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Examen partiel #3
• Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20
• Salle 1112 du pavillon Pouliot.
• Matière de l'examen:- Livre de Lay: sections 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.- Notes de cours (guide d'études): sections 11 à 14.- Devoirs: 9 à 12.
Rappel...
• Orthogonalité.– Produit scalaire, module;– Ensembles orthogonaux.
Aujourd’hui
• Projections orthogonales.
• Procédure de Gram-Schmidt
14. Projections orthogonales
• Dans la section précédente, nous avons étudié la projection d’un vecteur y sur un espace à une dimension.
• Nous allons maintenant étendre ce concept à des sous-espaces de Rn.
Décomposition d’un vecteur
• On peut toujours décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs en utilisant les bases de l’espace vectoriel.
y = z1 + z2
z1 Span{u1,…, ul}
z2 Span{ul+1,…, un}
Décomposition d’un vecteur (suite)
• En particulier, si {u1,…, un} est une base orthogonale, on aura z1 z2.
W = Span{u1,…, ul}
W = Span{ul+1,…, un}
Théorème de la décomposition orthogonale
Soit W un sous-espace de Rn ayant une base orthogonale. Alors chaque vecteur y dans Rn peut être écrit de façon unique selon
zyy ˆ Wz Wy etˆ
Théorème de la décomposition orthogonale (suite)
En fait, si {u1, u2,..., up} est une base orthogonale quelconque de W, alors
p
jj
jj
jp
pp
p
11
11
1ˆ uuu
uyu
uu
uyu
uu
uyy
.ˆet yyz
Le vecteur est appelé projection orthogonale de y sur W et est dénoté par projWy.
y
W
yy Wprojˆ
yyyz ˆ
Décomposition orthogonale
Interprétation géométrique
y
0
u1
u2
1y
2y
21 yyuuu
uyu
uu
uyy ˆˆˆ 2
22
21
11
1
Propriétés des projections orthogonales
Si y W = Span{u1,,..., up}, alors projWy = y, où {u1,..., up} est une base orthogonale de W.
Théorème de la meilleure approximation
Soit W un sous-espace de Rn, y un vecteur quelconque dans Rn, et la projection orthogonale de y sur W déterminée par une base orthogonale de W. Alors est le point le plus proche de y dans W, au sens où
pour tout vecteur v dans W distinct de . y
|| - |||| -|| vyy y ˆ
y
y
W
y
|||| v-y
Projection orthogonale de y sur W
|||| v-y
v0
|||| y-y
Théorème de la projection orthogonale
Si {u1, u2,..., up} est une base orthonormale d’un sous-espace W de Rn, alors
Si U = [u1 u2 ... up], alors
p
jjjppW
12211 )()()()(proj uuyuuyuuyuuyy
nTW UU Ryyy proj
Procédure de Gram-Schmidt
• La procédure de Gram-Schmidt est un algorithme simple pour produire une base orthogonale ou orthonormale pout tout sous-espace de Rn.
La méthode de Gram-Schmidt
Soit une base {x1,..., xp} pour un sous-espace W de Rn. On définit
11 xv
111
1222 v
vv
vxxv
222
231
11
1333 v
vv
vxv
vv
vxxv
La méthode de Gram-Schmidt (suite)
Soit une base {x1,..., xp} pour un sous-espace W de Rn. On définit
1
11
11
12
22
21
11
1p
jj
jj
jppp
pp
pppppp v
vv
vxxv
vv
vxv
vv
vxv
vv
vxxv
La méthode de Gram-Schmidt (suite et fin)
{v1,..., vp} est alors une base orthogonale pour W. De plus
Span{v1,..., vk} = Span {x1,..., xk} pour 1 k p
La décomposition QR
• Utilisé dans plusieurs algorithmes numériques:
– calcul des valeurs propres;
– solutions d’équations matricielles.
Théorème: décomposition QR
Si une matrice A m n possède des colonnes linéairement indépendantes, alors A peut être décomposée selon A = QR, où Q est une matrice m n dont les colonnes forment une base orthonormale de Col A et R est une matrice n n, triangulaire supérieure et réversible, avec tous les éléments de sa diagonale > 0.
Méthode pour la décomposition QR
• Q: on utilise Gram-Schmidt.
• R: on utilise le fait que Q est une matrice orthogonale.
QTA = QT (QR) = IR = R
Devoir 12(Ne pas remettre)
1) 6.3.12
2) 6.3.16
3) 6.3.18
4) [M] 6.3.25
5) 6.4.10
6) Calculer la décomposition QR pour la matrice de 6.4.10.
7) [M] Calculer la décomposition QR pour la matrice de 6.4.12.