EXALG020 Mons, questions-types, 2000-2001

www.matheux.c.la - ANA 27 - 1 -

Exercices résolus de mathématiques.

ANA 27

EXANA270 – EXANA279

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Août 2010

http://www.matheux.c.la/


EXANA270 – FACSA - ULG - Liège, juillet 2010.

0 1 2 1 2On appelle "coefficients de Fourier" d'une fonction , les réels , , ,...et , ...définis par

1cos 0,1,2,....

1sin 1,2,....

(lorsque ces intégrales existent).

i. Calcul

k

k

f a a a b b

a f x kx dx k

b f x kx dx k

2

0 1 1

2

0

ez les coefficients de Fourier de , , et de

ii. Généraliser les résultats précédents en calculant et de k k

a a b f x x

a b k f x x

Nous reprenons la solution proposée par l’université (Prof Eric JM Delhez et Dr Francine Monjoie). http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-

precedentes

33 3 22

0

2

1

2

2 2

1

. Vu que cos 0 1,

1 1 1 2

3 3 3 3

Le calcul de

1cos

s'effectue par parties en posant

' 2d'où

sin' cos

Ainsi,

1 1cos sin 2 s

i

xa x dx

a x x dx

u xu x

v xv x

a x x dx x x x

1

2in sin

en tenant compte de sin 0.

Une seconde intégration par parties, en posant :

' 1d'où

' sin cos

conduit a

2 2sin cos cos

2cos cos sin

x dx x x dx

u x u

v x v x

a x x dx x x x dx

2

1

4

1Le calcul de sin

x

b x x dx

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes


2

0 0

2

2

2

1. En général, pour , le calcul de cos s'effectue aussi par parties.

' 2

On pose : d'où sin' cos

de là :

sin 2 sin1 1cos

k

ii k a x kx dx

u xu x

kxv kx v

k

x kx x kxa x kx dx

k k

2sin

en tenant compte de sin 0.

Une seconde intégration par parties, en posant

' 1

d'où cos' sin

2 cos cos2 2conduit à : sin

k

x kx dxk

kx

uu x

kxv kx v

k

x kx kxa s kx dx dx

k k k k

2 2

2

sin 4 12cos cos

puisque cos 1

1Chaque coefficient sin résulte de l'intégration d'une fonction impaire

sur un intervalle symétrique par rapport à l'or

k

k

k

kxk k

k k k

k

b x kx dx

2 0

1 1

igine et est donc nul.

4 1En conclusion, et 0,

Remarquonq que, en particulier pour 1, on retrouve les résulats précédents :

4 et 0

k

k ka b k

k

k

a b

Aout 09


EXANA271 – Polytech - Umons - Mons - Questions type 2009.

Un designer conçoit une nouvelle carafe. Il s'agit d'un volume de révolution engendré par

1rotation de la courbe 4 sin autour de son axe vertical.

2

Représentez la courbe génératrice de cette caraf

y y y

e et calculez le volume ainsi défini pour 0,2 .y

Solution proposée par Steve Tumson

1 1 3 5 3 7En calculant quelques points pour 0; ; ; ;1; ; ; ;2 on sait esquisser le graphe

4 2 4 4 2 4

présenté ci-dessous.

Le volume engendré par la rotation d'un arc de courbe d'équation ( ), , autour

de l'axe

y

y f x x a b

2 horizontale est donné par : ( ) .

Par analogie, on peut écrire que le volume engendré par la rotation d'un arc de courbe d'équation

( ), , autour de l'axe vertical est donné par

b

a

Ox V f x dx

x f y y a b Oy

2

22 2 2 22 2

0 0 0 0

(1) (2) (3)

22 32 2

0 0

: ( ) .

Il suffit donc d'effectuer le calcul suivant :

1 14 sin . 4 sin 4 sin

2 4

56(1) 4 4 16

3 3

(2)

b

a

V f y dy

VV y y dy y dy y dy y y dy

yy dy y y

22

2

00

2 2 2

0 0 0

PAR PARTIE

2

2

0

1 sin(2 ) 1sin

4 8 16 4

(3) 4 sin 4sin sin

4 1 2cos cos sin

On trouve finalement :

56 1 2 732 61,42

3 4 4

y yy dy

y y dy y dy y y dy

yy y y

VV


Mai 10



On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d'une

maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer

les eaux de pluie pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.

On donne ci-dessous le plan de cette façade ( est la médiatrice de ). mesure 10m

et a une longueur de 6m. Il s'agit de trouver,

MH BC AB

BC sur cette façade, la position du point

qui minimise la longueur des tuyaux.

M


22

2

La fonction à minimiser est la longueur totale de tuyaux, soit, si on note la hauteur de M :

5 6( ) 2 avec

( ) 2 25 6

M

M

M

M

M M M

y

AM yf y AM BM MH AM MH

MH y

f y y y

2

2

Le minimum se trouve en annulant la dérivée première :

2 61 0 2 6 25 6

25 6

Puisqu'il faut nécessairement 6, les deux membres de la dernière équation

irrationnelle sont positifs, no

M

M M

MM

M

ydfy y

dy y

y

2 2

us pouvons donc les élever au carré :

54 6 25 6 6

3

La solution avec le signe positif est à rejeter, car il faut 6

La hauteur de M minimisant la longueur totale de tuyaux est donc :

56

3

M M M

M

M

y y y

y

y

3,1 m

Mai 10. Modifié le 3 août 2010. (Yassin Oualhadj )



2

4

Calculez

ln xI dx

x


2

2

3 4

4 3

4 3 4 3

4 3

Par partie :

2 lnln

ln 2 ln

1 3 3

3

L'intégrale du deuxième terme se résout aussi par partie :

lnln ln 1 ln 1

1 3 3 3

3

xu x du dx

x xxI dx

dx x xdv v

x x

dxu x du

x x xxdx dx

dx x x x xdv v

x x

3

22

3 3 3 3

9

Finalement, on a :

ln 2 ln 1 19ln 6ln 2

3 3 3 9 27

x

x xI C I x x C

x x x x

Aout 09



2

Déterminez et pour que :

( ) avec 0

ait un maximum local égale à 2 et un minimum local égal à 6.

a b

x ax bf x b

x


2 2

2( ) Extrema en

En esquissant rapidement un petit tableau de variation, on observe que le maximum

se trouve en et que le minimum est en .

Il faut maintenant satisfaire l

x ax b df x bf x x b

x dx x

x b x b

2

2

2

es conditions en ces points :

( ) 2 2

( ) 6 6

On additionne les deux équations afin de trouver immédiatement la valeur de :

2 8 4

On trouve ensuite facilement

4 2

b ab bf b

b

b ab bf b

b

a

a a

b

b b b

(1 ) 0 1 (puisque 0)b b b b b

Mai 09



2

Etudier complètement la fonction

( ) ln 2

Et donnez en une représentation graphique soignée.

f x x x


2

1. Domaine : 0

2. Zéros : 0 et

3. Asymptotes :

Au vu du domaine, il n'y a aucune asymptote verticale. Le critère de Cauchy nous

indique s'il existe une asymptote horizontale ou oblique d'équatio

x

x x e

2

2

1/ 2 3/ 2

n :

( )lim lim ln 2 Pas d'asymptote.

4. Dérivées première et seconde

2ln 3 et 2 ln 1

5. Tableau récapitulatif

0

'( ) 0 0

''( ) 0

( )

0

Tangente

x x

y kx t

f xk x x

x

df d fx x x

dx dx

e e

f x

f x

f x PI MIN

1/ 2'

1/ 2 1/ 2 1/ 23 3au point d'inflexion , 2

2 2

6. Graphique : Voir figure ci-dessous.

f e

e ee t y e x e


Mai 09



2

1 2 2

Calculer l'aire comprise entre les courbes d'équations

1et

2 1

pour 2.

xy y

x

x

Pour les calculs d'aire entre courbes, il est primordial de bien esquisser les fonctions.

La première est la forme la plus basique d'une parabole.

La seconde s'esquisse rapidement en faisant les observ

2

2

2

2

ations suivantes :

- Puisque 1 est divisé par 1 0, aura son maximum en (0,1).

- Pour les même raisons, sera borné entre 0 et 1.

- La fonction est paire et donc symétrique par rappor

x y

y

y

2

t à l'axe des ordonées.

- Une limite infinie montre immédiatement qu'il existe une asymptote horizontale 0.

Une fois le graphe esquissé, il faut trouver les intersections entre les courbes :

1

2 1

y

x

4 2

22 0

Cette équation bicarée résolue, on trouve que les intersections des courbes sont en 1.

En resant attentif au graphique esquissé et au fait que les fonctions sont paires, l'aire est :

12

x xx

x

A

1 22 2

2 2

0 1

1 23 3

0 1

12

1 2 1 2

2 tan( ) 2 tan( )6 6

2 2 tan(2) 2,9

x xdx dx

x x

x xArc x Arc x

A Arc

Mai 09


EXANA277 – EPL - UCL - Louvain - Juillet 2010, série 1.

3 20

441

20

1) Calculer la limite

sin coslim

222) On sait que la fraction fournit une bonne approximation rationnelle du nombre .

7

(a) Démontrer l'égalité

1 22

1 7

. La division

x

x x

x x

x xdx

x

Indication

44 6 5 4 2 2

du numérateur par le numérateur conduit à l'égalité

1 4 5 4 4 1

22 22(b) A l'aide de cette égalité, décider si ou

7 7

(Il est possible de répondre à cette question sans avoir démontr

x x x x x x x r x

0

é l'égalité au point (a))

3) Soit une fonction continue définie sur telle que

lim 0

(a) Démontrer que 0 0

. Utiliser l'identité .

(b) En déduire que est dérivable en 0 et donner '

x

f

f x

x

f

f xConseil f x x

x

f f

0


3 2 30 0

Hospital

20 0 0

4 4 6 5

sin cos sin cos1) lim lim

cos cos sin 1 sin 1 sin 1lim lim . lim

3 3 3 3

2) ( ) Trouvons d'abord la valeur de qui est a priori de la forme

1 4 5

x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

a r x ax b

x x x x

4 2 2

441 1 1

6 5 4 2

2 20 0 0

17 6 5 3

1

0

0

44

4 4 1

si 1 0 4 04

si 0 0 4 4

Nous avons alors :

14 5 4 4 4

1 1

4 4 4 4 4 arctan7 6 5 3

1 2 4 221 4 4

7 3 3 4 7

1

1

x x x ax b

x a b ar x

x b b

x x dxdx x x x x dx

x x

x x x xx x

x xb

441

2 20

0

Hospital

0 0 0

0

1 est toujours positif sur 0,1 . Par conséquent : 0

1

22Nous en déduisons que .

7 4

'3) Nous savons que lim 0 lim . 0 lim 0

1

0

0' 0 lim

0

x x x

x

x xdx

x x

f x f x x f x f xx

x x

f x

f x ff

x

0

lim 0.

est donc dérivable en 0 et ' 0

x

f x

x

f x x f x

21 septembre 2010



On considère la fonction définie sur par ( ) 3 2sin . On note la courbe représentative

de dans un repère orthonormé.

1. (a) Calculer la dérivée ' de . Etudier les variations de sur l'int

f f x x x

f

f f f

C

1

2

ervalle [0; ] et construire

l'arc de courbe correspondant (sachez que 3 vaut approximativement 5.4).

(b) Etudier la parité de . En déduire comment la courbe représentative de sur l'intervalle

[

f f

C

C

1

2

; ] se déduit de .

(c) Pour tout nombre réel , exprimer ( 2 ) en fonction de ( ). En déduire que le

graphe complet se déduit de par des translations successives, que l'on précisera.

2. (a)

x f x f x

C

C C

Démontrer que l'equation ( ) 0 admet une et une seule solution appartenant à

l'intervalle , .6

(b) Démontrer que cette solution appartient en fait à l'intervalle , .6 3

3. Soit la foncti

f x

g

( )

on définie sur , par ( )3 '

(a) Démontrer que ( ) pour tout élément de l'intervalle , .3

(b) Prouver que est l'unique solution de l'équation ( ) appartenant à , .3

f xg x x

f x

g x x x

g x x

0 1

(c) Dresser le tableau des variations (sans dérivée seconde) de sur , et montrer3

que si , alors .3 3

(d) .

On définit la suite par = et pour tout 0. Déduire des3

p

n n n

g

x g x

Bonus

x x x g x n

oints (a), (b) et (c) le comportement de la suite lorsque tend vers l'infini.n


1. La dérivée de est ' 3 2cos .

Cette dérivée est nulle sur l'intervalle 0; si 3 2cos 06

06

Tableau de variations : ' 0

0 min 5.4

a f x f x x

x x

f x

f x

2 1

3 2sin 3 2sin

La fonction est donc une fonction paire. C se contruit donc à partir de

par symétrie centrale de centre .

b f x x x x x f x

f x C

O


2 2 3 2cos 2 3 2cos 2 3 2 3

La fonction sur l'intervalle ,3 s'obtient donc par une translation verticale

vers le haut de 2 3 de la fonction construite sur l'intervalle ; .

Et ains

c f x x x x x f x

f x

f x

i de suite pour les intervalles de 2 suivants.

2. Le thérème de Bolzano (cas particulier du thérorème des valeurs intermédiaires)

dit que si et ne sont pas de même signe, il existe au moins un réel compris

et tel que .

6Or ici,

a

f a f b c

a b f c

f

3 5.42 2 0

6 6 Donc il existe une solution ;6

3 0

tel que 0.

Comme de plus la fonction est strictement croissante sur ; , cette solution6

est unique.

f

f

f x


Appliquons une deuxième fois le théorème de Bolzano :

06

Donc ;6 33 2 3

03 3 2

b

f

f

3.'

Or en vertu du résultat obtenu au point 2. , 0 si ; .3

De plus, au point 1. , nous avons vu que ' 0 si ; ; 3 6 3

Autrement dit, 0 si ; et par c' 3

f xa g x x

f x

b f x x

a f x x

f xx

f x

onséquent sur ce même intervalle.

est bien une solution de puisque :

0 0 ce qui est vrai puisque' '

est une solution de . (voir point 1)

Soit donc une autre solution

g x x

b g x x

f fg f

f f

f x

de . Nous avons alors

0 0' '

Ce qui implique que puisque est l'unique solution de

g x

f fg f

f f

f x


2

2

2

3 2cos 3 2sin 2sin3 2sin' ' 1

3 2cos 3 2cos

3 2cos

x x x xx xc g x x

x x

x

2

3 2cos x

2

2 2

2sin 3 2sin

3 2cos

3 2sin2sin 2sin

'3 2cos

Or nous savons que 0 sur , , de même pour sin . Donc ' 03

et est croissante sur , .3

Puisque est croissante, alors

x x x

x

f xx xx x

f xx

f x x g x

g x

c g x x

3 3

Or et En vertu des points 3 et 3 .3 3

Conclusion : 3 3 3

g g x g

g g b a

g x g g x


0

1

1

1

.

3Nous avons donc la série :

'

Chaque nouvelle valeur est inférieure à la précédente en vertu des points 3 .

Dés lors, nous pouvons écrire :

... ...

n

n n n

n

n

n n

d Bonus

x

f xx g x x

f x

x a b c

x x x

1 0 3

En d'autres termes, la série converge vers qui est la racine de la fonction .

Nous sommes ici dans le cadre de la méthode de Newton Raphson qui est un algorithme efficace

pour trouver des app

x

f x

roximations d'un zéro ou racine d'une fonction d'une variable réelle

à valeurs réelles.

L'algorithme consiste à linéariser une fonction en un point et à prendre le point d'annulation

de cette linéari

f

sation comme approximation du zéro recherché.

On réitère cette procédure en l'approximation obtenue. Dans les cas favorables,

les approximations successives obtenues convergent avec une vitesse quadrat

1

ique.

De manière informelle, le nombre de décimales correctes double à chaque étape.

Utilisons la méthode :

'

0 / 3 0.08174856 0.73205081 0.935526946

1 0.935526946 0.010556449 0.54526084 0.9161666

n n n n nn x f x f x x g x

247

2 0.9161666247 0.000300254 0.51431973 0.9155828362

3 0.9155828362 0.000000270 0.51339373 0.9155823097

Nous vérifions que dans ce cas-ci, l'algoritme converge rapidement vers la racine.

Méthode de Newton Raphson : voir http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

22 septembre 2010

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton



2

Le verre à moitié vide.

La zone grisée représentée dans la figure ci-dessous correspond à la surface situé entre l'

et le graphe de la fonction

4

sur l'intervalle 0,4 . Cette figure ressemble à la

Ox

f x x x

partie supérieure d'un verres (à deux dimensions),

sans son pied.

Si on imagine un verre initialement rempli d'eau à ras bord, de quel angle faut-il pencher le verre

pour qu'il n'en reste que la moitié?

. Pour ce problème, on se place dans un univers (fictif) à deNote ux dimensions, pour lequel on

suppose que les quantités d'eau mentionnées sont proportionnelles aux correspondantes.

Plutôt que de représenter un verre penché d'un certain angle (ci-dessous, à

surfaces

gauche), on raisonne

sur la situation complètement équivalent où le verre reste droit et c'est le niveau de l'eau qui est

penché du même angle (ci-dessous, à droite).


Soit l'angle cherché, défini sur la figure de droite, et tan le coefficient angulaire

correspondant.

1. Donner, en fonction de , l'équation de la droite représentant le niveau de l'eau sur

la figur

m

m

e de droite, et en déduire les coordonnées de ses deux intersections avec le verre.

2. Calculer en fonction de la surface de la partie du verre remplie d'eau.

3. Déterminer la valeur du coefficient ang

m

ulaire conduisant à un verre à moitié rempli.m

Solution proposée par Nicole Berckmans

42

0

2 34

2 2

La droite 4 coupe la parabole aux points 4,0 et , 4 .

32La surface totale du verre : 4 ...

3

La surface comprise entre la parabole et la droite vaut :

44 4 2

2 3m

y m x m m x

x x dx

m x xm x x x dx x

4

2 32

33 2

3

33

64 40 32 2

3 2 3

12 48 64 4....

6 6

Cette dernière surface vaut la moitié de l'aire totale, si et seulement si

4 324 32 4 2 4

6 6

m

m m mm

m m m m

mm m

23 septembre 2010. Modifié le 18 juin 2012 (Nicole Berckmans)

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EXALG020 Mons, questions-types, 2000-2001