Exemplu Calcul Alfa Critic

Exemple : Analyse lastique d'un portique simple en PRS Discuss me ...

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Exemple : Analyse lastique d'un portique simple en PRS EN 1993-1-1 Arnaud Lemaire Alain BureauDate Date

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Jan 2006 Jan 2006

Exemple: Analyse lastique d'un portique simple en PRSCet exemple prsente le calcul d'un portique simple fabriqu partir de Profils Reconstitus par Soudage (PRS), selon l'EN 1993-1-1. Cet exemple d'application comprend l'analyse lastique de la structure au premier ordre, et toutes les vrifications des barres sur la base des caractristiques efficaces des sections transversales (Classe 4).

5,988 7,30,00 72

0 7,2

[m] 30,00

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1. Donnes de base Longueur totale : Espacement : Porte : Hauteur au fatage : Pente de la toiture :3,00

b = 72,00 m s = 7,20 m d = 30,00 m h = 7,30 m

= 5,03,00 3,00 3,00 3,00

2,99

13,00

1 : Maintiens assurs par des bracons


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2. ChargesCharges permanentes Poids propre de la poutre Couverture avec pannes pour un portique courant : G = 0,30 kN/m2 G = 0,30 7,20 = 2,16 kN/m EN 1991-1-1


Charge de neige Valeur caractristique de la charge de neige sur la toiture en kN/m S = 0,8 1,0 1,0 0,772 = 0,618 kN/m pour un portique courant : S = 0,618 7,20 = 4,45 kN/m

EN 1991-1-3


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s = 4,45 kN/m

7,30 30,00 [m]

Action du ventCreated on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

EN 1991-1-4

Valeurs caractristiques en kN/m de la charge de vent pour un portique courantG: w = 9,18 H: w = 5,25 J: w = 5,25 I: w = 5,25

D: w = 4,59

E: w = 3,28

e/10 = 1,46

1,46 30,00 [m]

7,30


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EN 1990

3. CombinaisonsCoefficients partiels Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

Gmax = 1,35 Gmin = 1,0 Q = 1,50 0 = 0,50 0 = 0,60 M0 = 1,0 M1 = 1,0

(Charges permanentes) (Charges permanentes) (Charges variables) (neige) (vent) EN 1990 Tableau A1.1

Combinaisons ELU Combinaison 101 : Combinaison 102 : Combinaison 103 : Combinaison 104 : Combinaison 105 : Combinaison 106 : Combinaisons ELS Combinaison 201 Combinaison 202 G+S G+W

EN 1990

Gmax G + Q S Gmin G + Q W Gmax G + Q S + Q 0 W Gmin G + Q S + Q 0 W Gmax G + Q 0 S + Q W Gmin G + Q 0 S + Q WEN 1990


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Exemple : Analyse lastique d'un portique simple en PRS EN 1993-1-1 Arnaud Lemaire Alain Bureautf zDate Date


Jan 2006 Jan 2006

4. SectionsPoteau PRS - Nuance S355 ( = 0,81) Largeur des semelles Epaisseur des semelles Hauteur de lme Epaisseur de lme Hauteur totaleCreated on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

tw y y

h

b = 250 mm tf = 12 mm hw = 800 mm tw = 6 mm h = 824 mm a = 3 mm 84,8 kg/m A = 108 cm2 Iy = 124500 cm4 Iz = 3126 cm4 It = 34,56 cm4

hw

z b

Gorge du cordon Masse linique Aire de la section Moment dinertie /yy Moment dinertie /zz Inertie de torsion

Inertie de gauchissement Iw = 5,151 106 cm6 Module lastique /yy Module plastique /yy Module lastique /zz Module plastique /zz Wel,y = 3022 cm3 Wpl,y = 3396 cm3 Wel,z = 250,1 cm3 Wpl,z = 382,2 cm3


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Traverse PRS - Nuance S355 ( = 0,81) Hauteur totale Hauteur de lme Largeur semelle Epaisseur de lme Epaisseur semelles Gorge du cordon Masse liniqueCreated on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

h = 824mm hw = 800 mm b = 240 mm tw = 6 mm tf = 12 mm a = 3 mm 82,9 kg/m A = 105,6 cm2 Iy = 120550 cm4 Iz = 2766 cm4 It = 33,41 cm4

Aire de la section Moment dinertie /yy Moment dinertie /zz Inertie de torsion

Inertie de gauchissement Iw = 4,557 106 cm6 Module lastique /yy Module plastique /yy Module lastique /zz Module plastique /zz Wel,y = 2926,0 cm3 Wpl,y = 3299 cm3 Wel,z = 230,5 cm3 Wpl,z = 352,8 cm3


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5.

Analyse globale

EN 1993-1-1 5.2

Les pieds des poteaux sont supposs articuls. Les assemblages traverse sur poteau sont supposs parfaitement encastrs. Lossature a t modlise laide du logiciel EFFEL. Calcul du coefficient damplification critique factor cr

Afin destimer la sensibilit de la structure aux effets du 2nd ordre, une EN 1993-1-1 analyse modale est effectue pour dterminer le coefficient damplification critique cr pour la combinaison conduisant la charge verticale la plus 5.2.1 leve.Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

Combinaison 101: Gmax G + Q QS Pour cette combinaison, le coefficient damplification critique est :

cr = 29,98La dforme correspondant au 1er mode dinstabilit est reprsent ci-dessous.

On obtient :

cr = 29,98 > 10

EN 1993-1-1 5.2.1 (3) EN 1993-1-1 5.3.2 (4)

Une analyse lastique au 1er ordre peut tre effectue. Limperfection globale peut tre nglige lorsque : HEd 0,15 VEd. Les effets des imperfections initiales daplomb peuvent tre pris en compte par des forces horizontales quivalentes : Heq = VEd pour les combinaisons o : HEd < 0,15 VEd


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Exemple : Analyse lastique d'un portique simple en PRS EN 1993-1-1 Arnaud Lemaire Alain Bureau Total HEd kN 0,00 69,93 41,96 41,97 69,93 69,93 VEd kN -334,24 145,61 -187,32 -152,58 10,75 45,48 50,14 21,84 28,10 22,89 1,61 6,82Date Date


Jan 2006 Jan 2006

Poteau gauche 1 Comb. HEd,1 ELU kN 101 102 103 104 105 106 -111,28 89,29 -39,16 -28,33 43,70 54,52 kN -167,12 83,80 -87,06 -69,69 16,37 33,74 VEd,1

Poteau droit 2 HEd,2 kN 111,28 -19,36 81,12 70,30 26,23 15,41 VEd,2 kN -167,12 61,81 -100,26 -82,89 -5,62 11,74

0,15 VEd

Effets des imperfectionsCreated on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

Limperfection globale initiale peut tre obtenue par :

EN 1993-1-1 5.3.2 (3)

= 0 h mO :

0 = 1/200 h =2 2 = = 0,74 7,30 h1 ) = 0,866 m

m = 0,5(1 +Soit :

(m = 2 nombre de poteaux)

=

1 0,740 0,866 = 3,2 10 3 = 1/312 200 EN 1993-1-1 5.3.2 (7)

Limperfection globale doit tre prise en compte pour la combinaison 101 :VEd (kN) HEq = .VEd (kN)

167,12

0,535

HEq est une force horizontale quivalente appliquer au sommet du poteau gauche


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6. Rsultats de lanalyse lastique6.1 Etats Limites de Servicewy = 74 mm = L/405 wy = 44 mm = L/682

EN 1993-1-1 7 et EN 1990

Flche verticale maximale Sous la combinaison 201 (G + S) : Sous la neige seule (S):

Dplacement horizontal en tte des poteaux : wx = 16 mm = h/374 Sous la seule action du vent (W):

6.2

Etats Limites Ultimes

Le diagramme du moment flchissant est donn en kNm pour chaque combinaison.Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

Combinaison 101

Combinaison 102

Combinaison 103

D 2

g

E

0

x i

e s

m c u

p s

l

e s

: m e

A

n .

a . .

l

y

s

e

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r

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y

Vrifi par

y

r

Combinaison 104p

a u n c o

Combinaison 104a J i s

Combinaison 105

3 n r i 2 a l

Combinaison 106o e C T r h e i a s t e m d a t


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7. Vrification du poteauLe poteau est vrifi pour la combinaison ELU la plus dfavorable : combinaison 101. NEd = 167,4 kN (Suppos constant sur la hauteur du poteau) Vz,Ed = 112,0 kN (Suppos constant sur la hauteur du poteau) My,Ed = 670,6 kNm (en tte du poteau)

EN 1993-1-1

7.1

Classement de la section transversalec = 800 2 1,414 3 = 791,5 mm

me : hw = 800 mm et tw = 6 mm

5.5 (Tableau 5.2)


Elancement de lme : c / tw = 131,9 Lme est flchie et comprime. Le rapport des contraintes lELU est donn par :

=2

N Ed 167 ,4 103 1 = 2 1 = 0,913 < 0 Af y 10800 355 42 42 0,81 = = 92,3 0,67 + 0,33 0,67 0,33 0,913 Lme est de Classe 4. EN 1993-1-1 5.5 (Tableau 5.2)

La limite pour la Classe 3 est : Donc : c / tw = 131,9 > 92,3

Semelle : b = 250 mm et tf = 12 mm

c=

250 - 6 3 2 = 118 mm 2

Elancement de la semelle : c / tf = 9,8 La semelle est uniformment comprime. La limite pour la Classe 3 est : 14 = 14 0,81 = 11,3 Donc : c / tf = 9,8 < 11,3 La semelle est de Classe 3.

La section est donc de Classe 4. Le poteau sera vrifi sur la base de la rsistance lastique de la section efficace.


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EN 1993-1-1

7.2

Caractristiques efficaces de la section

Aire efficace Laire efficace Aeff de la section est calcule en compression seule.

6.2.9.3 (2)

Semelle : La semelle nest pas de Classe 4, elle est donc pleinement efficace. me: Lme est sujette au voilement local : = 1 k = 4791,5 / 6 c / tw = = 2,87 > 0,673 28,4 k 28,4 0,81 4 EN 1993-1-5 4.4 (Tableau 4.1)

Coefficient de voilement :Elancement rduit : p =

Coefficient de rduction : =

p - 0,055 (3 + ) p2

mais 1


=Largeur efficace :

2,87 - 0,055 (3 + 1) = 0,322 2,87 2

beff = c = 0,322 791,5 = 255 mmAeff = 75,86 cm2

Module lastique efficace

Le module lastique efficace est calcul en flexion simple. Semelle : La semelle nest pas de Classe 4, elle est donc pleinement efficace. me : Lme est sujette au voilement local : = -1 Coefficient de voilement : Elancement rduit : p =

k = 23,9791,5 / 6 c / tw = = 1,173 > 0,673 28,4 k 28,4 0,81 23,9

Coefficient de rduction : =

p - 0,055 (3 + ) p2

mais 1

=Largeur efficace :

1,173 - 0,055 (3 1) = 0,772 1,1732 beff = c = 0,772 791,5 = 611 mm


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be1 = 0,4 beff = 244 mm be2 = 0,6 beff = 367 mm bt = 0,5 c = 396 mmLes caractristiques de la section efficace peuvent tre calcules :

Iy,eff = 121542 cm4Weff,y,min = 2867,4 cm3 Note: Pour une section symtrique, il ny a pas de dcalage du centre de gravit de laire efficace Aeff par rapport la section brute. Do :

eNy = eNz = 0


7.3 Vrification de la section transversale sous moment flchissant et effort axial1 =M + N Ed eNy N Ed + y,Ed 1 f y Aeff / M0 f yWeff,y,min / M 0

EN 1993-1-1 6.2.9.3 EN 1993-1-5 4.6

167400 670,6.106 + 167400 0 + 1 = = 0,721 1 OK 355 7586 / 1,0 355 2867400 / 1,0

7.4 Vrification de la rsistance du poteau au voilement par cisaillementhw = 133 > 72 = 58,3 avec = 1,0 tw La rsistance au voilement par cisaillement doit donc tre vrifie. Aucun raidisseur transversal intermdiaire nest prvu. La rsistance au voilement par cisaillement est calcule par : Vb,Rd = Vbw,Rd + Vbf,Rd O Vbw,Rd est la contribution de lme : Et Vbf,Rd est la contribution des semelles. Vbw,Rd =

EN 1993-1-1 6.2.8 (2)

EN 1993-1-5

w f y hw t w M1 3

5.2 (1)

D 2

g

E

0

x i

e s

m c u

p s

l

e s

: m e

A

n .

a . .

l

y

s

e

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r

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y

Vrifi par

y

Elancement rduit :

w = 0,76

fy

r

EN 1993-1-5 5.3EN 1993-1-5 Annexe A

p

cr2

a o

n

c

Avec cr = k E

t et E = 190000 w h w

u

Il ny a pas de raidisseur intermdiaire sur la hauteur du poteau, donc : k = 5,34 Et :J i a s

E = 10,7 N/mm2355 = 1,894 1,08 57,14 EN 1993-1-5 Tableau 5.1

Donc, cr = 5,34 10,7 = 57,14 N/mm2 et w = 0,76

Retenons lhypothse de montants dextrmit non rigides : w = 0,83 / w = 0,438 Donc, Vbw,Rd = 0,438 355 800 6 10 =430,9 kN 1,0 33

3 2 a l

La contribution des semelles peut tre ignore : Vbf,Rd = 0 Alors : 3 = 3 =112,0 VEd = 0,26 < 1 = Vbw,Rd 430,9

EN 1993-1-5 5.5 (1) EN 1993-1-5 7.1 (1)

n r

i

Il est noter que pour 3 < 0,5 , linfluence de leffort tranchant sur la rsistance en flexion peut tre nglige.

C T

r h

e i

a s

t

e m

d a

t

o e


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7.5

Vrification de la rsistance au flambementM y,Ed 1 M y,Rk

La rsistance au flambement du poteau est vrifie en utilisant les critres suivants (pas de flexion par rapport laxe faible, Mz,Ed = 0) :

N Ed + k yy y N Rk

M1Et :

LT

M1

EN 1993-1-1 6.3.3

N Ed + kzy z N Rk

M1

LT

M y,Ed 1 M y,Rk

M1

Les coefficient kyy and kzy sont calculs daprs lAnnexe A (EN 1993-1-1).Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

Note: My,Ed = Mz,Ed = 0 puisque eNy = eNz = 0 La structure nest pas sensible aux effets du second ordre (cr = 29,98 > 10). La longueur de flambement dans le plan peut donc tre prise gale la longueur dpure. Lcr,y = 5,99 m En ce qui concerne le flambement hors plan, le poteau est maintenu latralement mi-hauteur et ses deux extrmits. Do : Lcr,z = 3,00 m and Lcr,LT = 3,00 mRsistance au flambement du poteau

EN 1993-1-1 5.2.2 (7)

Flambement par rapport laxe yy (Lcr,y = 5,99 m) EI 210000 124500 10 N cr,y = 2 2 y = 2 =71920 kN Lcr,y 5990 2

y =

Aeff f y N cr,y

=

7586 355 = 0,1935 < 0,2 71920 103

EN 1993-1-1 6.3.1.3 (1) 6.3.1.2 (4)

Les effets du flambement dans le plan peuvent tre ignor : y = 1,0


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Par consquent, la rsistance au flambement par rapport laxe fort est prise gale la rsistance de la section leffort axial de compression :Nby,Rd = Aeff fy / M0 = (7586 355 / 1,0).10-3 = 2693 kN

Flambement par rapport laxe zz (Lcr,z = 3,00 m) 210000 3126 10 EI = 7199 kN N cr,z = 2 2 z = 2 Lcr,z 3000 2

EN 1993-1-1 6.3.1.3 (1)

z =

Aeff f y N cr, z

=

7586 355 = 0,6116 7199 103

Courbe de flambement : c (z = 0,49)


z = 0,5 [1 + 0,49 (0,6116 0,2 ) + 0,6116 ] = 0,7879 1 1 z = = = 0,778 2 2 0,7879 + 0,78792 0,61162 z + z z2

z = 0,5 1 + z 0,2 + z

[

(

)

2

]

EN 1993-1-1 Tableau 6.2 6.3.1.2 (1)

La rsistance au flambement par rapport laxe faible est : Nbz,Rd = z Aeff fy / M0 = (0,778 7586 355 / 1,0).10-3 = 2095 kN Dversement (Lcr,LT = 3,00 m) Le tronon suprieur du Poteau est considr.

Le moment critique est calcul par :M cr = C1

670,6 kNm

NCCI SN003

EI z2

L2 LT cr,

I w L GI t + Iz EI z

2 cr,LT 2

3,00 m

335,3 kNm

Le coefficient C1 dpend du rapport des moments dextrmit :

= 335,3 / 670,6 = 0,5Do : C1 = 1,31


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M cr = 1,31

2 210000 3126 10 4 51510003000 2 106 3126

10 2 +

3000 2 80770 345600 2 210000 3126 10 4

Mcr = 3873 kNm

The slenderness for lateral torsional buckling is obtained from:

EN 1993-1-1 6.3.2.2

LT =

Weff,y f y M cr

=

2867,4 355 = 0,5127 3873 103

Le coefficient de rduction est alors calcul partir de la courbe de flambement d, et le facteur dimperfection est : LT = 0,76.

EN 1993-1-1 Tableau 6.3 Tableau 6.4 et 6.3.2.2

LT = 0,5 1 + LT LT - 0,2 + Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

[

(

)

2 LT

]1= 0,7705

LT = 0,5 [1 + 0,76 (0,5127 - 0,2) + 0,51272 ] = 0,7502 LT =1=

LT + - 2 LT

2 LT

0,7502 + 0,75022 - 0,5127 2

Do :

M b,Rd = LT

Weff,y f y

M1

= 0,7705

2867400 355 10 6 = 784,3 kNm 1,0

Les coefficients kyy et kzy sont calculs selon lAnnexe A de lEN 1993-1-1.

N Ed 167,4 1 N cr, y 71920 = 1,0 y = = N Ed 167,4 1 y 1 1,0 N cr, y 71920 1N Ed 167,4 1 N cr,z 7199 z = = = 0,995 N Ed 167,4 1 0,778 1 z N cr,z 7199 1

EN 1993-1-1 Annexe A


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Effort normal critique de flambement par torsionN cr,T =

NCCI SN001

2 EI w A (GI t + ) h2 I0

Pour une section doublement symtrique,

I 0 = I y + I z = 124500 + 3126 127600 cm4N cr,T = 210000 5151000.106 10800 ) (80770 34,56.10 4 + 2 3000 2 127600.10 4 1000

Ncr,T = 10276 kN

Llancement rduit pour le dversement doit tre calcul en supposant une distribution uniforme du moment sur la hauteur du tronon tudi.Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

M cr,0 = C1

2 EI zL2 LT cr,

2 I w Lcr,LTGI t + 2 Iz EI z

avec C1 = 1,03000 2 80770 345600 2 210000 3126 10 4

NCCI SN003

M cr,0 = 1,0

2 210000 3126 10 4 51510003000 2 10 6 3126

10 2 +

M cr,0 = 2957 kNm Weff, y f y M cr, o

0 =

=

2867,4 355 = 0,587 2957 103N Ed N )(1 Ed ) N cr,z N cr,T


0 lim = 0,2 C1 4 (1 Avec Ncr,TF = Ncr,T

(section doublement symtrique)167,4 167,4 )(1 ) = 0,227 7199 10276

0 lim = 0,2 1,31 4 (1 0 > 0 lim


NOTE DE CALCUL

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Jan 2006 Jan 2006

Cmy = Cmy,0 + (1 Cmy,0 )

y aLT1 + y aLT

Avec :

y =

M y,Ed Aeff 670,6 75,86 = 100 =10,60 (Classe 4) N Ed Weff,y 167,4 2867,4It 1,0 Iy

et : aLT = 1

Calcul du facteur de moment uniforme quivalent Cmy,0Cmy,0 = 0,79 + 0,21 y + 0,36( y 0,33) N Ed N cr,y

EN 1993-1-1 Annexe A Tableau A2 167,4 = 0,790 71920


Pour y = 0 Cmy,0 = 0,79 + 0,21 0 + 0,36 (0 0,33)Calcul des coefficients Cmy et Cm,LT :

Cmy = 0,790 + (1 0,790)aLT (1

10,60 1,0 = 0,951 1 + 10,60 1,01

2 CmLT = Cmy


N Ed N )(1 Ed ) N cr,z N cr,T

CmLT = 0,9512

1,0 = 0,923 0 lim

Cmy = Cmy,0 + (1 Cmy,0 )

y aLT1 + y aLT

Avec :

y =

M y,Ed Aeff 73,46 670,6 =14,23 (Classe 4) = 100 N Ed Weff,y 124,9 2772,1It 1,0 Iy

Et :

aLT = 1


NOTE DE CALCUL

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Jan 2006 Jan 2006

Calcul du facteur de moment uniforme quivalent Cmy,0

Diagramme du moment flchissant :

30m

Cmy,0

N 2 EI y x =1+ 2 1 Ed N cr, y L M y,Ed

EN 1993-1-1 Annexe A Tableau A2

My,Ed = moment maximal sur la longueur de la traverse = 670,6 kNm

x = flche maximale de la traverse = 106 mmCreated on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

Cmy,0

2 210000 120550 10 4 106 124,9 = 0,9927 - 1 = 1+ 30000 2 670,6 106 9546

Calcul des coefficients Cmy et Cm,LT :

Cmy = Cmy,0 + (1 Cmy,0 )

y aLT1 + y aLT14,23 1,0 = 0,9985 1 + 14,23 1,0 1

Cmy = 0,9927 + (1 - 0,9927)

2 CmLT = Cmy

aLT


(1

N Ed N )(1 Ed ) N cr,z N cr,T

CmLT = 0,99852

1,0 = 1,014 1 124,9 124,9 (1 )(1 ) 6370 9219


NOTE DE CALCUL

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Jan 2006 Jan 2006

Calcul des coefficients kyy et kzy :

EN 1993-1-1 0,9983 = 1,024 124,9 195460,9953 = 1,021 124,9 19546

k yy = CmyCmLT

y1N Ed N cr,y

= 0,9985 1,014

Annexe A

k zy = CmyCmLT

z1-

N Ed N cr,y

= 0,9985 1,014

Vrification avec les formules dinteraction

N Ed + k yy y f y Aeff

M1Created on 23 January 2009 This material is copyright - all rights reserved. Use of this document is subject to the terms and conditions of the Steelbiz Licence Agreement

LT

M y,Ed 1 Weff,y f y

EN 1993-1-1 6.3.3

M1

670,6 124,9 + 1,024 = 0,967

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