7
EXAMEN DE ECUACIONES E INECUACIONES Se recomienda: a) Antes de hacer algo, lee todo el examen. b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta. d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. e) Resuelve detalladamente el problema para obtener todos los puntos del mismo. f) El examen se hará a bolígrafo, NUNCA a lápiz TEORÍA( como mínimo hay que sacar un punto) 1. ¿Qué es una solución de una ecuación? ¿Qué es resolver una ecuación? (2x0.25 p)(# 0.5 p) 2. ¿Cuál es la fórmula que se aplica para resolver una ecuación de 2º grado? (0.3 p) 3. Ordena adecuadamente 3.1 Despejar la x. 3.2 Quita denominadores si los hay. Para ello, multiplicamos los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores. 3.3 Comprobar la solución, sustituyendo en cada miembro y viendo que coinciden los resultados. 3.4 Simplificar en cada miembro. 3.5 Quitar paréntesis si los hay. 3.6 Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro. (0.6 p) 4. ¿Qué es una ecuación? ¿Qué es una inecuación? (2x0.3 p)(# 0.6 p) PROBLEMAS (como mínimo hay que sacar un cuatro) 1. Busca por tanteo, una solución exacta de la siguiente ecuación: 4x 7 3 125 (0.3 p) 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: 2.1 4x 52 x 6 37x 11 (0.4 p) 2.2 4 x 5 2 3x 4 7 10 x (0.5 p) 2.3 5x 2 5x 2 5x 3 2 9x 11 (0.7 p)(# 1.6 p) 3. Resuelve, sin aplicar la fórmula, las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. 3.1 16x 28x 2 0 (0.3 p) 3.2 845 5x 2 0 (0.3 p)(# 0.6 p) 4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. 4.1 12x 2 13x 35 0 (0.5 p) 4.2 2x 3 2 7 3 x 6 x 6 5 5 (0.7 p)(# 1.2 p) 5. Resuelve las siguientes ecuaciones más complejas. 5.1 3x 2 x 4 x 6 0 (0.3 p) 5.2 Haz una de las dos siguientes: 5.2.1 9x 13 17 6x 5.2.2 x 1 x 7 x 5 1 1 x (0.9 p)(# 1.2 p) 6. Resuelve las siguientes inecuaciones. En todos los casos se pide la representación gráfica y el intervalo correspondiente. 6.1 4x 3 5 12 8x (0.225 p 2x0.1 p) 6.2 5x 7 2x 11 6x 3 9 x (0.45 p 2x0.1 p)(# 1.075 p) fjsp 2013/14 4ºE.S.O. equations and inequalities exam 1

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EXAMEN DE ECUACIONES E INECUACIONESSe recomienda:a) Antes de hacer algo, lee todo el examen.b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor.c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta.d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada.e) Resuelve detalladamente el problema para obtener todos los puntos del mismo.f) El examen se hará a bolígrafo, NUNCA a lápiz

TEORÍA( como mínimo hay que sacar un punto )1. ¿Qué es una solución de una ecuación? ¿Qué es resolver una ecuación? (2x0.25 p)(# 0.5

p)2. ¿Cuál es la fórmula que se aplica para resolver una ecuación de 2º grado? (0.3 p)3. Ordena adecuadamente

3.1 Despejar la x.3.2 Quita denominadores si los hay. Para ello, multiplicamos los dos miembros por el

mínimo común múltiplo de los denominadores.3.3 Comprobar la solución, sustituyendo en cada miembro y viendo que coinciden los

resultados.3.4 Simplificar en cada miembro.3.5 Quitar paréntesis si los hay.3.6 Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro. (0.6 p)

4. ¿Qué es una ecuación? ¿Qué es una inecuación? (2x0.3 p)(# 0.6 p)

PROBLEMAS (como mínimo hay que sacar un cuatro )1. Busca por tanteo, una solución exacta de la siguiente ecuación: �4x � 7�3 � 125 (0.3 p)2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

2.1 4x � 5�2 � x� � 6 � 3�7x � 11� (0.4 p)

2.2 4 � x5

� 2 � 3x4

� 710

� x (0.5 p)

2.3 �5x � 2��5x � 2� � �5x � 3�2 � 9x � 11 (0.7 p)(# 1.6 p)3. Resuelve, sin aplicar la fórmula, las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

3.1 16x � 28x2 � 0 (0.3 p)3.2 845� 5x2 � 0 (0.3 p)(# 0.6 p)

4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.4.1 12x2 � 13x � 35 � 0 (0.5 p)

4.2�2x � 3�2 � 7

3�

�x � 6��x � 6�5

� 5 (0.7 p)(# 1.2 p)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones más complejas.5.1 �3x � 2��x � 4��x � 6� � 0 (0.3 p)

5.2 Haz una de las dos siguientes:5.2.1 9x � 13 � 17 � 6x

5.2.2 x � 1x � 7

x � 5� 1 � 1

x (0.9 p)(# 1.2 p)

6. Resuelve las siguientes inecuaciones. En todos los casos se pide la representación gráfica y elintervalo correspondiente.6.1 4�x � 3� � 5 � �12� 8x� (0.225 p � 2x0.1 p)

6.25x � 7 � 2x � 11

6x � 3 � 9 � x(0.45 p � 2x0.1 p)(# 1.075 p)

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7. Javier tiene 5 años más que su hermano Miguel y su madre tiene 42 años. Dentro de tres añosla edad de la madre será el triple que la suma de las edades de los hijos. ¿Cuántos años tienecada uno ahora? (plan�0.45 p; resol�0.3 p; sol�0.15 p)(# 0.9 p)

8. Las edades actuales de una mujer y su hijo son 49 y 25 años, respectivamente. ¿Cuántos añoshace que el producto de sus edades era 640? (plan�0.475 p; resol�0.5 p; sol�0.15 p)(#1.125 p)

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SOLUCIÓN

PROBLEMAS (como mínimo hay que sacar un cuatro )1. Tanteamos con los siguientes números:

� si x � 4 � �4 � 4 � 7�3 � 729� si x � 1 � �4 � 1 � 7�3 � � 27� si x � 2 � �4 � 2 � 7�3 � 1� si x � 3 � �4 � 3 � 7�3 � 125 0.3 p

2.2.1 4x � 5�2 � x� � 6 � 3�7x � 11� �

� 4x � 10� 5x � 6 � 21x � 33 �

� 9x � 21x � �27� 10 �

� 30x � �17 �

� x � � 1730

0.4 p

2.2 4 � x5

� 2 � 3x4

� 710

� x �

�4�4 � x�

20�

5�2 � 3x�20

� 2 � 710

� 20 � x20

Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemossuprimir.�� 16� 4x � 10� 15x � 14� 20x �

� �19x � 20x � 14� 16� 10 �

� x � 8 0.5 p2.3 �5x � 2��5x � 2� � �5x � 3�2 � 9x � 11 �

� �5x�2 � 22 � ��5x�2 � 2 � 5x � 3 � 32� � 9x � 11 �

� 25x2 � 4 � 25x2 � 30x � 9 � 9x � 11 �

� �30x � 9x � �11� 4 � 9 �

� �39x � 2 �

� x � � 239

0.7 p

3.3.1 16x � 28x2 � 0 �

� 4x�4 � 7x� � 0 �

Un producto es cero, si uno de los multiplicandos es cero.

x � 0

O

4 � 7x � 0

x � 0

O

4 � 7x

x � 0

O

x � 47

0.3 p

3.2 845� 5x2 � 0 �

� 845 � 5x2 �

� x2 � 8455

� 169 �

� x � � 169 � �13 0.3 p

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4.4.1 12x2 � 13x � 35 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 12

b � �13

c � �35

que resolvemos aplicando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���13� � ��13�2 � 4 � 12 � ��35�2 � 12

�13� 1849

24� 13� 43

24�

13� 4324

� 5624

� 73

13� 4324

� � 3024

� � 54

0.5 p

4.2�2x � 3�2 � 7

3�

�x � 6��x � 6�5

� 5

���2x�2 � 2 � 2x � 3 � 32 � 7�5

15�

�x2 � 62�315

� 15 � 515

Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son los mismos, estos puedeneliminarse.� 5�4x2 � 12x � 9 � 7� � 3�x2 � 36� � 75 �

� 20x2 � 60x � 10 � 3x2 � 108� 75 �

� 20x2 � 3x2 � 60x � 33 � 0 �

� 17x2 � 60x � 33� 10 � 0� 17x2 � 60x � 43 � 0 0.2 p

Ecuación de 2º grado completa con

a � 17

b � 60

c � 43

que resolvemos aplicando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�60� 602 � 4 � 17 � 432 � 17

��60� 676

34� �60� 26

34�

�60� 2634

� �3434

� �1

�60� 2634

� � 8634

� � 4317

0.5 p

5.5.1 �3x � 2��x � 4��x � 6� � 0 �

Un producto es igual a cero cuando uno de los multiplicandos es cero.

3x � 2 � 0

Ó

x � 4 � 0

Ó

x � 6 � 0

x � 23

Ó

x � 4

Ó

x � �6

0.3 p

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5.2 una5.2.1 9x � 13 � 17 � 6x �

� 9x � 13 � 6x � 17 �

� 9x � 132� �6x � 17�2 �

� 9x � 13 � �6x�2 � 2 � 6x � 17� 172 �

� 9x � 13 � 36x2 � 204x � 289 �

� 0 � 36x2 � 204x � 289� 9x � 13 �

� 0 � 36x2 � 213x � 276 0.2 p

Ecuación de 2º grado completa con

a � 36

b � �213

c � 276

que resolvemos aplicando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���213� � ��213�2 � 4 � 36 � 2762 � 36

�213� 5625

72� 213� 75

72�

213� 7572

� 28872

� 4

213� 7572

� 13872

� 2312

0.5 p

Hemos de comprobar las soluciones:� si x � 4 � 9 � 4 � 13 � 17 � 6 � 4 � 36� 13 � 17 � 24 � 49 � 17 � 24 � 7 � 17 � 24

Cierto: entonces es solución 0.1 p� si

x � 2312

� 9 � 2312

� 13 � 17 � 6 � 2312

� 694

� 13 � 17 � 232

� 69� 524

� 17 � 232

� 1214

� 17 � 232

� 112

� 17 � 232

� 11� 342

� 232

� 452

� 232

Falso: entonces no es solución 0.1 p

a. 5.5.2 x � 1x � 7

x � 5� 1 � 1

x �

Hemos de calcular m.c.m.�x � 5,x�

��x � 1��x � 5�

x�x � 5�� 7 � x

x�x � 5��

x�x � 5�x�x � 5�

�1 � �x � 5�x�x � 5�

Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemossuprimir.� x2 � 5x � x � 5 � 7x � x2 � 5x � x � 5 �

� x � x � 7x � �5 � 5 �

� �5x � �10 �

� x � �10�5

� 2 0.75 p

Hemos de comprobar las soluciones.

� si x � 2 � 2 � 12

� 72 � 5

� 1 � 12

� 32

� 77

� 1 � 12

� 32

� 1 � 1 � 12

Cierto: entonces es solución. 0.15 p6.1 4�x � 3� � 5 � �12� 8x� �

� 4x � 12 � 5 � 12� 8x �

� �5 � �4x � 8x �

� �5 � 4x �

� �54

� x 0.225 p

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Representación gráfica�

0.1 p

La solución es el intervalo � 54

,� 0.1 p

6.25x � 7 � 2x � 11

6x � 3 � 9 � x�

�5x � 2x � 7 � 11

6x � x � 9 � 3�

�3x � 18

7x � 6�

�x � 18

3� 6

x � 67

0.45 p

Representación gráfica

0.1 pLa solución es el vacío 0.1 p

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6.

PLANTEAMIENTO

Tenemos la siguiente tabla de edades:

edad actual dentro de tres años

Madre 42 42� 3

Javier x � 5 �x � 5� � 3

Miguel x x� 3

Dentro de tres años la edad de la madre será el triple que la suma de las edades de loshijos� 45 � 3��x � 3� � ��x � 5� � 3�� plan�0.45 p

RESOLUCIÓN

45 � 3��x � 3� � ��x � 5� � 3�� �� 45 � �2x � 11�3 �

� 45� 33 � 6x �

� 12 � 6x �

� x � 126

� 2 resol�0.3 p

SOLUCIÓN

Las edades sonJavier tiene 7 años

Miguel tiene 2 añossol�0.15 p

7.

PLANTEAMIENTO

Llamamos x a los años que han pasado.Tenemos que:� ¿Cuántos años hace que el producto de sus edades era 640?� �49� x��25� x� � 640

Recuerda que tenemos la tabla siguiente de años:

edad actual edad hace x años

Mujer 49 49� x

Hijo 25 25� x

plan�0.475 p

RESOLUCIÓN

�49� x��25� x� � 640 �

� 1225� 49x � 25x � x2 � 640 � 0 �

� 585� 74x � x2 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �74

c � 585

que resolvemos aplicando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���74� � ��74�2 � 4 � 1 � 5852 � 1

�74� 3136

2� 74� 56

2�

74� 562

� 1302

� 65

74� 562

� 182

� 9resol�0.5 p

SOLUCIÓN

La solución es 9 años.No pueden ser 65 años pues entonces no habría nacido la mujer. sol�0.15 p

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