Euclides e Os Elementos (Aula 4)

CURSO: L ICENCIATURA EM MATEMÁTICA

DISCIPLINA: H ISTÓRIA DA MATEMÁTICA

PROF. : JOÃO PAULO CARENIRO BARBOSA

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Platão e os matemáticos:

“Você não sabe que embora eles façam uso posterior das formas visíveis e raciocinem sobre elas, eles não pensam nelas, mas nas idéias às quais elas se assemelham...mas eles estão realmente procurando ver as próprias coisas que somente podem ser vistas com os olhos da alma” (sic)

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Proclos sobre a Matemática:

“Aprendemos com os pioneiros desta ciência a não considerar imagens meramente plausíveis quando a questão for de raciocínios a serem incluídos em nossas doutrinas geométricas .” (Sic)

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Euclides e os Elementos

Pouco sobre a vida de Euclides é conhecido. É provável que ele tenha estudado na Academia de Platão.

Lá ele teria aprendido o método de prova e raciocínio de Aristóteles que os Elementos exemplificam de forma magistral; idéias geométricas de Teeteto e Eudoxo também se fazem presente nos Elementos.

Euclides provavelmente também estudou antigas compilações de geometria, tais como os Elementos de Hipócrates, que serviram de inspiração para os seus próprios Elementos.

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Sabe-se que Euclides ensinou no Museu em Alexandria, onde ele provavelmente concluiu os Elementos.

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O que são os Elementos de Euclides? Um “elemento” é um teorema fundamental. Aristoteles afirma:

“Damos o nome „elementos‟ àquelas proposições geométricas cujas provas estção implicadas nas provas de todas ou da maioria das proposições.”

Proclos explica os Elementos com uma analogia. Ele afirma que os elementos de Euclides estão para a geometria como as letras do alfabeto estão para a linguagem.

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O objetivo dos Elementos de Euclides é matéria de debate. Desde que ele não apresenta teoremas avançados sobre as cônicas e a geometria esférica, alguns defendem que ele foi mais um texto didático para estudantes do que um texto para matemáticos.

Por outro lado o impacto dos Elementos é inquestionável. Ele é suplantando apenas pela Bíblia em número de traduções, edições, e comentários desde a sua primeria edição, e tem influeciado algumas das melhores mentes da humanidade.

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A influencia dos Elementos de Euclides pode ser encontrada no Principia de Isaac Newton e na Crítica da Razão Pura de Kant.

Abraham Lincoln dominava os primeiros seis livros para melhorar as suas habilidades de raciocínio, e Albert Einstein descrevia a geometria euclidiana como “a segunda maravilha” em sua vida.

Dois mil anos depois os estudantes ainda estudam a geometria de Euclides na escola.

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A Estrutura dos Elementos

Aristóteles

Definições: o ponto de partida para todo o raciocínio dedutivo.

Noções comuns: que suportam todo o raciocínio dedutivo.

Postulados: pelos quais são axiomatizados a existência dos conceitos fundamentais da Matemática ou esclarecidos seus significados.

A existência dos conceitos definidos precisa ser provada

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Os Elementos compõem-se de 13 Livros

Geometria plana: Livros I a VI

Aritmética: Livros VII a IX

Razões irracionais: Livro X

Geometria sólida: Livros XI a XIII

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LIVRO I Fundamentos da Geometria: triângulos, paralelas e área

23 Definições

5 Postulados

5 Noções comuns

48 Proposições:

Proposições 1 a 26 tratam dos triângulos sem a utilização de paralelas.

Proposições 27 a 32 tratam da teoria das paralelas.

Proposições 33 a 48 tratam de paralelogramos, triângulos e suas áreas.

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Elementos de

Euclides ca. 300 a.C. Texto

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Continuação:

Definições de Euclides

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Axiomas de Euclides

“Régua e compasso”

Postulado das Paralelas

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LIVRO II Álgebra Geométrica

2 Definições

14 Proposições

Continua a terceira seção do Livro I, mas especificamente

com retângulos e quadrados;utiliza bastante a figura gnomon.

Trata do que se convencionou chamar de álgebra geométrica.

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1. a (b + c + d + ...) = ab + ac + ad + ...

2. (a + b) a + (a + b) b = (a + b)²

3. (a + b) a = ab + a²

4. (a + b)² = a² + b² + 2ab

5. ab + [ ½ (a + b) – b]² = [ ½ (a + b)]² ou (α + β) (α – β) + β² = α²

6. (2a + b) b + a² = (a + b)² ou (α + β) (β – α) + α² = β²

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II.11 a II.14 são o equivalente geométrico da resolução das

equações quadráticas x² + ax = a² e x² = ab

As proposições 12 e 13 são o que hoje se chama Lei dos co-

senos.

I.47 e I.48 tratam do Teorema de Pitágoras.

II.11 e II.12 tratam da generalização do Teorema de

Pitágoras.

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LIVRO III Círculos e circunferências

37 Proposições.

11 Definições:

1) Encontrar o centro de um círculo.

3) Qualquer reta pelo centro que bissecta qualquer corda que não passa pelo centro corta-a em ângulos retos e reciprocamente.

4) Duas cordas que não passam pelo centro não bissectam uma à outra.

9) O centro é o único ponto pelo qual dois segmentos iguais podem ser traçados até a circunferência.

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LIVRO III Círculos e circunferências

2) O círculo é côncavo para dentro.

7 e 8: Comprimentos de segmentos tirados de ponto interno ou externo do círculo.

5 e 6: Circunferências que se tocam.

14 e 15: Cordas

16 a 19: Propriedades de tangentes.

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LIVRO IV Construção de figuras inscritas e circunscritas

7 Definições

16 Proposições

IV.1 (proposição preliminar): Colocar na circunferência uma corda igual a um segmento dado menor que o diâmetro.

IV.2 e IV.3: Inscrever, circunscrever triângulos em círculos.

IV.4 e IV.5: Inscrever, circunscrever um círculo em triangulo.

IV.6 a IV.9: O mesmo para quadrados.

IV.11 a IV.14: O mesmo para pentágonos regulares.

IV.15 O mesmo para hexágono.

IV.16 Inscrever em um círculo um polígono regular.

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LIVRO V Teoria das proporções

18 Definições

25 Proposições

Teoria das proporções de Eudoxo para grandezas comensuráveis e incomensuráveis. Sejam a, b, c, ... grandezas quaisquer e m, n, p, ... Inteiros

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LIVRO VI Figuras semelhantes e proporção na geometria

4 Definições

33 Proposições

Aplica a teoria das proporções do Livro V à geometria plana.

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LIVRO VII Fundamentos da Teoria dos números

22 Definições (para os livros 7, 8 e 9)

39 Proposições

Grupo 1 de proposições 1 – 3: método do m.d.c de 2 ou 3 números.

Grupo 2 de proposições 4 – 19: teoria das proporções para números.

Grupo 3 de proposições 20 – 32: acerca de números primos.

Grupo 4 de proposições 33 – 39: encontrar o m.m.c de 2 ou 3 números.

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LIVRO VIII Proporções na Teoria dos números

27 Proposições

Trata de números em proporção contínua:

Ex: Em progressão geométrica.

LIVRO IX Teoria dos números

36 Proposições

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LIVRO X Classificação dos incomensuráveis

16 Definições

115 Proposições

Talvez o livro mais perfeito na forma, é o mais longo.

Trata dos irracionais, isto é, segmentos irracionais em relação a um dado segmento formado como racional.

Investiga √ √a ± √b, a e b são dois segmentos comensuráveis.

P1: A famosa proposição da qual depende o método de exaustão usado em XII

P2: Uso do M.D.C como teste de incomensurabilidade.

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LIVRO XI Geometria espacial

28 Definições

39 Proposições

LIVRO XII Medida de figuras

18 Proposições

LIVRO XIII Poliedros regulares

18 Proposições

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Ultima Proposição

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Os cinco poliedros regulares intrigaram os pitagóricos. O apelo à numerologia encorajou Kepler (1571 – 1630) a comparar movimentos planetários (a “música das esferas”) com as relações espaciais entre o sólidos.

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Os Elementos são o ápice da tradição grega da matemática teórica. Euclides reconheceu, compilou, e cuidadosamente arranjou toda a importante geometria conhecida em sua época em treze livros.

Cada resultado incluído nos Elementos é deduzido daqueles que o precedem. Euclides teve de analisar toda a geometria conhecida na época a fim de determinar quais resultados dependiam de quais e colocou-os todos na ordem correta.

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Desde que não podemos retroceder indefinidamente com uma cadeia de raciocínio lógico (o resultado A depende do resultado B que por sua vez depende de C, e assim por diante), Euclides tinha de começar por algum lugar.

Ele organizou a sua cadeia lógica de modo que o ponto inicial fosse o mais simples e intuitivo possível.

Do mesmo modo que não podemos retroceder indefinidamente com uma cadeia de raciocínio lógico, precisamos também de um ponto de partida para as definições dos termos.

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Egípcios e Babilônios

Gregos

“Práticos” problemas + procedimentos

Teóricos

Algorítimos sem provas

Dedutivo axiomático

Aproximações Exata

Objetos Materiais Objeto ideais ou abstratos.

Aritmética + Álgebra

Geometria Pura

A revolução inaugurada por Tales e estruturada por Platão, Aristóteles e Euclides

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