeMáster.

Tutor:SergioBlancoIbáñez.Alumno:MiguelGarcíaMadero.

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES

TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 2 -



ÍNDICE

1.-EL FENÓMENO DE LA LOCALIZACIÓN DE DEFORMACIONES. ESTADO DEL ARTE. ..... 7

2.-MODELOS LOCALES DE DAÑO PARA EL HORMIGÓN ..................................................... 15

2.1 - Introducción. ................................................................................................................... 15

2.2 - Base termodinámica. ...................................................................................................... 15

2.3 - Caracterización de la evolución del daño. ...................................................................... 18

2.4 - Resumen de los parámetros del modelo de daño local. ................................................ 21

2.5 - Dependencia del tamaño de la malla y regularización del ablandamiento. ................... 22

2.6 – Influencia de la orientación de la malla en la propagación de la fisura ......................... 28

2.6.1. Análisis a flexión de una viga sin entalla. ................................................................. 29

2.6.2. Análisis a flexión de una viga con una entalla en la parte central. ........................... 32

3.-MODELOS NO LOCALES DE DAÑO PARA EL HORMIGÓN ............................................... 37

3.1. Introducción. ..................................................................................................................... 37

3.2. Formulación integral. ....................................................................................................... 38

3.3. Formulación gradiente explícito. ...................................................................................... 38

3.4. Formulación gradiente implícito. ...................................................................................... 38

3.5. Aplicación teórica de la formulación gradiente implícito al caso del ensayo uniaxial. ..... 39

3.6. Aplicación de la formulación gradiente implícito al ensayo de extensión uniaxial. ......... 44

3.6.1 Análisis de la independencia del tamaño de los elementos de malla. ...................... 44

3.6.2 Análisis de la influencia del parámetro l en la respuesta. ......................................... 48

3.6.3 Análisis de la influencia del parámetro m en la respuesta. ....................................... 51

3.6.4 Estudio de la disipación del modelo. ......................................................................... 52

3.7. Aplicación de la formulación gradiente implícito a una viga con una entalla en la parte

central. .................................................................................................................................... 55

ANEXO I. DEFINICIÓN DEL DOMINIO ELÁSTICO EN EL MODELO DE DAÑO LOCAL ........ 61

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................ 69



ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Zona elástica, zona de ablandamiento y zona de endurecimiento ................................ 8

Figura 2. Comportamiento frágil, dúctil y cuasi-frágil .................................................................... 8

Figura 3. Zonas características de una grieta ............................................................................... 9

Figura 4. Esquema de tensiones y deformaciones en la zona de proceso de fractura ................ 9

Figura 5. Descripción cinemática del modelo. Continuidad de los campos de desplazamientos y

deformaciones ............................................................................................................................. 13

Figura 6. Tensión principal σ1 ..................................................................................................... 17

Figura 7. Tensión principal σ2 ..................................................................................................... 18

Figura 8. Intersección del dominio elástico con el plano ε3 = 0 ................................................... 19

Figura 9. Corte del dominio elástico con el plano ε3 = 0 en función de la variable de daño ....... 20

Figura 10. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones .......................... 20

Figura 11. Superficie transversal y espesor del dominio de disipación ...................................... 25

Figura 12. Dominio de m en función de la densidad de energía volumétrica gf ......................... 26

Figura 13. Croquis de la viga utilizada en el ensayo uniaxial ..................................................... 26

Figura 14. Aplicación del modelo regularizado ........................................................................... 27

Figura 15. Aplicación del modelo no regularizado. ..................................................................... 28

Figura 16. Croquis de la viga sin entalla ..................................................................................... 29

Figura 17. Malla de la viga sin entalla ......................................................................................... 30

Figura 18. Evolución de la variable de daño en la viga sin entalla tras la simulación ................ 30

Figura 19. Deformada de la viga sin entalla tras la simulación ................................................... 31

Figura 20. Curva fuerza-desplazamiento para la viga sin entalla tras la simulación.

Comparación con el resultado experimental ............................................................................... 31

Figura 21. Croquis de la viga con una entalla ............................................................................. 32

Figura 22. Malla de la viga con una entalla ................................................................................. 33

Figura 23. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación

numérica - modelo local .............................................................................................................. 33

Figura 24. Deformada de la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo local ... 34

Figura 25. Curva fuerza-desplazamiento en la viga de una entalla tras la simulación - modelo

local ............................................................................................................................................. 35

Figura 26. Velocidad de deformación normalizada vs coordenada espacial normalizada.

Modelos local y no local .............................................................................................................. 43

Figura 27. Croquis de la viga empleada para reproducir el ensayo uniaxial - modelo no local . 44

Figura 28. Discretización con 11 elementos ............................................................................... 45





Figura 33. Fuerza - desplazamiento del extremo libre en función del refinamiento de la malla . 47



Figura 34. Distribución de la variable de daño para la viga de 11 elementos ............................ 47

Figura 35. Distribución espacial de la variable de daño en función de la discretización ............ 48

Figura 36. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de l .............................. 49

Figura 37. Distribución espacial de la variable de daño en función de l ..................................... 50

Figura 38. Longitud de localización en función de l .................................................................... 51

Figura 39. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de la pendiente de

descarga m .................................................................................................................................. 51

Figure 40. Distribución espacial de la variable de daño en función de la pendiente de descarga

m .................................................................................................................................................. 52

Figura 41. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 31 elementos ....................... 53

Figura 42. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 51 elementos ....................... 53

Figura 43. Modelo no local. Relación m-l. ................................................................................... 54

Figura 44. Croquis de la viga con una entalla - modelo no local ................................................ 55

Figura 45. Malla hexaédrica de la viga con una entalla - modelo no local ................................. 56

Figura 46. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación

numérica - modelo no local. Malla hexaédrica ............................................................................ 57

Figura 47. Curva fuerza en el punto de carga - desplazamiento en la boca de la entalla .......... 58

Figura 48. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones .......................... 62

Figura 49. Dominio elástico. Puntos significativos ...................................................................... 66



ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Datos de las vigas simuladas en el ensayo uniaxial ..................................................... 27

Tabla 2. Propiedades del material. Viga sin entallas - modelo local ........................................... 29

Tabla 3. Características del ensayo numérico. Viga sin entallas – modelo local ....................... 30

Tabla 4. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo local .................................... 32

Tabla 5. Características del ensayo numérico. Viga con una entalla - modelo local .................. 33

Tabla 6. Características del ensayo uniaxial numérico. Viga biapoyada - modelo no local ...... 44

Tabla 7. Estudio de la disipación del modelo no local ................................................................ 54

Tabla 8. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo no local ............................... 56

Tabla 9. Propiedades de la malla prismática rectangular ........................................................... 56



1.‐ELFENÓMENODELALOCALIZACIÓNDEDEFORMACIONES.

ESTADODELARTE.

Entre los distintos sistemas de fallo de las estructuras sometidas a esfuerzos encontramos

el del ablandamiento del material de la misma, motivado por la localización de deformaciones

en un dominio espacial concreto de la estructura, de modo que, en lugar de haber un único

estado tensión-deformación homogéneo, aparece un estado inelástico en la zona de

localización de las deformaciones, permaneciendo el resto de la estructura en el dominio

elástico.

En general, en la punta de una grieta, distinguimos una zona caracterizada por tener un

comportamiento constitutivo no lineal y que concentra el reblandecimiento del material, lo que

conlleva una disminución en la resistencia de tensiones y un aumento de las deformaciones.

Rodeando a esta zona se encuentra otra caracterizada por experimentar un endurecimiento

que supone un mantenimiento o aumento en la resistencia de las tensiones con un aumento de

las deformaciones. Dependiendo del tamaño relativo de estas dos zonas y de la estructura,

podemos distinguir tres tipos de comportamiento distinto, según observamos en la Figura 1:

El primero de ellos, característico de los materiales frágiles, se caracteriza por un

tamaño despreciable de las zonas de reblandecimiento y endurecimiento respecto al

de la estructura, de modo que la fractura se concentra prácticamente en un punto en la

punta de la grieta. En este caso la relación tensión-deformación se mantiene lineal

hasta el momento del alcance de la tensión máxima, instante en el que se produce una

rotura frágil con rápida propagación de la fisura y la consiguiente pérdida de la

resistencia de tensiones sin deformación adicional. Este comportamiento se

corresponde con el indicado en la Figura 2 a.

El segundo tipo, característico de los materiales dúctiles, se caracteriza porque el

tamaño de la zona de endurecimiento es mucho mayor que el de la zona de

ablandamiento, además de tener dicha zona de endurecimiento un tamaño

considerable frente al de la estructura. En este caso, una vez alcanzada la tensión

máxima, el material es capaz de mantenerse resistiendo dicha tensión mientras sigue

deformándose en régimen no lineal, antes de que se produzca la propagación de la

fisura y la correspondiente pérdida de tensión, según observamos en la Figura 2 b.



Finalmente, en el tercer caso, característico de los materiales cuasi-frágiles, la zona de

ablandamiento es considerablemente superior a la de endurecimiento y tiene un

tamaño considerable respecto al de la pieza o estructura. El comportamiento no lineal

se inicia antes de alcanzar la carga crítica, aumentando la tensión y la deformación

hasta llegar a dicha carga. Una vez alcanzada la carga crítica se produce la

localización de la fisura y comienza a disminuir la resistencia tensional

considerablemente si bien se sigue deformando el material. Este comportamiento se

corresponde con el indicado en la Figura 2 c.

Figura 1. Zona elástica, zona de ablandamiento y zona de endurecimiento

Figura 2. Comportamiento frágil, dúctil y cuasi-frágil

En relación a los materiales cuasi-frágiles, y concretamente en el caso del hormigón

(Gálvez & Cendón, 2002) distinguen tres zonas características en una grieta tipo, según

podemos observar en la Figura 3:

En la primera de las zonas, la zona fisurada, la fisura se encuentra abierta y el material

totalmente degradado, siendo incapaz de transmitir tensiones.



En la segunda zona, denominada zona en proceso de fractura (con sus siglas en

inglés FPZ), el material ya ha alcanzado la tensión máxima resistente y por tanto ha

roto, pero todavía es capaz de transmitir tensiones gracias a la presencia de puentes

de material sano y a la superposición y distribución espacial de los áridos.

En la tercera y última zona, la zona sana, el material no ha sido sometido todavía a

tensiones que hayan alcanzado la tensión máxima.

Figura 3. Zonas características de una grieta

La zona en proceso de fractura (FPZ) se corresponde con la zona inelástica de

ablandamiento mencionada anteriormente y en los materiales cuasi-frágiles (hormigón, rocas,

mortero) adquiere un tamaño considerable frente al de la pieza o estructura y muy superior al

de la zona de endurecimiento, por lo que este comportamiento se corresponde con el tercer

tipo previamente indicado. En la Figura 4 se muestra el esquema de tensiones y deformaciones

típico de la zona en proceso de fractura:

Figura 4. Esquema de tensiones y deformaciones en la zona de proceso de fractura



Para el estudio, caracterización y representación de los distintos comportamientos

materiales se han configurado distintos tipos de modelos según se busque reproducir un

comportamiento frágil, cuasi-frágil o dúctil.

Uno de los primeros modelos en utilizarse fue el basado en la mecánica de la fractura

elástica y lineal, con sus siglas en inglés LEFM (“Linear Elastic Fracture Mechanics”). Esta

formulación arroja buenos resultados solamente cuando las zonas de ablandamiento y

endurecimiento son pequeñas o despreciables en relación al tamaño de la pieza (materiales

frágiles). En este caso, como ya se ha comentado, la relación tensión-deformación se mantiene

lineal hasta la tensión pico, momento en el que se produce una rotura frágil que origina el fallo

inmediato (ninguna resistencia) sin aumento de las deformaciones. Este comportamiento es

característico de materiales como el vidrio y los materiales cerámicos.

Los modelos elastoplásticos se han venido utilizando para reproducir y estudiar el

comportamiento de los materiales dúctiles, en los que la zona de endurecimiento en la punta de

la grieta es considerable frente al tamaño de la pieza y muy superior al de la zona de

ablandamiento. Su comportamiento se corresponde con el segundo tipo mencionado

anteriormente.

En relación a los materiales cuasi-frágiles como el hormigón, se observó que la utilización

de la mecánica de la fractura elástica y lineal (LEFM) no arrojaba buenos resultados debido a

que despreciaba la zona de ablandamiento, cuyo comportamiento era necesario incorporar.

Podemos clasificar los modelos para representar el comportamiento de estos materiales

conforme a cuatro criterios distintos, siguiendo el orden indicado por (López, 2011):

1) En primer lugar, siguiendo la clasificación establecida por (Planas, y otros, 2003),

distinguimos dos tipos de modelos, según sea la ecuación constitutiva:

1. Por un lado encontramos los que describen la fractura a través de la fisura discreta

(Dugdale D. , 1960) y (Barenblatt, 1962). Se trata de modelos explícitos de

discontinuidades en los que la relación constitutiva dentro de la banda de

discontinuidad se modela mediante una ley cohesiva discreta tracción-salto (origen de

estas leyes cohesivas en los estudios de (Dugdale D. S., 1960) y (Barrenblatt, 1962)),

que complementa la ley tensión-deformación de la parte continua fuera de la banda de

localización, siendo discontinua la función que representa los desplazamientos a lo

largo de la superficie de fallo. Estudios posteriores acerca de las leyes cohesivas

tracción-salto fueron realizados por (Carol & Prat, 1990) y (Cervenka, 1996). A su vez,

dentro de estos modelos de fisura cohesiva discreta podemos distinguir dos subtipos:

Aquellos que usan técnicas de remallado, como el modelo de fisura cohesiva no

embebida (Steinmann, 1999) para hacer coincidir la discontinuidad con los



lados de los elementos. Como ejemplo, (Ingraffea et al. 1999) aplican este

método para modelar el crecimiento de una fisura en análisis tridimensionales.

Aquellos que enriquecen el campo de desplazamientos (o deformaciones) para

que la discontinuidad pueda atravesar los elementos finitos sin necesidad de

recurrir al remallado, como el modelo de fisura cohesiva embebida (Dvorkin,

Cuitiño, & Gioia, 1990) y (Klisinski, Runesson, & Sture, 1991). El origen de esta

técnica de las discontinuidades embebidas tiene su origen en (Ortiz, Leroy, &

Ñeedleman, 1987). Siguiendo las indicaciones de (Jirasek, 2000), existen tres

grandes grupos dentro de la aproximación de las discontinuidades embebidas:

la simétrica estáticamente consistente (SOS), la simétrica cinemáticamente

consistente (KOS) y la no simétrica cinemática y estáticamente consistente

(SKON). Ésta última es la óptima de las tres debido a que es capaz tanto de

garantizar la continuidad de las tracciones como de representar la cinemática de

la discontinuidad dentro del elemento. La aproximación SKON apareció por

primera vez en (Dvorkin, Cuitiño, & Gioia, 1990) y (Klisinski, Runesson, &

Sture., 1991) donde se aplicaba la formulación a un tipo de elementos finitos

concretos. Posteriormente, (Simo & Oliver, 1993) y (Oliver, 1996) presentaron

una versión general de esta formulación para un elemento arbitrario.

2. Por otro lado encontramos los modelos basados en las formulaciones continuas de

tensión y deformación. Se trata de modelos implícitos de discontinuidades en los que se

define una única ley constitutiva de continuo tensión-deformación tanto para la zona de

localización como para el resto de la estructura. En este caso se introduce un

parámetro que indica la longitud característica de los elementos y que está relacionada

con el ancho de la zona de localización. Dentro de este grupo distinguimos dos nuevos

subtipos:

Aquellos modelos en los que la ecuación constitutiva se modifica de tal forma que

los efectos inelásticos se distribuyen uniformemente a través de la banda de

localización de espesor finito y la ley resultante relaciona las tensiones transmitidas

por la banda de localización con la deformación inelástica medida en dicha banda,

como el modelo de fisura difusa (Rashid, 1968).

Los denominados modelos del continuo enriquecido, que son capaces de

representar los elevados gradientes del campo de deformaciones y mantenerlos

continuos tras el inicio de la localización, gracias a técnicas de regularización a

partir de la longitud característica de los elementos, consiguiendo que el resultado

no dependa del tamaño de los elementos. Dentro de estos modelos regularizados

se incluyen, según (Jirásek, 2007), dos subtipos:



Los basados en relaciones cinemáticas y ecuaciones de equilibrio. Ejemplos

son los continuos con microestructura de tipo Cosserat (Vardoulakis, 1989) y los

basados en la teoría del gradiente de las deformaciones o los continuos con

deformaciones no locales.

Los basados en ecuaciones constitutivas. En este tipo encontramos los modelos

no locales (Pjaudier-Cabot & Bazant, 1997) basados en formulación integral o

diferencial (de gradiente explícito e implícito) que se describen en la sección 3.

2) En segundo lugar, desde el punto de vista de los métodos de elementos finitos y

relacionado con la clasificación anterior, según (Gálvez & Cendón, 2002), podemos dividir

los modelos en dos tipos, los basados en la fisura discreta y los basados en la fisura

distribuida.

3) En tercer lugar, desde el enfoque de la cinemática que describe el modelo, observando la

clasificación establecida por (Jirásek, 2007) y (Blanco, 2006), distinguimos tres tipos en

función de la regularidad de los campos de desplazamientos y deformaciones:

1. Los basados en la cinemática de la discontinuidad fuerte, en los que la banda de

localización de las deformaciones tiene espesor nulo, de tal forma que se produce un

salto en el campo de desplazamientos y una singularidad en el campo de las

deformaciones, según observamos en la Figura 5 a.

2. Los basados en la cinemática de la discontinuidad débil, en los que la banda de

localización de las deformaciones presenta un espesor pequeño pero finito. En este

caso el campo de desplazamientos es continuo pero el campo de deformaciones es

discontinuo, tal y como podemos observar en la Figura 5 b.

3. Los basados en la cinemática de campos continuos, en los que tanto el campo de

desplazamientos como el campo de deformaciones son continuos, como vemos en la

Figura 5 c.



Figura 5. Descripción cinemática del modelo. Continuidad de los campos de desplazamientos y

deformaciones

4) Por último establecemos una clasificación en función del valor que toman las variables

internas en el proceso de cálculo:

1. Modelos locales, en los que los valores de las variables internas en un punto

dependen únicamente de dicho punto. Presentan el importante inconveniente de que

los resultados dependen del tamaño de los elementos y de la orientación de los

mismos dentro de la malla.

2. Modelos no locales, en los que los valores que adoptan las variables internas en un

punto dependen del resto de puntos de la estructura o al menos de un subconjunto de

puntos de la misma. La no localidad puede introducirse bien mediante formulación

integral (formulación no local fuerte) o bien mediante formulación diferencial

(formulación no local débil en la que se aplica el laplaciano a la variable interna). Como

ya se ha citado previamente, los modelos no locales se explican más detalladamente

en la sección 3.





2.‐MODELOSLOCALESDEDAÑOPARAELHORMIGÓN

2.1‐Introducción.

Los modelos de daño continuos han sido ampliamente utilizados (Simo & Ju, 1986) (J.C

Simo y J.W. Ju, 1986 ó J.Mazars, 1982) para el estudio de la degradación de los materiales

dúctiles mediante procesos de fatiga, fisuración, etc. y para materiales más cuasi-frágiles como

roca y hormigón. Dichos modelos se basan en la termodinámica de procesos irreversibles y

variables de estado internas. Cuando el material sea isótropo1 el modelo más sencillo consistirá

en representar el daño mediante una variable escalar, mientras que en el caso de anisotropía

será necesario representar la variable de daño mediante un tensor. La utilización de modelos y

formulaciones isotrópicos está muy extendida debido a su simplicidad, eficiencia y adaptación a

muchos casos de aplicación práctica.

Presentamos en este apartado el estudio de la fisuración del hormigón mediante un

modelo local, continuo, isótropo y basado en el dominio de las deformaciones. En este modelo

el daño se representa mediante la variable d, cuya interpretación física puede aproximarse a la

proporción de volumen degradado, tomando el valor cero cuando todavía no ha sufrido

fisuración alguna y uno cuando se encuentra totalmente fisurado. La principal característica de

este modelo es que permite representar la pérdida de rigidez conforme aumenta la tracción en

el hormigón, mientras que en un estado de compresión la rigidez se mantiene constante, es

decir, la rigidez del material depende de la historia de las deformaciones, manteniéndose

constante en un estado de compresión (cierre de la fisura) y disminuyendo conforme aumentan

las tracciones. Así pues, se debe tener en cuenta que este modelo está ideado para el estudio

de la fisuración del hormigón en tracción y por tanto no sirve para representar el

comportamiento no lineal de dicho material ante grandes esfuerzos de compresión. Además,

según se verá más adelante, la propagación de la fisura depende de la alineación y del tamaño

característico de la malla. Para abordar estos problemas introduciremos en el siguiente bloque

del trabajo un modelo de daño no local.

2.2‐Basetermodinámica.

El modelo utilizado ha sido el implementado en el código de elementos finitos Code-Aster

(Code_Aster, 2014). Un desarrollo más extenso de la teoría del modelo puede encontrarse en

(Hamon, 2013). Partimos del conocimiento del tensor de deformaciones ε expresado en la base

de sus direcciones principales y de la expresión general de la función de densidad de energía

elástica para un material isótropo lineal:

1 Isotropía: las propiedades físicas del cuerpo o material no dependen de la dirección espacial.



2

10 2)( tr i

i2 [1],

siendo εi las deformaciones principales y {λ, µ} los parámetros de Lamé. En esta expresión

podemos observar dos términos, el primero representando una tracción-compresión

volumétrica mediante la traza del tensor de deformaciones y el segundo una suma que

representa la tracción-compresión en cada una de las direcciones principales.

Para representar la diferencia de comportamiento del material en compresión y tracción en

el régimen inelástico, introducimos la variable de daño ∈ 0,1 y la función de Heaviside2 en la

expresión anterior, de forma que el factor reductor del daño afecte sólo a la energía elástica

debida a la parte positiva de las deformaciones, resultando la siguiente expresión para la

función de densidad de energía del modelo:

2

1 2)( tr )([ trH )(d )( trH })]()()([{] 2

iiii HdH [2],

siendo la expresión del factor de reducción:

.1

1)(

d

dd

[3]

donde es un parámetro material.

Observamos que para compresión pura, es decir, εi < 0, la expresión resultante es

exactamente la de la densidad de energía elástica 0 , mientras que para tracción pura, εi > 0,

la expresión resultante es 0)( d .

Asumiendo que se trata de un proceso isotermo, estudiamos la desigualdad de Clausius-

Duham para deformaciones infinitesimales, aplicando el método de Coleman & Noll (Lubliner,

1976), y expresamos la disipación como sigue:

D 0: [4]

Desarrollando esta desigualdad obtenemos3:

ii

i{ )( tr )([ trH )(d )]( trH )]}()()([2 iii HdH

2

1[

)1(

12d

d

)()( 2 trHtr 0])(2 i

ii H [5]

2 H(x) = 0 si x < 0; H(x) = 1 si x ≥ 0 3 Si f(x) = u2(x) H(u(x)) entonces df/dt = 2 u(x) H(u(x)) du(x)/dt



En esta desigualdad podemos identificar dos sumandos. El primero de ellos nos

proporciona la respuesta tensional y el segundo la disipación interna del modelo. En lo que al

campo tensional respecta, la ecuación que obtenemos es la siguiente:

i )( tr )([ trH )(d )]( trH )]}()()([2 iii HdH [6],

siendo la expresión de la disipación:

2

1[

)1(

12d

ddYD

)()( 2 trHtr 0])(2 i

ii H [7]

que para el caso particular de extensión uniaxial arroja la expresión:

dd

EdYD 2

22

)1(2)1(

)12)(1(

[8],

expresión que se utilizará posteriormente para regularizar el ablandamiento. Finalmente, la

expresión de la disipación nos permite definir “Y” como la fuerza termodinámicamente

conjugada de la variable de daño d:

2

1[

)1(

12dd

Y

)()( 2 trHtr ])(2i

ii H [9]

Para el caso particular de deformación plana (ε3=0), obtenemos gráficamente las

tensiones σ1 y σ2, como funciones dependientes de ε1 y ε2:

Figura 6. Tensión principal σ1



Figura 7. Tensión principal σ2

Destacar que en los gráficos representados ya existe daño, (d≠0), pudiéndose observar el

distinto comportamiento en la zona de compresión y tracción (distinta pendiente),

Adicionalmente se observa que las tensiones obtenidas σ1 y σ2 son funciones continuas de

derivada discontinua en σ i=0. Los gráficos se han obtenido para unos valores λ=20,2 MPa,

µ=13,5 MPa y d=0,5.

2.3‐Caracterizacióndelaevolucióndeldaño.

El dominio elástico en el espacio de las deformaciones se define mediante el siguiente

criterio de fallo:

kYdg ),(

2

1[

)1(

12d

kd

)()( 2 trHtr 0])(2 kHi

ii [10]

Este criterio establece un dominio elástico utilizando un umbral “k” según la expresión:

)(10 trHtrkkk [11]

El modelo permite considerar el grado de confinamiento del hormigón. En el caso de que

no se desee tener en cuenta dicho grado de confinamiento, el parámetro k1 será cero. Según la

definición previa, para tr(ε)>0 (tracción) k=k0, mientras que para tr(ε)<0 (compresión) k>k0.

Según este criterio podemos clasificar los puntos del espacio de las deformaciones como:

• Pertenecientes al dominio elástico si g(ε,d) < 0.

• Pertenecientes al contorno del dominio elástico si g(ε,d) = 0.

• Puntos inadmisibles si g(ε,d) > 0.



Debido a la presencia de la función de Heaviside en la expresión que define el dominio

elástico, dicha ecuación adopta diferentes formas en las distintas regiones del espacio de las

deformaciones, en función del signo de εi y tr(εi). En el anexo I se detallan estas regiones y la

expresión de la superficie que define el contorno del dominio elástico.

Las siguientes gráficas muestran la evolución del dominio elástico en el espacio de las

deformaciones principales en el problema de deformación plana (ε3=0) y para valores de la

variable de daño “d” de 0,0, 0,5 y 1,0. Se observa en primer lugar que conforme aumenta el

valor de la variable de daño aumenta el tamaño del dominio elástico. Observando la expresión

de g(ε,d) previamente definida, se nota que todos los pares de puntos (εi<0, εj<0) pertenecen al

dominio elástico (resultado esperado ya que para todo par εi<0, εj<0 obtenemos g(ε,d)=-k0<0).

La intersección del contorno del dominio elástico con el plano horizontal (ε3=0) viene definido

por dos rectas paralelas a los ejes coordenados y tres curvas de segundo grado cuyos puntos

característicos se pueden ver en las figuras adjuntas.

Figura 8. Intersección del dominio elástico con el plano ε3 = 0



Figura 9. Corte del dominio elástico con el plano ε3 = 0 en función de la variable de daño

En la Figura 10 se muestra el contorno definitivo del dominio elástico en tres dimensiones,

definido por trece superficies, cuyas expresiones y dominios se especifican, como se ha

comentado previamente, en el anexo I:

Figura 10. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones



Las condiciones de carga-descarga pueden derivarse a partir de las condiciones de Kuhn-

Tucker:

0d ; 0),( dg ε ; 0),( dgd ε

Para el caso en el que 0d se debe imponer la condición de consistencia:

0),(),( 0 Si dgdgd εε

que nos permite obtener en integración cerrada el valor de la variable de daño d :

kYdg ),(

2

1[

)1(

12d

kd

)()( 2 trHtr 0])(2 kHi

ii

donde obtenemos finalmente:

}1])()()(2

1[

1{

1 22

i

ii HtrHtrk

d

εε [12]

2.4‐Resumendelosparámetrosdelmodelodedañolocal.

Por último vamos a resumir los parámetros del modelo de daño local usado, tal como se

indica en(Code_Aster, 2014) y (Hamon, 2013):

Módulo de elasticidad “E”.

Coeficiente de Piosson “ν”.

Coeficientes de Lamé:

i. )21)(1(

E

ii. )1(2

E

Resistencia a tracción simple “SYT”.

Resistencia a compresión simple “SYC”. En el caso de que no se considere el

grado de confinamiento, tenemos que:

2

2

2

21SYTSYC

En caso de que se quiera tener en cuenta el grado de confinamiento, la resistencia

a compresión simple será una entrada de datos independiente.

Pendiente decreciente de la curva tensión-deformación del ensayo uniaxial “m”,

cuya expresión es la siguiente4:

4 En el siguiente apartado se deduce esta expresión



)1(2)12(

)12(20

2

20

2

EGh

Ehm

f

m

E

)(10 εε trHtrkkk

1

21

2

1)(

22

0 ESYTk

SYC

EkSYCk

)21()21)(1(

)1(0

2

1

; en caso de que no se tenga en

cuenta el grado de confinamiento del hormigón, k1 = 0.

2.5‐Dependenciadeltamañodelamallayregularizacióndel

ablandamiento.

La regularización consiste en hacer independiente la energía disipada por el modelo

durante el ablandamiento del espesor del elemento finito que sufre los procesos inelásticos.

Para hacerlo, obligamos a que la disipación del modelo en el ensayo de extensión uniaxial

venga dada por el parámetro material Gf (densidad superficial de energía de fractura).

Para ello partimos de la ecuación [7] que representa la disipación del modelo:

2

1[

)1(

12d

ddYD

)()( 2 trHtr 0])(2 i

ii H

y la particularizamos para el caso de tensión uniaxial cuyo tensor de deformaciones tiene la

forma:

00

00

001

00

00

00

ε

obteniendo el siguiente valor para la disipación:

dd

EdYD 2

22

)1(2)1(

)12)(1(

A partir de la expresión anterior se deriva la fuerza termodinámicamente conjugada de la

variable de daño d para el caso de tracción uniaxial:

]212

[)1(

1]21

2[

)1(

1 2

22222

2

dd

Y [13]



Para los valores conocidos de los coeficientes de Lamé, µ y λ:

)21)(1(

E

)1(2

E

tenemos:

2

22

)1(2)1(

)12)(1(

dEY

[14]

expresándose finalmente la disipación como:

dd

EdYD 2

22

)1(2)1(

)12)(1(

[15]

Al tratarse de carga inelástica monótona sabemos que, siendo g la función de fluencia, se

cumple una vez abandonamos el dominio elástico:

0),( kYdg ε [16]

0),( Ydg ε [17]

Al ser k0 constante, podemos obtener su valor (tamaño inicial del dominio elástico)

particularizando [15] en el instante que empiezan los procesos inelásticos, esto es,

particularizando para ϵ=σ0/E y d=0, obteniendo:

EYkk

dE 2)1(

)12)(1( 20

2

0,/00

[18]

Obtenemos el valor de d a partir de las ecuaciones [15] y [17]:

02)1(

)12)(1(

)1(2)1(

)12)(1( 20

2

2

22

EdE

[19]

despejando obtenemos:

0

0

E

d [20]

Y de [16] obtenemos el valor de d :



0)1(

)1(3

d

ddYg

0)1( dd

0

0

011 E

E

dd

[21]

Por último, introduciendo [19] y [20] en la ecuación de la disipación [14]:

02

02

0

0

22

)1(2

)12)(1(

)1()1(2

)12)(1(

E

EED [22]

El trabajo disipado en todo el dominio con procesos inelásticos hasta que se agota el

material se expresa como:

dVm

dtdVWVV

)(

)1(2

)12()1(

)1(2

)12()1( 00

2

0

2

[23]

donde el parámetro m representa la pendiente de la curva tensión-deformación en la rama de

ablandamiento para el caso de extensión uniaxial. El objetivo de la regularización del

ablandamiento es poder definir este parámetro m en función del parámetro material densidad

superficial de energía de fractura y de un tamaño característico de la zona de procesamiento

de fractura. Este dominio donde tiene lugar la disipación puede caracterizarse mediante una

superficie transversal S y un espesor h (ver Figura 11).



Figura 11. Superficie transversal y espesor del dominio de disipación

Si imponemos que la energía disipada venga dada por el parámetro material Gf (densidad

de energía superficial de fractura), obtenemos:

SGShEm

mEW f

2

0

2

)1(2

)12(

[24]

donde hemos sustituido el valor de ɣ por:

m

E

Finalmente despejamos el valor buscado de la pendiente de la rama de descarga, m:

)1(2)12(

)12(20

2

20

2

EGh

Ehm

f

[25]

Si particularizamos la anterior expresión para un valor nulo del coeficiente de Poisson,

ν=0, obtenemos la expresión:

EGh

Ehm

f220

20

y si definimos gf=Gf/h como la densidad de energía por unidad de volumen, obtenemos:

Eg

Em

f220

20



El parámetro m toma sentido físico cuando se hace negativo, por lo que distinguimos los

siguientes valores en función de gf:

0;;2

20

mE

g f

Figura 12. Dominio de m en función de la densidad de energía volumétrica gf

Para comprobar el efecto de la regularización se ha simulado el ensayo de tracción

uniaxial sobre tres vigas (E1, E2 y E3) cuya geometría se muestra en la Figura 13 y cuyos

detalles se resumen en la Tabla 1.

Figura 13. Croquis de la viga utilizada en el ensayo uniaxial



Tabla 1. Datos de las vigas simuladas en el ensayo uniaxial

Especimen E (Mpa) ν σ0 (Mpa) L (mm) h (mm) Gf (N/mm) d0 (mm) df (mm) E1 24.000 0,18 2,8 1.000 200 1 0,12 0,71

E2 24.000 0,18 2,8 1.000 333 1 0,12 0,71

E3 24.000 0,18 2,8 1.000 500 1 0,12 0,71

El espesor e de las tres vigas es de 250mm y el canto c de 350mm. Igualmente, se ha

considerado, para las tres vigas, una resistencia máxima a tracción del hormigón de 2,8MPa y

una resistencia a compresión simple de 28Mpa. Para conseguir localizar el daño en la zona

central de la viga se ha modelizado como un material elástico la parte de la viga fuera de la

zona central de longitud h. Se han llevado a cabo 6 simulaciones para comparar el

comportamiento del modelo considerando o no la regularización.

Para las tres primeras simulaciones, en las que sí se ha tenido en cuenta la regularización,

observamos que las ramas de descarga fuerza-desplazamiento son coincidentes, es decir, el

comportamiento fuerza-desplazamiento no depende de la longitud de localización del daño “h”:

Figura 14. Aplicación del modelo regularizado

Mientras, para las tres siguientes simulaciones, en las que no se ha incorporado la

regularización, observamos que las gráficas de carga y descarga fuerza-desplazamiento no

son coincidentes, es decir, el comportamiento fuerza-desplazamiento en la rama de

ablandamiento depende del valor de h:



Figura 15. Aplicación del modelo no regularizado.

2.6–Influenciadelaorientacióndelamallaenlapropagacióndela

fisura

Pasamos a continuación al estudio de la influencia de la orientación de la malla en la

propagación de la fisura en los modelos de daño locales. Para ello vamos a utilizar un modelo

que usa como método de continuación el algoritmo de control de desplazamientos y como

modelo material el modelo de daño local escalar (una única variable escalar para representar el

daño) sólo tracción explicado en los anteriores apartados.

El modelo material de daño escalar sólo tracción se caracteriza fundamentalmente por

utilizar una única variable escalar d para representar el daño, cuya evolución viene dada

exclusivamente por la parte positiva de las deformaciones (tracción), mientras que a

compresión el comportamiento es puramente elástico. La variable de daño d puede tener un

sentido físico aproximado a la proporción de volumen degradado, tomando el valor cero cuando

todavía no ha sufrido fisuración alguna y uno cuando se encuentra totalmente fisurado. Este

modelo material está pensado para modelizar fenómenos en los que el fallo del hormigón se

produce a tracción, por lo que no sirve, por ejemplo, para estudiar el comportamiento del

hormigón frente a grandes esfuerzos de compresión que sean los que provoquen el

agotamiento del material.



2.6.1.Análisisaflexióndeunavigasinentalla.

Vamos a reproducir en este apartado, mediante simulación numérica, el ensayo

experimental presentado por (Elices, Guinea, Gómez, & Planas, 2002) consistente en someter

a flexión simple una viga biapoyada sin entallas mediante la aplicación de una carga vertical en

el centro del vano. La geometría y el esquema de cargas se detallan en la Figura 16. Las

propiedades del material, resumidas en la Tabla 2, han sido tomadas de (Elices, Guinea,

Gómez, & Planas, 2002).

Figura 16. Croquis de la viga sin entalla

Tabla 2. Propiedades del material. Viga sin entallas - modelo local

σ0 [MPa] E [MPa] Ν Gf [N/mm] 3,9 39.000 0,18 0,126

En la Figura 17 se observa la discretización de la geometría de la viga descrita mediante

una malla formada por elementos prismáticos lineales de base rectangular. Como puede

observarse, se ha mallado con un mayor número de elementos en la zona central ya que es

por donde ha de transcurrir la fisura. Además el objeto del ensayo es, entre otros, la

representación de la fuerza aplicada vs la diferencia de desplazamiento horizontal de los

puntos A y B separados inicialmente por L0=25 mm. En la Tabla 3 se resumen las principales

características de la malla.



Tabla 3. Características del ensayo numérico. Viga sin entallas – modelo local

Nº nodos Nº elementos Tipo elementos Modelo material 3.388 2.700 Prismas rectangulares lineales Daño escalar sólo tracción

Figura 17. Malla de la viga sin entalla

En la simulación numérica obtenemos una propagación vertical de la fisura hasta casi la

fibra superior, conforme a la realidad. En la Figura 18 observamos la propagación de dicha

fisura mediante la representación de la variable de daño d, que toma valor 0 para el material no

dañado y valor 1 para el material completamente dañado.

Figura 18. Evolución de la variable de daño en la viga sin entalla tras la simulación

La deformada de la viga, en la que mostramos el módulo del vector de desplazamientos,

una vez se ha producido el fallo es la siguiente:



Figura 19. Deformada de la viga sin entalla tras la simulación

En la Figura 20 se representa la fuerza aplicada vs la diferencia de desplazamiento de los

puntos en los extremos de la longitud L0. Como se puede observar, el hecho de haber

incorporado el concepto de la regularización nos permite obtener un modelo que es capaz de

aproximarse con bastante precisión a la realidad experimental (y al modelo utilizado por [M.

Elices et al, 2002]) con independencia del tamaño de la malla.

Figura 20. Curva fuerza-desplazamiento para la viga sin entalla tras la simulación. Comparación

con el resultado experimental



2.6.2.Análisisaflexióndeunavigaconunaentallaenlapartecentral.

En este apartado reproducimos mediante simulación numérica el ensayo experimental

presentado por (Arrea & Ingraffea, 1982) consistente en someter a flexión simple una viga con

una entalla en la parte central cuya geometría y esquema de cargas se detallan en la Figura

21. Las propiedades del material, resumidas en la Tabla 4, han sido tomadas de (Arrea &

Ingraffea, 1982).

Figura 21. Croquis de la viga con una entalla

Tabla 4. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo local

σ0 [MPa] E [MPa] ν Gf [N/mm] 2,8 24.000 0,18 0,1

En la Figura 22 se observa la discretización de la geometría de la viga descrita mediante

una malla formada por elementos cuya geometría es de hexaedros cuadráticos. Como puede

observarse, se ha mallado con un mayor número de elementos en la zona central para obtener

un mayor refinamiento y precisión de los resultados en la zona por la que teóricamente debería

discurrir la fisura. Además se han colocado unos tacos modelizados con material metálico para

distribuir la carga aplicada y que no fallen los elementos inmediatamente inferiores a la carga

debido a la concentración de la carga en dichos elementos. En la Tabla 5 se resumen las

principales características de la malla:



Tabla 5. Características del ensayo numérico. Viga con una entalla - modelo local

Nº nodos Nº elementos Tipo elementos Modelo material 7.239 1.212 Hexaedros cuadráticos Daño escalar sólo tracción

Figura 22. Malla de la viga con una entalla

Los resultados experimentales indican que la fisura progresa desde la parte superior de la

entalla hasta la parte derecha de la línea de aplicación de la carga describiendo una curva que

arranca en la entalla con una pendiente cuasi-horizontal. Sin embargo, el hecho de usar un

modelo de daño local hace que la fisura no se propague por donde debería, debido al efecto de

la orientación de la malla, que le hace tender a propagarse verticalmente, tal y como vemos en

la Figura 23, en la que se representa la variable de daño, tomando valor 1 en los elementos

totalmente dañados hasta valor 0 en el material sin daño.

Figura 23. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo local



Mostramos a continuación el estado final de la viga deformada tras la simulación, donde

representamos el valor de la componente del desplazamiento horizontal:

Figura 24. Deformada de la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo local

Por último, mostramos la relación fuerza aplicada – desplazamiento horizontal de la boca

de la entalla en la Figura 25. En dicha figura comparamos el resultado numérico obtenido con

los resultados experimentales (Arrea & Ingraffea, 1982) y con los resultados numéricos de

(Blanco, 2006). Podemos observar que los resultados obtenidos con el modelo local se ajustan

lo suficiente a los resultados experimentales a pesar que la propagación de la fisura se desvía

de la real. El tamaño característico utilizado para regularizar el ablandamiento en este ensayo

ha sido de 40 mm, superior al tamaño característico de la malla (alrededor de 27 mm). Una

explicación a esta desviación puede ser que la regularización descrita está pensada para el

modo de fractura tipo I, mientras que este caso se corresponde realmente con un modo de

fractura mixto de los tipos I y II.



Figura 25. Curva fuerza-desplazamiento en la viga de una entalla tras la simulación - modelo local





3.‐MODELOSNOLOCALESDEDAÑOPARAELHORMIGÓN

3.1.Introducción.

Hasta el momento hemos utilizado para analizar la fisuración del hormigón un modelo

local. Sin embargo, en estructuras sometidas a condiciones de carga más exigentes o

extremas, se producen grandes localizaciones de deformaciones en bandas estrechas y una

rápida evolución del daño, no siendo capaces dichos modelos de representar correctamente

este fenómeno físico. Además, el tensor de localización es singular para determinadas

direcciones, las ecuaciones diferenciales que rigen el problema mecánico pierden elipticidad y

por consiguiente la respuesta de los modelos locales no representa la realidad. Dos son los

problemas que presentan los modelos de daño local con ablandamiento: la dependencia del

tamaño de los elementos en la energía disipada por el modelo y la influencia que la orientación

de la malla tiene en la propagación de la zona dañada.

Para solucionar estos inconvenientes se han formulado modelos, como podemos leer en

(Jirásek, 2007), como los modelos de fisura cohesiva discreta, que admiten una importante

discontinuidad en el campo de desplazamientos, el modelo de fisura cohesiva difusa, que

localiza en una banda las deformaciones extremas, y los modelos regularizados, en los que

nos vamos a centrar, que están basados en la teoría de la continuidad e incorporan la longitud

característica evitando la localización de las deformaciones en un volumen pequeño. Dentro de

los modelos regularizados encontramos los modelos no locales, que habitualmente formulamos

a partir de un campo de desplazamientos continuo y diferenciable, permaneciendo el campo de

las deformaciones continuo. El fenómeno de la localización de deformaciones elevadas se sitúa

en bandas estrechas, con una transición continua a deformaciones muy inferiores en los

alrededores o proximidades de dichas bandas.

Podemos distinguir dos tipos de modelos regularizados. El primero de ellos es el

construido a partir de las relaciones cinemáticas y las ecuaciones de equilibrio, apareciendo a

su vez dos subtipos, los continuos con microestructura (como los basados en el gradiente de

las deformaciones) y los continuos con deformación no local (como los de elasticidad no local).

El segundo tipo es el basado en las ecuaciones constitutivas, que igualmente se divide en dos

subtipos, modelos de materiales con gradientes de las variables internas y modelos de

materiales con ponderaciones espaciales de las variables internas. Como veremos a

continuación, nuestro modelo se basa en el segundo tipo.



3.2.Formulaciónintegral.

Siguiendo la exposición de (Jirásek, 2007), la formulación de los modelos no locales se

realiza fundamentalmente de tres maneras. La primera de ellas es la formulación integral, en la

que se asume que las tensiones en un punto dependen no solamente de las variables de

estado en dicho punto sino en general de los valores que toman dichas variables de estado en

todo el cuerpo, de forma que todos los puntos del dominio tienen influencia sobre el resto. De

ahí que la aproximación no local en este caso consista en reemplazar el valor de una

determinada variable de estado en un punto (modelo local) por otro valor correspondiente (no

local) que consiste en el compendio ponderado de valores que toma dicha variable de estado

en el resto de puntos del dominio del cuerpo en estudio, o al menos en un subconjunto del

mismo. Podemos expresarlo de la siguiente manera:

1

)](),([)(),()(i

ii

V

fxdfxxf [26]

Podemos aplicar esta formulación a nuestro problema calculando la variable de daño a

partir de la deformación equivalente no local.

3.3.Formulacióngradienteexplícito.

La segunda de ellas es la formulación de gradiente explícita, que consiste en definir la

deformación equivalente del modelo no local como suma de la deformación equivalente

correspondiente del modelo local más el término que caracteriza al modelo no local, el

laplaciano de dicha deformación equivalente local, multiplicada por el cuadrado de la longitud

característica, y que expresamos como vemos a continuación:

eqeqeq l 22 [27]

Podemos observar que con esta formulación sustituimos las interacciones espaciales que

nos proporciona la formulación integral por la incorporación de la influencia de la

microestructura a través de los gradientes u otros operadores diferenciales de las variables

internas en las ecuaciones constitutivas.

3.4.Formulacióngradienteimplícito.

Finalmente, la tercera formulación es la de gradiente implícito, que surge como solución a

las dificultades de implementación de la formulación de gradiente explícito, debido a la

presencia de los operadores diferenciales de orden dos. Como se puede observar, la

formulación implícita es muy parecida a la anterior salvo que el laplaciano se aplica a la

deformación equivalente no local (de ahí la denominación de esta formulación), añadiendo la

condición de contorno homogénea de Newmann, que dice que el producto de la normal a la



superficie del contorno del cuerpo en cuestión por el gradiente de la deformación equivalente

no local, es cero para toda la mencionada superficie:

eqeqeq l 22 [28]

0 eqn [29]

El problema de contorno planteado se puede expresar como una suma ponderada, al igual

que ocurría con la formulación integral, en la que la función de peso pasa a ser una función de

Green. A pesar de esta similitud formal, la implementación numérica es muy diferente.

Nosotros vamos a utilizar la formulación del gradiente implícito y vamos a reproducir un

ejemplo con solución analítica (Jirásek, 2007) para tener una visión más cercana y comprender

qué parámetros influyen en el tamaño de la zona de localización.

3.5.Aplicaciónteóricadelaformulacióngradienteimplícitoalcasodel

ensayouniaxial.

Reproduciendo el estudio teórico realizado por (Jirásek, 2007), consideramos una barra

homogénea de sección constante sometida a una elongación constante, sin tener en cuenta

fuerzas de inercia, por lo que el campo de tensiones es constante. El objetivo es estudiar bajo

qué condiciones el campo de deformaciones pasa a ser no uniforme y cómo son estas

soluciones del campo de deformaciones, analizar el instante en el que el campo de

deformaciones va a pasar a ser no uniforme, es decir, el instante en el que todavía es uniforme

pero la velocidad de deformación es no uniforme, y, finalmente, el tamaño de la zona de

localización de las deformaciones no uniformes.

Para el caso general partimos de las siguientes ecuaciones (siguiendo la nomenclatura

presentada en (Jirásek, 2007)):

Ley tensión-deformación:

εDσ e :)1( [30]

Ley de daño:

)(kg [31]

Condiciones de carga-descarga:

0)(),( kkf eq [32]

0k [33]

0),( kkf [34]



Para el caso unidimensional tenemos:

E)1( [35]

Si derivamos con respecto al tiempo:

EE )1( [36]

Dado que

kgdt

dk

dk

dg

dt

d [37]

y llamando Eu al módulo de descarga o secante a:

EEu )1( [38]

tenemos finalmente:

kgEEu [39]

Recordando que la variable interna k representa el nivel máximo de deformación

equivalente alcanzado previamente a lo largo de la historia del material, tenemos que:

k [40],

es decir,

k si 0

0k si 0

En la zona de daño la velocidad de deformación es positiva, por lo que en dicha zona:

)( gEEgEE uu [41]

Llamando Eed al módulo tangente:

gEEE ued [42]

podemos expresar la relación entre las velocidades de deformación y variación de tensión

como:

)()( ueduuedu EEEkEEE [43]

Hay que indicar que los módulos secante Eu y tangente Eed se toman como constantes

porque en el momento de la localización el campo de deformaciones es todavía uniforme y que

la variación de tensiones es independiente de la coordenada espacial. Dependiendo de los

signos de la velocidad de deformación y del módulo tangente, existen dos soluciones

uniformes:

0)( edE

x

[44]



para el caso de crecimiento uniforme del daño y

0)( uE

x

[45]

para el caso de descarga elástica uniforme.

Nos vamos a centrar ahora en la búsqueda de soluciones no uniformes que nos

proporciona la formulación no local. La solución más interesante es aquella que nos

proporciona un crecimiento del daño localizado en un intervalo Id de longitud Ld, rodeado por

zona con daño constante y descarga elástica uniforme. Podemos situar el origen de

coordenadas espacial en el centro del intervalo de localización, por lo que el mismo será el Id

=(-Ld /2, Ld /2), asumiendo una longitud total de la barra L lo suficientemente grande como para

que Id ϵ(-L/2, L/2), es decir, la zona de localización se sitúe por completo dentro de la barra, de

tal forma que fuera del intervalo Id la velocidad de deformación es negativa y la relación entre

las velocidades de deformación y variación de tensión se reduce a:

uE [46]

siendo la solución:

uEx

)( [47]

para todo x fuera del intervalo Id. En el caso de usar la formulación de gradiente implícito (ver

ecuación [27]):

eqeqeq l 22

que aplicada al caso unidimensional se reduce a:

2l [48]

2l [49]

Observaremos, como indicaremos a continuación, que dicha solución introducirá un factor

que depende de l. Si introducimos en la ecuación [43] la ecuación [49] obtenemos dos

ecuaciones, dependiendo de la zona espacial en la que nos encontremos:

)()( 2 xlExE ued [50]

en el caso de los puntos pertenecientes a Id y:

)()( 2 xlExE uu [51]

para los puntos que no pertenecen al intervalo Id.

La solución del campo de velocidades de deformación no local ha de ser, como hemos

impuesto, positiva dentro de Id y negativa fuera del mismo, por lo que, para cumplir con el



requisito de continuidad, hay que imponer en la frontera del intervalo

2,

2dd

d

LLI que el

campo de velocidades de deformación no local sea nulo, además de continuo y diferenciable.

Con estas premisas llegamos a la conclusión de que existe una solución no uniforme

solamente para Eed<0 con las siguientes expresiones, dependiendo de que los puntos

pertenezcan o no al intervalo Id:

l

L

E

E

l

x

E

E

Ex

d

u

ed

u

ed

ed

2cos

cos

1)( [52]

para los puntos pertenecientes al intervalo Id, y

l

xL

u

d

eE

x 2

2

1)( [53]

para los puntos que no pertenecen al intervalo de localización del daño Id.

Por su parte, el tamaño de la zona de localización, proporcional al parámetro l (que indica

el radio de influencia del entorno para un punto de Gauss o tamaño del entorno de un punto de

Gauss del que se tiene en cuenta su curvatura), tiene la siguiente expresión:

u

ed

ed

ud E

E

E

ElL arctan2 [54]

Obtenidos estos resultados, la velocidad de deformación local la obtenemos

inmediatamente a partir de la propia formulación del gradiente implícito (ecuación 49):

2l

Es decir, la velocidad de deformación con formulación local tendría la expresión:

u

ed

d

u

ed

u

ed

ed E

E

l

L

E

E

l

x

E

E

Ex 1

2cos

cos

1)(

[55]

para los puntos pertenecientes a Id y:

uEx

)( [56]



para los puntos que se encuentran fuera del intervalo Id.

Dibujamos las expresiones de la velocidad de deformación para las formulaciones local y

de gradiente implícito, para el caso particular edu EE y normalizando los valores dividiendo

las ordenadas por uE

y las abscisas por l según observamos en (Jirásek, 2007):

Figura 26. Velocidad de deformación normalizada vs coordenada espacial normalizada. Modelos

local y no local

Hemos trabajado suponiendo una barra infinitamente larga por simplicidad de la solución.

Para el caso de una barra real de longitud finita L, se ha de imponer la condición de contorno

de Neumann 0 en los extremos 2

Lx de la barra, obteniendo una solución que

depende de L pero con características similares a las obtenidas previamente. De la expresión

del tamaño de la zona de localización deducimos que para valores muy elevados del módulo

tangente la longitud de localización en la barra tiende a cero y que para valores tendentes a

cero del valor del módulo tangente, la longitud de localización tiende a infinito, resultados

apoyados por la experiencia y simulación numérica. Estos mismos resultados se obtienen con

la formulación integral pero con la formulación del gradiente explícito se obtiene igualmente que

cuando el módulo tangente tiende a cero la longitud de localización tiende a infinito pero

cuando el módulo tangente tiende a infinito la longitud de localización tiende a 2пl, es decir,

tiene un límite inferior, resultado no apoyado por la realidad experimental ni la simulación

numérica.



3.6.Aplicacióndelaformulacióngradienteimplícitoalensayode

extensiónuniaxial.

En los siguientes apartados vamos a analizar los resultados del estudio del ensayo

uniaxial mediante un modelo de daño continuo no local basado en ecuaciones constitutivas con

formulación de gradiente implícito.

En primer lugar definimos la geometría de la viga objeto del ensayo numérico en la Figura

27. El material simulado es hormigón, con las propiedades indicadas en la Tabla 6:

Figura 27. Croquis de la viga empleada para reproducir el ensayo uniaxial - modelo no local

Tabla 6. Características del ensayo uniaxial numérico. Viga biapoyada - modelo no local

L [mm] e [mm] c [mm] σ0 [MPa] E [MPa] ν Gf [N/mm]

1000 250 350 2,8 24.000 0,18 0,1

3.6.1Análisisdelaindependenciadeltamañodeloselementosdemalla.

En primer lugar vamos a realizar la simulación sobre 5 vigas que tienen las mismas

características (indicadas anteriormente) salvo la discretización geométrica. Los valores

empleados para l y la pendiente de la rama de descarga han sido 30 y -300 MPa



respectivamente. Las mencionadas vigas se componen de 11, 21, 31, 41 y 51 elementos,

según se puede observar en las siguientes figuras:

Figura 28. Discretización con 11 elementos







A continuación presentamos las curvas fuerza aplicada – desplazamiento del extremo

móvil de la viga.



Figura 33. Fuerza - desplazamiento del extremo libre en función del refinamiento de la malla

Observamos que hasta cierto punto el comportamiento es idéntico, independientemente

de la finura de la malla, y que conforme aumenta el refinamiento la tendencia es a converger a

un único resultado. Por tanto, se cumple que el error en la discretización tiende a cero cuando

el tamaño característico de la malla tiende a cero.

A continuación pasamos a presentar la distribución de la variable de daño a modo de

ejemplo en la viga de 11 elementos y la evolución de la variable de daño a lo largo de la viga

para las 5 discretizaciones utilizadas:

Figura 34. Distribución de la variable de daño para la viga de 11 elementos



Figura 35. Distribución espacial de la variable de daño en función de la discretización

Se observa cómo efectivamente la variable de daño adopta el valor 1 en la zona

completamente dañada, que es en la zona central, donde se concentra el daño, y se hace cero

en los extremos. Observamos que conforme aumenta el refinamiento de la malla la distribución

de la variable de daño tiende a coincidir. Se aprecian unos picos en el entorno del valor que

debería ser máximo e igual a 1 debidos a la extrapolación de la variable de daño que se realiza

en el post-proceso, siendo por tanto estos picos un error de extrapolación.

3.6.2Análisisdelainfluenciadelparámetrolenlarespuesta.

En este apartado vamos a ver cómo influye el coeficiente (l) del laplaciano de las

deformaciones mejoradas (no locales) en la respuesta numérica. Para ello vamos a trabajar

con una discretización constante (la malla de 31 elementos anteriormente presentada), un valor

de la pendiente de la rama de descarga de 300 MPa y vamos a simular 7 casos

correspondientes a los valores de l de 4, 5, 10, 20, 30, 40 y 50.

En primer lugar mostramos las curvas fuerza aplicada – desplazamiento del extremo móvil

de la viga.



Figura 36. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de l

Observamos que a medida que aumenta el valor de l el modelo disipa más energía.

Además, para los casos l=40 y l=50 el modelo ha dejado de converger antes de llegar al

agotamiento del material, especialmente acentuado el caso l=40.

A continuación representamos la evolución de la variable de daño a lo largo de la viga

para los distintos valores de l:



Figura 37. Distribución espacial de la variable de daño en función de l

Observamos que, como era de esperar siguiendo la formulación teórica (ver ecuación 54),

la longitud de la banda de localización Ld aumenta con el valor de l. Además para los valores

bajos de l (l=4 y l=5) aparecen anomalías en forma de valores negativos de la variable de daño,

cuyo valor siempre se encuentra entre 0 y 1, debido a la extrapolación que se hace en el post-

proceso, igual que ocurría anteriormente para algunas mallas para las que la variable de daño

superaba el valor 1. Como ya habíamos observado, para los casos l=40 y l=50 no se llega al

agotamiento del material. Podemos observar cómo efectivamente la variable de daño en estos

casos no alcanza el valor unidad, siendo especialmente visual el caso l=40 en el que la variable

de daño ha alcanzado un valor entre 0,80 y 0,85.

Podemos definir la longitud de localización Ld como la longitud del intervalo espacial en el

que la variable de daño d supera un cierto umbral. En la siguiente gráfica mostramos los

valores de Ld en función de l para los umbrales de 0,10, 0,15 y 0,30:



Figura 38. Longitud de localización en función de l

3.6.3Análisisdelainfluenciadelparámetromenlarespuesta.

Pasamos a analizar en este apartado el impacto de la pendiente de la rama de descarga,

m, en los resultados de la simulación numérica. Para ello hemos trabajado con la malla de 31

elementos anteriormente descrita y con un valor constante del parámetro l de 10.

En primer lugar mostramos, como en los apartados anteriores, la relación fuerza aplicada

– desplazamiento del extremo móvil de la viga:

Figura 39. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de la pendiente de descarga m

0

100

200

300

400

500

600

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Ld [m

m]

l

Longitud de localización

Ld-10% Ld-15% Ld-30%



Podemos apreciar que, conforme era de esperar, cuanto mayor es el valor absoluto de m

menor es la energía disipada por el modelo.

A continuación mostramos la evolución de la variable de daño para las distintas

simulaciones, observando que para el valor adoptado de l, la distribución del daño es

prácticamente independiente de m:

Figure 40. Distribución espacial de la variable de daño en función de la pendiente de descarga m

3.6.4Estudiodeladisipacióndelmodelo.

Como se visto en los apartados 3.6.2 y 3.6.3 la energía disipada por el modelo depende

de los valores asignados a los parámetros l (que influye en el tamaño del dominio donde tienen

lugar los procesos inelásticos) y m (que influye en la densidad volumétrica de energía de

disipación). En este apartado vamos a estudiar la disipación del modelo para distintos valores

de los parámetros {l,m} y vamos a buscar combinaciones de estos valores para los cuales el

material disipa una energía en el ensayo de extensión uniaxial dada por una densidad

superficial de energía de fractura de 1 N/mm2 (presentado en el apartado 2.5)

Mostramos en las siguientes gráficas la curva fuerza aplicada – desplazamiento del

extremo libre de la viga para los tres casos con modelo local regularizado (superpuestos) y

para varias configuraciones del modelo no local que disipan la misma energía (misma área bajo

la curva fuerza-desplazamiento) que el modelo local presentado en el apartado 2.5



Figura 41. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 31 elementos

Figura 42. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 51 elementos

Observamos que el comportamiento elástico es exactamente el mismo para el modelo

local y el no local. Sin embargo, la introducción del término del laplaciano en la formulación no

local imprime cierta curvatura a la rama de ablandamiento. La Tabla 7 y la Figura 43 resumen

los valores obtenidos de los pares {l,m}.



Tabla 7. Estudio de la disipación del modelo no local

discretización l m [Mpa] 31 0,5 -220

31 2,0 -222

31 20,0 -450

31 40,0 -810

51 0,5 -130

51 2,0 -137

51 20,0 -415

51 40,0 -820

Figura 43. Modelo no local. Relación m-l.

0

50

100

150

200

250

300

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Relación m‐l (banda 1 elemento)

31 elementos ‐ banda 1 elem 51 elementos ‐ banda 1 elem

|m|=120.1

|m|=72,9

l

m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

15 20 25 30 35 40 45

Relación m‐l (banda > 1 elem)

31 elementos ‐ banda > 1 elem 51 elementos ‐ banda > 1 elem

m



Para el ensayo así reproducido y según vemos en la Figura 43 podemos sacar las

siguientes dos conclusiones:

Cuando la banda donde tienen lugar los procesos inelásticos coincide con el

elemento finito, la pendiente de la rama de ablandamiento en la ley tensión-

deformación uniaxial depende del tamaño del elemento y no del parámetro l

utilizado. Esta pendiente es aproximadamente el doble de la pendiente obtenida

con la regularización del modelo de daño local (m=-120.1 MPa para la

regularización con 31 elementos y m=-72.9 MPa para la regularización con 51

elementos).

Cuando la banda donde tienen lugar los procesos inelásticos ocupa más de un

elemento finito, la pendiente de la rama de ablandamiento en la ley tensión-

deformación uniaxial es indepeniente del tamaño del elemento y sí depende del

parámetro l utilizado. La relación entre m y l en este caso es lineal (a doble l, doble

m).

3.7.Aplicacióndelaformulacióngradienteimplícitoaunavigaconuna

entallaenlapartecentral.

Finalmente vamos a repetir la simulación de la viga con una entalla ya realizada en la

sección 2.6.2 (Arrea & Ingraffea, 1982) pero aplicando la formulación no local de gradiente

explícito que acabamos de estudiar. Recordemos la geometría y las características del

material:

Figura 44. Croquis de la viga con una entalla - modelo no local



Tabla 8. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo no local

σ0 [MPa] E [MPa] ν Gf [N/mm] m [Mpa] l 2,8 24.000 0,18 0,1 -2000 1

En este caso hemos realizado la simulación sobre la malla representada en la Figura 45.

La zona central se ha mallado con un mayor refinamiento para intentar obtener mayor precisión

en los resultados, ya que es la zona por la que teóricamente ha de transcurrir la fisura. Para

reducir el tiempo de cálculo el espesor asignado a la malla es la quinta parte del real, debido a

que en este caso los elementos son cuadráticos, por lo que el número de nodos es muy

elevado. En la Tabla 9 se resumen las principales características de la malla:

Figura 45. Malla hexaédrica de la viga con una entalla - modelo no local

Tabla 9. Propiedades de la malla prismática rectangular

Nº nodos Nº elementos Tipo elementos 7.239 1.212 Hexaedros cuadráticos

Como ya se ha dicho en la sección 2.6.2, la fisura transcurre en el ensayo real desde la

boca de la entalla hacia la derecha del taco sobre el que se aplica la carga de mayor valor

describiendo una curva que arranca en la entalla con una pendiente cuasi-horizontal. Como

podemos observar en la Figura 46 el modelo no local es capaz de reproducir correctamente la

propagación de la fisura. El motivo de usar la malla con prismas rectangulares es resaltar la

principal conclusión del trabajo: el modelo no local es capaz de reproducir fielmente la



propagación de la fisura, independientemente de la orientación de la malla (la malla de prismas

rectangulares invita a la propagación vertical y no oblicua).

Figura 46

Figura 46. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo no local. Malla hexaédrica

Finalmente mostramos la curva fuerza aplicada – desplazamiento horizontal en la boca de

la entalla para la malla prismática rectangular (multiplicamos la fuerza obtenida por cinco ya

que la simulación numérica se ha realizado para una viga de espesor un quinto el real por

economía de tiempo de cálculo) y comparamos con el resultado experimental. Comparamos de

nuevo con (Arrea & Ingraffea, 1982) y (Blanco, 2006) y observamos que los resultados

numéricos se ajustan de forma bastante correcta a los obtenidos experimentalmente por (Arrea

& Ingraffea, 1982).



Figura 47. Curva fuerza en el punto de carga - desplazamiento en la boca de la entalla







ANEXOI.DEFINICIÓNDELDOMINIOELÁSTICOENELMODELODE

DAÑOLOCAL

En el presente anexo se detallan las expresiones que adopta la función que define el

dominio elástico en las distintas regiones del espacio de las deformaciones.

Recordando la expresión que define el dominio elástico:

0)()()(2

1

)1(

1),( 0

222

kHtrHtrd

dgi

ii

εεε

Llamando:

2)1(

1

dA

[57]

expresamos la superficie que define el contorno del dominio elástico como sigue:

0)()()()()(2

1),( 03

232

221

21321

2321

kHHHHAdg ε

Dividimos el espacio de las deformaciones en diferentes regiones en función del signo de

εi y de tr(ε), obteniendo las siguientes regiones y expresiones de g:



Figura 48. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones

Región 1:

ε1 > 0

ε2 > 0

ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

322

21

2321

A

kdg ε [58]

Región 2:

ε1 > 0

ε2 < 0

ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

32

12

321

A

kdg ε [59]

Región 3:

ε1 < 0

ε2 > 0



ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

322

2321

A

kdg ε [60]

Región 4:

ε1 > 0

ε2 > 0

ε3 < 0

ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

22

12

321

A

kdg ε [61]

Región 5:

ε1 < 0

ε2 < 0

ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

32

321

A

kdg ε [62]

Región 6:

ε1 < 0

ε2 > 0

ε3 < 0

ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

22

321

A

kdg ε [63]

Región 7:

ε1 > 0

ε2 < 0

ε3 < 0



ε1 + ε2 + ε3 > 0

0)(2

1),( 02

12

321

A

kdg ε [64]

Región 8:

ε1 > 0

ε2 < 0

ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 < 0

0),( 023

21

A

kdg ε [65]

Región 9:

ε1 < 0

ε2 > 0

ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 < 0

0),( 023

22

A

kdg ε [66]

Región 10:

ε1 > 0

ε2 > 0

ε3 < 0

ε1 + ε2 + ε3 < 0

0),( 022

21

A

kdg ε [67]

Región 11:

ε1 < 0

ε2 < 0

ε3 > 0

ε1 + ε2 + ε3 < 0



A

k

A

kdg 0

302

3 0),( ε [68]

Región 12:

ε1 < 0

ε2 > 0

ε3 < 0

ε1 + ε2 + ε3 < 0

A

k

A

kdg 0

202

2 0),( ε [69]

Región 13:

ε1 > 0

ε2 < 0

ε3 < 0

ε1 + ε2 + ε3 < 0

A

k

A

kdg 0

102

1 0),( ε [70]

Por último, recordamos los puntos más característicos de este dominio. Debido a la

simetría de la ecuación, únicamente se indican los valores para la intersección del dominio con

el plano ε3 = 0:



Figura 49. Dominio elástico. Puntos significativos



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