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Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Seminario presso l’Istituto Italiano degli Attuari
Roma 27 ottobre 2008
Relatore: Prof. Augusto Freddi
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Contenuto
• Introduzione• I concetti base• I soggetti considerati• Il rischio considerato• Il modello matematico• Le definizioni
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Introduzione
Negli ultimi decenni, un gran numero di studi è stato dedicato ad eventi particolarichiamati “catastrofi” naturali o man-made.Ciò è stata la conseguenza del drasticoaumento, nella portata e nella frequenza, ditali eventi che ha determinato una domandaconsistente di assicurazione contro i rischi ad essi associati.
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Introduzione
Come risulta da un vasto campione di
espressioni e di definizioni ricavate dalla
letteratura esistente, ci sono modi differenti
di esprimere gli stessi concetti che, al
momento, non sono esplicitamente inseriti
in una struttura logica.
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Introduzione
I significati attribuiti al vocabolo “catastrofe” Evento estremo
• Catastrofe Danno estremo• Nel senso di evento estremo il significato associato ad essa è assoluto e, quindi, definito a
priori• Nel senso di danno estremo il significato
associato ad essa è relativo e, quindi, definito a posteriori
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Introduzione
Per impostare la struttura logica siamo partiti da:
− due considerazioni;
− una domanda;
− la descrizione del suo ambito temporale.
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Introduzione
Considerazioni:− Il termine “catastrofe” è riferito sia
all’evento che al danno da esso causato− Per catastrofe si intende un evento che
coinvolge “un insieme di persone” e non un “singolo individuo”
Domanda:− Un rischio di catastrofe è necessariamente
un rischio catastrofale?
Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali
Introduzione
Nell’impostazione della struttura logica, infine,
occorre distinguere tra due ambiti temporali:
• l’ambito casuale (before scenario)
• l’ambito deterministico (after scenario)
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I concetti base
• Il soggetto• Il risarcimento (potenzialmente)
catastrofale• L’evento (potenzialmente) catastrofale• Il rischio catastrofalePer il soggetto, il rischio e il risarcimento sono, in tempi diversi, le implicazionidell’evento
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I soggetti considerati
• Il singolo individuo (s1)
• La società (s2)
• La compagnia di assicurazione (s3) (contro i danni)
• L’insieme delle c.a. che operano in una ben specificata area geografica (s4) (mercato assicurativo)
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Il rischio considerato
Portafoglio di rischi
Esso è espresso da un vettore casuale le
cui n componenti (n >> 1) sono unità di rischio
tra loro indipendenti
Unità di rischio
Essa è espressa da un vettore casuale le
cui m componenti (m 1) sono rischi singoli tra
loro dipendenti
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Il modello matematico
La c.a. gestisce un portafoglio di rischi Y per un
orizzonte temporale di un anno, a partire
dall’istante t = 0-, e nessun rischio successivo
viene introdotto nel portafoglio durante l’intervallo
di tempo [0,1] eccetto, al massimo, l’unità di rischio
X che, se viene introdotta, si ipotizza di introdurla
nell’istante t = 0, generando il nuovo portafoglio
Z = Y,X
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Il modello matematico
La c.a.:
incassa un premio annuo puro pari a:
P = (1 + )E[SY],
costituisce una riserva libera pari a:
R = P = (1 + )E[SY]
e, dunque, dispone di un capitale pari a:
C = P + R = (1 + ) (1 + )E[SY] = hE[SY]
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Il modello matematico
La c.a. fissa la massima probabilità di rovina
accettabile per un anno, L’autorità di controllo ritiene adeguata e, per
minimizzare il rischio di insolvenza, impone alla
c.a. una riserva libera minima pari a R* e, dunque,
un capitale pari a:
CS*(Y) = h*E[SY]
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Il modello matematico
L’autorità di controllo stabilisce altresì che:
min
M̂ SCS ,se k,
CSCS
ˆ ˆM S M SCS ,se > k.
k CS
Y
Y Y
YY
Y
YY
Definizioni
Il risarcimento potenzialmente catastrofale
Per s3, sia [0,M(S3,j)], M(S3,j) = max[S3,j] > 0,il supporto della v.c. S3,j e sia:
il valore corrispondente alla massima probabilità annua che s3 approssima allo 0, cioè:
3,j 3,jM̂ S M S
3,j 3,jS 3,j S
ˆF M S max F s 0
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Il risarcimento potenzialmente catastrofale
Un risarcimento potenzialmente catastrofale
per s3 è una qualsiasi r.v. S3,j che soddisfa
la seguente condizione:
3,jα,η
M̂ S k max CS α,η; Y
Definizioni
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Definizioni
Evento potenzialmente catastrofale
Un evento è potenzialmente catastrofale per
s3 se, e soltanto se, esso è connesso ad un
risarcimento potenzialmente catastrofale per
s3
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Definizioni
Rischio ISO/IEC
“The risk is a combination of the probability of an event and its consequence.”
ossia
Rischio ISO/IEC =
evento,probabilità,conseguenze
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Definizioni
Rischio catastrofale per s3
Rischio catastrofale =
evento potenzialmente catastrofale,
probabilità,
risarcimento potenzialmente catastrofale
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DefinizioniRischio catastrofale per s4
Una unità di rischio X, assicurata in s4, è un rischio catastrofale per s4 se, e soltanto se, qualunque sia stata la suddivisione di X, per fini assicurativi e/o riassicurativi, in m unità di rischio all’interno di s4 e qualunque sia stata l’associazione di ciascuna di esse a ciascuno dei soggetti s3, almeno uno dei soggetti s3 è esposto ad un rischio catastrofale
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Definizioni
Rischio di catastrofe
Esso è una unità di rischio formata da un numero
m, in genere molto grande, di componenti, dove m,
per semplificare sta ad indicare anche il numero
dei soggetti coinvolti. Esso è espresso tramite la:
Rischio di catastrofe =
rischio connesso al soggetto k-esimok=1,2…,m