ESTUDIO ELEMENTAL DE FUNCIONES - …cfpadolores.edu.gva.es/pdf/ges/mates GES II 2ª Evaluación... · baldosas que se necesitan para cubrir el suelo de una habitación es función

C.F.P.A. de ORIHUELA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

ESTUDIO ELEMENTAL DE FUNCIONES Contenidos: 1.- Concepto de función. 2.- Definición de variable independiente, variable dependiente, dominio y rango. 3.- La función lineal y afín. 4.- Representación gráfica de funciones lineales y afines: la recta. 5.- Ecuación de la recta: y = ax + b 6.- Puntos de corte con los ejes. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 7.- La función cuadrática. 8.- Representación gráfica de funciones cuadráticas: La parábola. 9.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximo y/o mínimo en la parábola. Puntos de corte con los ejes. 1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Con frecuencia se nos suelen presentar situaciones cotidianas en las que necesitamos relacionar cantidades de diferentes magnitudes que están vinculadas entre sí por operaciones matemáticas más o menos complejas. Veamos un ejemplo muy sencillo: Si voy a comprar patatas al supermercado y veo lo que cuesta un kilogramo, podré calcular el precio de las patatas que me llevo si multiplico los kilogramos que compro por el coste de un kilogramo. El precio de la compra dependerá de los kilogramos que compre. Podemos decir que el precio es función del peso de patatas que compre. Así, si un kilogramo cuesta 0.50 euros, es evidente la siguiente relación: Cantidad (x) Precio de la compra (y) 1 kg 0,50 €/kg = 0,50 € 2 kg 2 · 0,50 €/kg = 1,00 € 3 kg 3 · 0,50 €/kg = 1,50 € . . x kg x · 0,50 €/kg = 0,50·x En este ejemplo comprobamos que el precio es función (o lo que es lo mismo, depende) de la cantidad de patatas que compre. Si llamamos, en términos generales “x” a los kilogramos de patatas que compro y llamamos “y” al precio de la compra, es evidente que la relación matemática que existe entre x e y es: y = 0,5 · x Con el ejemplo anterior debe quedar claro que una función es fundamentalmente una expresión algebraica mediante la cual se relacionan dos


magnitudes. Una función asigna para cada valor de x un único valor a la variable y. De forma general, podemos decir que una función es una correspondencia, que asocia a cada valor de una variable (independiente) otro valor de la variable dependiente siguiendo una regla determinada: Función = f(x) = 2x + 1 (el doble de x más 1) 1 3 3 7 7 15 10 21 … … … … Recuerda

Una función f es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos (o magnitudes) que asocia a cada valor, “x,” del primer conjunto un único valor, “y” del segundo mediante operaciones matemáticas. Es común simbolizar esta relación de esta forma: y = f(x) y es una función de x.

Vamos a plantear ahora una función que nos relacione el área de un cuadrado con la longitud del lado. Sabemos que el área de un cuadrado de lado conocido se halla multiplicando lado por lado, es decir elevando el lado al cuadrado. Si llamamos “y” al área del cuadrado y “x” a lo que mide el lado podemos escribir la siguiente función: y = x2 . Así podríamos poner muchos más ejemplos: el importe del recibo de la luz es función del número de kilowatios por hora consumidos, la dosis que se debe administrar de un medicamento es función del peso del paciente, número de baldosas que se necesitan para cubrir el suelo de una habitación es función de la superficie de la habitación, el precio de un cartucho de tinta es función del volumen de tinta que contiene, etc.


Supongamos, por ejemplo, que el precio de una entrada de cine es de 6 euros. Si llamamos “y” al coste de las entradas y llamamos “x” al número de entradas que compramos, la función que nos da el coste será: y = 6 x Realmente las funciones pueden presentar expresiones más complejas: hay funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc… pero no corresponden a los objetivos de este nivel. 2.- DEFINICIÓN DE VARIABLE INDEPENDIENTE, VARIABLE DEPENDIENTE, DOMINIO Y RANGO. En una función, la variable independiente es aquella que, en principio, puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de valores en el que exista o esté definida (corresponde al valor de la x). En el ejemplo anterior referente a las entradas de cine, la variable independiente sería el número de entradas. La variable dependiente como su nombre indica “depende” del valor que tome la variable independiente x. A cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente, que se obtiene mediante las operaciones que establece la relación entre ambas variables. Se llama dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. En el ejemplo de las entradas de cine, el dominio serían todos los números naturales (1,2,3, ….). No formarían parte del dominio ni los números negativos ni los decimales ya que no es posible comprar -5 entradas ni comprar 0,3 entradas. Se llama rango de una función al conjunto de valores que toma dicha función cuando la variable independiente toma los valores del dominio. Siguiendo con el ejemplo de las entradas de cine, el recorrido para esta función serían todos los múltiplos de 6, pues el precio total (en función de las entradas compradas) solo podrá ser 6, 12, 18, 24,….etc. 3.- LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN La función lineal es aquella que expresa la relación entre magnitudes proporcionales (al mismo aumento de la variable “x” le corresponde siempre el mismo aumento de la función “y”). En una función lineal el exponente de la variable independiente x es la unidad. Corresponde por tanto a una relación de primer grado. Algunos ejemplos de funciones lineales serían:

y = 2x ; y = - 3x ; y = x43 ; y = x + 3 ; y = -2x + 5

Tradicionalmente se ha llamado función lineal a aquella en cuya expresión no figura el término independiente o término sin x (llamado también como veremos más adelante, ordenada en el origen) y se ha llamado función afín a aquella en la que aparece en su expresión la ordenada en el origen. Así por ejemplo


serían funciones lineales las tres primeras que aparecen en el ejemplo anterior y funciones afines las dos últimas. En general : Función lineal Ecuación del tipo y = a x Función afín Ecuación del tipo y = a x + b En estas expresiones a y b son números característicos para cada función. Ejemplo 1: El sueldo mensual de un vendedor de pizzas esta establecido en 300 euros fijos al mes más 2 euros por cada pizza vendida. Si llamamos “x” al número de pizzas vendidas al mes (variable independiente), y llamamos “y” al sueldo mensual (variable dependiente) entonces el sueldo resulta ser función del número de pizzas vendidas y podemos escribir la siguiente función: y = 2 x + 300 En este caso vemos que se trataría de una función afín. Ejemplo 2: Un concursante de un programa de preguntas y respuestas empieza una partida con 300 puntos. Por cada respuesta fallada pierde 10 puntos. Podemos escribir una expresión para la función que nos da el saldo de puntos (y) dependiente del número de respuestas falladas (x): y = 300 – 10 x = -10 x + 300 También sería una función afín. Ejemplo 3; El premio que nos corresponde si nos toca el cupón de la ONCE depende del número de cupones que compremos. Si cada cupón premiado nos proporciona 30.000 euros, podemos expresar el importe a cobrar (y) en función del número de cupones comprados (x). y = 30.000 x Este caso sería una función lineal Ejemplo 4: En un videoclub nos cobran 3 euros por el alquiler de un videojuego durante dos días. En caso de retraso en la devolución del videojuego nos cobran 2 euros más por día. La función que nos da el coste que debemos pagar (y) en función de los días que tengamos el videojuego (x) sería: y = 3 + 2 · (x – 2 ) = 3 + 2 x – 4 = 2x – 1 y = 2x – 1 Función afín El 3 que aparece corresponde al importe fijo por los dos primeros días de alquiler. Si nos retrasamos en la devolución pagaremos el recargo. Si tenemos x días el videojuego debemos restar los dos primeros días que no tienen recargo y al resto de días (x-2) le tendremos que aplicar los 2 euros de recargo por día. Esa función obtenida vale para saber el importe que debemos pagar cuando tenemos el videojuego más tiempo que los dos días iniciales.


4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUCIONES LINEALES Y AFINES. Una de las formas más común de representar las funciones gráficamente es mediante un diagrama de ejes cartesianos (eje X – eje Y). Este par de ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro cuadrantes (comúnmente denominados con los números I, II, III y IV). Y (+) El punto de corte de los dos ejes es el origen de coorde - nadas: (0,0). Cada punto del II Cuadrante I Cuadrante plano viene determinado por dos valores: el primero se refiere a la coordenada X y el X(-) X(+) segundo se refiere a la coordenada Y. Si cada cuadro de la figura representa una uni- III Cuadrante IV Cuadrante dad, el punto que se ha dibujado en el tercer cuadrante es el punto (-5,-5). El eje X recibe también el nombre de “eje de abcisas” y Y(-) el eje Y recibe también el nombre de eje de ordenadas.” La representación gráfica de una función lineal o de una función afín es una línea recta. La diferencia es que en el caso de la función lineal la recta pasa por el origen de coordenadas - punto (0,0) – y en el caso de la función afín, la recta no pasa por el punto (0,0). y = 2x (función lineal) y = x – 4 (función afín)


No debemos olvidar que una recta está formada por infinitos puntos, pero todos ellos guardan entre sí una relación. Esta relación es justamente la que define la propia ecuación de la recta. Por ejemplo, si consideramos la función lineal: y = 2x Cuando damos valores a la variable x, obtenemos los correspondientes valores de la función y. Estos dos valores (el valor de x y el valor de y) determinan las coordenadas de un punto de la recta. Vamos a dar a x una serie de valores arbitrarios y calculamos los valores correspondientes de y. - Si x = -3 y = -6 : Punto (-3, -6) Estos datos constituyen una tabla - Si x = -2 y = -4 : Punto (-2, -4) de valores. Si representamos en la - Si x = -1 y = -2 : Punto (-1, -2) gráfica todos estos puntos obtene- - Si x = 0 y = 0 : Punto (0 , 0) mos la recta y = 2x. Como vemos, - Si x = 1 y = 2 : Punto (1 , 2) esta recta contiene al punto (0,0), - Si x = 2 y = 4 : Punto (2 , 4) es decir, que pasa por el origen de - Si x = 3 y = 6 : Punto (3 , 6) coordenadas, como corresponde a una función lineal. Es interesante destacar que en las funciones lineales, el incremento de la función es proporcional al incremento de la variable x ( en este caso, cuando la variable x se incrementa en 1 unidad, la función se incrementa en 2 unidades). El incremento de la función es el doble que el incremento de la variable. Esta característica es propia de las funciones lineales ya que, en esencia, representan relaciones de proporcionalidad entre los valores de x e y. Para construir la tabla de valores de una función lineal o afín podemos asignar, en principio cualquier valor real a la variable x, pero se suelen tomar como representativos los valores -3, -2, -1, 0, 1, 2 y 3. Debe quedar claro que pueden ser otros cuales quiera pero estos resultan bastante sencillos para la representación gráfica (realmente sólo sería necesario tomar dos puntos, pues con esos dos puntos ya quedaría definida la recta.) Ejemplo 5: Representa gráficamente la función afín y = x - 4 Hallamos primero la tabla de valores:

Al representar los puntos en la gráfica se obtiene la línea recta que aparece en la página anterior y que como, podemos comprobar, no pasa por el origen de coordenadas por tratarse de una función afín.

x y Punto -3 -7 (-3,-7) -2 -6 (-2,-6) -1 -5 (-1,-5) 0 -4 (0,-4) 1 -3 (1,-3) 2 -2 (2,-2) 3 -1 (3,-1)


Ejemplo 6: Representa gráficamente las funciones a) y = - 2x + 4 b) y = - 2x

Vamos a construir las tablas de valores para cada una de las funciones: y = - 2x + 4 y = -2x

x x y y Punto Punto

-3 10 (-3,10) -2 8 (-2,8) -1 6 (-1,6) 0 4 (0,4) 1 2 (1,2) 2 0 (2,0) 3 -2 (3,-2)

x y Punto -3 6 (-3,6) -2 4 (-2,4) -1 2 (-1,2) 0 0 (0,0) 1 -2 (1,-2) 2 -4 (2,-4) 3 -6 (3,-6)

y = - 2x + 4 y = - 2x + 4 y =- 2x y =- 2x Podemos comprobar que se trata de rectas paralelas. Podemos comprobar que se trata de rectas paralelas.


5.- ECUACIÓN DE LA RECTA: y = ax + b Como ya hemos visto, las funciones lineales y afines se representan gráficamente mediante rectas. Cada recta tiene una ecuación característica que, en general, responde a la forma y = ax + b. El valor “a” que acompaña a la x se llama pendiente de la recta y nos informa de la inclinación que tiene dicha recta respecto de la horizontal (eje x). Cuanto más inclinada esté la recta, mayor será el valor de “a”. a=4 a=2 a=1 y=4x y=2x y= 1 x Una recta horizontal tiene pendiente cero (no está nada inclinada). Por eso, si en la ecuación de una recta a=0 , la función “y” es constante, no depende para nada de la variable. Aunque la x vaya tomando distintos valores, la función no varía: Por ejemplo: y = 0x + 3 y = 3 Si x=1 y=3 La función “y” es constante. Si x=2 y=3 Si x=3 y=3 Si x=0 y=3 A continuación se representan tres funciones constantes, cuya gráfica son rectas de pendiente cero (a=0):


y = 6 y = 0 y = - 3 También podemos comprobar con la representación gráfica que todas las rectas que tengan la misma pendiente (el mismo valor de “a”) son rectas paralelas por tener la misma inclinación. Así por ejemplo al representar las rectas y = 2x +6 y = 2x o y = 2x – 5 veremos que todas son paralelas por tener la misma pendiente (a=2) y=2x+6 y=2x y=2x-5


Si la pendiente de una recta es positiva (a>0) en este caso la inclinación de la recta va del tercer al primer cuadrante (al aumentar los valores de x, la función aumenta hacia valores positivos). Si la pendiente de la recta es negativa (a<0), la inclinación de la recta va del segundo al cuarto cuadrante (al aumentar los valores de x, la función y toma valores cada vez más negativos). En la siguiente gráfica se muestran dos ejemplos comparativos: y= - 2x – 4 y = 2x – 4 (pendiente positiva) (pendiente negativa) El valor “b” que aparece en la ecuación de la recta se llama “ordenada en el origen” y es el punto en el que la recta corta al eje Y. Así por ejemplo, la recta cuya ecuación es y = 4x + 7 tiene pendiente igual a 4 y corta al eje Y en el valor +7 (realmente sería el punto (0,7)). Los puntos en los que el valor de la coordenada x es cero son puntos de corte con el eje Y. Los puntos en los que el valor de la coordenada y es cero son puntos de corte con el eje X. Por ejemplo, los puntos (0,-2), (0,10), (0,-8), (0,5), (0,0) etc… son puntos situados sobre el eje Y, pues todos tienen como valor de la coordenada x el cero. Los puntos (3,0), (-5,0), (9,0), (-10,0), (0,0)...etc son puntos situados sobre el eje X pues todos tienen como valor de la coordenada y el cero. En general, para una recta cuya ecuación es y = ax + b tenemos: y = a x + b Ordenada en el origen (corte con el eje Y) Variable independiente Pendiente Función (o variable dependiente)


Ejemplo 7:

• La ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y que corta al eje Y en el punto (0,8), sería y = 3x + 8.

• La ecuación de la recta cuya pendiente es -5 y pasa por el origen de

coordenadas sería y= - 5x (en este caso la ordenada en el origen es cero, pues corta al eje Y en el punto (0,0)).

• La ecuación de la recta paralela a la recta y = 3x -4 que corta el eje Y

en el punto (0,7) sería y = 3x +7 (por ser paralela, debe tener la misma pendiente “a” =3, y su ordenada en el origen es el punto de corte con el eje Y)

Para saber si un punto dado pertenece o no a una recta cuya ecuación es conocida basta con sustituir en la ecuación la x por el valor de la coordenada x del punto en cuestión y hallar el valor de la función y. Si este valor coincide con la coordenada y del punto entonces ese punto sí que pertenece a la recta, si no coincide, el punto no pertenece a la recta. Veamos un ejemplo: Ejemplo 8: ¿pertenece el punto (2,5) a la recta cuya ecuación es y = 3x – 1? ¿Y el punto (3, 6)?. Para saber si el punto (2,5) pertenece a esa recta, vamos a sustituir en la ecuación de la recta la x por el valor 2 (que es la coordenada x del punto) y hallamos el valor de la y: y = 3 · x – 1 y = 3 · 2 – 1 = 5 Cuando la x=2, la y=5, luego el punto (2,5) sí que pertenece a esa recta. Si hacemos el mismo procedimiento con el punto (3,6) al sustituir la x por 3 en la ecuación de la recta y hallar el valor de y obtenemos: y = 3 ·3 – 1 = 8 Cuando la x=3, la y=8 . El punto (3,8) sí que pertenece a la recta pero el punto (3,6) no pertenece. Otros puntos que sí que pertenecerán a la recta son, por ejemplo: (4,11), (5,14) (10,29),… y en general todo punto cuyo valor de y sea el triple de x menos 1 (que es la regla matemática que define la propia función).


Ejemplo 9: ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la recta y = -2x + 3? a) (-2,7) b) (3, - 3) c) (1,0) d) (0,3) Cuando hacemos las operaciones siguiendo el ejemplo anterior vemos que todos los puntos pertenecen a la recta menos el punto c). Al sustituir en la ecuación del a recta la x=1, no se obtiene y=0 sino y=1, por tanto el punto (1,0) no pertenece a esa recta. 6.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. La recta que representa a una función lineal o afín corta siempre a cada uno de los ejes cartesianos en un punto (excepto que sea una recta horizontal, en cuyo caso, por tener pendiente cero y ser paralela al eje X, sólo cortará en un punto al eje Y). El punto donde la recta corta al eje x es aquel en el que la función y = 0. El punto donde la recta corta al eje y es aquel en el que la variable x = 0. Teniendo en cuenta estas condiciones es muy sencillo calcular los puntos de corte con los ejes. Veamos cómo se calculan los puntos de corte: Ejemplo 10: Halla los puntos de corte con los ejes cartesianos de la recta y = 2x + 4 Para saber el punto de corte con el eje Y basta con observar en la ecuación dada cuál es el valor de la ordenada en el origen. En el ejemplo que se plantea la ordenada en el origen es +4, luego directamente podemos decir que esa recta cortará al eje Y en el punto (0,4). No debemos olvidar en el punto de corte con el eje Y el valor de la coordenada x del punto es cero. Evidentemente, si en la ecuación anterior sustituimos la x=0, observamos que y=4, luego volvemos a obtener el punto (0,4). Para saber el punto de corte con el eje X, debemos calcular el valor de x que hace y=0. En este nuestro ejemplo tendremos: 0 = 2x + 4 2x = - 4 x = -2 El valor de x que hace a y=0 es x= -2, por tanto, la recta corta al eje X en el punto (-2,0).


y= 2x + 4 Punto de corte con el eje Y Punto de corte con el eje X (0,4) (-2,0) Para saber la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), existen diversos procedimientos, algunos de los cuales se basan en conceptos trigonométricos o geométricos que caen fuera de los contenidos de este curso. No obstante, existe un procedimiento relativamente sencillo cuya máxima dificultad se encuentra en la resolución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (contenido que ya se ha visto en este curso en temas anteriores). Vamos a intentar explicar el procedimiento a partir de un ejemplo concreto: Ejemplo 11: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (4,7). Se trata de encontrar una expresión del tipo y = a x + b en la que estén contenidos ambos puntos. Nuestro problema se limita a calcular el valor de a y el valor de b en esa expresión. Tenemos dos incógnitas y una sola ecuación. Vamos tomar el primer punto. Si el punto (2,3) debe pertenecer a la recta, entonces podemos sustituir en la ecuación los valores de x e y por las coordenadas del punto x=2 e y=3. 3 = 2·a + b Si hacemos lo mismo con el otro punto (x=4, y=7), tenemos que: 7 = 4·a +b


Acabamos de obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son la pendiente (a) y la ordenada en el origen (b). Resolviendo el sistema obtenemos ambos valores: 3 = 2·a + b - 3 = - 2a – b 7 = 4·a + b Por reducción 7 = 4a + b 4 = 2 a a = 2 Una vez que ya sabemos el valor de la pendiente a, podemos hallar la ordenada en el origen b sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones: 3 = 2·2 + b b = -1 Así pues, la ecuación de la recta sería y = 2x – 1 Recuerda Tomando como base la expresión general de la recta y=ax+b, conocidas las coordenadas de dos puntos, podemos calcular la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos formando un sistema de ecuaciones al sustituir en la expresión general las coordenadas x e y de cada punto y resolviendo el sistema para calcular a y b. Existe otra forma más rápida de hallar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de coordenadas conocidas (x1, y1) y (x2, y2). Como ya hemos dicho anteriormente, la pendiente es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x. La inclinación la podemos medir a partir del triángulo que se forma al representar gráficamente la recta y comparar la distancia vertical (y2-y1) con la distancia horizontal (x2-x1). Cuanto mayor sea el cociente entre (y2-y1) / (x2-x1) más inclinada estará la recta y mayor será la pendiente. Observa las dos gráficas siguientes y comprueba como la pendiente está relacionada con el valor de dicho cociente:


166

28410

12

12 ==−−

=−−

=xxyya

Punto (8,10) ●

2641012 ==−

=−

=yya

31412 −− xx

y2-y1= 10 - 4 Punto (2, 4) ● x2-x1 = 8 - 2 La pendiente “a” de una recta que pasa por dos puntos se puede calcular como el cociente entre la distancia vertical que separa ambos puntos y la distancia horizontal que separa ambos puntos. Para hallar estas distancias basta con calcular la diferencia entre la correspondientes coordenadas de los dos puntos tal y como se aprecia en la gráfica anterior. Distancia vertical entre los dos puntos = y2 – y1 Distancia horizontal entre los dos puntos = x2 – x1 Cuanto más inclinada esté la recta, mayor será la distancia vertical entre los puntos, es decir, mayor será la diferencia entre los valores y2-y1. En la gráfica siguiente vamos a representar otra recta cuya pendiente sea mayor que la del ejemplo anterior pero vamos a seguir el mismo planteamiento que en la gráfica anterior. ● Punto (4,10) y2 - y1=10 – 4 Punto (1,4) ● x2 - x1 = 4 – 1


Como vemos, la pendiente en este caso es mayor que en el anterior y podemos apreciar que la recta está más inclinada. Recuerda

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (a) está dada por:

12

12

xxyya

−−

= (siempre que x2 ≠ x1)

Ejemplo 12:

a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -5) y (3,10). b) Escribe la ecuación de la recta paralela a la que has obtenido en el

apartado anterior y que corta al eje vertical en el punto (0,7).

a) El objetivo de este ejercicio es encontrar la ecuación de una recta y = ax+b que cumpla la condición de que pase por los dos puntos que se dan. Para obtener la ecuación de esa recta debemos hallar el valor de la pendiente “a” y de la ordenada en el origen “b”.

Para obtener la pendiente podemos aplicar el método que hemos descrito en primer lugar (formando un sistema de ecuaciones) o el que hemos descrito en segundo lugar (a = (y2-y1) / (x2-x1) ). Esta segunda opción resulta más directa y rápida, por lo que hallaremos la pendiente “a” por este segundo método. Primer punto: (x1, y1) = (-2,-5) Segundo punto: (x2,y2)= (3,10) La pendiente de la recta que pasa por esos puntos es:

35

15)2(3)5(10

12

12 ==−−−−

=−−

=xxyya

Ya conocemos la pendiente de esa recta que es a=3, luego la ecuación tendrá, en principio la forma: y = 3x + b (1)


Nos falta conocer el valor de la ordenada en el origen “b”. Para ello basta con tomar uno de los dos puntos que nos dan en el enunciado y sustituir la x y la y por los correspondientes valores de las coordenadas del punto. De esta forma, se obtiene una ecuación de primer grado con una sola incógnita, que es precisamente la ordenada en el origen. Si tomamos el punto (3,10), la ecuación que obtenemos al sustituir en la fórmula (1) es la siguiente: 10 = 3·3 + b 10 = 9 + b b = 1 Luego ya conocemos la pendiente (a=3) y la ordenada en el origen (b=1) por tanto la ecuación de la recta buscada es: y = 3x +1 b) En este apartado nos piden la ecuación de la recta que es paralela a la anterior y corta el eje y en el punto (0,7). Por ser paralela a la recta anterior tendrá la misma pendiente, es decir a=3. Como ya nos dan el punto de corte con el eje Y, sabemos también la ordenada en el origen (b=7). Entonces la ecuación de la recta que nos piden será: y = 3x + 7 Ejemplo 13:

a) Representa gráficamente y recta cuya ecuación es y = -3x + 3 b) ¿Se trata de una función lineal o afín? ¿Por qué? c) ¿Pertenece el punto (1,0) a dicha recta? ¿Y el punto (0,4)? d) ¿En qué punto corta la recta a los ejes cartesianos? e) ¿Cuál es el valor de la pendiente? f) Escribe la ecuación de la recta paralela a dicha recta y que corta al eje Y

en el punto (0,-7) g) ¿Qué valor debe tomar la variable x para que la función tome el valor

-57? h) ¿Cuál es el valor de la función cuando la variable x vale -10? i) ¿Qué distancia separa los puntos (-2,9) y (2,-3), ambos pertenecientes a

dicha recta? Como se observa, este ejemplo es un recopilatorio de los contenidos desarrollados hasta ahora a lo largo del tema.


a) Para representar la recta antes debemos elaborar una tabla de valores para determinar unos cuantos puntos de dicha recta. Asignaremos a la variable x los valores arbitrarios - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2 y 3. y = - 3x + 3

b) Se trata de una función afín, pues la recta no pasa por el origen de coordenadas. c) Para saber si el punto (1,0) pertenece o no a la recta debemos sustituir en la ecuación de la recta la variable x por el valor 1, que es la coordenada x del punto en cuestión. Si la función y toma el valor y=0, entonces el punto sí que pertenece a la recta. y = -3 · 1 + 3 = -3 + 3 =0 Comprobamos que si x=1 , entonces y=0, luego el punto (1,0) sí que pertenece a dicha recta. Esto también lo podíamos comprobar observando en la tabla de datos que contiene a dicho punto. Si procedemos análogamente para el punto (0,4) comprobamos que no pertenece a la recta, pues cuando x=0, la función y no toma el valor 4 sino 3. Por tanto el punto (0,4) no pertenece a la recta. d) Para saber los puntos de corte con los ejes debemos tener en cuenta que: - La recta corta al eje Y cuando la variable x toma el valor cero (x=0) Si hacemos x=0 en la ecuación de la recta tenemos: y = -3 · 0 + 3 = 3 Luego la recta corta al eje Y en el punto (0,3), tal y como se aprecia en la gráfica. - La recta corta al eje X cuando la función “y” vale cero (y=0). Entonces, si hacemos y=0 en la ecuación de la recta podemos hallar el valor de la variable x.

x y Punto -3 12 (-3,12) -2 9 (-2,9) -1 6 (-1,6) 0 3 (0,3) 1 0 (1,0) 2 -3 (2,-3) 3 -6 (3,-6)

0 = -3x + 3 3x = 3 x = 3/3 = 1 Luego la recta corta al eje X en el punto (1,0) tal y como podemos comprobar en la gráfica.


e) El valor de la pendiente de dicha recta es el coeficiente que va delante de la variable x, que en este caso es -3. Por tanto la pendiente de esa recta vale -3. Por ser la pendiente negativa, la recta está inclinada del segundo hacia el cuarto cuadrante. f) Cualquier recta paralela a la que nos da el ejercicio debe tener la misma pendiente, es decir, a = -3. Si además la recta que nos piden debe cortar al eje Y en el punto (0,-7), nos están dando como dato la ordenada en el origen b=-7 Por tanto, la ecuación de la recta buscada es y = - 3x -7. g) Para saber el valor de la variable x que hace que la función tome el valor -57, basta con sustituir este dato en la ecuación de la recta y resolver la ecuación obtenida: -57 = -3x + 3 3x = 57 + 3 3x = 60 x = 60 / 3 = 20 Luego, el valor de x que hace que la función valga -57 es x = 20. h) Para saber el valor de la función cuando x= 10, basta con sustituir en la ecuación de la recta la variable x=10 y hallar así qué valor toma la función y. y = -3 · 10 + 3 = -30 + 3 = -27. Luego, cuando x=10, la función toma el valor y=-27. i) Para saber la distancia entre los puntos (-2,9) y (2,-3) podemos utililzar el Teorema de Pitágoras a partir de los datos de distancia Punto (-2,9) _ vertical y horizontal entre los puntos. Observando la gráfica adjunta se comprueba fácilmente que la distancia vertical entre los puntos es de 12 unidades (12 Distancia recuadros) y la distancia horizontal Vertical = 12 es de 4 unidades (4 recuadros). Lo que deseamos conocer es la distancia que se representa en color azul, que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. _ Punto (2,-3) Si llamamos d a esta distancia tenemos que: Distancia horizontal = 4

65,12160412 22 ==+=d d= 12,65 unidades.


AACCTTIIVVIIDDAADDEESS SSOOBBRREE FFUUNNCCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS YY AAFFIINNEESS FICHA DE TRABAJO NÚMERO 1 1.1. Sitúa en el gráfica adjunta los siguientes puntos. A (1,4) B (-3,-6) C (0,5) D (5,0) E (2,-5) F (-6,8) G (0,-6) H (-9,0) - ¿Qué puntos se sitúan sobre el eje X? - ¿Qué tienen en común todos los puntos que se encuentran sobre el eje X? - ¿Qué puntos se sitúan sobre el eje Y? - ¿Qué tienen en común todos los puntos que se encuentran sobre el eje Y? 1.2. Escribe las coordenadas de los puntos que se indican en la gráfica adjunta. A A: B: B C C: D: E: F: D E F G: H: G H J: J


1.3.- ¿Qué diferencia hay entre una función lineal y una función afiín? 1.4.- Representa gráficamente las rectas cuyas ecuaciones son: a) y = 2x (utiliza color rojo para la recta en la gráfica) b) y = 2x – 4 (utiliza color azul para la recta en la gráfica) y = 2x

x y Punto -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x – 4

x y Punto -3 -2 -1 0 1 2 3

¿Qué característica tienen las rectas que has dibujado? ¿Por qué? 1.5. La ecuación de una recta es y = - 5x + 10 . Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto vale la pendiente de dicha recta? b) ¿En qué punto corta la recta al eje Y?

c) ¿En qué punto corta la recta al eje X?

d) ¿Pertenece el punto (4,-10) a esa recta? ___ ¿Y el punto (-3,16)? ____

e) Escribe las ecuaciones de dos rectas paralelas a la que se da en el

enunciado.


FICHA DE TRABAJO NÚMERO 2 2.1. a) ¿Qué es el dominio de una función?

b) ¿Qué es el rango de una función? 2.2. a) Un vendedor de enciclopedias recibe una comisión de 5 euros por cada ejemplar vendido. Si llamamos “y” al importe total por comisiones y “x” al número de enciclopedias vendidas ¿cuál es la expresión de la función que nos permite calcular el importe total de las comisiones que gana el vendedor? b) ¿Cuáles serían el dominio y el rango de dicha función? 2.3. A continuación se indican cuatro tablas de valores correspondientes a cuatro funciones diferentes. En cada una de ellas se recogen los datos de los cuatro primeros valores de cada serie. Encuentra la expresión correspondiente a cada función y completa los huecos que faltan en cada tabla: y = y = y = y =

x y 1 3 2 5 3 7 4 9 5 6 21 33

x y 1 4 2 8 3 12 4 16 10 15

80 100

x y 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 -18 -32

x y 1 -4 2 -8 3 -12 4 -16 10 -12

60 40

2.4. En una determinada zona del planeta, la Temperatura (T) en ºC de la atmósfera disminuye con la altura (h) en km de acuerdo con una función del tipo T = 20 – 4h. a) ¿Qué temperatura habrá en el exterior de un avión que vuela a 10.000 m de altura? b) ¿A qué altura la temperatura del aire será de 0ºC?


2.5. Al estudiar durante un periodo de tiempo el crecimiento de una planta que inicialmente mide 10 cm, se observa que cada semana la planta crece 2 cm. Suponiendo que mantuviera este ritmo de crecimiento, encuentra una expresión que nos dé la altura (h) de la planta en cm en función del tiempo (t) en semanas. h = a) ¿Qué altura tendrá la planta al cabo de 8 semanas? b) ¿Cuántos días deben pasar para que la planta alcance los 50 cm de altura? 2.6. En un negocio de alquiler de coche ofrecen dos modalidades de contratación:

A) Importe de 100 € por día sin límite de kilometraje. B) Importe de 50 € por día más 0,02 € por kilómetro recorrido.

a) Si llamamos “y” al importe del alquiler y “x” al número de kilómetros recorridos, escribe para cada modalidad la función que permite calcular el importe total. b) Si un cliente desea alquilar el coche un día para realizar un recorrido de 160 km ¿qué modalidad le resulta más rentable? 2.7. Un tipo de contrato de una compañía de teléfono tiene establecido un mínimo de 9 euros al mes más 0,20 € por minuto de llamada a cualquier operador. a) Escribe la función que permite calcular el importe (“y”) de la factura en función del tiempo total de llamadas en minutos (t). b) Si un mes hemos realizado llamadas por un total de 180 minutos, ¿cuál es el importe de las llamadas que hemos realizado? c) Si la factura debe inculir además un 16% de IVA sobre el gasto realizado ¿cuál será el total de la factura anterior?


FICHA DE TRABAJO NÚMERO 3 3.1. Un coche circula a una velocidad media de 80 km/h. Suponiendo que mantiene ritmo constante, completa la siguiente tabla de valores en la que se indica el espacio recorrido (e) en km en función del tiempo (t) en horas. A continuación representa dichos valores en la gráfica. ¿Qué tipo de función es?

t (h)

e (km)

1 2 3 4 5 6

e (km)

¿Cuánto tiempo empleará el conductor en realizar un viaje de 640 km, si mantiene esta velocidad media? t (h) 3.2.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (7,-1). Una vez que la hayas calculado represéntala gráficamente:


3.3.- El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total (P) de la llamada según los minutos (t) que estemos hablando. En el ejercicio anterior ¿cuál es la variable dependiente y la variable independiente?. 3.4. A la vista de la siguiente gráfica, calcula la ecuación de la recta que aparece en ella. (Sugerencia: observa los puntos de corte con los ejes y conocidos estos dos puntos calcula la ecuación.)


3.5.- Las ecuaciones de dos rectas distintas constituyen un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Al representar gráficamente las rectas, éstas se cortarán en un punto, que es precisamente la solución del sistema de ecuaciones. Lo comprobamos con el siguiente ejercicio:

a) Considera las ecuaciones de las rectas A) y = 2x + 1 B) y = 3x – 1 Representa ambas rectas gráficamente y anota el punto en el que se cortan ambas rectas: b) Luego resuelve el sistema de ecuaciones que forman A y B y

compara las soluciones de x e y con las coordenadas del punto de corte de las rectas.


7.- LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Decimos que una función “y” pertenece a la clase de las funciones cuadráticas si se puede expresar analíticamente de la forma:

y = a·x2 + b·x + c, siendo a, b y c números reales

Conviene aclarar que, aunque en la función no aparezcan todos los términos, se considera función cuadrática siempre que en su expresión analítica al variable x esté elevada al cuadrado. Por tanto también son funciones cuadráticas las del tipo y = ax2 o bien y = ax2 + bx o bien y = ax2 + c. En este caso, el incremento de la función no es proporcional al incremento de la variable. Por ejemplo, si la variable aumenta el triple, la función no aumenta el triple sino nueve veces. La función crece (o decrece) más rápidamente que la variable.

Supongamos que deseamos determinar una función “y” que nos permita calcular el área de un cuadrado de lado “x”. Sabemos que el área de un cuadrado es el producto de lado por lado, es decir, el cuadrado del lado. Por tanto podemos escribir que:

y = x2

x

Otros ejemplos de funciones cuadráticas podrían ser:

a) y = 4x2 b) y = - 2x2 + 5x c) y= x2 + 8

d) y= -3x2- 4x + 9 e) y = 41 x2 f) y = 8 – x – 3x2

De aquí en adelante debemos tener en cuenta que el número que acompaña a la variable x2 lo representaremos en términos generales con la letra a. El número que acompaña a la variable x, lo representaremos con la letra b. El término que no va acompañado de x (término independiente) lo representaremos como c.

Recuerda

Las funciones cuadráticas son aquellas cuya expresión es un polinomio de segundo grado, esto es, funciones de la forma y = ax2+ bx + c.


8.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS: LA PARÁBOLA.

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. Esta curva tiene forma de U, más o menos abierta depediendo del valor del coeficiente a. Si el coeficiente a es positivo, la parábola está abierta hacia arriba. Si es negativo, la parábola está abierta hacia abajo.

La parábola más sencilla sería y = x2, cuya gráfica es la que aparece en la figura adjunta. En este caso el coeficiente a = 1. Por ser positivo, la parábola es abierta hacia arriba. y = x2 y = x2

x y Punto -4 16 (-4,16) -3 9 (-3,9) -2 4 (-2,4) -1 1 (-1,1) 0 0 (0,0) 1 1 (1,1) 2 4 (2,4) 3 9 (3,9) 4 16 (4,16)

Si representamos la función y = - x2 observamos claramente la diferencia: En este caso, el coeficiente a= -1. Por ser negativo, la parábola está abierta hacia Abajo. y = - x2

x y Punto -4 -16 (-4,16) -3 -9 (-3,9) -2 -4 (-2,4) -1 -1 (-1,1) 0 0 (0,0) 1 -1 (1,1) 2 -4 (2,4) 3 -9 (3,9) 4 -16 (4,16)

http://www.matematicastyt.cl/Graficas_de_Funciones/Cuadraticas/fotos/Eje3.gif�

http://www.matematicastyt.cl/Graficas_de_Funciones/Cuadraticas/fotos/Eje1.gif�


Cuanto mayor es el valor del coeficiente “a”, más cerrada se hace la parábola. Cuando la función tiene la ecuación del tipo: y = ax2 + c la forma de la gráfica es análoga a la de la función y=ax2, sólo que aparece con el vértice desplazado sobre el eje Y hasta el valor que indica el coeficiente c. Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo valor del coeficiente “a” y diferentes los coeficientes b y c, entonces sus gráfica son análogas pero desplazada una con respecto a la otra, tal y como se aprecia en la figura siguiente. En general, se puede comprobar que la grafica de una función cuadrática presenta un punto que es un mínimo (si la parábola es abierta hacia arriba) o un máximo (si la parábola es abierta hacia abajo. Ese punto es el vértice de la parábola. Tal y como se observa en la figura adjunta, la función y=2x2 presenta un mínimo en el punto (0,0) y la función y=2x2-16x+35 presenta un mínimo en el punto (4,3). En el siguiente punto se profundizará un poco más sobre el concepto de máximo y mínimo. A continuación se representan, a modo de ejemplo, algunas gráficas de distintas funciones cuadráticas.


y= x2 + 2 x + 1 y=10+2x-2x2

y= 2 x - x2 y= 2 x2 + x

9.- INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMO Y/O MÍNIMO EN LA PARÁBOLA. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. Antes de profundizar en estos conceptos conviene aclarar lo que es un intervalo de valores. Un intervalo abarca un conjunto de valores comprendidos entre un límite inferior y otro superior. Se representa indicando dichos límites entre paréntesis o entre corchetes. Si se utilizan los paréntesis se está indicando que los límites del intervalo que se indican no se toman dentro del propio intervalo (se dice que es un intervalo abierto). Si se utilizan los corchetes, se está indicando que los límites indicados se toman dentro del intervalo (se dice que es un intervalo cerrado). Veamos un ejemplo. - Intervalo (0,10) Es un intervalo abierto que abarca todos los números comprendidos entre 0 y 10 pero sin incluir estos extremos.

( ) - Intervalo [0,10] Es un intervalo cerrado que abarca todos los números comprendidos entre 0 y 10, incluidos ambos valores.

[ ]


Cuando nos queremos referir como extremos de un intervalo a los valores +∞ - ∞, estos extremos siempre aparecerán en intervalo abierto, pues lógicamente no es posible alcanzar esos valores en ningún caso. Sólo es una forma de indicar unos valores crecientes o decrecientes indefinidamente. Conviene, no obstante no confundir la expresión de un intervalo abierto con la de un punto, pues si bien se escriben de la misma forma, su significado es distinto: Punto (5,10) Punto cuyas coordenadas son x=5, y=10. Intervalo (5,10) Valores comprendidos entre 5 y 10 sin incluir ambos.

a) Crecimiento y/o decrecimiento de una función cuadrática. Se dice que una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de la variable x, la función toma valores cada vez mayores. Es decir, al crecer la variable, crece el valor de la función. Si nos centramos en las funciones cuadráticas y observamos la gráfica de la función y = x2+2x+1 que se muestra en primer lugar en los ejemplos del apartado anterior comprobamos que a partir del valor x=-1, conforme la variable x toma valores mayores (0,1,2,3,….) la función va tomando valores mayores. Además, esto sucede para cualquier valor de x mayor que -1 y hasta +∞. Decimos en este caso que la función es creciente en el intervalo (-1, +∞). Si elaboramos una tabla de valores para esta función podemos comprobar que la función crece indefinidamente cuando la variable x va tomando valores cada vez mayores. Si ahora nos fijamos en la función y = 2x – x2, cuya gráfica también se muestra en los ejemplos del apartado anterior, podemos observar que en este caso la función crece desde el valor -∞ de x hasta el valor x=1. Es decir, la función es creciente en el intervalo (-∞, 1). Recuerda

Una función “y” es creciente en un intervalo si al aumentar el valor de la variable x también aumenta el valor que toma la función y.

Se dice que una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de la variable x, la función toma valores cada vez menores. Es decir, al aumentar la variable, disminuye el valor de la función. Si observamos nuevamente la grafica de la función y=x2+2x+1 podemos comprobar que para valores de la variable x menores que -1, la función “y” va tomando valores menores conforme aumenta el valor de la variable x. Por esta razón se dice que la función es decreciente en el intervalo (-∞, -1).


Análogamente si observamos la gráfica de la función y=2x – x 2 podemos comprobar que a partir de x=1 la función empieza a decrecer y va tomando valores cada vez menores conforme la variable x va aumentando. Podemos decir que esta función es decreciente en el intervalo (1, +∞). Recuerda

Una función “y” es decreciente en un intervalo si al aumentar el valor de la variable x disminuye el valor de la función “y”.

y=x2+2x+1 y = 2x – x2 Intervalo de Intervalo de Intervalo de Intervalo de decrecimiento crecimiento crecimiento decrecimiento (-∞, -1) (-1, +∞) (-∞, 1) (1, +∞).

b) Máximo o mínimo de una función cuadrática. Aunque los conceptos de máximo y mínimo son aplicables a cualquier tipo de función, en este nivel nos centraremos exclusivamente en las funciones cuadráticas. Se llama máximo de una función cuadrática al punto en el cual la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Se corresponde con el vértice de la parábola cuando ésta es abierta hacia abajo. Las funciones cuadráticas que presentan un máximo son aquellas que tienen el coeficiente “a” negativo. Es decir, toda función cuadrática completa o incompleta del tipo y=ax2+bx+c presentará un máximo si a<0. Obsérvese en las gráficas anteriores que la función y= 2x – x 2 presenta un máximo en el punto (1,1). Esta función tiene a= -1 y por tanto su gráfica es una parábola abierta hacia abajo. Este tipo de representación tiene necesariamente un máximo, que se alcanza precisamente en el punto (1,1). En el punto máximo, la función toma el mayor valor posible para cualquier valor de la variable x. En el ejemplo en cuestión, para ningún valor de x la función y


toma valores mayores que 1, por esta razón, 1 es el valor máximo de la función. Recuerda

El máximo de una función cuadrática es el punto en el que la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Presentan un máximo las funciones cuadráticas y = ax2 +bx+c que tienen valor a<0, cuya gráfica es una parábola abierta hacia abajo.

Se llama mínimo de una función cuadrática al punto en el cual la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Se corresponde con el vértice de la parábola cuando ésta es abierta hacia arriba. Las funciones cuadráticas que presentan un mínimo son aquellas que tienen el coeficiente “a” positivo. Es decir, toda función cuadrática completa o incompleta del tipo y=ax2+bx+c presentará un máximo si a>0. Obsérvese en las gráficas anteriores que la función y = x 2 + 2x + 1 presenta un mínimo en el punto (-1,0). Esta función tiene a = 1 y por tanto su gráfica es una parábola abierta hacia arriba. Este tipo de representación tiene necesariamente un mínimo, que se alcanza precisamente en el punto (-1,0). En el punto mínimo, la función toma el menor valor posible para cualquier valor de la variable x. En el ejemplo en cuestión, para ningún valor de x la función y toma valores menores que 0, por esta razón, 0 es el valor mínimo de la función. Recuerda y = x2 + 2x + 1 y = 2x – x2 Mínimo de la función (-1,0) Máximo de la función (1,1)

El mínimo de una función cuadrática es el punto en el que la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Presentan un mínimo las funciones cuadráticas y = ax2 +bx+c que tienen valor a>0, cuya gráfica es una parábola abierta hacia arriba.


c) Puntos de corte de una función cuadrática con los ejes cartesianos.

- Puntos de corte con el eje X Como ya vimos al estudiar la función lineal, los puntos de corte con el eje X se producen cuando la función “y” toma el valor cero (y=0). Por tanto para saber los puntos de corte con el eje X de una función cuadrática, basta con hacer y=0 en la expresión de la función y hallar los valores de x que satisfacen la ecuación formada. La ecuación cuadrática del tipo ax2 + bx +c = 0 puede tener dos soluciones, una o ninguna solución. Por esta razón debemos interpretar que una función cuadrática puede cortar al eje X en dos puntos, en un punto o en ninguno.

- Si al resolver la ecuación obtenemos dos soluciones x1 y x2, entonces esa función corta al eje X en dos puntos que son (x1,0) y (x2,0).

- Si al resolver la ecuación obtenemos una solución, x1, entonces la función toca al eje X en un punto.

- Si al resolver la ecuación de segundo grado, ésta no tiene solución, esto significa que esa función no corta al eje X en ningún punto.

Observa las gráficas de las tres funciones siguientes. y = x2 – 2x – 3 y = x2 – 4x + 4 y = x2 – 2x + 3 En el primer caso, la gráfica corta al eje X en dos puntos que son (-1,0) y (3,0). Si resolvemos la ecuación x2 – 2x – 3 = 0 obtenemos precisamente como soluciones x=-1 y x=3.


En el segundo caso, la gráfica toca al eje X sólo en el punto (2,0). Si resolvemos la ecuación x2 – 4x + 4 = 0 obtenemos como solución un único valor x= 2. En el tercer caso, la gráfica de la función y = x2 – 2x + 3 no corta al eje X en ningún punto. Si resolvemos la ecuación x2 – 2x + 3 = 0 comprobamos que no tiene solución. Recuerda

La gráfica de una función cuadrática y = ax2 +bx+c corta al eje X en aquellos puntos cuya coordenada x es alguna de las posibles soluciones de la ecuación ax2 +bx+c = 0. Si al resolver la ecuación obtenemos dos soluciones x1 y x2, entonces esa función corta al eje X en dos puntos que son (x1,0) y (x2,0).

- Punto de corte con el eje Y El punto de corte de una función cuadrática con el eje Y se produce cuando la variable “x” toma el valor cero (x=0). Por tanto para saber el punto de corte con el eje Y de una función cuadrática, basta con hacer x=0 en la expresión de la función y hallar el valor de la función “y”. Las funciones cuadráticas cortan al eje Y en un sólo punto. Si observamos los ejemplos anteriores, vemos que en el caso de la función y = x2 – 2x – 3, al hacer x=0 obtenemos que y= - 3 . Como podemos comprobar en la gráfica, la función corta al eje Y en el punto (0,-3). Si observamos la función y = x2 – 4x + 4 , al hacer x=0, obtenemos que y=4. Como podemos comprobar en la gráfica, la función corta al eje Y en el punto (0,4). Si observamos la función y = x2 – 2x + 3 , al hacer x=0, obtenemos que y=3. Como podemos comprobar en la gráfica, la función corta al eje Y en el punto (0,3). Recuerda

La gráfica de una función cuadrática y = ax2 +bx+c corta al eje Y en aquel punto cuya coordenada “y “ es el valor de la función cuando x=0. Una función cuadrática siempre corta al eje Y en un solo punto.


En resumen: la representación gráfica de una función cuadrática y = ax2+bx+c es una parábola cuyas características son las siguientes:

- Si el valor del coeficiente “a” es positivo, la parábola está abierta hacia arriba, por tanto su vértice es un punto que representa el mínimo de la función. La función es decreciente para valores de la variable x desde -∞ hasta el mínimo y creciente para valores de la variable x desde el mínimo hasta +∞. Cuanto mayor sea el valor de a, la parábola resulta ser más cerrada. Dependiendo de los valores de a, b y c, la parábola cortará al eje X en dos, uno o ningún punto.

- Si el valor del coeficiente “a” es

negativo, la parábola está abierta hacia abajo, por tanto su vértice es un punto que representa el máximo de la función. La función es creciente para valores de la variable x desde -∞ hasta el máximo y decreciente para valores de la variable x desde el máximo hasta +∞. Cuanto mayor sea el término “a” en valor absoluto, la parábola resulta ser más cerrada. Dependiendo de los valores de a, b y c, la parábola cortará al eje X en dos, uno o ningún punto.

- Las parábolas del tipo y=ax2 tienen su vértice en el punto (0,0). Cuando la función es del tipo y=ax2+bx, la parábola pasa por el punto (0,0), pero no es este punto su vértice. La parábola correspondiente a funciones del tipo y= ax2+c resulta ser simétrica respecto al eje Y, tal y como se puede apreciar en la gráfica incluida en el párrafo anterior.

http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Par%E1bola&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/funciones/20070926klpmatfnc_71.Ges.LCO.png�

http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Par%E1bola&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/funciones/20070926klpmatfnc_72.Ges.LCO.png�


EE

eseamos construir una ventana cuadrada y queremos hallar una

de la ventana (y) en

Si consideramos que el lado de la ventana mide x metros,

metros (que corresponden al perímetro

de cristal (que corresponde al

omo cada metro lineal de aluminio cuesta 12 euros, los 4x metros de aluminio

omo cada metro cuadrado de cristal cuesta 48 euros, los x metros cuadrados

or tanto, el importe total de los materiales (y) será la suma de lo que cuesta el

y = 48x + 12x

Cuál será el coste del material para hacer una ventana cuadrada de

n este caso nos dan como dato lo que mide el lado de la ventana, es decir, el

= 48·1,5 + 12 · 1,5 y = 108 + 18 = 126 euros.

i el coste de los materiales para hacer un ventanal cuadrado fue de 216

n este caso nos da el valor del coste total, es decir, el valor de la función y.

16 = 48x + 12x 48x + 12x – 216 = 0 Al resolver esta ecuación

ventanal es de 2 metros.

jjeemmpplloo rreessuueellttoo Dexpresión que nos dé el coste total de los materiales en función de la longitud del lado de la ventana. Los materiales que necesitamos son:

- Marco de aluminio cuyo precio es 12 euros cada metro lineal. - Vidrio aislante cuyo precio es 48 euros el m2.

Escribe la expresión que nos da el importe total función de la longitud del lado (x). entonces necesitamos: - Una longitud total de 4x de la ventana cuadrada).

2 - Una superficie total de x2 m X área de la ventana cuadrada). Cque necesitamos para el marco costarán 12 · 4x = 48x euros.

2Cde cristal que necesitamos para cubrir la ventana costarán 48 · x2 = 48x2 Pcristal más lo que cuesta el aluminio.

2 ¿1,5 metros de lado? Evalor de la variable x. Si sustituimos en la función la x por el valor 1,5 podemos calcular el valor de la función y, que será el coste que buscamos:

2 y Seuros, ¿cuánto medía el lado de la ventana? ENos piden el valor de la longitud del lado del ventanal, es decir, el valor de x. Si sustituimos en la función la “y” por su valor podemos calcular el valor de x resolviendo la ecuación de segundo grado que se obtiene:

2 22obtenemos como soluciones x=2 y x= - 9/4. Evidentemente el valor negativo no puede ser la solución de esta cuestión, luego la longitud del lado del


AACCTTIIVVIIDDAADDEESS SSOOBBRREE FFUUNNCCIIOONNEESS CCUUAADDRRÁÁTTIICCAASS

FICHA

DE TRABAJO NÚMERO 1 1. Completa las tablas de valores correspondientes a las siguientes

nciones cuadráticas y represéntalas gráficamente:

unción número 1

unción número 2

x y Punto

fu F y = 0,5x2

-4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F y = 0,5x2 – 2

x y Punto -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4


Función número 3

unción número 4

.- Completa el siguiente cuértices y los puntos de corte de las cuatro funciones anteriores:

N 4

y = 0,5x2 + 2x

x y Punto -4

-3 -2 -1 0 1 2 3

F y = - 0,5x2 + 2x – 3

x y Punto -2

-1 0 1 2 3 4 5

2 adro indicando las coordenadas de los v FUNCIÓN 1 FUNCIÓN 2 FUNCIÓN 3 FUNCIÓVértice

Máximo o )

(¿mínimo?

Puntos de cocon eje X

rte

Punto de corte con eje Y


FICHA DE TRABAJO NÚMERO 2

.- Deseamos rodear de valla una parcela cuadrada y además cubrirla por

) Si tenemos una parcela cuadrada de 10 m de lado, ¿cuánto cuesta

) Si el coste total de vallar y poner césped en una parcela cuadrada ha

1completo con césped artificial. Sabemos que cada metro lineal de valla nos cuesta 8 euros y cada metro cuadrado de césped artificial nos cuesta 12 euros. a) Escribe la fórmula que permita calcular el precio total (y) que cuesta vallar y poner césped a una parcela cuadrada de lado (x). bvallarla y cubrirla de césped? csido 5440 euros, ¿cuánto mide el lado de la parcela?

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ESTUDIO ELEMENTAL DE FUNCIONES - …cfpadolores.edu.gva.es/pdf/ges/mates GES II 2ª Evaluación... · baldosas que se necesitan para cubrir el suelo de una habitación es función