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yessin-abdelhedi
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EXERCICE N°1 Calculer les limites suivantes :
²xx1
x3²x1limx −+
+−+∞→
; ²x2x1
²xx2lim
1x −++−
→ ;
1x
x32²xlim
1x −−+
→ ; ( )x2x3²xlim
x−+
+∞→ ; ( )xx3²xlim
x−+
+∞→ ;
( )xx3²xlimx
−+−∞→
; ( )1x3x3²xlimx
+−++∞→
; 36x
3xlim
3x −+−
→ ;
22x
37xlim
2x −+−+
→;
ax
xaaxlim
nn
ax −−
→( )*NR)n,a( ×∈ ; ( )
++++−−−∞→
n
nxx...²xx1
x1
1
x
1lim ,
*Nn∈ ; ( )x²xx²xlimx
−−++∞→
;
−−
+∞→ 2x3
1x2coslim
x
π ;
x
1xcoslim
0x
−→
; 9²x
3x3xlim
3x −−+−
→ ,
−+
→2
x
14xlim
0x ,
x
2xsin4lim
0x
−+→
.
EXERCICE N°2 Calculer les limites suivantes quand elles existent :
)x2cos(
)xtan(1lim
4x
−
→ π ;
3)x²(sin4
1)xcos(2lim
3x −
−
→π ;
−→ xtan
1
x2sin
2limx π
; x3cos1
x3sinlim
0x −→ ( )
−−→ 2
xtan11xtanlim
2x
π ;
1x²cosxsin
x²cosxsin1lim
2x −+
+−
→ π ; xtan
2
xsin
2
xcoslim
2x
−→ π
; ( )
−
−→ x²sin
1
xcos12
1lim
0x, ( )
a2
xtan.xa
axlim 22 π−→
EXERCICE N°3
On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) = 3 x + sin xx − 1 .
Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤ 4
x − 1 . En déduire la limite de f en + ∞
EXERCICE N°4
La fonction f est définie sur IR par : f (x) = 1
2 – cos x .
1°)) Montrer que, pour tout réel x, 1
3 ≤ f (x) ≤ 1 .
b) En déduire les limites suivantes : limx → +∞
1
x (2 – cos x) ; limx → –∞
x2 + 1
2 – cos x et lim
x → 0
1
x2 (2 – cos x)
EXERCICE N°5 Soit la fonction xsin2x3x:f +֏
1°)a-Montrer que pour tout x de R : 2x3)x(f2x3 +≤≤−
b-En déduire )x(flimx −∞→
et )x(flimx +∞→
2°)Soit la fonction g défini sur R par :
=
≠=
0xsi5
1
0xsi)x(f
x
)x(g
a- Montrer que g est continue en 0.
b- Montrer que pour tout
+∞∈ ,3
2x :
2x3
x)x(g
2x3
x
−≤≤
+
c- En déduire )x(glimx +∞→
. Interprète géométriquement le résultat.
EXERCICE N°6
Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) = x + cos x
x2 +1
Séries d’exercices 4ème Maths
Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites
Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
1°)Montrer que, pour x > 1, x − 1x2 + 1
≤ ϕ(x) ≤ x + 1
x2 + 1
2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ . EXERCICE N°7
Soit la fonction f définie sur
+∞− ,2
1par :
1x2
xcosx)x(f
++−=
1°)Démontrer que pour tout 2
1x −> on a :
1x2
1x)x(f
1x2
1x
++−≤≤
+−−
2°) En déduire la limite de f en + ∞ . EXERCICE N°8
Soit f la fonction définie sur R par : 1²x
21x)x(f
++−= .
On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé
Calculer )x(flimx +∞→
,x
)x(flimx +∞→
. Interpréter graphiquement
EXERCICE N°9 On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Soit ²x1
x1x:f
n
++֏ avec *Nn∈ . Etudier suivant n )x(flim n
x +∞→,
x
)x(flim n
x +∞→ . Interpréter graphiquement
EXERCICE N°10
Soit la fonction f définie par
=++
≠−
−+=
1xsi1pxx2
1xsi1²x
xm23²xm
)x(f3
Déterminer m et p pour que f soit continue sur R.
EXERCICE N°11
On considère la fonction f définie par :
] ] { } [ [] [ ] [
∪−∈−−
+∞∪∪−∞−∈−−=
1,00,1xsix
1²x1
,101,xsiaxx²x
)x(f
1°)Etudier la continuité de f en 0.
2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1.
3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R.
EXERCICE N°12
Soit la fonction f définie par 5x²x7x
23²x)x(f
3 ++−−+= si { }1Rx −∈ et f(1)=a.
1°) Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1.
EXERCICE N°13
Soit la fonction f définie par : ( )21x
1xxx)x(f
−−−−=
1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier.
3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f .
4°)Calculer )x(flim1x +→
et )x(flimx +∞→
.
EXERCICE N°14 Calculer les limites suivantes quand elles existent :
→ x
1sinxlim
0x ;
→ x
1Exlim
0x ;
xx
1E
xx
1E
lim0x
+
−
→ ;
x
2008
xE
limx
+∞→ ;
)xsin(²x
3)x(xElimx +
++∞→
; xsin2
xsinxlimx −
++∞→
;
3
( )1²x
xsin1xlimx −
++∞→
;
−→ xsin
1
x
1sinxlim
0x ;
xx
3x
1sin
x
1²cos2
lim0x +
+−
→.
EXERCICE N°15 Répondre par Vrai ou Faux.
1°)Si +∞=→
)x(flimax
, +∞=→
)x(glimax
et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors [ ] +∞=−→
)x(g)x(flimax
2°)Si +∞=→
)x(flimax
et si g(x)< 0 pour tout x, alors −∞=→
)x(g)x(flimax
.
3°)Si 0)x(flimax
=→
, alors soit +∞=→ )x(f
1lim
ax , soit −∞=
→ )x(f
1lim
ax.
EXERCICE N°16
On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour 3x
x)xsin()x(f
−=
1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite.
2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : 30x x
x)xtan(lim
−→
et 40x x
2
²x)xcos(1
lim
−−
→
EXERCICE N°17
Calculer ( )24x 4x16
24x.23xx16lim
−−−−
→
EXERCICE N°18 1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ] [2;1∈
2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à 110 − près .
EXERCICE N°19 Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R .
EXERCICE N°20 Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement, montrer que
toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ?
EXERCICE N°21 1°)Soit [ ] [ ]1,01,0:f → une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution
sur [ ]1,0 .
2°)Plus générale : Soit [ ] [ ]b,aJb,a:f ⊂→ une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au
moins une solution sur [ ]b,a
3°)Soit une fonction [ ] Rb,a:f → continue, et βα, des réels strictement positifs.
Montrer qu’il existe [ ]b,ac∈ tel que : ( ) ( ) ( ) ( )cfbfaf βαβα +=+
EXERCICE N°22
Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : yxk)y(f)x(f −<− avec 0 < k < 1
Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b]
EXERCICE N°22 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) )x(fx2f = .
EXERCICE N°23 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) .xcos)x(fx2f =