7/26/2019 excercie series de fonctions

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UABT

Dpartement de Mathmatiques 03/12/15Analyse III

Contrle continu (dure 02h)

ANALYSE III / L2-MATH /Contrle / 2015/2016

Exercice 1 : 06 pts

Etudier la nature et calculer ventuellement la somme des sries :

1) 1n ++13

3+10 2) . 1

2 += 1 3) sin n3 + 1nn3 1

Exercice 2 : 04 pts

1. Dvelopper en srie entire autour de lorigine la fonction = Prciser son rayon et son domaine de convergence . En dduire la somme 1

n

2+10

2. En utilisant 1n

2+10 calculer la somme S de la srie 1n4n211

3. Combien fautil prendre de termes dans la srie 1n

4n2

11 pour avoir S

103prs et prciser si cest unevaleur approche par excs ou par dfaut.

Exercice 03 :10 pts

A. Soit la suite de fonctions dfinie par : = (+1)

1 0 = 0.

1. Etudier la convergence simple et uniforme de la suitedans .2. Dterminer le plus grand intervalle de convergence uniforme de la suite .

B. On considre la srie de fonctions de terme gnral =

2 .

1.

Trouver le domaine de convergence de la srie 1 .2. Etudier la convergence normale de la srie 0 sur .3. Montrer que la somme S = 1 .

+ S = 0et 0S = 121 > 0 , on pose =

et =

4. Montrer que > 0 = ,+1 en dduire la drivabilit de lasrie 0 et de la srie 0 sur, + > 0.

5. On pose W=

0 et V

=

0 , calculer W

> 0 puis

V > 0. ( + V = 0 )6. Etudier les variations de la fonction Set tracer son graphe. ( 121 =

26

= 1,64)

7. Montrer que > 0 S = 1

0et justifier que

1 1

0= 121 . (Rem : on ne demande pas de calculer les intgrales)

Question facultative : En utilisant le dveloppement en srie entire de 1

retrouver le rsultat dans 7 .

Bon Courage !