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Questionnaire examen final
MTH1102
Sigle du cours
Identification de l’étudiant(e)
Nom : Prénom :
Signature : Matricule : Groupe :
Sigle et titre du cours Groupe Trimestre MTH 1102– CALCUL II TOUS Automne 2009
Professeur Local Téléphone ANDRÉ DUPONT A-520.9 4773 Jour Date Durée Heures Mardi 15 décembre 2009 2h30 9h30 à 12h00
Documentation Calculatrice
Aucune Aucune Les cellulaires, agendas électroniques ou téléavertisseurs sont interdits.
Toute Toutes
Voir directives particulières Non programmable
Directives particulières
Bonne chance à tous!
Impo
rtan
t Cet examen contient x5 questions sur un total de x20 pages (incluant cette page)
La pondération de cet examen est de 60 %
Vous devez répondre sur : le questionnaire le cahier les deux
Vous devez remettre le questionnaire : oui non
L’étudiant doit honorer l’engagement pris lors de la signature du code de conduite.
Réservé
1. /10
2. /10
3. /10
4. /10
5. /10
/50
École Polytechnique de Montréal 2 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 1 (10 points) a) Les champs suivants sont-ils conservatifs,
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
1
22
, , ln ln
, , ln
y yF x y z i x z j z kx z
yF x y z y i x j kz
= + + + +
= + +
dans le domaine 0, 0, 0?x y z> > >
b) Pour chacun des champs donnés en a) obtenez, si elle est définie (c’est-à-dire, unique), l’intégrale curviligne (le travail)
2
1
P
PF dr•∫
entre les points 1(1,1,1)P et ( )2 2
2 ,3,P e e .
École Polytechnique de Montréal 3 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 1 (suite)
École Polytechnique de Montréal 4 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 1 (suite)
École Polytechnique de Montréal 5 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 2 (10 points) Un corps du premier octant est borné par les plans 0, 1, 0, 1, 0x x y y z= = = = = et à son sommet par la surface ( ),z f x y= , d’équation inconnue, interceptant le plan yz le long de la droite 1, 0 1z y= ≤ ≤ . Soit le champ
( ) ( ) ( ), , 2 3 4 2 8F x y z x i y j z k= − − + +
dont le flux à travers la face située dans le plan 1x = est α , et le flux à travers la face située dans le plan 1y = est β . Obtenez le flux de ce champ à travers la surface ( ),z f x y= , orientée vers le haut.
z
y
x
z = f (x,y)1
1
1
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QUESTION # 2 (suite)
École Polytechnique de Montréal 7 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 2 (suite)
École Polytechnique de Montréal 8 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 3 (10 points) Soit S la surface (ouverte à sa base) de l’hémisphère
( )22 2 21 3 , 1 4x y z z+ + − = ≤ ≤
dont la normale au point ( )0,0,4 est k
. Obtenez le flux du champ
( ) ( )33
2 25, , 6 53
yxF x y z x e i xz j x z k −
= + + + +
à travers S . Suggestion : évaluer indirectement à l’aide d’un théorème approprié.
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QUESTION # 3 (suite)
École Polytechnique de Montréal 10 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 3 (suite)
École Polytechnique de Montréal 11 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 4 (10 points) On a construit une rampe de planche à roulettes dont la section verticale C est une courbe appelée brachistochrone paramétrée par
( ) ( )( ) ( )( )2 sin 2 1 cos , 0 2 .r t t t i t j t π= − + + ≤ ≤
La section verticale de la rampe est illustrée ci-dessous. La partie hachurée de la figure est le support en bois de la rampe.
y
x0
C
a) Quelle est la longueur de C ? (Note : l’identité ( ) ( )21 cos 2 2sint t− = pourrait être utile.)
b) Calculez la courbure de C en chaque point et déterminez en quel(s) point(s) la
courbure est minimale et en quel(s) point(s) elle est maximale.
c) On veut repeindre le support en bois de la rampe. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître l’aire de région S hachurée de la figure. Selon le théorème de Green, avec 0P = et Q x= , l’aire à l’intérieure d’une courbe fermée γ s’obtient par l’intégrale curviligne.
x j d rγ
•∫
(1)
Calculez l’aire de S en vous servant de la formule (1).
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QUESTION # 4 (suite)
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QUESTION # 4 (suite)
École Polytechnique de Montréal 14 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 5 (10 points) Soit le champ
( ) 2 2, ,F x y z y i y x j zk= − − +
et S la surface d’équation
( ) ( ) , 0 , 0 , 0z a x y a y x a y a a= − − ≤ ≤ ≤ ≤ >
dont la normale est dirigée vers le haut. Pour quelle valeur de a , la circulation
cF dr•∫
sera-t-elle nulle, c étant la frontière de S ? Note : Évaluer indirectement est plus court.
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QUESTION # 5 (suite)
École Polytechnique de Montréal 16 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 5 (suite)
École Polytechnique de Montréal 17 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
QUESTION # 5 (suite)
École Polytechnique de Montréal 18 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
École Polytechnique de Montréal 19 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009
École Polytechnique de Montréal 20 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009