Etude d’algorithmes pour la detection de signaux

impulsifs d’ondes gravitationnellesControle de la cavite

mode-cleaner de VIRGO

T. Pradier

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T. Pradier. Etude d’algorithmes pour la detection de signaux impulsifs d’ondes gravitationnelle-sControle de la cavite mode-cleaner de VIRGO. Physique mathématique [math-ph]. UniversitéParis Sud - Paris XI, 2001. Français.

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ORSAY LAL �����n� d�ordre � Avril ����

UNIVERSIT� DE PARIS SUDCENTRE D�ORSAY

TH�SE pr�sent�e

pour obtenir

Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCESDE L�UNIVERSIT� PARIS XI ORSAY

Sp�cialit� � Champs� Particules� Mati�res

par

Thierry Pradier

�tude d�algorithmes pour la d�tection de signaux impulsifsd�ondes gravitationnelles

Contr�le de la cavit� Mode�Cleaner de Virgo

Soutenue le � Avril ���� devant la Commission d�examen

MM Fran�ois Richard Pr�sidentRa�aele Flaminio RapporteurEric Gourgoulhon RapporteurJacques Dumarchez Examinateur

Mme Catherine Nary Man ExaminateurM Patrice Hello Directeur de Th�se

Aux trois personnes qui ont su me guider�

me soutenir� tendrement � � �ma m�re� mon p�re���et Annek�

�

La culture est le joyau qui satisfait les d�sirs et les besoins�c�est aussi le signe qu�un peuple est ind�pendant�

�Libert� pour le Tibet � � �

Kinder�berraschungVoil Bon Ben ma th�se elle est �nie� �tonnant� non� On a toujours l�impression que pourcette fameuse page de remerciements� on va faire un truc extraordinaire et inoubliable Je croismaintenant plut�t que cette page est l�image d�une th�se� quelque chose qui re��te un travail� unepersonne� un e�ort� une �quipe� une �poque dans une exp�rience� une p�riode de la vie� sans �treforc�ment g�niale � elle existe� humblement� et son existence marque la �n d�une vie particuli�re�celle d�un th�sard �snif�

Si elle existe� c�est gr�ce beaucoup� beaucoup de gens que je dois iciremercier

Je vais essayer de ne pas en faire un roman

Tout a commenc� lorsque j�avais � ans� et que

On reprend Un peu d�ordre dans tout �a ne peut pas faire de mal

Le laboratoire et le jury

Merci tout d�abord Fran�ois Richard double titre� pour m�avoir accueilli au LAL� et pour avoiraccepter la pr�sidence de ce jury de th�se

Un grand merci Michel Davier pour m�avoir accept� comme th�sard dans cette jeune �quipeVirgo � � � J�ai beaucoup appris au contact de son stylo bleu d�vastateur Merci aussi pour� lepremier� avoir lanc� les hostilit�s Rome sur les hectolitres de grappe locales

Je dois vraiment ici remercier mes deux rapporteurs �ric et Ra�aele pour leurs commentaires�toujours pertinents� et pour avoir fait de ce manuscrit quelque chose de lisible ���� � � � � Mercipour tout ce temps consacr� mes milliers de pages sans queue ni t�te� en particulier Ra�aelequi a trouv� �comment� � du temps entre deux alignements de tours de Virgo Merci �ric pourses remarques sur la partie astrophysique de ce manuscrit

Merci Nary pour avoir accept� de faire partie de ce jury� et d�avoir su toujours rendre agr�ablema collaboration avec le groupe de Nice Merci en�n Jacques Dumarchez d�avoir accept� de lirema prose� et de faire partie de ce m�morable jury

Ceux qui m�ont attir� au LAL � � �

Je voudrais ici remercier Francois Lediberder� qui m�a fait d�couvrir et aimer la physique �rienque ca� �� et qui a permis mes premiers contacts avec le LAL C�est en partie gr�ce lui que jesuis venu au LAL en licence pour un stage sur EROS

Et c�est cette �quipe EROS qui m�a fait d�couvrir et appr�ci� le travail de recherche et la viedans un laboratoire Je veux donc ici remercier profond�ment Marc� R�za� Olivier et Fran�ois

Vous �tes responsables de mon retour au LAL pour une th�se �sisi� � � En outre� merci encorepour ce portable qui m�a bien d�pann� � � �

Et puis� �nalement� merci Laurent Serin et Corinne Augier pour leur aide et leur soutien

Le directeur de th�se et l��quipe

Rhhhhh��� Patrice �soupir� En�n� tu ne m�auras plus sur le dos� plus jamais toutes ces fautes corriger� plus jamais crier le matin parce que

Bref Vraiment merci d�avoir su guider mes paslors de cette th�se� de m�avoir laiss� libre d�explorer les chemins que je voulais d�couvrir� pour meremettre de temps en temps sur la bonne route � � � La libert�� c�est pas si facile utiliser� il fautsavoir quoi en faire� �

Merci pour toutes ces discussions sur la physique� l�enseignement� la m�ta ou la pataphysique

Merci en�n de m�avoir montr� qu�il pouvait y avoir plus r�leur que moi� m�me si tu n�arrives pas la cheville de J�P Bacri Et encore d�sol� pour ma dyslexie du clavier � � � et tes weekends g�ch�s

Le terme d��quipe prend tout son sens lorsque l�on �voque Virgo � � � LAL Une �quipe soud�e�apr�s tout� on est tous dans la m�me gal�re� souquez ferme� � dynamique �peut��tre moins levendredi soir� robuste� performante �par contre elle ne fait pas encore le caf�� Ainsi� laissez moiici �j�insiste� remercier Fabien Barry White Cavalier� Marie�Anne I�m�enerve Bizouard �ou J�en�ai�marre�� pour leur relecture attentive et attentionn�e du manuscrit� et pour toutes les discussionsde physique que nous avons pu avoir au cours de ces � ans Je n�oublie pas Philippe Heusse �

Merci Matteo TIM Barsuglia �ou bien Matteo CiaaAAAaaao� Barsuglia� pour m�avoir guid�

Cascina� et pour avoir su� malgr� son travail sur le site� toujours su me consacrer du temps pourles choses importantes

Finalement� Merci aussi aux deux �jeunes� du groupe Philippe PisaPisa� Canitrot ��jeune�mais d�j docteur et papa� pour sa � � � folie �� � et son �naturel� ���

�� et Nicolas C�est�pas�cr�dible Arnaud Laissez�moi tout de m�me vous dire qu�un th�sard qui ne boit pas de caf�� c�estquelque part pas humain

J�aimerais dans ce petit paragraphe remercier aussi Michel On�peut�pas�travailler�comme�caDehamme et Monique Petit�Assent�qui�chante Taurigna pour leur aide et leur travail pendant cesmois sur le soft Toujours disponibles et souriants� m�me quand c�est un p�tit th�sard qui vientvous poser des questions �stupides�� je vous en remercie

Le site

Ces p�tits �longs� � moments Cascina resteront jamais dans ma m�moire� et pas uniquement

cause de la mer pas loin L��quip�e Mode�Cleaner fut pour moi une d�couverte� celle du travailen �quipe� dans un laboratoire� r�gler des oscillos �et c�est pas un TP� ca DOIT marcher� � �� outirer des c�bles� et scier des parois� � �

Par qui commencer� Tout d�abord� l��quipe Optique de Nice� ex�Laser�Optics Orsay Vousn��tes pas rest� longtemps apr�s mon arriv�e� juste le temps pour moi de m�habituer vous� et devous regretter �snif� Depuis� on n�a plus jamais fait d�aussi longues tabl�es au CESFO� � Alors ensouvenir du temps o� l�on cesfoyait gaiement ensemble� et puis des moments de travail ou d�anti�travail sur le site� laissez moi remercier Fran�ois Porte�Avions Bondu� tout particuli�rement parceque c�est lui qui m�a initi� aux secrets du Mode�Cleaner� qui m�a support� et aid� tout au longde ces mois� moi et mes cheveux trop longs sous la charlotte Merci encore pour avoir toujoursr�pondu sans faille tous mes mails d�sesp�r�s dans les derni�res semaines

Ensuite� j�aimerais remercier Henrich Birkensctock Heitmann �d�autres diront Cahu�te�Scroun�tch� pour sa disponibilit� sur le site et son enthousiasme � � � Merci aussi Magali Av��l�assentLoupias et Thierry I Muvrini Battistini� pour les soir�es autour d�une bi�re ou bien autour d�unebi�re � pizza

Sans toutes ces personnes� la face de Cascina en aurait �t� chang�e

Finalement� je ne veux surtout pas oublier Simon Killer Loop Mataguez �ou Mister Propre��pour m�avoir accueilli chez lui� m�avoir fait d�couvrir Pise� le Giardino Scotto� Big Ben

pourn�avoir jamais refus� une pause caf� sur le site �il est trop bon pour dire non� Pour tout quoi�ta pr�sence sur le site a toujours �t� un r�confort Le seul probl�me� ce sont tes horaires Quelleid�e de partir du site ��h� alors qu�on vient juste de locker Un merci aussi Fr�d�ric MercuryRichard � � �

AAAaaaah le site �soupir�

une seule chose � les kangoos un peu trop fragile

Last but not least

Les th�sards du LAL � � Sophie G� Esther �souvenirs souvenirs�� Sophie T ou Sandrine et M�lissa�je mentirais si je disais que toutes ces pr�sences f�minines ne sont pas agr�ables au cours d�unepause caf� � � � Merci Sophinette� estherita� Elias� J�j� et Armand pour toutes les fois o� nousavons cesfoy� ensemble� des bols d�air pur dans une vie de fou Bonne route Sophie T � � � Merciaussi Gianni � �

J�aimerais ici remercier pour �nir ceux qui m�ont suivis depuis tout ce temps � mes amis� mescopains� mes poteaux

En vrac �et sans ordre de pr�f�rence

�� merci Arnaud �si j�ai pleur� cejour�l� c�est bien qu�il y a une raison�� Fran�ois� parce que ca fait si longtemps� Jean�Fran�ois�Anne�Sophie D�sol� pour notre t�l�phone aux abonn�s absents ces derniers mois � � �

Merci Sylvain Tabarnouche Grollau �ou El Grolo� Qui sait� sans lui� je ne serais peut��trejamais �monter Paris���� Et pis JBDVDR �qui a souhait� garder l�anonymat� alias El Jibi oula fouine� forc�ment� pour sa pr�sence et son amiti�� m�me des centaines de km Remercier unami pour son amiti�� �trange� Merci sinc�rement vous� Sylvain et Jean�Baptiste

Et pis je vais tout de m�me pas oublier la �bande de Saclay�� Seb DaftPunk Biraud �ouencore Don�t�stop�crushin��the�lemon�� C�line AllyMcBeal Bon�ls� Gaelle hihihi Ra�alli et Mat�thias Alors� Cuntz � � Vieux Su�dois �

Je souhaite remercier profond�ment mes �bo��parents� Jip� et Jaja� pour leur compr�hensionet leur soutien� particuli�rement ces derniers mois �

En�n� merci du fond du coeur mon p�re et ma m�re pour m�avoir amen� jusqu�ici� etsurtout� surtout� pour �tre pr�sent ma soutenance Je leur dois beaucoup� peut��tre n�en ai�jepris conscience que trop tard�

Anna�� Daou�Lagad Lemm Levrizm �vel Lano eul Lenn Mor � � � Ne Trugarekaater ket ar Mor�met ar Kontempla� ha Cherissa�� plaen� Ha te gouarn� Atao�

Merci tout de m�me pour ta pr�sence� ta patience pendant ces trois ans� � � � j�ai toujours �t�incapable de faire une liste moi � Merci en�n pour ta relecture de ce monticule de papier� tesconseils et ton aide� toujours pr�cieuse Londres soit lou�e � Anne� ma douce� ma mie � � �

Table des mati�res

Introduction �

I Ondes Gravitationnelles� Sources Astrophysiques et D�tection �

� De la Relativit� aux ondes de gravitation ��� Introduction la Relativit� ���� Quelques r�sultats de la Relativit� Restreinte ���� Le Principe d��quivalence ��� La courbure de l�Espace�Temps ���� Les �quations d�Einstein ��� Conclusion ��

� Le Rayonnement Gravitationnel ���� Origine du rayonnement gravitationnel ���� G�n�ration et �mission d�Ondes Gravitationnelles ���� PSR � ����� ��� Une exp�rience de Hertz pour la gravitation� ���� Les sources potentielles ���� Comment d�tecter une onde de gravitation� �!

� Les sources continues ���� Coalescences de syst�mes binaires ��� �toiles neutrons ���� Fond de rayonnement gravitationnel �

� Les Sources Impulsives ��� Les Supernovae � Un Catalogue de signaux impulsifs �� Instabilit�s dans les �toiles neutrons �� Naissance d�un trou noir � � Fusion de deux objets compacts ��� Neutrinos et sources impulsives ��� Sursauts Gammas et sources impulsives �!! Perspectives !�

� La d�tection interf�rom�trique

�� Principe de la d�tection � l�interf�rom�tre de Michelson !!�� Les sources de bruit �� Les am�liorations au principe de base �� L�extraction du signal gravitationnel ����� Les d�tecteurs interf�rom�triques dans le monde ���

i

TABLE DES MATI�RES

� Le Projet Virgo ����� La Con�guration Optique ���� Virgo dans le d�tail ����� Le contr�le de Virgo ���� La cha"ne d�acquisition des donn�es ����� La sensibilit� attendue pour Virgo ���

II L�analyse des donn�es dans les d�tecteurs interf�rom�triques ���

� Analyser et caract�riser le bruit de Virgo ����� Les bruits dans Virgo ����� Caract�risation du Bruit ����� Techniques de pr��traitement des donn�es ��!

� La d�tection des sources continues ����� La d�tection des Coalescences de syst�mes Binaires ���� Le fond stochastique ����� Les sources p�riodiques �� � Conclusion ��

� �tude de ltres de s�lection en ligne pour Virgo ����� Hypoth�ses et d��nitions ���� Un d�tecteur bas� sur la fonction d�autocorr�lation �NA� � �� Des corr�lations avec des formes d�ondes connues ���� D�tection d�une variation de pente ����� Un d�tecteur quadratique � ALF ����� Distances de d�tection ��ltres de r�gression� ����� Impl�mentation pratique des �ltres de r�gression ��!�! Red��nition d�un �v�nement ��!� �tudes des performances des �ltres de r�gression ������ R�sultats avec des signaux physiques ����� Caract�risation du bruit ������ Robustesse par rapport au blanchiment des donn�es �!���� R�solution en temps �!��� Relation avec les mod�les de supernovae � ���� Un aper�u de m�thodes d�analyse hors ligne ������ R�sum� et conclusion ���

III Le contr�le du Mode Cleaner de Virgo ���

� R�ponse d�une cavit� r�sonnante� le Mode�Cleaner ����� Pourquoi un Mode�Cleaner� ����� Cavit�s r�sonnantes ����� Champs de propagation ���� Champs gaussiens et cavit�s r�sonnantes ����� Propri�t�s de �ltrage d�une cavit� ���� Propri�t�s optiques d�une cavit� triangulaire ����� Le Mode�Cleaner suspendu de Virgo ���

� Contr�le d�une cavit� suspendue ����� Sp�ci�cations � Transmission� stabilit� en fr�quence et en puissance ����� Contr�les locaux ����� Alignement ��!� Le signal Pound�Drever ��!�� La cha"ne du contr�le global du Mode�Cleaner ����� Contr�le longitudinal � actuateurs ����� Sp�ci�cations sur la boucle d�asservissement ��

ii

TABLE DES MATI�RES

� L�acquisition de la r�sonance ��

�� L�acquisition de la r�sonance avec le servo lin�aire �� �� Pr�sentation de la technique des impulsions � �� Applications au Mode�Cleaner � Simulations ���� Am�liorations au principe de base �� �� Des simulations plus r�alistes ����� Applications au Mode�Cleaner � Impl�mentation ��!�� Tests e�ectu�s in situ �� �! Simulations et exp�rience ���

� Premiers r�sultats sur le Mode�Cleaner ��� La strat�gie de contr�le �!�� Caract�ristiques optiques de la cavit� �!�� Estimation des Fonctions de Transfert �!! Contr�le longitudinal de la cavit� Mode�Cleaner � �� Une nouvelle topologie � !� Discussion ���� R�sum� des r�sultats importants ��

Conclusion ���

iii

Liste des �gures

Ondes Gravitationnelles et Sources Astrophysiques

�� E�et du passage d�une onde gravitationnelle ���� E�et de l��mission d�ondes gravitationnelles sur PSR � ����� ���� Sch�ma de principe d�une barre r�sonnante �

�� �mission gravitationnelle pendant la coalescence d�un syst�me binaire d�objets com�pacts ��

�� Instabilit�s s�culaires dans une �toile neutrons en rotation �!�� Limites existantes sur �og�f� �

� Types �basiques� de supernovae �spectres� �� Classi�cation des supernovae �� Taux de supernovae par an en fonction de la distance � Spectres au maximum � SN Ia �� Spectres au maximum � SN Ib#c !� Spectres au maximum � SN II � Exemples de signaux gravitationnels � e�ondrement en SN II �signal de type II� ��! Exemples de signaux gravitationnels � e�ondrement en SN II �signal de type I� �� Formes d�ondes et spectre en �nergie � e�ondrement en SN II ���� R�sum� des amplitudes attendues � e�ondrement en SN II ��� Exemples de formes d�ondes � e�ondrement en SN II �type I� II� III� � �� Spectre en �nergie correspondant � e�ondrement en SN II �type I� II� III� � �� R�sum� des amplitudes attendues� en fonction de la fr�quence ��� Formes d�ondes � Instabilit�s de rotation dans les �toiles neutrons ���� Spectre en �nergie correspondant ���� �mission gravitationnelle � �toile neutrons ���� Instabilit�s continues et impulsionnelles ��toile neutrons ��! Instabilit� Chandrasekhar�Friedman�Schutz ��� Fen�tre d�instabilit�s des r�modes ���� Amplitude caract�ristique des r�modes en fonction de la fr�quence ���� Amplitude de l�onde gravitationnelle pour une excitation de r�mode ���� h� pour un e�ondrement en trou noir d�une �toile sans rotation ���� h� et �nergie moyenne ��toile en rotation� en fonction du moment angulaire ��� Exemples de formes d�ondes� collision de deux �toiles neutrons ��� Exemples de formes d�ondes� collision de deux �toiles neutrons ���� Allures de l�onde gravitationnelle correspondante ���� Simulations de la coalescence de deux �toiles neutrons ���! Formation de jets durant la fusion d�un syst�me binaire et r�sum� des sc�narios

envisag�s pour la production de sursauts gammas � � Exemples de sc�narios possibles � sursauts gammas originaires de syst�mes binaires !��� Exemples de sc�narios possibles � sursauts gammas originaires de syst�mes binaires

�naine blanche� !��� Exemples de sc�narios possibles � sursauts gammas originaires de syst�mes binaires

�colllapsar� !��� Le boulet de canon � origine des sursauts gammas� !�

v

LISTE DES FIGURES

La d�tection des ondes de gravitation �

�� Un interf�rom�tre de Michelson avec miroirs suspendus ! �� Sch�ma de principe d�un interf�rom�tre de Michelson ! �� ���t��h�t� en fonction de la fr�quence pour un interf�rom�tre de � km �� R�ponse angulaire d�un interf�rom�tre ��� Fonction d�Airy� �nesse F � �� ��� ��� !�� Principe d�un interf�rom�tre de Michelson avec recyclage de puissance �� Les d�tecteurs interf�rom�triques dans le monde ���

�� Virgo vu du ciel au d�but ���� ����� La source Laser de Virgo ����� Le dispositif complet de Virgo ��!� Fonctions de transfert pour le superatt�nuateur de Virgo �� �� Le superatt�nuateur de Virgo ����� Virgo et ses tubes vide ����� Sch�ma g�n�ral de l�acquisition des donn�es dans Virgo ����! Pr�s�lection en ligne ���� La courbe de sensibilit� attendue pour Virgo ���

Analyse des donn�es ���

�� Densit� spectrale de donn�es simul�es et densit� spectrale pr�vue pour Virgo ����� Lien entre un �ltre de blanchiment et un processus Auto�R�gressif ����� Sch�ma du principe de fonctionnement d�un �ltre adaptatif $���% ���� Bruit simul� de Virgo� et r�sultat du blanchiment des donn�es ��!

�� Courbe de sensibilit� attendue pour Virgo ���� Fonction d�autocorr�lation avec ou sans signal ����� Autocorr�lation � Seuil de d�tection en fonction du nombre de simulations ���� Autocorr�lation � performance pour les signaux du catalogue de r�f�rence ����� SNR associ� SD pour un pic de type gaussien� en fonction de la fen�tre d�analyse ���� SNR associ� SSD pour un pic de type gaussien� N � ��� ms et N � � ms ����� Coe&cient de corr�lation lin�aire correspondant� pour N � �� et N � ��� ����! Distribution de ALF pour N � ��� ms ���� Red��nition d�un �v�nement � un amas de d�clenchements cons�cutifs �� ��� Seuil de d�tection pour ALF en fonction de la taille de la fen�tre d�analyse� en

fonction du nombre de fen�tres utilis� en parall�le ������ Gain sur le taux de fausses alarmes en tenant compte de la red��nition d�un �v�nement������ Limite de d�tection� signal de type I ������ Performance maximale pour chacun des signaux ZM � Cas de SD et de OD ���� Performance maximale pour chacun des signaux ZM � Cas de ALF ������ Tailles optimales des fen�tres d�analyse pour SD et OD �catalogue ZM� ������ Tailles optimales de fen�tres d�analyse pour ALF �catalogue ZM� ������ Performance des �ltres en fonction de la taille de la fen�tre utilis�e �����! E&cacit�s de d�tection pour les di��rents �ltres de r�gression lin�aire ��!�� Performance de ALF en fonction du taux de fausses alarmes �� ��� Taille des amas de d�clenchements� pour deux taux de fausses alarmes ������ Intervalle de temps entre d�clenchements �fausses alarmes� de X� et X� ������ Intervalle de temps entre d�clenchements �de fausses alarmes� de X� et X� � �t� �

��� ��� ��� �� �� et �� ms ������ Distributions de �t� entre d�clenchements de X� � signal de type I et bruit ���� Distributions de �t� entre d�clenchements de X� � signal de type II et bruit ����� Distributions de �t� entre d�clenchements de X� � signal de type III et bruit ������ Fraction d��v�nements de bruit �limin�s en fonction du nombre de d�clenchements

cons�cutifs de ALF ������ Signal de type I� SNR faible et fort � fraction des �v�nements d�tect�s non rejet�s

par une coupure sur le nombre n de d�clenchements cons�cutifs� en fonction de n ��

vi

LISTE DES FIGURES

��! Signal de type II� SNR faible et fort � fraction des �v�nements d�tect�s non rejet�spar une coupure sur le nombre n de d�clenchements cons�cutifs� en fonction de n ��

�� Signal de type III� SNR faible et fort � fraction des �v�nements d�tect�s non rejet�spar une coupure sur le nombre n de d�clenchements cons�cutifs� en fonction de n �!�

��� Exc�s de fausses alarmes � composante �� Hz �!���� �volution du param�tre de blancheur du spectre en fonction de l�amplitude de la

composante �� Hz �!���� Exemple de signal de type ZM �!��� Di��rence entre le temps de premier d�clenchement de ALF et le temps du maximum

de ALF � Exemple �!��� Di��rence entre le temps de premier d�clenchement de ALF et le temps du maximum

de ALF � Distribution �!���� Probabilit� de trouver le maximum physique du signal �t du premier d�clenche�

ment de ALF � Signal de faible SNR ou de fort SNR� et en fonction du type dusignal �!

��� R�solution en temps � Signal de type I utilis� � ���� Temps de premier d�clenchement et temps du maximum de ALF � signal de type I � ���! R�solution en temps � Signal de type II utilis� � ��� Temps de premier d�clenchement et temps du maximum de ALF � signal de type II � ��� R�solution en temps � Signal de type III utilis� � ��� Temps de premier d�clenchement et temps du maximum de ALF � signal de type III � ��� Intervalle de temps entre rebond et maximum du signal gravitationnel �t � ��� Formes des signaux avec �t � ��� ms � � Caract�ristiques des Signaux ZM� selon la valeur de �t � ��� Caract�ristiques des Signaux ZM� selon la valeur de �t �suite� � ��� Caract�ristiques des Signaux ZM� selon la valeur de �t �suite� � !�� Caract�ristiques des Signaux ZM� selon la valeur de �t ��n� � !�! E&cacit� de d�tection de ALF en fonction du taux de fausses alarmes� pour di���

rents SNR ���

Le Mode�Cleaner ���

�� G�n�ration de bruit de phase par le couplage entre les �uctuations de position dufaisceau laser et le les d�salignements des miroirs On a n�glig� les changementsd�orientation des faisceaux engendr�s ���

�� Sch�ma d�une cavit� plan�sph�rique ����� Pro�l d�un faisceau gaussien ���� Un faisceau gaussien dans une cavit� plan�sph�rique ���� Sch�ma simpli�� d�une cavit� en anneau ����� Spectre th�orique des modes d�une cavit� triangulaire ����� Att�nuation en amplitude et en puissance des modes sym�triques �m pair� ��!�! Att�nuation en amplitude et en puissance des modes antisym�triques �m pair� ��!� Le Mode�Cleaner de Virgo ������ Le dispositif exp�rimental de la source laser ��

�� Module et phase du champ r���chi pour une cavit� Fabry�Perot simple �� �� Transmission� r��exion en phase et en quadrature pour un Fabry�Perot simple de

�m� et de �nesse ���� ����� Transmission et signal d�erreur lin�aris� pour une cavit� Fabry�Perot simple de

�m� et de �nesse ���� ���� Description de la cha"ne de contr�le du Mode�Cleaner de Virgo ����� Serveurs mis en jeu dans le contr�le du Mode�Cleaner de Virgo ����� Diagramme de contr�le du Mode�Cleaner ��

�� Sch�ma d�un cavit� triangulaire �haut�� et celui d�une cavit� Fabry�Perot simple quia servi mod�liser le Mode�Cleaner de Virgo ��

�� Vitesse mesur�e du banc Mode�Cleaner �selon l�axe du faisceau� ��

vii

LISTE DES FIGURES

�� Mouvement relatif des deux masses du Mode�Cleaner simul� et vitesse du banc ��� Mouvement relatif des deux masses du Mode�Cleaner mesur� en asservissant la

longueur d�onde du laser de Virgo sur la longueur de la cavit� ���� La cha"ne de contr�le compl�te du Mode�Cleaner ���� Transmission et corrections appliqu�es au banc suspendu pour une �nesse ����� et

un syst�me analogique sans trigger ���� Longueur relative du Mode�Cleaner et vitesse d�expansion de la cavit� pour une

�nesse ����� et un syst�me analogique sans trigger ��! Signal d�erreur et Puissance Transmise� dans le cas d�un lock analogique sans seuil

sur la puissance transmise �� Puissance Transmise et Correction appliqu�es au banc suspendu pour une �nesse

����� et un syst�me analogique avec trigger ����� Longueur relative du Mode�Cleaner et vitesse d�expansion de la cavit� pour une

�nesse ����� et un syst�me analogique avec trigger ����� �volution du nombre de points dans la zone lin�aire en fonction de la fr�quence

d��chantillonnage du syst�me num�rique ����� Fraction de passages la r�sonance pour lesquels le nombre de points �chantillonn�s

� kHz est sup�rieur n� ����� Application d�une impulsion rectangulaire sur un miroir � �� Allure d�une impulsion triangulaire par rapport une impulsion rectangulaire ������ Nombres de points �� kHz pendant une travers�e de la r�sonance� sous l�e�et des

impulsions ������ Variation relative de la vitesse dans la zone lin�aire ������ Erreur sur la reconstruction de la vitesse �����! Nombre de points � kHz utilis�s pour reconstruire la vitesse d�expansion de la

cavit�� pendant une travers�e de la r�sonance� sous l�e�et des impulsions ����� Distribution de vapr�s�vavant ������ vapr�s�vavant en fonction de la vitesse juste avant l�application de l�impulsion et

vitesse de sortie de la zone lin�aire en fonction du rapport as�vs ��!��� Rapport Vitesse Seuil#Vitesse Reconstruite au moment de la mise en fonctionne�

ment du servo lin�aire �� ��� Rapport Vitesse Seuil#Vitesse R�elle de la cavit� au moment de la mise en fonc�

tionnement du servo lin�aire � locks perdus ou robustes ������ Vitesse Seuil#Vitesse Reconstruite en fonction de l�intervalle de temps entre le d�but

du lock et la perte du lock ����� Compensation de la saturation de l�amplitude de l�impulsion ������ E�et des bobines sur une impulsion de forme triangulaire ������ Forme de l�impulsion avec compensation de l�e�et des bobines ��!��� La partie utilisateur du client contr�lant le lock du Mode�Cleaner de Virgo �� ��! Tests in situ � Vitesses mal recontruites ����� Tests in situ � Vitesses mal recontruites ������ Tests in situ � Signal d�erreur triangulaire ������ Tests in situ � Impulsions rectangulaires et triangulaires ������ Tests in situ � Impulsions triangulaires avec et sans compensation de la saturation ������ Tests in situ � Impulsions rectangulaires� compensation de la saturation ���� Tests in situ � Transition entre des impulsions rectangulaires et triangulaires et entre

les impulsions et le servo lin�aire ����� Phase de la fonction de Transfert du correcteur num�rique ������ Module de la fonction de Transfert du correcteur num�rique ������ Dur�e de la s�quence lecture#calcul#�criture du correcteur num�rique �����! Niveaux de bruits en sortie des ADC dans la salle d�acquisition �o� la correction

est calcul�e� et dans le b�timent Mode�Cleaner �o� la correction est appliqu�e auxbobines contr�lant le banc suspendu� ���

� Mesure du Signal d�erreur et signal en transmission �!�� Idem� sur un Intervalle Spectral Libre �!�� Spectre des modes du Mode�Cleaner de Virgo �!� Spectre des modes th�oriques du Mode�Cleaner de Virgo �!

viii

LISTE DES FIGURES

� Mesure du rayon de courbure du miroir Mode�Cleaner �!�� D�veloppement des e�ets transitoires pour une cavit� Fabry�Perot de longueur

L � � m et de �nesse F � ��� �simulations� �!�� Apparition et d�veloppement des e�ets transitoires pour une cavit� Fabry�Perot de

longueur L � � m et de �nesse F � ��� �simulations� �!�! Apparition des e�ets transitoires pour une cavit� Fabry�Perot de longueur L � �m

et de �nesse F � ��� �simulations� �!� Fonction de transfert selon l�axe x pour le banc Mode�Cleaner� avec et sans damping

inertiel �! �� Fonctions de transfert pour les � degr�s de libert� pour le banc Mode�Cleaner �! �� Lock du laser sur la cavit� Mode�Cleaner � ��� Bruit de longueur et vitesse selon z mesur� en asservissant le laser sur la cavit�

Mode�Cleaner � ��� Idem� D�tail pour les basses fr�quences � �� Fonction de transfert des bobines contr�lant le banc Mode�Cleaner � ��� Fonction de transfert des actuateurs pi�zo�lectriques contr�lant le miroir courbe � ��� Fonction de transfert optique de la cavit� � ��� Fonction de transfert des bobines � ampli�cateurs � ��! Fonction de transfert du syst�me actuateurs � signal de PDH � �� Fonction de transfert du syst�me en boucle ouverte � ��� Fonction de transfert du syst�me correcteur � ��� Longueur de la cavit� et signal de correction envoy� aux bobines contr�lant le banc

suspendu Mode�Cleaner � Amortissement des mouvements r�siduels � !�� Bruit de longueur du Mode�Cleaner � Amortissement des mouvements r�siduels � �� Sch�ma de principe de la nouvelle topologie de contr�le ���� Premier lock du Mode�Cleaner sur la cavit� de r�f�rence ����� Fonction de Transfert mesur�e du correcteur num�rique ����� M�lange des forces entre les deux bobines contr�lant l�axe z du banc Mode�Cleaner ����� Fonction de transfert mesur�e entre z et �y �autour de � Hz� � Diagonalisation de

degr�s de libert� ���

ix

Liste des tableaux

Ondes Gravitationnelles� Sources Astrophysiques

�� Analogies entre Relativit� G�n�rale et physique Newtonienne ��

�� Taux d�occurence de formation et de coalescence de syst�mes binaires ��

� Taux de supernovae �� �mission gravitationnelle pour des instabilit�s de rotation ��� Croissance des instabilit�s dynamiques �

La d�tection des ondes de gravitation �

�� Sp�ci�cations optiques pour le CITF et Virgo ���

Analyse des donn�es ���

�� Amplitudes �quivalentes � perturbations �lectromagn�tiques ����� Spectre en sortie d�un �ltre de blanchiment � � ���

�� Performances de SD� OD� ALF pour di��rentes largeurs d�un signal gaussien ����� Performances des �ltres SD� OD et ALF pour di��rentes param�tres d�un signal

sinuso'dal amorti ����� SNR optimal limite de d�tection pour ALF� pour des signaux gaussiens ���� SNR optimal limite de d�tection pour ALF� pour des signaux du catalogue ZM ����� Performances des di��rents �ltres de r�gression lin�aire ����� Probabilit� d�occurence d�une con�guration de co'ncidence entre X� et X� ����� E&cacit� de d�tection d�un signal de type I pour un processus de co'ncidences ����! E&cacit� de d�tection d�un signal de type II pour un processus de co'ncidences ���� E&cacit� de d�tection d�un signal de type III pour un processus de co'ncidences ������ R�sum� de la fraction de signal ou de bruit remplissant une condition de co'ncidence

donn�e ����� E&cacit� de d�tection pour ALF et ALFtrig qui tient compte du nombre de d�clen�

chements cons�cutifs de ALF � N � ��� ms� signal de type I ������ E&cacit� de d�tection pour ALF et ALFtrig qui tient compte du nombre de d�clen�

chements cons�cutifs de ALF � N � � ms� signal de type I ������ Nombre moyen de d�clenchements cons�cutifs pour ALF� en fonction du type du

signal ��!�� Perte de signal pour une r�duction de � ( des fausses alarmes ��!��� E�et d�un mauvais blanchiment sur le nombre de fausses alarmes �!���� Param�tre � obtenu dans le cas d�une amplitude d�une composante �� Hz pour

un exc�s de fausses alarmes de �� ( �!���� SNR optimal de d�tection pour ALF pour des signaux de type ZM �!��! Erreurs syst�matiques et statistiques � Temps de premier d�clenchement � Signal

gaussien �!��� Erreurs syst�matiques et statistiques � Temps du maximum � Signaux gaussiens �!���� R�solution en temps signaux �de type� ZM � Temps de premier d�clenchement �!�

xi

LISTE DES TABLEAUX

��� R�solution en temps signaux �de type� ZM � Temps du maximum �!!��� R�solution en temps pour des signaux ZM des � types � Temps de premier d�clen�

chement �!!��� R�solution en temps pour des signaux ZM des � types � Temps du maximum �!!�� R�solution temporelle de ALF pour les � signaux �tudi�s� en fonction du SNR �! ��� Caract�ristiques des di��rents signaux du catalogue ZM � �

Le Mode�Cleaner ���

�� R�sum� des sp�ci�cations pour le Mode�Cleaner deVirgo ���

�� Performances obtenues pour une �nesse F ) ����� avec le servo lin�aire utilis� avecou sans trigger sur la puissance transmise �!

�� Param�tres d�acquisition de la r�sonance avec la technique des impulsions �F � �����fs � �� kHz� ���

�� Param�tres d�acquisition de la r�sonance avec la technique des impulsions �F � �����fs � � kHz� ��

� Param�tres d�acquisition de la r�sonance avec la technique des impulsions �F � �����fs � � kHz�� et r�duction graduelle de la vitesse du miroir ��

�� Param�tres d�acquisition de la r�sonance avec la technique des impulsions �F � �����fs � � kHz� � Force appliqu�e mise z�ro lors de la travers�e d�une r�sonance ���

�� Param�tres d�acquisition de la r�sonance avec la technique des impulsions �F � �����fs � � kHz� � E�et de �ltrage passe�bas induit par les bobines ���

� Z�ros et p�les de la fonction de transfert des bobines� basse fr�quence � �

xii

Introduction

En physique des particules� le Mod�le Standard fait l�objet d�ac�tives recherches dans le but d�en v�ri�er les fondements et#ou pr�dictions Dans ledomaine de la Gravitation� la th�orie de la Relativit� G�n�rale d�Einstein d�crit desph�nom�nes qui pour la plupart sont observ�s au niveau macroscopique� et qui semanifestent avec de faibles amplitudes l��chelle atomique Apparemment� aucune

relation entre ces deux domaines de physique

Certaines pr�dictions ont pu �tre v�ri��es exp�rimentalement� au d�but du si�cle essentiel�

lement �avanc�e du p�rih�lie de Mercure par exemple� L�exp�rience EROS �Exp�rience de Re�cherches d�Objets Sombres� recherche depuis une dizaine d�ann�es la Mati�re Noire dans l�Universen utilisant une autre de ces pr�dictions� la d�viation des rayons lumineux par un astre massif� et�par extension� l�e�et de lentille gravitationnelle

Pourtant� une pr�diction de la th�orie d�Einstein attend con�rmation depuis pr�s d�un si�cle �les Ondes Gravitationnelles Selon la th�orie� l�acc�l�ration de corps massifs cr�e une perturbationde la m�trique de l�espace�temps �autrement dit� un changement dans la distance lumi�re entredeux points� se propageant dans l�Univers la vitesse de la lumi�re� et port�e par une particule�l�mentaire� le graviton Jusqu� pr�sent� ce ph�nom�ne n�a jamais �t� directement observ� RusselHulse et Joseph Taylor �prix Nobel � �� ont cependant mis en �vidence leur existence en mesuranttr�s pr�cis�ment les temps d�arriv�es des signaux �mis par un pulsar en orbite avec un compagnon�PSR � ������ et en parvenant la conclusion que la d�croissance du rayon orbital de ce syst�me�tait due une perte d��nergie sous forme de rayonnement gravitationnel Ces r�sultats �taient enaccord avec la th�orie mieux que ��� pr�s

La cr�ation sur Terre d�ondes gravitationnelles d�amplitudes su&santes pour �tre d�tect�es�tant pour le moment impossible� les chercheurs se sont donc logiquement tourn�s vers le Cosmos�th��tre des ph�nom�nes les plus violents �explosion d��toiles� collisions de Trous Noirs

� Au vude la faiblesse des ondes �mises� personne jusque dans les ann�es �� �technique oblige� n�avaitenvisag� pouvoir un jour les d�tecter directement Joseph Weber fut alors le premier imaginerla technique des Barres R�sonnantes� o� l��nergie d�pos�e par l�onde gravitationnelle est mesur�e

la fr�quence de r�sonance de la barre Longtemps limit�es technologiquement� elles continuent �tre op�rationelles aujourd�hui� sans r�sultats probants jusqu� pr�sent

Une autre technique fut ensuite envisag�e � les d�tecteurs interf�rom�triques� qui visent non pas

d�tecter le graviton� mais l�e�et du passage d�une onde gravitationnelle C�est dans le contexted�une de ces antennes� le projet Virgo� en construction Cascina pr�s de Pise en Italie� ques�inscrit cette th�se La possibilit� d�une telle d�tection devrait ouvrir la voie une toute nouvelleastronomie qui nous donnera les clefs d�une meilleure �en tout cas plus compl�te� compr�hensionde l�Univers La France et l�Italie au sein de l�exp�rience Virgo� les Etats�Unis avec Ligo� lesJaponais �Tama� ainsi que le Royaume�Uni et l�Allemagne �Geo� contribuent la naissance dece nouveau domaine d�observation

Les sources principales �ventuelles d�Ondes Gravitationnelles peuvent �tre divis�es en trois ca�t�gories distinctes � fond de rayonnement gravitationnel �d�origine cosmologique ou superpositionde sources astrophysiques�� sources continues �coalescence d�un syst�me binaire d�objets massifset compacts� �toiles neutrons ou trous noirs� ainsi que l��mission p�riodique d�un pulsar essen�tiellement� et sources transitoires �explosion d�une �toile en Supernova de type II par exemple�

La pr�paration l�analyse des donn�es pour les instruments du type de Virgo a commenc� de�puis longtemps pour les coalescences de binaires� qui sont les sources les mieux mod�lis�es et les

�

INTRODUCTION

plus prometteuses dans l��tat actuel de nos connaissances� ainsi que pour les sources p�riodiques

D�un autre c�t�� peu d�outils existent en ce qui concerne les sources de signaux impulsifs d�ondesgravitationnelles� pour lesquelles peu de mod�les de formes d�ondes pr�cises existent La premi�repartie de cette th�se est donc d�di�e l��tude d�une famille de �ltres d�velopp�s dans le but ded�tecter de telles sources� pour �tre ensuite utilis�s comme algorithmes de pr�selection en lignedes donn�es de Virgo

Les Supernovae furent historiquement les premi�res sources d�ondes de gravitation envisag�es

Les simulations d�e�ondrement d��toiles massives isol�es en �toiles neutrons �Supernovae detype II� sugg�rent de faibles d�viations par rapport la sym�trie sph�rique� et� par cons�quent�une puissance �mise sous forme d�ondes gravitationnelles durant les quelques millisecondes de l�ef�fondrement qui resterait assez faible � l�amplitude typique pour une telle source situ�e �� Mpc nedevrait pas exc�der ����� Les simulations s�av�rent de plus incapables de pr�dire l�exacte formede ces signaux� puisque des changements in�mes dans les param�tres de d�part peuvent compl��tement changer les signaux obtenus Cette situation appellent donc des m�thodes de recherchesd�une grande e&cacit� et d�une grande robustesse Au mieux� ces simulations nous donnent uneid�e des bandes de fr�quences utilis�es par de tels signaux Le �ltrage adapt�� intensivement uti�lis� dans le cas des coalescences de binaires� n�est donc pas utilisable pour de telles sources Lesm�thodes Temps�Fr�quence sont bien s*r pertinentes pour d�tecter des sources mal mod�lis�esmais les ressources informatiques qu�elles supposent ne permettent pas de les utiliser en tempsr�el �en ligne� Les quelques m�thodes d�velopp�es dans cette th�se permettront aussi de d�tectertoutes sortes de signaux transitoires ou non stationnaires dans les donn�es de Virgo De tels�v�nements pourront �tre �limin�s a posteriori s�ils co'ncident avec des signaux obtenus avec descapteurs d�di�s di��rentes sortes de bruits environnementaux �bruit sismique ou acoustique parexemple� D�autre part� ces �v�nements pourront �tre valid�s par des co'ncidences avec d�autresd�tecteurs d�ondes gravitationnelles

Le but de cette th�se est donc dans un premier temps de d�velopper et de tester des �ltresd�di�s la recherche d�Ondes Gravitationnelles� qui soient e&caces� mais en m�me temps simpleset assez rapides pour �tre utilis�s en ligne La performance et l�e&cacit� de tels �ltres ont �t��valu�es en prenant comme base de comparaison un catalogue de signaux impulsifs de supernovae

Une telle �tude se situe en aval d�un d�tecteur interf�rom�trique En amont se situe la sourceLaser La d�tection d�ondes gravitationnelles repose sur la mesure du mouvement de masses libresdispos�es plusieurs kilom�tres l�une de l�autre� gr�ce un interf�rom�tre de Michelson Pourpouvoir fonctionner optimalement� le laser utilis� traverse une cavit� triangulaire appel�e Mode�Cleaner qui a pour but de �ltrer les d�fauts spatiaux du laser� ainsi que son bruit de puissance etde fr�quence Les miroirs �tant en permanence soumis l�agitation sismique� cette cavit� a besoind��tre amen�e la r�sonance� son point de fonctionnement � c�est l�acquisition de la r�sonance Lecontr�le longitudinal �i�e� suivant l�axe du faisceau laser� peut alors prendre le relais et conserverla cavit� la r�sonance La di&cult� d�une telle acquisition provient la fois de la haute �nessedu Mode�Cleaner �qui est inversement proportionnelle la largeur de la raie de r�sonance� et del�utilisation d�un syst�me num�rique pour son contr�le �d�o� une fr�quence d��chantillonnage �nie�contrairement un syst�me analogique� et un nombre de points autour de la r�sonance faible�

Une m�thode �d�j envisag�e pour l�interf�rom�tre central de Virgo ou Citf� visant amortirles mouvements relatifs de la cavit� et faciliter le fonctionnement de l�asservissement lin�aire adonc �t� test�e en simulations dans le cadre du Mode�Cleaner Une telle m�thode a aussi pourbut essentiel de r�duire les temps morts en cas de perte du contr�le longitudinal de la cavit�� quiseraient autant de temps de perte du faisceau pour le reste de Virgo Une architecture client�serveur pour le contr�le longitudinal a ensuite �t� d�velopp�e� incorporant aussi cette techniqued�acquisition de la r�sonance Des tests de cette architecture ont par la suite �t� men�s sur le sitede l�exp�rience� pour d�montrer son bon fonctionnement et sa robustesse

L�activit� exp�rimentale sur la cavit�Mode�Cleaner a commenc� peu apr�s la �n de ces tests� auprintemps ����� jusqu� ce que des mesures d�montrent que le miroir install� un des sommets decette cavit� triangulaire ne remplissait pas les sp�ci�cations demand�es Malgr� ces imperfections�la cavit� Mode�Cleaner a tout de m�me �t� amen� la r�sonance gr�ce une nouvelle topologiede contr�le au cours de l�automne ���� Le nouveau miroir devrait �tre install� dans le courantdu printemps ����

�

INTRODUCTION

Ce manuscrit comporte trois parties Dans une premi�re partie� nous exposerons les quelquesd�veloppements th�oriques utiles la compr�hension du ph�nom�ne des ondes gravitationnelles

Ensuite� les sources astrophysiques principales seront pr�sent�es� avec l�accent mis sur les di���rentes sources transitoires �impulsives�� et les signaux gravitationnels qui en r�sultent En�n� lesprincipes de la d�tection interf�rom�trique seront expos�s� ainsi que le projet Virgo en particulier

Une deuxi�me partie commencera par pr�senter des �l�ments d�analyse des donn�es sp�ci�quesaux d�tecteurs interf�rom�triques en cours de construction On verra que l�analyse des donn�esd�di�e aux sources continues est particuli�rement bien d��nie� et repose essentiellement sur desm�thodes d�riv�es du �ltrage adapt�� qui suppose une connaissance pr�cise du signal attendu

Le troisi�me et dernier chapitre de cette partie exposera les quelques techniques d�velopp�es icipour la d�tection de signaux transitoires dans les donn�es deVirgo� destin�es servir d�algorithmede pr�s�lection en ligne Nous pr�senterons en particulier les performances �e&cacit�s de d�tection�obtenues sur un catalogue de signaux physiques �issus de simulations�� ainsi que les �tudes men�esen vue de distinguer un �v�nement de bruit d�un �v�nement de signal D�autres �tudes que nousavons conduites ont permis de donner des sp�ci�cations de performances pr�cises aux algorithmesde blanchiment des donn�es de Virgo Finalement� la r�solution en temps de tels �ltres �erreurssyst�matiques et statistiques� sera pr�sent�e� ainsi que les implicationsquant d��ventuelles futuresco'ncidences avec des d�tecteurs de neutrinos

La troisi�me et derni�re partie de ce manuscrit d�crira dans un premier temps les caract�ris�tiques optiques et les propri�t�s de �ltrage spatial essentielles d�une cavit� triangulaire telle quele Mode�Cleaner de Virgo� ainsi que les moyens dont on dispose pour la contr�ler

L��tude en simulation d�une technique d�acquisition de la r�sonance� ainsi que son impl�men�tation pratique et les tests e�ectu�s sur le site� constitue le troisi�me chapitre de cette partie

En�n� le quatri�me et dernier chapitre pr�sentera les premiers r�sultats obtenus sur le contr�le duMode�Cleaner deVirgo� premi�re cavit� suspendue en fonctionnement dans l�exp�rience

�

Partie I

Ondes Gravitationnelles

et

Sources Astrophysiques

�

Pr�ambule

Cette partie d�crira dans un premier temps les �l�ments th�oriques n�cessaires � lacompr�hension du ph�nom�ne des ondes gravitationnelles� Puis les di��rentes classesde sources astrophysiques d�ondes gravitationnelles ainsi que les formes des signaux�mis seront pr�sent�es � sources continues et surtout sources transitoires ou impul�sives� puisque ce sont elles que les m�thodes d�velopp�es dans la partie II cherchent� d�tecter� Enn on d�taillera les principes de la d�tection interf�rom�trique ainsique le projet Virgo dans son ensemble�

�

Chapitre �

De la Relativit� auxondes de gravitation

Contenu du chapitre

��� Introduction � la Relativit� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Quelques r�sultats de la Relativit� Restreinte � � � � � � � � � � � � � ��

��� Le Principe d��quivalence � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� La courbure de l�EspaceTemps � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Courbure et g�od�sique � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� D�riv�e Covariante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Calcul de la Connection A�ne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Notion de Covariance G�n�ralis�e � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Equation d�une G�od�sique � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Les �quations d�Einstein � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Forme du Tenseur de Riemann � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� D�viation d�une G�od�sique � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Tenseur EnergieImpulsion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Les �quations d�Einstein � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� La limite Newtonienne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Conclusion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

CHAPITRE �� DE LA RELATIVIT� AUX ONDES DE GRAVITATION

La th�orie de la Relativit� G�n�rale propos�e par Ein�stein en � �� nous a o�ert une toute nouvelle vision de l�Espace�Temps danslequel nous vivons La mati�re n��volue plus dans un continuum espace�temps pas�sif� mais� bien au contraire� la pr�sence de mati�re modi�e ce continuum Cettedistorsion provoque la d�viation de la trajectoire de particules de mati�re et de lu�

mi�re di��rente de celle attendue pour leur chemin classique Ainsi� Einstein pr�dit que la lumi�redes �toiles qui passe au voisinage du soleil devrait �tre d�vi�e de ���� arcsec� une quantit� faiblemais qui fut cependant mesur�e avec succ�s en � � par Eddington� l�occasion d�une �clipse desoleil Cette con�rmation relan�a l�int�r�t des scienti�ques pour la th�orie d�Einstein

La gravitation domine notre Univers grande �chelle� liant la mati�re en �toiles� les �toiles engalaxies� et les galaxies en amas de galaxies La th�orie classique qui la d�crit est bas�e sur la loi deNewton qui �tablit que deux masses m� et m� s�par�es d�une distance r subissent une attractiongravitationnelle mutuelle F d�expression �

F �Gm�m�

r�

o� G est la constante de gravitation universelle Des calculs bas�s sur cette �quation ont pu pr�direle mouvement des plan�tes avec une grande pr�cision N�anmoins� une petite partie �� arcsec�de la pr�cession du p�rih�lie de l�orbite de Mercure ���� arcsec par si�cle� n�a pu �tre expliqu�e

En d�pit de ses succ�s� la loi de la Gravitation de Newton a par ailleurs un gros d�faut � elle estind�pendante du temps� ce qui signi�e que la force gravitationnelle pourrait agir instantan�ment toute distance Un tel comportement est en contradiction avec la Relativit� Restreinte qui imposequ�aucun signal ne peut �tre transmis une vitesse sup�rieure celle de la lumi�re La n�cessit�d�une nouvelle th�orie �tait donc devenue clairement �vidente

��� Introduction � la Relativit�

Le principe de relativit� stipule l�existence d�une classe particuli�re de syst�mes de r�f�rences�ou r�f�rentiels� par rapport auxquels les lois de la physique locale prennent exactement la m�meforme �

Les th�ories de la relativit� d�signent l�ensemble des lois cin�matiques �transformation entrerep�res inertiels� et dynamiques �physique locale� qui satisfont au principe de relativit� On peutmontrer qu�il n�existe que deux groupes de transformations entre rep�res d�inertie ayant cette pro�pri�t� Le premier est le groupe de Galil�e� qui est caract�ris� par l�existence d�un temps absolu

La th�orie correspondante est la th�orie de Newton� avec des lois du mouvement d�terminantles acc�l�rations des corps en fonction de la con�guration g�om�trique �relative� instantan�e dusyst�me en interaction

La seconde solution est le groupe des transformations de Lorentz�Poincar� �

x�� � ���x

� a� ����

avec ��������� � ���� et �ij � diag������������ qui repr�sente la m�trique de Minkowski �voir

le paragraphe suivant pour les notations� Ce groupe est caract�ris�e par l�existence d�une vitesseabsolue c� ind�pendante du r�f�rentiel La limite c �� nous redonne alors les transformationsde Galil�e

��� Quelques r�sultats de la Relativit� Restreinte

Les postulats de base de la Relativit� Restreinte sont au nombre de deux Le premier stipule que leslois de la Physique prennent des formes identiques dans tout rep�re inertiel� i�e� dans tout rep�requi se d�place avec une vitesse constante par rapport un rep�re li� des galaxies �loign�es Ledeuxi�me nous dit que la vitesse de propagation de la lumi�re est une constante Un point dans

�Il constate aussi� mais sans l�expliquer� l�existence de rep�res privil�gi�s �en outre non acc�l�r�s par rapport �des �toiles lointaines �xes� o� les lois de la physique revtent une forme simpli��e Une d�termination th�oriquesatisfaisante des rep�res inertiels �o� le principe d�inertie est valable�� en fonction par exemple de la distributionde mati�re dans l�Univers �principe de Mach� n�existe pas

��

���� LE PRINCIPE D��QUIVALENCE

l�espace�temps� que l�on appellera un �v�nement� est de plus caract�ris� par des coordonn�esx� y� z par rapport un syst�me Cart�sien d�axes un instant t Ces quatre coordonn�es d�espace�temps forment un quadri�vecteur de composantes �

x� � ct � x� � x � x� � y � x� � z�

Dans un autre rep�re inertiel se d�pla�ant avec une vitesse relative v � �c parall�le l�axe x�axe x��� les nouvelles coordonn�es pour le m�me �v�nement sont donn�es par la transformationde Lorentz �

�����x�

�

� �x� � x���x�

�

� �x� � x���x�

�

� x� � x��

� x�����

o� � ����� ��� �� � avec � � � � et � � L�intervalle entre deux �v�nements P� et P� s�par�spar ��x���x���x���x�� est d��ni comme �tant �

�s� � ��x��� � ��x��� � ��x��� � ��x��� � ��x��� ��r�

Il est par construction invariant par transformation de Lorentz Si une horloge voyage de P� P��alors l�intervalle de temps qu�elle mesure entre ces deux �v�nements est appel� le temps proprec�� � �s

Pour simpli�er l��criture des calculs� on utilisera souvent la convention de sommation suivantedite sommation d�Einstein �

ds� ��X

i�j��

�ijdxidxj � �ijdx

idxj � dxjdxj

avec xi � �ijxj et �ij � diag������������ qui repr�sente la m�trique de Minkowski �espace�temps plat�

L�intervalle �s� peut �tre positif� n�gatif ou nul Dans ce dernier cas� on a c�t � �r etl�intervalle P�P� sera dit du type lumi�re puisqu�un rayon lumineux pourra voyager entre P� etP� Quand c�t � �r alors �s� est positif et P� peut �tre atteint depuis P� en voyageant avec unevitesse inf�rieure celle de la lumi�re � l�intervalle est de type temps� et il est possible de choisir unrep�re inertiel dans lequel r� � r� Finalement� si �s� est n�gatif� c�t �r et aucune informationne pourra passer de P� P� puisque cela n�cessiterait de voyager une vitesse sup�rieure cellede la lumi�re Un intervalle de ce type est dit du type espace � on peut en e�et choisir un rep�reinertiel dans lequel t� � t� Ce qui se passe alors en P� n�a aucune in�uence sur P�� et vice versa

Un autre vecteur important est le quadri�vecteur Energie�Impulsion donn� par �

p� � E�c � p� � px � p� � py � p� � pz

o� E est l��nergie totale du syst�me et p repr�sente l�impulsion relativiste Dans ce cas� l�invariantde Lorentz est la quantit� �p��� � �p�� � E��c� � �p�� � m�c� avec m la masse de la particuleconsid�r�e

��� Le Principe d��quivalence

Quand Galil�e comparait les chutes de corps constitu�s de di��rents mat�riaux� il essayait der�pondre une question fondamentale � l�attraction gravitationnelle d�pend�elle de la compositiondes corps sur laquelle elle agit� Encore aujourd�hui la r�ponse cette question n�est pas triviale

On sait que la masse nucl�aire est inf�rieure la somme des masses de ses nucl�ons causede l��nergie de liaison due la force nucl�aire qui agit entre eux Cette �nergie de liaison est nulledans le cas de l�Hydrog�ne �un seul et unique proton� mais atteint ��� de la masse ��c�� desnucl�ons dans le cas du Fer Par cons�quent si la force gravitationnelle devait d�pendre� commedans le cas de l�interaction forte� du nombre de nucl�ons �donc de la composition� plut�t que de lamasse� une di��rence de ��� entre l�acc�l�ration gravitationnelle de l�Hydrog�ne et du Fer devraitappara"tre

��

CHAPITRE �� DE LA RELATIVIT� AUX ONDES DE GRAVITATION

L�analyse d�exp�riences du type de celles men�es par Galil�e se fait de la mani�re suivante Laforce agissant sur une masse mg plong�e dans un champ gravitationnel est F � mgg� o� mg est lamasse gravitationnelle Selon la deuxi�me loi de Newton� l�acc�l�ration a de cette masse peuts��crire F � mia o� mi est la masse inertielle On en d�duit que a �

mgmi

g Or� jusqu� pr�sent�aucune exp�rience n�a r�v�l� de variation dans cette acc�l�ration gravitationnelle entre di��rentsmat�riaux Le rapport mg

mipeut donc �tre choisi �gal l�unit�� ce qu�Einstein a interpr�t� en disant

que le mouvement d�un corps neutre en un point donn� de l�espace�temps est ind�pendant de sacomposition C�est le Principe d�Equivalence Faible

Einstein consid�ra ensuite les implications d�un tel principe pour un mouvement de chute libre�i�e� le mouvement d�un corps soumis l�action des seules forces gravitationnelles Alors localement�dans une r�gion de l�espace su&samment petite pour que le champ gravitationnel puisse �treconsid�r� comme constant et uniforme�� les r�sultats d�exp�riences physiques dans un rep�re enchute libre sont ind�pendants du mouvement Le Principe d�Equivalence Fort rajoute que cesr�sultats seront les m�mes quelque soit le rep�re et tout instant� et que ces r�sultats locauxdoivent �tre coh�rents avec la Relativit� Restreinte Un de ces cons�quences est que l��nergiegravitationnelle se comporte comme de la masse inerte ordinaire� i�e� elle ne se distingue pas desautres formes de masse

��� La courbure de l�EspaceTemps

Une description Minkowskienne de l�Univers est valable dans le cas d�un espace�temps plat Or�des observations telles que la d�viation des rayons lumineux par des astres massifs nous indiquentclairement que l�espace�temps r�el qui nous entoure est courbe On peut donc r��crire l�intervallede temps propre ds entre deux �v�nements de l�espace�temps s�par�s par dx� comme �tant �

ds� � c�d�� � g��dx�dx�

o� g�� est fonction de la position et du temps A ce niveau� le principe d��quivalence dans sa versionforte requiert que dans un rep�re en chute libre toute mesure exp�rimentale locale doit �tre enaccord avec la Relativit� Restreinte Cela signi�e que localement un rep�re de Minkowski d�critparfaitement la structure de l�espace�temps r�el� i�e� pour un �v�nement donn� de l�espace�temps�on peut toujours trouver un syst�me de coordonn�es tel que �

���

g���y� � �����g���x�

�y� �

����

La d��nition d�un tel rep�re nous permet d�obtenir une m�trique d�espace quadratique mais loca�lement plat

��� Courbure et g�od�sique

La d��nition la plus g�n�rale d�une g�od�sique consiste dire que c�est le plus court �ou le pluslong� chemin suivi par une particule sur une surface Une mani�re de d�terminer la courbure d�unesurface deux dimensions est de mesurer la d�viation entre deux g�od�siques voisines Dans unespace de dimension sup�rieure� une telle mesure nous donnerait la courbure de Gauss �courburetraditionnelle� de la surface deux dimensions contenant ces g�od�siques Cette technique esttoujours valable en espace�temps courbe� la condition que nous puissions dans un premier tempsd�terminer la nature d�une g�od�sique dans l�espace�temps

Une g�od�sique en espace�temps plat est une ligne droite + c�est aussi le chemin suivi par uncorps libre tel qu�il est d�crit par la premi�re loi du mouvement de Newton De la m�me mani�re�une g�od�sique du type temps dans un espace�temps de Minkowski est le chemin suivi par uncorps libre Le principe d��quivalence nous indique alors une fa�on de transf�rer cette d��nitiond�une g�od�sique un espace�temps courbe

Si une g�od�sique du type temps dans un espace de Minkowski est le chemin suivi par un corpslibre� alors pour �tre coh�rent� une g�od�sique du type temps dans un espace�temps courbe doit�tre le chemin suivi par un corps en chute libre Cela constitue l�interpr�tation d�une g�od�siqueen espace�temps courbe � le chemin suivi par un corps en chute libre

��

���� LA COURBURE DE L�ESPACE�TEMPS

��� D�riv�e Covariante

Notre but ici est de vouloir obtenir des lois physiques toujours valides apr�s passage un rep�reacc�l�r� �par une transformation de Lorentz� Selon le Principe d�Equivalence� ces lois exprim�esdans un rep�re en chute libre doivent �tre coh�rentes avec la Relativit� Restreinte D�autre part� onpeut montrer que des lois exprim�es comme des �quations tensorielles sont automatiquementinvariantes de Lorentz �on dit covariantes� Ces deux id�es vont �tre r�unis dans les Principede Covariance G�n�ralis�e� introduit par Einstein Il �nonce que les lois physiques peuvent �treexprim�es sous forme d��quations tensorielles qui se r�duisent des lois coh�rentes avec la Relati�vit� Restreinte dans un rep�re en chute libre Une loi valable en Relativit� Restreinte pourra donc�tre g�n�ralis�e pour s�appliquer tout rep�re acc�l�r� en l�exprimant sous forme tensorielle Or�beaucoup de lois physiques font intervenir des d�riv�es spatio�temporelles et ne sont donc pas desquantit�s tensorielles C�est l que se r�v�le n�cessaire la notion de d�riv�e covariante� tenseurqui co'ncide avec la d�riv�e traditionnelle dans un rep�re en chute libre

La d��nition d�un tel tenseur fait appel la notion de transport parall�leElle fait appara"tredes quantit�s appel�es Connections A�nes de la m�trique� not�es ���� Elle s��crit �

Dq�

Ds�

dq�

ds

����q

�

�dx�

ds

�

qui est la composante � de la d�riv�e covariante du vecteur de composante q� Les connectionsa&nes ne sont pas des tenseurs et s�annulent dans un rep�re en chute libre

��� Calcul de la Connection A�ne

Toute l�information sur la structure de l�espace�temps �tant contenue dans l��quation de la m��trique� il est naturel de vouloir exprimer les connections a&nes en fonction de la m�trique g��

Avec la notation g���� �

�g���x� � on peut montrer que �

���� ��

�g�����g�� ��g�� �

ce qui nous donnera alors une expression de la d�riv�e covariante sous la forme �

Dq�

Dx�� q��� �

���q

�

��� Notion de Covariance G�n�ralis�e

Ce principe implique que les lois physiques doivent �tre exprim�es sous forme d��quations tenso�rielles et que dans un rep�re en chute libre� elles co'ncident avec la Relativit� Restreinte Voyonsceci dans le cas de la deuxi�me loi de Newton �

F� �dp�

d�

o� F� est le quadri�vecteur Force� dEcdt �

dpidt

�� expression qui devient �

F� �Dp�

D�

qui satisfait le Principe de Covariance G�n�ralis�e C�est bien une �quation tensorielle qui co'ncideavec la Relativit� Restreinte en chute libre

��� Equation d�une G�od�sique

Sous l�action de la gravitation seule �chute libre�� on a �

Dp�

D�� �

puisque la force est due la m�trique Cette �quation constitue l��quation d�une g�od�sique

Avec p� � mdx

�

d� on peut r��crire cette �quation sous la forme �

��

CHAPITRE �� DE LA RELATIVIT� AUX ONDES DE GRAVITATION

d�x�

d��

����

dx�

d�

dx�

d�� �

�� Les �quations d�Einstein

La technique g�n�rale qui consiste remplacer les d�riv�es traditionnelles par des d�riv�es co�variantes ne peut pas s�appliquer dans le cas de la gravitation de Newton� puisqu�elle n�est pascoh�rente avec la Relativit� Restreinte La Relativit� Restreinte s�applique en e�et un espace�temps plat alors que les forces gravitationnelles sont une manifestation de sa courbure Einsteinper�ut qu�il devait y avoir un lien direct entre la distribution en masse#�nergie et la courbure del�espace�temps et que ce lien devait �tre exprim� en termes de tenseurs C�est l l�essence m�medes �quations d�Einstein

��� Forme du Tenseur de Riemann

La courbure d�une surface dans un espace deux dimensions est quanti��e par la donn�e de laCourbure �dite de Gauss� en chaque point� ce qui n�a plus de sens dans le cas d�un espace trois ouquatre dimensions La description compl�te de la courbure en un point donn� dans un tel espaceest contenue dans un tenseur de rang appel� Tenseur de Riemann ou Tenseur de Courbure

Pour un �v�nement x� passer dans un rep�re en chute libre rend l�espace�temps localement plat etpar cons�quent �

�g�� � ���

g���� � ����

au point x La courbure ne peut donc pas �tre d�crite par les coe&cients de la m�trique ou parleurs d�riv�es premi�res En fait� un rep�re en chute libre au point x di��re de celui au pointx�x� ce qui implique� en proc�dant un d�veloppement de Taylor �

�g���x�x� � ���

��g������x

��x�

g�����x�x� � g������x�����

La variation de g�� d�pend donc uniquement des d�riv�es secondes g����� au point x � ces d�riv�esdoivent logiquement contenir l�information sur la courbure de l�espace�temps

Le tenseur imagin� par Riemann prend alors la forme suivante �

R��� � ����� � ����� ������� � �������

qui s�annule bien quand l�espace�temps est plat et qui contient les d�riv�es secondes de la m�triqueg��

��� D�viation d�une G�od�sique

Un changement de coordonn�es peut toujours annuler l�acc�l�ration et les connections a&nes Cen�est pas le cas pour le tenseur de Riemann � il s�annule uniquement si l�espace�temps est plat�quelque soit le syst�me de coordonn�es choisi

D�autre part� on peut montrer que deux g�od�siques initialement voisines et parall�les nerestent pas parall�les ind��niment� mais convergent ou divergent en fonction de la courbure locale

De m�me deux m�ridiens sont �parall�les� l��quateur mais convergent aux p�les Ainsi� pour unvecteur � de l�espace�temps courbe reliant des points sur deux g�od�siques voisines x et x ��on peut d�montrer l��quation de d�viation de la g�od�sique qui prend la forme �

D���

D��

R�����

� dx�

d�

dx�

d�� � ����

Cette �quation exprim�e sous forme tensorielle est valable dans tout syst�me de coordonn�es Ellenous sera utile pour �tudier l�e�et du rayonnement gravitationnel sur la mati�re

�

���� LES �QUATIONS D�EINSTEIN

��� Tenseur Energie�Impulsion

En Relativit� Restreinte� l��nergie et l�impulsion sont deux aspects de la m�me entit�� le quadri �vecteur Energie�Impulsion Ils sont connect�s la masse par le biais de la relationE��c�p� � m�c�

Cela sugg�re que la masse� l��nergie et l�impulsion seront intimement li�es dans une th�orie g�n�ralede la gravitation

Pour clari�er les choses� mettons la premi�re loi de Newton sous forme di��rentielle La forced�attraction d�un corps de masse M sur une masse unit� une distance r peut s��crire �

F �GM

r�

Int�grer le �ux de la force F sur une sph�re centr�e sur la masse nous donne �Z

F� dS � ��r�GM

r�� ��GM�

Le th�or�me de Stokes nous permet alors d��crire �

r� F � ��G� ����

o� � est la densit� de mati�re l�int�rieur du volume Le potentiel gravitationnel � donn� par

F � �r� permet de mettre ���� sous la forme �

r�� � �G��o� � et � sont des quantit�s locales Prenons un nuage de poussi�res dans un rep�re au repos S�avec une densit� d��nergie ��c� � m�n�c�� avec m� la masse moyenne d�un grain de poussi�re et n�le nombre de grains par unit� de volume Dans un rep�re S� se d�pla�ant une vitesse v � �c parrapport au nuage� chaque grain a une impulsion plus grande� et le volume contenant un nombredonn� de grains subit une contraction de Lorentz selon la direction du mouvement La quantit�m� devient donc m � m� et n� devient n � no Par cons�quent� la densit� �� se transforme en� � ��c��

On peut voir par ailleurs que � se comporte exactement comme la composante �� d�un tenseurde rang � not� T�� �

T�� � ��v�v� � ���

o� v� est le quadri�vecteur v�locit� du nuage et ��� le tenseur de �travail� Ce tenseur est appel�Tenseur Energie�Impulsion T�� est en fait le �ux de la �i�me composante de l�impulsion lelong de la direction � Ainsi �

� T �� est la densit� d��nergie�� cT �i est le �ux d��nergie par unit� de surface parall�le la direction i ��ux de chaleur��� T ii est le �ux de la composante i de l�impulsion par unit� de surface parall�le la directioni �pression travers le plan i��

� T ij est le �ux de la composante i de l�impulsion par unit� de surface parall�le la directionj �tra"ne visqueuse travers le plan j��

� cT i� est la densit� de composante i de l�impulsion

On peut montrer que les lois de conservations habituelles peuvent s��crire sous la forme �

T ���� � � soit encore�T ��

�x�

����T

�� ����T�� � �

C�est un tenseur sym�trique de rang deux� qui s�annule en l�absence de mati�re et qui est dedivergence nulle

��

CHAPITRE �� DE LA RELATIVIT� AUX ONDES DE GRAVITATION

��� Les �quations d�Einstein

Einstein identi�a ensuite le tenseur Energie�Impulsion comme �tant la source de la courbure del�espace�temps et sugg�ra donc la relation la plus simple possible entre ces deux quantit�s sous laforme �

KT�� � G��

o� G�� est un tenseur d�crivant la courbure et K une constante scalaire� dont la valeur d�critl�e&cacit� avec laquelle la densit� d��nergie modi�e l�espace�temps Par cons�quent� G�� doit�tre un tenseur de rang �� sym�trique et de divergence nulle Le tenseur de Riemann de rang quanti�ant la courbure� il est naturel d�imaginer que G�� soit une contraction du tenseur R����c�est dire un tenseur de la forme R� � R��� � g

��R���� que l�on appelle Tenseur de Ricci�et qui est en fait l�unique contraction du tenseur de Riemann Sa divergence n�est pas nulle maisla quantit� �

G� � R� � g�R��o� le deuxi�me terme du second membre est la divergence de R�� avec R � g�R� �scalaire deRicci�� est bien de divergence nulle Ce tenseur d�Einstein s�annule e�ectivement en l�absence demati�re et la limite Newtonienne d�crite dans la suite nous impose que �

G�� ���G

c�T��

avec G la constante de la gravitation universelle classique

On notera que ces �quations peuvent s��tendre au cas o� l�on peut �crire �

G�� � �g�� � ��Gc�

T�� ��!�

avec � la constante cosmologique Initialement� Einstein n�avait pas introduit cette constante

Or� il s�est aper�u que son absence favorisait un univers en expansion� concept en contradictionavec sa vision d�un univers statique Cette constante ad hoc rajout�e par Einstein semblerait �trenon�nulle� comme l�indiquent des donn�es r�centes sur les supernovae de type Ia

��� La limite Newtonienne

Il peut �tre instructif de v�ri�er que dans la limite des champs gravitationnels faibles et lentementvariables� les �quations d�Einstein se r�duisent bien la loi de la gravitation de Newton Onpourra alors relier les nouvelles variables de la th�orie d�Einstein celles plus famili�res� utilis�esen gravitation classique Dans la limite classique�