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ISO 5725 VGJ
Exactitud (veracidad y precisión) de
resultados y métodos de medición
ISO 5725: 1994
Dr. Vicente González Juárez
• ISO 5725-#: 1994
Exactitud (veracidad y precisión) de resultados y métodos de medición
Principios Generales y Definiciones
Método básico para la determinación de la repetibilidad y la
reproducibilidad de un método normalizado
Medidas intermedias de la precisión de un método de medición
normalizado
Métodos básicos para la determinación de la veracidad de un
método de medición normalizado
Métodos alternativos para la determinación de la precisión de un
método de medición normalizado
Utilización en la práctica de los valores de exactitud
• NMX-CH-5725-#-IMNC-2006
Materiales de referencia – Principios generales y
estadísticos para certificación
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ISO 5725 VGJ
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ISO 5725 VGJ
Objetivo: Establecer principios generales para evaluar la exactitud (veracidad y precisión) de un método
de medición y resultados, sus aplicaciones y las estimaciones prácticas de diferentes parámetros
mediante experimentación. La veracidad se refiere al grado de concordancia existente entre la
media aritmética de un gran número de resultados y el valor verdadero o aceptado como
referencia. La precisión se refiere al grado de concordancia existente entre los propios
resultados obtenidos. Tales principios son aplicables a una gran variedad de materiales ya sean
líquidos, polvos, sólidos, manufacturados o naturales, teniendo siempre la posible
heterogeneidad inherente a cada material.
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Temario
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
3. Repetibilidad y Reproducibilidad ISO 5725-3
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión sin utilizar
exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
7. Métodos de cálculo de los límites de repetibilidad, reproducibilidad y otros
para análisis de resultados (suponiendo la exactitud establecida ) ISO 5725-6
8. Utilización de las desviaciones estándar de repetibilidad y reproducibilidad
en la evaluación de laboratorios ISO 5725-6
9. Evaluación continua de laboratorios previamente aprobados ISO 5725-6
10. Comparación de métodos de medida alternativos ISO 5725-6
ISO 5725 VGJ
5
La necesidad de tomar en cuenta la precisión deriva del hecho de que al realizar diferentes
ensayos sobre muestras presumiblemente idénticas y en condiciones supuestamente
idéntica, en general no producen resultados idénticos.
Esto se atribuye a los inevitable errores aleatorios inherentes a todo proceso de medición,
por no poder controlar completamente los factores que influyen en los resultados de la
medición.
Esta variabilidad debe tomarse en cuenta en la interpretación practica de los resultados de
medición. Por ejemplo, la diferencia entre un resultado de ensayo y el valor especificado
puede quedar incluida dentro del margen de los inevitables errores aleatorios, en cuyo caso
no puede establecerse una desviación real respecto a dicho valor especificado.
De manera similar, al comparar resultados de ensayo de dos lotes de material, no se indica
la diferencia cualitativa real entre ellos, si esa diferencia puede atribuirse a la variación
inherente al proceso de medición.
ISO 5725 VGJ
Introducción
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Existen diferentes factores (aparte de las variaciones existentes entre especímenes
supuestamente idénticos) que pueden contribuir a la variabilidad de los resultados de un
método de medición, entre ellos pueden incluirse:
a) El operador analista
b) Los equipos de medición utilizados
c) La calibración de los equipos de medición
d) El medio ambiente (temperatura, humedad, contaminación atmosférica, etc.)
e) El tiempo transcurrido entre mediciones.
La variabilidad entre mediciones realizadas por diferentes operadores y/o con diferentes
equipos será, normalmente, mayor que la variabilidad observada entre mediciones
realizadas en intervalo de tiempo corto por un único operador utilizando el mismo equipo.
ISO 5725 VGJ
Introducción
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La precisión es el término general para designar la variabilidad existente entre mediciones
repetidas. Se ha determinado que dos tipo de precisión, denominadas repetibilidad y
reproducibilidad, son útiles y necesarias para describir la variabilidad de un método de
medición en muchas aplicaciones prácticas. Bajo condiciones de repetibilidad, los
factores de (a) hasta (e) citados anteriormente se mantienen constantes y no contribuyen a
la variabilidad; mientras que bajo condiciones de reproducibilidad, estos factores varían y
contribuyen a la variabilidad de los resultados. De esta manera, repetibilidad y
reproducibilidad son los dos extremos de la precisión; la primera caracterizando la menor
y la segunda la mayor variación de los resultados. También pueden considerase otras
condiciones intermedias entre estas dos condiciones extremas, siempre que uno o más de
los factores de (a) hasta (e) varíen y se consideren circunstancias especificas.
Normalmente la precisión se expresa en términos de desviaciones estándares.
ISO 5725 VGJ
Introducción
8
La “veracidad” de un método de medición es de interés cuando es posible disponer del
valor verdadero del mensurando sujeto a medición. El valor verdadero no se conoce
exactamente en algunos métodos de medición, pero es posible contar con un valor de
referencia con base a otro método de medición o mediante la preparación de una muestra
conocida. Se puede investigar la veracidad del método de medición mediante la
comparación del valor de referencia aceptado con los resultados obtenidos por el método
de medición. Normalmente la veracidad se expresa en términos de sesgo (bias en inglés).
En un análisis químico, por ejemplo, dicho sesgo se puede presentar si el método falla en
extraer a todo el elemento de interés o si la presencia de un elemento interfiere en la
determinación de otro.
ISO 5725 VGJ
Introducción
9
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Definiciones y notación
– Definición previa de experimentos de exactitud
– Definición del modelo estadístico
– Consideraciones de planificación del experimento y la
estimación de la exactitud
ISO 5725 VGJ
10
– Definiciones y notación
Valor observado
Valor de un mensurando obtenido como resultado de una observación simple
Resultado de ensayo
Valor de un mensurando obtenido tras la realización de un método de ensayo específico
Nivel de ensayo en un experimento de precisión
Media general de todos los resultados del ensayo de todos los laboratorios participantes,
para el material o muestra particular ensayada
Celda en un experimento de precisión
Resultados del ensayo para un único nivel, obtenidos por uno de los laboratorios
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definiciones y notación
Valor de referencia aceptado
Valor que sirve como referencia consensuada para la comparación, obtenido a partir de
a) Un valor teórico o establecido, con base en principios científicos
b) Un valor asignado o certificado, con base en trabajos experimentales de alguna
organización nacional o internacional
c) Un valor certificado o consensuado, con base en trabajos de colaboración
experimental bajo los auspicios de algún grupo científico o técnico
d) Cuando no se dispone de a), b) o c), el valor supuesto de la magnitud (medible); por
ejemplo, la media de una población especificada de mediciones
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definiciones y notación
Exactitud
Grado de concordancia existente entre el resultado de ensayo y el valor de referencia
aceptado
Veracidad
Grado de concordancia existente entre el valor promedio obtenido de gran serie de
resultados y el valor de referencia aceptado
Sesgo
Diferencia entre el valor esperado de los resultados y un valor de referencia aceptado
Sesgo de laboratorio
Diferencia entre el valor esperado de los resultados de ensayo de un laboratorio en
particular y un valor de referencia aceptado
Sesgo del método de medición
Diferencia entre el valor esperado de los resultados de ensayo obtenidos por todos los
laboratorios que utilizan el mismo método y un valor de referencia aceptado
Componentes del sesgo debida al laboratorio
Diferencia entre el sesgo del laboratorio y el sesgo del método de medición
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definiciones y notación
Precisión
Grado de concordancia existente entre los resultados de ensayo independientes, obtenidos
en condiciones estipuladas
Repetibilidad
Precisión bajo condiciones de repetibilidad
Condiciones de repetibilidad
Condiciones bajo las que se obtienen resultados independientes, con el mismo método,
sobre muestras idénticas, en el mismo laboratorio, por el mismo operador, y utilizando los
mismos equipos de medición durante un corto intervalo de tiempo
Desviación estándar de repetibilidad
Desviación estándar de los resultados del ensayo obtenida bajo condiciones de
repetibilidad
Límite de repetibilidad
Valor establecido con una probabilidad del 95 % para el que se espera que la diferencia
absoluta entre dos resultados de ensayo, obtenidos bajo condiciones de repetibilidad, sea
igual o menor
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definiciones y notación
Reproducibilidad
Precisión bajo condiciones de reproducibilidad
Condiciones de reproducibilidad
Condiciones bajo las cuales los resultados de ensayo se obtienen con el mismo método,
sobre muestras idénticas, en laboratorios diferentes, con operadores distintos utilizando
equipos distintos
Desviación estándar de reproducibilidad
Desviación estándar de los resultados de ensayo obtenidos bajo condiciones de
reproducibilidad
Límite de reproducibilidad
Valor establecido con una probabilidad del 95 % para el que se espera que la diferencia
absoluta entre dos resultados de ensayo obtenidos bajo condiciones de reproducibilidad,
sea igual o menor
Valor anómalo
Elemento de un conjunto de valores que es inconsistente con otros elementos de dicho
conjunto
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición previa de experimentos de exactitud
Método de medición normalizado
Con objeto de realizar las mediciones siempre de la misma forma, el método de medición
debe estar normalizado. Todas las mediciones deben realizarse de acuerdo con dicho
método normalizado. Ello significa que tiene que existir un documento escrito que
describa detalladamente cómo deben realizarse las mediciones, y que incluya
preferentemente una descripción de cómo debería obtenerse y preparase el espécimen de
medición
La existencia de un método de medición documentado implica la existencia de una
organización responsable del establecimiento del método de medición estudiado.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición previa de experimentos de exactitud
Experimento de exactitud
La exactitud (veracidad y precisión) debería determinarse a partir de una serie de resultados de
ensayos realizados por los laboratorios participantes, organizados por un grupo de expertos
específicamente seleccionados para dicho propósito.
Tal ejercicio interlaboratorios se denomina “experimento de exactitud”, aunque también puede
denominarse “experimento de veracidad” o “experimento de precisión”, según la finalidad del
mismo. Si el propósito es determinar la veracidad, la determinación de la precisión debe haberse
realizado previamente, o bien debe realizarse simultáneamente.
Debería explicitarse siempre que la estimación de la exactitud, derivada de dicho ejercicio, es
válida únicamente para los ensayos realizados según el método de medición normalizado utilizado.
Un experimento de exactitud puede considerarse, a menudo, como un ensayo práctico sobre la
adecuación de un método de medición normalizado. Una de las principales finalidades de la
normalización es la eliminación de diferencias entre usuarios (laboratorios) tanto como sea
posible. Los datos obtenidos de un experimento de determinación de exactitud revelarán la
efectividad lograda en dicho experimento. Diferencias marcadas en las varianzas interlaboratorios
o entre los valores medios obtenidos por los laboratorios pueden indicar que el método de
medición no esta suficientemente detallado y que puede ser mejorado. En tal caso, debería
remitirse un informe detallado al organismo de normalización responsable, con una petición de
mayor investigación.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición previa de experimentos de exactitud
Muestras idénticas
En un experimento de exactitud se envían muestras de un material específico, o de un
producto determinado, desde un punto central a un número de laboratorios situados en
distintos lugares, diferentes países o, incluso, en diferentes continentes. La definición de
condiciones de repetibilidad establece que las mediciones en estos laboratorios deben
realizarse sobre muestras idénticas, en el momento de realización de las medidas. Para
lograr esto, tienen que satisfacerse dos condiciones:
a) Las muestras tienen que ser idénticas en el momento de ser enviadas al laboratorio
b) Las muestras deben mantenerse idénticas durante el transporte y durante los
diferentes intervalos temporales que puedan soportar antes de la realización de las
medidas
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición previa de experimentos de exactitud
Intervalos de tiempo cortos
Las mediciones para la determinación de la repetibilidad deberían realizarse bajo las
mismas condiciones de operación; esto es, durante el tiempo que duran las mediciones,
factores tales como los dados lamina 5, deben permanecer constantes. En particular, los
equipos de medición no deberían calibrarse entre mediciones, a menos que ello forme
parte esencial de cada medición individual. En la práctica, los ensayos realizados en
condiciones de repetibilidad deberían ejecutarse en el menor tiempo posible, a fin de
minimizar cambios en dichos factores; por ejemplo en los ambientales, en donde es difícil
garantizar su constancia.
Es necesario hacer una segunda consideración sobre el intervalo de tiempo entre
mediciones, y es que se supone que los resultados de los ensayos son independientes. Si se
sospechara que los resultados previos pudieran influir sobre los resultados siguientes
(reduciendo así el valor estimado de la varianza de repetibilidad), puede ser necesario
proporcionar muestras separadas y codificadas, de forma que el operador no supiera cuales
de las muestras son idénticas. Podrían darse instrucciones acerca del orden en que hay que
medir las muestras y, presumiblemente, dicho orden será aleatorio, de forma que aquellas
muestras individuales “idénticas” no se midan juntas. Esto podría significar que el
intervalo de tiempo entre mediciones repetidas puede ir contra el objetivo de lograr un
intervalo de tiempo corto, a menos que la naturaleza de tales mediciones hiciera que toda
la serie completa de mediciones pudiera realizarse dentro de un corto periodo de tiempo.
Como siempre, debe prevalecer el sentido común.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
19
– Definición previa de experimentos de exactitud
Laboratorios participantes
Una hipótesis básica que subyace en esta norma es que la repetibilidad será,
aproximadamente, la misma para todos los laboratorios que aplican el mismo
procedimiento normalizado. De esta forma, puede establecerse una desviación estándar
media de repetibilidad común que será aplicable a cualquiera de los laboratorios. No
obstante, cualquier laboratorio puede, tras realizar una serie de mediciones en condiciones
de repetibilidad, llegar a una estimación de su propia desviación estándar de repetibilidad
para el método de medición, y contrastarlo con el valor común normalizado.
Las magnitudes definidas (en lamina 10 a lamina 12) se aplican, teóricamente, a todos los
laboratorios que presumiblemente son capaces de poner en práctica el método de
medición normalizado. En la práctica, vienen determinadas a partir de una muestra de esta
población de laboratorios. Si se siguen las instrucciones del proceso de selección de
muestra vistas más adelante, en lo referente al número de laboratorios a tener en cuenta y
al número de mediadas a efectuar, las estimaciones que se obtengan acerca de la veracidad
y la precisión deberían ser suficientes. Si, no obstante, con posterioridad, resultara
evidente que los laboratorios participantes no eran, o ya no son, representativos de todos
aquellos que utilizan el método de medición normalizado, entonces deberán repetirse las
mediciones.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición previa de experimentos de exactitud
Condiciones de observación
Los factores que contribuyen a la variabilidad de los factores observados obtenidos dentro de un
laboratorio (lamina 5) pueden venir dados en términos de tiempo, operador y equipos de medición,
cuando las observaciones en diferentes momentos incluyan los efectos debidos a la variación de las
condiciones ambientales y a las calibraciones subsecuentes de los equipos de medición entre
observaciones. Bajo condiciones de repetibilidad, las observaciones se efectúan con los tres factores
anteriores constantes, y bajo condiciones de reproducibilidad, las observaciones se realizan en
diferentes laboratorios; es decir, no sólo y variando los tres factores anteriores, sino incluyendo
también efectos suplementarios debidos a diferencias en la gestión y el mantenimiento de los
laboratorios, la estabilidad en el control de las observaciones, etc.
Puede ser útil, en ocasiones, considerar condiciones de precisión inmediatas, en las que las
observaciones se realicen en el mismo laboratorio, pero en donde uno o más de los factores, tiempo,
operador o equipos de medición varíen. A la hora de establecer la precisión de un método de
medición es muy importante definir las condiciones de observación apropiadas; es decir, si los tres
factores anteriores deberían ser constantes o no.
Además, la amplitud de la variabilidad debida a uno de los factores dependerá del método de
medición. Por ejemplo, en análisis químico, los factores “operador” y “tiempo” pueden ser
dominantes; del mismo modo que en micro-análisis pueden serlo los factores “equipo de medición” y
“condiciones ambientales”, y en ensayos físicos, “equipos de medición” y “calibración de equipos”
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
21
– Definición del modelo estadístico
Modelo estadístico básico
Para estimar la exactitud (veracidad y precisión) de un método de medición, es útil suponer que cada
resultado del ensayo, y, es la suma de tres componentes.
y = m + B + e (1)
donde, para el material particular ensayado,
m es la media general (esperanza);
B es la componente del sesgo debida al laboratorio, bajo condiciones de repetibilidad;
e es el error aleatorio que tiene lugar en cada medición bajo condiciones de repetibilidad.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
22
– Definición del modelo estadístico
Media General
Constituye el nivel del ensayo; a muestras de materiales químicos de diferentes purezas, o de
diferentes materiales (por ejemplo, diferentes tipos de acero), corresponderán diferentes niveles. En
muchas situaciones técnicas el nivel del ensayo viene definido exclusivamente por el método de
medición, y la noción de valor verdadero independiente carece de sentido. No obstante, en algunas
situaciones el concepto de valor verdadero μ del mesurando del ensayo puede mantenerse, como en el
caso de la concentración verdadera de una solución valorada. El nivel m no es necesariamente igual al
valor verdadero μ.
Cuando se analiza la diferencia entre los resultados obtenidos por el mismo método de medición, el
sesgo del método de medición carecerá de influencia, y puede ignorarse. No obstante, cuando se
comparan resultados de ensayo con un valor especificado en un contrato o una norma, en donde el
contrato o la especificación se refieren a un valor verdadero (μ) y no al “nivel de ensayo” (m) o
cuando los resultados se comparan usando diferentes métodos de medición, el sesgo del método de
medición tendrá que tenerse en cuenta.
En muchas situaciones, el concepto de valor verdadero μ se asume bien, tal como la verdadera
concentración de un a disolución que está siendo valorada. Frecuentemente, el nivel m no es igual al
valor verdadero μ y la diferencia (m - μ) se denomina “sesgo del método de medida”.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
23
– Definición del modelo estadístico
Término B
Se considera como una constante durante cualquier serie de ensayos ejecutados en condiciones de
repetibilidad, pero puede diferir en valor cuando los ensayos se realizan bajo otras condiciones.
Cuando se comparan los resultados de ensayo entre dos laboratorios (siempre los mismos), es
necesario determinar el sesgo relativo existente entre ambos, bien a partir de sus valores individuales
de sesgo, determinados a partir de un experimento de exactitud, bien realizando un ensayo particular
entre ambos laboratorios. No obstante, cuando se deseen obtener conclusiones generales relativas a
las diferencias existentes entre dos laboratorios no especificados, o cuando se realicen
comparaciones entre dos laboratorios que no han determinado sus propios sesgos, deberá
considerarse bajo una distribución general de las comparaciones del sesgo debidas a los laboratorios.
Este es el razonamiento subyacente bajo el concepto de reproducibilidad. Los procedimientos
referidos en la ISO 5725 se han desarrollado bajo el supuesto que la distribución de las componentes
del sesgo debidas a los laboratorios, es aproximadamente normal, pero en la práctica se aplican a la
mayor parte de las distribuciones, siempre que éstas sean unimodales.
En general, B puede considerarse como suma de dos componentes, aleatoria y sistemática. No se
pretende dar aquí una lista de factores que contribuyen al valor de B, pero entre estos se hayan
diferentes condiciones climáticas, variaciones de equipos de medición dentro de las tolerancias del
fabricante, e incluso diferencias en la formación técnica recibida por los operadores en distintos
lugares.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
24
– Definición del modelo estadístico
Término B
Sin embargo, cuando habitualmente se utiliza un método de medida establecido, es claro que
incluidos dentro del valor global de B, hay un gran número de efectos, debidos por ejemplo, a
cambios en el operador, el equipo utilizado, la calibración del equipo y el entorno ambiental
(temperatura, humedad, contaminación del aire, etc.). El modelo estadístico [ecuación (1)] puede
reescribirse en la forma:
y = m + B(0) + B(1) + B(2) + … + e (2)
o
y = μ + δ + B(0) + B(1) + B(2) + … + e (3)
donde B está compuesto por las contribuciones de las variables B(0), B(1), B(2),…, y puede contabilizar
un número determinado de factores de precisión intermedia.
En la práctica, los objetivos del estudio así como consideraciones sobre la sensibilidad del método de
medición determinarán el alcance de aplicación de este modelo. En muchos casos, bastará con
variantes simplificadas del mismo.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
25
– Definición del modelo estadístico
Término B
Términos B(0), B(1), B(2), etc.
Bajo condiciones de repetibilidad, estos términos permanecen constantes, sumándose al sesgo de los
resultados de ensayo. Bajo condiciones intermedias de precisión, B(0) es el efecto fijo de los factores
que no varían (estado 1 de la Tabla 3.1), mientras que B(1), B(2), etc., son los efectos aleatorios de los
factores que varían (estado 2 de la Tabla 3.1). Estos no contribuyen al sesgo, pero incrementan la
desviación estándar de la precisión intermedia haciéndola más grande que la desviación estándar de
repetibilidad.
Los efectos debidos a las diferencias entre operadores incluyen hábitos del personal en la aplicación
del método (por ejemplo, la lectura de escalas graduadas, etc.). Algunas de estas diferencias
deberían ser eliminables mediante normalización de los métodos de medida, particularmente si se
incluye una descripción clara y precisa de las técnicas utilizadas. Incluso si hay un sesgo en los
resultados de los ensayos obtenidos por un operador individual, este sesgo no siempre es constante
(por ejemplo, la magnitud del sesgo variará de acuerdo con las condiciones físicas o mentales del
operador ese día) y el sesgo no puede ser corregido o calibrado exactamente. La magnitud de tal
sesgo se debería reducir utilizando un manual de operación claro, así como formación. Bajo tales
circunstancias, el efecto del cambio del operador puede considerarse como de naturaleza aleatoria.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
26
– Definición del modelo estadístico
Término B
Los efectos debidos a diferencias entre equipos incluyen los debidos a diferentes lugares de
instalación, particularmente en fluctuaciones del indicador, etc. Algunos de los efectos debidos a
diferencias entre equipos pueden corregirse mediante calibración. Diferencias debidas a causas
sistemáticas entre equipos deben corregirse asimismo mediante calibración, tal procedimiento debe
incluirse en el método normalizado. Por ejemplo, un cambio en un lote de reactivos podría tratarse de
este modo. Para ello se precisa un valor aceptado como referencia, por lo que deberá consultar la
norma ISO 163 y la ISO GUIDE 35. El efecto remanente debido a equipos que se calibraron
utilizando un material de referencia, se considera como efecto aleatorio.
Los efectos debidos al tiempo pueden ser causados por diferencias ambientales, tales como cambios
en la temperatura o en la humedad de la sala, etc. Para minimizar estos efectos debería tratarse de
normalizar las condiciones ambientales.
El efecto debido a la destreza o fatiga de un operador pueden considerarse como interacción entre
operador y tiempo. Las prestaciones de un conjunto de equipos pueden ser distintas al comenzar el
trabajo, de las existentes transcurridas una cuantas horas; esto es un ejemplo de interacción entre
equipo y tiempo. Cuando el número de operadores es pequeño, y el número de conjuntos de equipos
aún menor, los efectos causados por estos factores pueden considerarse como fijos (no aleatorios).
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición del modelo estadístico
Término B
Los procedimientos dados en la norma 5725-2 se han desarrollado asumiendo que la distribución de
componentes del sesgo debidas al laboratorio es aproximadamente normal, pero en la práctica son
también de aplicación a la mayoría de las distribuciones, siempre que sean unimodales. La varianza
de B se denomina “varianza interlaboratorios”, y es expresada como:
𝑉𝑎𝑟 𝐵 = 𝜎𝐿2 (4)
donde 𝜎𝐿2 incluye la variabilidad entre operadores y entre equipos de medición.
Sin embargo, también incluye los efectos de cambios de operador, equipo, tiempo y ambiente, etc. A
pesar de un experimento de precisión, utilizando diferentes operadores, tiempos de medición,
ambientes, etc. en un diseño anidado, pueden calcularse las varianzas de precisión intermedia.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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– Definición del modelo estadístico
Término B
Var(B) se considera compuesta por las contribuciones independientes del laboratorio, el operador, el
día del experimento, el ambiente, etc.
𝑉𝑎𝑟 𝐵 = 𝑉𝑎𝑟 𝐵(0) + 𝑉𝑎𝑟 𝐵(1) + 𝑉𝑎𝑟 𝐵(2) +⋯ (5)
Las varianzas se representan por:
𝑉𝑎𝑟 𝐵(0) = 𝜎(0)2
𝑉𝑎𝑟 𝐵(1) = 𝜎(1)2
𝑉𝑎𝑟 𝐵(2) = 𝜎(2)2, etc. (6)
Var(B) se estima en términos prácticos como 𝜎𝐿2 y similares estimaciones de precisión intermedia
pueden obtenerse a partir de experimentos diseñados consecuentemente.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Definición previa de experimentos de exactitud
Término error e
Representa el error aleatorio asociado a cada resultado del ensayo, y los procedimientos referidos a lo
largo de esta norma suponen que la distribución de esta variable e es aproximadamente normal,
aunque en la práctica se apliquen a la mayor parte de las distribuciones, siempre que estas sean
unimodales.
Dentro de un laboratorio, su varianza bajo condiciones de repetibilidad se denomina varianza
intralaboratorio y se expresa como:
𝑣𝑎𝑟 𝑒 = 𝜎𝑤2 (8)
Puede expresarse que 𝜎𝑤2 alcanzará diferentes valores en laboratorios distintos debido a diferencias
tales como la propia habilidad de los operadores, pero en esta norma se supone que, en un método de
medición convenientemente normalizado, tales diferencias entre laboratorios deberían ser pequeñas y
es justificable establecer un valor común de varianza intralaboratorio para todos los que utilizan el
mismo método de medición. Este valor común estimado mediante la varianza aritmética de todas las
varianzas intralaboratorio se denomina varianza de repetibilidad y se designa por:
𝜎𝑟2 = 𝑣𝑎𝑟 𝑒 = 𝜎𝑤
2 (9)
Esta media aritmética se calcula considerando todos aquellos laboratorios participantes en el
experimento de determinación de exactitud, que permanecen tras haber eliminado todos los valores
anómalos.
29
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
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ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Definición previa de experimentos de exactitud
Relación entre modelo básico y precisión
Cuando se adopta el modelo básico descrito en (1) lamina 19, la varianza de repetibilidad se mide
directamente como la varianza del término del error e, pero la varianza de reproducibilidad depende
de la suma de la varianza de repetibilidad y de la varianza interlaboratorios.
Para la medición de la precisión se requieren dos magnitudes, la desviación estándar de repetibilidad
𝜎𝑟 = 𝑣𝑎𝑟 𝑒 (10)
y la desviación estándar de reproducibilidad
𝜎𝑅 = 𝜎𝐿2 + 𝜎𝑟
2 (11)
31
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Definición previa de experimentos de exactitud
Las ecuaciones (2) a (6) están expresadas en términos de desviaciones estándar verdaderas de las
poblaciones consideradas. En la práctica, los valores exactos de dichas desviaciones estándar son
desconocidos, siendo necesaria la estimación de dichos valores de veracidad y precisión de una
muestra relativamente pequeña entre todos los laboratorios posibles y, dentro de diferentes
laboratorios, de una pequeña muestra de entre todos los posibles resultados de ensayo.
En la práctica estadística, donde el verdadero valor de una desviación estándar, σ, es desconocido y
reemplazado por un estimador basado en una muestra, el símbolo σ se sustituye por s, para indicar
que se trata de un estimador. Que es lo que se ha hecho en cada una de las ecuaciones (2) a (6) donde:
𝜎𝐿2 es el valor estimado de la varianza interlaboratorios;
𝜎𝑊2 es el valor estimado de la varianza intralaboratorio;
𝜎𝑟2 es la media aritmética del as 𝜎𝑊
2 y constituye el valor estimado de la varianza de
repetibilidad, esta media aritmética es tomada de todos los laboratorios que toman
parte del experimento de exactitud y que permanece después de que han sido
excluidos los discrepantes;
𝜎𝑅2 es el valor estimado de la varianza de reproducibilidad;
𝜎𝑅
2 = 𝜎𝐿2 + 𝜎𝑟
2
32
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Planificación de un experimento de exactitud
La planificación de un experimento de determinación de la precisión o de la veracidad de un método
de medición normalizado, debería ser tarea de un grupo de expertos familiarizados con el método de
medición y con su aplicación. Al menos un miembro de dicho grupo debería tener experiencia en
diseño, realización y análisis estadístico de experimentos.
A la hora de planificar el experimento deberían considerarse las siguientes preguntas:
a) ¿Existe disponible una norma satisfactoria para el método de medición?
b) ¿Cuántos laboratorios es conveniente que tomen parte en el experimento?
c) ¿Cómo debería realizarse la selección de los laboratorios y qué requisitos deberían
satisfacer?
d) ¿Cuál es el intervalo o variedad de niveles existentes en la práctica?
e) ¿Cuántos niveles deberían utilizarse en el experimento?
f) ¿Cuáles son los materiales susceptibles de representar estos niveles y como deberían
preparase?
g) ¿Qué cantidad de réplicas es conveniente especificar?
h) ¿Qué duración debería especificarse para la conclusión de todas las mediciones?
i) ¿Es apropiado el modelo básico (1) o debería considerarse uno modificado?
j) ¿Se necesitan alguna precauciones especiales para garantizar que los materiales
idénticos sean medidos en el mismo estado en todos los laboratorios?
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
33
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Requisitos para un experimento de determinación de veracidad y precisión
Diseño del experimento
En el esquema utilizado en el método básico, se envían muestras de q lotes de materiales,
representando niveles diferentes de ensayo, a p laboratorios. Cada uno de estos laboratorios obtiene
exactamente n resultados de ensayo bajo condiciones de repetibilidad, para cada uno de los q niveles.
Este tipo de experimento se denomina a un nivel uniforme balanceado.
La realización de las mediciones debe estar perfectamente organizada, según las siguientes
instrucciones:
a) Cualquier verificación preliminar del equipo debe realizarse tal como se especifica en el
método normalizado;
b) Cada grupo de n mediciones pertenecientes a un nivel, debe realizarse bajo condiciones de
repetibilidad, es decir, en un breve intervalo de tiempo, por el mismo operador, y sin
calibración intermedia del aparato, a menos que esto sea parte integral de la realización de
las mediciones;
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
34
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Requisitos para un experimento de determinación de veracidad y precisión
Diseño del experimento
c) Es esencial que cada grupo de n ensayos bajo condiciones de repetibilidad sea realizado de
manera independiente, como si se tratara de n ensayos sobre materiales diferentes. Como
regla general, aunque cada operador sepa que esta verificando materiales idénticos, debe
hacerse hincapié en las instrucciones en que el propósito del experimento es determinar las
diferencias que pueden observarse en los resultados, en un ensayo real. Si se sospecha que, a
pesar de esta advertencia, los resultados previos pueden influir sobre los resultados de los
ensayos siguientes y, por tanto, sobre la varianza de repetibilidad, debe considerarse si es
pertinente el uso de n muestras separadas en cada uno de los q niveles, codificadas en forma
de que el operador no pueda identificar cuales son las réplicas de un nivel dado. Sin
embargo, tal procedimiento puede causar problemas a la hora de garantizar que las
condiciones de repetibilidad serán aplicadas a todas las réplicas. Esto sólo es posible si las
medidas fueran de tal naturaleza que el conjunto total de mediciones qn pudiera realizarse en
un lapso corto de tiempo;
d) No es esencial que todos los q grupos de n mediciones se realicen estrictamente en un corto
intervalo de tiempo, grupos de mediciones diferentes pueden realizarse en diferentes fechas;
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
35
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Requisitos para un experimento de determinación de veracidad y precisión
Diseño del experimento
e) Las mediciones de todos los q niveles pueden realizarse por un único y mismo operador y,
además , las n mediciones para un nivel dado deben realizarse utilizando el mismo equipo de
medición;
f) Si en el curso de la mediciones un operador no puede concluir todas ellas, otro operador
puede completar el trabajo, siempre y cuando la sustitución no tenga lugar dentro de un
grupo de n mediciones de un nivel, sino que ocurran únicamente entre dos de los q grupos.
Cualquier cambio debe ser notificado junto con los resultados.
g) Debe fijarse un tiempo límite dentro del cual todas las mediciones deben ser realizadas. Esto
puede ser necesario para limitar el tiempo transcurrido entre el momento de la recepción de
las muestras y el del comienzo de las mediciones;
h) Todas las muestras deben estar claramente etiquetadas con el nombre del experimento y la
identificación de la muestra.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
36
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Método de medición normalizado
El método de medición estudiado debe ser un método normalizado. Dicho método tiene que ser
robusto; esto es , pequeñas variaciones en el procedimiento no deben producir de forma imprevista
grandes variaciones en los resultados. Si existiera este riesgo, deben tomarse precauciones o avisos
adecuados. También es deseable que en el proceso de desarrollo de un método de medición
normalizado se hagan todos los esfuerzos para eliminar o reducir el sesgo.
Pueden utilizarse procedimientos experimentales similares para determinar la veracidad y la precisión
tanto de métodos ya establecidos como los recientemente normalizados. En este último caso, los
resultados obtenidos deberían considerarse como estimaciones preliminares, dado que la veracidad y
la precisión podrían cambiar a medida que los laboratorios ganan experiencia.
El documento que establece el método de medición debe ser completo y carecer de ambigüedad.
Todas las operaciones esenciales relativas a las condiciones ambientales del procedimiento, los
reactivos y los aparatos, la verificación preliminar del equipo de medición, y la preparación de las
muestras, deben ser incluidas en el método de medición, si es posible, mediante referencia a otros
procedimientos escritos a disposición de los operadores. Conviene especificar de forma precisa la
forma de calcular y expresar los resultados del ensayo, incluyendo un número de cifras significativas
con que deben presentarse.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
37
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Elección de los laboratorios. Desde un punto de vista estadístico, aquellos laboratorios participantes
en un experimento de exactitud deberían haber sido escogidos al azar de entre todos aquellos
laboratorios que utilizan el mismo método de medición. Los laboratorios voluntarios podrían no
constituir una muestra realista y representativa. No obstante, otras consideraciones prácticas, como el
requisito de que los laboratorios participantes estén distribuidos por deferentes continentes o regiones
climáticas, pueden afectar al esquema de representatividad.
Los laboratorios participantes no deberían ser exclusivamente aquellos que han adquirido alguna
experiencia especial durante el proceso de normalización del método. Ninguno de ellos debería ser un
laboratorio especializado “de referencia”, que permitiera demostrar la exactitud que el método puede
lograr en manos expertas.
El número de laboratorios participantes en un ejercicio colectivo interlaboratorios y el número de
resultados de ensayo necesarios por laboratorios, para cada nivel del ensayo, son dependientes entre
si.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
38
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para determinación de la precisión
Las varias magnitudes representadas por el símbolo s en las ecuaciones (2) a (6) son verdaderas
desviaciones típicas, de valores desconocidos; una de las finalidades del experimento de
determinación de precisión en su estimación. Cuando se realiza una estimación (s) de una desviación
estándar verdadera (s), pueden obtenerse conclusiones acerca del campo de valores en torno a s,
dentro del cual se espera encontrar el valor estimado (s). Este es un problema estadístico bien
conocido, que se resuelve utilizando la ley 𝜒2 (chi cuadrada) y el número de resultados a partir de los
cuales se ha obtenido s. Una formula frecuentemente utilizada es:
𝑃 −𝐴 <𝑠−𝜎
𝜎< +𝐴 = 𝜎𝑅 𝜎𝑟 (12)
A menudo A se expresa en tanto por ciento, lo que permite declarar que la desviación estándar
estimada (s) puede encontrarse en un intervalo ±A en torno a la desviación estándar verdadera (s) con
una cierta probabilidad P.
39
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para determinación de la precisión
Para un nivel único de ensayo, la incertidumbre sobre la desviación estándar de repetibilidad
dependerá del número de laboratorios (p) y del número de resultados del ensayo dentro de cada
laboratorio (n). Para la desviación estándar de reproducibilidad, el procedimiento es más complicado
dado que se determina a partir de dos desviaciones típicas [véase ecuación (6)]. Para representar la
relación existente entre las desviaciones típicas de reproducibilidad y de repetibilidad se requiere un
factor extra γ, es decir:
𝛾 = 𝜎𝑅 𝜎𝑟 (13)
Suponiendo una probabilidad P del 95%, se han preparado ecuaciones aproximadas para los valores
de A, las cuales se incluyen a continuación. Estas ecuaciones permiten determinar cuántos
laboratorios deben participar y cuántos resultados por laboratorios son necesarios, para cada nivel de
ensayo. Las ecuaciones no aportan límites de confianza y no deberían utilizarse para el cálculo
analítico de los límites de confianza. Las ecuaciones son las siguientes:
Para la repetibilidad
𝐴 = 𝐴𝑟 = 1.961
2𝑝(𝑛−1) (14)
40
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para determinación de la precisión
Para reproducibilidad
𝐴 = 𝐴𝑅 = 1.96𝑝 1+𝑛(𝛾2−1) 2+(𝑛−1)(𝑝−1)
2𝑝(𝑛−1) (15)
Nota: Una varianza muestral con v grados de libertad y esperanza 𝜎2 se supone que sigue,
aproximadamente una ley normal de varianza 2𝜎2 𝑣 . Las ecuaciones (9) y (10) derivan de esta
hipótesis acerca de las varianzas utilizadas en la estimación de 𝜎𝑟 y 𝜎𝑅. La adecuación de tal
aproximación se ha comprobado mediante cálculo exacto.
El valor de γ es conocido, pero a menudo, existen estimaciones previas de las desviaciones típicas
intralaboratorio e interlaboratorio obtenidas durante el proceso de normalización del método de
medición. En la Tabla 1 siguiente se proporcionan valores exactos del tanto por ciento de
incertidumbre de las desviaciones típicas de repetibilidad y reproducibilidad para diferentes números
de laboratorios (p) y para diferentes números de resultados por laboratorio (n). Dichos valores se
presentan también en forma gráfica.
41
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para determinación de la precisión
Tabla 1- Valores que muestran la incertidumbre de las estimaciones de las desviaciones típicas de
repetibilidad y de reproducibilidad
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
Número de
laboratorios
p
Ar
AR
γ = 1 γ = 2 γ = 5
n = 2 n = 3 n = 4 n = 2 n = 3 n = 4 n = 2 n = 3 n = 4 n = 2 n = 3 n = 4
5 0.62 0.44 0.36 0.46 0.37 0.32 0.61 0.58 0.57 0.68 0.67 0.67
10 0.44 0.31 0.25 0.32 0.26 0.22 0.41 0.39 0.38 0.45 0.45 0.45
15 0.36 0.25 0.21 0.26 0.21 0.18 0.33 0.31 0.30 0.36 0.36 0.36
20 0.31 0.22 0.18 0.22 0.18 0.16 0.28 0.27 0.26 0.31 0.31 0.31
25 0.28 0.20 0.16 0.20 0.16 0.14 0.25 0.24 0.23 0.28 0.28 0.27
30 0.25 0.18 0.15 0.18 0.15 0.13 0.23 0.22 0.21 0.25 0.25 0.25
35 0.23 0.17 0.14 0.17 0.14 0.12 0.21 0.20 0.19 0.23 0.23 0.23
40 0.22 0.16 0.13 0.16 0.13 0.11 0.20 0.19 0.18 0.22 0.22 0.22
42
ISO 5725 VGJ
Número
de
Laboratorios
Valor de A
γ = 1 γ = 2 γ = 5
p n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4
5 0.62 0.51 0.44 0.82 0.80 0.79 0.87 0.86 0.86
10 0.44 0.36 0.31 0.58 0.57 0.56 0.61 0.61 0.61
15 0.36 0.29 0.25 0.47 0.46 0.46 0.50 0.50 0.50
20 0.31 0.25 0.22 0.41 0.40 0.40 0.43 0.43 0.43
25 0.28 0.23 0.20 0.37 0.36 0.35 0.39 0.39 0.39
30 0.25 0.21 0.18 0.33 0.33 0.32 0.35 0.35 0.35
35 0.23 0.19 0.17 0.31 0.30 0.30 0.33 0.33 0.33
40 0.22 0.18 0.15 0.29 0.28 0.28 0.31 0.31 0.31
ISO 5725-1 Tabla 2
43
ISO 5725 VGJ
Número
de
laboratorios Ar
AR
γ = 1 γ = 2 γ = 3
p n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4
5 0.62 0.44 0.36 0.46 0.37 0.32 0.61 0.58 0.57 0.68 0.67 0.67
10 0.44 0.31 0.25 0.32 0.26 0.22 0.41 0.39 0.38 0.45 0.45 0.45
15 0.36 0.25 0.21 0.26 0.21 0.18 0.33 0.31 0.30 0.36 0.36 0.36
20 0.31 0.22 0.18 0.22 0.18 0.16 0.28 0.27 0.26 0.31 0.31 0.31
25 0.28 0.20 0.16 0.20 0.16 0.14 0.25 0.24 0.23 0.28 0.28 0.27
30 0.25 0.18 0.15 0.18 0.15 0.13 0.23 0.22 0.21 0.25 0.25 0.25
35 0.23 0.17 0.14 0.17 0.14 0.12 0.21 0.20 0.19 0.23 0.23 0.23
40 0.22 0.16 0.13 0.16 0.13 0.11 0.20 0.19 0.18 0.22 0.22 0.22
ISO 5725-1 Tabla 1
44
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para determinación de la precisión
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
5 10 15 20 25 30 35 40
Ar
n = 2
n = 3
n = 4
Figura A.1 - Cantidad por la que puede esperarse que SR difiera del valor verdadero con un nivel de
probabilidad del 95%
Anexo 1 5725-1
45
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para determinación de la precisión
El sesgo de un método de medición δ, puede estimarse a partir de:
𝛿 = 𝑦 − 𝜇 (16)
donde
𝑦 es la media general de los resultados obtenidos por todos los laboratorios, en
un nivel particular del experimento;
𝜇 es el valor de referencia aceptado.
La incertidumbre de esa estimación puede expresarse por la ecuación:
P 𝛿 − 𝐴𝜎𝑅 < 𝛿 < 𝛿 + 𝐴𝜎𝑅 = 0.95 (17)
que muestra que el valor estimado se encontrará dentro de los límites ±𝐴𝜎𝑅 en torno al valor verdadero
del sesgo del método de medición, con probabilidad de 0.95. En términos del factor γ [véase ecuación
(8)]:
𝐴 = 1.96𝛾2−1 +1
𝛾2𝑝𝑛 (18)
En la Tabla 2 se proporcionan valores de 𝐴.
46
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para la estimación del sesgo
Tabla 2- Valores de A, incertidumbre de las estimación del sesgo del método de medición
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
Número de
laboratorios
p
Valor de A
γ = 1 γ = 2 γ = 5
n = 2 n = 3 n = 4 n = 2 n = 3 n = 4 n = 2 n = 3 n = 4
5 0.62 0.51 0.44 0.82 0.80 0.79 0.87 0.86 0.86
10 0.44 0.36 0.31 0.58 0.57 0.56 0.61 0.61 0.61
15 0.36 0.29 0.25 0.47 0.46 0.46 0.50 0.50 0.50
20 0.31 0.25 0.22 0.41 0.40 0.40 0.43 0.43 0.43
25 0.28 0.23 0.20 0.37 0.36 0.35 0.39 0.39 0.39
30 0.25 0.21 0.18 0.33 0.33 0.32 0.35 0.35 0.35
35 0.23 0.19 0.17 0.31 0.30 0.30 0.33 0.33 0.33
40 0.22 0.18 0.15 0.29 0.28 0.28 0.31 0.31 0.31
47
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1 – Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para la estimación del sesgo
El sesgo del laboratorio, Δ, en el momento del ensayo, puede estimarse a partir de
∆= 𝑦 − 𝜇 (19)
donde
𝑦 es la media aritmética de todos los resultados obtenidos por el laboratorio, para un
nivel particular del ensayo;
𝜇 es el valor de referencia aceptado.
La incertidumbre de esta estimación puede expresarse por la ecuación:
∆ − 𝐴𝑊𝜎𝑟 < ∆< ∆ + 𝐴𝑊𝜎𝑟 = 0.95 (20)
que muestra que el valor estimado se encontrará dentro de los límites ±𝐴𝑊𝜎𝑟 en torno al valor
verdadero del sesgo del método del laboratorio, con probabilidad de 0.95. En este caso la
incertidumbre intralaboratorio es
𝐴𝑊 =1.96
𝑛 (21)
En la Tabla 3 se proporcionan valores de 𝐴𝑊.
48
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Número de laboratorios necesarios para la estimación del sesgo
Tabla 3- Valores de Aw, incertidumbre de las estimación del sesgo intralaboratorio
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
Número de
Resultados
de ensayo
n
Valor
de Aw
5 0.88
10 0.62
15 0.51
20 0.44
25 0.39
30 0.36
35 0.33
40 0.31
49
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de laboratorios para el experimento de exactitud
Consecuencias sobre la elección de los laboratorios
La elección del número de laboratorios será un compromiso entre la disponibilidad de recursos y el
deseo de reducir la incertidumbre de las estimaciones a un nivel satisfactorio. En las figuras
siguientes puede apreciarse que las estimaciones de las desviaciones típicas de repetibilidad y
reproducibilidad podrían diferir de forma sustancial de sus valore verdaderos si sólo un pequeño
número de laboratorios (p=5) tomara parte en el experimento de precisión, y de aumentar en 2 o 3 el
número de laboratorios sólo conduce a pequeñas reducciones de las incertidumbres de las
estimaciones cundo p es superior a 20. Es habitual escoger un valor p entre 8 y 15. Cuando 𝜎𝐿 es
mayor que 𝜎𝑟 (es decir, γ es mayor que 2), como es el caso habitual, se gana muy poco obteniendo
más de n=2 resultados y por nivel.
50
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de los materiales a utilizar en un experimento de exactitud
Los materiales a utilizar en un experimento de determinación de la exactitud de un método de
medición deberían ser representativos de todos aquellos a los que se desea aplicar el método de
medición en el uso normal. Como regla general, cinco materiales diferentes proporcionarán
habitualmente un campo de niveles lo suficientemente amplio como para permitir establecer la
exactitud adecuadamente. Un número menor podría ser apropiado en la investigación inicial de un
método de medición de reciente desarrollo, cuando se sospecha que pueden ser necesarias
modificaciones del método, seguidas de ensayos de exactitud suplementarios.
Cuando las mediciones deben realizarse sobre elementos discretos, no modificables por la medida,
pueden, al menos en principio, llevarse a cabo utilizando el mismo conjunto de elementos en los
diferentes laboratorios. Ello podría implicar la circulación del mismo conjunto de elementos, a través
de muchos laboratorios, a menudo alejados entre sí, en diferentes países o continentes, con un riesgo
considerable de pérdida o daño durante el transporte. Si se utilizaran diferentes elementos
individuales en los diferentes laboratorios, su selección debe realizarse de forma que se pueda
garantizar la igualdad de los mismos, para efectos prácticos.
A la hora de seleccionar el material que representará a los diferentes niveles, debería considerarse si
éste debe ser específicamente homogeneizado antes del envío de las muestras, o si el efecto de
heterogeneidad del material debería incluirse en los valores de exactitud.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
51
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de los materiales a utilizar en un experimento de exactitud
Cuando se destine la cantidad de material a utilizar, debe considerarse la posibilidad de un derrame
accidental, errores al obtener algunos de los resultados, etc., que pueden llevar a necesitar material
extra. La cantidad de material preparado debe ser suficiente para la realización del experimento y
para contar con un excedente adecuado de reserva.
Debería ser considerado si es conveniente que los laboratorios obtengan algunos resultados
preliminares, para familiarizarse con el método de medición, antes de obtener los resultados
definitivos y si es conveniente proveerse con material adicional para este fin (no deben ser muestras
del experimento de veracidad y precisión).
Cuando un material debe homogeneizarse, se debe hacer de la forma más apropiada para dicho
material. Cuando el material a ensayar no sea homogéneo, es importante preparar las muestras de la
forma especificada den el método, comenzando preferiblemente con un lote de material comercial
para cada nivel. En el caso de materiales inestables, se deberían especificar instrucciones especiales
para su almacenamiento y tratamiento.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
52
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de los materiales a utilizar en un experimento de exactitud
Si existe algún peligro de deterioro de los materiales, una vez abierto el recipiente (por ejemplo, por
oxidación, por perdida de componentes volátiles, o por ser material higroscópico) deben utilizarse n
recipientes separados en instrucciones especiales tanto para el almacenamiento como para
tratamiento. También puede ser necesario tomar algunas precauciones para garantizar que las
muestras permanecen idénticas hasta el momento de realizar las mediciones. Si el material a medir es
una mezcla de polvos de densidades relativas diferentes, o de diferentes tamaños de grano, debe
tenerse cuidado con la posible segregación resultante de la agitación del material, por ejemplo,
durante el transporte. Cuando pueda esperarse alguna reacción con la atmosfera, las muestras pueden
ir selladas dentro de ampolletas las cueles pueden estar evacuadas o rellenas con gas inerte. Para
materiales perecederos, como alimentos o muestras de sangre, puede ser necesario su envío a los
laboratorios participantes en estado de ultracongelación, con instrucciones detalladas para su
descongelación.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
53
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de los materiales a utilizar en un experimento de exactitud
Cuando las mediciones tengan que realizarse sobre materiales sólidos que no permitan su
homogeneización (metales, caucho o textiles) y cuando las mediciones no puedan repetirse sobre el
mismo espécimen, la falta de homogeneidad del material de ensayo será una componente esencial de
la precisión de la medición y la idea de material idéntico no tendrá razón de ser. Aún así, pueden
llevarse a cabo los experimentos de precisión, pero los valores obtenidos solo pueden ser válidos para
el material particular utilizado, y así debería hacerse constar. Un uso más universal de la precisión
así obtenida sólo será aceptable si puede demostrarse que los valore no difieren significativamente
entre materiales producidos en deferentes momentos o por distintos proveedores.
En general cuando se trata de ensayos destructivos, la contribución a la variabilidad de los resultados
de ensayo, proveniente de diferencias entre las muestras sobre las que se realizan las medidas debe
ser o despreciable frente a la variabilidad del propio método de medición, o el resto reformara una
parte inherente de la variabilidad del método de medición, y así es de verdad un componente de
precisión.
Cuando los materiales bajo medición pudieran sufrir cambios con el tiempo, la duración total del
ensayo debería elegirse teniendo este factor en cuenta. Podría ser apropiado en algunos casos
especificar los momentos en los que deben efectuarse la mediciones de las muestras.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
54
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Selección de los materiales a utilizar en un experimento de exactitud
En todo lo anterior, se hace referencia a mediciones en diferentes laboratorios, lo que implica el
transporte de las muestras a tales laboratorios, pero algunas muestras no son transportables, como es
el caso de un tanque de almacenamiento de petróleo. En tales casos, la medición por diferentes
laboratorios significa que diferentes operadores son enviados junto con su equipo de medición a
realizar un ensayo in situ. En otros casos, la magnitud bajo medición puede ser transitoria o variable,
como el flujo de agua en un río, debiendo tenerse cuidado entonces de que, la diferentes mediciones
sean realizadas, en lo posible, en las mismas condiciones. No debe olvidarse que el objetivo es
determinar la capacidad de repetir la misma medida.
El establecer unos valores de precisión para un método de medición presupone o que la precisión es
independiente del material bajo ensayo, o que depende del material en forma predecible. Con algunos
métodos de medición es posible expresar la precisión sólo en una o más clases definibles de material
de ensayo. Tales datos serán únicamente una guía aproximada de la precisión para otras aplicaciones.
Más a menudo se encuentra que la precisión esta íntimamente relacionada con el nivel del ensayo, y
que la determinación de la precisión incluye el establecimiento de una relación entre la precisión y el
nivel. Así, cuando se publican niveles de precisión de un método de precisión normalizado, es
conveniente que el material utilizado en el ensayo de precisión se especifique claramente, junto con
la gama de materiales a los que dichos valores pueden aplicarse.
Para la evaluación de la veracidad, al menos uno de los materiales utilizado debería poseer un valor
de referencia aceptado. Si es presumible que la veracidad varíe con el nivel, se necesitarán materiales
con valores de referencia aceptados para distintos niveles.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
55
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Utilización de los datos de exactitud
Publicación de valores de veracidad y precisión
Cuando la finalidad de un experimento de precisión es obtener estimaciones de la desviaciones
típicas de repetibilidad y de reproducibilidad, bajo las condiciones definidas (en reproducibilidad y en
condiciones de reproducibilidad), debe utilizarse el modelo básico descrito en (1). La ISO 5725-2
proporciona un método apropiado para estimar dichas deviaciones típicas, pudiendo encontrarse un
método alternativo en la ISO 5725-5. Cuando la finalidad es obtener estimaciones de medidas
intermedias de precisión entonces debe utilizarse el modelo alternativo y los métodos dados en la ISO
5725-3.
Cada vez que se determina el sesgo del método de medición, este debería publicarse conjuntamente
con una declaración que indique respecto a que referencia se ha determinado dicho sesgo. Cuando el
sesgo varié con el nivel del ensayo, la publicación debería hacerse en forma de tabla, con indicación
del nivel, del sesgo obtenido, y la referencia utilizada en dicha determinación.
Cuando se haya realizado un experimento interlaboratorios para estimar la veracidad o la precisión,
cada laboratorio participante debería ser informado de su componente de sesgo, determinado con la
referencia a la media general. Esta información puede ser válida en el futuro, si se realizan
experimentos similares, pero no debería utilizarse a efectos de calibración.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
56
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Utilización de los datos de exactitud
Publicación de valores de veracidad y precisión
En general, es conveniente añadir al final de la sección dedicada a la precisión, una breve mención
sobre el experimento de exactitud. Se sugiere la siguiente formulación:
Los datos de exactitud han sido determinados a partir de un experimento organizado y
analizado de acuerdo con la norma ISO 5725, con un total de (p) laboratorios y (q) niveles. Los
datos de () laboratorios contenían valores anómalos. Estos valores no fueron incluidos en el
cálculo de las desviaciones típicas de repetibilidad y de reproducibilidad.
Es conveniente agregar una descripción de los materiales utilizados en el experimento de exactitud,
especialmente cuando la veracidad o la precisión dependen de los materiales.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
57
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Utilización de los datos de exactitud
Aplicaciones prácticas de valores de veracidad y precisión
Control de la aceptabilidad de resultados de ensayo. Una especificación de producto podría
requerir la repetición de mediciones, bajo condiciones de repetibilidad. La desviación estándar de
repetibilidad puede ser utilizada en tales circunstancias para verificar la aceptación de los resultados
del ensayo y decidir que acción debería tomarse si estos no fueran aceptables. Cuando tanto el
suministrador como el cliente miden el mismo material y sus resultados difieren, las desviaciones
típicas de repetibilidad y reproducibilidad pueden utilizarse para decidir si la diferencia existente es
de una magnitud previsible por el método de medición.
Estabilidad de los resultados de ensayo dentro de un laboratorio
Efectuando regularmente mediciones sobre materiales de referencia, un laboratorio puede verificar la
estabilidad de sus resultados y demostrar en forma evidente su competencia, tanto en lo que se refiere
al sesgo como a la repetibilidad de sus ensayos.
Evaluación de la capacidad técnica de un laboratorio
Los sistemas de acreditación de laboratorios cada vez más extendidos. El conocimiento de la
veracidad y la precisión de un método de medición permiten evaluar el sesgo y la repetibilidad de un
laboratorio candidato, bien utilizando materiales de referencia o bien realizando una comparación
interlaboratorios.
ISO 5725 VGJ
1. Exactitud (veracidad y precisión) ISO 5725-1
58
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
El grupo de expertos debería estar integrado por personas familiarizadas con el método de medición y
con su aplicación.
Los objetivos del grupo son:
a) Planificar y coordinar el experimento;
b) Decidir sobre el número de laboratorios, los niveles y mediciones a realizar, y el número de
cifras significativas requeridas;
c) Nombrar al responsable de las funciones estadísticas;
d) Nombrar al responsable de las funciones ejecutivas;
e) Considerar las instrucciones adicionales al método de medición normalizado, que serán
entregadas a los supervisores de los laboratorios;
f) Decidir si debe permitirse a algunos operadores (que no hayan tenido contacto con el método
por lapsos prolongados) realizar algunas mediciones extraoficiales, a fin de que recuperen
experiencia (tales mediciones no se deberán realizar nunca sobre las muestras oficiales);
g) Discutir el informe del análisis estadístico una vez finalizado el análisis de los resultados del
ensayo;
h) Establecer los valores finales para la desviación estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad;
i) Decidir si se requieren nuevas acciones para mejorar la norma en que se basa el método de
medición o con respecto a los laboratorios cuyos resultados han sido rechazados por
anómalos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
59
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
Funciones estadísticas
Al menos un miembro del grupo de expertos debe tener experiencia en diseño estadístico y en el
análisis de experimentos. Sus tareas son:
a) Contribuir con su conocimiento especializado al diseño del experimento;
b) Analizar los datos;
c) Redactar un informe y someterlo ante el grupo de expertos, siguiendo las instrucciones
contenidas en la sección El informe de las decisiones a tomar por el grupo de expertos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
60
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
Funciones estadísticas
Funciones ejecutivas
La organización real del experimento debería ser confiada a un solo laboratorio. Un miembro del
personal del laboratorio debe asumir la responsabilidad total. Esta persona será nombrada
ejecutivo(a) oficial y designado(a) por el grupo de expertos.
Las tareas del ejecutivo oficial son:
a) Conseguir la cooperación de un número requerido de laboratorios y asegurarse del nombramiento
del supervisor;
b) Organizar y supervisar la preparación de los materiales y de las muestras , así como del envío de
estas manteniendo para cada nivel una cantidad adicional, que deberá ser preparada como
material de reserva;
c) Redactar las instrucciones que cubran los puntos a) hasta h) (Diseño del experimento), y
distribuirlo entre los supervisores con la suficiente antelación como para que se hagan
comentarios o preguntas para asegurarse de que los operadores seleccionados son aquellos que
realizan habitualmente tales mediciones;
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
61
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
Funciones estadísticas
Funciones ejecutivas
d) Diseñar formularios adecuados para que el operador los utilice como registro de trabajo y para
que el supervise el informe acerca de los resultados del ensayo con el número requerido de cifras
significativas (tales formulas pueden incluir el nombre del operador, las fechas en las que las
muestras fueron recibidas y medidas, los equipos utilizados y cualquier otra información
relevante).
e) Ocuparse de todas aquellas preguntas formuladas por los laboratorios, relativas a la realización
de mediciones;
f) Cuidar el cumplimiento de la planificación temporal establecida;
g) Recopilar los formularios de datos y presentarlos al experto en estadística.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
62
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
Funciones estadísticas
Funciones ejecutivas
Supervisores
Debe hacerse responsable a un mimbro del personal de cada laboratorio participante de organizar la
realización de las mediciones de acuerdo con las instrucciones recibidas del ejecutivo(a) oficial, así
como de informar los resultados del ensayo.
Las tareas del supervisor son:
a) Asegurarse de que los operadores seleccionados son aquellos que realizan habitualmente tales
mediciones;
b) Distribuir las muestras a los operadores, de acuerdo con las instrucciones del ejecutivo(a) oficial
(y proporcionar el material para familiarizarse con el experimento, si es necesario);
c) Supervisar la ejecución de las mediciones (el supervisor no debe tomar parte en la realización de
las mediciones);
d) Asegurarse de que los operadores realizan el número requerido de mediciones;
e) Asegurarse del cumplimiento de la planificación establecida para la realización de las
mediciones;
f) Recopilar el registro de los resultados del ensayo, con el número de decimales acordado,
incluyendo cualquier anomalía o dificultad encontrada, así como los comentarios aportados por
los operadores.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
63
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
Funciones estadísticas
Funciones ejecutivas
Supervisores
El supervisor de cada laboratorio debe redactar un informe completo, el cual debería contener la
siguiente información:
a) Los resultados del ensayo, anotados por el operador de manera legible en los formularios
proporcionados para tal efecto, no transcritos o mecanografiados (como alternativa puede ser
aceptable la salida impresa de computadora o de máquina de ensayos);
b) Los valores originales observados, o las lecturas originales (en caso de que las haya), a partir de
las cuales se obtuvieron los resultados de ensayo, legiblemente anotados por el operador en los
formularios proporcionados para tal efecto, no transcritos o mecanografiados;
c) Comentarios de los operadores sobre la norma en que se basa el método de medición;
d) Información acerca de irregularidades o perturbaciones que pueden haber ocurrido durante las
mediciones, incluyendo cualquier cambio de operador que pueda haber acontecido, junto con una
indicación de las mediciones efectuadas por cada uno de los operadores, y de las razones que
hubiera por la falta de algunos resultados;
e) La fecha, o las fechas, en que se recibieron las muestras;
f) La fecha, o las fechas, en que se cada muestra fue medida;
g) Información acerca de los equipos utilizados, si es relevante;
h) Cualquier otra información relevante
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
64
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión
Funciones estadísticas
Funciones ejecutivas
Supervisores
Operadores
En cada laboratorio las mediciones se deben realizar por un operador seleccionado como
representante de entre aquellos que normalmente realizan las mediciones.
Dado que la finalidad del experimento es determinar la veracidad y precisión que la población
general de operadores obtiene trabajando con el método de medición normalizado, en general, no se
deben dar a los operadores ampliaciones suplementarias en el contenido de la norma en que se basa el
método de medición. Sin embargo, debe indicarse a los operadores que el propósito del ejercido es
descubrir hasta qué punto los resultados pueden variar en la práctica, de forma que no estén
predispuestos a manipular resultados que ellos consideren como inconsistentes.
A pesar de que normalmente los operadores no deben recibir ampliaciones suplementarias del método
de medición normalizado, debe alentárseles para que emitan comentarios acerca de la norma y, en
particular, a establecer si las instrucciones contenidas en ella son suficientemente claras y exentas de
ambigüedades.
Las tareas de los operadores son:
a) Realizar las mediciones de acuerdo con el método de medición normalizado;
b) Informar cualquier anomalía o dificultad surgida; ya que es mejor informar sobre un error, que
tener que ajustarse a los resultados del ensayo, porque la falta de uno o dos resultados no afecta
el experimento, mientras que la falta de muchos indica una deficiencia en la norma.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
65
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
El análisis de los datos, debería ser considerado como un problema estadístico a resolver por un
experto en estadística, éste involucra tres pasos sucesivos:
a) Examen crítico de los datos, a fin de identificar y tratar los datos anómalos u otras irregularidades
y problemas a conveniencia del modelo;
b) Calcular separadamente para cada nivel los valores preliminares de veracidad y precisión y los
valores de medios;
c) Establecer los valores finales de veracidad y precisión y los valores medios, incluyendo el
establecimiento de la relación entre la veracidad y precisión y el nivel m cuando el análisis indica
que puede existir tal relación.
En el análisis primero se calcula, separadamente cada nivel, mediante la estimación de:
– La varianza de repetibilidad 𝜎𝑟2
– La varianza interlaboratorios 𝜎𝐿2
– La varianza de reproducibilidad 𝜎𝑅2 = 𝜎𝐿
2 + 𝜎𝑟2
– La media m.
El análisis incluye la aplicación sistemática de pruebas estadísticas para datos anómalos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
66
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Se denomina celda del experimento de veracidad y precisión a cada combinación de un laboratorio y
un nivel. En el caso ideal, los resultados de un experimento con p laboratorios y q niveles conforman
una tabla con pq celdas, en cada una conteniendo n resultados replicados del ensayo, pudiendo
utilizarse todos ellos para obtener las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad.
Esta situación real, sin embargo, no siempre se alcanza en la práctica. Las desviaciones respecto a la
situación ideal ocurren debido a datos redundantes, datos faltantes o existencia de datos anómalos.
Datos redundantes
En ocasiones, un laboratorio, puede realizar más de los n ensayos oficialmente especificados e
informar acerca de los resultados correspondientes. En tal caso, el supervisor debe informar porqué
éstos fueron hechos y cuáles son los resultados correctos. Si la respuesta es que todos ellos son
igualmente válidos, entonces debería hacerse una selección aleatoria de tales resultados, para escoger
el número planeado de resultados para el análisis.
Datos faltantes
En otras ocasiones, algunos de los resultados pueden no existir, por ejemplo, por la pérdida de una
muestra o por un error a la hora de realizar la medición. El análisis recomendado en la lámina
anterior es tal que las celdas parcialmente vacías pueden ser consideradas mediante el procedimiento
convencional de cómputo.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
67
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Estos son valores que los resultados originales del ensayo, o contenidos en las tablas obtenidas a
partir de ellos, los cuales se desvían tanto de entradas comparables en la misma tabla, que se
consideran como totalmente incompatibles con los otros datos. La experiencia demuestra que los
datos dudosos no siempre pueden evitarse, y deben ser tratados de manera similar a la que se usa con
los datos faltantes.
Laboratorios con datos anómalos
Cuando ocurren varios resultados de ensayos anormales e inexplicables, en diferentes niveles, dentro
del mismo laboratorio, entonces dicho laboratorio puede ser considerado con datos dudosos, por tener
una varianza dentro del laboratorio demasiado alta, y/o por tener un error sistemático demasiado
grande para el nivel de sus resultados de ensayo. Puede ser razonable, por tanto, descartar algunos o
todos los datos de dicho laboratorio.
Aquí no se proporciona un prueba estadística mediante la cual pueda juzgarse a los laboratorios
sospechosos. La primera decisión debería ser responsabilidad del experto en estadística, pero todos
los laboratorios rechazados deben ser informados al grupo de expertos para una acción posterior.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
68
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Deben ser investigados y corregidos o descartados.
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
El caso ideal es el de p laboratorios, denotados por i (i=1, 2, …, p), para cada uno de ellos ensayando
q niveles, denotados por j (j=1, 2, …, q), con n réplicas en cada nivel (en cada combinación ij), lo que
da un total de pqn resultados de ensayos. Esta situación ideal no siempre se alcanza debido a
resultados faltantes o a datos dudosos, o a laboratorios con datos dudosos, o a datos erróneos. Bajo
estas condiciones, de las notaciones dadas a continuación y de los procedimientos descritos en 7.4
permiten diferenciar números de ensayos. En la siguiente figura se presentan muestras de
formularios recomendados para el análisis estadístico. Por conveniencia, éstos serán identificados
simplemente como Formularios A, B y C.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
69
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
LAMINA NULA
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
70
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
ISO 5725 VGJ
Nivel
Laboratorio 1 2 … … j … … q-1 q
1
2
…
…
…
…
i
…
…
…
yijk
…
…
p
Figura 1
Formulario A recomendado para la recopilación de datos originales
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
71
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
ISO 5725 VGJ
Nivel
Laboratorio 1 2 … … j … … q-1 q
1
2
…
…
…
…
i
…
…
…
𝒚 𝒊𝒋 …
…
p
Figura 1
Formulario B recomendado para la recopilación de los valores medios
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
72
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
ISO 5725 VGJ
Nivel
Laboratorio 1 2 … … j … … q-1 q
1
2
…
…
…
…
i
…
…
…
sij
…
…
p
Figura 2
Formulario C recomendado para la recopilación de las medias de dispersión intra celdas
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
73
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
Resultados originales del ensayo
Véase el Formulario A de la Figura 2, donde:
nij es el número de resultados de ensayo en la cadena en la celda correspondiente al
laboratorio i, al nivel j;
yijk es cualquiera de los resultados del ensayo (k= 1, 2, …, nij);
pj es el número de laboratorios que informan al menos un resultado de ensayo para el nivel
j (después de eliminar cualquier resultado identificado como dato anómalo o dato
erróneo).
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
74
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
Resultados originales del ensayo
Celdas de valores medios (Formulario B de la Figura 2)
Estas se obtienen a partir del Formulario A de la siguiente manera:
𝑦 𝑖𝑗 =1
𝑛𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑛𝑖𝑗𝑘=1 (22)
Los valores medios de las celdas deben obtenerse con un dígito significativo más que los resultados
de ensayo del Formulario A.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
75
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
Resultados originales del ensayo
Celdas de valores medios (Formulario B de la Figura 2)
Medidas de la dispersión de las celdas (Formulario C de la Figura 2)
Estas medidas se obtienen a partir del Formulario A (véase Resultados originales del ensayo) y del
Formulario B (véase Celdas de valores medios) en la forma que sigue:
Para el caso general, se usa la desviación estándar de las celdas:
𝑠𝑖𝑗 =1
𝑛𝑖𝑗−1 𝑦𝑖𝑗𝑘 −𝑦 𝑖𝑗
2𝑛𝑖𝑗𝑘=1 (23)
o de forma equivalente:
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
Resultados originales del ensayo
Celdas de valores medios (Formulario B de la Figura 2)
Medidas de la dispersión de las celdas (Formulario C de la Figura 2)
𝑠𝑖𝑗 =1
𝑛𝑖𝑗−1 𝑦𝑖𝑗𝑘
2−
1
𝑛𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑛𝑖𝑗𝑘=1
2𝑛𝑖𝑗𝑘=1 (24)
Al utilizar estas ecuaciones, debe tenerse cuidado en retener un número suficiente de dígitos en los
cálculos; es decir, cualquier valor intermedio debe calcularse al menos con el doble de dígitos que el
dato original.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
Resultados originales del ensayo
Celdas de valores medios (Formulario B de la Figura 2)
Medidas de la dispersión de las celdas (Formulario C de la Figura 2) Nota:
Si una celda ij contiene dos resultados de ensayo, la desviación estándar de la celda es:
𝑠𝑖𝑗= 𝑦𝑖𝑗1−𝑦𝑖𝑗2
2 (25)
Así, por simplicidad, pueden utilizarse diferencias absolutas en lugar de desviaciones estándar, si todas las celdas
contienen dos resultados de ensayo.
La desviación estándar debe expresarse con un digito significativo más que los resultados del
Formulario A.
Para valore de nij menores a 2, debe insertarse un guión en el Formulario C.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud Análisis estadístico de un experimento de veracidad y precisión
Consideraciones preliminares
Celdas
Datos redundantes
Datos faltantes
Datos anómalos
Laboratorios con datos anómalos
Datos erróneos
Resultados de ensayo balanceados, de nivel uniforme
Resultados originales del ensayo
Celdas de valores medios (Formulario B de la Figura 2)
Medidas de la dispersión de las celdas (Formulario C de la Figura 2)
Datos corregidos o rechazados
Como algunos de los datos pueden corregirse o rechazarse en base a los criterios haciendo énfasis al
uso de pruebas estadísticas para datos anómalos como es el caso de la Prueba de Cochran y la Prueba
de Grubbs, los valores de yijk, nij, y pj utilizados para las determinaciones finales de la veracidad y
precisión y la media pueden ser diferentes de los valores que hacen referencia a los resultados
originales del ensayo, registrados en los Formularios A, B y C de la Figura 2. De aquí que a la hora
de expresar los valores finales de veracidad y precisión, debe indicarse siempre si los datos han sido
corregidos o descartados, y qué datos son estos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
A Partir de los datos recogidos en un número específico de niveles, deben estimarse las desviaciones
estándar de repetibilidad y reproducibilidad. Debe tomarse una decisión acerca de la presencia de
determinados laboratorios o valores individuales que presenten inconsistencias con el resto de los
laboratorios o valores, ya que aquellos pueden hacer varias las estimaciones. Para ello, caben dos
aproximaciones:
a) Técnica gráfica de consistencia;
b) Pruebas numéricas de datos dudosos.
Técnica gráfica de consistencia
Se utilizan dos medidas denominadas estadísticos h y k de Mandel. Debe destacarse que además de
describir la variabilidad del método de medición ayudan en la evaluación del laboratorio.
Calcule el estadístico de consistencia interlaboratorios, h, para cada laboratorio, dividiendo la celda
de desviación (media de la celda menos la gran media para ese nivel) entre la desviación estándar de
la celda de valor medios (para ese nivel).
ℎ𝑖𝑗 =𝑦 𝑖𝑗−𝑦 𝑗
1𝑝𝑗−1
𝑦 𝑖𝑗−𝑦 𝑗2𝑝𝑗
𝑖=1
(26)
En donde 𝑦 𝑖𝑗 se define a continuación y se define en Cálculo de la media general 𝒎 .
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
80
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Calcule el estadístico de consistencia intralaboratorio, k, calculando primeramente agrupando con
desviación estándar intra-celdas:
𝑠𝑖𝑗2
𝑝𝑗
para cada nivel, y posteriormente calcule:
𝑘𝑖𝑗. =𝑠𝑖𝑗 𝑝𝑗
𝑠𝑖𝑗2 (27)
para cada laboratorio, dentro de cada nivel.
Grafique los valores 𝑘𝑖𝑗 para cada celda por orden de laboratorio, en grupos para cada nivel (y
separadamente agrupados según los diferentes niveles examinados para cada laboratorio) (véase
Figura A8).
El examen de los gráficos de h y k puede revelar que ciertos laboratorios específicos exhiben patrones
de resultados marcadamente diferentes del resto de los laboratorios en el estudio. Se indica por
variaciones intra-celdas consistentemente más altas o más bajas o por celdas de valores medios
extremas en muchos niveles. Si esto ocurre, debe contactarse con el laboratorio en cuestión para
tratar de identificar la causa de su comportamiento discrepante. En función de los hallazgos
realizados, el experto en estadística puede:
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
81
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
a) Retener por el momento los datos aportados por el laboratorio;
b) Pedir al laboratorio que repita las mediciones (si es factible);
c) Eliminar del estudio los datos del laboratorio.
Pueden aparecer diversos tipos de gráficos de h. Todos los laboratorios pueden presentar tanto
valores positivos como negativos de h en diferentes niveles del experimento. Algunos laboratorios
pueden tener tendencia a presentar o todos los valores de h positivos o todos negativos, y el número
de laboratorios con valores negativos de h es aproximadamente igual al de laboratorios con valores
positivos. Ninguno de estos casos es extraño o requiere investigación, a pesar de que el segundo
puede sugerir que existe una fuente común de sesgo de los laboratorios. Por otro lado, si todos los
valores de h de un laboratorio son de determinado signo, y todos los valores de h del resto de los
laboratorios son de signo contrario, debe hacerse una investigación. De la misma forma debe
establecerse una causa en el caso en que los valores de h para un laboratorio son extremos y parecen
depender del nivel del experimento de forma sistemática. En los gráficos de h se trazan líneas que
corresponden a los indicadores dados en la Tabla 6 y Tabla 7. Estas líneas indicadoras sirven como
guías cuando se examina el comportamiento de los datos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
82
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Si uno de los laboratorios aparece en el gráfico de k con muchos valores grandes, debe investigarse la
causa, ello indica que posee una repetibilidad más pobre que el resto de los laboratorios. Un
laboratorio puede presentar valores consistentemente pequeños de k debido a factores como el
redondeo excesivo de sus datos o una escala de medida de baja sensibilidad. En los gráficos de k se
dibujan líneas que corresponden a los indicadores dados en la Tabla 6 y Tabla 7. Estas líneas
indicadoras sirven como guías cuando se examina el comportamiento de los datos.
Cuando un gráfico de valores h o k agrupados por laboratorio sugiere que un laboratorio posee varios
valores de h o k cercanos a la línea de valor crítico, debe estudiarse el correspondiente gráfico
agrupado por niveles. A menudo un valor que parece excesivo en un gráfico agrupado por
laboratorios resulta ser razonablemente consistente con los de otros laboratorios para el mismo nivel.
Si tal valor muestra una fuerte discrepancia con los valores de los otros laboratorios, entonces debe
investigarse la causa.
Además de estos gráficos h y k , los histogramas de celdas de valores medios de celdas de rangos
pueden revelar la presencia de, por ejemplo, dos poblaciones distintas. Tal caso requeriría un
tratamiento especial puesto que el principio general que subyace bajo el método aquí descrito asume
una población unimodal simple.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Grafique los valores hij para cada celda por orden de laboratorio, en grupos para a cada nivel (y
agrupados separadamente por los diferentes niveles examinados por cada laboratorio) véase Figura
A.7.
ISO 5725 VGJ
Nivel Simple
inferior
Simple
superior
Doble
inferior
Tipo de
ensayo
1 1.36 1.95 0.502
Estadísticas
de la prueba
de Grubbs
2 1.57 1.64 0.540
3 0.86 2.50 -
4 0.91 2.47 -
5 1.70 2.10 0.501
Valores
dudosos 2.215 2.215 0.1492 Valores
críticos de
Grubbs Valores
anómalos 2.387 2.387 0.0851
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
84
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Se recomienda el siguiente procedimiento para tratar datos dudosos.
a) Las pruebas recomendadas en las siguientes dos secciones (Prueba de Cochran y Prueba de
Grubbs) son aplicadas para identificar resultados dudosos o anómalos:
Si la estadística del ensayo es menor o igual al 5% de su valor crítico, el valor bajo
prueba es aceptado como correcto;
Si la estadística del ensayo es mayor que el 5% de su valor crítico y menor o igual que
el 1% de su valor crítico, el resultado en estudio es denominado dudoso, y se indica
usando un solo asterisco;
Si el estadístico del ensayo es mayor que el 1% de su valor crítico, el resultado se
denomina valor anómalo, indicándose por medio de un doble asterisco.
a) Enseguida debe investigarse si los resultados anómalos o dudosos pueden ser explicados
mediante algún error técnico, por ejemplo:
Un descuido al realizar la medición;
Un error de cálculo;
Un error al transcribir los resultados del ensayo; o
Análisis de la muestra equivocada.
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ISO 5725-2
85
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Cuando el error se a de cálculo o de transcripción, el resultado sospechoso debe reemplazarse por el
valor correcto; cuando el error sea por analizar una muestra equivocada, el resultado debe situarse en
la celda correcta. Después de haber realizado tal corrección, debe repetirse de nuevo el examen de los
resultados anómalos y dudosos. Si la explicación del error técnico es tal que resulta imposible
reemplazar el resultados sospechoso, entonces debe descartársele por ser “genuinamente” anómalo,
que no pertenece al experimento.
a) Cuando algunos de los valores anómalos y/o dudosos permanecen sin explicación o sin
haber sido rechazados por pertenecer a un laboratorio anómalo, los resultados dudosos se
mantienen como valores correctos y los estadísticamente anómalos se descartan, a menos
que el experto en estadística, por alguna razón, decida mantenerlos;
b) Cuando los datos de una celda hayan sido eliminados del Formulario B de la Figura 2, con
base en los resultados del procedimiento anterior, los datos correspondientes deben ser
eliminados, también del Formulario C de la Figura 2, y viceversa.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Las pruebas indicadas en las siguientes dos secciones (Prueba de Cochran y Prueba de Grubbs) son
de dos tipos. La Prueba de Cochran se refiere a la variabilidad intralaboratorios y debe ser aplicada
primero, y después, debe tomarse la acción necesaria, con repetición de los ensayos si es necesario.
La otra prueba (de Grubbs) es básicamente un ensayo de la variabilidad interlaboratorios, y puede ser
también utilizada (si n > 2) en los casos en que la Prueba de Cochran haya despertado sospechas
acerca de si la alta variación intralaboratorios es atribuible a únicamente uno de los resultados del
ensayo en la celda.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Esta norma supone que, interlaboratorios, existen solamente pequeñas diferencias entre las varianzas
intralaboratorios. La experiencia, no obstante, muestra que no siempre es este el caso, y por lo tanto
se ha incluido aquí una prueba para verificar la validez de dicha suposición. Para este propósito
pueden utilizarse diferentes pruebas, pero en este caso, se seleccionó la de Cochran.
Dado un conjunto p de desviaciones estándar Si, todas obtenidas a partir del ismo número (n) de
resultados replicados, el estadístico de prueba de Cochran, C, se define como:
𝐶 =𝑠𝑚𝑎𝑥
2
𝑠𝑗2𝑝
𝑖=1
(28)
donde smax es la desviación estándar mayor dentro del conjunto.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
a) Si el estadístico de prueba menor es menor o igual al 5% de su valor crítico, el elemento
verificado se toma como correcto;
b) Si el resultado de prueba es mayor que el 5% de su valor crítico y menor o igual que el 1%
de dicho valor crítico, el elemento verificado es dudoso, y se indica por medio de un solo
asterisco;
c) Si el estadístico de prueba es mayor que el 1% de su valor crítico, el elemento se denomina
estadísticamente anómalo y se indica por medio de un doble asterisco.
Los valores críticos de la Prueba de Cochran se dan en la Tabla 4.
La Prueba de Cochran debe aplicarse al Formulario C de la Figura 2, de manera separada para cada
nivel.
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89
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
El criterio de Cochran se aplica estrictamente cuando todas las desviaciones estándar se calculan a
partir del mismo número (n) de resultados de ensayo obtenidos bajo condiciones de repetibilidad. En
la práctica, este número puede variar debido a datos faltantes o descartados. La ISO 5725 supone, no
obstante, que en un experimento bien organizado las variaciones por celda en el número de
resultados de ensayo serán limitadas y pueden ser ignoradas, y, por tanto, el criterio de Cochran se
aplica considerando que n es el número de resultados de ensayo que ocurren en la mayoría de las
celdas.
El criterio de Cochran verifica únicamente el valor más grande de un conjunto de desviaciones
estándar, siendo por ello una prueba unilateral de valores anómalos. La heterogeneidad de varianzas
puede, por supuesto, manifestarse también en el hecho de que algunas de las desviaciones estándar
tengan valores comparativamente demasiado bajos. No obstante, las desviaciones estándar de valor
pequeño pueden ser fuertemente influenciados por el grado de redondeo de los datos originales y, por
tal razón, no son de mucha confianza. Además, no parece razonable rechazar los datos de un
laboratorio por el hecho de sus resultados presenten mayor veracidad y precisión que los otros
laboratorios. De aquí que el criterio de Cochran se considere adecuado.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Un examen crítico del Formulario C de la Figura 2 puede revelar a veces las desviaciones estándar
de un laboratorio particular son menores, en todos o en la mayoría de los niveles, que las de otros
laboratorios. Esto puede indicar que un laboratorio trabaja con una desviación estándar de
repetibilidad inferior a la de los otros laboratorios, lo cual a su vez puede deberse a una mejor técnica
y equipamiento, o bien, a una aplicación modificada o incorrecta del método de medición
normalizado. Si esto ocurre, debe informarse al grupo de expertos, el cual debe decidir si tal hecho
requiere de una investigación más detallada. (Un ejemplo de este caso es el del laboratorio 2 en el
experimento descrito en A.1).
Si la mayor desviación estándar más grande es catalogada como anómala, debe entonces omitirse
dicho valor y repetir la prueba de Cochran con los valores restantes. Este proceso puede repetirse
pero puede conducir a excesivos rechazos cuando, como a veces ocurre, la hipótesis de normalidad
subyacente no se satisface suficientemente. La aplicación repetida de la prueba de Cochran se
propone aquí solamente como ayuda, ante la falta de una prueba estadística diseñada de manera
específica para hacer la evaluación conjunta de varios resultados alejados de la media. La Prueba de
Cochran no esta diseñada para este propósito y debe tenerse cuidado cundo se extraigan conclusiones.
Si dos o tres laboratorios dan resultados con desviaciones estándar elevadas, y particularmente si esto
ocurre en solamente uno de los niveles, si en diferentes niveles de un laboratorio se encuentran varios
valores dudosos o estadísticamente anómalos, puede tenerse una indicación de que la varianza
intralaboratorio es excepcionalmente alta, y de que el conjunto total de datos de dicho laboratorio
debe rechazarse.
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ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Dado un conjunto de datos xi en donde i = 1, 2, …, p, arreglados en orden ascendente, para
determinar si la observación de mayor valor es un dato anómalo utilizando la prueba de Grubbs, se
calcula la estadística de Grubbs, Gp.
𝐺𝑝 =𝑥𝑝−𝑥
𝑠 (29)
donde:
𝑥 =1
𝑝 𝑥𝑖𝑝𝑖=1 (30)
y
𝑠 =1
𝑝−1 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑝𝑖=1 (31)
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Para compartir la importancia de la observación más pequeña, se calcula el estadístico de prueba:
𝐺1 =𝑥 −𝑥1
𝑠
a) Si el valor del estadístico de prueba es menor o igual al 5% de su valor crítico, el elemento
verificado se acepta como correcto;
b) Si el valor del estadístico es mayor que el 5% de su valor crítico y menor o igual que el
1% de dicho valor crítico, el elemento verificado se denomina anómalo, y se indica por
medio de un único asterisco;
c) Si el valor del estadístico es mayor que el 1% de su valor crítico, el elemento se denomina
estadísticamente anómalo y se indica por medio de un doble asterisco.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Detección de dos observaciones anómalas
Para establecer si las dos observaciones de mayor valor son datos anómalos, se calcula el estadístico
G de Grubbs:
𝐺 =𝑠𝑝−1,𝑝
2 𝑥 −𝑥1
𝑠02 (32)
donde:
𝑠02 = 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑝𝑖=1 (33)
y
𝑠𝑝−1,𝑝 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑝−1,𝑝2𝑝−2
𝑖=1 (34)
y
𝑥 𝑝−1,𝑝 =1
𝑝−2 𝑥𝑖𝑝−2𝑖=3 (35)
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Detección de dos observaciones anómalas
Alternativamente, para verificar las dos observaciones de menor valor, calcúlese la prueba estadística
G de Grubbs
𝐺1 =𝑠1,2
2
𝑠02 (36)
donde:
𝑠1,22 = 𝑥𝑖 − 𝑠1,2
2𝑝𝑖=3 (37)
y
𝑥 1,2 =1
𝑝−2 𝑥𝑖𝑝𝑖=3 (38)
Los valores críticos para la prueba de Grubbs se presentan en Tabla 5.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Detección de dos observaciones anómalas
Aplicación de la prueba de Grubbs
Cuando se analiza un experimento de veracidad y precisión, la prueba de Grubbs puede aplicarse a:
a) Las celdas de valores medios (Formulario B de la Figura 2) para un nivel dado j, en
donde:
𝑥𝑖 = 𝑦 𝑖𝑗
y 𝑝 = 𝑝𝑗
donde j es fijo.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Detección de dos observaciones anómalas
Aplicación de la prueba de Grubbs
Tomando los datos de un nivel definido, se aplica la prueba de Grubbs para una
observación alejada de la media única a las celdas de valores medios, tal como se describe
en la sección Observación de un único dato alejado de la media. Si una de las celdas de
valores medios resulta de valor alejado de la media de acuerdo con esta prueba, debe ser
excluida, y se repite la prueba en la celda de valores medios del otro extremo (esto es, si el
mayor resulta alejado de la media, se analiza el menor valor, una vez excluido el mayor);
la prueba de Grubbs descrita en la sección Detección de dos observaciones anómalas para
dos observaciones alejadas de la media no debe ser aplicada en este caso. Si la prueba de
Grubbs no demuestra que determinada celda de valores medios contenga un valor
anómalo, debe aplicarse entonces la prueba doble de Grubbs descrita en la sección
Detección de dos observaciones anómalas.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos
Técnicas numéricas para datos anómalos
Prueba de Cochran
Prueba de Grubbs
Observación de un único dato alejado de la media
Detección de dos observaciones anómalas
Aplicación de la prueba de Grubbs
b) Un resultado único dentro de una celda, en donde la prueba de Cochran ya ha mostrado
que la celda de desviación estándar es sospechosa.
Nota: De acuerdo con la sección de lamina 72, un elemento se denomina estadístico anómalo si la
prueba estadística es mayor que el valor crítico para el 1%. Cuando se aplica primero la prueba de
Grubbs a un grupo de celdas de valores medios , se emplea el valor crítico de la Tabla 5 a la celda de
valor medio más alta usando una prueba a un nivel de 0.5% y a la celda de valor medio más baja
usando una prueba a un nivel de 0.5%. Esto lleva a una prueba del valor más extremo de celda de valor
medio al nivel del 1% de acuerdo con la sección Técnicas numéricas para datos anómalos. Si se
encuentra que la celda con la media más extrema es un estadístico anómalo, entonces se aplica la
prueba de Grubbs al otro valor extremo de la celda de valor medio. Puede, entonces, respaldarse el uso
de una prueba unilateral. Sin embargo, el procedimiento recomendado en esta norma es para ser usado
únicamente con los valores críticos presentados en la Tabla 5 (los valor críticos para pruebas bilaterales
con un nivel de significancia del 1%) de manera que todas las medias de las celdas se traten
consistentemente. Puede usarse un argumento similar para justificar el uso de valores bilaterales al 5%
en la Tabla 5 para todas las pruebas para estadísticos dudosos.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Cálculo de la media general y las varianzas
Método de análisis
El método de análisis adoptado en esta norma consiste en estimar el valor de m y la veracidad y
precisión, separadamente para cada nivel. Los resultados de los cálculos se presentan en una tabla,
para cada valor de j.
Datos básicos
Los datos básicos necesarios para los cálculos se presentan en las tres tablas mostradas en la Figura 2:
– Formulario A conteniendo los resultados originales del ensayo;
– Formulario B conteniendo las celdas de valores medios;
– Formulario C conteniendo las medidas de dispersión intra-celdas.
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Cálculo de la media general y las varianzas
Método de análisis
Datos básicos
Celdas no Vacías
Como consecuencia de la regla descritas en Técnicas numéricas para datos anómalos d), el número
de celdas no vacías a utilizar en los cálculos, para un nivel específico, será siempre el mismo en las
Formulario B y Formulario C. Puede existir una excepción si, debido a la existencia de datos
faltantes, una celda de la Formulario A contiene únicamente un resultado de ensayo, lo que de lugar a
una celda vacía en la Formulario C pero no en el Formulario B. En tal caso es posible
a) Descartar el resultado de ensayo aislado, lo que conduciría a obtener celdas vacías en el
Formulario B y Formulario C, o;
b) Si lo anterior se considera una pérdida indeseable de información, se inserta un guión en la
Formulario C.
El número de celdas no vacías puede ser diferente para diferentes niveles, de ahí el por qué del índice
j en pj.
Cálculo de la media general 𝑚
Para el nivel j, de la media general es:
𝑚 𝑗 = 𝑦 𝑖𝑗 = 𝑛𝑖𝑗𝑦 𝑖𝑗𝑝𝑖=1
𝑛𝑖𝑗𝑝𝑖=1
(39)
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100
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Cálculo de la media general y las varianzas
Método de análisis
Datos básicos
Celdas no Vacías
Cálculo de varianzas
Para cada nivel se calculan tres varianzas. Estas son la varianza de repetibilidad, la varianza
interlaboratorios y la varianza de reproducibilidad.
La varianza de repetibilidad es:
𝑠𝑟𝑗2 =
𝑛𝑖𝑗−1 𝑠𝑖𝑗2𝑝
𝑖=1
𝑛𝑖𝑗𝑝𝑖=1 𝑛𝑖𝑗−1
(40)
La varianza interlaboratorios es:
𝑠𝐿𝑗2 =
𝑠𝑑𝑗2−𝑠𝑟𝑗
2
𝑛 𝑗 (41)
donde
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Cálculo de la media general y las varianzas
Método de análisis
Datos básicos
Celdas no Vacías
Cálculo de varianzas
𝑠𝑑𝑗2 =
1
𝑝−1 𝑛𝑖𝑗 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦
2𝑝𝑖=1 =
1
𝑝−1 𝑛𝑖𝑗 𝑦 𝑖𝑗
2𝑝𝑖=1 − 𝑦 𝑗
2 (42)
y
𝑛 𝑖𝑗 =1
𝑝−1 𝑛𝑖𝑗𝑝𝑖=1 −
𝑛𝑖𝑗2𝑝
𝑖=1
𝑛𝑖𝑗𝑝𝑖=1
(43)
Estos cálculos están ilustrados en los ejemplos incluidos en A.1 y A.3 del Anexo A.
Para el caso particular en que 𝑛𝑖𝑗 = 𝑛 = 2 pueden utilizarse las fórmulas más sencillas dando:
𝑠𝑟𝑗2 =
1
2𝑝 𝑦𝑖𝑗 1 − 𝑦𝑖𝑗 2
2𝑝𝑖=1
𝑠𝐿𝑗2 =
1
𝑝−1 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑗
2𝑝𝑖=1 −
𝑠𝑟𝑗2
2
Su utilización se ilustra por medio del ejemplo que se incluye en A.2.
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102
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Cálculo de la media general y las varianzas
Método de análisis
Datos básicos
Celdas no Vacías
Cálculo de varianzas
Cuando, debido a efectos aleatorios, se obtenga un valor negativo para 𝑠𝐿𝑗2 de los cálculos anteriores,
debe asumirse un valor cero.
La varianza de reproducibilidad es
𝑠𝑅𝑗2 = 𝑠𝑟𝑗
2 + 𝑠𝐿𝑗2
(44)
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ISO 5725-2
103
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Cálculo de la media general y las varianzas
Método de análisis
Datos básicos
Celdas no Vacías
Cálculo de varianzas
Dependencias de las varianzas en m
En seguida, debe investigarse si la veracidad y precisión depende de m y, si es así, debe determinarse
la relación funcional existente.
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
No siempre debe tomarse por un hecho que exista una relación funcional regular entre la veracidad y
precisión y m. En particular, cuando la heterogeneidad del material forme parte inseparable de la
variabilidad de los resultados del ensayo, existirá una relación funcional sólo si dicha heterogeneidad
es una función regular del nivel m. Con materiales sólidos de diferente composición y procedentes de
diferentes procesos productivos, no está asegurada la existencia de una relación funcional regular.
Este punto debe quedar resuelto antes de aplicar el procedimiento siguiente. Alternativamente,
pueden establecerse valores de veracidad y precisión diferentes para cada material investigado.
Los razonamientos y procedimientos de cálculo presentados a continuación son de aplicación tanto a
las desviaciones estándar de repetibilidad, pero aquí se presentan únicamente para repetibilidad, en
aras de la brevedad.
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104
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Se considerarán solamente tres tipos de relaciones:
– I.: 𝑠𝑟 = 𝑏𝑚 (línea recta que pasa por el origen);
– II.: 𝑠𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑚 (línea recta con ordenada positiva que pasa por el origen);
– III.: lg𝑠𝑟 = 𝑐 + 𝑑lg𝑚 (o 𝑠𝑟 = 𝐶𝑚𝑑); 𝑑 ≤ 1 (relación exponencial).
Es de esperarse que en la mayoría de los casos al menos una de estas formulas proporcione un ajuste
satisfactorio. Sí no es así, el experto estadístico al cargo del análisis debe buscar una solución
alternativa. Para evitar confusiones, las constantes a, b, c, C y d que intervienen en estas ecuaciones
pueden distinguirse por medio de subíndices, ar, br, … para repetibilidad y aR, bR, … para
reproducibilidad, pero estos últimos se omiten aquí para, simplificar las notaciones. Asimismo, sr se
abrevia simplemente como s, permitiendo así un sufijo para el nivel j.
En general 𝑑 > 0, por lo que las relaciones I y III dan como resultado s = 0 para m = 0, lo que puede
ser inaceptable desde el punto de vista experimental. No obstante, al informar sobre los datos de
veracidad y precisión, debe indicarse claramente que son aplicables sólo dentro de los niveles
cubiertos por el experimento de veracidad y precisión interlaboratorios.
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105
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Para a = 0 y d = 1, las tres relaciones anteriores son idénticas; cuando a es próximo a cero y/o d es
próximo a la unidad, dos de ellas, o las tres, darán ajustes prácticamente equivalentes y, en tal caso,
se preferirá la relación Tipo I porque permitirá afirmar sencillamente que:
“Dos resultados de ensayo se consideran sospechosos cuando difieren entre sí en más de un (100 b)%”.
En la terminología estadística, esta afirmación indica que el coeficiente de variación 100𝑠
𝑚 es
constante para todos los niveles.
Si en un diagrama de sj contra 𝑚 𝑗, o en uno de lgsj contra lg𝑚 𝑗, se encuentra que el conjunto de
puntos es razonablemente cercano a una línea recta, una línea dibujada a mano puede proporcionar
una solución satisfactoria; pero si por alguna razón se prefiere un método numérico de ajuste, se
recomienda el procedimiento siguiente para las relaciones Tipos I y II, y el de dos párrafos adelante a
esta para la relación Tipo III.
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106
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Desde un punto de vista estadístico, el ajuste de una línea recta se complica por el hecho de que tanto
𝑚 𝑗 como sj son estimadores y, por tanto, están sujetos a error. Pero como la pendiente b es
normalmente pequeña (del orden 0.1 o menor), los errores en 𝑚 tienen poca influencia,
predominando los errores de estimación de s.
Una buena estimación de los parámetros de la línea de regresión requiere una regresión ponderada ya
que el error típico de s es proporcional al valor predicho de sj (𝑠 𝑗).
Los factores de ponderación deben ser proporcionales a 1
𝑠 𝑗2, donde 𝑠 𝑗 es la desviación estándar de
repetibilidad predicha para el nivel j. No obstante, 𝑠 𝑗 depende de parámetros que aún deben ser
calculados.
Un procedimiento matemáticamente correcto para hallar los estimadores correspondientes a los
mínimos cuadrados ponderados de los residuos puede ser complejo. Se recomienda el procedimiento
siguiente, que ha demostrado ser satisfactorio en la práctica.
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107
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Con el factor de ponderación 𝑊𝑗 =1
𝑠 𝑁𝑗2, donde N = 0, 1, 2, …, para sucesivas iteraciones, las
fórmulas calculadas son:
𝑇1 = 𝑊𝑗
𝑗
𝑇2 = 𝑊𝑗𝑚 𝑗𝑗
𝑇3 = 𝑊𝑗𝑚 𝑗2
𝑗
𝑇4 = 𝑊𝑗𝑠𝑗𝑗
𝑇5 = 𝑊𝑗𝑚 𝑗𝑠𝑗𝑗
Entonces, para la relación Tipo I, (s = bm), el valor de 𝑏 =𝑇5
𝑇3 .
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Para la relación Tipo II (𝑠𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑚):
𝑎 =𝑇3𝑇4−𝑇2𝑇5
𝑇1𝑇3−𝑇22 (45)
𝑏 =𝑇1𝑇5−𝑇2𝑇4
𝑇1𝑇3−𝑇22 (46)
Para la relación Tipo I, la sustitución algebraica de los factores de ponderación 𝑤𝑗 =1
𝑠 𝑗2 por
𝑠 𝑗 = 𝑏𝑚 𝑗 conduce a la expresión simplificada:
𝑏 =
𝑠𝑗
𝑚 𝑗𝑗
𝑞 (47)
no siendo necesaria iteración alguna.
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ISO 5725-2
109
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Para la relación Tipo II, los valores iniciales 𝑠 0𝑗 son los valores originales de s obtenidos por los
procedimientos explicados en Cálculo de la media general y las varianzas. Estos valores son
utilizados para calcular:
𝑤0𝑗 =1
𝑠 0𝑗2 (j = 1, 2, …, q)
y para calcular a1 y b1 como en lámina 95.
Esto da por resultado:
𝑠 𝑖𝑗 = 𝑎1 + 𝑏1𝑚 𝑗
Los cálculos deben repetirse con 𝑤1𝑗 =1
𝑠 1𝑗2 para obtener:
𝑠 2𝑗 = 𝑎2 + 𝑏2𝑚 𝑗
El mismo procedimiento puede repetirse ahora una vez más con los factores de ponderación
𝑤2𝑗 =1
𝑠 2𝑗2 obtenidos de tales ecuaciones, pero esto conduciría a cambios muy poco importantes. El
paso 𝑤0𝑗 a 𝑤1𝑗 es efectivo para eliminar errores importantes en la ponderación, y las ecuaciones para
𝑠 2𝑗 deben considerarse como el resultado final.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
110
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
El error típico de lgs es independiente de s y, por tanto, una generación no ponderada de lgs sobre
lg𝑚 resulta apropiada.
Para la relación Tipo III, las fórmulas de cálculo son:
𝑇1 = lg𝑚 𝑗𝑗
𝑇2 = (lg𝑚 𝑗)2
𝑗
𝑇3 = lg𝑠𝑗𝑗
𝑇4 = lg𝑚 𝑗 lg𝑠𝑗𝑗
y de aquí
𝑐 =𝑇2𝑇3−𝑇1𝑇4
𝑞𝑇2−𝑇12 (48)
𝑑 =𝑞𝑇4−𝑇1𝑇3
𝑞𝑇2−𝑇12 (49)
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ISO 5725-2
111
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
A continuación se presentan una serie de ejemplos de las relaciones de ajuste Tipos I, II y III
aplicadas al mismo conjunto de datos. Estos datos han sido tomados de un caso de estudio de A.3 y se
utilizan aquí únicamente para ilustrar el procedimiento numérico, siendo analizados posteriormente
en A.3.
Un ejemplo de la relación de ajuste Tipo I se muestra en la Tabla 1.
Un ejemplo de la relación de ajuste Tipo II se muestra en la Tabla 2 (𝑚 𝑗, 𝑠𝑗 como en lámina anterior).
Un ejemplo de la relación de ajuste Tipo III se muestra en la Tabla 3.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
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112
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Tabla 1 – Relación Tipo I: 𝑠𝑟 = 𝑏𝑚
ISO 5725 VGJ
𝑚 𝑗
𝑠 𝑗 3.94
0.092
8.28
0.179
14.18
0.127
15.59
0.337
20.41
0.393
𝑠𝑗
𝑚 𝑗 0.0234 0.0216 0.0089 0.0216 0.0193
𝑏 =
𝑠𝑗𝑚 𝑗
𝑞
0.0948
5= 0.019
𝑠 = 𝑏𝑚 0.075 0.157 0.269 0.296 0.388
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
113
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Tabla 2 – Relación Tipo II: 𝑠𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑚
ISO 5725 VGJ
𝑊0𝑗 118 31 62 8.8 6.5
𝑠1 = 0.058 + 0.0090𝑚
𝑠 1𝑗
𝑊1𝑗
0.093
116
0.132
57
0.185
29
0.197
26
0.240
17
𝑠2 = 0.030 + 0.0156𝑚
𝑠 2𝑗
𝑊2𝑗
0.092
118
0.159
40
0.251
16
0.273
13
0.348
8
𝑠3 = 0.032 + 0.0154𝑚
𝑠 3𝑗a 0.093 0.160 0.251 0.273 0.348
Nota: Los valores de los factores de ponderación no son críticos, son
suficientes dos dígitos significativos.
a La diferencia respecto a s2 es despreciable
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
114
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Establecimiento de la relación funcional existente entre los valores de veracidad y precisión y el
nivel medio m
Tabla 3 – Relación Tipo III: lg 𝑠𝑟 = 𝑐 + 𝑑 lg 𝑚
ISO 5725 VGJ
lg 𝑚 𝑗
lg 𝑠0𝑗 +0.595
-1.036
+0.918
-0.747
+1.152
-0.896
+1.193
-0.472
+1.310
-0.406
lg 𝑠 = −1.5065 + 0.772lg 𝑚 o 𝑠 = 0.031𝑚0.77
s 0.089 0.158 0.239 0.257 0.316
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
115
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Nota La Figura 3 ilustra en forma de diagrama de flujo el procedimiento aquí descrito.
1. Se recogen todos los resultados de ensayo posibles en un formulario, el Formulario A de la
Figura 2. Se recomienda dividir esta forma en p filas, denotadas por i = 1, 2, …, p (representando
los p laboratorios que han contribuido con los datos) y q columnas, denotadas por j = 1, 2, …, q
(representando los q niveles en orden creciente).
En el experimento de nivel uniforme los resultados de ensayo de una celda del Formulario A no
necesitan distinguirse unos de otros, pudiendo introducirse en cualquier orden.
2. Se inspecciona el Formulario A para detectar cualquier irregularidad obvia; se investiga y, si es
necesario, se descarta cualquier dato obviamente erróneo (por ejemplo, datos fuera del intervalo
de medición del instrumento o datos imposibles de obtener por razones técnicas) y se informa al
grupo de expertos. A veces es evidente de inmediato que los resultados de ensayo de un
laboratorio en particular o los contenidos en una celda en concreto se encuentran en un nivel
inconsistente con los otros datos. Los datos tan obviamente discordantes deben descartarse
inmediatamente, y debe informarse al grupo de expertos para consideraciones posteriores (véase
Informe del experto en estadística).
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ISO 5725-2
116
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
3. A partir del Formulario A, corregida cuando sea necesario como se indica en el párrafo anterior,
calcule los datos del Formulario B que contiene las celdas de valores medios y los del
Formulario C que contiene medidas de la dispersión intra-celdas.
Cuando una celda en el Formulario A contiene únicamente un resultado de ensayo, debe usarse
una de las opciones de la sección Celdas no vacías.
4. Se preparan los gráficos de h y k de Mandel, tal como se describe en la sección Técnica gráfica
de consistencia, y se examina la consistencia de sus datos. Estos gráficos pueden indicar que tan
adecuados son los datos para usarse en análisis posteriores, la presencia de posibles datos
anómalos o de laboratorios anómalos. No obstante, no se toma ninguna decisión definitiva en
este paso, la cual debe retrasarse hasta completar los pasos 5 a 9 (siguientes 5 pasos).
5. Se inspeccionan los Formularios B y C (véase figura 2), nivel por nivel, para detectar posibles
valores dudosos y/o estadísticamente anómalos (véase Técnicas numéricas para datos
anómalos). Se aplican las pruebas estadísticas presentadas en la sección Examen de los
resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos a todos los
elementos sospechosos, marcando los dudosos con un solo asterisco y estadísticamente anómalos
con un doble asterisco. Si no existen valores dudosos o estadísticamente anómalos, se ignoran los
pasos cinco pasos siguientes y se procede directamente con el paso 11.
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117
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
6. Se investiga si existe o puede existir alguna explicación técnica para los valores dudosos y/o
estadísticamente anómalos y, si es posible, se verifica tal explicación. Se corrigen o descartan,
según se requiera, aquellos valores dudosos y/o estadísticamente anómalos que hayan sido
explicados satisfactoriamente, y se aplican las correspondientes correcciones a las formas. Si no
existen valores dudosos y/o estadísticamente anómalos que hayan quedado sin explicación, se
ignoran los cuatro pasos siguientes y se procede directamente con el paso 11.
Nota Un gran número de valores dudosos y/o estadísticamente anómalos puede indicar una inhomogeneidad
de varianza pronunciada, o diferencias pronunciadas interlaboratorios, y, por tanto, puede generar dudas
sobre la validez del método de medición. Este hecho debe comunicarse al grupo de expertos.
7. Si la distribución de los valores dudosos o estadísticamente anómalos contenidos en los
Formularios B o C, los cuales no pueden ser explicados, no sugieren la existencia de ningún
laboratorio anómalo (véase sección Laboratorios con datos anómalos), se ignora el paso
siguiente y se procede directamente al paso 9.
8. Si la evidencia en contra de algún, o algunos laboratorios, anómalos es lo suficientemente fuerte
como para justificar el rechazo de algunos o todos los datos de tal o tales laboratorios, entonces
deben descartarse tales datos e informar al grupo de expertos.
La decisión de rechazar algunos o todos los datos de un laboratorio en particular es
responsabilidad del experto en estadística encargado de realizar el análisis, pero éste debe
informar al grupo de expertos para consideraciones posteriores (véase Informe del experto en
estadística).
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ISO 5725-2
118
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
9. Si permanecen algunos valores dudosos y/o estadísticamente anómalos sin que exista una
explicación o hayan sido atribuidos a un laboratorio anómalo, descártense los valores
estadísticamente anómalos pero manténganse los valores dudosos.
10. Si en los pasos previos ha sido rechazada alguna entrada en el Formulario B, entonces la
correspondiente entrada en el Formulario C debe ser también rechazada, y viceversa.
11. A partir de las entradas mantenidas como correctas en los Formularios B y C, se calcula, por los
procedimientos explicados en la sección Cálculo de la media general y de las varianzas, para
cada nivel separadamente, el nivel medio 𝑚 𝑗 las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad.
12. Si el experimento solamente utilizaba un nivel simple, o si se decidió que las desviaciones
estándar de repetibilidad y de reproducibilidad debían darse separadamente para cada nivel
(véase primer párrafo de la sección Establecimiento de la relación funcional existente entre los
valores de veracidad y precisión y el nivel medio m) y no como funciones del nivel, deben
ignorarse los siguientes pasos 13 al 18 y proceder directamente con el paso 19.
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119
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
13. Se dibuja sj frente 𝑚 𝑗 a y se juzga a partir del gráfico obtenido si s depende de m o no. Si se
considera que s depende de m, se ignora el paso 14 siguiente y se aplica el paso 15. S se
considera que s es independiente de m, continuar con el paso 14. Si existe alguna duda, es
preferible aplicar ambos pasos y dejar que decida el grupo de expertos. No existe un ensayo
estadístico apropiado para resolver este problema, pero los expertos técnicos familiarizados con
el método de medición deben poseer suficiente experiencia como para tomar una decisión.
14. Se utiliza 1
𝑞 𝑠𝑗 = 𝑠𝑟 como valor final de la desviación típica de repetibilidad. Se ignoran los
pasos para q de los pasos 15 al 18 y se procede directamente con el paso 19.
15. A partir del gráfico del paso 13 se juzga si la relación existente entre s y m puede representarse
mediante una línea recta y, si es así, si la relación Tipo I (s = bm) o la relación Tipo II
(s = a + bm) es apropiada (véase lámina 92). Se determina el parámetro b, o los parámetros a y b,
por el procedimiento descrito en lámina 95. Si la relación lineal se considera satisfactoria, se
ignora el paso 16 y se procede directamente con el 17. Si no es así, proceder con el paso 16.
16. Se dibuja lg sj frente a lg 𝑚 𝑗 y se juzga si la relación existente entre lg sj y lg 𝑚 𝑗 puede ser
razonablemente representada mediante una línea recta. Si el resultado se considera satisfactorio,
se ajusta la relación Tipo III (lg s = c + d lg m) utilizando el procedimiento descrito en lámina
99.
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ISO 5725-2
120
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
17. Si en los pasos 15 o 16 se ha establecido una relación satisfactoria, los valores finales de sr (o sR)
serán los valores afinados obtenidos a partir de dicha relación para valores dados de m. Ignorar el
paso 18 y proceder con el paso 19.
18. Si no se ha obtenido una relación satisfactoria en los pasos 15 o 16, el experto estadístico debe
decidir si puede establecerse alguna otra relación entre s y m o, alternativamente, si los datos son
tan irregulares, que el establecimiento de una relación funcional se considera imposible.
19. Se prepara un informe presentando los datos básicos y los resultados y conclusiones del análisis
estadístico, y se presenta al grupo de expertos. Las presentaciones gráficas de la sección Técnica
gráfica de consistencia pueden ser útiles a la hora de presentar la consistencia o la variabilidad
de los resultados.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
121
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo de los principales pasos en el análisis estadístico
ISO 5725 VGJ
Si ¿Existen alguna explicación
técnica para los dudosos o
anómalos?
¿La distribución de los dudosos o
anómalos que no tienen una explicación
indican la existencia de un laboratorio
anómalo?
¿Quedan aún dudosos o anómalos
sin explicación?
1
No
No
No
Si
Si
Si
Descartar o corregir esos
elementos corregidos
Descartar algunos o
todos los datos
Descartar anómalos
Descartar dudosos
2
Si ¿Se han descartado entradas
en los Formularios B o C?
¿A sido utilizado un solo nivel o se ha
decidido evaluar estándar sr y sR para cada
nivel?
No
No
Si
Descartar la correspondiente entrada en los
Formularios B o C
2
Calcular para cada nivel de forma separada, usando los
procedimientos establecidos: media, m, repetibilidad de la
desviación estándar sr, reproducibilidad de la desviación
estándar sR lamina 86
No
3
4
Si ¿Es sr y sR aparentemente
independiente de m?
No
Calcular los valores de sr , sR y m para
aplicarlos a todos los valores de m 3
4
¿Puede la relación entre sr o
sR y m ser considerada
lineal?
Reportar el resultado al grupo de expertos
¿Puede la relación entre
lgsr o lgsR y lgm ser
considerada lineal?
¿Puede ser establecida
alguna otra relación entre
lgsr o lgsR y lgm?
No
No
No
Si
Si
Obtener la relación lineal aplicando el
cálculo de lámina 91
Si
Calcular los valores de sr , sR y m para
aplicarlos a todos los valores de m
Obtener la relación lineal aplicando el
cálculo de lámina 91
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
122
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo de los principales pasos en el análisis estadístico
ISO 5725 VGJ
Formulario A completo
¿Existen
irregularidades
obvias?
Descartar datos
discordantes
Si
No
Calcular Formulario B y Formulario C
Preparar las gráficas h y k de Mandel
¿Existen dudosos o anómalos
en los Formulario B o
Formulario C? Pruebas 1
Si
No
2
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
123
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo de los principales pasos en el análisis estadístico
ISO 5725 VGJ
Si ¿Existen alguna
explicación técnica para
los dudosos o anómalos?
¿La distribución de los
dudosos o anómalos que no
tienen una explicación indican
la existencia de un laboratorio
anómalo?
¿Quedan aún dudosos o
anómalos sin explicación?
1
No
No
No
Si
Si
Si
Descartar o corregir esos
elementos corregidos
Descartar algunos
o todos los datos
Descartar anómalos
Descartar dudosos
2
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
124
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo de los principales pasos en el análisis estadístico
ISO 5725 VGJ
Si ¿Se han descartado
entradas en el
Formulario B o
Formulario C?
¿A sido utilizado un solo nivel o
se ha decidido evaluar estándar
sr y sR para cada nivel?
No
No
Si
Descartar la correspondiente
entrada en el Formulario B o
Formulario C
2
Calcular para cada nivel de forma separada,
usando los procedimientos establecidos:
media, m, repetibilidad de la desviación
estándar sr, reproducibilidad de la desviación
estándar sR lamina 86
No
3
4
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
125
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo de los principales pasos en el análisis estadístico
ISO 5725 VGJ
Si ¿Es sr y sR aparentemente
independiente de m?
No
Calcular los valores de sr , sR y m para
aplicarlos a todos los valores de m 3
4
¿Puede la relación entre sr o
sR y m ser considerada
lineal?
Reportar el resultado al grupo de expertos
¿Puede la relación entre
lgsr o lgsR y lgm ser
considerada lineal?
¿Puede ser establecida
alguna otra relación entre
lgsr o lgsR y lgm?
No
No
No
Si
Si
Obtener la relación lineal aplicando el
cálculo de lámina 91
Si
Calcular los valores de sr , sR y m para
aplicarlos a todos los valores de m
Obtener la relación lineal aplicando
el cálculo de lámina 91
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
126
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo para el análisis estadístico aplicando pruebas de Cochran y Grubbs
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
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– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo para el análisis estadístico aplicando pruebas de Cochran y Grubbs
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
128
– Consideraciones de planificación del experimento y la estimación de la exactitud
Procedimiento paso a paso para el análisis estadístico
Diagrama de flujo para el análisis estadístico aplicando pruebas de Cochran y Grubbs
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
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129
– El informe y las decisiones a tomar por el grupo de expertos
Informe del experto en estadística
Una vez completado el análisis estadístico, el experto en estadística debería redactar un informe y
someterlo al grupo de expertos. Dicho informe debería incluir la siguiente información:
a) El conjunto de las observaciones recibidas de los operadores y/o supervisores, respecto al
método de medición a normalizar;
b) Listado de los laboratorios que han sido rechazados en los pasos 2 al 8, junto con las
razones de su rechazo;
c) Conjunto de los valores anómalos que fueron descubiertos, y si estos valores fueron
explicados y corregidos, o descartados;
d) Un formulario con los resultados finales 𝑚 𝑗 , sr, sR, un informe con las conclusiones
alcanzadas en los pasos 13, 15 o 16, ilustrado mediante uno de los gráficos recomendados en
dichos pasos;
e) El Formulario A, Formulario B, Formulario C (Figura 2) utilizados en el análisis
estadístico, posiblemente como anexo.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
130
– El informe y las decisiones a tomar por el grupo de expertos
Informe del experto en estadística
Decisiones a tomar por el grupo de expertos
El grupo de expertos debe discutir el informe y tomar decisiones respecto a las siguientes cuestiones:
a) ¿Son los resultados discordantes, valores dudosos o anómalos, si existen, debido a defectos
en la descripción del método de medición a normalizar?;
b) ¿Qué acción debe tomarse respecto a los laboratorios rechazados por anómalos?;
c) ¿Los resultados de los laboratorios anómalos y/o los comentarios recibidos de los operadores
y supervisores indican la necesidad de mejorar el método de medición a normalizar? Si es
así, ¿cuáles son las mejoras requeridas?;
d) ¿Justifican los resultados del experimento de veracidad y precisión el establecimiento de
valores de desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad? En este caso,
¿cuáles son los valores, en qué forma deberían publicarse y en qué zona se aplican los datos
de veracidad y precisión?.
Informe completo
El director ejecutivo debe preparar un informe, para su aprobación por el grupo de expertos, que
incluya las razones justificadas del trabajo y cómo se organizó el mismo, junto con el informe del
experto estadístico y las conclusiones obtenidas. A menudo es útil incluir alguna presentación gráfica
de la consistencia o variabilidad observadas. El informe debe circular entre todos aquellos
responsables de autorizar el trabajo y entre otras posibles partes interesadas.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
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131
– Tablas estadísticas
Tabla 4. Valores críticos para la prueba de Cochran
ISO 5725 VGJ
p n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5%
2 - - 0.995 0.975 0.979 0.939 0.959 0.906 0.937 0.877
3 0.0993 0.967 0.942 0.871 0.883 0.798 0.834 0.746 0.793 0.707
4 0.968 0.906 0.864 0.768 0.781 0.684 0.721 0.629 0.676 0.590
5 0.928 0.841 0.788 0.684 0.696 0.598 0.633 0.544 0.588 0.506
6 0.883 0.781 0.722 0.616 0.626 0.532 0.564 0.480 0.520 0.445
7 0.838 0.727 0.664 0.561 0.568 0.480 0.508 0.431 0.466 0.397
8 0.794 0.680 0.615 0.516 0.521 0.438 0.463 0.391 0.423 0.360
9 0.757 0.638 0.573 0.478 0.481 0.403 0.425 0.358 0.387 0.329
10 0.718 0.602 0.536 0.445 0.447 0.373 0.393 0.331 0.357 0.303
11 0.684 0.570 0.504 0.417 0.418 0.348 0.366 0.308 0.332 0.281
12 0.653 0.541 0.475 0.392 0.392 0.326 0.343 0.288 0.310 0.262
13 0.624 0.515 0.450 0.371 0.369 0.307 0.322 0.271 0.291 0.243
14 0.599 0.492 0.427 0.352 0.349 0.291 0.304 0.255 0.274 0.232
15 0.575 0.471 0.407 0.335 0.332 0.276 0.288 0.242 0.259 0.220
16 0.553 0.452 0.388 0.319 0.316 0.262 0.274 0.230 0.246 0.208
17 0.532 0.434 0.372 0.305 0.301 0.250 0.261 0.219 0.234 0.192
18 0.514 0.418 0.356 0.293 0.288 0.240 0.249 0.209 0.223 0.189
19 0.496 0.403 0.343 0.281 0.276 0.230 0.238 0.200 0.214 0.181
20 0.480 0.389 0.330 0.270 0.265 0.220 0.229 0.192 0.205 0.174
21 0.465 0.377 0.318 0.261 0.255 0.212 0.220 0.185 0.197 0.167
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
132
– Tablas estadísticas
Tabla 4. Valores críticos para la prueba de Cochran
ISO 5725 VGJ
p n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5%
22 0.450 0.365 0.307 0.252 0.246 0.204 0.212 0.178 0.189 0.160
23 0.437 0.354 0.297 0.243 0.238 0.197 0.204 0.172 0.182 0.155
24 0.425 0.343 0.287 0.235 0.230 0.191 0.197 0.166 0.176 0.149
25 0.413 0.334 0.278 0.228 0.222 0.185 0.190 0.160 0.170 0.144
26 0.402 0.325 0.270 0.221 0.215 0.179 0.184 0.155 0.164 0.140
27 0.391 0.316 0.262 0.215 0.209 0.173 0.179 0.150 0.159 0.135
28 0.382 0.308 0.255 0.209 0.202 0.168 0.173 0.146 0.154 0.131
29 0.372 0.300 0.248 0.203 0.196 0.164 0.168 0.142 0.150 0.127
30 0.363 0.293 0.241 0.198 0.191 0.159 0.164 0.138 0.145 0.124
31 0.355 0.286 0.235 0.193 0.186 0.155 0.159 0.134 0.141 0.120
32 0.347 0.280 0.229 0.188 0.181 0.151 0.155 0.131 0.138 0.117
33 0.339 0.273 0.224 0.184 0.177 0.147 0.151 0.127 0.134 0.114
34 0.332 0.267 0.218 0.179 0.172 0.144 0.147 0.124 0.131 0.111
35 0.325 0.262 0.213 0.175 0.168 0.140 0.144 0.121 0.127 0.108
36 0.318 0.256 0.208 0.172 0.165 0.137 0.140 0.118 0.124 0.106
37 0.312 0.251 0.204 0.168 0.161 0.134 0.137 0.116 0.121 0.103
38 0.300 0.246 0.200 0.164 0.157 0.131 0.134 0.113 0.119 0.101
39 0.300 0.242 0.196 0.161 0.154 0.129 0.131 0.111 0.116 0.099
40 0.294 0.237 0.192 0.158 0.151 0.126 0.128 0.108 0.114 0.097
p = número de laboratorios a un nivel dado
n = número de resultados de ensayo por celda
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
133
– Tablas estadísticas
Los valores críticos para la prueba de Grubbs se incluyen en la Tabla 5. Para la prueba de Grubbs
para una única observación anómala, los valores anómalos y los dudosos dan lugar a valores un 1% y
un 5% respectivamente mayores que los valores críticos tabulados. Para la prueba de Grubbs para
dos observaciones anómalas, los valores anómalos y los dudosos dan lugar a valores un 1% y un 5%
respectivamente más pequeños que los valores críticos tabulados
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
134
– Tablas estadísticas
Tabla 5. Valores críticos para la prueba de Grubbs
ISO 5725 VGJ
p
Uno más grande y
uno más pequeño
Dos más grandes o
dos más pequeños
˃ 1% ˃ 5% ˂ 1% ˂ 5%
3 1.155 1.155 - -
4 1.496 1.481 0.0000 0.0002
5 1.764 1.715 0.0018 0.0090
6 1.973 1.887 0.0116 0.0349
7 2.139 2.020 0.0308 0.0708
8 2.274 2.126 0.0563 0.1101
9 2.387 2.215 0.0851 0.1492
10 2.482 2.290 0.1150 0.1864
11 2.564 2.355 0.1148 0.2213
12 2.636 2.412 0.1738 0.2537
13 2.699 2.462 0.2016 0.2836
14 2.755 2.507 0.2280 0.3112
15 2.806 2.549 0.2530 0.3367
16 2.852 2.585 0.2767 0.3603
17 2.894 2.620 0.2990 0.3822
18 2.932 2.651 0.3200 0.4025
19 2.968 2.681 0.3398 0.4214
20 3.001 2.709 0.3585 0.4391
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
135
– Tablas estadísticas
Tabla 5. Valores críticos para la prueba de Grubbs
ISO 5725 VGJ
p
Uno más grande y
uno más pequeño
Dos más grandes o dos
más pequeños
˃ 1% ˃ 5% ˂ 1% ˂ 5%
21 3.031 2.733 0.3761 0.4556
22 3.060 2.758 0.3927 0.4711
23 3.087 2.781 0.4085 0.4857
24 3.112 2.802 0.4234 0.4994
25 3.135 2.822 0.4376 0.5123
26 3.157 2.841 0.4510 0.5245
27 3.178 2.859 0.4638 0.5360
28 3.199 2.876 0.4759 0.5470
29 3.218 2.893 0.4875 0.5574
30 3.236 2.908 0.4985 0.5672
31 3.253 2.924 0.5091 0.5766
32 3270. 2.938 0.5192 0.5856
33 3.286 2.952 0.5288 0.5941
34 3.301 2.965 0.5381 0.6023
35 3.316 2.979 0.2569 0.6101
36 3.330 2.991 0.5554 0.6175
37 3.343 3.003 0.5636 0.6247
38 3.356 3.014 0.5714 0.6316
39 3.369 3.025 0.5789 0.6382
40 3.381 3.036 0.5862 0.6445
p = número de laboratorios a un nivel dado
NOTA Los valores críticos proporcionados en
esta Tabla 5 son adecuados cuando se requieren
pruebas bilaterales. Son los valores críticos
requeridos por el procedimiento para la
aplicación de la prueba de datos anómalos de
Grubbs. Se han derivado a partir de valores
críticos de las pruebas unilaterales.
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
136
– Tablas estadísticas
En las Tablas 6 y 7 siguientes se incluyen los indicadores para los estadísticos h y k de Mandel.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
137
– Tablas estadísticas
Tabla 6. Indicadores para los estadísticos h y k de Mandel, con un nivel de significancia del 1%
ISO 5725 VGJ
p h
k
n
2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1.15 1.71 1.64 1.58 1.53 1.49 1.46 1.43 1.41 1.39
4 1.49 1.91 1.77 1.67 1.60 1.55 1.51 1.48 1.45 1.43
5 1.72 2.05 1.85 1.73 1.65 1.59 1.55 1.51 1.48 1.46
6 1.87 2.14 1.90 1.77 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.47
7 1.98 2.20 1.94 1.79 1.70 1.63 1.58 1.54 1.51 1.48
8 2.06 2.25 1.97 1.81 1.71 1.65 1.59 1.55 1.52 1.49
9 2.13 2.29 1.99 1.82 1.73 1.66 1.60 1.56 1.53 1.50
10 2.18 2.32 2.00 1.84 1.74 1.66 1.61 1.57 1.53 1.50
11 2.22 2.34 2.01 1.85 1.74 1.67 1.62 1.57 1.54 1.51
12 2.25 2.36 2.02 1.85 1.75 1.68 1.62 1.58 1.54 1.51
13 2.27 2.38 2.03 1.86 1.76 1.68 1.63 1.58 1.55 1.52
14 2.30 2.39 2.04 1.87 1.76 1.69 1.63 1.58 1.55 1.52
15 2.32 2.41 2.05 1.87 1.76 1.69 1.63 1.59 1.55 1.52
16 2.33 2.42 2.05 1.88 1.77 1.69 1.63 1.59 1.55 1.52
17 2.35 2.44 2.06 1.88 1.77 1.69 1.64 1.59 1.55 1.52
18 2.36 2.44 2.06 1.88 1.77 1.70 1.64 1.59 1.56 1.52
19 2.37 2.44 2.07 1.89 1.78 1.70 1.64 1.59 1.56 1.53
20 2.39 2.45 2.07 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.56 1.53
p = número de laboratorios a un nivel dado
n = número de réplicas en el intralaboratorios a cada nivel
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
138
– Tablas estadísticas
Tabla 6. Indicadores para los estadísticos h y k de Mandel, con un nivel de significancia del 1%
ISO 5725 VGJ
p h
k
n
2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 2.39 2.46 2.07 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.56 1.53
22 2.40 2.46 2.08 1.90 1.78 1.70 1.65 1.60 1.56 1.53
23 2.41 2.47 2.08 1.90 1.78 1.71 1.65 1.60 1.56 1.53
24 0.42 2.47 2.08 1.90 1.79 1.71 1.65 1.60 1.56 1.53
25 0.42 2.47 2.08 1.90 1.79 1.71 1.65 1.60 1.56 1.53
26 2.43 2.48 2.09 1.90 1.79 1.71 1.65 1.60 1.56 1.53
27 2.44 2.48 2.09 1.90 1.79 1.71 1.65 1.60 1.56 1.53
28 2.44 2.49 2.09 1.91 1.79 1.71 1.65 1.60 1.57 1.53
29 2.45 2.49 2.09 1.91 1.79 1.71 1.65 1.60 1.57 1.53
30 2.45 2.49 2.10 1.91 1.79 1.71 1.65 1.61 1.57 1.53
p = número de laboratorios a un nivel dado
n = número de réplicas en el intralaboratorios a cada nivel
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
139
– Tablas estadísticas
Tabla 7. Indicadores para los estadísticos h y k de Mandel, con un nivel de significancia del 5%
ISO 5725 VGJ
p h
k
n
2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1.15 1.65 1.53 1.45 1.40 1.37 1.34 1.32 1.30 1.29
4 1.42 1.76 1.59 1.50 1.44 1.40 1.37 1.35 1.33 1.31
5 1.57 1.81 1.62 1.53 1.46 1.42 1.39 1.36 1.34 1.32
6 1.66 1.85 1.64 1.54 1.48 1.43 1.40 1.37 1.35 1.33
7 1.71 1.87 1.66 1.55 1.49 1.44 1.41 1.38 1.36 1.34
8 1.75 1.88 1.67 1.56 1.50 1.45 1.41 1.38 1.36 1.34
9 1.78 1.90 1.68 1.57 1.50 1.45 1.42 1.39 1.36 1.35
10 1.80 1.90 1.68 1.57 1.50 1.46 1.42 1.39 1.37 1.35
11 1.82 1.91 1.69 1.58 1.51 1.46 1.42 1.39 1.37 1.35
12 1.83 1.92 1.69 1.58 1.51 1.46 1.42 1.40 1.37 1.35
13 1.84 1.92 1.69 1.58 1.51 1.46 1.43 1.40 1.37 1.35
14 1.85 1.92 1.70 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.37 1.35
15 1.86 1.93 1.70 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.38 1.36
16 1.86 1.93 1.70 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.38 1.36
17 1.87 1.93 1.70 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.38 1.36
18 1.88 1.93 1.70 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.38 1.36
19 1.88 1.93 1.71 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.38 1.36
20 1.89 1.94 1.71 1.59 1.52 1.47 1.43 1.40 1.38 1.36
p = número de laboratorios a un nivel dado
n = número de réplicas en el intralaboratorios a cada nivel
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
140
– Tablas estadísticas
Tabla 6. Indicadores para los estadísticos h y k de Mandel, con un nivel de significancia del 1%
ISO 5725 VGJ
p h
k
n
2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 1.89 1.94 1.71 1.60 1.52 1.47 1.44 1.41 1.38 1.36
22 1.89 1.94 1.71 1.60 1.52 1.47 1.44 1.41 1.38 1.36
23 1.90 1.94 1.71 1.60 1.53 1.47 1.44 1.41 1.38 1.36
24 1.90 1.94 1.71 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.36
25 1.90 1.94 1.71 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.38
26 1.90 1.94 1.71 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.36
27 1.91 1.94 1.71 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.36
28 1.91 1.94 1.71 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.36
29 1.91 1.94 1.7 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.36
30 1.91 1.94 1.72 1.60 1.53 1.48 1.44 1.41 1.38 1.36
p = número de laboratorios a un nivel dado
n = número de réplicas en el intralaboratorios a cada nivel
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
141
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
a) Método de medición
Determinación del contenido de azufre en carbón con resultados de ensayo expresados en
tanto por ciento de masa.
b) Fuente
Tomkins, S. S. Industrial and Engineering Chemistry.
c) Descripción
En el experimento han participado ocho laboratorios, los cuales han realizado los ensayos de
acuerdo con el método de medición normalizado descrito en la citada fuente. El laboratorio
1 comunicó cuatro resultados de ensayo y el laboratorio 5 comunicó cuatro o cinco, según el
nivel; todos los demás laboratorios comunicaron tres resultados.
d) Presentación gráfica
Deberían haberse graficado los estadísticos h y k de Mandel pero, debido al poco espacio
disponible para el presente ejemplo, se han omitido a fin de permitir un mayor espacio para
otro ejemplo dedicado a presentación gráfica de datos. Los gráficos de Mandel aparecen
completamente ilustrados y analizados en el ejemplo incluido en el A.3.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
142
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Aparecen incluidos, en tanto por ciento de masa [% (m/m)], en la Tabla A.1, en el formato previsto
en el Formulario A de la Figura 2 (Resultados originales del ensayo), no existiendo comentarios
específicos que destacar.
La presentación gráfica de dichos datos aparece desde la Figuras A.1 a la Figura A.4.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
143
ISO 5725 VGJ
Nivel j
Laboratorio
i 1 2 3 4
1
0.71
0.71
0.70
0.71
1.20
1.18
1.23
1.21
1.68
1.70
1.68
1.69
3.26
3.26
3.20
3.24
2
0.69
0.67
0.68
1.22
1.21
1.22
1.64
1.64
1.65
3.20
3.20
3.20
3
0.66
0.65
0.69
1.28
1.31
1.30
1.61
1.61
1.62
3.37
3.36
3.38
4
0.67
0.65
0.66
1.23
1.18
1.20
1.68
1.66
1.66
3.16
3.22
3.23
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Tabla A.1 Datos originales: Contenido de azufre en carbón
Nivel j
Laboratorio
i 1 2 3 4
5
0.70
0.69
0.66
0.71
0.69
1.31
1.22
1.22
1.24
-
1.64
1.67
1.60
1.66
1.68
3.20
3.19
3.18
3.27
3.24
6
0.73
0.74
0.73
1.39
1.36
1.37
1.70
1.73
1.73
3.27
3.31
3.29
7
0.71
0.71
0.69
1.20
1.26
1.26
1.69
1.70
1.68
3.27
3.24
3.23
8
0.70
0.65
0.68
1.24
1.22
1.30
1.67
1.68
1.67
3.25
3.26
3.26
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
144
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
NOTA En el experimento presentado en la Tabla A.1, los laboratorios no fueron advertidos sobre
cuántas mediciones debían realizar, únicamente se fijo un número mínimo de mediciones.
Según los procedimientos recomendados presentados en esta norma, debe realizarse una
selección aleatoria de los datos aportados por los laboratorios 1 y 5, a fin de reducir el
contenido de todas las celdas a exactamente tres resultados. No obstante, con objeto de
ilustrar los procedimientos de cálculo para un número variado de resultados, de ensayo, en el
presente ejemplo se han mantenido todos los resultados de ensayo aportados.
Se puede efectuar selecciones aleatorias de datos para reducir el número de resultados de
ensayo a tres en todas las celdas, si desea verificar por sí mismo que tal proceder tiene un
efecto relativamente pequeño sobre los valores de 𝑚 𝑗, sr y sR.
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
145
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Las celdas de valores medios vienen expresadas en tanto por ciento de masa [% (m/m)], en la Tabla
A.2, en formato acorde con el Formulario B de la Figura 2.
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Las desviaciones estándar vienen expresadas en tanto por ciento de masa [% (m/m)], en la Tabla A.2,
en formato acorde con el Formulario C de la Figura 2.
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
La prueba de Cochran para n = 3 y p = 8 laboratorios da como valores críticos 0.516 para el 5% y
0.615 para el 1%.
Para el nivel 1, el mayor valor de s se encuentra en el laboratorio 8:
𝑠2 = 0.00182; valor del ensayo = 0.347
Para el nivel 2, el mayor valor de s se encuentra en el laboratorio 5:
𝑠2 = 0.00463; valor del ensayo = 0.310
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
146
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Para el nivel 3, el mayor valor de s se encuentra en el laboratorio 5:
𝑠2 = 0.00172; valor del ensayo = 0.598
Para el nivel 4, el mayor valor de s se encuentra en el laboratorio 4:
𝑠2 = 0.00463; valor del ensayo = 0.310
Esto indica que una celda con el nivel 3 puede ser considerada como dudosa, y que no existen valores
anómalos. El valor dudoso se encuentra para los cálculos subsiguientes.
Se aplico la prueba de Grubbs a las celdas de valores medios, dando los valores mostrados en la Tabla
A.4. No existe un valor anómalo individual. En los niveles 2 y 4, los altos valores de los laboratorios
3 y 6 son anómalos de acuerdo con el ensayo del doble valor, aunque se han conservado para el
análisis.
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
147
ISO 5725 VGJ
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
𝑦 𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑦 𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑦 𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑦 𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗
1 0.708 4 1.205 4 1.688 4 3.240 4
2 0.680 3 1.217 3 1.643 3 3.200 3
3 0.667 3 1.297 3 1.613 3 3.370 3
4 0.660 3 1.203 3 1.667 3 3.203 3
5 0.690 3 1.248 4 1.650 5 3.216 5
6 0.733 3 1.373 3 1.720 3 3.290 3
7 0.703 3 1.240 3 1.690 3 3.247 3
8 0.677 3 1.253 3 1.673 3 3.257 3
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Tabla A.2 Celdas de valores medios: Contenido de azufre en carbón
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
148
ISO 5725 VGJ
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
𝑠𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗
1 0.005 4 0.021 4 1.688 4 0.028 4
2 0.010 3 0.006 3 1.643 3 0.000 3
3 0.021 3 0.015 3 1.613 3 0.010 3
4 0.010 3 0.025 3 1.667 3 0.038 3
5 0.019 5 0.043 4 1.650 5 0.038 5
6 0.006 3 0.015 3 1.720 3 0.020 3
7 0.012 3 0.035 3 1.690 3 0.021 3
8 0.025 3 0.042 3 1.673 3 0.006 3
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Tabla A.3 Desviaciones estándar: Contenido de azufre en carbón
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
149
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Figura A.1 Contenido de azufre en carbón
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
1 2 3 4 5 6 7 8
Muestra 1
Figura A.2 Contenido de azufre en carbón
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1 2 3 4 5 6 7 8
Muestra 2
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
150
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Figura A.3 Contenido de azufre en carbón
Figura A.4 Contenido de azufre en carbón
1.58
1.6
1.62
1.64
1.66
1.68
1.7
1.72
1.74
1.76
1 2 3 4 5 6 7 8
Muestra 3
3.15
3.2
3.25
3.3
3.35
3.4
3.45
1 2 3 4 5 6 7 8
Muestra 4
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
151
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Las varianzas definidas en Cálculo de la media general 𝑚 y Cálculo de varianzas se calculan como
sigue, utilizando el nivel 1 como ejemplo
Número de laboratorios, p = 8
𝑇1 = 𝑛𝑖𝑦 𝑖 = 18.642
𝑇2 = 𝑛𝑖 𝑦 𝑖2 = 12.8837
𝑇3 = 𝑛𝑖 = 27
𝑇4 = 𝑛𝑖2 = 95
𝑇5 = 𝑛𝑖 − 1 𝑠𝑖2= 0.004411
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
152
𝑠𝑟2 =
𝑇5𝑇3 − 𝑝
= 0.0002322
𝑠𝐿2 =
𝑇2𝑇3 − 𝑇12
𝑇3 𝑝 − 1− 𝑠𝑟
2𝑇3 𝑝 − 1
𝑇32 − 𝑇4
= 0.0004603
𝑠𝑅2 = 𝑠𝐿
2 + 𝑠𝑟2= 0.0006925
𝑚 =𝑇1𝑇3
= 0.69044
𝑠𝑟 = 0.01524
𝑠𝑅 = 0.02632
Los cálculos para los niveles 2, 3 y 4 se realizan en forma similar, dando los resultados mostrados en
la Tabla A.5.
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
153
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Nivel Simple
inferior
Simple
superior
Doble
inferior
Doble
superior
Tipo de ensayo
1
2
3
4
1.24
0.91
1.67
0.94
1.80
2.09
1.58
2.09
0.539
0.699
0.378
0.679
0.298
0.108
0.459
0.132
Estadísticos de
la prueba de
Grubbs
Valores dudosos
Valores anómalos 2.126
2.274
2.126
2.274
0.1101
0.0563
0.1101
0.0563
Valores críticos
de Grubbs
Tabla A.4 Aplicación de la prueba de Grubbs a las celdas de valores medios
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
154
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
1
2
3
4
8
8
8
8
0.690
1.252
1.667
3.250
0.015
0.029
0.017
0.026
0.026
0.061
0.035
0.058
Tabla A.5 Valores calculados de 𝒎 𝒋, srj y sRj para el contenido de azufre en carbón
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
155
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Las varianzas definidas en Cálculo de la media general 𝑚 y Cálculo de varianzas se calculan como
sigue, utilizando el nivel 1 como ejemplo
Número de laboratorios, p = 8
𝑇1 = 𝑛𝑖𝑦 𝑖 = 18.642
𝑇2 = 𝑛𝑖 𝑦 𝑖2 = 12.8837
𝑇3 = 𝑛𝑖 = 27
𝑇4 = 𝑛𝑖2 = 95
𝑇5 = 𝑛𝑖 − 1 𝑠𝑖2= 0.004411
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
156
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
𝑠𝑟2 =
𝑇5𝑇3 − 𝑝
= 0.0002322
𝑠𝐿2 =
𝑇2𝑇3 − 𝑇12
𝑇3 𝑝 − 1− 𝑠𝑟
2𝑇3 𝑝 − 1
𝑇32 − 𝑇4
= 0.0004603
𝑠𝑅2 = 𝑠𝐿
2 + 𝑠𝑟2= 0.0006925
𝑚 =𝑇1𝑇3
= 0.69044
𝑠𝑟 = 0.01524
𝑠𝑅 = 0.02632
Los cálculos para los niveles 2, 3 y 4 se realizan en forma similar, dando los resultados mostrados en
la Tabla A.5.
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
157
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.1 Ejemplo 1: Determinación del contenido de azufre en carbón (varios niveles; no existen datos
faltantes o anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Cálculo de celdas de valores medio 𝒚 𝒊𝒋
Cálculo de las desviaciones estándar 𝒔𝒊𝒋
Revisión de la consistencia y de los valores anómalos
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión, de m
Un examen de los datos da la Tabla A.5 no indica dependencia alguna, pudiendo utilizarse los valores
medios.
Conclusiones
La veracidad y precisión del método de medición se debería indicar, en tanto por ciento de masa,
como:
– La desviación estándar de repetibilidad, sr = 0.022
– La desviación estándar de reproducibilidad, sR = 0.045
Estos valores pueden ser aplicados dentro del campo de 0.69% (m/m) y fueron determinados a partir
de un experimento de nivel uniforme en el que participaron 8 laboratorios que cubrieron el citado
campo de valores, y donde fueron detectados cuatro valores anómalos que fueron mantenidos para los
cálculos.
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
158
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
a) Método de medición
Determinación del punto de ablandamiento de la brea, mediante anillo y bola.
b) Fuente
Métodos normalizados para el ensayo del alquitrán y sus productos; sección brea; método
con número de serie PT3 que utiliza glicerina neutra.
c) Material
A partir de lotes comerciales de brea, seleccionados y preparados tal como se específica en
el capítulo “Muestras” de la sección Brea de la referencia.
d) Descripción
Se trata de la determinación de una propiedad envolvente de la medición de temperatura en
grados Celsius. Han participado 16 laboratorios. Se trataba de medir cuatro muestras a 87.5 oC, 92.5 oC, 97.5 oC y 102.5 oC aproximadamente, tratando de cubrir el rango comercial de
productos, pero se escogió un material erróneo para el nivel 2, con una temperatura media en
torno a 96 oC, muy similar ala del nivel 3. El laboratorio 5 aplicó el método incorrectamente
primeramente sobre la muestra del nivel 2 (la primera que midió) y no quedo suficiente
material para más de una determinación. El laboratorio 8 no encontró muestra alguna para el
nivel 1 (disponía de dos muestras para el nivel 4).
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
159
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
e) Presentaciones gráficas
Deberían haberse graficado los estadísticos h y k de Mandel pero, de nuevo en este ejemplo,
se han omitido a fin de poder mostrar otro Tipo de presentaciones gráficas de datos. Los
gráficos de Mandel aparecen completamente mostrados y analizados en el ejemplo incluido
en el A.3.
Datos originales
Se presentan en la Tabla A.6, en grados Celsius, en formato acorde al del Formulario A de la Figura
2 (véase Resultados originales del ensayo).
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
160
ISO 5725 VGJ
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
1 91.0
89.6
97.0
97.2
96.5
97.0
104.0
104.0
2 89.7
89.8
98.5
97.2
97.2
97.0
102.6
103.6
3 88.0
87.5
97.8
94.5
94.2
95.8
103.0
99.5
4 89.2
88.5
96.8
97.5
96.0
98.0
102.5
103.5
5 89.0
90.0
97.2
-
98.2
98.5
101.0
100.2
6 88.5
90.5
97.8
97.2
99.5
103.2
102.2
100.0
7 88.9
88.2
96.0
97.5
98.2
99.0
102.8
102.2
8 -
-
96.0
97.5
98.4
97.4
102.6
103.9
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Tabla A.6 Datos originales: Punto de ablandamiento de la brea
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
9 90.1
88.4
95.5
96.8
98.2
96.7
102.8
102.0
10 86.0
85.8
95.2
95.0
94.8
93.0
99.8
100.8
11 87.6
84.4
93.2
93.4
93.6
93.9
98.2
97.8
12 88.2
87.4
95.8
95.4
95.8
95.4
101.7
101.2
13 91.4
90.4
98.2
99.5
98.0
97.0
104.5
105.6
14 87.5
87.8
97.0
95.5
97.1
96.6
105.2
101.8
15 87.5
87.6
95.0
95.2
97.8
99.2
101.5
100.9
16 88.8
85.0
95.0
93.2
97.2
97.8
99.5
99.8
NOTA La entrada correspondiente a i=5, j=2 ha sido descartada
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
161
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Tabla A.7 Celdas de valores medios: Punto de ablandamiento de la brea
NOTA La entrada correspondiente a i=5, j=2 ha sido descartada (véase Celdas no vacías)
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
1 90.30 97.10 96.75 104.00
2 89.75 97.85 97.10 103.10
3 87.75 96.15 95.00 101.25
4 88.85 97.15 97.00 103.00
5 89.50 - 98.35 100.60
6 89.50 97.50 101.35 102.10
7 88.55 97.05 98.60 102.50
8 - 96.75 97.90 103.25
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
9 89.25 95.15 97.45 102.40
10 85.90 95.10 93.90 100.30
11 86.00 93.30 93.75 98.00
12 87.80 95.60 95.60 101.45
13 90.70 98.85 97.50 105.05
14 87.65 96.82 96.85 103.50
15 87.55 95.10 98.50 101.20
16 86.90 94.10 97.50 99.65
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
162
ISO 5725 VGJ
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Tabla A.8 Diferencias absolutas intra-celdas: Punto de ablandamiento de la brea
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
1 1.4 0.2 0.5 0.0
2 0.1 1.3 0.2 1.0
3 0.5 3.3 1.6 3.5
4 0.7 0.7 2.0 1.0
5 1.0 - 0.3 0.8
6 2.0 0.6 3.7 0.2
7 0.7 0.9 0.8 0.6
8 - 1.5 1.0 1.3
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
9 1.7 1.3 1.5 0.8
10 0.2 0.2 1.8 1.0
11 3.2 0.2 0.3 0.4
12 0.8 0.4 0.4 0.5
13 0.6 1.3 1.0 1.1
14 0.3 1.5 0.5 3.4
15 0.1 0.2 1.4 0.6
16 3.8 1.8 0.6 0.3
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
163
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
En este ejemplo hay dos resultados de ensayo por celda y la diferencia absoluta puede utilizarse para
representar la variabilidad. Las diferencias absolutas intra-celdas, en grados Celsius, se presentan en
la Tabla A.8, en formato acorde con el Formulario C de la Figura 2.
En la Figura A.6 se incluye una presentación gráfica de dichos datos.
Resultados de la pruebas estadísticas
La aplicación de la prueba de Cochran lleva a los valores de la prueba estadística C dada en la Tabla
A.9.
Los valores críticos para la prueba de Cochran con el 5% son 0.471 para p=15 y 0.452 para p=16
donde n=2 no se indican valores dudosos.
En ninguna de las dos pruebas se encontraron valores dudosos o anómalos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
164
ISO 5725 VGJ
Tabla A.9 Valores de la prueba estadística de Cochran, C
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4
C 0.391(15) 0.424(15) 0.434(16) 0.380(16)
Nota El número de laboratorios aparece entre paréntesis
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
165
ISO 5725 VGJ
Tabla A.10 Aplicación de la prueba de Grubbs a las celdas de valores medios
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de las pruebas estadísticas
Nivel n Simple
inferior
Simple
superior
Doble
inferior
Doble
superior
Tipo de ensayo
1.15
2.15
3.16
4.16
1.69
2.04
1.76
2.22
1.56
1.77
2.27
1.74
0.546
0.478
0.548
0.500
0.662
0.646
0.566
0.672
Estadísticos de
la prueba de
Grubbs
Valores dudosos
n=15
n=16 Valores anómalos
n=15
n=16
2.549
2.585
2.806
2.852
2.549
2.585
2.806
2.852
0.3367
0.3603
0.2530
0.2767
0.3367
0.3603
0.2530
0.2767
Valores críticos
de Grubbs
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
166
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Las varianzas definidas en Cálculo de la media general 𝑚 y Cálculo de varianzas, por ejemplo, los
cálculos son como sigue. Para facilitar los cálculos, se ha restado el valor 80.00 de todos los datos. Se
ha utilizado el método para n=2 réplicas por celda.
Número de laboratorios, p = 15
Número de réplicas, n=2
ISO 5725 VGJ
𝑇1 = 𝑦 𝑖 = 125.9500
𝑇2 = 𝑦 𝑖2 = 1087.9775
𝑇3 = 𝑦𝑖1 − 𝑦𝑖22 = 36.9100
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
167
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
ISO 5725 VGJ
𝑠𝑟2 =
𝑇32𝑝
= 1.2303
𝑠𝐿2 =
𝑝𝑇2 − 𝑇12
𝑝 𝑝 − 1−
𝑠𝑟2
2= 1.5575
𝑠𝑅2 = 𝑠𝐿
2 + 𝑠𝑟2= 2.7878
𝑚 =𝑇1𝑝(añadiendo 80.00) = 88.3966
𝑠𝑟 = 1.1092
𝑠𝑅 = 1.6697
Los valores para todos los niveles se presentan en la Tabla A.11.
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
168
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
ISO 5725 VGJ
1
2
3
4
15
15
16
16
88.40
96.27
97.07
101.96
1.119
0.925
0.993
1.004
1.670
1.597
2.010
1.915
Tabla A.11 Valores calculados de 𝒎 𝒋, srj y sRj para el punto de ablandamiento
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
169
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
ISO 5725 VGJ
0
1
2
3
4
86.70 87.50 88.30 89.10 89.90 90.70
0
1
2
3
4
5
94.23 95.15 96.08 97.00 97.93 98.85
0
1
2
3
4
5
6
7
95.02 96.28 97.55 98.82 100.08 101.35
0
1
2
3
4
99.18 100.35101.53102.70103.88105.05
1
2
3
4
Niv
el
Figura A.5 Punto de ablandamiento de la brea: Medias de las celdas
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
170
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
ISO 5725 VGJ
1
2
3
4
Nivel
Figura A.6 Punto de ablandamiento de la brea: Diferencias absolutas intra-celdas
0
1
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.3 4.5 4.7 4.9
0
1
2
3
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.3 4.5 4.7 4.9
0
1
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.3 4.5 4.7 4.9
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.3 4.5 4.7 4.9
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
171
– Anexo 1.A
A.2 Ejemplo 2: Punto de ablandamiento de la brea (varios niveles con datos faltantes)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Resultados de la pruebas estadísticas
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión m
Un examen rápido de la Tabla A.11 no revela ninguna marcada diferencia, excepto quizás en cuanto a
la reproducibilidad. Las variaciones de los valores m en todo el campo, si existen, son muy pequeñas
como para considerarlas significativas. No obstante,, a la vista del pequeño campo de valores de m y
la naturaleza de la medición, es improbable esperar una dependencia de m. Puede concluirse con
seguridad que la veracidad y precisión no depende de m dentro de este campo, el cual fue definido así
para cubrir los materiales comerciales habituales de esta forma. Las medias pueden ser tomadas como
valores finales de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad.
Conclusiones
Para aplicaciones prácticas, los valores de veracidad y precisión del método de medición pueden
considerarse independientes del nivel del material, siendo estos:
– Desviación estándar de repetibilidad, sr = 1.0 oC
– Desviación estándar de reproducibilidad, sR = 1.8 oC
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
172
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
a) Fuente
Métodos normalizados para el ensayo del alquitrán y sus productos; sección de Creosota;
Método de número de serie Co. 18
b) Material
A partir de lotes comerciales de aceite de creosota, seleccionados y preparados tal y como se
específica en el capítulo “Muestras” de la sección Aceite de Creosota.
c) Descripción
Se trata de un método de medición normalizado de análisis químico, por medio del cual se
ha realizado una valoración termométrica, con los resultados expresados en tanto por ciento
de masa. Participaron 9 laboratorios, cada uno midiendo dos veces cinco muestras
seleccionadas para cubrir el intervalo normal utilizado en las aplicaciones comerciales
habituales. Las muestras fueron escogidas para representar aproximadamente los niveles 4,
8, 12, 16 y 20 [% (m/m)]. La práctica habitual consistiría en anotar los resultados de ensayo
con un único decimal, pero en este experimento se indicó a los operadores que tomaran dos
decimales.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
173
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Se presentan en la Tabla A.12, en tanto por ciento de masa, en formato acorde con el Formulario A
de la Figura 2.
Los resultados del ensayo para el laboratorio 1 fueron siempre mayores, y en algunos niveles
considerablemente mayores, que los del resto de los laboratorios.
El segundo resultado de ensayo de laboratorio 6 en el nivel 5 es sospechoso; el valor anotado
encajaría mejor en el nivel 4.
Estos puntos se analizarán más adelante, en Examen de consistencia e incompatibilidad de los
resultados.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
174
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
ISO 5725 VGJ
Nivel j
Laboratori
o i 1 2 3 4 5
1 4.44 4.39 9.34 9.34 17.40 16.90 19.92 19.23 24.28 24.00
2 4.03 4.23 8.42 8.33 14.42 14.50 16.06 16.22 20.40 19.91
3 3.70 3.70 7.60 7.40 13.60 13.60 14.50 15.10 19.30 19.70
4 4.10 4.10 8.93 8.80 14.60 14.20 15.60 15.50 20.30 20.30
5 3.97 4.04 7.89 8.12 13.73 13.92 15.54 15.78 20.53 20.88
6 3.75 4.03 8.76 9.24 13.90 14.06 16.42 16.58 18.56 16.58
7 3.70 3.80 8.00 8.30 14.10 14.20 14.90 16.00 19.60 20.50
8 3.91 3.90 8.04 8.07 14.84 14.84 15.41 15.22 21.10 20.78
9 4.02 4.07 8.44 8.17 14.24 14.10 15.14 15.44 20.71 21.66
Tabla A.12 Datos originales: Valoración termométrica del aceite de creosota
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
175
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
ISO 5725 VGJ
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4 5
1 4.415 9.340 17.150** 19.230 ** 24.140 *
2 4.130 8.375 14.460 16.140 20.155
3 3.700 7.500 13.600 14.800 19.500
4 4.100 8.865 14.400 15.550 20.300
5 4.005 8.005 13.825 15.660 20.705
6 3.890 9.000 13.980 16.500 17.570
7 3.750 8.150 14.150 15.450 20.100
8 3.905 8.055 14.840 15.315 20.940
9 4.045 8.305 14.170 15.290 21.185
Tabla A.13 Celdas de valores medios: Valoración termométrica del aceite de creosota
* Considerando valor anómalo
** Considerando estadísticamente anómalo
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
176
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Estas se presentan en la Tabla A.14, como wij, en tanto por ciento de masa, en formato acorde con el
Formulario C de la Figura 2.
ISO 5725 VGJ
* Considerando valor anómalo
Nivel j
Laboratorio i 1 2 3 4 5
1 0.05 0.00 0.50 0.00 0.28
2 0.20 0.09 0.08 0.16 0.49
3 0.00 0.20 0.00 0.60 0.40
4 0.00 0.13 0.40 0.10 0.00
5 0.07 0.23 0.19 0.24 0.35
6 0.28 0.48 0.16 0.16 1.98 *
7 0.10 0.30 0.10 0.10 * 0.80
8 0.01 0.03 0.00 0.19 0.32
9 0.05 0.27 0.14 0.30 0.95
Tabla A.14 Intervalos de celda: Valoración termométrica del aceite de creosota
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
177
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
El cálculo de los estadísticos h y k de consistencia de Mandel (véase Técnica gráfica de consistencia)
dio los resultados mostrados en las Figuras A.7 y A.8. Las líneas horizontales corresponden a los
indicadores de valor de Mandel tomados en Tabla 6.
El gráfico h (Figura A.7) muestra claramente que el laboratorio 1 obtuvo resultados de prueba mucho
mayores que los demás laboratorios, a todos los niveles. Tales resultados requieren atención por
parte del comité encargado del estudio inter-laboratorios. Si no es posible encontrar una explicación
satisfactoria para tales resultados, los miembros del comité deberán decidir, basándose en
consideraciones adicionales, quizá no estadísticas, si incluir o excluir a dicho laboratorio en los
cálculos de los valores de veracidad y precisión.
El gráfico k (Figura A.8) muestra una gran variabilidad en la réplica de los resultados de prueba de
los laboratorios 6 y 7. No obstante, estos resultados no parecen tan preocupantes como para requerir
una atención especial, más allá de la búsqueda de posibles explicaciones y, si es necesario, aplicar a
dichos resultados de ensayo.
La aplicación de la prueba de Cochran proporciona los siguientes resultados.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
178
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
En el nivel 4, la diferencia absoluta 1.10 produce un valor estadístico de la prueba de 1.102/1.8149 =
0.667.
En el nivel 5, la diferencia absoluta 1.98 produce un valor estadístico de la prueba de 1.982/6.1663 =
0.636.
Para p = 9, los valores críticos de la prueba de Cochran son 0.638 para el 5%, y 0.754 para el 1%.
El valor 1.10 en el nivel 4 es claramente un valor anómalo, y el valor 1.98 en el nivel 5 está tan
próximo al nivel del 5% que es posible que también lo sea. Como estos valores son muy distintos del
resto, y su presencia ha incrementado el valor del divisor utilizado en el estadístico de la prueba de
Cochran, ambos han sido considerados como anómalos y marcados con un asterisco. La evidencia en
su contra, no obstante, no es suficiente para rechazarlos, a pesar de que el gráfico k de Mandel
(Figura A.8) también da lugar a sospechar de ambos valores.
La aplicación de la prueba de Grubbs a las celdas de ambos valores medios da los resultados
mostrados en Tabla A.15.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
179
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Dado que para los niveles 3 y 4, la prueba simple de Grubbs indica un valor anómalo, ya no se aplica
la prueba doble de Grubbs (véase Prueba de Grubbs).
En un estudio más exhaustivo se observa que al menos una de las muestras del laboratorio 6, nivel 5,
puede haber sido colocada allí por error, perteneciendo en realidad al nivel 4. Como diferencia
absoluta de esta celda también era sospechosa, se decidió rechazar esta pareja de resultados. Sin la
“ayuda” de esta pareja de valores, el resultado de la prueba del laboratorio 1 en el nivel 5 es ahora
definitivamente sospechoso.
Por causa de estos resultados, se decidió rechazar la pareja de resultados del laboratorio 6 para el
nivel 5, ya que no existía seguridad acerca de qué material se había medido, así como rechazar todos
los resultados de la prueba de laboratorio 1, como procedentes de un laboratorio anómalo.
Sin estos resultados de prueba, se comparó el estadístico de la prueba de Cochran para el nivel 4, con
el valor crítico para 8 laboratorios (0.680 para el 5%), no apareciendo ya como valor anómalo, y
manteniéndose en os cálculos.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
180
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
ISO 5725 VGJ
Tabla A.15 Aplicaciones de la prueba de Grubbs a las celdas de valores medios
Nivel n Simple
inferior
Simple
superior
Doble
inferior
Doble
superior
Tipo de ensayo
1
2
3
4
5
1.36
1.57
0.86
0.91
1.70
1.95
1.64
2.50
2.47
2.10
0.502
0.540
-
-
0.501
0.356
0.395
-
-
0.318
Estadísticos de
la prueba de
Grubbs
Valores dudosos
Valores anómalos 2.215
2.387
2.215
2.387
0.1492
0.0851
0.1492
0.0851
Valores críticos
de Grubbs
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
181
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
ISO 5725 VGJ
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
Figura A.7
Valoración de aceite de creosota: Estadístico h de Mandel, de
consistencia Interlaboratorios, agrupado por laboratorios
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
182
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
ISO 5725 VGJ
Figura A.8
Valoración de aceite de creosota: Estadístico k de Mandel, de
consistencia Intralaboratorios, agrupado por laboratorios
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
183
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Los valores de 𝑚 𝑗, srj y sRj calculados sin los resultados de ensayo del laboratorio 1 sin la pareja de
resultados del laboratorio 6, nivel 5, se presentan en la Tabla A.16, en tanto por ciento de masa,
calculados según se explica en Cálculo de la media general y las varianzas.
Dependencia de la veracidad y precisión de m
A la vista de la Tabla A.16 parece claro que las desviaciones estándar tienden a aumentar con valores
crecientes de m, por lo que podría ser permisible establecer algún tipo de relación funcional. Este
punto de vista fue apoyado por un experto químico familiarizado con el método de medición, el cual
tenía la idea de que era posible que la veracidad y precisión dependiera del nivel.
Los cálculos reales para la obtención de la relación funcional no se incluyen aquí puesto que ya se
explicaron en detalle para sr en lamina 99. Los valores de srj y sRj se muestran graficados frente a 𝑚 𝑗,
en la Figura A.9.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
184
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión de m
ISO 5725 VGJ
1
2
3
4
5
8
8
8
8
7
3.94
8.28
14.18
15.59
20.41
0.092
0.179
0.127
0.337
0.393
0.171
0.498
0.400
0.579
0.637
Tabla A.16 Valores calculados de 𝒎 𝒋, srj y sRj para la valoración termométrica del aceite de creosota
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
185
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión de m
ISO 5725 VGJ
Figura A.9 Gráfico de srj y sRj frente a 𝒎 𝒋, a partir de los datos de la Tabla A.16, mostrando las
relaciones funcionales ajustadas, según Establecimiento de la relación funcional existente entre los
valores de veracidad y precisión y el nivel medio m
-1.000
-0.500
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
1 2 3 4 5s = bm
sr = a + bm
lg sr = c + d lg m
sr
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
186
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión de m
ISO 5725 VGJ
y = 0.2051x + 0.0253
y = 0.1103x + 0.1651
y = 0.1709x - 0.7073
y = 0.2457x - 0.1436
-1.000
-0.500
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
1 2 3 4 5
s = bm
sr = a + bm
lg sr = c + d lg m
sr
Lineal (s = bm)
Lineal (sr = a + bm)
Lineal (lg sr = c + d lg m )
Lineal (sr)
Figura A.9 Gráfico de srj y sRj frente a 𝒎 𝒋, a partir de los datos de la Tabla A.16, mostrando las
relaciones funcionales ajustadas, según Establecimiento de la relación funcional existente entre los
valores de veracidad y precisión y el nivel medio m
2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados ISO 5725-2
187
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión de m
A la vista de la Figura A.9 resulta evidente que el valor para el nivel 3 es fuertemente divergente, no
pudiendo ser mejorado por procedimientos alternativos (véase lámina 92).
Para la repetibilidad, parece adecuada una línea recta que pase por el origen.
Para la reproducibilidad, las tres líneas se ajustan adecuadamente a los datos, siendo la relación Tipo
III la que posee un mejor ajuste.
Alguien familiarizado con los requerimientos de un método de medición normalizado para el aceite
de creosota podría ser capaz de seleccionar la relación más apropiada.
Valores finales de veracidad y precisión
Los valores finales, debidamente redondeados, serán:
Desviación estándar de repetibilidad, sr = 0.019m
Desviación estándar de reproducibilidad, sR = 0.086 + 0.030m, o sR = 0.078m0.72
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
188
– Anexo 1.A
A.3 Ejemplo 3: Valoración termométrica de aceite de creosota (varios niveles con datos anómalos)
Antecedentes
Datos originales
Diferencias absolutas intra-celdas
Examen de consistencia e incompatibilidad de los resultados
Cálculo de 𝒎 𝒋, srj y sRj
Dependencia de la veracidad y precisión de m
Valores finales de veracidad y precisión
Conclusiones
No existen razones estadísticas para preferir alguna de las dos ecuaciones para sr dadas en el punto
anterior. El grupo de expertos decidirá cuál debe utilizarse.
Debería de investigarse la razón de los resultados anómalos del laboratorio 1.
El experimento de veracidad y precisión parece haber resultado bastante insatisfactorio. Uno de los
laboratorios ha sido rechazado como anómalo, y otro laboratorio ha analizado una muestra errónea.
El material para el nivel 3 parece haber sido erróneamente seleccionado, teniendo casi el mismo valor
que el nivel 4, en lugar de situarse a medio camino entre los niveles 2 y 4, además, el material para el
nivel 3 parece poseer una naturaleza diferente, siendo quizá más homogéneo que el resto del material.
Podría resultar necesario repetir este experimento, poniendo mayor cuidado en la selección de los
materiales para los diferentes niveles.
ISO 5725 VGJ 2. Métodos de medición en escala continua con datos balanceados
ISO 5725-2
189
3. Repetibilidad y Reproducibilidad ISO 5725-3 – Medidas intermedias: Desviaciones estándar de repetibilidad y
reproducibilidad
– Modelo estadístico
– Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de la
precisión
ISO 5725 VGJ
190
Medidas intermedias de la precisión
Para ilustrar la necesidad de las medidas intermedias de la precisión, considérese el funcionamiento
actual de un laboratorio asociado a una organización que incluye, por ejemplo, un sistema de trabajo
a tres turnos, donde las mediciones se realizan por diferentes operadores en equipos distintos.
Operadores y equipos son algunos de los factores que contribuyen a la variabilidad de los resultados.
Estos factores deben ser considerados cuando se evalúa la precisión de un método de medida.
Las medidas intermedias de la precisión, son útiles ante todo cuando su estimación es parte de un
procedimiento que pretende desarrollar, normalizar, o controlar un método de medida, dentro de un
laboratorio. Estas medidas también pueden estimarse mediante un estudio interlaboratorios diseñado
especialmente, pero entonces su interpretación y aplicación requiere prudencia pues lo esencial es
que puedan mediar la capacidad de método de medida para repetir resultados bajo las condiciones
definidas. Lo anterior es debido a que se asume que el efecto de un factor particular es el mismo en
todos los laboratorios.
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
191
Existen cuatro factores con más probabilidad de influir en la precisión de un método de
medida, son los siguientes:
a) Tiempo: si el intervalo de tiempo entre medidas es a largo plazo
b) Calibración: si el mismo equipo es o no es calibrado entre series sucesivas de
mediciones.
c) Operador: si el mismo o distintos operadores llevan a cabo las sucesivas
mediciones.
d) Equipo: si se usa el mismo o diferente equipo (o el mismo o diferentes lotes de
reactivos) en las mediciones.
Es, por consiguiente ventajoso introducir el siguiente factor M, indicativo de las diferentes
condiciones intermedias de precisión (M = 0, 1, 2, 3, o 4) para tener en cuenta los cambios
en las condiciones de medida (tiempo, calibración, operados y equipo) dentro de un
laboratorio.
a) M = 1: sólo uno de los cuatro factores es diferente.
b) M = 2: dos de los cuatro factores son diferentes.
c) M = 3: tres de los cuatro factores son diferentes.
d) M = 4: los cuatro factores son diferentes.
Diferentes condiciones intermedias de precisión conducen a diferentes desviaciones
estándar de precisión intermedia, representadas por s1(), donde las condiciones especificas
se indican dentro del paréntesis. Por ejemplo, s1(TO) es la desviación estándar de precisión
intermedia para diferentes tiempos (T) y operadores (O).
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
192
Para mediciones bajo condiciones intermedias de precisión, uno o más de los factores
listados anteriormente (tiempo, calibración, operador y equipo) son diferentes. Bajo
condiciones de repetibilidad, se asume que estos factores son constantes.
La desviación estándar de los resultados obtenidos bajo condiciones de repetibilidad es
menor, por lo común, que la obtenida bajo condiciones intermedias de precisión.
Generalmente, en análisis químicos, la desviación estándar bajo condiciones intermedias
de precisión puede ser dos o tres veces mayor que la obtenida en condiciones de
repetibilidad. No debería exceder, desde luego, la desviación estándar de reproducibilidad.
Como ejemplo, en la determinación de cobre en mineral de cobre, un experimento
realizado entre 35 laboratorios reveló que la desviación estándar bajo condiciones
intermedias de precisión con 1 factor diferente (mismo operador y equipo, pero diferente
tiempo) fue 1.5 veces mayor bajo condiciones de repetibilidad, tanto para el método de
gravimetría electrolítica como para el de valoración Na2S2O3.
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
193
En este capitulo se especifican cuatro medidas intermedias de la precisión, debidas a
cambios en las condiciones de observación (tiempo, calibración, operador y equipo) dentro
de un laboratorio. Estas mediciones intermedias pueden ser establecidas por un
experimento dentro de un laboratorio concreto, o en un experimento interlaboratorios.
Además, en este capitulo se
a) Analiza las consecuencias de las definiciones de la medidas intermedias de
precisión;
b) Ofrece consejos para la interpretación y aplicación de los valores estimados de las
medidas intermedias de la precisión en situaciones prácticas;
c) No proporciona ninguna medida de los errores en la estimación de la medidas
intermedias de precisión;
d) No se ocupa de la determinación de la veracidad del método de medida, pero trata
de las conexiones entre veracidad y condiciones de medida.
En esta parte, se atañe exclusivamente, a métodos de medida cuyas mediciones están
dentro de una escala continua y con un solo valor como resultado del ensayo, aunque este
valor sea el resultado del cálculo a partir de un conjunto de observaciones.
Lo esencial de la determinación de medidas intermedias de la precisión, es que puedan
medir la capacidad de método de medida para repetir resultados bajo condiciones
definidas.
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
194
Los métodos estadísticos desarrollados en esta parte confina en la premisa de que se puede
asociar las información a partir de condiciones de medidas “similares”, para obtener
información más exacta sobre medidas intermedias de la precisión. Esta premisa es
potente mientras lo que se presenta como “similar” es, en efecto, “similar”. Pero es muy
difícil mantener esta premisa cuando las medidas de precisión intermedia son estimadas a
partir de un estudio interlaboratorios. Por ejemplo, controlar el efecto del “tiempo” o del
“operador” a través de los laboratorios, de tal forma que sean “similares”, y la información
recogida entre los diferentes laboratorios tengan sentido, es muy difícil. Así, usar
resultados de estudios interlaboratorios en medidas intermedias de la precisión requiere
precaución. Los estudios dentro de un laboratorio también confían en esta premisa, pero en
tales estudios es más probable que sea autentica, porque el control y conocimiento del
efecto verdadero de un factor está, entonces, más al alcance del analista.
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
195
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
Factores importantes
Se considera que dentro de las condiciones de medida de un laboratorio, son cuatro factores (tempo,
calibración, operador y equipo) los que realizan las principales contribuciones a la variabilidad de las
mediciones (véase Tabla 3.1).
Condiciones de medida dentro de un
laboratorio
Factor Estado 1
(iguales)
Estado 2
(diferentes)
Tiempo Mediciones hechas en
el mismo tiempo
Mediciones hechas en
diferente tiempo
Calibración No se calibra entre
mediciones
Se calibra entre
mediciones
Operador Mismo operador Diferentes operadores
Equipo Mismo equipo sin
calibración Diferentes equipos
Por “mediciones hechas en el mismo tiempo” se entiende aquellas realizadas en un intervalo de
tiempo tan corto como sea posible, para minimizar los cambios en las condiciones, tales como las
condiciones ambientales, las cuales no siempre pueden garantizarse que sean constantes.
“Mediciones hechas en tiempos distintos” son aquellas realizadas en largos intervalos de tiempo, y
pueden incluir efectos debidos a cambios en las condiciones ambientales.
Tabla 3.1
196
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
Factores importantes
“Calibración” no se refiere aquí a cualquier calibración requerida como parte esencial para obtener un
resultado a través del método de medida. Se refiere al proceso de calibración que tiene lugar a
intervalos regulares, entre grupos de mediciones dentro de un laboratorio.
En algunas operaciones, el “operador” puede ser, de hecho, un equipo de operadores, cada uno de los
cuales realiza una parte específica del procedimiento. En tal caso, el equipo debería considerarse
como el operador, y cualquier cambio en sus miembros, o en la asignación de funciones dentro del
equipo, debería considerarse como un operador diferente.
Por “equipo” se entiende a menudo, de hecho, conjunto de equipos, y cualquier cambio en cualquier
componente significativo, debería considerarse como un equipo diferente. En cuanto a que es un
componente significativo, pero utilizar un recipiente ligeramente diferente para servir de baño de
agua, será considerado como algo trivial. Un cambio de lote o de un reactivo debería considerarse
como cambio de un componente significativo, pudiendo conducir a un “equipo” diferente o a una
recalibración, si tal cambio va seguido de una calibración.
197
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
Factores importantes
En condiciones de repetibilidad, los cuatro factores se encuentran en el estado 1 de la Tabla 3.1. Para
condiciones intermedias de precisión, uno o más factores están en el estado 2 de la Tabla 3.1,
especificándose como “condiciones de precisión con M factor(es) diferentes”, donde M es el número
de factores en el estado 2. En condiciones de reproducibilidad, los resultados son obtenidos por
diferentes laboratorios, de manera que no sólo están los cuatro factores en el estado 2, sino que hay
efectos adicionales debido a las diferencias entre laboratorios, en cuanto a gestión y mantenimiento,
nivel general de preparación de los operadores, estabilidad y control de los resultados de ensayo, etc.
En condiciones intermedias de precisión con M factor(es) diferente(s), es necesario especificar cuáles
de los factores están en el estado 2 de la Tabla 3.1, por medio de sufijos, como por ejemplo:
Desviación estándar de precisión intermedia por diferente tiempo, sI(T);
Desviación estándar de precisión intermedia por diferente calibración , sI(C);
Desviación estándar de precisión intermedia por diferente operador, sI(O);
Desviación estándar de precisión intermedia por diferente [tiempo + operador], sI(TO);
Desviación estándar de precisión intermedia por diferente [tiempo + operador + equipo],
sI(TOE);
Y muchas otras en forma similar.
198
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
Factores importantes
Elección de las condiciones de medida
Al aplicar un método de medida, pueden darse distintas condiciones de medida dentro de un
laboratorio, tales como:
a) Condiciones de repetibilidad (los cuatro factores constantes);
b) Algunas condiciones intermedias de precisión con un factor diferente;
c) Algunas condiciones intermedias de precisión con dos factores diferentes;
d) Algunas condiciones intermedias de precisión con tres factores diferentes;
e) Condiciones intermedias de precisión con cuatro factores diferentes.
En la normalización de un método de medida no es necesario (o incluso factible) establecer todas las
posibles medidas de precisión, sin embargo, la desviación estándar de repetibilidad debería
especificarse siempre. En lo que se refiere a medidas intermedias de la precisión, la práctica
comercial común debería indicar las condiciones normalmente observadas, siendo suficiente con
especificar una única medida de precisión junto con la estipulación detallada de las condiciones de
medida especificas asociadas a dicha medida. Los factores cambiantes de las condiciones de medida
deberían definirse claramente, en particular, para precisión intermedia por tiempo diferente, debería
especificarse un intervalo medio de tiempo, práctico, entre mediciones sucesivas.
Se asume que un método de medición normalizado estará sesgado lo menos posible y que el sesgo
inherente al propio método deberá ser acorde con los medios técnicos. En esta parte de la norma no
obstante, se ocupa únicamente del sesgo proveniente de las condiciones de medida.
199
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
Factores importantes
Elección de las condiciones de medida
Un cambio en los factores de las condiciones de medida (tiempo, calibración, operador y equipo)
respecto de las condiciones de repetibilidad (por ejemplo del estado 1 al 2 de la Tabla 3.1),
incrementará la variabilidad de los resultados de ensayo. Sin embargo, el valor esperado de la media
de un número de resultados de ensayo estará menos sesgada que en condiciones de repetibilidad. El
incremento de la desviación estándar en las condiciones intermedias de precisión, puede evitarse no
apoyándose en un único resultado de ensayo, y tomando en su lugar la media de varios resultados de
ensayo como resultado final.
En muchos laboratorios, consideraciones prácticas tales como la precisión deseada (desviación
estándar) del resultado final y el costo de ejecución de las medidas , determinarán el número de
factores y la elección de aquellos cuyos cambios pueden ser ejecutados en la normalización del
método de medida.
200
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
- Estudio intralaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Aproximación elemental
Un método elemental de estimación de una desviación estándar de precisión intermedia dentro de un
laboratorio, consiste en tomar una muestra (o, para ensayos destructivos, un conjunto de muestras
presumiblemente idénticas) y realizar una serie de n mediciones, con cambio(s) de factor(es) entre
cada medición. Se recomienda que n sea al menos igual a 15. Esto puede no ser asumible por el
laboratorio, por lo que este método de estimación de la precisión intermedia dentro de un laboratorio,
no puede calificarse como eficiente, comparado con otros procedimientos. El análisis, sin embargo,
es simple, y puede ser útil para el estudio de la precisión intermedia para tiempos diferentes,
realizando mediciones sucesivas sobre la misma muestra en días sucesivos, o para estudiar el efecto
de la calibración entre mediciones.
Para identificar potenciales valores anómalos, se recomienda realizar un gráfico de (𝑦𝑘 − 𝑦 ) frente al
número de medidas k, donde yk es el k-ésimo resultado de ensayo de las n réplicas de éste, e es la
media de las n réplicas del resultado de ensayo. Un ensayo más formal de detección de valores
anómalos, consiste en la aplicación de la prueba de Grubbs.
La estimación de la desviación estándar de precisión intermedia con M factor(es) diferente(s) viene
dada por:
𝑠𝐼( ) =1
𝑛−1 𝑦𝑘 − 𝑦 2𝑛𝑘=1 (50)
donde los símbolos que representan las condiciones intermedias de precisión aparecen dentro
del paréntesis.
201
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
- Estudio intralaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Aproximación elemental
Método alternativo
Un método alternativo considera t grupos de mediciones, cada uno comprendiendo n resultados de
ensayo repetidos. Por ejemplo, dentro de un laboratorio, podría medirse cada elemento de un
conjunto de t materiales; tras ello, el factor o factores de precisión podrían variarse, midiéndose de
nuevo, y repitiéndose el proceso hasta que hubiera n resultados de ensayos para cada uno de los t
materiales. Cada grupo de n resultados se debe obtener sobre una muestra idéntica (o conjunto de
muestra presumiblemente idénticas, en el caso de ensayos destructivos), pero no es esencial que los
materiales sean idénticos. Únicamente se requiere que los t materiales pertenezcan al intervalo de
niveles de ensayo dentro de los cuales un valor de desviación estándar de precisión intermedia con M
factor(es) diferente(s) puede considerarse aplicable. Se recomienda que el valor de t(n-1) sea al
menos 15.
Ejemplo
Un operador realiza una única medición sobre cada uno de los t materiales, repitiéndose el proceso
por un segundo operador y posiblemente por un tercer operador, y así sucesivamente, permitiendo así
calcular una estimación de 0 s(0).
202
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
- Estudio intralaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Aproximación elemental
Método alternativo
Para identificar potenciales valores anómalos se recomienda realizar un gráfico de (𝑦𝑗𝑘 − 𝑦 𝑗) frente al
número del material j, donde yjk es el k-ésimo resultado de ensayo sobre el material j-ésimo, e 𝑦 𝑗 es
el promedio de los n resultados obtenidos sobre el j-ésimo material. Un ensayo más formal de
detección de valores anómalos consiste en la aplicación de la prueba de Grubbs aplicando a cada
grupo separadamente, o para los t.n resultados combinados.
La estimación de la desviación estándar de precisión intermedia con M factor(es) diferente(s), sI( ),
viene dada por:
𝑠𝐼() =1
𝑡 𝑛−1 𝑦𝑗𝑘 − 𝑦 𝑗
2𝑛𝑘=1
𝑡𝑗=1 (51)
Para n =2 (es decir, dos resultados de ensayo sobre cada material) la fórmula se simplifica a:
𝑠𝐼() =1
2𝑡 𝑦𝑗1 − 𝑦𝑗2
2𝑡𝑗=1 (52)
203
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
- Estudio intralaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Aproximación elemental
Método alternativo
Efecto de las condiciones de medida sobre el resultado final
El valor esperado de 𝑦 es diferente para distintas combinaciones de tiempo, calibración, operador y
equipo, incluso cuando sólo varíe uno de los cuatro factores. Esta es una limitación de la utilidad de
los valores medios. En análisis químicos o en ensayos físicos, 𝑦 se da como resultado final. En el
comercio de materias primas este resultado final se usa frecuentemente para evaluar su calidad y
afecta al precio del producto en una forma considerable.
Ejemplo
En el comercio internacional del carbón, el tamaño de la remesa puede superar, a menudo, las 70000 t, y el
contenido en cenizas se determina sobre una muestra de sólo 1 g. En un contrato que estipula que cada 1% de
diferencia en contenido de cenizas equivaldrá a 1.5 $USA por tonelada de carbón, un error de 1 mg en la pesada de
cenizas con una balanza de las utilizadas en química, corresponderá a 0.1% en contenido de cenizas; o sea, a USD
0.15 por tonelada, lo que para tales tamaños de envío supondrá una diferencia de USD 10500 (0.1 x 1.5 x 70000).
Consecuentemente, el resultado final de análisis químicos o ensayos físicos debe ser suficientemente
preciso, veraz y, especialmente, universal y reproducible. Un resultado final que únicamente se
garantice bajo condiciones específicas de operador, equipo o tiempo, no es lo suficientemente bueno,
para consideraciones comerciales.
204
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
La estimación de medidas intermedias de precisión a partir de estudios interlaboratorios asume que el
efecto de un factor particular es el mismo en todos los laboratorios; así por ejemplo, el cambio de
operadores en un laboratorio, tiene el mismo efecto que el cambio de operadores en cualquier otro
laboratorio, o que la variación debida al tiempo es la misma en todos los laboratorios. Si no se
aceptan estas hipótesis, el concepto de medidas intermedias de precisión no tiene sentido, ni tampoco
las técnicas propuestas en las secciones que siguen, para estimar estas medidas intermedias de
precisión. Debe prestarse atención a los valores anómalos (no necesariamente eliminándolos), ya que
esto ayudará a detectar el comportamiento de las hipótesis de partida, necesarias para poder combinar
la información de todos los laboratorios. Una técnica potente para detectar potenciales valores
anómalos, consiste en representar gráficamente los datos en función de los niveles de los distintos
factores o de los distintos laboratorios participantes en el estudio.
Aproximación elemental
Si material de q niveles se envía a p laboratorios, los cuales realizan mediciones en cada uno de los q
niveles con un cambio de factores de precisión intermedia entre cada una de las n mediciones,
entonces el análisis se lleva a cabo por el mismo método de cálculo, explicado en la norma 5725-2,
excepto que se estima una desviación estándar de precisión intermedia, en lugar de la desviación
estándar de repetibilidad.
205
ISO 5725 VGJ
3. Repetibilidad y Reproducibilidad
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
Aproximación elemental
Experimentos anidados
Otra forma de estimación de medidas intermedias de la precisión es realizar experimentos más
sofisticados. Estos pueden ser experimentos totalmente anidados o irregularmente anidados (para las
definiciones de estos términos, véase la norma ISO 3534’1;1993. La ventaja del empleo de los
diseños experimentales anidados consiste en que es posible estimar a la vez y para in experimento
interlaboratorios no solamente las desviaciones estándar de repetibilidad y reproducibilidad, sino
también una o más desviaciones estándar de precisión intermedia, Hay sin embargo, ciertos aspectos
a considerar, tal como se explica en la Comparación de diseños experimentales totalmente anidados e
irregularmente anidados.
Experimentos totalmente anidados
Un esquema de un experimento totalmente anidado, para un nivel particular del ensayo, se presenta
en la Figura 1.
Llevando a cabo un experimento totalmente anidado de tres factores en varios laboratorios, puede
obtenerse una medida intermedia de la precisión al mismo tiempo que las desviaciones estándar de
repetibilidad y de reproducibilidad; por ejemplo, pueden estimarse σ(0), σ(1), y σ(r). Del mismo modo,
un experimento totalmente anidado de cuatro factores puede ser usado para obtener dos medidas
intermedias de la precisión, por ejemplo, pueden estimarse σ(0), σ(1), σ(2), y σ(r).
206
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3 – Experimentos totalmente anidados
– Tres factores regularmente anidado
– Cuatro factores regularmente anidado
– Tres factores irregularmente anidado
– Cuatro factores irregularmente anidado
– Ejemplos
ISO 5725 VGJ
207
ISO 5725 VGJ
Experimentos totalmente anidados
Los subíndices i, j y k que acompañan a los dados de la Figura 3.1 a) para el experimento de diseño
totalmente anidado de tres factores representan, por ejemplo, un laboratorio, un día de experimento,
un operador y una réplica en condiciones de repetibilidad, respectivamente.
Los subíndices i, j, k y l que acompañan a los daos de la Figura 3.1 b) para el diseño totalmente
anidado de cuatro factores representan, por ejemplo, un laboratorio, un día de experimento, un
operador y una réplica en condiciones de repetibilidad, respectivamente.
El análisis de los resultados de un experimento totalmente anidado de n factores se realiza mediante
la técnica estadística del “análisis de varianza” (ANOVA, del inglés), de modo separado para cada
nivel del ensayo, describiéndose en detalle en el Anexo B.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
208
ISO 5725 VGJ
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
Aproximación elemental
Experimentos anidados
Experimentos totalmente anidados
Figura 3.1 Esquemas de experimentos totalmente anidados, de tres y cuatro factores
i
j
k
yi11 yi12 yi21 yi22
a) Experimento totalmente anidado de tres factores
a) Experimento totalmente anidado de cuatro factores
j
k
l
yi111 yi112 yi121 yi122 yi211 yi212 yi221 yi222
i
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
209
ISO 5725 VGJ
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
Aproximación elemental
Experimentos anidados
Experimentos totalmente anidados
Experimentos irregularmente anidados
En la Figura 3.2 se presenta un esquema de un experimento irregularmente anidado, para un nivel
particular del ensayo.
Figura 3.2 Esquemas de un experimento irregularmente anidado, de cuatro factores
i
j
yi1 yi2 yi3 yi4 yij
3 (residuo)
2
1
0 (Laboratorio)
FACTOR
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
210
ISO 5725 VGJ
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
Aproximación elemental
Experimentos anidados
Experimentos totalmente anidados
Experimentos irregularmente anidados
Los experimentos irregularmente anidados de tres factores requieren de cada uno de los i laboratorios
la obtención de tres resultados de ensayo. Los resultados de ensayo yi1 y yi2 deben obtenerse en
condiciones de repetibilidad, e yi3 en condiciones intermedias de precisión, con M factor(es)
diferente(s) (M=1, 2 o 3), por ejemplo, en condiciones intermedias de precisión por diferentes
tiempos (obteniéndose yi3 en día distinto al que se obtuvieron yi1 e yi2.
En un diseño irregularmente anidado de cuatro factores, yi4 debe obtenerse en condiciones
intermedias de precisión, con uno o más factores diferentes, por ejemplo, bajo condiciones
intermedias de precisión con (operador + tiempo) diferentes, variando el día y el operador.
También el análisis de los resultados de un experimento irregularmente anidado de n factores se
realiza mediante la técnica estadística del “análisis de varianza” (ANOVA) de modo separado para
cada nivel del ensayo.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
211
ISO 5725 VGJ
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
Aproximación elemental
Experimentos anidados
Experimentos totalmente anidados
Experimentos irregularmente anidados
Disposición de los factores de un diseño experimental anidado
La situación de los factores en un diseño experimental anidado se realiza de forma que los factores
más afectados por efectos sistemáticos se deberían situar en los niveles más altos (0, 1, …) y los más
afectados por efectos aleatorios, deberían estar en los niveles más bajos, considerándose al factor
situado más abajo como variación residual. Por ejemplo, en un diseño de cuatro factores como el
ilustrado en la Figura 3.1b y Figura 3.2, el factor 0 puede ser el laboratorio, el factor 1 el operador, el
factor 2 el día en que se realizan las mediciones y el factor 3 las réplicas. Esto puede no parecer
importante en el caso de un experimento totalmente anidado, debido a su simetría.
Comparación del diseño anidado con el procedimiento presentado en 5725-2
El procedimiento presentado en la norma 5725-2, dado que el análisis se lleva a cabo separadamente
para cada nivel del ensayo (material) es, de hecho, un diseño experimental totalmente anidado de dos
factores y da lugar a dos desviaciones estándar, la de repetibilidad y la de reproducibilidad. El factor
0 es el laboratorio y el factor 1 es la réplica. Si este diseño se incrementara en un factor teniendo dos
operadores en cada laboratorio, cada uno de ellos obteniendo dos resultados de ensayo, en
condiciones de repetibilidad, además de las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad, se podría determinar la desviación estándar de precisión intermedia por diferentes
operadores.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
212
ISO 5725 VGJ
- Estudio interlaboratorio y análisis de medidas intermedias de precisión
Suposiciones implícitas
Aproximación elemental
Experimentos anidados
Experimentos totalmente anidados
Experimentos irregularmente anidados
Disposición de los factores de un diseño experimental anidado
Comparación del diseño anidado con el procedimiento presentado en 5725-2
De modo alternativo, si cada laboratorio empleara únicamente un operador, pero repitiera el
experimento otro día distinto, se podría obtener la desviación estándar de precisión intermedia por
tiempo diferente, por medio de este experimento totalmente anidado de tres factores. La adición de
un factor más al experimento; es decir, cada laboratorio teniendo dos operadores, cada uno llevando a
cabo dos mediciones y repitiendo la totalidad del experimento al día siguiente, nos podría permitir
determinar las desviaciones estándar de repetibilidad, reproducibilidad, y las intermedias por
diferentes operadores, diferentes tiempos y diferentes (tiempo + operador).
Comparación de diseños experimentales totalmente anidados e irregularmente anidados
Un n-factor de un experimento totalmente anidado requiere 2n-1 resultados de prueba de cada
laboratorio, lo cual puede ser una necesidad excesiva para los laboratorios. Este es el argumento
principal para el diseño de un experimento irregularmente anidado. Este diseño necesita menos
resultados de ensayo para producir el mismo número de desviaciones estándar, aunque el análisis es
ligeramente más complejo y existe una gran incertidumbre en los cálculos de las desviaciones
estándar debido al pequeño número de resultados de ensayo.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
213
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
El análisis de la varianza descrito en este anexo, debe llevarse a cabo separadamente para cada nivel
del ensayo en la prueba interlaboratorios. Sencillamente, un subíndice indica que el nivel del ensayo
no ha sido acompañado por los datos. Debería notarse que el subíndice j es usado en esta norma 5725
para el factor 1 (factor 0 asignado laboratorio), aunque en otras partes de la norma es usado para el
nivel del ensayo.
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
Los datos obtenidos en el experimento son denotados por yijk, y los valores principales y rangos son
los siguientes:
𝑦 𝑖𝑗 =1
2𝑦𝑖𝑗1 + 𝑦𝑖𝑗2
𝑦 𝑖 =1
2𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖𝑖
𝑤𝑖𝑗(1) = 𝑦𝑖𝑗1 + 𝑦𝑖𝑗2
𝑤𝑖(2) = 𝑦 𝑖1 + 𝑦 𝑖2
donde p es el número de laboratorios que han participado en el experimento interlaboratorio.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
214
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
La suma total de cuadrados, SST, puede ser subdividida como
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦 2
𝑘𝑗𝑖
= 𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆𝑒
donde
𝑆𝑆0 = 𝑦 𝑖 − 𝑦 2
𝑘𝑗𝑖
= 4 𝑦 𝑖 − 𝑦 2
𝑖
= 4 𝑦 𝑖2
𝑖
− 4𝑝 𝑦 2
𝑆𝑆1 = 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖2
𝑘𝑗𝑖
= 2 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖2
𝑖𝑖
= 𝑤𝑖(2)2
𝑖
𝑆𝑆𝑒 = 𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦 𝑖𝑗2
𝑘𝑗𝑖
=1
2 𝑤𝑖𝑗(1)
2
𝑖
Desde que los grados de libertad de las sumas de los cuadrados SS0, SS1 y SSe son p-1, p y 2p,
respectivamente, la Tabla ANOVA está compuesta como se muestra en la Tabla 3.A.1.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
215
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
Tabla 3.A.1 Tabla ANOVA para un experimento totalmente anidado de tres factores
Fuente Suma de
cuadrados
Grados de
Libertad
Media
Cuadrática
Media
cuadrática
ponderada
0 SS0 p−1 𝑀𝑆0 =𝑆𝑆0
𝑝 − 1 𝜎𝑟
2+2𝜎(1)2 + 4𝜎(0)
2
1 SS1 p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆1
𝑝 𝜎𝑟
2+2𝜎(1)2
Residual SSe 2p 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒
2𝑝 𝜎𝑟
2
Total SST 4p−1
Las estimaciones sesgadas 𝑠(0)2, 𝑠(1)
2, y 𝑠𝑟2 de 𝜎(0)
2, 𝜎(1)2, y 𝜎𝑟
2, respectivamente, se pueden
obtener de las medias cuadráticas 𝑀𝑆0, 𝑀𝑆1, y 𝑀𝑆𝑒 como
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
216
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
Los datos obtenidos en el experimento son denotados por yijk, y los valores principales y rangos son
los siguientes:
𝑠(0)2 =
1
4𝑀𝑆0 +𝑀𝑆2
𝑠(1)2 =
1
2𝑀𝑆2 + 𝑀𝑆𝑒
𝑠𝑟2 = 𝑀𝑆𝑒
Los cálculos de repetibilidad en las varianzas , varianza intermedia de precisión diferente de un solo
factor y la varianza de reproducibilidad son como sigue:
𝑠𝑟2
𝑠𝑙(1)2 = 𝑠𝑟
2 + 𝑠(1)2
𝑠𝑅2 = 𝑠𝑟
2 + 𝑠(1)2 + 𝑠(0)
2
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
217
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
3.A.2 Experimento totalmente anidado de cuatro factores
Los datos obtenidos en el experimento son denotados por yijkl y los valores medios y rangos son como
sigue:
𝑦 𝑖𝑗𝑘 =1
2𝑦𝑖𝑗𝑘1 + 𝑦𝑖𝑗𝑘2
𝑦 𝑖𝑗 =1
2𝑦 𝑖𝑗1 + 𝑦 𝑖𝑗2
𝑦 𝑖 =1
2𝑦 𝑖1 + 𝑦 𝑖2
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖𝑖
𝑤𝑖𝑗𝑘(1) = 𝑦𝑖𝑗𝑘1 + 𝑦𝑖𝑗𝑘2
𝑤𝑖𝑗(2) = 𝑦 𝑖𝑗1 + 𝑦 𝑖𝑗2
𝑤𝑖(3) = 𝑦 𝑖1 + 𝑦 𝑖2
donde p es en número de laboratorios que han participado en comparaciones interlaboratorios.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
218
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
3.A.2 Experimento totalmente anidado de cuatro factores
El total de suma de cuadrados, SST, se puede subdividir como sigue:
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝑦 2
𝑙𝑘𝑗𝑖
= 𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆2 + 𝑆𝑆𝑒
donde:
𝑆𝑆0 = 𝑦 𝑖 + 𝑦 2
𝑙𝑘𝑗𝑖
= 8 𝑦 𝑖2
𝑖
− 8𝑝 𝑦 2
𝑖
𝑆𝑆1 = 𝑦 𝑖𝑗 + 𝑦 𝑖2
𝑙𝑘𝑗𝑖
= 4 𝑦 𝑖𝑗 + 𝑦 𝑖2
𝑙𝑘
= 2 𝑤𝑖(3)2
𝑖
𝑆𝑆2 = 𝑦 𝑖𝑗𝑘 + 𝑦 𝑖𝑗2
𝑙𝑘𝑗𝑖
= 2 𝑦 𝑖𝑗𝑘 + 𝑦 𝑖𝑗2
𝑙𝑘𝑖
= 𝑤𝑖𝑗(2)2
𝑙𝑘
𝑆𝑆𝑒 = 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝑦 𝑖𝑗𝑘2
𝑙𝑘𝑗𝑖
=1
2 𝑤𝑖𝑗𝑘(1)
2
𝑙𝑘𝑖
Puesto que los grados de libertad para las sumas de cuadrados SS0, SS1 , SS2 y SSe son
p-1, p, 2p y 4p respectivamente, la Tabla ANOVA se conforma como se muestra en la Tabla 3.A.2.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
219
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
3.A.2 Experimento totalmente anidado de cuatro factores
Tabla 3.A.2 Tabla ANOVA para un experimento totalmente anidado de cuatro factores
Fuente Suma de
cuadrados
Grados de
Libertad
Media
Cuadrática
Media
cuadrática
ponderada
0 SS0 p−1 𝑀𝑆0 =𝑆𝑆0
𝑝 − 1 𝜎𝑟
2+2𝜎(2)2 + 4𝜎(1)
2 + 8𝜎(0)2
1 SS1 p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆1
𝑝 𝜎𝑟
2+2𝜎(2)2+4𝜎(1)
2
2 SS1 2p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆2
2𝑝 𝜎𝑟
2+2𝜎(2)2
Residual SSe 4p 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒
4𝑝 𝜎𝑟
2
Total SST 8p−1
Las estimaciones sesgadas 𝑠(0)2, 𝑠(1)
2, 𝑠(2)2 y 𝑠𝑟
2 de 𝜎(0)2, 𝜎(1)
2, 𝜎(2)2 y 𝜎𝑟
2, respectivamente, se
pueden obtener de las medias cuadráticas 𝑀𝑆0, 𝑀𝑆1, 𝑀𝑆2 y 𝑀𝑆𝑒 como sigue:
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
220
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
3.A.2 Experimento totalmente anidado de cuatro factores
𝑠(0)2 =
1
8𝑀𝑆0 − 𝑀𝑆1
𝑠(1)2 =
1
4𝑀𝑆2 − 𝑀𝑆1
𝑠(2)2 =
1
2𝑀𝑆2 − 𝑀𝑆𝑒
𝑠𝑟2 = 𝑀𝑆𝑒
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
221
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.A
Análisis de varianza por experimentos totalmente anidados
3.A.1 Experimentos totalmente anidados de tres factores
3.A.2 Experimento totalmente anidado de cuatro factores
Los cálculos de repetibilidad en las varianzas, la varianza intermedia de precisión diferente de un solo
factor, la varianza intermedia de precisión diferente y la varianza de reproducibilidad son
respectivamente como sigue:
𝑠𝑟2
𝑠𝑙(1)2 = 𝑠𝑟
2 + 𝑠(2)2
𝑠𝑙(2)
2 = 𝑠𝑟2 + 𝑠(2)
2 + 𝑠(1)2
𝑠𝑅
2 = 𝑠𝑟2 + 𝑠(2)
2 + 𝑠(1)2 + 𝑠0
2
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
222
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
El análisis de la varianza descrito en este anexo debe llevarse a cabo independientemente para cada
nivel del ensayo incluido en la comparación interlaboratorio. Por simplicidad, un subíndice indica el
nivel del ensayo que no ha sido acompañado por sus datos. Debería notarse que el subíndice j se
emplea en esta parte de la norma 5725 para réplicas dentro del laboratorio, aunque en otras partes de
la norma 5725, es empleado para el nivel de ensayos.
Los métodos descritos en Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia
de datos dudosos deberían aplicarse para comprobar tanto la consistencia como la anormalidad de los
datos. Con los diseños descritos en este anexo, el análisis exacto de los datos es muy complicado
cuando alguno de los resultados de un laboratorio no se encuentran. Si se decide que algunos de los
resultados de ensayo de un laboratorio son dudosos o anómalos y deben excluirse del análisis.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
223
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
Los datos obtenidos en el experimento dentro de un laboratorio i están indicados por yij (j = 1, 2, 3) y
los valores medios y rangos son como sigue:
𝑦 𝑖(1) =1
2𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2
𝑦 𝑖(2) =1
3𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖(2)𝑖
𝑤𝑖(1) = 𝑦𝑖1 − 𝑦𝑖2
𝑤𝑖(2) = 𝑦𝑖1 − 𝑦𝑖3
donde p es el número de laboratorios que han participado en la comparación interlaboratorio.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
224
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
La suma total de cuadrados, SST, se puede subdividir como sigue:
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗 + 𝑦 2
𝑗𝑖
= 𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆𝑒
donde
𝑆𝑆0 = 3 𝑦 𝑖(2)2
𝑖
− 3𝑝 𝑦 2
𝑖
𝑆𝑆1 =2
3 𝑤𝑖(2)
2
𝑖
𝑆𝑆𝑒 =1
2 𝑤𝑖(1)
2
𝑖
Puesto que los grados de libertad para las sumas de cuadrados SS0, SS1 y SSe son p-1, p y p,
respectivamente, la Tabla ANOVA se conforma como se muestra en la Tabla 3.B.1.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
225
ISO 5725 VGJ
Tabla 3.B.1 Tabla ANOVA para un experimento irregularmente anidado de tres factores
Fuente Suma de
cuadrados
Grados
de
Libertad
Media
Cuadrática
Media cuadrática
esperada
0 SS0 p−1 𝑀𝑆0 =𝑆𝑆0
𝑝 − 1 𝜎𝑟
2+5
3𝜎(1)
2 + 3𝜎(0)2
1 SS1 p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆1
𝑝 𝜎𝑟
2+4
3𝜎(1)
2
Residual SSe P 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒
𝑝 𝜎𝑟
2
Total SST 3p−1
Las estimaciones sesgadas 𝑠(0)2, 𝑠(1)
2 y 𝑠𝑟2 de 𝜎(0)
2, 𝜎(1)2 y 𝜎𝑟
2, respectivamente, se pueden
obtener de las medias cuadráticas 𝑀𝑆0, 𝑀𝑆1 y 𝑀𝑆𝑒 como sigue:
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
226
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
𝑠(0)2 =
1
3𝑀𝑆0 −
5
12𝑀𝑆1 +
1
12𝑀𝑆𝑒
𝑠(1)2 =
3
4𝑀𝑆1 −
3
4𝑀𝑆𝑒
𝑠𝑟2 = 𝑀𝑆𝑒
Los cálculos de la varianza de repetibilidad, varianza intermedia de precisión diferente de un solo
factor y la varianza de reproducibilidad son, respectivamente como sigue:
𝑠𝑟2
𝑠𝑙(1)2 = 𝑠𝑟
2 + 𝑠(2)2
𝑠𝑙(2)
2 = 𝑠𝑟2 + 𝑠(1)
2
𝑠𝑅
2 = 𝑠𝑟2 + 𝑠(1)
2
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
227
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
Los datos obtenidos en el experimento dentro de un laboratorio i están indicados por yij (j = 1, 2, 3,
4), y los valores medios y rangos son como sigue:
𝑦 𝑖(1) =1
2𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2
𝑦 𝑖(2) =1
3𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3
𝑦 𝑖(3) =1
4𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖4
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖(3)𝑖
𝑤𝑖(1) = 𝑦𝑖1 − 𝑦𝑖2
𝑤𝑖(2) = 𝑦𝑖1 − 𝑦𝑖3
𝑤𝑖(3) = 𝑦𝑖2 − 𝑦𝑖4
donde p es el número de laboratorios que han participado en la comparación interlaboratorio. , la
Tabla ANOVA se conforma como se muestra en la Tabla 3.B.2.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
228
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
Tabla 3.B.2 Tabla ANOVA para un experimento irregularmente anidado de cuatro factores
Fuente Suma de cuadrados
Grados
de
Libertad
Media
Cuadrática
Media cuadrática
esperada
0 𝑆𝑆0 = 4 𝑦 𝑖(3)2
𝑖
− 4𝑝 𝑦 2 p−1 𝑀𝑆0 =𝑆𝑆0
𝑝 − 1 𝜎𝑟
2+3
2𝜎(2)
2 +5
2𝜎(1)
2 +3
2𝜎(1)
2
1 𝑆𝑆1 =3
4 𝑤𝑖(3)
2
𝑖
p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆1
𝑝 𝜎𝑟
2+7
6𝜎(2)
2 +3
2𝜎(1)
2
2 𝑆𝑆2 =2
3 𝑤𝑖(2)
2
𝑖
P 𝑀𝑆2 =𝑆𝑆2
𝑝 𝜎𝑟
2+4
3𝜎(2)
2
Residual 𝑆𝑆𝑒 =1
2 𝑤𝑖(1)
2
𝑖
P 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒
𝑝 𝜎𝑟
2
Total 𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 2
𝑗𝑖
4p−1
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
229
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
3.B.3 Experimento irregularmente anidado de cinco factores
𝑦 𝑖(1) =1
2𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2
𝑦 𝑖(2) =1
3𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3
𝑦 𝑖(3) =1
4𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖4
𝑦 𝑖(4) =1
5𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖4 + 𝑦𝑖5
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖(4)𝑖
𝑤𝑖(1) = 𝑦 𝑖(1) − 𝑦 𝑖(2)
𝑤𝑖(2) = 𝑦 𝑖(2) − 𝑦 𝑖(3)
𝑤𝑖(3) = 𝑦 𝑖(3) − 𝑦 𝑖(4)
𝑤𝑖(4) = 𝑦 𝑖(3) − 𝑦 𝑖(5)
donde p es el número de laboratorios que han participado en la comparación interlaboratorio, la Tabla ANOVA se
conforma como se muestra en la Tabla 3.B.3.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
230
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
3.B.3 Experimento irregularmente anidado de cinco factores
Tabla 3.B.3 Tabla ANOVA para un experimento irregularmente anidado de cinco factores
Fuente Suma de cuadrados Grados de
Libertad
Media
Cuadrática
Media cuadrática
esperada
0 𝑆𝑆0 = 5 𝑦 𝑖(4)2
𝑖
− 5𝑝 𝑦 2 p−1 𝑀𝑆0 =𝑆𝑆0
𝑝 − 1 𝜎𝑟
2+7
5𝜎(3)
2 +11
5𝜎(2)
2 +17
5𝜎(1)
2+ 5𝜎(0)
2
1 𝑆𝑆1 =4
5 𝑤𝑖(4)
2
𝑖
p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆1
𝑝 𝜎𝑟
2+11
10𝜎(3)
2 +13
10𝜎(2)
2 +8
5𝜎(1)
2
2 𝑆𝑆2 =3
4 𝑤𝑖(3)
2
𝑖
P 𝑀𝑆2 =𝑆𝑆2
𝑝 𝜎𝑟
2+7
6𝜎(3)
2+3
2𝜎(2)
2
3 𝑆𝑆3 =2
3 𝑤𝑖(2)
2
𝑖
P 𝑀𝑆3 =𝑆𝑆3
𝑝 𝜎𝑟
2+4
3𝜎(3)
2
Residual 𝑆𝑆𝑒 =1
2 𝑤𝑖(1)
2
𝑖
P 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒
𝑝 𝜎𝑟
2
Total 𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 2
𝑗𝑖
5p−1
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
231
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
3.B.3 Experimento irregularmente anidado de cinco factores
3.B.4 Experimento irregularmente anidado de seis factores
Los datos obtenidos en el experimento dentro de un laboratorio i están indicados por yij (j = 1, 2, 3, 4,
5, 6), y los valores medios y rangos son como sigue:
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
232
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
3.B.3 Experimento irregularmente anidado de cinco factores
3.B.4 Experimento irregularmente anidado de seis factores
𝑦 𝑖(1) =1
2𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2
𝑦 𝑖(2) =1
3𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3
𝑦 𝑖(3) =1
4𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖4
𝑦 𝑖(4) =1
5𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖4 + 𝑦𝑖5
𝑦 𝑖(5) =1
6𝑦𝑖1 + 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖4 + 𝑦𝑖5 + 𝑦𝑖6
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖(5)𝑖
𝑤𝑖(1) = 𝑦 𝑖(1) − 𝑦 𝑖(2)
𝑤𝑖(2) = 𝑦 𝑖(2) − 𝑦 𝑖(3)
𝑤𝑖(3) = 𝑦 𝑖(2) − 𝑦 𝑖(4)
𝑤𝑖(4) = 𝑦 𝑖(3) − 𝑦 𝑖(5)
𝑤𝑖(5) = 𝑦 𝑖(4) − 𝑦 𝑖(6)
donde p es el número de laboratorios que han participado en la comparación interlaboratorio, la Tabla ANOVA se
conforma como se muestra en la Tabla 3.B.4.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
233
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.B
Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados
3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores
3.B.2 Experimento irregularmente anidado de cuatro factores
3.B.3 Experimento irregularmente anidado de cinco factores
3.B.4 Experimento irregularmente anidado de seis factores
Tabla 3.B.4 Tabla ANOVA para un experimento irregularmente anidado de seis factores
Fuente Suma de cuadrados Grados de
Libertad
Media
Cuadrática
Media cuadrática
ponderada
0 𝑆𝑆0 = 6 𝑦 𝑖(5)2
𝑖
− 6𝑝 𝑦 2 p−1 𝑀𝑆0 =𝑆𝑆0
𝑝 − 1 𝜎𝑟
2+4
3𝜎(4)
2 + 2𝜎(3)2 + 3𝜎(2)
2 +13
3𝜎(1)
2 + 6𝜎(0)2
1 𝑆𝑆1 =5
6 𝑤𝑖(5)
2
𝑖
p 𝑀𝑆1 =𝑆𝑆1
𝑝 𝜎𝑟
2+16
15𝜎(4)
2 +6
5𝜎(3)
2 +7
5𝜎(2)
2 +5
3𝜎(2)
2
2 𝑆𝑆2 =4
5 𝑤𝑖(4)
2
𝑖
P 𝑀𝑆2 =𝑆𝑆2
𝑝 𝜎𝑟
2+11
10𝜎(4)
2+13
10𝜎(3)
2+8
5𝜎(2)
2
3 𝑆𝑆3 =3
4 𝑤𝑖(3)
2
𝑖
P 𝑀𝑆3 =𝑆𝑆3
𝑝 𝜎𝑟
2+7
6𝜎(4)
2+3
2𝜎(3)
2
4 𝑆𝑆4 =2
3 𝑤𝑖(2)
2
𝑖
P 𝑀𝑆4 =𝑆𝑆4
𝑝 𝜎𝑟
2+4
3𝜎(4)
2
Residual 𝑆𝑆𝑒 =1
2 𝑤𝑖(1)
2
𝑖
P 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒
𝑝 𝜎𝑟
2
Total 𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 2
𝑗𝑖
6p−1
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
234
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.1 Ejemplo 1 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia, por [tiempo + operador]
diferentes sl(TO), dentro de un laboratorio específico, a un nivel particular de ensayo
Antecedentes
a) Método de medición: Determinación del contenido de carbono en el acero por emisión de
espectrometría al vacío con los resultados de la prueba expresados en porcentaje de masa.
b) Fuente: Reporte de rutina sobre los trabajos de acero en Noviembre de 1984.
c) Diseño experimental: En un laboratorio específico, se seleccionó al azar una muestra de
materiales analizados, que fueron nuevamente analizados al día siguiente por un analista
diferente. En un mes se obtuvieron 29 pares con datos semejantes (véase Tabla 3.C.1).
Los datos yj1, yj2, y 𝑤𝑗 = 𝑦𝑖1 − 𝑦𝑖2 se muestran en la Tabla 3.C.1. El análisis sigue el procedimiento
que se muestra en la subcláusula Método alternativo.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
235
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.1 Ejemplo 1 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia, por [tiempo + operador]
diferentes sl(TO), dentro de un laboratorio específico, a un nivel particular de ensayo
Antecedentes
Análisis
Una gráfica de datos [desviaciones de la media de las mediciones en ambos días 𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦 𝑗 contra la
muestra número j] se muestra en la Figura 3.C.1. Esta gráfica y aplicación de la prueba de Cochran
indican los rangos para muestras con números 20 y 24 son anómalos. Existe una gran discrepancia
entre la medidas cotidianas de estas muestras que son debido a errores en el registro de los datos. Los
valores para estas dos muestras fueron eliminados del cálculo de la [tiempo + operador] desviación
estándar intermedia de precisión diferente, sl(TO), la cual se cálculo de acuerdo a la ecuación (52)
como:
𝑠𝑙(𝑇𝑂) =1
2 × 27 𝑤𝑗
227
𝑗=1= 2.87 × 10−3
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
236
ISO 5725 VGJ
Muestra
No. j
Primer Día
yj1
Segundo Día
yj2
Rango
wj
1 0.130 0.127 0.003
2 0.140 0.132 0.008
3 0.078 0.080 0.002
4 0.110 0.113 0.003
5 0.126 0.128 0.002
6 0.036 0.032 0.004
7 0.050 0.047 0.003
8 0.143 0.140 0.003
9 0.091 0.089 0.002
10 0.040 0.030 0.010
11 0.110 0.113 0.003
12 0.142 0.145 0.003
13 0.143 0.150 0.007
14 0.169 0.165 0.004
15 0.169 0.173 0.004
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.1 Ejemplo 1 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia, por [tiempo + operador]
diferentes sl(TO), dentro de un laboratorio específico, a un nivel particular de ensayo
Antecedentes
Análisis
Tabla 3.C.1 Datos originales: Contenido de Carbono, %(m/m)
Muestra
No. j
Primer Día
yj1
Segundo Día
yj2
Rango
wj
16 0.149 0.144 0.005
17 0.044 0.044 0.000
18 0.127 0.122 0.005
19 0.050 0.048 0.002
20 0.042 0.146 0.104
21 0.150 0.145 0.005
22 0.135 0.133 0.002
23 0.044 0.045 0.001
24 0.100 0.161 0.061
25 0.132 0.131 0.001
26 0.047 0.045 0.002
27 0.168 0.165 0.003
28 0.092 0.088 0.004
29 0.041 0.043 0.002
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
237
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.1 Ejemplo 1 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia, por [tiempo + operador]
diferentes sl(TO), dentro de un laboratorio específico, a un nivel particular de ensayo
Antecedentes
Análisis
Figura 3.C.1 Contenido de Carbono en acero. Desviaciones de la media de las
mediciones en ambos días contra el número de muestra
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Co
nte
nid
o d
e ca
rbo
no
%(m
/m)
Primer Día
Segundo Día
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
238
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
a) Método de medición: Determinación del contenido de vanadio en acero por el método de
absorción atómica espectrométrica descrito en las instrucciones para el experimento. Los
resultados de la prueba son expresados en porcentaje de masa.
b) Fuente: ISO/TC 17, Steel/SC 1, Methods of determination of chemical composition.
Experimento realizado en Mayo de 1985.
c) Diseño experimental: Un experimento irregularmente anidado de tres factores fue realizado
con 20 laboratorios, reportando cada uno dos resultados de la prueba, obtenidos bajo
condiciones de repetibilidad en un día, seguido de un resultado más alejado en el día
siguiente en cada uno de los seis niveles incluidos en el experimento. Todas las medidas de
cualquier laboratorio fueron realizadas por un operador, usando el mismo equipo de
medición.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
239
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Los datos de los seis niveles se muestran en la Tabla 3.C.2.
El análisis de la varianza se presenta solamente para uno de los niveles, es decir, nivel 1.
La gráfica de los datos (resultados de la prueba para uno y dos días contra laboratorio número i) se
muestra en la Figura 3.C.2. Esta gráfica indica que el laboratorio 20 es anómalo. Existe una gran
discrepancia entre el resultado de la prueba para el día 2 y el valor medio para el día 1, la cual es muy
grande comparada con los resultados de otros laboratorios. Este laboratorio fue eliminado de los
cálculos de las medidas de precisión.
De acuerdo con 3.B.1 Experimento irregularmente anidado de tres factores del Anexo 3.B, wi(1), wi(2)
y 𝑦 𝑖(2) fueron calculados y los resultados se muestran en la Tabla 3.C.3.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
240
ISO 5725 VGJ
Laboratorio
No. j
Nivel 1
(0.01%)
Nivel 2
(0.04%)
Nivel 3
(0.1%)
Nivel 4
(0.2%)
Nivel 5
(0.5%)
Nivel 6
(0.75%)
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3
1 0.0091 0.0102 0.0098 0.0382 0.0388 0.0385 0.101 0.103 0.102 0.214 0.211 0.210 0.514 0.510 0.513 0.755 0.753 0.751
2 0.0100 0.0100 0.0090 0.0041 0.0410 0.0390 0.111 0.111 0.108 0.220 0.220 0.215 0.520 0.540 0.540 0.800 0.755 0.750
3 0.0095 0.0090 0.0094 0.0390 0.0380 0.0370 0.108 0.110 0.107 0.213 0.215 0.215 0.500 0.514 0.504 0.738 0.730 0.724
4 0.0080 0.0083 0.0077 0.0374 0.0361 0.0382 0.109 0.106 0.104 0.214 0.222 0.201 0.519 0.518 0.518 0.744 0.742 0.732
5 0.0100 0.0100 0.0100 0.0350 0.0370 0.0370 0.103 0.103 0.110 0.210 0.210 0.205 0.495 0.500 0.512 0.743 0.753 0.750
6 0.0089 0.0094 0.0094 0.0368 0.0368 0.0377 0.106 0.106 0.108 0.232 0.240 0.221 0.526 0.532 0.513 0.733 0.740 0.746
7 0.0098 0.0099 0.0101 0.0376 0.0380 0.0384 0.107 0.105 0.108 0.215 0.215 0.216 0.521 0.219 0.526 0.754 0.756 0.756
8 0.0096 0.0094 0.0099 0.0379 0.0366 0.0379 0.108 0.107 0.108 0.193 0.195 0.210 0.507 0.493 0.511 0.732 0.729 0.732
9 0.0104 0.0094 0.0100 0.0365 0.0370 0.0367 0.104 0.106 0.105 0.211 0.205 0.213 0.509 0.515 0.515 0.734 0.738 0.747
10 0.0107 0.0118 0.0097 0.0370 0.0375 0.0380 0.105 0.110 0.105 0.210 0.220 0.225 0.520 0.520 0.525 0.760 0.760 0.765
11 0.0100 0.0100 0.0090 0.0380 0.0380 0.0375 0.102 0.102 0.102 0.213 0.211 0.214 0.513 0.516 0.514 0.746 0.748 0.746
12 0.0109 0.0115 0.0097 0.0390 0.0390 0.0390 0.101 0.108 0.105 0.208 0.215 0.210 0.509 0.528 0.510 0.758 0.748 0.750
13 0.0100 0.0095 0.0095 0.0375 0.0375 0.0375 0.103 0.104 0.108 0.212 0.222 0.215 0.510 0.520 0.505 0.735 0.755 0.750
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Tabla 3.C.2 Datos originales: Contenido de Vanadio, %(m/m)
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
241
ISO 5725 VGJ
Laboratorio
No. j
Nivel 1
(0.01%)
Nivel 2
(0.04%)
Nivel 3
(0.1%)
Nivel 4
(0.2%)
Nivel 5
(0.5%)
Nivel 6
(0.75%)
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
Día
1
Día
2
yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3 yi1 yi2 yi3
14 0.0096 0.0096 0.0100 0.0374 0.0374 0.0398 0.104 0.106 0.110 0.218 0.218 0.212 0.520 0.528 0.522 0.740 0.735 0.742
15 0.0099 0.0091 0.0082 0.0381 0.0375 0.0392 0.109 0.106 0.107 0.214 0.210 0.211 0.510 0.510 0.515 0.749 0.729 0.744
16 0.0098 0.0100 0.0095 0.0373 0.0377 0.0397 0.105 0.105 0.104 0.215 0.212 0.218 0.519 0.517 0.531 0.754 0.751 0.759
17 0.0105 0.0102 0.0112 0.0389 0.0382 0.0373 0.107 0.108 0.104 0.214 0.210 0.209 0.517 0.515 0.514 0.735 0.728 0.741
18 0.0103 0.0105 0.0118 0.0382 0.0380 0.0374 0.103 0.104 0.103 0.224 0.218 0.217 0.515 0.514 0.517 0.788 0.798 0.787
19 0.0098 0.0096 0.0104 0.0383 0.0375 0.0366 0.110 0.109 0.104 0.217 0.215 0.215 0.530 0.525 0.520 0.755 0.745 0.740
20 0.0140 0.0140 0.0100 0.0370 0.0408 0.0369 0.104 0.106 0.107 0.214 0.214 0.203 0.518 0.518 0.581 0.730 0.737 0.658
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Tabla 3.C.2 Datos originales: Contenido de Vanadio, %(m/m)
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
242
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Figura 3.C.2 Contenido de Vanadio en acero. Resultados del ensayo para los días 1 y 2 contra el número de laboratorios
0.007
0.008
0.009
0.010
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Co
nte
nid
o d
e ca
rbo
no
%(m
/m)
Nivel 1 0.01 %
yi1
yi2
yi3
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
243
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Figura 3.C.2 (adicional para todos los niveles) Contenido de Vanadio en acero. Resultados del ensayo para los días 1 y 2 contra el número de laboratorios
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Co
nte
nid
o d
e ca
rbo
no
%(m
/m)
Todos los niveles
1erD1
2oD1
D2
Generalizando a un promedio de todos los niveles, la gráfica
indica que el laboratorio 20 aun es anómalo, además destaca
al laboratorio 7 con ciertas inconsistencias que lo hacen un
candidato a dato anómalo.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
244
ISO 5725 VGJ
Laboratorio
No. j
Nivel 1
Día 1 Día 2
wi(1) wi(2) 𝑦 𝑖(2)
1 0.0011 0.0007 0.009700
2 0.0000 0.0010 0.009667
3 0.0005 0.0001 0.009300
4 0.0003 0.0003 0.008000
5 0.0000 0.0000 0.010000
6 0.0005 0.0005 0.009233
7 0.0001 0.0003 0.009933
8 0.0002 0.0003 0.009633
9 0.0010 0.0004 0.009933
10 0.0011 0.0010 0.010733
11 0.0000 0.0010 0.009667
12 0.0006 0.0012 0.010700
13 0.0005 0.0005 0.009667
14 0.0000 0.0004 0.009733
15 0.0008 0.0017 0.009067
16 0.0002 0.0003 0.009767
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Tabla 3.C.3 Valores de wi(1), wi(2) y 𝑦 𝑖(2)
Laboratorio
No. j
Nivel 1
Día 1 Día 2
wi(1) wi(2) 𝑦 𝑖(2)
17 0.0003 0.0007 0.010633
18 0.0002 0.0015 0.010867
19 0.0002 0.0006 0.009933
20 0.0000 0.0040 0.012667
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
245
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Ejercicio:
Analice los niveles 2 al 6 y
concluya para cada uno.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
246
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
La suma de cuadrados de wi(1), wi(2) y 𝑦 𝑖(2) y el valor medio 𝑦 están calculados como
𝑤𝑖(1)
𝑖
= 5.52 × 10−6
𝑤𝑖(2)
𝑖
= 12.44 × 10−6
𝑦 (𝑖)22
𝑖
= 1832.16 × 10−6
1
19 𝑦 (𝑖)2𝑖
= 0.00979825
De estos valores, se obtienen las sumas de cuadrados SS0, SS1 y SSe y la Tabla ANOVA queda
integrada como se muestra en Tabla 3.C.4.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
247
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Las estimaciones sesgadas de las varianzas entre laboratorios 𝑠(0)2, durante los días dentro de un
laboratorio 𝑠(1)2 y la repetibilidad de la varianza estimada 𝑠𝑟
2 se obtienen como sigue:
𝑠(0)2 = 0.278 × 10−6
𝑠(1)2 = 0.218 × 10−6
𝑠𝑟2 = 0.145 × 10−6
La reproducibilidad de la desviación estándar sR, desviación estándar de precisión intermedia en
tiempo diferente sR l(T) y la repetibilidad de la desviación estándar sr se obtienen como sigue:
𝑠𝑅2 = 𝑠𝑟
2 + 𝑠(1)2 + 𝑠(0)
2 = 0.801 × 10−3
𝑠𝑙(𝑇)2 = 𝑠𝑟
2 + 𝑠(1)2 = 0.603 × 10−3
𝑠𝑟2 = 𝑠𝑟
2 = 0.381 × 10−3
Los valores de las desviaciones estándar para los seis niveles de contenido de vanadio, son resumidos
en la Tabla 3.C.5 como se muestra en la Figura 3.C.3.
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
248
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Tabla 3.C.4 Tabla ANOVA – Contenido de Vanadio
Fuente Suma de
cuadrados
Grados de
Libertad
Media
Cuadrática
Media
cuadrática
esperada
0 (laboratorio)
24.16 × 10−6 18 1.342 × 10−6 𝜎𝑟2+
5
3𝜎(1)
2 + 3𝜎(0)2
1
(día) 8.29 × 10−6 19 0.436 × 10−6 𝜎𝑟
2+4
3𝜎(1)
2
Residual 2.76 × 10−6 19 0.145 × 10−6 𝜎𝑟2
Total 35.21 × 10−6 56
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
249
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
1
2
3
4
5
6
20
2
-
6 y 8
20
20
0.0098
0.0378
0.1059
0.2138
0.5164
0.7484
0.381 × 10−3
0.820 × 10−3
1.739 × 10−3
3.524 × 10−3
6.237 × 10−3
9.545 × 10−3
0.603 × 10−3
0.902 × 10−3
2.305 × 10−3
4.710 × 10−3
6.436 × 10−3
9.545 × 10−3
0.801 × 10−3
0.954 × 10−3
2.650 × 10−3
4.826 × 10−3
9.412 × 10−3
15.962 × 10−3
Tabla 3.C.5 Valores de sr , s(T) y sR en el contenido de vanadio para seis niveles
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
250
ISO 5725 VGJ
- Anexo 3.C
Ejemplos de análisis estadístico de experimentos de precisión intermedia
3.C.2 Ejemplo 2 – Obtener la desviación estándar de precisión intermedia en tiempo diferente por
comparación interlaboratorios
Antecedentes
Análisis
Tabla 3.C.5 Valores de sr , s(T) y sR en el contenido de vanadio para seis niveles
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
1 2 3 4 5 6
% (
m/m
)
Nivel
Contenido de vanadio en acero
Desviaciones estándar
sr (%)
sl(T) (%)
sR (%)
4. ANOVA para experimentos anidados ISO 5725-3
251
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4 – Requisitos para los materiales de referencia
– Número de laboratorios requeridos
– Evaluación estadística
– Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio
– Ejemplo de experimento de exactitud
ISO 5725 VGJ
252
ISO 5725 VGJ
- Introducción
Dos medidas de medición pueden ser de interés y ambas consideradas en esté capítulo (ISO 5725-4).
a) Sesgo del método de medición: Cuando existe la posibilidad que el método pueda producir un
sesgo, el cual puede persistir cuando y donde se realice la medición, entonces es interesante
investigar “el sesgo del método de medición” (como esta definido en la ISO 5725-1). Esto
requiere de un experimento que involucre varios laboratorios (como lo describe la ISO 5725-2).
b) Sesgo de laboratorio: Las medidas dentro de un solo laboratorio pueden mostrar el “sesgo de
laboratorio” (como se define en la ISO 5725-1). Si se propone emprender un experimento para
calcular el sesgo de laboratorio, entonces debe observarse que la estimación sea válida en el
momento en que se realizó el experimento. Además se requieren experimentos regulares para
mostrar que el sesgo de laboratorio no varía; se puede usar el método descrito en la ISO 5725-6
(aun no se revisa dada su reciente periodo de publicación).
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
253
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
En el modelo básico descrito en la sección Definición del modelo estadístico, el significado general
de m puede ser reemplazado por
𝑚 = 𝜇 + 𝛿 (53)
donde
𝜇 Es el valor de referencia aceptado que aparece medido 𝛿 Es el sesgo del método de medición
El modelo viene siendo
𝑦 = 𝜇 + 𝛿 + 𝐵 + 𝑒 (54)
La ecuación (54) se utiliza cuando 𝛿 es de interés. Aquí B es el componente del sesgo de laboratorio;
por ejemplo, el componente en un resultado de prueba que representa la variación interlaboratorio.
El sesgo de laboratorio, Δ, está dado por:
Δ = 𝛿 + 𝐵 (55)
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
254
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Entonces el modelo puede escribirse como:
𝑦 = μ + Δ + 𝑒 (56)
La ecuación (56) se utiliza cuando Δ es de interés.
Requisitos para los materiales de referencia
Si se utilizan materiales de referencia, los requisitos adecuados deben ser 421 y 422. Los materiales
de referencia deben ser homogéneos.
Elección de materiales de referencia
Los materiales de referencia deben contener propiedades conocidas concentración por ejemplo, al
nivel apropiado para el nivel de aplicación requerido por el método de medición normalizado. En
algunos casos será de suma importancia incluir en el experimento de evaluación una serie de
materiales de referencia, cada uno correspondiente a los diferentes niveles de la propiedad, puesto
que el sesgo del método de medición normalizado puede ser diferente en los diferentes niveles de
medición. Los materiales de referencia deberán tener una matriz tan parecida como sea posible a la
matriz del material sujeta al método de medición normalizado, por ejemplo: carbono en carbón o
acero.
La cantidad de material de referencia deberá ser suficiente para el programa experimental completo,
incluyendo algunas reservas si se considera necesario.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
255
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Siempre que sea posible, el material de referencia debe tener propiedades estables durante el
experimento. Existen tres casos:
a) Las propiedades son estables: No se necesitan precauciones.
b) El valor certificado de la propiedad puede verse influenciado por las condiciones de almacenaje:
El recipiente debe ser almacenado antes y después de ser abierto, como se describe en el
certificado.
c) Las propiedades cambian a una velocidad conocida: Hay un certificado que proporciona con el
valor de referencia para definir las propiedades con tiempos específicos.
En los métodos aquí presentados no se toma en consideración la posible diferencia entre el valor
certificado y el valor verdadero expresada por la incertidumbre del material de referencia (véase Guía
ISO 35).
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
256
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Cuando la subdivisión de la unidad de los materiales de referencia se lleva a cabo antes de la
distribución, debe realizarse con cuidado para evitar la introducción de algún error adicional. Las
normas internacionales relevantes sobre muestreo deberían ser consultadas. Para su distribución, las
unidades deberían seleccionarse al azar. Si el proceso de medición no es destructivo, es posible
proporcionar a todos los laboratorios en el experimento interlaboratorio la misma unidad de material
de referencia, pero se prolongará el tiempo del experimento.
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
El objetivo del experimento es estimar la magnitud del sesgo de medición y determinar si éste es
estadísticamente significativo. Si se encuentra que el sesgo es estadísticamente no significativo,
entonces el objetivo es determinar, con una probabilidad determinada, la magnitud máxima del sesgo
que permanecería no detectada por los resultados del experimento.
El diseño de este experimento es casi igual al experimento de precisión, como está descrito en la
sección Diseño del experimento de la norma 5725-2. Las diferencias son:
a) Hay un requisito adicional para usar un valor de referencia aceptado, y
b) El número de laboratorios participantes y el número de resultados de pruebas satisfacen también
los requisitos dados en Número de laboratorios requeridos.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
257
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
La cláusula Modelo estadístico de la 5725-1 y las subcláusulas Requisitos para un experimento de
determinación de veracidad y precisión y Personal involucrado en un experimento de veracidad y
precisión de la 5725-2 aplican. Cuando se lean las partes 1 y 2 en este contexto, se usa “veracidad” en
lugar de “precisión” o “repetibilidad” y “reproducibilidad”.
Número de laboratorios requeridos
El número de laboratorios y el número de resultados requeridos en cada nivel, son independientes. El
número de laboratorios se argumenta en la sección Número de laboratorios necesarios para la
determinación de la precisión de la 5725-1. Más adelante se proporciona una guía para determinar el
número de laboratorios y de resultados.
Para tener la capacidad de determinar con un alta probabilidad una magnitud predeterminada del
sesgo de los resultados de un experimento (véase Anexo C de la norma 5725-3); el número mínimo
de laboratorios p y de resultados n, deberían satisfacer la siguiente ecuación:
𝐴𝜎𝑅 ≤𝛿𝑚
1.84 (57)
donde
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
258
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
𝛿𝑚 es la magnitud predeterminada del sesgo que el experimentador desea detectar del experimento;
𝜎𝑅 es la reproducibilidad de la desviación estándar del método de medición;
𝐴 es una función de p y n, la cual es dada por
𝐴 = 1.96𝑛 𝛾2−1 +1
𝛾2𝑝𝑛 (58)
donde
𝛾 = 𝜎𝑅 𝜎𝑟 (59)
Los valores de A están dados en la Tabla 4.1.
Idealmente, la selección de la combinación del número de laboratorios y del número de resultados
duplicados por laboratorio, deben satisfacer los requisitos descritos en la ecuación (57), con 𝛿𝑚 como
valor predeterminado por el experimentador. Sin embargo, por razones prácticas, la opción del
número de laboratorios es normalmente un compromiso entre la disponibilidad de recursos y el deseo
de reducir el valor de 𝛿𝑚 a un nivel satisfactorio. Si la reproducibilidad del método de medición es
mala, entonces no será práctico conseguir un alto grado de certeza en la estimación del sesgo.
Cuando 𝜎𝑅 es mayor que 𝜎𝑟 (por ejemplo 𝛾 es mayor que 1), que es el caso frecuente, poco se gana
obteniendo más de n = 2 resultados por nivel y por laboratorio.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
259
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
p 𝛾 = 1 𝛾 = 2 𝛾 = 5
n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4 n=2 n=3 n=4
5 0.62 0.51 0.44 0.82 0.80 0.79 0.87 0.86 0.86
10 0.44 0.36 0.31 0.58 0.57 0.56 0.61 0.61 0.61
15 0.36 0.29 0.25 0.47 0.46 0.46 0.50 0.50 0.50
20 0.31 0.25 0.22 0.41 0.40 0.40 0.43 0.43 0.43
25 0.28 0.23 0.20 0.37 0.36 0.35 0.39 0.39 0.39
30 0.25 0.21 0.18 0.33 0.33 0.32 0.35 0.35 0.35
35 0.23 0.19 0.17 0.31 0.30 0.30 0.33 0.33 0.33
40 0.22 0.18 0.15 0.29 0.28 0.28 0.31 0.31 0.31
Tabla 4.1 Valores que muestran la incertidumbre en el estimado del sesgo del método de medición
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
260
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Los resultados de la prueba deben tratarse como se describe en la norma 5725-2. En particular, si se
detectan valores anómalos, se deben seguir todas las etapas necesarias para investigar las razones del
por qué se obtuvieron; incluyendo la revaloración de la aplicación del valor de referencia aceptado.
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
La precisión del método de medición se expresa en términos de sr (estimado de la desviación estándar
de la repetibilidad) y sR (estimado de la desviación estándar de la reproducibilidad). Las ecuaciones
60 – 61 suponen un número (n) igual de resultados de prueba en cada laboratorio. Si esto no es cierto,
deberían usarse las ecuaciones respectivas señaladas en la norma 5725-2 para calcularse sr y sR.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
261
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
El estimado 𝑠𝑟2 de la varianza de repetibilidad para p laboratorios participantes se calcula como:
𝑠𝑟2 =
1
𝑝 𝑠𝑖
2𝑝𝑖=1 (60)
𝑠𝑖2 =
1
𝑛−1 𝑦𝑖𝑘 − 𝑦 𝑖
2𝑛𝑘=1 (61)
𝑦 𝑖 =1
𝑛 𝑦𝑖𝑘𝑛𝑘=1 (62)
donde 𝑠𝑖2 y 𝑦 son la varianza y el promedio, respectivamente, de los n resultados de prueba 𝑦𝑖𝑘
obtenidos en el laboratorio i.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
262
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
Como se describe en la norma 5725-2, se debe aplicar la prueba de Cochran a las varianzas 𝑠𝑖2 para
verificar que no existen diferencias significativas entre las varianzas interlaboratorio. Como también
se describe en la norma referida, deberían trazarse los gráficos h y k de Mandel para una mejor
investigación de valores potencialmente anómalos.
Si la desviación estándar de la repetibilidad del método de medición normalizado no se ha
determinado previamente conforme a la norma 5725-2, se considerará sr como su mejor estimado. Si
la desviación estándar de la repetibilidad del método de medición normalizado, σr, se ha determinado
previamente conforme a la norma 5725-2, puede establecerse 𝑠𝑖2 con la relación:
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
263
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
𝐶 =𝑠𝑟2
𝜎𝑟2 (63)
La prueba C estadística se compara con el valor crítico.
𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝜒(1−𝛼)2 (𝑣)
𝑣
donde 𝜒 1−𝛼2(𝑣) es el cuantil (1 − 𝛼) de la distribución 𝜒2 con v[=p(n-1)] grados de libertad. A
menos que se establezca de manera diferente, se supone que 𝛼 es 0.05.
a) Si 𝐶 ≤ 𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡:𝑠𝑟2 no es significativamente mayor que 𝜎𝑟2.
b) Si 𝐶 > 𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡:𝑠𝑟2 es significativamente mayor que 𝜎𝑟2.
En el primer caso, la desviación estándar de la repetibilidad, 𝜎𝑟, se usará para diagnosticar el sesgo
del método de medición. En el segundo caso, es necesario investigar las causas de la discrepancia y
posiblemente, repetir el experimento antes de seguir adelante.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
264
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
El estimado de la varianza de reproducibilidad, 𝑠𝑅2, para los p laboratorios participantes, se calcula
como:
𝑠𝑅2 =
1
𝑝−1 𝑦 − 𝑦 2𝑝𝑖=1 + 1 −
1
𝑛𝑠𝑟2 (64)
Con
𝑦 =1
𝑝 𝑦 𝑖𝑝𝑖=1 (65)
Si la desviación estándar de la reproducibilidad del método de medición normalizado no ha sido
determinado previamente de acuerdo a la norma 5725-2, sR, será considerada como su mejor
estimado. Si la desviación estándar de la reproducibilidad, σR y la desviación estándar de repetibilidad
σr, del método de medición normalizado se han determinado de acuerdo a la norma 5725-2, sR puede
evaluarse indirectamente calculando la razón:
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
265
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
𝐶´ =𝑠𝑅
2− 1−1
𝑛𝑠𝑟2
𝜎𝑅2− 1−1
𝑛𝜎𝑟2
(66)
El estadístico de prueba C estadística se compara con el valor crítico
𝐶´𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝜒(1−𝛼)2 (𝑣)
𝑣
donde 𝜒 1−𝛼2(𝑣) es el cuantil (1 − 𝛼) de la distribución 𝜒2 con v[=p(n-1)] grados de libertad. A
menos que se establezca de otra manera, se supone que 𝛼 es 0.05.
a) Si 𝐶´ ≤ 𝐶´𝑐𝑟𝑖𝑡:𝑠𝑅2 − 1 − 1𝑛 𝑠𝑟2 no es significativamente mayor que 𝜎𝑅
2 − 1 −1
𝑛𝜎𝑟
2;
b) Si 𝐶´ > 𝐶´𝑐𝑟𝑖𝑡:𝑠𝑅2 − 1 − 1𝑛𝑠𝑟2 es significativamente mayor que 𝜎𝑅
2 − 1 −1
𝑛𝜎𝑟
2.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
266
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
En el primer caso, la desviación estándar de la repetibilidad, 𝜎𝑟, y la desviación estándar de la
reproducibilidad, 𝜎𝑅, se usarán para evaluar la veracidad del método de medición. En el segundo caso
debe llevarse a cabo un examen cuidadoso de las condiciones de trabajo de cada laboratorio, antes de
evaluar el sesgo del método de medición normalizado. Puede ser que algunos laboratorios no usaron
el equipo requerido o no trabajaron de acuerdo a las condiciones especificadas. En el análisis químico
los problemas pueden provenir, por ejemplo, de un control insuficiente de temperatura, humedad,
presencia de contaminantes, etc. Puede ser que el experimento tenga que repetirse para producir los
valores de precisión esperados.
Estimación del sesgo de un método de medición normalizado
El cálculo del sesgo de los laboratorios evaluados, está dado por
𝛿 = 𝑦 − 𝜇 (67)
donde 𝛿 puede ser positivo o negativo.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
267
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
No existe evidencia de un sesgo si el valor absoluto del sesgo estimado es más pequeño o igual que la
mitad del ancho del intervalo de incertidumbre, como se define en la Guía ISO 35.
La variación del estimado del sesgo del método de medición se debe a la variación en los resultados
del proceso de medición y se expresa por su desviación estándar calculada como:
𝜎𝛿 =𝜎𝑅
2− 1−1
𝑛𝜎𝑟
2
𝑝 (67)
en el caso de valores de precisión conocidos, o con:
𝑠𝛿 =𝑠𝑅
2− 1−1
𝑛𝑠𝑟2
𝑝 (68)
en el caso de los valores de precisión desconocidos.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
268
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de un método de medición normalizado mediante un experimento
interlaboratorios
Modelo estadístico
Verificación y distribución de los materiales de referencia
Consideraciones de diseño experimental cuando se estima el sesgo de un método de medición
Referencias recíprocas para 5725-1 y 5725-2
Número de laboratorios requeridos
Evaluación estadística
Interpretación de los resultados de la evaluación estadística
Verificación de la precisión
Una aproximación para un intervalo de confianza del 95%, para el sesgo del método de medición
puede calcularse como:
𝛿 − 𝐴𝜎𝑅 ≤ 𝛿 ≤ 𝛿 + 𝐴𝜎𝑅 (69)
donde A está dada en la ecuación (58). Si se desconoce 𝜎𝑅, en su lugar se deberá usar 𝑠𝑅 para realizar
el cálculo, y A deberá calcularse con 𝛾 =𝑠𝑅
𝑠𝑟.
Si este intervalo de confianza incluye el valor cero, el sesgo del método de medición no es
significativo con un nivel de significancia de 𝛼 = 5%; de otra forma, el sesgo es significativo.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
269
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio, usando un método de
medición normalizado
Los experimentos en un laboratorio se utilizan para calcular el sesgo de laboratorio, suponiendo que
en un experimento de precisión interlaboratorio conforme a la norma 5725-2, se ha establecido la
desviación estándar de la repetibilidad del método.
Desarrollo del experimento
El experimento debe realizarse estrictamente conforme al método de medición normalizado y las
condiciones deben llevarse a cabo bajo condiciones de repetibilidad. Antes que se lleve a cabo la
evaluación de la veracidad, el laboratorio debe verificar la precisión del método de medición
normalizado. Esto implica la comparación entre la desviación estándar interlaboratorio y la
desviación estándar de repetibilidad indicada en el método de medición normalizado.
El diseño del experimento consiste en las mediciones requeridas a un laboratorio en un experimento
de precisión según lo descrito en la norma 5725-2. Aparte de que se restringe a un solo laboratorio, la
única diferencia substancial es el requisito adicional de utilizar un valor de referencia aceptado.
Al querer medir el sesgo de un laboratorio, puede no ser significativo el poner mucho esfuerzo en tal
experimento: el esfuerzo puede dar mejor resultado verificando en intervalos según lo indicado en
5725-6. Si la repetibilidad del método de medición es pobre, entonces no será práctico alcanzar un
alto grado de certidumbre en la estimación del sesgo de laboratorio.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
270
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio, usando un método de
medición normalizado
Desarrollo del experimento
Referencias para 5725-1 5725-2
Al leer las normas 5725-1 y 5725-2 en este contexto, debe usarse “veracidad” en lugar de “precisión”
o de “repetibilidad y reproducibilidad”. En la norma 5725-2, el número de laboratorios será p = 1, y
puede ser conveniente que una persona combine los roles de “ejecutivo” y de “supervisor”.
Número de resultados de prueba
La incertidumbre en la estimación del sesgo de laboratorio depende de la repetibilidad del método de
medición y del número de resultados de prueba obtenidos.
Para que los resultados del experimento sean capaces de detectar con un alta probabilidad (véase en
Anexo C de la norma 5725-3) una magnitud predeterminada del sesgo, el número de los resultados de
prueba, n, debe satisfacer la ecuación siguiente:
𝐴𝑊𝜎𝑟 ≤Δ𝑚
1.84 (70)
donde
Δ𝑚 Es la magnitud predeterminada del sesgo de laboratorio que el experimentador desea detectar de
los resultados del experimento;
𝜎𝑟 es la desviación estándar de la repetibilidad del método de medición y
𝐴𝑊 =1.96
𝑛 (71)
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
271
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio, usando un método de
medición normalizado
Desarrollo del experimento
Referencias para 5725-1 5725-2
Número de resultados de prueba
Selección de los materiales de referencia
Si se utiliza un material de referencia, aquí también se aplican los requerimientos descritos en 4.2.
Análisis estadístico
Verificación de la desviación estándar interlaboratorio
Calcular el promedio, 𝑦 𝑊, de los n resultados de prueba y sW, estimado de la desviación estándar σW
de los datos interlaboratorio, como sigue:
𝑦 𝑊 =1
𝑛 𝑦𝑘𝑛𝑘=1 (72)
𝑠𝑊 = 𝑦𝑘 − 𝑦 𝑊2𝑛
𝑘=1 (73)
Para datos anómalos, los resultados de prueba deben ser examinados usando la prueba de Grubbs
descrita en subcláusula Consecuencias sobre la elección de los laboratorios de la norma 5725-2.
Si se conoce la desviación estándar de la repetibilidad, σr, del método de medición normalizado, la
estimación sW puede evaluarse por el siguiente procedimiento.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
272
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio, usando un método de
medición normalizado
Desarrollo del experimento
Referencias para 5725-1 5725-2
Número de resultados de prueba
Selección de los materiales de referencia
Análisis estadístico
Verificación de la desviación estándar interlaboratorio
Calcular
𝐶´´ =𝑠𝑊
𝜎𝑟
2 (74)
y comparar el valor C´´ con el valor crítico
𝐶´𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝜒(1−𝛼)2(𝑣)
𝑣
donde 𝜒 1−𝛼2(𝑣) es el cuantil (1 − 𝛼) de la distribución 𝜒2 con v[=n−1] grados de libertad. A
menos que se establezca de otra manera, se supone que 𝛼 es 0.05.
a) Si 𝐶´´ ≤ 𝐶´´´𝑐𝑟𝑖𝑡: sW no es significativamente mayor que σr;
b) Si 𝐶´´ > 𝐶´´𝑐𝑟𝑖𝑡: sW es significativamente mayor que σr.
En el primer caso, la desviación estándar de la medición, 𝜎𝑟, se usará para la estimación del sesgo de
laboratorio.
En el segundo caso, debería considerarse repetir el experimento verificando la ejecución correcta de
todos los pasos del método de medición normalizado.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
273
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio, usando un método de
medición normalizado
Desarrollo del experimento
Referencias para 5725-1 5725-2
Número de resultados de prueba
Selección de los materiales de referencia
Análisis estadístico
Verificación de la desviación estándar interlaboratorio
Estimación del sesgo de laboratorio
El estimado Δ del sesgo de laboratorio Δ está dado por:
Δ = 𝑦 𝑊 − 𝜇 (75)
La variación del estimado del sesgo de laboratorio, se debe a la variación en los resultados del
proceso de medición y se expresa por la desviación estándar calculada como:
𝜎Δ =𝜎𝑟
𝑛 (76)
en el caso de una desviación estándar de repetibilidad conocida, o como
𝑠Δ =𝑠𝑟
𝑛 (77)
en el caso de una desviación estándar de repetibilidad desconocida.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
274
ISO 5725 VGJ
- Determinación del sesgo de laboratorio para un solo laboratorio, usando un método de
medición normalizado
Desarrollo del experimento
Referencias para 5725-1 5725-2
Número de resultados de prueba
Selección de los materiales de referencia
Análisis estadístico
Verificación de la desviación estándar interlaboratorio
Estimación del sesgo de laboratorio
El intervalo de confianza al 95% del sesgo de laboratorio puede expresarse como:
Δ − 𝐴𝑊𝜎𝑟 ≤ Δ ≤ Δ + 𝐴𝑊𝜎𝑟 (79)
Donde AW está dada por la ecuación (71). Si 𝜎𝑟 es desconocida, su estimado 𝑠𝑟 se usa en su lugar.
Si este intervalo de confianza cubre el valor de cero, el sesgo de laboratorio es insignificativo para un
nivel de significancia 𝛼 = 5%; de otro modo es significativo.
El sesgo de laboratorio se considera más ampliamente en la norma 5725-6.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
275
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
El Comité ISO/TC 102 Minerales de hierro dirigió un experimento de exactitud sobre la
determinación del contenido de manganeso en mineral de hierro mediante el método de absorción
atómica, utilizando cinco muestras con los valores de referencia (μ) dados en la Tabla 4.A.1 (valores
que no fueron comunicados a los laboratorios). Cada laboratorio recibió dos botellas de muestra,
aleatoriamente seleccionadas para cada nivel, realizando dos análisis sobre cada muestra de cada
botella. El propósito del sistema de dos botellas era confirmar la ausencia de variabilidad
interbotellas. El análisis se realizó de forma que en caso de confirmación de dicha falta de
variabilidad, los cuatro resultados de análisis pudieran ser considerados como réplicas obtenidas en
condiciones de repetibilidad. El análisis de los resultados mostró que, en efecto, la variabilidad
interbotellas era despreciable, considerándose la muestra como homogénea. De esta forma, los
resultados de cada laboratorio se tomaron como réplicas obtenidas en condiciones de repetibilidad.
Los resultados del análisis se presentan en la Tabla 4.A.2. Los valores medios y las varianzas de cada
laboratorio para cada uno de los cinco materiales ensayados se presentan en la Tabla 4.A.3.
Evaluación de la precisión
Los datos se analizaron según el procedimiento descrito en la norma 5725-2. Los resultados de
ensayo para cada nivel se muestran en las Tabla 4.A.1 a Tabla 4.A.5.
Los valores dudosos y los anómalos, identificados mediante los ensayos de Cochran y de Grubbs, se
presentan en la Tabla A.4. Los puntos encerrados dentro de rectángulos, en las Figura 4.A.1 a Figura
4.A.5 representan resultados de ensayo identificados como anómalos. La Tabla A.4 muestra que siete
resultados fueron identificados como anómalos; de estos, cinco provenientes de dos laboratorios
(laboratorios 10 y 19). Un resultado del mismo laboratorio (el laboratorio 10) fue identificado como
dudoso.
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
276
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Los valores de h y k se muestran en la Figuras 4.A.6 y Figura 4.A.7. Los valores de h (Figura 4.A.7)
muestran claramente que el laboratorio 10 obtiene valores muy bajos; dos de ellos (correspondientes
a los niveles 2 y 3) fueron identificados como anómalos. Por ello, se decidió rechazar totalmente los
resultados del laboratorio 10, lo que implica dedicar especial atención a la solución del problema.
Además se descartaron los datos del nivel 1 del laboratorio 7, identificados como anómalos mediante
la prueba de Grubbs. Los valores de k (Figura 4.A.7) muestran que los laboratorios 10, 17 y 19
tienden a presentar una variabilidad interlaboratorio mayor que el resto. Aquí, nuevamente, debe
emprenderse una acción apropiada, investigando estos laboratorios o, si es necesario, especificando
más el protocolo del método de medición. Para el análisis, se decidió descartar los valores anómalos
identificados mediante la prueba de Cochran; es decir, los datos correspondientes a los niveles 3 y 5
del laboratorio 19, y los del nivel 5 del laboratorio 17.
Las desviaciones estándar de repetibilidad y de la reproducibilidad se calcularon excluyendo aquellos
datos rechazados. Los resultados de estos cálculos se presentan en la Tabla 4.A.5, representándose
gráficamente en función de los distintos niveles en la Figura 4.A.8. La Figura 4.A.8 muestra como la
relación entre las precisiones y los niveles de concentración parece pode representarse mediante la
función lineal de las deviaciones estándar de la repetibilidad y de la reproducibilidad, respecto a los
niveles de concentración son:
sr = 0.000579 + 0.00885m
sR = 0.000737 + 0.01557m
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
277
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
La veracidad del método de medición se evaluó analizando los intervalos de confianza del 95% del
sesgo del método de medición, utilizando la ecuación (70) y comparándolos con el valor cero (Tabla
4.A.5). Dado que en el caso de los niveles 3, 4 y 5, estos intervalos de confianza cubren el valor cero,
el sesgo de este método de medición es despreciable para los niveles altos (3, 4 y 5) de concentración
de manganeso; ya que en el caso de los niveles 1 y 2, los intervalos de confianza no incluyen el valor
cero, el sesgo es significativo para los niveles bajos, 1 y 2, de concentración de manganeso.
Análisis ulteriores
Puede obtenerse más información de los datos, realizando análisis suplementarios tales como el
análisis de regresión de 𝑦 frente a μ.
Valor de referencia
aceptado μ (% Mn) 0.0100 0.0930 0.4010 0.7770 2.5300
Tabla 4.A.1 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Valores de referencia aceptados
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
278
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
1 1 0.0118 0.0121 0.0880 0.0875 0.408 0.407 0.791 0.791 2.584 2.560
2 0.0121 0.0121 0.0865 0.0867 0.407 0.408 0.794 0.801 2.535 2.545
2 1 0.0131 0.0115 0.0894 0.0861 0.411 0.405 0.760 0.766 2.543 2.591
2 0.0115 0.0115 0.0887 0.0867 0.406 0.399 0.766 0.783 2.516 2.567
3 1 0.0118 0.0112 0.0864 0.0849 0.410 0.403 0.752 0.767 2.526 2.463
2 0.0110 0.0104 0.0867 0.0896 0.408 0.400 0.755 0.753 2.515 2.493
4 1 0.0107 0.0121 0.0881 0.0892 0.402 0.402 0.780 0.750 2.560 2.520
2 0.0114 0.0121 0.0861 0.0874 0.404 0.402 0.777 0.750 2.600 2.520
5 1 0.0120 0.0128 0.0904 0.0904 0.404 0.400 0.775 0.775 2.470 2.510
2 0.0112 0.0128 0.0862 0.0870 0.404 0.396 0.770 0.780 2.500 2.480
6 1 0.0111 0.0110 0.0892 0.0893 0.402 0.398 0.786 0.782 2.531 2.514
2 0.0110 0.0111 0.0900 0.0864 0.408 0.404 0.780 0.772 2.524 2.494
7 1 0.0088 0.0195 0.0893 0.0895 0.390 0.390 0.754 0.762 2.510 2.521
2 0.0070 0.0186 0.0859 0.0886 0.395 0.395 0.758 0.756 2.500 2.513
8 1 0.0115 0.0112 0.0823 0.0823 0.390 0.396 0.761 0.765 2.501 2.499
2 0.0113 0.0113 0.0828 0.0829 0.400 0.389 0.770 0.766 2.507 2.490
9 1 0.0123 0.0120 0.0862 0.0866 0.414 0.414 0.765 0.765 2.523 2.520
2 0.0117 0.0118 0.0865 0.0876 0.411 0.414 0.765 0.765 2.521 2.508
10 1 0.0095 0.0086 0.0780 0.0720 0.390 0.370 0.746 0.730 2.530 2.580
2 0.0092 0.0084 0.0780 0.0730 0.392 0.374 0.750 0.738 2.510 2.610
Tabla 4.A.2 Contenido de manganeso en mineral de hierro:
Resultados analíticos (% de Mn)
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
279
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
11 1 0.0125 0.0125 0.0900 0.0890 0.405 0.395 0.790 0.780 2.520 2.520
2 0.0130 0.0125 0.0890 0.0895 0.400 0.405 0.785 0.790 2.530 2.520
12 1 0.0125 0.0130 0.0885 0.0890 0.405 0.395 0.790 0.780 2.535 2.525
2 0.0115 0.0130 0.0890 0.0875 0.405 0.390 0.775 0.790 2.550 2.495
13 1 0.0125 0.0116 0.0842 0.0832 0.399 0.399 0.784 0.777 2.523 2.523
2 0.0121 0.0116 0.0832 0.0828 0.398 0.399 0.782 0.777 2.527 2.537
14 1 0.0116 0.0120 0.0898 0.0890 0.418 0.416 0.797 0.800 2.602 2.602
2 0.0098 0.0116 0.0900 0.0902 0.415 0.415 0.801 0.790 2.592 2.602
15 1 0.0108 0.0112 0.0871 0.0860 0.399 0.400 0.775 0.774 2.488 2.495
2 0.0112 0.0111 0.0883 0.0861 0.397 0.401 0.783 0.773 2.503 2.485
16 1 0.0109 0.0108 0.0846 0.0858 0.392 0.400 0.779 0.769 2.528 2.516
2 0.0111 0.0110 0.0849 0.0855 0.396 0.397 0.751 0.753 2.528 2.525
17 1 0.0100 0.0110 0.0849 0.0880 0.409 0.410 0.766 0.794 2.571 2.380
2 0.0100 0.0100 0.0830 0.0890 0.392 0.402 0.755 0.775 2.529 2.488
18 1 0.0117 0.0102 0.0880 0.0881 0.405 0.404 0.771 0.773 2.520 2.511
2 0.0125 0.0103 0.0868 0.0882 0.402 0.403 0.778 0.763 2.514 2.503
19 1 0.0099 0.0128 0.0945 0.0905 0.398 0.375 0.770 0.767 2.583 2.351
2 0.0118 0.0128 0.0924 0.0884 0.418 0.382 0.799 0.760 2.585 2.382
Tabla 4.A.2 Contenido de manganeso en mineral de hierro:
Resultados analíticos (% de Mn)
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
280
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Medias de los laboratorios
Nivel
Lab. No. 1 2 3 4 5
1 0.01203 0.08718 0.40750 0.79425 2.55600
2 0.01190 0.08773 0.40525 0.76875 2.55425
3 0.01110 0.08690 0.40525 0.75675 2.49925
4 0.01158 0.08770 0.40250 0.76425 2.55000
5 0.01220 0.08850 0.40100 0.77500 2.49000
6 0.01105 0.08873 0.40300 0.78000 2.51575
7 0.00848 0.08833 0.39250 0.75750 2.51100
8 0.01133 0.08258 0.39375 0.76550 2.49925
9 0.01195 0.08673 0.41325 0.76500 2.51800
10 0.00893 0.07525 0.38150 0.74100 2.55750
11 0.01263 0.08938 0.40125 0.78625 2.52250
12 0.01250 0.08850 0.39875 0.78375 2.52625
13 0.01195 0.08335 0.39875 0.78000 2.52750
14 0.01125 0.08975 0.41600 0.79700 2.59950
15 0.01108 0.08688 0.39925 0.77625 2.49275
16 0.01095 0.08520 0.39625 0.76300 2.52425
17 0.01025 0.08623 0.40325 0.77250 2.46700
18 0.01118 0.08778 0.40350 0.77125 2.51200
19 0.01183 0.09145 0.39325 0.77400 2.42525
Tabla 4.A.3 Contenido de manganeso en mineral de hierro:
Medias y varianzas de los laboratorios
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
281
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Varianzas de los laboratorios
Nivel
Lab. No. 1 2 3 4 5
1 0.2250x10-7 0.4892x10-6 0.3333x10-6 0.2225x10-4 0.4540x10-3
2 0.6400x10-6 0.2482x10-5 0.2425x10-4 0.9825x10-4 0.1034x10-2
3 0.3333x10-6 0.3860x10-5 0.2092x10-4 0.4825x10-4 0.7722x10-3
4 0.4492x10-6 0.1687x10-5 0.1000x10-5 0.2722x10-3 0.1467x10-2
5 0.5867x10-6 0.4920x10-5 0.1467x10-4 0.1667x10-4 0.3333x10-3
6 0.3333x10-6 0.2529x10-5 0.1733x10-4 0.3467x10-4 0.2589x10-3
7 0.1116x10-5 0.2763x10-5 0.8333x10-5 0.1167x10-4 0.7533x10-4
8 0.1583x10-7 0.1025x10-6 0.2692x10-4 0.1367x10-4 0.4958x10-4
9 0.7000x10-7 0.3692x10-6 0.2250x10-5 0 0.4600x10-4
10 0.2625x10-6 0.1025x10-4 0.1237x10-3 0.7867x10-4 0.2092x10-2
11 0.6250x10-7 0.2292x10-5 0.2292x10-4 0.2292x10-4 0.2500x10-4
12 0.5000x10-6 0.5000x10-6 0.5625x10-4 0.5625x10-4 0.5396x10-3
13 0.1900x10-6 0.3567x10-6 0.2500x10-6 0.1267x10-4 0.4367x10-4
14 0.9700x10-6 0.2767x10-6 0.2000x10-5 0.2467x10-4 0.2500x10-4
15 0.3583x10-7 0.1149x10-5 0.2917x10-5 0.2092x10-4 0.6425x10-4
16 0.1667x10-7 0.3000x10-6 0.1092x10-4 0.1787x10-4 0.3225x10-4
17 0.2500x10-6 0.7669x10-5 0.6892x10-4 0.2723x10-3 0.6757x10-2
18 0.1249x10-5 0.4292x10-6 0.1667x10-5 0.3892x10-3 0.5000x10-4
19 0.1869x10-5 0.6803x10-5 0.3649x10-3 0.2953x10-3 0.4763x10-2
Tabla 4.A.3 Contenido de manganeso en mineral de hierro:
Medias y varianzas de los laboratorios
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
282
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Varianzas de los laboratorios
Nivel
Nivel Laboratorio Estadístico
calculado 1) Valor crítico 1)
Listado de valores anómalos (𝛼 = 0.01)
1 7
10 G2 = 0.295 G2(19) = 0.3398
2 10 G1 = 3.305 G1(19) = 2.968
3 19 C = 0.474 C(4,19) = 0.276
10 C = 0.305 C(4,18) = 0.288
4 - - -
5 17 C = 0.358 C(4,19) = 0.276
19 C = 393 C(4,18) = 0.288
Listado de valores dudosos (𝛼 = 0.05)
1 - - -
2 - - -
3 - - -
4 - - -
5 10 C = 0.284 C(4,17) = 0.250
1) C = prueba de Cochran
G1 = prueba de Grubbs para una única observación anómala
G2 = prueba de Grubbs para dos observaciones anómalas
Tabla 4.A.4 Contenido de manganeso en mineral de hierro:
Valores anómalos y dudosos
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
283
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Nivel
1 2 3 4 5
n 4 4 4 4 4
p 17 18 17 18 16
sr 0.00065 0.00143 0.00407 0.00895 0.01815
sR 0.00084 0.00248 0.00706 0.01385 0.03246
y 1.29 1.73 1.73 1.54 1.79
A 0.3528 0.3999 0.4117 0.3830 0.4287
AsR 0.000296 0.000991 0.002906 0.005301 0.013916
𝑦 0.0116 0.0874 0.4024 0.7739 2.5249
μ 0.0100 0.0930 0.4010 0.7770 2.5300
𝛿 0.0016 -0.0056 0.0014 -0.0031 -0.0051
𝛿 − 𝐴𝑠𝑅 0.0013 -0.0068 -0.0015 0.0084 -0.0190
𝛿 + 𝐴𝑠𝑅 0.0019 -0.0046 0.0043 0.0022 0.0088
Tabla 4.A.5 Contenido de manganeso en mineral de hierro:
Estimación de las desviaciones estándar de la repetibilidad y de la
reproducibilidad y del sesgo del método de medición
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
284
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.1 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Resultados en el nivel 1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Series1
Series2
Series3
Series4
NOTA Los puntos encerrados en los rectángulos significan que los resultados fueron identificados
como anómalos por la Prueba de Grubbs para dos observaciones anómalas (G2).
G2
G2
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
285
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.2 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Resultados en el nivel 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19
Niv 2 mue 1
Niv 2 mue 2
EJERCICIO
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
286
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.3 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Resultados en el nivel 3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19
niv 3 mue 1
niv 3 mue 2
EJERCICIO
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
287
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.4 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Resultados en el nivel 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19
niv 4 mue 1
niv 4 mue 2
EJERCICIO
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
288
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.5 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Resultados en el nivel 5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19
niv 5 mue 1
niv 5 mue 2
EJERCICIO
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
289
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.6 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Valores de k agrupados por laboratorio
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
290
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.7 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Valores de h agrupados por laboratorio
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
291
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.8 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Desviaciones estándar de la repetibilidad y
la reproducibilidad como funciones lineales del nivel de concentración m
-3.000
-2.500
-2.000
-1.500
-1.000
-0.500
0.000
0.500
1 2 3 4 5
s = bm
sr = a + bm
lg sr = c + d lg m
sr
Lineal (s = bm)
Lineal (sr = a + bm)
Lineal (lg sr = c + d lg m )
Lineal (sr)
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
292
ISO 5725 VGJ
- Anexo 4.A
Descripción del experimento
Evaluación de la precisión
Evaluación de la veracidad
Análisis ulteriores
Figura 4.A.8 Contenido de manganeso en mineral de hierro: Desviaciones estándar de la repetibilidad y
la reproducibilidad como funciones lineales del nivel de concentración m
-3.000
-2.500
-2.000
-1.500
-1.000
-0.500
0.000
0.500
1 2 3 4 5
Lineal (s = bm)
Lineal (sr = a + bm)
Lineal (lg sr = c + d lg m )
Lineal (sr)
5. Sesgo de un método de medición ISO 5725-4
293
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5 – Diseño de nivel fraccionado
– Modelo estadístico y análisis
– Ejemplo
– Diseño de experimento con material heterogéneo
– Modelo estadístico y análisis
– Ejemplo
– Métodos robustos para el análisis de datos
– Algoritmo A
– Algoritmo S
– Ejemplo
– Fórmulas para análisis robusto para un nivel particular en un
experimento de nivel fraccionado
– Ejemplo
– Fórmulas para análisis robusto para un nivel particular en un
experimento sobre un material heterogéneo
– Ejemplo
ISO 5725 VGJ
294
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Objetivo y campo de aplicación
Este capítulo proporciona una descripción detallada de alternativas del método básico para
determinar las desviaciones estándar de repetibilidad y reproducibilidad de un método de medición
normalizado, a saber, el diseño de nivel fraccionado y un diseño para materiales heterogéneos;
Describe el uso de métodos rigurosos para analizar los resultados de experimentos de precisión sin
utilizar pruebas de valores anómalos que excluyan datos de los cálculos, y en particular, el uso
detallado de uno de estos métodos.
Esta parte complementa la norma 5725-2, proporcionando diseños alternativos que puedan agregar
más valor en algunas situaciones, que el diseño básico descrito en la norma 5725-2; así mismo
proporciona un método riguroso de análisis que permite calcular las desviaciones estándar de
repetibilidad y reproducibilidad que son menos dependientes de los datos a juicio del analista
proporcionados por los métodos descritos en la norma 5725-2.
295
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
El diseño de nivel uniforme descrito en la norma 5725-2 exige que por cada laboratorio participante,
y para cada nivel del experimento, se ensayen dos o más muestras idénticas de un material. Con este
diseño, existe el riesgo de que un operador permita que el resultado de una medición sobre una
muestra influya sobre el resultado de una medición posterior sobre otra muestra del mismo material.
Si esto se produce, los resultados del experimento de precisión resultarán falseados; es decir, las
estimaciones de la desviación estándar de repetibilidad 𝜎𝑟, disminuirán, y las de desviación estándar
interlaboratorios 𝜎𝐿 aumentarán. En el diseño de nivel fraccionado, cada laboratorio participante
recibe una muestra de cada uno de los dos materiales similares, en cada nivel del experimento. A los
operadores se les dice que las muestras no son idénticas, pero no se les dice en cuánto difieren. Del
diseño de nivel fraccionado proporciona así un método de determinación de las desviaciones estándar
de repetibilidad y reproducibilidad de un método de medición normalizado, de forma que reduce el
riesgo de que un resultado obtenido en el experimento sobre una muestra, influya sobre el obtenido
sobre otra muestra.
Los datos obtenidos sobre el nivel del experimento de nivel fraccionado pueden utilizarse para
establecer un gráfico en el que los datos obtenidos para un material se representen en función de los
datos obtenidos para el otro material, similar al primero. En la Figura 6.1 se incluye un ejemplo.
Tales gráficos pueden ayudara identificar aquellos laboratorios que tienen el mayor sesgo respecto a
los demás laboratorios. Esto es útil cuando es posible investigar las causas de los mayores sesgos de
laboratorio, con el fin de que se aplique una acción correctiva.
296
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Es habitual que las desviaciones estándar de repetibilidad y reproducibilidad de un método de ensayo
dependan del nivel del material. Por ejemplo, cuando el resultado de ensayo es la proporción de un
elemento, obtenida mediante análisis químico, las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad generalmente aumentan a medida que aumenta la proporción del elemento. En un
experimento de nivel fraccionado es necesario que los dos materiales similares utilizados en un nivel
del experimento sean tan parecidos, que quepa esperar que den los mismos valores de desviación
estándar de repetibilidad y de reproducibilidad. A los efectos del diseño de nivel fraccionado, se
acepta que los dos materiales utilizados para un nivel del experimento den casi el mismo nivel de
resultados de medida, no ganándose prácticamente nada si se preparan para que difieran entre si de
forma sustancial.
En numerosos métodos de análisis químico, la matriz que contiene el componente de interés puede
influir sobre la precisión, de forma que para un experimento de nivel fraccionado, son necesarios dos
materiales con dos matrices similares, para cada nivel del experimento. A veces puede prepararse un
material suficientemente similar a otro, añadiendo al primero una pequeña cantidad más del
componente de interés. Cuando el material es un producto natural o manufacturado, puede ser difícil
encontrar productos suficientemente similares para poder realizar un experimento de nivel
fraccionado; una posible solución es utilizar dos lotes del mismo producto. Debe recordarse que el
objetivo de elegir los materiales en el diseño de nivel fraccionado es proporcionar a los operadores
muestras que no se supongan idénticas de antemano.
297
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
La disposición del diseño de nivel fraccionado viene indicada en la Tabla 6.1.
Cada uno de los p laboratorios participantes ensaya dos muestras en cada uno de los q niveles.
Las dos muestras de un nivel dado se representan como a y b, donde a representa una muestra de un
material, y b representa una muestra del otro material, similar al primero.
Los datos de un experimento de nivel fraccionado se representan como:
yijk
donde
El índice i representa el laboratorio (i = 1, 2,…, p);
El índice j representa el nivel (j = 1, 2,…, q);
El índice k representa la muestra (j = a o b).
298
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Para planificar un experimento de nivel fraccionado, deben seguirse las indicaciones dadas en la
cláusula Planificación de un experimento de exactitud de la norma 5725-1.
La sección subcláusula Selección de laboratorios para el experimento de exactitud de la norma
5725-1, contiene un grupo de fórmulas (en las que interviene una magnitud A) que se utilizan para
ayudar a decidir cuántos laboratorios deben incluirse en el experimento. Las fórmulas
correspondientes para el diseño de nivel fraccionado, se indican a continuación.
Para evaluar las incertidumbres de las estimaciones de las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad, deben calcularse las magnitudes siguientes:
Para la repetibilidad
𝐴𝑟 = 1.961
2 𝑝−1 (80)
Para la reproducibilidad
𝐴𝑟 = 1.961+2 𝛾2−1 2
8𝛾4 𝑝−1 (81)
Con 𝛾 =𝜎𝑅
𝜎𝑟
299
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Si el número n de repeticiones es igual a 2 en las ecuaciones (9) y (10) de la norma 5725-1, puede
verse que dichas ecuaciones se transforman en las anteriores (80) y (81), salvo que aquí a veces
aparece p-1, en lugar de p. Esta es una pequeña diferencia; por ello, en un experimento de nivel
fraccionado, pueden seguir utilizándose la Tabla 1 y las Figuras A.1 y A.2 de la norma 5725-1, para
evaluar la incertidumbre de las estimaciones de las desviaciones estándar de repetibilidad y
reproducibilidad.
Para evaluar la incertidumbre de la estimación del sesgo del método de medición, en un experimento
de nivel fraccionado, se calcula la magnitud A definida según la ecuación (14) de la norma 5725-1,
con n = 2 (o utilizar la Tabla 2 de la norma 5725-1, utilizándola como se describe en la norma 5725-1.
Para evaluar la incertidumbre de la estimación del sesgo de un laboratorio, en un experimento de
nivel fraccionado, se calcula la magnitud Aw definida según la ecuación (16) de la norma 5725-1, con
n = 2. Como el número de repeticiones en un experimento de nivel fraccionado es, de hecho 2, no es
posible reducir la incertidumbre de la estimación del sesgo del laboratorio, aumentando el número de
repeticiones. (Si fuera necesario reducir esta incertidumbre, debería utilizarse en su lugar el diseño de
nivel uniforme).
300
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Se siguen las indicaciones dadas en las cláusulas 5 y 6 de la norma 5725-2, en lo referente a los
detalles de la organización del experimento de nivel fraccionado. El número de repeticiones, n según
la norma 5725-2, puede tomarse igual al número de niveles fraccionados, en un diseño de este tipo, es
decir igual a 2.
Las muestras a deberían ser repartidas a los participantes en forma aleatoria. Las muestras b se
deberían repartir también al azar, siguiendo un proceso aleatorio distinto al anterior.
En un experimento de nivel fraccionado es necesario que el experto en estadística sea capaz de decir,
a la vista de los datos, qué resultado ha sido obtenido sobre un material a y cuál sobre un material b,
en cada nivel del experimento. Para que esto sea posible deberán etiquetarse las muestras. Se pondrá
especial cuidado en no divulgar estas informaciones a los participantes.
301
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Laboratorio Nivel
1 2 j q
1 a b a b a b a b
2
i
p
Tabla 6.1 Formato recomendado para la presentación de
datos en un diseño de nivel fraccionado
302
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
El modelo básico utilizado en esta parte viene dado por la ecuación (1). En dicha cláusula se precisa
que para estimar la exactitud (veracidad y precisión) de un método de precisión, es útil suponer que
cualquier resultado de medida es suma de tres componentes.
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝑚𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗𝑘 (82)
donde, para el material particular sometido a ensayo,
𝑚𝑗 representa la media general (esperanza matemática) para un nivel dado j = 1, …, q;
𝐵𝑖𝑗 representa la componente del sesgo debida al laboratorio, bajo condiciones de repetibilidad, en
un laboratorio dado i = 1, …, p, para un nivel dado;
𝑒𝑖𝑗𝑘 representa la componente del error aleatorio del resultado de ensayo k = 1, …, n, obtenido en el
laboratorio i, en el nivel j, bajo condiciones de repetibilidad.
En un experimento de nivel fraccionado, este modelo se transforma en:
303
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝑚𝑗𝑘 + 𝐵𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗𝑘 (83)
Este difiera de la ecuación (82) en que el subíndice k de 𝑚𝑗𝑘 implica que, conforme a la ecuación
(83), la media general puede depender ahora del material a o b (k = 1 o 2), dentro del nivel j.
La ausencia de subíndice k en 𝐵𝑖𝑗 implica que se supone que el sesgo asociado a un laboratorio i no
depende del material a o b, dentro de un nivel. De ahí la importancia de que los dos materiales sean
similares.
Se definen las medias de celdas como:
𝑦𝑖𝑗 =𝑦𝑖𝑗𝑎+𝑦𝑖𝑗𝑏
2 (84)
y las diferencias de celdas por:
𝐷𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗𝑎 − 𝑦𝑖𝑗𝑏 (85)
La media general para un nivel j, en un experimento de nivel fraccionado, puede definirse por:
𝑚𝑗 =𝑚𝑗𝑎+𝑚𝑗𝑏
2 (86)
304
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Se sitúan los datos en la forma presentada en la Tabla 6.1. En esta tabla, cada combinación del
laboratorio y nivel da lugar a una “celda”, la cual contiene dos datos distintos 𝑦𝑖𝑗𝑎 e 𝑦𝑖𝑗𝑏.
Se calculan las diferencias dentro de cada celda Dij, y se introducen en una tabla como la Tabla 6.2.
El método de análisis exige que cada diferencia se calcule en el mismo sentido
a−𝑏
y que tenga en cuenta el signo de la diferencia.
Se calculan las medias de las celdas, 𝑦𝑖𝑗 , y se introducen en una tabla como la Tabla 6.3.
Si una celda de la Tabla 6.1 no contiene dos resultados de ensayo (por ejemplo, porque se hayan
estropeado muestras, o porque se hayan excluido datos tras la aplicación de los ensayos de detección
de valores anómalos que se describen más adelante), las celdas correspondientes de las Tablas 2 y 3
estarán vacías.
305
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Para cada nivel j del experimento, se calcula la media Dj y la desviación estándar 𝑠𝐷𝑗 de las
diferencias de la columna j de la Tabla 6.2.
𝐷𝑗 = 𝐷𝑗
𝑝 (87)
𝑠𝐷𝑗 = 𝐷𝑖𝑗−𝐷𝑗
2
𝑝−1 (88)
Aquí, el Σ representa la suma sobre todos los laboratorios i = 1, 2, …, p.
Si hay celdas vacías en la Tabla 6.2, p es el número de celdas de la columna j de la Tabla 6.2 que
contienen datos, y la suma se realiza sobre las celdas no vacías.
306
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Para cada nivel j del experimento, calcular la media yj y la desviación estándar 𝑠𝑦𝑗 de las medias de la
columna j de la Tabla 6.3, con:
𝑦𝑗 = 𝑦𝑖𝑗
𝑝 (89)
𝑠𝑦𝑗 = 𝑦𝑖𝑗−𝑦𝑗
2
𝑝−1 (90)
Aquí, el Σ representa la suma sobre todos los laboratorios i = 1, 2, …, p.
Si hay celdas vacías en la Tabla 6.3, p representa el número de celdas de la columna j de la Tabla 6.3
que contienen datos, y la suma se realiza sobre las celdas no vacías.
Se utilizan las Tabla 6.2 y Tabla 6.3, y los estadísticos calculados en la descripción de ecuaciones
(87), (88) y (89),(90) para examinar los datos en lo que se refiere a la coherencia y a los valores
anómalos, tal y como se describe en Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores
anómalos. Si algunos datos resultan rechazados, se calculan de nuevo los estadísticos.
307
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Se calculan las desviaciones estándar de repetibilidad 𝑠𝑟𝑗 y de reproducibilidad 𝑠𝑅𝑗 mediante:
𝑠𝑟𝑗 =𝑠𝐷𝑗
2 (91)
𝑠𝑅𝑗2 =
𝑠𝑦𝑗2+𝑠𝑟𝑗
2
2 (92)
Se examina si 𝑠𝑟𝑗 y 𝑠𝑅𝑗 dependen de la media 𝑦𝑗 , y si este es el caso, se determinan las relaciones
funcionales existentes utilizando los métodos dados en la Establecimiento de la relación funcional
existente entre los valores de veracidad y precisión y el nivel medio mo de la norma 5725-2.
308
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Laboratorio Nivel
1 2 j q
1
2
i
p
Tabla 6.2 Formato recomendado para la presentación de las diferencias de
celdas de un diseño de nivel fraccionado
309
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Laboratorio Nivel
1 2 j q
1
2
i
p
Tabla 6.3 Formato recomendado para la presentación de las medias de
celdas de un diseño de nivel fraccionado
310
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Se examina la coherencia de los datos utilizando los estadísticos h descritos en la sección Examen de
los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos de la norma 5725-2.
Para verificar la coherencia de las diferencias, se calculan los estadísticos h como sigue:
ℎ𝑖𝑗 =𝐷𝑖𝑗−𝐷𝑖
𝑠𝐷𝑗 (93)
Para verificar la coherencia de las medias, se calculan los estadísticos h como sigue:
ℎ𝑖𝑗 =𝑦𝑖𝑗−𝑦𝑖
𝑠𝑦𝑗 (94)
311
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Para obtener los laboratorios faltos de coherencia, se establece un gráfico dibujando ambos
conjuntos estadísticos por orden de nivel, pero agrupados por laboratorio, tal como se muestra en las
Figura 2 y Figura 3. La interpretación de estos gráficos se analiza en profundidad en la sección
Examen de los resultados para determinar su consistencia y la existencia de datos dudosos de la
norma 5725-2. Si un laboratorio obtiene resultados generalmente sesgados, tal hecho se apreciará
mediante la observación de estadísticos h situados principalmente en una dirección dada, sobre el
gráfico relativo a las medias de las celdas. En los dos casos, el laboratorio debe ser invitado a
investigar las causas y a presentar los resultados de dichas investigaciones al organizar el
experimento.
Se analizan los datos en cuanto a posibles valores anómalos y dudosos utilizando la prueba de Grubbs
descrito en la norma 5725-2.
Para verificar los anómalos y dudosos en las diferencias de celdas, se aplica sucesivamente la prueba
de Grubbs a los valores de cada columna en la Tabla 6.3.
312
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
La interpretación de estos ensayos se expone en detalle en la subcláusula 7.3.2 de la norma 5725-2.
Dichas pruebas se utilizan para identificar los resultados que son tan incoherentes con el resto de
datos presentados en el experimento, que su inclusión en el cálculo de las desviaciones estándar de
repetibilidad y reproducibilidad afectaría de forma sustancial a los valores dudosos si se incluyen, a
no ser que haya una buena razón para proceder de otra manera. Si los ensayos muestran que algún
valor de las Tabla 6.2 o Tabla 6.3 debe ser excluido del cálculo de las desviaciones estándar de
repetibilidad y reproducibilidad, el valor correspondiente de otra tabla también debe ser excluido de
los cálculos.
Informe de resultados en un experimento de nivel fraccionado
En la subcláusula 7.7 de la norma 5725-2, se dan consejos sobre,
– Como presentar los resultados del análisis estadístico al grupo de expertos
– Las decisiones a tomar por el grupo de expertos; y
– La preparación del informe completo.
En la Publicación de valores de veracidad y precisión de la norma 5725-1 se incluyen
recomendaciones sobre la forma de publicar los valores de las desviaciones estándar de repetibilidad
y de reproducibilidad de un método de medición normalizado.
313
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
La Tabla 6.4 contiene los datos de un experimento [5] sobre determinación, por combustión de
proteína en forraje. En el experimento participaron nueve laboratorios, con un total de 14 niveles. En
cada nivel se utilizaron dos forrajes distintos, con niveles de proteína similar.
Las Tablas 6.5 y Tabla 6.6 muestran las medias y las diferencias de las celdas, calculadas tal como se
indica en la Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado, únicamente para
el nivel 14 (j = 14) del experimento.
Utilizando las ecuaciones (87) y (88), las diferencias de la Tablas 6.5 dan:
D14 = 8.34%
𝑠𝐷14 = 0.4361%
314
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
y aplicando las ecuaciones (89) y (90), las diferencias de la Tabla 6.6, se obtiene:
y14 = 85.46%
𝑠𝑦14 = 0.4534%
De forma que, utilizando las ecuaciones (91) y (92), las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad son:
𝑠𝑟14 = 0.31%
𝑠𝑅14 = 0.5%
La Tabla 6.7 presenta los resultados de los cálculos para los demás niveles.
315
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sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
La Figura 6.7 muestra los resultados para las muestras a procedentes de la Tabla 6.4, en función de
los resultados correspondientes para las muestras b, para el nivel 14, según un “gráfico de Youden”.
El laboratorio no. 5 da un punto abajo y a la izquierda del gráfico y el laboratorio no. 1 un punto
arriba y a la derecha: esto indica que los datos del laboratorio no. 5 tienen un sesgo notable sobre las
muestras a y b, y que los datos del laboratorio no. 1 poseen un sesgo positivo notable sobre las dos
muestras. Es corriente encontrar este tipo de configuración cuando se representan datos procedentes
de un laboratorio de nivel fraccionado, como en la Figura 6.1. La Figura indica igualmente que los
resultados del laboratorio no. 4 no son habituales, ya que el punto correspondiente a este laboratorio
está alejado de la línea central para las dos muestras. Los otros laboratorios forman un grupo, en el
centro del gráfico. Esta figura indica que existe motivo para investigar las causas de sesgo de los tres
laboratorios.
NOTA Para una mayor información sobre la interpretación de “gráficos de Youden”, véase las
referencias [7] y [8] de la norma 5725-5.
316
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- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Los valores de los estadísticos h, calculados como se describe en Examen de los datos, en cuanto a
coherencia y a valores anómalos, se presentan en las Tablas 6.5 y Tabla 6.6, únicamente para el nivel
14. Los valores para todos los niveles se presentan en las Figuras 6.2 y 6.3.
En la Figuras 6.3, los estadísticos h para las medias de las celdas muestran que el laboratorio 5 ha
dado estadísticos h negativos para todos los niveles, indicando un sesgo negativo notable en sus
datos. En la misma figura los laboratorios 8 y 9 han dado estadísticos h casi todos positivos,
indicando sesgos positivos notables en sus datos (pero más pequeños que el sesgo negativo del
laboratorio 5). Igualmente, los estadísticos h para los laboratorios 1, 2 y 6 indican un sesgo que
cambia con el nivel, para cada uno de estos laboratorios. Tales interacciones entre los laboratorios y
los niveles pueden proporcionar pistas respecto a las causas de los sesgos de los laboratorios.
La Figuras 6.2 no revela nada digo de mención.
Los valores de los estadísticos de Grubbs vienen dados en la Tabla 6.8. Estas pruebas indican de
nuevo que los datos del laboratorio 5 son sospechosos.
317
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- Diseño de nivel fraccionado
Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Laboratorio Nivel
1 2 3 4 5 6 7
a b a b a b a b a b a b a b
1 11.11 10.34 10.91 9.81 13.74 13.48 13.79 13.00 15.89 15.26 20.14 19.78 20.33 20.06
2 11.12 9.94 11.38 10.31 14.00 13.12 13.44 13.06 15.89 15.10 19.25 20.25 20.36 19.94
3 11.26 10.46 10.95 10.51 13.38 12.70 13.54 13.18 15.83 15.73 20.48 19.86 20.56 20.11
4 11.07 10.41 11.66 9.95 13.01 13.16 13.58 12.88 15.08 15.83 21.54 20.06 20.64 20.46
5 10.69 10.31 10.98 10.13 13.24 13.33 13.32 12.59 15.02 14.90 19.90 19.66 20.56 19.24
6 11.73 11.01 12.31 10.92 14.01 13.66 14.04 13.64 16.43 15.94 20.31 20.27 20.85 20.63
7 11.13 10.36 11.38 10.44 12.94 12.44 13.63 13.06 15.75 15.56 20.00 20.56 20.25 20.19
8 11.21 10.51 11.32 10.84 13.09 13.76 13.85 13.49 15.98 15.89 20.43 20.69 20.85 20.27
9 11.80 11.21 11.35 9.88 13.85 14.46 13.96 13.77 16.51 15.72 20.64 21.01 20.78 20.89
Tabla 6.4 Ejemplo 1: Determinación de la cantidad de proteína en forraje expresada en %
318
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Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Laboratorio 8 9 10 11 12 13 14
a b a b a b a b a b a b a b
1 46.45 44.42 52.05 49.40 65.84 59.14 84.16 80.86 85.38 81.71 87.64 88.23 90.24 82.10
2 46.69 44.62 51.94 48.81 66.31 59.19 84.50 81.06 85.56 82.44 88.81 88.38 89.88 81.44
3 46.90 44.56 52.18 48.90 66.06 58.52 82.26 79.43 85.26 82.15 88.58 88.12 89.48 81.67
4 47.13 45.29 51.73 48.56 65.93 59.93 84.39 80.08 85.20 81.76 88.47 87.98 90.04 80.73
5 45.83 43.73 50.84 47.91 64.19 57.94 81.71 79.01 83.58 79.74 86.43 86.19 88.59 80.46
6 46.86 43.96 52.18 49.03 65.73 58.77 82.85 81.16 84.44 80.90 87.78 86.89 89.40 80.88
7 46.25 44.31 52.25 49.44 66.06 59.19 86.25 81.00 84.88 81.44 88.06 88.00 89.31 81.38
8 47.11 44.40 52.44 48.81 65.66 59.38 84.59 81.16 84.96 81.71 88.50 87.98 89.94 81.56
9 47.09 45.15 52.19 48.46 66.33 59.47 83.05 90.93 84.73 81.94 88.24 88.05 89.75 81.35
Tabla 6.4 Ejemplo 1: Determinación de la cantidad de proteína en forraje expresada en %
319
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Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
En este punto del análisis, el experto en estadística debería iniciar una investigación sobre las
posibles causas de los datos sospechosos del laboratorio 5, antes de continuar con el análisis de los
datos. Si no puede identificarse la causa, será necesario excluir todos los datos del laboratorio 5 del
cálculo de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad. El análisis proseguirá con
el examen de las posibles relaciones funcionales entre las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad, y la media general. Esto no presenta problemas nuevos, que no hayan sido ya
tratados en la norma 5725-2, por lo que no se consideran aquí.
320
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Modelo estadístico
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Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Laboratorio Diferencias
de celdas %
Estadístico
h
1 8.14 -0.459
2 8.44 0.229
3 7.81 -1.215
4 9.31 2.224
5 8.13 -0.482
6 8.52 0.413
7 7.93 -0.940
8 8.38 0.092
9 8.40 0.138
Tabla 6.5 Ejemplo 1: Diferencias de celdas para el nivel 14
321
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Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Laboratorio Diferencias
de celdas %
Estadístico
h
1 86.170 1.576
2 85.660 0.451
3 85.575 0.263
4 85.385 -0.156
5 84.525 -2.052
6 85.140 -0.696
7 85.345 -0.244
8 85.750 0.649
9 85.550 0.280
Tabla 6.6 Ejemplo 1: Medias de celdas para el nivel 14
322
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Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Nivel Número de
Laboratorios
Media
General
Diferencia
Media
Desviaciones
estándar
j p yj % Dj % syj% sDj% srj% sRj%
1 9 10.87 0.73 0.35 0.21 0.15 0.36
2 9 10.84 1.05 0.36 0.43 0.30 0.42
3 9 13.41 0.13 0.44 0.55 0.39 0.52
4 9 13.43 0.50 0.30 0.21 0.15 0.32
5 9 15.66 0.27 0.39 0.40 0.29 0.44
6 9 20.27 0.06 0.40 0.73 0.52 0.54
7 9 20.39 0.38 0.30 0.41 0.29 0.37
8 9 45.60 2.21 0.44 0.37 0.26 0.47
9 9 50.40 3.16 0.44 0.35 0.25 0.47
10 9 62.37 6.84 0.53 0.40 0.28 0.57
11 9 82.14 3.23 1.01 1.08 0.77 0.15
12 9 83.17 3.45 0.74 0.46 0.33 0.77
13 9 87.91 0.30 0.69 0.41 0.29 0.72
14 9 85.46 8.34 0.45 0.44 0.31 0.50
Tabla 6.7 Ejemplo 1: Valores de medias, diferencias de medias y desviaciones estándar
calculadas a partir de los datos para los niveles de la Tabla 6.4
323
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Aplicaciones del diseño de nivel fraccionado
Esquema del diseño de nivel fraccionado
Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Estadísticos de Grubbs para diferencias
Nivel El más
pequeño
Los dos más
pequeños
Los dos más
grandes
El más
grande
1 1.653 0.5081 0.3139 2.125
2 1.418 0.3945 0.4738 1.535
3 1.462 0.3628 0.5323 1.379
4 1.490 0.5841 0.4771 1.414
5 2.033 0.3485 0.6075 1.289
6 1.456 0.5490 0.3210 1.947
7 1.185 0.6820 0.1712 2.296 * (5)
8 0.996 0.7571 0.1418 * (6;8) 1.876
9 1.458 0.5002 0.3092 1.602
10 1.474 0.3360 0.4578 1.737
11 1.422 0.5089 0.2943 1.865
12 1.418 0.6009 0.2899 1.956
13 2.172 0.2325 0.6326 1.444
14 1.215 0.6220 0.2362 2.224 *(4)
Tabla 6.8 Ejemplo 1: Valores de los estadísticos de Grubbs.
324
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Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína Estadísticos de Grubbs para medias de las celdas
Nivel El más
pequeño
Los dos más
pequeños
Los dos más
grandes
El más
grande
1 1.070 0.6607 0.1291 * (6;9) 1.832
2 1.318 0.6288 0.2118 2.165
3 1.621 0.4771 0.4017 1.680
4 1.591 0.5339 0.3807 1.429
5 1.794 0.4018 0.5009 1.333
6 1.291 0.4947 0.4095 1.386
7 1.599 0.5036 0.4391 1.470
8 1.872 0.3753 0.4536 1.404
9 2.328 * (5) 0.1317 * (4;5) 0.7417 1.025
10 2.456 * (5) - - 1.000
11 1.756 0.2469 0.5759 1.472
12 2.037 0.1063 * (5;6) 0.7116 1.130
13 2.308 * (5) 0.0733 ** (5;6) 0.7777 0.994
14 2.052 0.2781 0.5486 1.576
Tabla 6.8 Ejemplo 1: Valores de los estadísticos de Grubbs.
NOTA Los números entre paréntesis indican los
laboratorios que han obtenido un incremento en
datos dudosos y anómalos.
Los valores críticos de la prueba estadística de
Grubbs para 9 laboratorios, aplicadas a las
diferencias o las medias de las celdas, son las
siguientes.
Dato dudoso Dato anómalo
(*) (**)
Prueba de Grubbs
para un valor 2.215 2.387
anómalo
Prueba de Grubbs
para un par de 0.1492 0.0851
valores anómalos
325
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Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Figura 6.1 Ejemplo 1: Datos obtenidos en el nivel 14
80.2
80.4
80.6
80.8
81
81.2
81.4
81.6
81.8
82
82.2
88.5 89 89.5 90 90.5
a b
326
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Organización de experimento de nivel fraccionado
Modelo estadístico
Análisis estadístico de datos en un experimento de nivel fraccionado
Examen de los datos, en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Ejemplo 1: Un experimento de nivel fraccionado – determinación de proteína
Figura 6.2, Figura 6.3 Ejemplo 1: Comprobación de la coherencia entre las medias (agrupadas
por laboratorio)
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
327
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Un ejemplo de un material heterogéneo es el cuero: dos pieles jamás son idénticas y las propiedades
del cuero varían notablemente dentro de una misma piel. Un ensayo corrientemente aplicado al cuero
es el ensayo de resistencia a la tracción, según la norma BS 3144, el cual se aplica a muestras con
forma de pesa (la norma BS 3144 especifica el número de muestras a cortar de una piel, así como su
posición y orientación dentro de la piel, con lo que la definición natural de “muestra” utilizada en el
ensayo del cuero es una piel completa). Si se realiza un experimento de precisión utilizando el diseño
de nivel uniforme descrito en la norma 5725-2, en el que cada laboratorio recibe una piel por nivel
del experimento y donde se obtienen dos resultados de ensayo sobra cada piel, la variación entre
pieles se añadirá a la variación interlaboratorios, con lo que aumentara la desviación estándar de
reproducibilidad. Sin embargo, si cada laboratorio recibe dos pieles, obteniendo dos resultados sobre
cada piel, los datos obtenidos pueden utilizarse para estimar la variación entre pieles y para calcular
un valor para la desviación estándar de reproducibilidad del método de ensayo, después de haber
descontado la variación entre pieles.
328
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Otro ejemplo de material heterogéneo es la arena (utilizada, por ejemplo, para fabricar hormigón).
Esta, por la acción del viento o del agua, se distribuye en estratos, los cuales siempre presentan
variaciones en el tamaño de los granos, de forma que cuando se utiliza el arena, es muy importante
considerar dicha distribución de tamaños de granos. En la tecnología del hormigón, la distribución
del tamaño de grano se mide mediante un ensayo de tamizado (por ejemplo según la norma BS 812-
103). Para llevar a cabo el ensayo, se toma una muestra primeria del producto, dividiéndose a
continuación en varias porciones o muestras más pequeñas. Habitualmente, la muestra primaria suele
tener una masa en torno a 10 Kg, y las porciones menores en torno a 200 g. Debido a la variabilidad
natural del material, siempre existirá alguna variación entre muestras primarias del mismo producto.
Al nivel que en el caso del cuero, si se realiza un experimento de nivel uniforme, en el que cada
laboratorio recibe una muestra primaria por nivel, la variabilidad entre muestras primarias hará que
aumente el valor de la desviación estándar de reproducibilidad del método de ensayo, pero si los
laboratorios reciben dos muestras primarias por nivel, entonces los valores de la desviación estándar
de reproducibilidad podrán calcularse excluyendo dicha variación.
329
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Los ejemplos señalados ponen de manifiesto otra característica de los materiales heterogéneos:
debido a la variabilidad del material, la preparación de la muestra o la porción de ensayo pudo ser
una fuente importante de variación. Así, con el cuero, el proceso se toma de muestras de una piel
puede tener gran influencia sobre el valor de resistencia a la tracción medida, y en los ensayos de
tamizado de la arena, el proceso de preparación de las porciones de ensayo, a partir de las muestras
primarias, constituye principalmente la fuente de variabilidad del método de ensayo. Si las muestras o
porciones de ensayo se preparan de cara a un experimento de precisión, de forma no correspondiente
con la práctica normal (con ánimo de producir muestras “idénticas”, entonces los valores de las
desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad obtenidos en el experimento, no serán
representativos de la variabilidad experimental que tiene lugar en la práctica. Hay situaciones en las
que si puede ser deseable producir muestras “idénticas” mediante un determinado proceso especial
previsto para eliminar en lo posible la variabilidad del material (por ejemplo, en un ensayo de aptitud,
o cuando se utiliza un experimento de precisión como parte de un programa de trabajo durante la
puesta a punto de un método de medida). Sin embargo, cuando la finalidad del experimento de
precisión es descubrir la variabilidad que se va a dar en la práctica (por ejemplo, cuando
suministradores y clientes ensayan muestras del mismo producto), es necesario entonces que la
variabilidad derivada de la heterogeneidad del material esté incluida en las medidas de precisión del
método de medición.
330
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Asimismo deberían tomarse precauciones para garantizar que cada resultado de ensayo del
experimento se obtiene siguiendo el método operativo, independientemente de otros ensayos. Esto no
será necesario si algunas fases de la preparación son compartidas o comunes a varias muestras, de
forma que el sesgo o variación introducida por la preparación tenga pequeña influencia sobre los
resultados de ensayo procedentes de estas muestras.
El diseño para materiales heterogéneos propuesto en esta sección proporciona información sobre la
variabilidad entre muestras, que no puede obtenerse con el diseño de nivel uniforme descrito en la
norma 5725-2. Inevitablemente, existe un coste asociado a la obtención de información
suplementaria, ya que el plan propuesto necesita más muestras de ensayo. Sin embargo, esta
información suplementaria puede tener un gran valor. En el ejemplo del cuero, presentado en el
primer ejemplo dado en la sección Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo, la
información sobre la variabilidad entre pieles podría utilizarse para decidir cuantas pieles ensayar a la
hora de evaluar la calidad de una entrega, o para decidir entre ensayar más pieles con menos muestras
por piel, o menos pieles con más muestras por piel. En el ejemplo de la arena, presentado en
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo (segundo ejemplo), la información sobre la
variabilidad entre muestras primarias podría utilizarse para decidir si el procedimiento de toma de
muestras primarias es satisfactorio o exige una mejora.
331
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
El diseño descrito en esta cláusula es aplicable a experimentos que implican tres factores
jerárquicamente distribuidos: un factor “laboratorios” en el nivel más alto, un factor “muestras en los
laboratorios” en el nivel medio, y un factor “resultados de ensayo en las muestras” en el nivel
jerárquico más bajo. Otro caso que puede encontrarse en la práctica es el de un esquema jerárquico
con tres factores, en el que “laboratorios” se encuentra en el nivel más alto, “resultados de ensayo en
los laboratorios” en el nivel medio, y en “determinaciones dentro de los resultados de ensayo” en el
nivel jerárquico más bajo. Esta última situación tendría lugar si los laboratorios participantes en un
experimento de precisión recibieran, cada uno, una única muestra de material homogéneo, debiendo
realizar dos (o más) ensayos por muestra, y si cada ensayo implicara un cierto número de
determinaciones, siendo el resultado de ensayo la medida de las determinaciones. Las formulas dadas
en las secciones Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo,
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos y Formulas generales para los
cálculos en el diseño para un material heterogéneo pueden aplicarse a datos obtenidos en un
experimento como este, pero las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad deben
calcularse de forma ligeramente diferente de la aquí expuesta (véase la Nota 2 (antes de la sección
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos). También es necesario especificar
el número de determinaciones que se toman para el cálculo de la medida como resultado de ensayo,
puesto que ello afecta a los valores de las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad.
332
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
La disposición del plan para un material heterogéneo se indica en la Tabla 9.
Cada uno de los p laboratorios participantes recibe dos muestras de q niveles, obteniendo dos
resultados de ensayo sobre cada muestra. Así, cada celda del experimento contiene cuatro resultados
de ensayo (dos resultados para cada una de las dos muestras).
Es posible generalizar este plan simple, permitiendo más de dos muestras por nivel y por laboratorio,
o más de dos resultados por muestra. Los cálculos requeridos por el plan más general son mucho más
complejos que los necesarios en el caso de dos resultados por muestra y por dos muestras por nivel y
laboratorio. Sin embargo, los principios del plan más general son los mismos que para el plan simple,
por lo que los cálculos para este plan simple serán perfectamente detallados aquí. Las fórmulas para
el cálculo de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad para el plan general se
presentan más adelante, en la sección Formulas generales para los cálculos en el diseño para un
material heterogéneo, así como un ejemplo de aplicación, en la Ejemplo 3: Una aplicación de las
fórmulas generales.
333
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Los datos, en el caso del plan aplicado a un material heterogéneo vienen representados por:
yijk
donde
El subíndice i representa el laboratorio (i = 1, 2, …, p);
El subíndice j representa el nivel (j = 1, 2, …, q);
El subíndice t representa la muestra (t = 1, 2, …, g);
El subíndice k representa el laboratorio (k = 1, 2, …, n);
Generalmente, g = 2 y g = 2. En el plan más general, g o n, o los dos, son superiores a 2.
NOTA En las normas 5725-1 y 5725-2, p se utiliza a la vez para el número de laboratorios y
como indicador en las tablas de los valores críticos para la prueba de Cochran: en el experimento de
nivel uniforme, los dos números son los mismos. Para un material heterogéneo, el índice para la
prueba de Cochran puede ser múltiplo del número de laboratorios; por ello, aquí se utiliza p para
indicar el número de laboratorios y p para el índice de la prueba de Cochran.
334
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Cuando se planifica un experimento con un material heterogéneo, deben seguirse las indicaciones
dadas en la cláusula de la norma 5725-1. Además debe considerarse la siguiente cuestión.
¿Cuántas muestras deberían preparase por laboratorio y por nivel?
Generalmente, por razones de costo, la respuesta será: dos
Las formulas, tablas y figuras de la sección Consideraciones de planificación del experimento y la
estimación de la exactitud y en el Anexo A de la norma 5725-1 puede utilizarse como ayuda para
elegir el número de laboratorios, de muestras y de repeticiones, pero con las modificaciones
presentadas en esta subsección.
La incertidumbre de la estimación de la desviación estándar de repetibilidad deducida a partir de un
experimento sobre un material heterogéneo, puede evaluarse calculando la magnitud Ar, presentada
en la sección Selección de los laboratorios para el experimento de exactitud de la norma 5725-1
como:
𝐴𝑟 = 1.961
2𝑝´𝑔 𝑛−1 (95)
335
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
en lugar de definida por la ecuación (14) de la norma 5725-1. No obstante, la ecuación anterior puede
obtenerse reemplazando p, en la ecuación (14) de la norma 5725-1 por p´×g. De esta forma, pueden
utilizarse la Figura A.1 y las entradas para repetibilidad bajo Ar de la Tabla 1 de la norma 5725-1, sin
más que entrar en la figura o en la tabla con p = p´×g. Así, en el caso habitual en que deben preparase
g = 2 muestras para cada laboratorio y para cada nivel, debe entrarse en la tabla o en la figura de la
norma 5725-1, con p = 2p.
NOTA La formula anterior para Ar (y la posterior para Ar) han sido obtenidas por el método
descrito en la NOTA antes de la ecuación (14) de la norma 5725-1.
La incertidumbre de la estimación de la desviación estándar de la reproducibilidad, deducida a partir
de un experimento sobre un material heterogéneo, puede evaluarse calculando la magnitud AR,
presentada en Selección de laboratorios para el experimento de exactitud de la norma 5725-1 como:
𝐴𝑅 = 1.96𝐷1+𝐷2+𝐷3
2𝛾4 (96)
en lugar de definida por la ecuación (15) de la norma 5725-1. Aquí
336
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
𝐷1 =𝛾2−1 +
𝜙2
𝑔+
1
𝑛𝑔
2
𝑝´−1
𝐷2 =
𝜙2
𝑔+
1
𝑛𝑔
2
𝑝´𝑔 𝑛−1
𝜙 =𝜎𝐻
𝜎𝑟
(𝜎𝐻 se define más adelante, en en ecuación (98))
γ =𝜎𝑅
𝜎𝑟 (97)
Los valores 𝜙 y de γ pueden provenir de estimaciones previas de las desviaciones estándar 𝜎𝐻, 𝜎𝑅 y
𝜎𝑟 obtenidas durante el proceso de normalización del método de medición.
337
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Para los detalles de organización de un experimento con un material heterogéneo, seguir las
indicaciones dadas en las secciones Requisitos para un experimento de determinación de veracidad
y precisión y Personal involucrado en un experimento de veracidad y precisión de la norma 5725-2.
La Diseño del experimento de la norma 5725-2 contiene requisitos para “el grupo de n ensayos” o “el
grupo de n medidas” (por ejemplo, cuando el grupo de n ensayos debe obtenerse bajo condiciones de
repetibilidad). En un experimento con material heterogéneo, estas exigencias se refieren al grupo de
g×n ensayos dentro de una cola; es decir, a todos los ensayos de un laboratorio dentro de un nivel.
En un experimento con material heterogéneo, el número de muestras a preparar para cada nivel p´×g
(es decir, 2p´ en el caso habitual de g = 2). Es importante que estas p´×g muestras sean repartidas al
azar entre los laboratorios participantes.
338
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
El modelo básico utilizado en la presente parte de la norma 5725 está tomado de la ecuación (1). En
un experimento con material heterogéneo, el modelo se convierte en:
𝐷2 =
𝜙2
𝑔+
1
𝑛𝑔
2
𝑝´𝑔 𝑛−1
𝐷3 =1
𝑝´𝑔 𝑛−1
𝜙 =𝜎𝐻
𝜎𝑟
(𝜎𝐻 se define más adelante en ecuación (98))
γ =𝜎𝑅
𝜎𝑟 (97)
Los valores 𝜙 y de γ pueden provenir de estimaciones previas de las desviaciones estándar 𝜎𝐻, 𝜎𝑅 y
𝜎𝑟 obtenidas durante el proceso de normalización del método de medición.
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
El modelo básico utilizado en la presente parte de la norma 5725 está tomado de la ecuación (1). En
un experimento con material heterogéneo, el modelo se convierte en:
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝑚𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 + 𝐻𝑖𝑗𝑡 + 𝑒𝑖𝑗𝑡𝑘 (97)
Los términos m, B y e, tienen el mismo significado que la ecuación (1), pero la ecuación (97)
contiene un término suplementario 𝐻𝑖𝑗𝑡 que representa la variación entre muestras, y que contiene un
subíndice t que representa las muestras en los laboratorios (el significado de los subíndices viene
deducido en laminas 349 a 352).
Es razonable suponer que la variación entre muestras es aleatoria y que no depende del laboratorio,
aunque si puede depender del nivel del experimento, de forma que el término 𝐻𝑖𝑗𝑡 tiene una
esperanza nula y una varianza:
Var 𝐻𝑖𝑗𝑡 = 𝜎𝐻𝑗2 (98)
En el caso habitual de dos muestras por laboratorio y dos resultados de ensayo por muestra (g = n =
2), se definen:
340
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ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
a) La media de la muestra y el rango de los resultados de ensayo, para el laboratorio i, el nivel j y la
muestra t (t = 1 o 2)
𝑦𝑖𝑗𝑡 =𝑦𝑖𝑗𝑡1+𝑦𝑖𝑗𝑡2
2 (99)
𝑤𝑖𝑗𝑡 = 𝑦𝑖𝑗𝑡1 + 𝑦𝑖𝑗𝑡2 (100)
b) La media de la muestra y el rango entre muestras, para el laboratorio i y el nivel j
𝑦𝑖𝑗 =𝑦𝑖𝑗1+𝑦𝑖𝑗2
2 (101)
𝑤𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗1 + 𝑦𝑖𝑗2 (102)
341
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
c) La media general y la desviación estándar de las medias de las celdas, para el nivel j
𝑦𝑗 = 𝑦𝑖𝑗
𝑝´
𝑞𝑖=1 (103)
𝑠𝑦𝑗 = 𝑦𝑖𝑗−𝑦𝑗
2𝑞𝑖=1
𝑝´−1 (104)
donde la suma se extiende sobre todos los laboratorios i = 1, 2, …, p´.
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Se analiza aquí en detalle el caso habitual en que se preparan dos muestras para cada laboratorio y
cada nivel, y se obtiene dos resultados de ensayo sobra cada muestra. (El caso general se analiza en
los puntos Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo y
Ejemplo 3: Una aplicación de las formulas generales).
Se agrupan los datos en una tabla como la Tabla 6.9. Cada combinación del laboratorio y nivel da
lugar a una “celda” en la tabla, la cual contiene cuatro resultados de ensayo.
342
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
a) Se calculan los rangos entre resultados de ensayo y se introducen en una tabla como la Tabla 10;
b) Se calculan los rangos entre muestras y se introducen en una tabla como la Tabla 11;
c) Se calculan las medias de las celdas y se introducen en una tabla como la Tabla 12;
Se registran todos los rangos como valores positivos (es decir, se ignora el signo).
343
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Laboratorio Muestra
Nivel 1 Nivel 2 Nivel j Nivel q
Número de resultado
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1
2
2
1
2
i
1
2
p
1
2
Tabla 6.9 Formato recomendado para la presentación de los datos de un
diseño para material heterogéneo
344
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Laboratorio Muestra Nivel 1 Nivel 2 Nivel j Nivel q
1
1
2
2
1
2
i
1
2
p´
1
2
Tabla 6.10 Formato recomendado para la presentación de los rangos entre
los resultados, en un diseño para material heterogéneo
345
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Laboratorio Nivel 1 Nivel 2 Nivel j Nivel q
1
2
i
p´
Tabla 6.11 Formato recomendado para la presentación de los rangos entre
muestras, en un diseño para material heterogéneo
346
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Laboratorio Nivel 1 Nivel 2 Nivel j Nivel q
1
2
i
p´
Tabla 6.12 Formato recomendado para la presentación de las medias de las
celdas, en un diseño para material heterogéneo
347
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Si una celda de la Tabla 9 contiene menos de cuatro resultados de ensayo (por ejemplo, porque se
hayan estropeado muestras, o porque se hayan excluido datos tras la aplicación de los ensayos de
detección de valores anómalos que se describen más adelante), entonces:
a) Se utilizan las formulas dadas más adelante para el caso general; o bien
b) Se ignoran todos los datos de la celda.
Es preferible la opción a). La opción b) descarta datos, pero permite utilizar las formulas simples.
Para cada nivel j del experimento, se calcula:
a) La suma de los cuadrados de los rangos entre muestras de la columna j de la Tabla 10 (sumando
sobre p´ laboratorios):
𝑆𝑆𝑟𝑗 = 𝑤𝑖𝑗𝑡22
𝑡=1𝑝´𝑖=1 (105)
348
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
b) La suma de los cuadrados de los rangos entre muestras de la columna j de la Tabla 11 (sumando
sobre p´ laboratorios):
𝑆𝑆𝐻𝑗 = 𝑤𝑖𝑗22
𝑡=1 (106)
c) La media y la desviación estándar de las medias de las celdas de la columna j de la Tabla 12,
utilizando las ecuaciones (103) y (104).
Se utilizan las Tabla 10, Tabla 11 y Tabla 12, y los estadísticos calculados en la página anterior en
ecuación (105), para examinar los datos en lo referente a coherencia y avalores anómalos, tal como se
describe en la sección Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos. Si es
necesario descartar algunos datos, se recalculan los estadísticos.
349
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Se calculan las varianzas estándar de repetibilidad srj, y de reproducibilidad srj mediante:
𝑠𝑟𝑗2 =
𝑆𝑆𝑟𝑗
4𝑝´ (107)
𝑠𝑅𝑗2 =
𝑆𝑆𝑟𝑗−𝑆𝑆𝐻𝑗
4𝑝´ (108)
Si sucede que
𝑠𝑅𝑗 < 𝑠𝑟𝑗 (109)
debe tomarse
𝑠𝑅𝑗 = 𝑠𝑟𝑗 (110)
Calcular una estimación de la desviación estándar que mide la variación entre muestras sHj mediante:
𝑠𝐻𝑗2 =
𝑆𝑆𝐻𝑗
2𝑝´ −𝑆𝑆𝑟𝑗
8𝑝´ (111)
350
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Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
NOTA 1 Aunque no es necesario para el análisis, sin embargo, puede ser interesante realizar un
ensayo de significación para ver si la variación entre muestras es estadísticamente significativa. No es
correcto utilizar dicho ensayo para decidir si la variación entre muestras puede ignorarse en el
análisis (de forma que los resultados del ensayo en cada celda sean tratados como si hubieran sido
obtenidos sobre la misma muestra). Esto introduciría un sesgo en la estimación de la desviación
estándar de repetibilidad, ya que el que la variación entre muestras no sea estadísticamente
significativa no implica que la variación entre muestras sea despreciable.
NOTA 2 En el caso descrito en lámina 333 (cuando los tres factores son “laboratorios”, “ensayos en
los laboratorios” y “determinaciones en los ensayos”), las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad deberían calcularse según:
𝑠𝑟𝑗2 =
𝑆𝑆𝐻𝑗
2𝑝´
𝑠𝑅𝑗2 =
𝑠𝑦𝑗2−𝑆𝑆𝐻𝑗
4𝑝´
Estas formulas se aplican cuando el resultado de ensayo se calcula como media de 2 determinaciones.
351
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- Diseño para un material heterogéneo
Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Se examina si 𝑠𝑟𝑗 y 𝑠𝑅𝑗 dependen de la media general 𝑦𝑗 y, si es el caso, se determinan las relaciones
funcionales, utilizando los métodos descritos en Establecimiento de la relación funcional existente
entre los valores de veracidad y precisión y el nivel medio m de la norma 5725-2.
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Se examina la coherencia de los datos utilizando los estadísticos h y k descritos en Técnica gráfica
de consistencia de la norma 5725-2.
Para verificar la coherencia de las medias de las celdas, se calculan los estadísticos h mediante:
ℎ𝑖𝑗 =𝑦𝑖𝑗−𝑦𝑗
𝑠𝑦𝑗 (112)
Se representan gráficamente estos estadísticos para hacer resaltar los laboratorios faltos de
coherencia, representando los estadísticos por orden de nivel, pero agrupados por laboratorios.
Para verificar la coherencia de los rangos entre muestras, se calculan los estadísticos k mediante:
𝑘𝑖𝑗 =𝑤𝑖𝑗
𝑆𝑆𝐻𝑗
2𝑝´
(113)
352
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Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Se representan gráficamente estos estadísticos para hacer resaltar los laboratorios no coherentes,
representando los estadísticos por orden de nivel, pero agrupados por laboratorios.
Para verificar la coherencia de los rangos entre muestras, se calculan los estadísticos k mediante:
𝑘𝑖𝑗𝑡 =𝑤𝑖𝑗𝑡
𝑆𝑆𝑟𝑗
2𝑝´
(114)
Se representan gráficamente estos estadísticos para hacer resaltar los laboratorios no coherentes,
representando igualmente que en los casos anteriores los estadísticos por orden de nivel, pero
agrupados por laboratorios.
353
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Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
La interpretación de estos gráficos se analiza en Técnica gráfica de consistencia de la norma 5725-2.
Si un laboratorio presenta resultados igualmente sesgados, en el gráfico de medias de celdas, la
mayor parte de los estadísticos h de este laboratorio serán de valor elevado y tendrán la misma
dirección. Si un laboratorio no realiza los ensayos dentro de cada nivel en condiciones de
repetibilidad (permitiendo que factores externos aumenten la variación entre muestras), en el gráfico
de rangos entre muestras se observarán valores anormalmente elevados de estadísticos k. Así mismo,
si un laboratorio obtiene una mala repetibilidad, en el gráfico de rangos entre resultados de ensayo
presentará valores estadísticos k extrañamente altos.
Se examinan los datos para detectar valores anómalos y dudosos, utilizando las pruebas de Cochran y
de Grubbs, tal como se describe en Prueba de Cochran y Prueba de Grubbs de la norma 5725-2.
Para verificar los valores anómalos y dudosos en los rangos entre resultados de ensayo, se calculó el
estadístico de Cochran para cada nivel j mediante:
𝐶 =𝑤𝑚𝑎𝑥
2
𝑆𝑆𝑟𝑗 (115)
donde wmax es el mayor de los rangos entre resultados de ensayo wijt para cada nivel j.
354
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Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Para utilizar la tabla de valores críticos de la subcláusula 8.1 de la norma 5725-2, debe entrarse en la
tabla en la fila correspondiente a p = 2p´, en el margen izquierdo y en la columna n = 2.
Para verificar los valores anómalos y dudosos en los rangos entre muestras, se calcula el estadístico
de Cochran para cada nivel j mediante:
𝐶 =𝑤𝑚𝑎𝑥
2
𝑆𝑆𝐻𝑗 (116)
donde wmax es el mayor de los rangos entre resultados de ensayo wijt para cada nivel j.
Para utilizar la tabla de valores críticos de la subcláusula 8.1 de la norma 5725-2, debe entrarse en la
tabla en la fila correspondiente a p = 2p´, en el margen izquierdo y en la columna n = 2.
Para verificar los valores anómalos y dudosos en las medias de las celdas, se calcula el estadístico de
Grubbs a partir de las medias de las celdas, como se muestra en la subcláusula 7.3.4 de la norma
5725-2, para cada nivel j [donde la s definida en la norma 5725-2 es igual a la syj definida por la
ecuación (99)].
355
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sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
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Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
La interpretación de estos ensayos se analiza en detalle en la Técnicas numéricas para datos
anómalos de la norma 5725-2. En un experimento sobre un material heterogéneo, los resultados
derivados de la aplicación de estos ensayos deberían tratarse en el siguiente orden. Primeramente,
debería aplicarse la prueba de Cochran a los rangos entre resultados de ensayo, Si a partir del
resultado de esta prueba, se decide en un determinado rango entre resultados del ensayo es anómalo,
y debe ser excluido, los dos resultados que dan lugar a dicho rango anómalo deberían ser excluidos
también del cálculo de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad (pero deberían
guardarse los demás resultados de ensayo de la celda). A continuación, se aplica la prueba de Cochran
a los rangos entre muestras, y finalmente se aplica la prueba de Grubbs a las medias de las celdas. Si
se decide que un rango entre muestras es anómalo, o que la media de una celda es anómala, y que los
resultados que dan lugar a dicho valor deben ser excluidos, entonces deben excluirse todos los
resultados de ensayo de la celda correspondiente, en el cálculo de las desviaciones estándar de
repetibilidad y de reproducibilidad.
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Las referencias dadas en Informe de resultados en un experimento de nivel fraccionado se aplican
igualmente a los experimentos sobre materiales heterogéneos.
356
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Los materiales granulados utilizados en el cemento y en el compuesto bituminoso que conforman las
superficies de las pistas de los aeropuertos y de las carreteras deben poder resistir el agua y el hielo.
Un método utilizado para medir esta aptitud es el ensayo de resistencia al sulfato de magnesio, en el
que una porción del ensayo del material granulado se somete a un cierto número de ciclos de
inmersión en una solución saturada de sulfato de magnesio, seguidos de un secado. Al comienzo, la
porción de ensayo se prepara de manera que se mantiene retenida en un tamiz de 10.0 mm de paso. El
tratamiento durante el ensayo supone la degradación de las partículas, y el resultado de ensayo es el
porcentaje de la porción de ensayo (en masa) que, al final del ensayo, ha logrado pasar por el tamiz.
Un resultado elevado (más de un 10% a un 20%) indica un granulado de pequeña resistencia.
Los datos presentados en la Tabla 13 han sido obtenidos en un experimento en el que las parejas de
muestras de ocho granulados distintos han sido enviadas a 11 laboratorios, y donde sobre cada
muestra se han obtenido dos resultados de ensayo de resistencia al sulfato de magnesio. Las muestras
poseían una masa en torno a 100 Kg (servían para otros ensayos distintos), y las porciones de ensayo
tenían una masa en torno a 350g.
Las Tablas 14, 15 y 16 muestran los rangos entre resultados de ensayo, los rangos entre muestras y las
medias de las celdas, calculadas utilizando las ecuaciones (99) a (103), únicamente para el nivel 6 del
experimento.
357
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Utilizando las ecuaciones (105) y (106), los rangos entre resultados de ensayo de la Tabla 14 y los
rangos entre muestras de la Tabla 15 dan:
𝑆𝑆𝑟6 = 381.66 % 2
𝑆𝑆𝐻6 = 160.5300 % 2
Aplicando las ecuaciones (107) a (111), las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad, así como la desviación estándar que mide la variación entre muestras, son:
𝑠𝑟6 = 2.95%
𝑠𝑅6 = 5.51%
𝑠𝐻6 = 1.72%
La Tabla 17 presenta los resultados de los cálculos para los demás niveles.
358
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
La Figura 4 muestra los histogramas de los rangos entre resultados de ensayo, de los rangos entre
muestras y de las medias de las celdas, para el nivel 6. Los gráficos de este tipo presentan una imagen
fácil de comprender de la magnitud de la variación procedente de las diferentes fuentes (entre
resultados de ensayo, entre muestras y entre laboratorios). La Figura 4 muestra que en este
experimento, en el nivel 6, hay una gran variación entre las medias de las celdas, de forma que si el
método de ensayo debe utilizarse en una especificación, es probable que surjan discusiones entre
suministradores y clientes, dadas las diferencias observadas entre sus resultados. Los rangos entre
muestras son menores que los rangos entre resultados de ensayo, lo que sugiere que la variación entre
muestras no es importante en el nivel 6.
Los valores de los estadísticos h y k, calculados como se describe en Examen de los datos en cuanto a
coherencia y a valores anómalos, se presentan igualmente en las Tablas 14, 15 y 16, para el nivel 6.
Los valores para los demás niveles se presentan en las Figuras 5 a 7. (En estas figuras, los niveles han
sido reagrupados para que las medias generales se observen en orden creciente – como se muestra en
la Tabla 17).
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
La Figura 5 muestra que el laboratorio 6 ha obtenido varios valores del estadístico k elevados, para
los rangos entre resultados de ensayo, indicando que posee una repetibilidad peor que otros
laboratorios.
La Figura 6 muestra que tres laboratorios (1, 6 y 10) han obtenido valores del estadístico k elevados
para los rangos entre muestras; esto podría ser debido a no haber seguido estrictamente los
procedimientos recomendados para la preparación de porciones de ensayo, a partir de las muestras
primarias.
La Figura 7 muestra estadísticos h netamente positivos o negativos en la mayor parte de los
laboratorios (los laboratorios 1, 6 y 10 mantiene los valores más elevados). Esto lleva a la presunción
de que hay sesgos importantes en la mayor parte de los laboratorios, indicando que el método de
ensayo no está especificado convenientemente.
La aplicación de las pruebas de Cochran y de Grubbs a los datos, tal como se describe en el punto que
describe a la ecuación (115), da los resultados presentados en la Tabla 18. En dicha tabla se
identifican dos valores anómalos. En ausencia de otra información, los datos responsables de estos
valores serían descartados, repitiéndose los cálculos. El análisis puede continuar después a través de
una investigación de relaciones funcionales, de la misma forma que en el caso del plan de nivel
uniforme presentado en la norma 5725-2.
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Figura 6.4 Ejemplo 2: Histogramas de los rangos y medias
de las Tablas 14, 15 y 16, para el nivel 6
0
1
2
3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
k Ejemplo 2: Rangos entre resultados de ensayo, para el nivel 6
0
1
2
6.75 4.4 1 2.25 2.05 2.55 3.15 3.35 1.7 6.95 2.55
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
k Ejemplo 2: Rangos entre muestras para el nivel 6
-2
-1
0
1
2
26.425 13.75 21 17.075 13.425 21.225 23.675 14.475 18.25 26.275 13.425
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
k Ejemplo 2: Rangos entre muestras para el nivel 6
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Figura 6.5 Ejemplo 2: Verificación de la coherencia de los rangos
de los resultados de ensayo (agrupados por laboratorios)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ejemplo 2: Determinación de la resistencia al sulfato de magnesio (%)
362
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Figura 6.6 Ejemplo 2: Verificación de la coherencia de los rangos de las muestras
(agrupados por laboratorios) (k de Mandel)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | 2 1 2
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
Nivel 1 1
Nivel 1 2
Nivel 2 1
Nivel 2 2
Nivel 3 1
Nivel 3 2
Nivel 4 1
Nivel 4 2
Nivel 5 1
Nivel 5 2
Nivel 6 1
Nivel 6 2
Nivel 7 1
Nivel 7 2
Nivel 8 1
Nivel 8 2
363
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Figura 6.7 Ejemplo 2: Verificación de la coherencia de las medias de las celdas
(agrupados por laboratorios)
(h de Mandel)
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
Nivel 1 1
Nivel 1 2
Nivel 2 1
Nivel 2 2
Nivel 3 1
Nivel 3 2
Nivel 4 1
Nivel 4 2
Nivel 5 1
Nivel 5 2
Nivel 6 1
Nivel 6 2
Nivel 7 1
Nivel 7 2
Nivel 8 1
Nivel 8 2
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Tabla 13 Ejemplo 2: Determinación de la resistencia al sulfato de magnesio (%)
Nivel
Labora
torio
Mues
tra
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 69.2 67.0 7.4 8.0 4.1 3.5 10.4 10.1 8.9 7.4 31.1 28.5 38.7 41.7 4.2 4.1
2 69.7 71.7 6.6 5.7 10.5 13.1 13.9 13.8 7.6 9.1 23.0 23.1 44.2 41.1 7.3 4.4
2 1 66.5 64.1 1.9 2.1 3.0 3.2 8.7 6.7 3.2 3.5 16.5 15.4 36.6 45.2 3.2 5.4
2 65.7 65.8 4.2 3.3 1.9 1.1 8.3 4.8 2.8 4.0 10.3 12.8 43.2 40.5 1.7 2.5
3 1 68.7 69.5 6.3 5.8 2.4 2.9 11.7 7.0 4.4 6.1 24.3 16.7 38.9 43.1 3.7 7.7
2 67.7 77.7 9.7 5.3 2.1 3.3 7.9 12.0 6.0 6.0 20.8 22.2 46.1 47.4 3.5 5.6
4 1 77.5 75.3 2.0 3.6 2.4 1.4 9.4 7.1 2.7 3.1 20.2 16.2 32.0 35.5 2.9 2.2
2 76.3 77.2 4.7 3.8 6.4 2.3 10.7 7.7 2.3 2.9 20.0 11.9 26.5 35.7 3.2 2.3
5 1 55.4 63.2 3.8 4.1 1.3 0.8 3.7 6.3 1.3 1.4 13.8 15.1 36.7 39.5 1.1 1.2
2 65.9 54.7 2.1 3.1 0.7 1.7 3.3 3.7 1.5 1.3 11.5 13.3 37.6 34.1 0.6 1.7
6 1 64.8 70.9 8.4 6.1 6.0 9.7 16.5 12.3 8.2 4.2 20.3 24.7 49.4 50.6 11.9 18.5
2 78.2 73.4 8.3 10.6 12.4 9.8 13.2 16.8 3.7 4.6 21.0 18.9 48.2 52.4 14.9 8.1
7 1 64.8 63.4 4.3 5.7 2.9 3.0 7.5 9.3 3.1 5.5 27.2 23.3 38.9 29.9 - 1.7
2 67.0 63.4 7.7 3.9 4.3 6.4 11.1 8.3 5.6 5.5 21.5 22.7 34.4 38.3 2.2 5.0
8 1 64.9 68.4 4.4 2.8 1.3 2.8 5.7 6.8 1.8 2.2 13.6 12.0 27.0 37.0 0.3 2.2
2 65.4 65.5 5.4 6.7 2.7 2.8 4.8 5.5 4.0 4.0 15.6 16.7 39.7 34.6 3.6 3.7
9 1 - - - - 1.1 0.0 6.6 7.0 3.8 3.8 17.7 17.1 33.4 33.1 1.8 2.0
2 - - - - 0.7 3.7 4.9 6.3 3.5 2.8 21.4 16.8 26.5 25.2 2.5 1.6
10 1 57.0 57.7 3.3 0.4 2.1 2.4 5.5 5.8 3.5 3.0 21.7 23.9 35.3 26.5 0.5 4.3
2 57.1 52.7 4.2 2.3 3.6 3.5 3.9 5.7 3.2 3.5 27.0 32.5 18.0 18.2 2.0 2.1
11 1 70.6 75.2 5.3 6.4 5.7 1.9 9.5 7.2 3.5 2.5 11.0 18.4 27.0 33.5 5.1 3.9
2 77.9 68.2 3.5 7.1 1.4 3.0 8.1 7.4 2.0 2.8 16.4 8.1 35.4 29.3 2.1 5.0
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Tabla 14 Ejemplo 2: Rangos entre resultados de ensayo, para el nivel 6
Laboratorio Muestra Rango entre resultados
de ensayo %
Estadístico
k
1 1 2.6 0.624
2 0.1 0.024
2 1 1.1 0.264
2 2.5 0.600
3 1 7.6 1.825
2 1.4 0.336
4 1 4.0 0.960
2 8.1 1.945
5 1 1.3 0.312
2 1.8 0.432
6 1 4.4 1.056
2 2.1 0.504
7 1 3.9 0.936
2 1.2 0.288
8 1 1.6 0.384
2 1.1 0.264
9 1 0.6 0.144
2 4.6 1.104
10 1 2.2 0.528
2 5.5 1.320
11 1 7.4 1.777
2 8.1 1.945
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Tabla 15 Ejemplo 2: Rangos entre muestras, para el nivel 6
Laboratorio Rango entre muestras
%
Estadístico
k
1 6.75 1.767
2 4.40 1.152
3 1.00 0.262
4 2.25 0.589
5 2.05 0.537
6 2.55 0.668
7 3.15 0.825
8 3.35 0.877
9 1.70 0.445
10 6.95 1.819
11 2.55 0.668
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Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Tabla 16 Ejemplo 2: Medias de celdas, para el nivel 6
Laboratorio Medias de celdas % Estadístico
h
1 26.425 1.475
2 13.750 -1.043
3 21.000 0.397
4 17.075 -0.382
5 13.425 -1.108
6 21.225 0.442
7 23.675 0.929
8 14.475 -0.899
9 18.250 -0.149
10 26.275 1.445
11 13.425 -1.108
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Tabla 17 Ejemplo 2: Ejemplo 2: Valores de medias, de sumas de
cuadrados de los rangos y de desviaciones estándar
calculadas a partir de los datos, para los 8 niveles de la
Tabla 13 (salvo las celdas en que faltan datos)
Nivel Número de
laboratorios
Media
General
Suma de cuadrados
de rangos Desviaciones estándar
j p´ yj % SSRj %2 SSHj %
2 Syj % Srj % SRj % SHj %
3 11 3.7 82.99 96.3725 2.62 1.37 2.56 1.85
5 11 4.0 34.70 11.2550 1.88 0.89 2.01 0.34
8 10 4.1 155.39 29.4225 3.49 1.97 3.92 0.00
2 10 5.0 83.51 25.2375 1.95 1.44 2.29 0.47
4 11 8.2 131.07 23.5775 3.10 1.73 3.47 0.00
6 11 19.0 381.66 160.5300 5.03 2.95 5.51 1.72
7 11 36.5 636.19 305.4775 7.28 3.80 7.78 2.58
1 10 67.4 529.71 92.9225 6.23 3.64 7.05 0.00
369
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Tabla 18 Ejemplo 2: Valores de los estadísticos de Cochran y de Grubbs
1/3
Nivel Número de
laboratorios
Estadísticos de Cochran para los
rangos entre resultados de ensayo
Estadísticos de Cochran para
los rangos entre muestras
j p´
3 11 0.203 0.664 * (1)
5 11 0.461 ** (6) 0.374
8 10 0.298 0.465
2 10 0.232 0.238
4 11 0.169 0.550
6 11 0.172 0.301
7 11 0.157 0.536
1 10 0.237 0.680 * (6)
370
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sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Diseño para un material heterogéneo Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Estadísticos de Grubbs para las medias de las celdas
Nivel Número de
laboratorios El más pequeño
Los dos más
pequeños
Los dos más
grandes El más grande
j p´
3 11 0.970 0.791 0.098 ** (1;6) 2.219
5 11 1.396 0.709 0.302 2.266
8 10 0.849 - - 2.643 ** (6)
2 10 1.259 0.614 0.466 1.713
4 11 1.290 0.681 0.294 2.082
6 11 1.108 0.700 0.479 1.475
7 11 1.649 0.562 0.453 1.875
1 10 1.808 0.345 0.590 1.476
NOTA - Los números entre paréntesis indican los laboratorios que proporcionan el aumento de datos dudosos o anómalos. Los valores críticos son los
siguuientes
Tabla 18 Ejemplo 2: Valores de los estadísticos de Cochran y de Grubbs
2/3
371
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Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
NOTA - Los números entre paréntesis indican los laboratorios que proporcionan
el aumento de datos dudosos o anómalos. Los valores críticos son los siguientes
Prueba
estadística Aplicado a
Número de
laboratorios
p´
Índice de la
tabla de 5725-2
p
Valor dudoso
(*)
Valor anómalo
(**)
Prueba de
Cochran
Rangos entre
resultados de
ensayos
10
11
20
22
0.389
0.389
0.480
0.450
Prueba de
Cochran
Rangos entre
muestras
10
11
10
11
0.602
0.570
0.718
0.684
Prueba de
Grubbs para un
dato anómalo
Medias de
celdas
10
11
10
11
2.290
2.355
2.482
2.564
Prueba de
Grubbs para un
par de datos
anómalos
Medias de
celdas
10
11
10
11
0.1864
0.2213
0.1150
0.1448
Tabla 18 Ejemplo 2: Valores de los estadísticos de Cochran y de Grubbs
3/3
372
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Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Se calculan los siguientes estadísticos, para cada nivel j.
a) La media general (con suma extendida a i, t y k):
𝑚𝑗 = 𝑦𝑖𝑗𝑡𝑘
𝑛𝑗 (117)
donde 𝑛𝑗 es el número de resultados de ensayo incluidos en la suma.
b) Los efectos de laboratorio, para cada i (con suma extendida a t y k);
𝐵𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗𝑡𝑘−𝑚𝑗
𝑛𝑖𝑗 (118)
= media del laboratorio − media general
donde 𝑛𝑗 es el número de resultados de ensayo incluidos en la suma.
373
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Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
c) Los efectos de muestra, para cada i y t (con suma extendida a k):
𝐻𝑖𝑗𝑡 = 𝑦𝑖𝑗𝑡𝑘−𝑚𝑗−𝐵𝑗
𝑛𝑖𝑗𝑡 (119)
= media de la muestra − media del laboratorio
donde 𝑛𝑖𝑗𝑡 es el número de resultados de ensayo incluidos en la suma.
d) Los residuos para cada i, t y k;
𝐵𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗𝑡𝑘 −𝑚𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 − 𝐻𝑖𝑗𝑡 (120)
= resultado del ensayo − media de la muestra
e) La suma de cuadrados para los laboratorios … (con suma extendida a i)
𝑆𝑆𝐿𝑗 = 𝑛𝑖𝑗𝐵𝑖𝑗2 (121)
374
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Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
f) La suma de cuadrados para las muestras (con suma extendida a i y t)
𝑆𝑆𝐻𝑗 = 𝑛𝑖𝑗𝑡𝐵𝑖𝑗𝑡2 (122)
g) La suma de cuadrados para la repetibilidad (con suma extendida a i, t y k)
𝑆𝑆𝑟𝑗 = 𝑧𝑖𝑗𝑡𝑘2 (123)
h) Los grados de libertad
𝑣𝐿𝑗 = 𝑝´𝑗 − 1 𝑣𝐻𝑗 = 𝑔𝑗 − 𝑝´𝑗 𝑣𝑟𝑗 = 𝑛𝑗 − 𝑔𝑗 (124)
donde
𝑝´𝑗 es el número de laboratorios que presentan al menos un resultado de ensayo;
𝑔𝑗 es el número de muestras para las que al menos hay un resultado de ensayo;
𝑛𝑗 es el número total de resultados de ensayo.
375
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Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
i) Los factores de cada i (con suma extendida a t):
𝑛𝑖𝑗 = 𝑛𝑖𝑗𝑡 (125)
𝐾𝑖𝑗 = 𝑛𝑖𝑗𝑡2 (126)
j) Los factores (con suma extendida a i)
𝐾𝑗 = 𝑛𝑖𝑗2 (127)
𝐾 �́� = 𝐾𝑖𝑗 (128)
𝐾´ �́� = 𝐾𝑖𝑗
𝑛𝑖𝑗 (129)
k) La desviación estándar de repetibilidad 𝑠𝑟𝑗 , la desviación estándar entre muestras 𝑠𝐻𝑗 , la
desviación estándar entre laboratorios 𝑠𝐿𝑗 y la desviación estándar de reproducibilidad 𝑠𝑅, utilizando:
376
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Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
𝑠𝑟𝑗2 =
𝑆𝑆𝑟𝑗
𝑣𝑟𝑗 (130)
𝑠𝐻𝑗2 =
𝑆𝑆𝐻𝑗−𝑣𝐻𝑗×𝑠𝑟𝑗2
𝑛𝑗−𝐾´´𝑗 (131)
𝑠𝐿𝑗2 =
𝑆𝑆𝐿𝑗−𝐾´´𝑗−𝐾´𝑗
𝑛𝑗𝑥𝑠𝐻𝑗
2−𝑣𝐿𝑗𝑥𝑠𝑟𝑗2
𝑛𝑗−𝐾𝑗
𝑛𝑗
(132)
𝑠𝑅𝑗2 = 𝑠𝑟𝑗
2 + 𝑠𝐿𝑗2 (133)
NOTA Las fórmulas anteriores han sido obtenidas utilizando la teoría estadística establecida por
Scheffé.
377
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Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Ejemplo 3: Una aplicación de las fórmulas generales
Los datos del ejemplo 2, nivel 4, son utilizados aquí para proporcionar un ejemplo de aplicación de
las fórmulas generales, omitiendo algunos de los resultados de ensayo (véase Tabla 19). Las fórmulas
presentadas en Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
dan la media general indicada en la Tabla 19, y la suma de cuadrados, grados de libertad y factores
indicados en las Tablas 20, 21 y 22.
La aplicación de las ecuaciones (52) a (55) en la etapa k) en Formulas generales para los cálculos en
el diseño para un material heterogéneo
da:
𝑠𝑟𝑗2 =
𝑆𝑆𝑟𝑗
𝑣𝑟𝑗=36.8950
16%2
donde
𝑠𝑟𝑗 = 1.52%
y
𝑠𝐻𝑗2 =
𝑆𝑆𝐻𝑗 − 𝑣𝐻𝑗 × 𝑠𝑟𝑗2
𝑛𝑗 − 𝐾´ �́�=
29.9075 − 9 × 1.51852
36 − 19.667 %2
donde 𝑠𝐻𝑗 = 0.75%
378
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Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Ejemplo 3: Una aplicación de las fórmulas generales
y
𝑠𝐿𝑗2 =
𝑆𝑆𝐿𝑗 −𝐾´ �́� − 𝐾 �́�
𝑛𝑗𝑥𝑠𝐻𝑗
2 − 𝑣𝐿𝑗𝑥𝑠𝑟𝑗2
𝑛𝑗 −𝐾𝑗𝑛𝑗
=378.8531 − 19.6667 −
6836
𝑥0.74872 − 10𝑥1.51852
36 −13036
donde
𝑠𝐿𝑗 = 3.27%
y
𝑠𝑅𝑗2 = 𝑠𝑟𝑗
2 + 𝑠𝐿𝑗2 = 1.522 + 3.272 = 3.61%
379
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Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Ejemplo 3: Una aplicación de las fórmulas generales
Tabla 19 Ejemplo 3: determinación de la resistencia al sulfato de magnesio para el nivel 4
Laboratorio Muestra Resultado de ensayo Resultado de ensayo
i t k = 1, % k = 2, %
1 1
2
-
13.9
10.1
13.8
2 1
2
-
8.3
-
4.8
3 1
2
-
-
7.0
12.0
4 1
2
9.4
-
-
-
5 1
2
3.7
3.3
6.3
3.7
6 1
2
16.5
13.2
12.3
16.8
7 1
2
7.5
11.1
9.3
8.3
8 1
2
5.7
4.8
6.8
5.5
9 1
2
6.6
4.9
7.0
6.3
10 1
2
5.5
3.9
5.8
5.7
11 1
2
9.5
8.1
7.2
7.4
Media general: mj = 8.111%
Número de resultados de ensayo: nj = 36
380
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Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Ejemplo 3: Una aplicación de las fórmulas generales
Tabla 20 Ejemplo 3: Cálculo de la suma de cuadrados para los laboratorios
Laboratorio Media del
laboratorio
Número de
resultados
de ensayo
Efecto del
laboratorio Factor
i % nij Bij, % Kij
1 12.600 3 4.4889 5
2 6.550 2 -1.5611 4
3 9.500 2 1.3889 2
4 9.400 1 1.2889 1
5 4.250 4 -3.8611 8
6 14.700 4 6.5889 8
7 9.050 4 0.9389 8
8 5.700 4 -2.4111 8
9 6.200 4 -1.9111 8
10 5.225 4 -2.8861 8
11 8.050 4 -0.0611 8
Suma de cuadrados para los laboratorios: SSLj = 378.8531%2
Grados de libertad para los laboratorios: vLj = 11-1=10
Factores: Kj = 130 K´j = 68 K´´j = 19.6667
381
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Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Ejemplo 3: Una aplicación de las fórmulas generales
Tabla 21 Ejemplo 3: Cálculo de la suma de cuadrados para las muestras
Laboratorio Muestra Media de
la muestra
Número de resultados
de ensayo
Efectos de
la muestra
i t % nij Hijt , %
1 1
2
10.10
13.85
1
2
-2.500
1.250
2 1
2
-
6.55
0
2
-
0.000
3 1
2
7.00
12.00
1
1
-2.500
2.500
4 1
2
9.40
-
1
0
0.000
-
5 1
2
5.00
3.50
2
2
0.750
-0.750
6 1
2
14.40
15.00
2
2
-0.300
0.300
7 1
2
8.40
9.70
2
2
-0.650
0.650
8 1
2
6.25
5.15
2
2
0.550
-0.550
9 1
2
6.80
5.60
2
2
0.600
-0.600
10 1
2
5.65
4.80
2
2
0.425
-0.425
11 1
2
8.35
7.75
2
2
0.300
-0.300
Suma de cuadrados para las muestras: SSHj = 29.9075%2
Grados de libertad de las muestras: vHj = 20-11 =11
382
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
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- Diseño para un material heterogéneo Aplicaciones del diseño para un material heterogéneo
Establecimiento del plan para un material heterogéneo
Organización de un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico en un experimento con material heterogéneo
Modelo estadístico de los datos de un experimento con material heterogéneo
Examen de los datos en cuanto a coherencia y a valores anómalos
Expresión de los resultados de un experimento sobre un material heterogéneo
Ejemplo 2: Experimento sobre un material heterogéneo
Formulas generales para los cálculos en el diseño para un material heterogéneo
Ejemplo 3: Una aplicación de las fórmulas generales
Tabla 22 Ejemplo 3: Cálculo de la suma de cuadrados para la repetibilidad
Laboratorio Muestra Resultado de ensayo Resultado de ensayo
i t k = 1, % k = 2, %
1 1
2
-
0.05
0.00
-0.05
2 1
2
-
1.75
-
-1.75
3 1
2
-
-
0.00
0.00
4 1
2
0.00
-
-
-
5 1
2
-1.30
-0.20
1.30
0.20
6 1
2
2.10
-1.80
-2.10
1.80
7 1
2
-0.90
1.40
0.90
-1.40
8 1
2
-0.55
-0.35
0.55
0.35
9 1
2
-0.20
-0.70
0.20
0.70
10 1
2
-0.15
-0.90
0.15
0.90
11 1
2
1.15
0.35
-1.15
-0.35
Suma de cuadrados para las muestras: SSrj = 36.895%2
Grados de libertad de las muestras: vrj = 36-20 =16
383
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Métodos robustos para el análisis de datos
Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
En la norma 5725-2 se recomienda aplicar dos pruebas para valores anómalos (las pruebas de
Cochran y de Grubbs) a los datos obtenidos en un experimento de precisión y destacar (a menos que
un experto en estadística tenga una buena razón para no hacerlo) todos los caso que conduzcan a un
valor del estadístico del ensayo para cualquiera de ellos, que supere el valor crítico del ensayo para
un nivel de significación del 1%. Frecuentemente, en la práctica, esta forma de actuar no resulta
fácilmente aplicable. Si se consideran los resultados de los ensayos de valores anómalos del Ejemplo
1: Un experimento de nivel fraccionado, dados en la Tabla 6.8, el laboratorio 5 presenta una sola
media de celda (en el nivel 10), de valor suficientemente extremo como para ser clasificado como
anómalo por la prueba de Grubbs y además otros tres valores dudosos y una fuerte indicación en la
Figura 6.2 de que alguna cosa no va bien en este laboratorio. El experto en estadística, en esta
situación, debe decidir entre:
a) Mantener todos los datos del laboratorio 5,
b) Descartar solamente los datos del nivel 10 del laboratorio 5,
c) Descartar todos los datos del laboratorio 5.
Su decisión tendrá una influencia sustancial sobre los valores de las desviaciones estándar de
repetibilidad y de reproducibilidad calculados. Es muy corriente, cuando se analizan datos de
experimentos de precisión, encontrar datos que están en la frontera entre valores anómalos y dudosos,
de forma que el analista debe emitir un juicio que afectará a los resultados del cálculo, lo cual puede
no ser satisfactorio. Los métodos robustos descritos en esta subcláusula permiten analizar los datos de
forma tal que el analista no deba tomar decisiones que afecten a los resultados de estos cálculos. De
esta forma, si hay razones para esperar que los resultados de un experimento de precisión contengan
valores anómalos, se optará por los métodos robustos.
384
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sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
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- Métodos robustos para el análisis de datos
Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
El método básico presentado en la sección Modelo estadístico básico de la norma 5725-1 considera la
hipótesis de que esta justificado establecer un valor común para la desviación estándar de
repetibilidad y de reproducibilidad de todos los laboratorios que usan el mismo método de medida.
En la práctica se encuentra frecuentemente que ciertos laboratorios obtienen una repetibilidad no tan
buena como otros – véase, por ejemplo, la Figura 5 del Ejemplo 2: Experimento sobre un material
heterogéneo. El laboratorio 6 ha obtenido evidentemente una repetibilidad bastante peor que el
laboratorio 9 en el experimento, de manera que la hipótesis de que su repetibilidad es similar, no
parece cierta en este caso. Algunos participantes pueden obtener una mala repetibilidad cuando un
método de media es sometido por primera vez a un experimento de precisión, o cuando tienen poca
experiencia en el método de medida, siendo estas situaciones particularmente apropiadas para la
utilización de los métodos robustos.
La finalidad del empleo de métodos robustos en el análisis de datos de un experimento de precisión,
es calcular los valores de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad, de tal
forma que no se vean influidos por valores anómalos. Si los participantes en el experimento pueden
considerarse divididos en dos clases, los que producen datos de mala calidad, los métodos robustos
conducirán a valores de desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad válidos para los
datos de buena calidad y no afectados por los datos de mala calidad (supuesto que la clase de datos de
mala calidad no sea demasiado importante).
385
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
El empleo de métodos robustos de análisis de datos no afecta a la planificación, organización o
ejecución de un experimento de precisión. La decisión de utilizar métodos robustos, o bien métodos
que exigen descartar los valores anómalos, debe ser tomada por el experto en estadística, el cual
comunicará al grupo de expertos. Cuando se utilicen métodos robustos, deben aplicarse a los datos
los ensayos de valores anómalos y las verificaciones de coherencia descritas en las normas 5725-2 o
5725-5, debiendo investigar las causas de cualquier valor anómalo o configuración en los estadísticos
h y k. Sin embargo, tras la realización de estos ensayos y verificaciones, no debería excluirse dato
alguno.
Los denominadores de los estadísticos h y k son desviaciones estándar que, según los métodos de
cálculo de estos estadísticos, descritos en las normas 5725-2, se calculan a partir de los datos, tal
como han sido obtenidos. Si entre los datos hay presentes valores anómalos, éstos harán que
aumenten los denominadores y deformarán los gráficos de los estadísticos. Por ejemplo, si en un
nivel del experimento, un laboratorio da como media de una celda un valor anómalo, mucho más
alejado que cualquier otro valor anómalo para este nivel, en el gráfico de los estadísticos h se
obtendrá un valor de h excepcionalmente elevado para dicho nivel. Sin embargo, los estadísticos h
para los demás laboratorios en este nivel serán pequeños, incluso si algunos de ellos dan también
valores anómalos. El empleo de la media general en los cálculos de los estadísticos h puede conducir
a un efecto parecido. La utilización de estimaciones robustas de las desviaciones estándar como
denominadores en los estadísticos h y k y de estimaciones robustas de las medias generales en el
cálculo de los estadísticos h, evita la deformación comentada. Por ello, se recomienda su utilización.
386
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Los datos de un experimento de precisión permite calcular dos tipos de estadísticos:
a) Madias de celdas, a partir de las cuales calcular una desviación estándar que da una medida de la
variación entre laboratorios;
b) Desviaciones estándar o rangos (o diferencias en un diseño o plan de nivel fraccionado) que se
combinan para dar una medida de la variación intralaboratorio.
Los métodos robustos aquí descritos proporcionan medios alternativos de combinación de las medias
de las celdas, o de las desviaciones estándar, rangos o diferencias, para obtener los estadísticos
utilizados en el cálculo de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad.
Por ejemplo, con los datos procedentes de un nivel del diseño de nivel uniforme presentado en la
norma 5725-2, la primero etapa del análisis es calcular la media y la desviación estándar de los
resultados de la medida de cada celda. Las medias de las celdas son utilizadas a continuación para
calcular una desviación estándar que da una medida de la variación entre laboratorios. Cuando se
emplean los métodos robustos de esta subcláusula, este cálculo se efectúa utilizando el “Algoritmo
A”, no excluyéndose del cálculo las medias de las celdas tras la aplicación de la prueba de Grubbs.
También en este diseño, las desviaciones estándar de las celdas se combinan para obtener una
estimación de la desviación estándar de repetibilidad. Con el análisis robusto esto se realiza
utilizando el “Algoritmo S”, no excluyéndose las desviaciones estándar de las celdas tras la
aplicación de la prueba de Cochran. Con una u otra aproximación (la descrita en la norma 5725-2 o la
descrita aquí), las dos medidas son utilizadas para calcular de la misma forma las estimaciones de las
desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad.
387
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Un ejemplo más complicado es el constituido por el diseño anidado en seis factores, dado en el la
sección Análisis de la varianza para experimentos irregularmente anidados (Anexo B de la norma
5725-3). Con este diseño, la primera etapa del análisis consiste en calcular las medias de los datos
para cada laboratorio (y para cada nivel), representadas por yi(1), …, yi(5), y una serie de rangos,
representados por wi(1), …, wi(5), que contienen información sobre la variabilidad atribuible a diversos
factores examinados en el experimento. Para analizar los datos utilizando los métodos robustos
descritos aquí, se aplica el “Algoritmo A” a las medias de las celdas y el “Algoritmo S” a cada serie
de rangos, por orden. Los estadísticos obtenidos se utilizan a continuación para obtener estimaciones
de las desviaciones estándar de repetibilidad y de reproducibilidad, de la misma forma que si se
empleara el método de análisis descrito en la norma 5725-3.
Los métodos robustos incluidos en esta parte de la norma 5725 fueron elegidos por su posibilidad de
aplicación a todos los tipos de diseños de experimentos contemplados en las partes 2, 3, 4 y 5 de la
norma 5725, así como por exigir cálculos relativamente sencillos. Debe hacerse notar sin embargo,
que estos métodos proporcionan el medio de combinar, de forma absoluta, medias de celdas,
desviaciones estándar de celdas y rangos de celdas, pero no combinan de forma robusta resultados de
ensayo individuales; es decir, comienzan por las medias aritméticas y las desviaciones estándar de las
celdas. Existen métodos robustos que combinan resultados de ensayo intraceldas de forma robusta,
pero en la práctica, son más complicados de aplicar.
388
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Este algoritmo proporciona valores robustos de la media y de la desviación estándar de los datos a los
que se aplica, siendo aplicable a
a) Medias de celdas, cualquiera que sea el tipo del plan o diseño;
b) Diferencias de celdas, para el diseño de nivel fraccionado.
Se designan los p datos, colocados en orden creciente, por:
x1, x2, … xi,… , xp
Se calculan los valores de x* y s* mediante:
x* = mediana de xi (i = 1, 2, …, p) (134)
s* = 1.483 × mediana de 𝑥𝑖 − 𝑥∗ (𝑖 = 1, 2, … , 𝑝) (135)
Se actualizan los valores de x* y s* en la forma siguiente:
Se calcula
𝜑 = 1.5𝑠∗ (136)
389
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Para cada valor xi (i = 1, 2, …, p) , se calcula:
𝑥1∗ =
𝑥∗ − 𝜑 si 𝑥𝑖 < 𝑥∗ − 𝜑𝑥∗ + 𝜑 si 𝑥𝑖 > 𝑥∗ + 𝜑𝑥𝑖 en cualquier caso
= 1.5𝑠∗ (137)
Se calculan los nuevos valores de x* y s* mediante:
(138)
(139)
donde la suma se extiende a i.
Las estimaciones robustas x* y s* pueden deducirse mediante un cálculo iterativo; es decir, repitiendo
varias veces los cálculos con las ecuaciones (136) a (139), hasta que el cambio en las estimaciones
de x* y s* de un cálculo al otro siguiente sea pequeño.
390
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- Métodos robustos para el análisis de datos
Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Un método alternativo, que no implica iteraciones y por ello puede ser más fácil de aplicar si los
cálculos se hacen a mano, se deriva de la observación de que las ecuaciones (138) y (139) pueden
escribirse en la forma:
𝑥∗ =𝑥´+1.5 𝜇𝑈−𝜇𝐿
𝑝−𝜇𝑈−𝜇𝐿 (140)
𝑠∗2 = 𝑝 − 𝑢𝐿 − 𝑢𝑈 − 1 ×𝑠∗2
𝑝−1
1.1342−1.52
𝑝𝑢𝐿+𝑝𝑢𝑈−4𝑢𝐿𝑢𝑈𝑝−𝜇𝑈−𝜇𝐿
(141)
donde
𝜇𝐿 es el número de datos 𝑥𝑖 para los que 𝑥𝑖 < 𝑥∗ − 𝜑,
𝜇𝑈 es el número de datos 𝑥𝑖 para los que 𝑥𝑖 < 𝑥∗ + 𝜑,
x´ y s´ son la media y la desviación estándar de los 𝑝 − 𝜇𝐿 − 𝜇𝑈 datos 𝑥𝑖 para
los que 𝑥𝑖 − 𝑥∗ ≤ 𝜑
391
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Estas relaciones pueden utilizarse para calcular directamente x* y s*, si se conocen 𝜇𝐿 y 𝜇𝑈. Una
aproximación consiste en ensayar las diferentes posibilidades en orden sistemático (es decir, probar
𝜇𝐿 = 0, 𝜇𝑈 = 0; después 𝜇𝐿 = 0, 𝜇𝑈 = 1; después 𝜇𝐿 = 1, 𝜇𝑈 = 0; tras ello 𝜇𝐿 = 1, 𝜇𝑈 = 1; y así
sucesivamente) hasta encontrar una solución válida para la cual los datos que difieran de 𝑥∗ en más
de 1.5s* igualen los valores de 𝜇𝐿 y 𝜇𝑈 utilizados para calcular x* y s*. En la práctica, el analista
podrá utilizar histogramas como los de la Figura 6.4 para identificar los valores que, con mayor
probabilidad, diferirán de 𝑥∗ en más de 1.5s*, encontrando así la solución tras evaluar un pequeño
número de casos.
Otra posibilidad es utilizar el método iterativo para hallar una solución aproximada y tras ello
resolver las ecuaciones (140) y (141) para encontrar la solución exacta. Esta aproximación es la
utilizada en los ejemplos que siguen.
392
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Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Este algoritmo se aplica a las desviaciones estándar intralaboratorio (o a rangos
intralaboratorio),cualquiera que sea el diseño utilizado.
Proporciona un valor combinado robusto de las desviaciones estándar o los rangos a los que se aplica.
Se designan los p datos, colocados en orden creciente por:
w1, w2, … wi,… , wp
Puede tratarse de rangos o de desviaciones estándar).
Se designan por w* el valor combinado robusto y por v los grados de libertad asociados a cada wi.
(Cuando wi es un rango, v = 1. Cuando wi es un la desviación estándar de n resultados de ensayo, v =
n -1). Se obtienen los valores de 𝜉 y 𝜂 necesarios para el algoritmo de la Tabla 23.
393
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- Métodos robustos para el análisis de datos
Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Paso 1
Se calcula un valor inicial de w* mediante:
x* = mediana de wi (i = 1, 2, ..., p) (142)
Paso 2
Se actualiza el valor inicial de w* en la forma siguiente:
Se calcula:
ψ = η × w* (143)
Para cada wi (i = 1, 2, ..., p) se calcula
w𝑖∗ =
𝜓, si wi > 𝜓wi, en cualquier otro caso
(144)
Paso 3
Se calcula el valor nuevo de w* mediante:
wi = 𝜉 w𝑖∗ 2
𝑝 (145)
La estimación robusta de w* puede deducirse mediante un cálculo iterativo repitiendo los cálculos
desde Paso 2 varias veces, hasta que el cambio de la estimación de w* sea pequeño de un cálculo al
siguiente.
394
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- Métodos robustos para el análisis de datos Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Un método alternativo, que no implica iteraciones y por ello puede ser más fácil de aplicar si los
cálculos se hacen a mano, es parecido al descrito en lámina 392. La ecuación (145) puede escribirse
en la forma
𝑤∗ 2 =𝜉2
𝑝× ´ w𝑖
∗ 2+ 𝜇𝑈 × 𝜂𝑤∗ 2 (146)
donde
Σ´ es el número extendido a todos los 𝑤𝑖 para los que 𝑤𝑖 ≤ 𝛹.
𝜇𝑈 es el número de valores 𝑤𝑖 tales que 𝑤𝑖 > 𝛹.
Esta ecuación puede resolverse probando con 𝜇𝑈 = 0, 𝜇𝑈 = 1 y 𝜇𝑈 = 2 y así sucesivamente por
orden hasta obtener una solución válida en la que el número real de valores 𝑤𝑖 que sobrepasen η× w*
sea igual a 𝜇𝑈. En la práctica, el analista podrá utilizar histogramas como los de la Figura 6.4 para
identificar los rangos que sobrepasarán con bastante probabilidad η× w* y encontrar la solución
evaluando un pequeño número de casos.
La aproximación utilizada en los ejemplos que siguen, consiste en emplear el método iterativo para
encontrar una solución evaluando un pequeño número de casos.
La aproximación utilizada en los ejemplos que siguen, consiste en emplear el método iterativo para
encontrar una solución aproximada y posteriormente, resolver la ecuación (146) para hallar la
solución exacta.
395
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Tabla 23 Factores necesarios para el análisis robusto: Algoritmo S
Grados de
libertad
v
Factor límite
𝜂
Factor de
ajuste
𝜉
1 1.645 1.097
2 1.517 1.054
3 1.444 1.039
4 1.395 1.032
5 1.359 1.027
6 1.332 1.024
7 1.310 1.021
8 1.292 1.019
9 1.277 1.018
10 1.264 1.017
NOTA – La obtención de los valores de 𝜂 y 𝜉
se explican en el Anexo B
396
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- Métodos robustos para el análisis de datos Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Con un diseño de nivel uniforme, una estimación robusta de la desviación estándar de repetibilidad s,
para un determinado nivel, puede obtenerse aplicando el Algoritmo S a los rangos o desviaciones
estándar de las celdas para ese nivel determinado y deduciendo según la ecuación (145) un valor
robusto w*. Si se aplica el Algoritmo S a las desviaciones estándar de las celdas, entonces:
sr = w* (147)
Si hay dos resultados de medida por celda y se aplica el Algoritmo S a los rangos de celdas, entonces
𝑠𝑟 =𝑤∗
2 (148)
Una estimación robusta de la desviación estándar de las medias de las celdas sd para un determinado
nivel, puede obtenerse aplicando el Algoritmo A a las medias de las celdas para el nivel en cuestión y
deduciendo según la ecuación (139) un valor robusto s*.
sd = s* (149)
397
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ISO 5725 VGJ
- Métodos robustos para el análisis de datos Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
A continuación, puede deducirse a la desviación estándar interlaboratorios sL mediante
𝑠𝐿 =𝑠𝑑
2−𝑠𝑟2
𝑛 (150)
donde n es el número de resultados de medida por celda.
Si la expresión bajo el radical es negativa, debe tomarse
sL = 0 (151)
Se calcula la desviación estándar de reproducibilidad para el nivel dado mediante
𝑠𝑅 = 𝑠𝐿2 + 𝑠𝑟
2 (152)
398
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
Este es un ejemplo de diseño de nivel uniforme, donde los datos contienen valores dudosos y
anómalos. El nivel 5 de este ejemplo es particularmente interesante puesto que el laboratorio 1
presenta un valor de media de celda algo dudoso o anómalo, según la prueba de Grubbs y el
laboratorio 6 tiene un rango de celda también algo dudoso según la prueba de Cochran. Estos datos
se reproducen en la Tabla 24.
Si se mantienen los datos de todos los laboratorios, las desviaciones estándar de repetibilidad y de
reproducibilidad pueden estimarse utilizando las fórmulas de 7.4 de la norma 5725-2, lo que da
a)
p=9
m=20.511
sr=5.585
sd=1.727
sL=1.677
sR=1.776
399
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
Sin embargo, según la 5725-2, el analista de los datos ha utilizado información procedente de
otros niveles del experimento, así como suposiciones relativas a la identidad de las muestras
ensayadas por el laboratorio 6, para justificar la exclusión de datos de los laboratorios 1 y 6, lo que da
lugar a:
b)
p=7
m=20.411
sr=0.393
sd=0.573
sL=0.501
sR=0.637
Esta claro que la decisión de excluir los datos de los dos laboratorios ha tenido un efecto sustancial
sobre las estimaciones de las desviaciones estándar de repetibilidad y reproducibilidad.
400
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
La primera etapa del análisis consiste en obtener una estimación robusta de la desviación estándar de
repetibilidad. Los cálculos pueden presentarse de forma adecuada como en la Tabla 25, en la que los
rangos de las celdas han sido clasificados por orden creciente. La aplicación del Algoritmo S con
iteraciones da los resultados mostrados en dicha tabla. En este ejemplo, los grados de libertad de cada
celda son v=1, de manera que 𝜉 = 1.097 y 𝜂 = 1.645. De las cuatro iteraciones mostradas en la
tabla, se obtiene el valor robusto w*=0.7 y un único rango de celda (𝑤𝑔2 = 1.98) sobrepasa el valor
de 𝜓. Si los cálculos se realizan por ordenador, el proceso puede continuar hasta que la modificación
del valor de w*, entre dos iteraciones sucesivas, sea pequeño.
La solución puede también encontrarse directamente utilizando la ecuación (146) con:
uU=1
𝑤𝑖
∗ 2𝑝𝑖=1
𝑝= 0.2495
lo que da
401
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
𝑤∗ 2 =1.09712×0.2495+ 1.097×1.645𝑤∗ 2
9
dando como solución si (si la hipótesis v=1 es correcta)
w*=0.69% de creosota
Puede confirmarse que este valor da 𝜓 = 1.645 × 0.69 = 1.14, de manera que, como se había
supuesto, únicamente 𝑤𝑔∗ sobrepasa el valor de 𝜓 y que, además , reemplazando 𝑤𝑔
∗ por 1.14 se
obtiene un nuevo 𝑤∗ = 0.63 ×1.097=0.69 con lo que demuestra que la solución es válida.
La estimación de la desviación estándar de repetibilidad es pues:
𝑠𝑟 =0.69
2= 0.49% de creosota
Este valor se encuentra entre las dos estimaciones dadas en a) y b).
402
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Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
La etapa siguiente del análisis consiste en obtener una estimación robusta de la desviación estándar
de las medias de celdas. La aplicación del algoritmo A a las medias de celdas, da los resultados
mostrados en la Tabla 26, donde las medias de celdas han sido clasificadas en orden creciente. De las
cuatro iteraciones mostradas en la tabla se obtienen los valores robustos
x*=20.412 y s*=1.1, observándose que únicamente las dos medias de celdas extremas (𝑥1∗ = 17.570
y 𝑥𝑔∗ = 24.140) difieren de los valores de x* y s* de una iteración a la siguiente fueran pequeñas.
Si los cálculos se realizan a mano, el analista de los datos debería utilizar el método directo descrito
en lámina 394 y probar con
uL=uU=1
Esto da
x´=20.412 y s´=0.573% de creosota
de donde, mediante las ecuaciones (140 y 141)
𝑠∗ 2 = 6 × 0.573 2/8
1.1342− 1.52 9 + 9 − 4 /7
403
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
Lo que a su vez da:
s*=1.070% de creosota y x*=x´=20.412% de creosota
Puede confirmarse que este valor s* da un valor de 𝜑 = 1.605 (de suerte que, como se había
supuesto), únicamente 𝑥1∗ y 𝑥𝑔
∗ difieren de x*=20.412 en más del valor de 𝜑) y que reemplazando
𝑥1∗ por 18.807 y 𝑥𝑔
∗ por 22.017 se obtiene un nuevo valor de x*=20.412 y de s*=0.944×1.134=1.070
de nuevo, de forma que la solución se muestra válida.
La estimación de desviación estándar interlaboratorios se obtienen a partir de la ecuación (150):
𝑠𝐿 = 1.0702 −0.492
2= 1.012% de creosota
y la estimación de la desviación estándar de reproducibilidad, mediante la ecuación (152) es:
𝑠𝑅 = 1.0122 + 0.492 =1.124% de creosota
De nuevo, estos valores son intermedios entre las dos estimaciones dadas en a) y b).
404
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Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
Laboratorio
i
Datos
% de creosota
Media de las
celdas
% de creosota
Rango de las
celdas
% de creosota
1 24.28 24.00 24.140 0.28
2 20.40 19.91 20.155 0.49
3 19.30 19.70 19.500 0.40
4 20.30 20.30 20.300 0.00
5 20.53 20.88 20.705 0.35
6 18.53 16.58 17.570 1.98
7 19.70 20.50 20.100 0.80
8 21.10 20.78 20.940 0.32
9 20.71 21.66 21.185 0.95
Tabla 24 Ejemplo 4: Valoración termométrica del aceite de creosota
405
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Métodos robustos para el análisis de datos Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
Iteración
0
1) 1 2 3 4
𝜓 - 0.66 0.86 1.00 1.09
𝑤1∗ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
𝑤2∗ 0.28 0.28 0.28 0.28 0.28
𝑤3∗ 0.32 0.32 0.32 0.32 0.32
𝑤4∗ 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35
𝑤5∗ 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40
𝑤6∗ 0.49 0.49 0.49 0.49 0.49
𝑤7∗ 0.80 0.66 0.80 0.80 0.80
𝑤8∗ 0.95 0.66 0.86 0.95 0.95
𝑤9∗ 1.98 0.66 0.86 1.00 1.09
w combinado 0.83 0.47 0.56 0.60 0.62
Nuevo w 0.40 2) 0.52 0.61 0.66 0.68
1) La columna para la iteración 0 se tomó de la Tabla 24
2) 0.40 es el rango de medianas [véase ecuación (142)]
Tabla 25 Ejemplo 4: Aplicación del Algoritmo S a los rangos de las
celdas (% de creosota) v=1; 𝜉 = 1.097; 𝜂 = 1.645
406
6. Métodos para análisis de resultados de experimentos de precisión
sin utilizar exclusión de datos anómalos de los cálculos ISO 5725-5
ISO 5725 VGJ
- Métodos robustos para el análisis de datos Aplicaciones de los métodos robustos de análisis de datos
Análisis robusto: Algoritmo A
Análisis robusto: Algoritmo S
Análisis mediante un método alternativo
Formulas: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño uniforme
Ejemplo 4: Análisis robusto para un nivel particular de un diseño de nivel uniforme
Iteración 0
1) 1 2 3 4
𝜑 - 1.424 1.478 1.514 1.539
𝑥∗ − 𝜑
𝑥∗ + 𝜑
-
-
18.876
21.724
18.909
21.865
18.893
21.921
18.872
21.950
𝑥1∗ 17.570 18.870 18.909 18.893 18.872
𝑥2∗ 19.500 19.500 19.500 19.500 19.500
𝑥3∗ 20.100 20.100 20.100 20.100 20.100
𝑥4∗ 20.155 20.155 20.155 20.155 20.155
𝑥5∗ 20.300 20.300 20.300 20.300 20.300
𝑥6∗ 20.705 20.705 20.705 20.705 20.705
𝑥7∗ 20.940 20.940 20.940 20.940 20.940
𝑥8∗ 21.185 21.185 21.185 21.185 21.185
𝑥9∗ 24.140 21.724 21.865 21.921 21.950
Promedio 20.511 20.387 20.407 20.411 20.412
Desviación
estándar 1.727 0.869 0.890 0.905 0.916
w combinado 20.300 2) 20.387 20.407 20.411 20.412
Nuevo w 0.949 2) 0.985 1.009 1.026 1.039
1) La columna para la iteración 0 se tomó de la Tabla 24 después de ser
ordenada por orden creciente
2) 20.300 0.949 han sido obtenidos utilizando las ecuaciones (134) y (135)]
Tabla 26 Ejemplo 4: Aplicación del Algoritmo A a las medias de celdas
(% de creosota)
407
ISO 5725 VGJ
https://www.dropbox.com/sh/x2pxcfzux3ftc0
x/AABQcg30wzTVU6PrhM2wtoVza?dl=0
408
Prueba de hipótesis estadística
F
m
nFF
2
2
n
mm
nF
donde
y a su vez
22
2
2
1
2
mm ZZZ
de las que Fmn, χ2
(m) y Z son las distribuciones de densidad de probabilidad correspondientes a F, ji-cuadrada y normal estándar, respectivamente.
409
2
2
n
m
410
http://www.stat.tamu.edu/~west/applets/fdemo.html
Valor-p (p-value)
Valor-p (p-value) Por definición, el valor-p de un estadístico es el área bajo la curva
de probabilidad del estadístico a la derecha del valor de la prueba estadística.
Si valor-p < 0.05 entonces rechaza H0
(diferencias significativas)
¿valor-p < 0.05? (1)
Suponiendo
valor-p = 2.83E-07
encontramos que cumple (1) con mucha oportunidad.
Región critica
Probabilidad 0.05
411
http://www.stat.tamu.edu/~west/applets/fdemo.html
Valor-p (p-value)
Región critica
Probabilidad 0.05
Desde 1.853 a la derecha se acumula el 0.05
o 5% de casos.
La pregunta es: ¿Qué oportunidad tengo de
caer en la región de aceptación? La
respuesta es 5%. Es por ello que se
denomina región critica pues es el borde
entre un lado y el otro.
Desde 6.606 a la derecha se acumula el
0.0000 o bien 2.83E-07, esto es un casi 0%.
La pregunta es: ¿Qué oportunidad tengo de
caer en la región de aceptación? La respuesta
es casi 0%. Estamos lejos de la región critica.
412
Anexos ISO35 VGJ
GRACIAS!