EVALUACIÓN DE LA APLICACIÓN DE DOS MODELOS DE … · tfolio Insurance» para la fórmula de Black-Scholes del cual deriva la apli-cación aquí descrita para la fórmula binomial,

13ESTUDIOSGERENCIALES

EVALUACIÓN DE LA APLICACIÓNDE DOS MODELOS DE

VALORACIÓN DE OPCIONES A LAADMINISTRACIÓN DE

PORTAFOLIOS

JULIÁN BENAVIDES F.Director del Departamento de Finanzas Universidad Icesi

Ph. D. (C). Tulane UniversityPh. D. (C). Universidad Icesi

SUMARIOEl artículo revisa la teoría de opcio-nes y propone un método para la im-plementación del «Portfolio Insuran-ce» basado en el modelo binomial, elcual es evaluado en oposición al mo-delo de Black-Scholes. Usando datosreales y simulados se encuentra queel método de Black-Scholes se des-empeña mejor en condiciones «ines-tables»; el modelo binomial, en cam-bio, obtiene mejores resultados contendencias definidas en los preciosde las acciones (crecientes, decre-cientes o estables durante un perío-do extendido).

PALABRAS CLAVESPortafolios, «Portfolio Insurance»,Opciones, Modelo Binomial, ModeloBlack-Scholes, Excel.

Clasificación: A

ABSTRACTThe paper reviews some aspects ofthe option theory and proposes amethod to implement portfolio insu-rance based on the binomial model,which is evaluated together with asimilar method based on the Black-Scholes model. Using real data andsimulations, I find that Black-Scho-les method does better under «unsta-ble» conditions; the binomial modelexcels for clear trends in asset prices(stable, decreasing or increasing fora long period).

KEYWORDSPortfolio insurance, Options, Bino-minal model, Black-scholes model,Excel.

Evaluación de la aplicación de dos modelos de valoraciónde opciones a la administración de portafolios.

Fecha de recepción: 13-09-2002 Fecha de aceptación: 25-11-2002

14 ESTUDIOSGERENCIALES No. 85 • Oct. - Dic. de 2002


ESTRUCTURA1. Justificación

2. Fundamento teórico

3. Ejemplo práctico

4. Estática comparativa

5. Conclusiones

el bajo valor bursátil de las accio-nes no parece preocupar a los ac-cionistas controladores, por lo queel inversionista minoritario infie-re altos beneficios privados de con-trol, lo que resulta en renuenciaa la inversión por temor a la ex-propiación de beneficios.

– Ausencia de mecanismos respal-dados institucionalmente para lareducción o cobertura de riesgofinanciero.

Aunque puede discutirse mucho res-pecto a las causas fundamentales dela renuencia tradicional a la inversiónen bolsa, el propósito de este artículoes revisar el concepto de cobertura deriesgo financiero y esbozar una apli-cación práctica del mismo a través deuna estrategia «home-made» (realiza-da directamente por el inversionista)que combina posiciones en accionesy posiciones en bonos de bajo riesgo.Esta técnica, conocida como «Portfo-lio Insurance», fue desarrollada en losaños 80 por profesores de la Univer-sidad de Berkeley y ampliamente uti-lizada antes de la crisis de 1987 don-de el comportamiento del mercadodesnudó cruelmente sus limitaciones;los conceptos, sin embargo, son esen-cialmente válidos y se siguen aplican-do extensivamente. El artículo utili-za dos tipos de modelos para elcálculo de las posiciones del portafo-lio: 1). El binomial, desarrollado porCox, Ross y Rubinstein (1979) y Ren-dleman & Bartter (1979); y 2). ElBlack-Scholes (Black, Scholes, 1973)y Merton (1973)). La valoración de op-ciones Put por medio del modelo bi-nomial es revisada con cierta ampli-tud, lo mismo que el cálculo de las po-siciones asociadas al «Portfolio Insu-rance» y sus costos de transacción, lo

JUSTIFICACIÓNLa inversión en acciones y portafoliosde acciones es una práctica poco ex-tendida entre los inversionistas co-lombianos. Las razones que se pue-den aducir como causas de este com-portamiento son las siguientes:

– Poca profundidad y baja liquidezdel mercado de acciones.

A este respecto el reporte de octu-bre de 2002 de la Superintenden-cia de Valores consigna que sola-mente 16 acciones (de 59 transa-das y 122 inscritas) clasificancomo acciones de alta bursatili-dad. La acción de mayor bursati-lidad (Banco de Bogotá) registrauna media de 785 operacionesmensuales con un volumen deCOL$ 13.107.413 por operación.El número de operaciones diariaspromedio para esta acción fue de9.24. La acción de menor bursati-lidad dentro de este grupo (Ce-mentos Paz del Río) registra me-nos de una operación promediodiaria. En conjunto durante elperíodo reportado (cuatro mesesanteriores al reporte) sólo se rea-lizaron 64.67 operaciones diariasde compraventa de acciones.

– Bajos niveles de confianza en latransparencia de la informaciónfinanciera y en los resultados re-portados por las empresas quecotizan en bolsa. Adicionalmente



cual puede considerarse el aporte cen-tral del artículo. Aunque procedi-mientos similares se realizan para elmodelo de Black-Scholes, éste no sedescribe con el mismo detalle; el lec-tor interesado puede consultar Ben-ninga (2000), quien desarrolla el «Por-tfolio Insurance» para la fórmula deBlack-Scholes del cual deriva la apli-cación aquí descrita para la fórmulabinomial, aunque a diferencia del tipooriginal aquí se consideran los costosde transacción. La evaluación de losmodelos se realiza sobre un portafo-lio de acciones inscritas en la Bolsade Valores de Colombia e involucralos costos de transacción en los quese incurre al ajustar las posiciones orebalancear el portafolio. Mientrasque el modelo binomial es más agre-sivo en el ajuste de posiciones (dadasu naturaleza aproximada), por loque incurre en mayores costos detransacción, el Black-Scholes se ajus-ta más lentamente. Así, el binomialresponde más rápido a variaciones enel mercado, por lo que esencialmentese comporta mejor cuando hay ten-dencias definidas tales como incre-mentos o decrementos continuados enel valor de las acciones (o activos sub-yacentes) e incluso estabilidad de losprecios. El modelo de Black-Scholesse comporta mejor cuando el proce-der de los activos subyacentes es irre-gular (alta volatilidad durante el pe-ríodo de «Insurance», Rubinstein1985) y su desempeño se afecta me-nos cuando los costos de transacciónson importantes.

Como activo libre de riesgo se utili-zan TES a un año, puesto que madu-ran al mismo tiempo que el «Portfo-lio Insurance», los cuales se liquidana las tasas de mercado. Aquí los mo-delos se alejan de las condiciones

ideales que suponen una tasa libre deriesgo inmutable.

El principio del «Portfolio insurance»no puede ser más sencillo: ante unatendencia alcista el capital debe in-vertirse en acciones; si la tendenciaes a la baja éste debe revertirse enactivos insensibles a las condicionesdel mercado, como bonos libres deriesgo o, en el peor de los casos, dine-ro en efectivo. Los diferentes mode-los sólo difieren en la proporción enla cual estas dos inversiones debenrepartirse y en la celeridad de res-puesta a variaciones en el precio delos activos subyacentes.

FUNDAMENTO TEÓRICOEl concepto de cobertura que se im-plementa en el «Portfolio Insurance»(PI desde este momento en adelante)es una estrategia sencilla de minimi-zación de riesgo financiero que impli-ca la combinación de posiciones lar-gas (lo que quiere decir comprar) enlas acciones o portafolio a asegurar yen un tipo de activo derivado conoci-do como Opción Put; esta estrategiaes conocida como Put Protectivo. Estetiene un horizonte que está definidopor el tiempo de maduración o venci-miento de la opción Put.

Al comprar una acción S sabemos queel pago final recibido por la acción almomento de venderla (liquidar laposición) corresponde al precio spotSt (Pago = St ). La Gráfica 1a nosmuestra este comportamiento. Paracalcular el pago neto se debe restarel costo inicial de la acción S0. El pagoneto se expresa como St - S0. La gráfi-ca 1b representa estos beneficios.

Antes de describir el comportamien-to de una Opción Put procedemos adefinirla. Una Opción Put es el dere-


Pagos Acción

200

180

cho, mas no la obligación, de ventade un activo (en este caso una accióno portafolio de acciones) a un preciodeterminado, conocido como precio deejercicio X, en una fecha futura de-terminada conocida como fecha devencimiento o de maduración. Eltiempo hasta la expiración (o venci-miento) de la opción se denomina T.

Cuando la opción puede ejercerse encualquier momento entre su emisióny expiración se conoce como una op-ción tipo americano, en caso contra-rio la opción se denomina tipo euro-peo. Los pagos recibidos al ejercer laopción se observan en la Gráfica 2a.

Cuando el precio de ejercicio es supe-rior al precio spot de la acción (X>St),el propietario de la opción la ejerce,pues puede vender la acción S a unvalor mayor al del mercado. Su utili-dad es entonces St-X. Cuando X < Stel propietario no ejerce la opción puespuede vender la acción a un preciomayor que el pactado en la opción; suutilidad en este caso es 0. En amboscasos debe restarse la prima pagadapor la compra de la opción si se quie-ren obtener los pagos netos de la ope-ración (Gráfica 2b).

0

12.5 25

37.5 50

62.5 75

87.5

100

113

125

138

150

163

175

188

0

12.5 25

37.5 50

62.5 75

87.5

100

113

125

138

150

163

175

188

Gráfica 1a. Pagos de una acción como fun-ción del Precio Spot St. Pago = St.

Gráfica 1b. Pagos netos (o beneficios) por lacompra de una acción. Precio de Compra(S0) = 100. Pago = St - S0.

Una función que describe este com-portamiento es Máximo (X - St,0).

OJO GRÁFICAS...

Pagos Put

2.5

15.0

27.5

40.0

52.5

65.0

77.5

90.5

102.

5

115.

0

127.

5

140.

0

152.

5

165.

0

177.

5

190.

0

Gráfica 2a. Pagos de una Opción Put en elmomento de Ejercicio. Precio de EjercicioX = 90. Pago = Max (X-St,0).

Gráfica 2b. Pagos netos (descontando la pri-ma) de una Opción Put en el momento de Ejer-cicio. Precio de Ejercicio X = 90. Prima = 10.Pago = Max (X-St,0) - Prima.

St

St

St

St



La racionalidad que justifica la com-pra de una opción como la descritaanteriormente estriba en que se eli-mina la posibilidad de pérdidas másallá de un nivel pre-establecido porel precio de ejercicio X.

Un ejemplo sencillo clarifica el con-cepto. Supóngase que se desea com-prar una acción S cuyo precio actuales de COL$ 100. También se quiereeliminar la posibilidad de pérdidas aun 10%, pero se desea conservar la

Pagos Pagos netos

Función Opción Max(X-St,0) Max(X-St0) - PAcción St St - S0

Rango St < X St > X St < X St > XOpción X - St 0 X - St - P - P

Estrategia + Acción St St St - S0 St - S0

= Total X St X - S0 - P St - S0 - P

posibilidad de ganancia que implicala valorización de la acción.

La limitación de las pérdidas impli-ca que se desea que en el momentode liquidar posiciones se pueda ven-der la acción S al menos por COL$90. Esto se consigue comprando unaOpción Put con precio de ejercicio X= COL$ 90.

El análisis del resultado puede reali-zarse definiendo dos rangos (1: St <X y 2: St >X):

La combinación de las dos posiciones, la compra de la acción y del put, semuestra en la Gráfica 3.

OJO GRÁFI-CAS...

Pagos Put-Acción

200

2.5

15.0

27.5

40.0

52.5

65.0

77.5

90.5

102.

5

115.

0

127.

5

140.

0

152.

5

165.

0

177.

5

190.

0

Gráfica 3a. Pagos de una Opción Put y unaacción en el momento de Ejercicio.

Precio de Ejercicio X = 90.Pago = Max (X-St,0) + St.

Gráfica 3b. Pagos netos (descontando laprima) de una Opción Put en el momento de

Ejercicio.Precio de Ejercicio X = 90.

Prima = 10.Pago = Max (X-St,0) - Prima + St.

2.5

15.0

27.5

40.0

52.5

65.0

77.5

90.5

102.

5

115.

0

127.

5

140.

0

152.

5

165.

0

177.

5

190.

0

St St


La posición del «Portfolio Insurance»es entonces S+P (Put Protectivo), don-de S es la acción y P es un Put sobreuna acción S. La erogación inicial esS0 + P0.

VALORACIÓN DE OPCIONESCON LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLESUn método muy utilizado para la va-loración de opciones es la aplicaciónde la fórmula de Black-Scholes (Blacky Scholes 1973, Merton 1973). Estafórmula, cuyo desarrollo le mereció asus autores un premio Nobel, utilizael principio de no arbitraje para en-contrar el valor de una opción tipo Eu-ropeo, con base en cinco parámetrosde fácil estimación:

1. S0: El valor de la acción o activosubyacente en el momento de emi-tir la opción.

2. X: El precio de ejercicio de la op-ción.

3. T: El tiempo hasta la expiración omadurez de la opción.

4. r: La tasa de interés libre de ries-go.

5. σ: La volatilidad del activo sub-yacente.

La fórmula derivada por Black-Scho-les para un Put es:

P = Xe-rTN(-d2) - S0N(-d1) (Ec. 1)

Donde N(.) es la distribución normalacumulada y d1 y d2 vienen dados porlos siguientes términos:

El supuesto fundamental de la fórmu-la de Black-Scholes es que los preciosdel activo subyacente están determi-nados por un proceso continuo tipolognormal donde

Otra alternativa para calcular el PIes la valoración binomial, mucho másintuitiva y directa. La teoría de lavaloración binomial fue desarrolladapor Rendleman & Bartter (1979) yCox, Ross and Rubinstein (1979).

Describiremos este método en deta-lle puesto que su aplicación es la basede la metodología que aquí se desa-rrolla.

VALORACIÓN DE UNA OPCIÓN PUT

MÉTODO BINOMIAL(DOS PERÍODOS)Los supuestos del modelo son:

1. Existen dos períodos: el inicial,donde se suscribe la opción, y elfinal, donde la opción expira.1 Eltiempo transcurrido entre estosperíodos es T.

1. El modelo puede extenderse a varios períodos. Si T es el tiempo hasta la expiración, cada período t tieneuna duración de T/n. Cuando n tiende a infinito, en ciertas condiciones (ver la siguiente nota de pie depágina), la fórmula binomial converge a la fórmula de Black-Scholes.

σ2 T√d2 = d1–


d1=σ2 T√

S0

XLn ( ) + (r+σ2/2)T

E Ln = µ∆tSt+∆t

St

Var Ln = σ2∆tSt+∆t

St

y


2. El activo subyacente S, cuyo va-lor actual es S0, sólo puede tomardos valores futuros (lo que es equi-valente a decir que el futuro sólotiene dos estados: U y D): SU oSD. Podemos expresar SU1 = S0Uy SD1 = S0d. Los factores u y dmultiplican al valor anterior S0 yaconocido.

3. Se cumple que u > r > d.2

4. Existe un bono cero cupón o dedescuento puro sin riesgo; la tasalibre de riesgo se denomina r. Estatasa se compone continuamente,lo que implica que el valor futurode un bono con valor de B0 en elsiguiente período es igual aB0Exp(rT), independiente de si elestado es u o d. La tasa normal-mente se expresa en términosanuales, por lo que si el tiempotranscurrido entre el período 0 yel 1 es un año, el valor de T esigual a 1. Si el horizonte es me-nor, T corresponde a la fracciónanual o porcentaje transcurrido.(Si el tiempo hasta la expiraciónes de cinco meses, T = 5/12).

Con el principio de no arbitraje dosactivos que tengan pagos futuros idén-ticos deben tener el mismo precio hoy.El método replica los pagos de la Op-ción Put (en realidad el método aplicapara cualquier derivativo) en térmi-nos de activos cuyo precios, actual yfuturo, en cada estado, son conocidos.

Sean VU1 y VD1 los pagos futuros encada estado de la opción Put, que co-rresponden (en el caso de un Put) a:

VU1 = Max[X-S0u,0]

VD1 = Max[X-S0d,0]

Sean ∆ y B el número de unidadesdel activo subyacente y del bono li-bre de riesgo que componen el porta-folio respectivamente. Es importan-te notar que el valor actual de cadabono es igual a 1. Para cada estadose debe cumplir que:

2. Si u = Exp(σt1/2) y d = Exp(-σt1/2), donde σ es la volatilidad del activo subyacente y t el tiempo asignadopara cada período, la fórmula binomial converge a la de Black-Scholes.

«PORTFOLIO INSURANCE»Como se definió previamente la posi-ción del put protectivo es S0 + P0. Sireemplazamos el valor de P0 con laecuación 4, tenemos:

PI0 = S0 + ∆0S0 + B0 = (1 + ∆0)S0 + B0

(Ec. 5)

P0 = ∆0S0 + B0 (Ec. 4)

El valor hoy de la Opción Put corres-ponde al valor de la inversión en elactivo subyacente ∆0S0 más el valorde la inversión en el bono libre de ries-go B0 (recuerde que el valor actual delbono libre de riesgo es 1, por lo queB0 corresponde tanto al número debonos requeridos como al valor de lainversión en bonos).

Sea P0 el valor del Put en el momen-to 0, según los supuestos previos setiene que

∆0 = (VU1 - VD1)/(S0u - S0d) (Ec. 3.1)

B0 = Exp(-rT)(VD1S0u

- VU1S0d)/(S0u - S0d) (Ec. 3.2)

VU1 = ∆0S0u + B0Exp(rT) (Ec. 2.1)

VD1 = ∆0S0d + B0Exp(rT) (Ec. 2.2)

Este es un sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas: los valores de ∆0 yB0. Despejamos las incógnitas y en-contramos que


La ecuación 5 nos permite sintetizarel put protectivo. Pero a diferencia deun put protectivo real, donde se com-pran acciones y puts en el período 0 ylas posiciones no se ajustan en ningúnmomento (una estrategia estática), elPI es una estrategia dinámica dondelas posiciones se ajustan con una fre-cuencia definida por el inversionista(o su asesor). La razón de este ajustees la naturaleza sintética del PI, dadoque en realidad no se dispone de unput sino de un portafolio réplica queduplica los pagos del put. Esto puedeobservarse en el momento de expira-ción de la estrategia. En caso de queSt > X, el put protectivo implica quetodo el portafolio está representado enacciones (la opción put no se ejerce ylas acciones se venden a precio demercado St o se conservan), ya que elPI replica estos pagos también debeestar representado totalmente en ac-ciones. Si retrocedemos al momento deiniciar el PI normalmente se tienenposiciones en acciones y bonos, por loque debe disponerse de un medio paraajustar las posiciones. Para que estosea posible es necesario definir la fre-cuencia (el número de veces) de ajus-te en las posiciones. Tal decisión re-sulta de sopesar dos factores: 1). Laexactitud con la que se quiere repli-car el put protectivo, y 2). Los costosde transacción. El primero permite unseguimiento fiel del put protectivo(idealmente las posiciones deberíanajustarse continuamente), mientrasque el segundo nos devuelve al mun-do real pues reduce el rendimientocada vez que se compran/venden ac-ciones o bonos. Evaluaremos esta de-cisión cuando implementemos el PI encondiciones reales.

Una vez definida la frecuencia de ajus-te se procede a recalcular ∆ y B el nú-mero de veces requerido y se transanlos activos de tal forma que se dupli-quen los pagos del put protectivo.

El procedimiento se delinea a conti-nuación:

Sabemos por la ecuación 5 que losporcentajes de inversión en la acciónS (activo subyacente) y en los bonossin riesgo definidos por el put protec-tivo son iguales a:

%S0 = (1 + ∆0)S0/[(1 + ∆0)S0 + B0]

%B0 = B0/[(1 + ∆0)S0 + B0]

Si K0 representa el presupuesto deinversión disponible, el monto inver-tido en acciones y en bonos es

K0S = K0%S0

K0B = K0%B0

Debemos ahora determinar el núme-ro de unidades del activo subyacenteS a comprar.3

#S0 = K0%S0/S0 =K0(1 + ∆0)/[(1 + ∆0)S0 + B0]

El número de bonos se define directa-mente puesto que se supone que elprecio de cada bono es 1. Como ya sedijo, el éxito del portafolio réplica es-triba en duplicar lo más fidedignamen-te posible los pagos del put protectivo.Establecer los montos iniciales de lainversión en la acción S o activo sub-yacente y los bonos no garantiza unaproporción adecuada en todo el hori-zonte de vida (hasta la fecha de expi-ración o fecha donde el inversionista

3. Este cálculo también aplica cuando el activo subyacente es un portafolio.



liquida sus posiciones). Dado el com-portamiento aleatorio de los preciosdel activo subyacente, se requiereajustar las posiciones con una frecuen-cia determinada por el inversionista.En la vida real es costoso liquidar po-siciones, por lo que un seguimientoperfecto no es posible y el inversionis-ta debe elegir una frecuencia de ajus-te que le brinde la seguridad adecua-da sin elevar demasiado los costos detransacción.Por ejemplo: sea la fecha de liquida-ción 1 año (T=1); supongamos que elinversionista se siente razonablemen-te seguro si rebalancea su portafoliomensualmente (n = 12).4

Con estas condiciones t = T/N = 1/12.Es claro entonces que los cálculosanteriores deben repetirse once vecespara ajustar de manera adecuada lasproporciones.Al momento de realizar el primer re-balanceo el precio del activo subya-cente es S1, por lo que lo obtenido alcabo de un mes corresponde aK’1 = (#S0)S1 +

B0Exp(r0T)/Exp(r1(T-dt)).

Donde el primer término designa alvalor que toma en el período 1 la in-versión en acciones al multiplicar elnúmero de acciones que se compró enel período 0 por su precio actual y elsegundo término al valor de los bo-nos habiendo transcurrido un perío-do desde su compra, en el supuestode cambios en la tasa de interés.

Conocido el valor real del activo sub-yacente S1 podemos calcular los co-rrespondientes SU2 y SD2, y los valo-

res del Put VU2 y VD2. Valores hipo-téticos que permiten calcular el por-tafolio de réplica.

El ciclo requiere que ahora se calcu-len ∆1 y B1, lo que permite hallar %S1y %B1. Multiplicando %S1 por K1 ha-llamos el monto de la inversión en elactivo subyacente, y si dividimos estevalor por S1 encontramos #S1 el nú-mero de unidades del activo subya-cente que componen el portafolio enel período 1.

#S1 = %S1K1/S1

El ciclo se reanuda y se repite hastaque se alcanza el momento de expi-ración del put. Es necesario en cadaperíodo ajustar el tiempo al venci-miento para el bono.5

EJEMPLO PRÁCTICOEvaluaremos el resultado del PI enun portafolio de acciones correspon-diente a acciones de alta bursatilidadde la Bolsa de Valores de Colombia(Tabla 1).

El portafolio está conformado por cin-co acciones de alta bursatilidad quese transaron al menos desde el 1o. deenero de 1998: Cia. Nacional de Cho-colates, Bavaria, Banco de Bogotá,Cementos Argos y Suramericana.

Es necesario encontrar la volatilidadanual (σP) del portafolio para estimarlos valores de u y d (Ver nota de piede página No. 2).

CÁLCULO VOLATILIDADDEL PORTAFOLIOEste es un procedimiento estándar enfinanzas que depende de la matriz va-

4. En este caso no extendemos el modelo binomial a varios períodos, lo que estamos haciendo es recalcular elmodelo de dos períodos con una frecuencia definida por n.

5. Ver Tabla 7.


Tabla 1. Acciones de Alta Bursatilidad

N/T V/N Índice OperacionesEmisor (1) (2) (3) numérico diarias

Categoría IV: Alta bursatilidad

1 Banco de Bogotá S.A. 785.50 13.107.413 85 10.000 9.242 Interconexión Eléctrica S.A. E.S.P.

- ISA - privilegiada 985.75 1.728.626 85 9.886 11.603. Suramericana de Inversiones S.A. 483.25 9.891.021 85 9.402 5.694 Bancolombia S.A. 350.75 8.540.995 83 9.001 4.135 Compañía de Cemento Argos S.A. 292.50 14.643.419 85 8.861 3.446 Valores Bavaria S.A. 360.25 2.608.747 85 8.815 4.247 Bavaria S.A. 243.50 9.881.046 84 8.586 2.868 Compañía Colombiana

de Inversiones S.A. 232.75 7.719.308 85 8.490 2.749 Compañía Colombiana

de Tabaco S.A. 204.00 13.791.884 79 8.429 2.4010 Compañía Nacional

de Chocolates S.A. 199.00 14.712.155 83 8.410 2.3411 Almacenes Exito S.A. 212.50 13.546.007 82 8.405 2.5012 Grupo Aval Acciones y Valores S.A. 225.00 1.425.316 80 8.210 2.6513 Textiles Fabricato Tejicóndor

(Fabricato) 187.75 4.004.194 55 8.106 2.2114 Cementos del Caribe S.A. 145.00 12.395.230 76 7.950 1.7115 Corporación Financiera Nacional

y Suramericana S.A. 127.75 6.518.269 69 7.672 1.5016 Cementos Paz del Río S.A. 76.00 10.364.021 56 7.193 0.89

N/T: Número de transacciones; V/N: Volumen promedio; (3): Ruedas transadas.Fuente: Superintendencia de Valores.

rianza-covarianza del portafolio (Tabla2). Sin embargo, los cálculos que se rea-lizan implican implícitamente un re-balanceo del portafolio que mantengalos pesos relativos de las diferentesacciones constantes. Alternativamen-te podemos hallar σP para un portafo-lio donde no se rebalanceen las posi-ciones. Puesto que ambos métodos im-plican liquidación de posiciones explo-raremos empíricamente cuál producemejores resultados.

La matriz varianza-covarianza anua-lizada sobre los retornos mensualesentre 1o. de enero de 1998 hasta 1o.

σ2s = σss= =

Var [Ln (St+∆t/St)] Var [rs]

(Ec. 6)

∆t ∆t

σAS = ∆t

Covar[rA, rs]=∆t

Covar [Ln (At+∆t/At), Ln(St+∆t/St)]

de enero 2001 (cuatro años), utilizalas siguientes fórmulas:


La volatilidad de un portafolio com-puesto por acciones es igual a


Tabla 2. Matriz Varianza-Covarianza

Chocolates Bavaria Bbogotá Argos Suramericana

Chocolates 0.25901449 0.18507391 0.10032414 0.24800196 0.27478783

Bavaria 0.18507391 0.249704535 0.13513715 0.25685607 0.20512058

Bbogotá 0.10032414 0.13513715 0.2156648 0.16431185 0.1351811

Argos 0.24800196 0.256856065 0.16431185 0.35341226 0.31345909

Suramericana 0.27478783 0.205120583 0.1351811 0.31345909 0.80371015

Fuente: Cálculos propios, excluidos dividendos.

Var (rp)= σ2p = wi wj σij∑

n

i,j=1

Tipo de Covarianza σP

Rebalanceando posiciones 48.65%

No rebalanceo, pesos igualesperíodo inicial6 44.15%

No rebalanceo, pesos igualesperíodo final6 63.94%

Tabla 3. Desviación estándar delos portafolios evaluados

ACTIVO Y TASA DE INTERÉSLIBRES DE RIESGO

El activo libre de riesgo consideradopara la estructuración de las posicio-nes del PI es el bono de tesorería(TES) con vencimiento a un año.Como ya se mencionó, el modelo devaloración prevé una tasa libre deriesgo constante durante todo el pe-ríodo de vida del PI; este no es el casocuando se involucran variables rea-les. Incluso el término «libre de ries-go» es inexacto, como lo demostró lacrisis de los TES de mediados de2001.

En la Tabla 4 se consignan las dife-rentes tasas a las cuales se negocia-ron estos títulos, las cuales se requie-ren para el cálculo de la rentabilidadde la porción del capital invertida eneste activo. Se supone que las tasasno varían (un supuesto fuerte) entrelas fechas de negociación reportadasy las fechas de ajuste del portafolio.

6. En este caso no se utiliza la matriz varianza-covarianza, sino que se calcula el valor del portafolio en cadaperíodo y se estima la varianza asociada al mismo. En las simulaciones y cálculos se utiliza un σ de63.94% para el portafolio EW no rebalanceado.

CONSTRUCCIÓNDEL PORTAFOLIOPara evaluar el desempeño de ambosmodelos se construyeron o simularon

Donde wi y wj son los pesos de las ac-ciones i y j respectivamente y σij es lacovarianza entre la acción i y la ac-ción j, cuando i = j el término se refie-re a la varianza.

Los resultados se reportan en la Ta-bla 2, para un peso relativo de 20%para cada acción (Portafolio «Equallyweighted»). Los datos corresponden alos precios reportados por la Superin-tendencia de Valores al inicio de cadames para las acciones que conformanel portafolio. El año 2002 no se inclu-ye puesto que se utilizará para eva-luar los resultados de la aplicación delas dos metodologías empleadas.


2. Portafolio «Equally weighted»(EW) sin rebalanceo, en el cual lainversión en las diferentes accio-nes no se ajusta mensualmente yel término «Equally weighted» serefiere al peso relativo en la fechaen que el portafolio se conformainicialmente.

3. Portafolio compuesto por una solaacción.

Para los portafolios EW se utilizarondatos reales del comportamiento delas acciones en el año 2002 (valoresde fin de mes) y datos simulados parailustrar los resultados de los dos mo-delos en mercados al alza, estables, ala baja y aleatorios (siguiendo unadistribución lognormal). Las diferen-tes construcciones y resultados seilustran en las gráficas 4 y 5. La Grá-fica 4 presenta el comportamiento delas acciones del portafolio durante elperíodo estudiado; la tendencia es cla-ramente alcista, con un rendimientomayor a 40% para todas las acciones.Cada serie corresponde a 12 datos,que comprenden un año de negocia-ción y la duración de la estrategia.

Tabla 4. Tasas de NegociaciónTES a un año

Tasa mensual

Fecha (%)

09-Ene-02 11.8508-Feb-02 11.5008-Mar-02 11.5808-Abr-02 11.45

08-May-02 9.3007-Jun-02 8.7908-Jul-02 8.6208-Ago-02 9.3506-Sep-02 10.6809-Oct-02 9.9712-Nov-02 9.1616-Dic-02 9.16

19-Ene-03 9.16Fuente: Banco de la República

diferentes tipos de portafolio, cuyascaracterísticas se definen a continua-ción:

1. Portafolio «Equally weighted»(EW) con rebalanceo continuo, enel cual la inversión en las diferen-tes acciones se ajusta mensual-mente para mantener el mismopeso relativo.

OJO VA GRÁFI-CA...

Evolución Precios

Acciones Portafo-lio

Miles Col$

16Gráfica 4.

Evolución Real Precios deAcciones del Portafolio.



La Gráfica 5 muestra la evolucióndel valor de cada portafolio (real ysimulado), las características de lassimulaciones se presentan en la Ta-bla 5.

Con respecto al comportamiento si-mulado de los portafolios simples és-tos siguen los parámetros estableci-dos en la Tabla 6, los cuales se visua-lizan en la Gráfica 6.

Gráfica 5a. Evolución Precios Portafolio Compuesto, real y lognormal.

Evolución Precios

Portafolio

Miles Col$

Gráfica 5b. Evolución Precios Portafolio Compuesto, tendencias constantes.

Evolución Precios

Portafolio

Miles Col$


Tabla 5a. Retornos mensuales Portafolio Compuesto simulado.

Acción

Tendencia Ch Ba Bb Ar Sur

Creciente 3% 4% 2% 5% 3%

Constante 0% 0% 0% 0% 0%

Decreciente -3% -4% -2% -5% -3%

Tabla 5b. Parámetros simulación precios Lognormal7 Portafolio Compuesto.

Acción

Lognormal Ch Ba Bb Ar Sur

Media µ -8.7% -14.1% -10-5% -4.8% -75.3%

DesviaciónEstándar σ 50.9% 50.0% 46.4% 59.4% 89.6%

Portafolio Simple

2.000

1.800

Gráfica 6. Evolución Precios Portafolio Simple.

7. La evolución de precios se calcula implementando la ecuación Pt = Pt-1exp[µdt + σ x(dt)1/2], donde esuna variable aleatoria con N[0,1], dt=1/12 (Benninga 2000).

˜ ~x



(Ec. 8),

(Ec. 7),

Tabla 6. Parámetros Simulación Portafolio Simple

Tipo Creciente Constante Decreciente

% Cambio Total 20% 0% -40%

Delta Total 200.00 - - 400.00

Delta mes 16.67 - - 33.33

Lognormal

Media µ 15%

Desviación Estándar σ 63.94%

Binomial

u = exp[σ(dt)1/2]

d = 1/u

St-1u, x>0

St-1d, x<0

x ~ N[0,1]

St =

EVALUACIÓN ESTRATEGIASDE «PORTFOLIO INSURANCE»

CONSTRUCCIÓN HOJADE CÁLCULOEl modelo de evaluación implemen-tado consta básicamente de loscálculos referentes al PI y de los re-ferentes a los costos de transacción,para ambos modelos. Adicionalmen-te se incluyó un área para la simula-ción de variaciones de precios de losportafolios.

La Tabla 7 presenta una síntesis delmodelo binomial, que incluye las ex-plicaciones pertinentes que clarificansu funcionalidad (El modelo comple-to puede solicitarse al autor).

La evaluación del desempeño de lasdos estrategias se realiza mediantela siguiente fórmula:

∑Dj=1n

vji - vsi

vsi

donde j: binomial, black-scholes; vji esel valor del portafolio en el período icon la estrategia j y vsi es el valor delactivo subyacente en el período i. Talmedida permite evaluar el desempe-ño de cada estrategia y compararlacon su contraparte.

La principal dificultad de la evalua-ción de los modelos estriba en elcálculo de los costos de transacción delportafolio EW con rebalanceo. De pe-ríodo a período las posiciones se de-ben ajustar: (1) por el cambio de losprecios relativos entre las acciones; y(2) por las compras o ventas que laestrategia misma recomienda. Luegoel costo de transacción por período es:

m

j=1

∑Ct= k Pjt ABS ( X jt+ Yjt – Xjt-1)

donde Xjt (Xjt-1)representa el númerode acciones que se requieren paramantener el portafolio EW en el pe-

n

i =1


ríodo t (t-1) de la empresa j y Yjt elnúmero de acciones requeridas por elajuste de posiciones del PI. El térmi-no entre paréntesis representa el cam-bio neto en el número de acciones porempresa, y la función ABS significavalor absoluto puesto que este costose paga ya sea que se vendan o se com-pren acciones. El costo porcentual dela transacción es k, y Pjt es el preciode la acción j en el período t.

Cuando el portafolio es EW pero no serebalancea, la ecuación 8 se reduce a

El caso para simulaciones de unsolo activo (m=1) se simplifica aCt = kABS(PtYt) = kABS (∆St), donde∆St es el cambio en la posición del ac-tivo subyacente s para el período t.

Para el ajuste de la posición en el ac-tivo libre de riesgo la fórmula en to-dos los casos es

m

j=1

∑Ct= k Pjt ABS ( Yjt) (Ec. 9)

CBt = kABS (∆Bt) (Ec. 10),

donde ∆Bt es el cambio en la posicióndel activo libre de riesgo B para el pe-ríodo t.

Tabla 7. Implementación Modelo Binomial. Sólo se presenta hasta el perío-do 3.

Modelo binomial

Fecha 02/01/02 01/02/02 01/03/02 01/04/02

Período i 0 1 2 3

Valor inversión: Ki=K’i - CGi 1.000.00 1.047.35 975.05 992.41

Duración PI: T 1 tiempo total al vencimiento en años

Subperíodos de T: N 12 sub-períodos

Duración subperíodo: dt=T/N 8.33%

Tiempo restante: ti = T-idt 100.00% 91.67% 83.33% 75.00%

Desviación Est. σ 63.94%

Estado Superior: u = Exp(σ(dt)1/2) 1.2027

Estado Inferior: d = 1/u 0.8315

Tasa de Interés: ri 11.85% 11.50% 11.58% 11.45%

Rendimiento: Exp(ridt) 1.0099 1.0096 1.0097 1.0096

Precio de ejercicio: X 1.000.00

Activo Subyacente: Si 1.000.00 1.090.17 991.02 1.019.46

Estado Superior: Si+1u 1.202.70 1.311.14 1.191.90 1.226.11

Estado Inferior: Si+1d 831.46 906.43 824.00 847.65

Valor Intrínseco del Put:

Estado Superior: Vi+1u = Max(X-Si+1u,0) - - - -

Estado Inferior: Vi+1d = Max(X-Si+1d,0) 168.54 93.57 176.00 152.35



Portafolio Réplica# Activo subyacente ∆i - 0.454 - 0.231 - 0.478 - 0.403

# Bono: Bi 540.65 300.24 564.72 488.89Valor Put: Pi=∆iSi+Bi 86.66 48.20 90.62 78.50

Portfolio insurancePt: Si+Pi 1.086.66 1.138.37 1.081.65 1.097.96

Inversión en S: Si(1+∆i) 546.01 838.13 516.93 609.07Inversión en B: Bi 540.65 300.24 564.72 488.89

Chequeo: PIi=(1+∆i)Si+Bi 1.086.66 1.138.37 1.081.65 1.097.96Inversión Porcentual

Activo Subyacente: %Si = Si(1+∆i)/(Si+Pi) 0.502 0.736 0.478 0.555Bono: %Bi = Bi/(Si+Pi) 0.498 0.264 0.522 0.445

Capital Disponible para InvertirKi 1.000.00 1.047.35 975.05 992.41

Inicio de PeríodoInversión en S: KiS=%SiKi 502.47 771.12 465.99 550.51Inversión en B: KiB=%BiKi 497.531 276.233 509.063 441.893

Chequeo: Ki = KiS+KiB 1.000.00 1.047.35 975.05 992.41# Unidades S: #Si = KiS/Si 0.502 0.707 0.470 0.540

Fin del períodoInversión en S: K’i+1s=#Si Si+1 547.78 700.99 479.36 564.90Inversión en B: K’i+1B = KiTB/Exp(ri+1ti+1) 504.09 278.71 514.48 452.57

K’i+1 = K’i+1B + K’i+1S 1.051.87 979.70 993.84 1.017.47Valor al Vencimiento Bono. KiTB=KiBExp(riti) 560.12 306.94 560.62 481.52

Delta PosicionesActivo Subyacente: ∆i+1S=Ki+1S-K’i+1S 223.35 235.01 71.15 69.37

Bono: ∆i+1B=Ki+1B-Ki+1B - - 227.86 230.35 72.59 70.78Costo k 1%

Portafolio:* CTi+1S 2.23 2.35 0.71 0.69Acción sola: Ci+1S=kABS(∆i+1S) 2.23 2.35 0.71 0.69

Bono: Ci+1SB=kABS(∆i+1B) 2.28 2.30 0.73 0.71CG’i+1 = CTi+1S + Ci+1B 4.51 4.65 1.44 1.40CG”i+1 = Ci+1S + Ci+1B 4.51 4.65 1.44 1.40

Elección Costo**: CGi+1 4.51 4.65 1.44 1.40

* Este valor se calcula utilizando la ecuación 8.** CG’: Acción única o CG”: Portafolio compuesto por más de una acción.

Nota: El modelo requiere activar iteracción, puesto que implica resolver ecuaciones simultá-neas para evitar las referencias circulares.

Modelo binomial

Fecha 02/01/02 01/02/02 01/03/02 01/04/02

Período i 0 1 2 3

- - -


6a

Gráfica 6: Comparación de estrategias: Pasiva (Si) vs. Modelo binomial vs.Modelo Black-Scholes



6b



6c





6d


6eGráfica 6: Comparación de estrategias: Pasiva (Si) vs. Modelo binomial vs.Modelo Black-Scholes

La información de cada gráfica incluye:C. Trans.: Costos de transacciónTipo de dato: 1. Real, 2. Simulado, 3. Simulación lognormalSimulación: Cuando el tipo de dato es 2 se aplica lo siguiente 1: Serie creciente, 2: Serie estable, 3:

Serie decreciente.Sigma: Desviación estándar utilizada en la evaluación de la estrategia.Cada gráfica incluye tres series:Inv. Binomial: Resultado del “portfolio insurance” para el modelo binomial.Inversión B-S: Resultado del “portfolio insurance” para el modelo Black-ScholesSi: Resultado de la estrategia pasiva, valor del portafolio sin “portfolio insurance” .Todos los portafolios son EW (Equally weighted), 6: sin rebalanceo, 7: rebalanceadoLa tabla al inferior de cada gráfica presenta el desempeño Dj de cada modelo, calculado según la ecuación 7.



ESTÁTICA COMPARATIVAEn esta sección se consignan los re-sultados empíricos de los modelosexaminados.

El desempeño de cada estrategia pue-de observarse para diferentes porta-folios y tendencias en el precio de lasacciones en la Gráfica 6. Los resulta-dos de los diferentes comportamien-

tos mostrados y de resultados paraportafolios compuestos de una solaacción se reportan en la Tabla 8.

En primer lugar se evalúa la bondadde la estrategia de PI, cualquiera quesea el método empleado para imple-mentarla. Cuando los precios del ac-tivo subyacente son estables o decre-cen, la estrategia PI reporta mejores

Tabla 8. Comparación de desempeño

Desempeño

Costo de Transacción 1% EWR EWNBlack Black

Portafolio Scholes Binomial Scholes Binomial

Real -4.03% -5.90% -4.04% -5.62%Creciente -4.79% -3.65% -4.24% -3.27%

Simulado Constante 2.96% 3.60% 3.11% 3.60%Decreciente 18.43% 27.69% 17.87% 25.86%Lognormal 8.03% 7.63% 9.20% 7.77%

Costo de Transacción 3% EWR EWNBlack Black

Portafolio Scholes Binomial Scholes BinomialReal -5.18% -9.37% -4.93% -8.62%

Creciente -4.91% -4.86% -5.37% -5.09%Simulado Constante 2.83% 3.53% 3.03% 3.53%

Decreciente 17.09% 25.62% 16.79% 23.98%Lognormal 5.32% 2.78% 7.33% 3.10%

Costo de Transacción 1% Sigma 48.65% Sigma 63.94%Black Black

1 Activo Scholes Binomial Scholes BinomialCreciente -1.21% -1.40% -1.27% -1.44%

Constante 2.96% 3.60% 3.11% 3.60%Simulado Decreciente 21.86% 32.24% 21.36% 30.72%

Lognormal -6.24% -8.25% -7.41% -9.81%Binomial -0.68% -4.26% -0.60% -5.41%

Costo de Transacción 3% Sigma 48.65% Sigma 63.94%Black Black

1 Activo Scholes Binomial Scholes BinomialCreciente -1.62% -2.67% -1.61% -2.46%

Constante 2.83% 3.53% 3.03% 3.53%Simulado Decreciente 20.42% 30.09% 20.18% 28.74%

Lognormal -8.26% -12.13% -9.38% -13.55%Binomial -3.61% -10.21% -3.38% -11.12%


resultados que el activo subyacente;este es precisamente el concepto deseguro. Cuando la tendencia es cre-ciente el valor del activo subyacenteexcede al valor de la estrategia PI(este es también el caso de los datosreales, puesto que los precios de lasacciones mostraron un comporta-miento creciente durante todo el año2002), debido a los costos de transac-ción y a los menores retornos en lainversión en bonos; sin embargo, ex-cepto para costos de transacción muyaltos (>3%) la diferencia no excede al10%. Con precios oscilantes (Simula-ción Lognormal) la estrategia PI ex-cede el valor del activo subyacente,lo cual es una prueba tangible de labondad de estos métodos.

Los resultados muestran que en ge-neral el modelo de Black-Scholes sedesempeña mejor que el binomial encondiciones cambiantes. En particu-lar para el caso de portafolios com-puestos el modelo Black-Scholes do-mina en las condiciones reales del año2001 y en la simulación lognormal;sin embargo, el modelo binomial loexcede cuando la tendencia de pre-cios es decreciente, lo cual es una ca-racterística nada despreciable, esta-ble o definitivamente creciente. Siesto se asocia con las condiciones delmercado se debería escoger el mode-lo binomial si las perspectivas sonmuy positivas, muy negativas o si losprecios son muy estables. Lo mismose aplica para cuando el portafolioestá compuesto por una sola acción.Es claro que este comportamiento sedebe a que el modelo binomial, porser más impreciso en la valoración delput, es más agresivo en ajustar susposiciones.

Ninguna de las condiciones cambia sise incrementan los costos de transac-

ción; como sería de esperar, a mayo-res costos de transacción peor es eldesempeño del PI.

En cuanto a los resultados de usarportafolios rebalanceados periódica-mente (EWR) o no (EWN), los datosno son concluyentes. Con costos detransacción del 1%, el modelo Black-Scholes reporta mejores resultadospara los datos reales (relativamentecrecientes) y la simulación decrecien-te para el portafolio EWR. Al incre-mentar los costos de transacción al3% los resultados cambian un poco;en el caso de los datos reales, el costode rebalancear el portafolio parece serdemasiado alto y el portafolio EWNse comporta mejor. Sin embargo, parala simulación con datos crecientes elresultado es el opuesto, el portafolioEWR es superior al EWN con costosde transacción de 3%.

Para el modelo binario y costos detransacción del 1%, el portafolio EWRse comporta mejor que el EWN sola-mente en caso de una tendencia de-creciente en los precios. Al incremen-tar los costos al 3%, el portafolio EWRsupera al EWN en los casos de lastendencias sostenidas creciente, cons-tante y decreciente.

Solamente dos tipos de datos produ-cen el mismo resultado tanto para elmodelo binomial como el de Black-Scholes, en ambos niveles de costos:El portafolio EWR lo hace mejor parala tendencia decreciente y el portafo-lio EWN lo hace mejor para la simu-lación lognormal. En el primer casola razón parece ser la mayor posibili-dad de ajuste que brinda el EWR, quese revierte para el segundo caso.

El último elemento de análisis es lavolatilidad de la acción, lo cual apli-ca al portafolio simple. Vale recordar



que este es el elemento más proble-mático al utilizar los modelos aquídescritos, puesto que esta volatilidadcambia en cada momento del tiempo.Con bajos costos de transacción elmodelo binomial se comporta mejorcuando la volatilidad histórica esbaja. Esto no se generaliza al incre-mentarse los costos de transacción,aquí los resultados son mejores contendencias crecientes o constantes. Elmodelo Black-Scholes tampoco es es-table al incrementarse los costos detransacción, aunque los resultadoscon baja volatilidad dominan en loscasos de tendencias creciente y decre-ciente y simulaciones lognormal; elresultado se revierte para la tenden-cia creciente al incrementar los cos-tos de transacción al 3%.

CONCLUSIONESEste artículo revisa parcialmente al-gunos de los principales resultados dela teoría de opciones y los aplica a laadministración de portafolios. Aun-que este es un caso frecuente en laliteratura, la comparación de los re-sultados empíricos de dos modelos de«Portfolio Insurance» no lo son. Lametodología implementada pretendeser rigurosa al incluir: 1). Los costosde transacción y su efecto en la apli-cabilidad de las técnicas descritas; y2). Tasas de interés variables y demercado. Aunque la validez de los re-sultados puede comprometerse por lainclusión de una tasa libre de riesgovariable, este es un riesgo que seacepta para tratar de acercar los re-sultados a la vida real. Trabajos pos-

teriores pueden incluir un tratamien-to más riguroso de la tasa de interés,así como series de datos más exten-sas y medidas de desempeño mejorelaboradas. Es posible también en-contrar formulaciones sobre estos re-sultados que puedan establecer gene-ralizaciones sobre la bondad de losmétodos aquí descritos e implemen-tados.

Finalmente es importante resaltarlas limitaciones de esta técnica. Elsupuesto fundamental para que el PIfuncione es la posibilidad de negociarsin limitaciones los activos involucra-dos, tanto las acciones como el bonolibre de riesgo. Esto requiere la exis-tencia permanente de un mercadotanto para la compra como para laventa. En condiciones normales estesupuesto es verdadero, pero en con-diciones de crisis es posible que mu-chos vendedores salgan al mercado yno existan compradores, lo que tien-de a deprimir los precios e incremen-tar las pérdidas. Esto fue lo que su-cedió en 1987, cuando en EE. UU.esta técnica tuvo su apogeo. A pesarde esto, el concepto sigue siendo váli-do y una herramienta práctica cuan-do no existen, como sucede en Colom-bia, mercados de cobertura de riesgofinanciero.

En cualquier caso se espera que estarevisión de métodos computacionalesasequibles sea de utilidad a los inver-sionistas potenciales o reales de por-tafolio y permita un acercamiento alas técnicas de administración de por-tafolios.


BIBLIOGRAFÍABanco de la República. EstadísticasTítulos de Tesorería.http://www.banrep.gov.co (Enero2003).

Benninga, Simon. «Financial Mode-ling». The MIT Press (2nd edition,2000).

Black, Fischer y Myron Scholes. Thepricing of Options and Corporate Lia-bilities. The Journal of Political Eco-nomy (Volume 81, 1973).

John C. Cox, Stephen Ross y MarkRubinstein. «Option Pricing: A Sim-plified Approach». Journal of Finan-cial Economics (September 1979).

Merton, Robert C.. «Theory of Ratio-nal Option Pricing». Bell Journal ofEconomics and Management Science(Spring, 1973).

Rendleman, Richard J. y Brit J. Bar-tter. «Two-State Option Pricing». Jo-urnal of Finance (Volume 34, 1979).

Rubinstein, Mark. «Alternative Pathsto Portfolio Insurance». FinancialAnalysts Journal (1985).

Superintendencia de valores.Información Acciones.http://www.supervalores.gov.co (Ene-ro 2003).


Documents

EVALUACIÓN DE LA APLICACIÓN DE DOS MODELOS DE … · tfolio Insurance» para la fórmula de Black-Scholes del cual deriva la apli-cación aquí descrita para la fórmula binomial,