1

EXERCICE N°1 Montrer que : pour tout n de N* :

1°)1n2

cos +π

= ����� ������ ��

foisn

2...22221 ++++ et

1n2sin +

π =

����� ������ ��foisn

2...22221 +++−

2°)En déduire que π = ( )������ ������� ��

foisn

n

n2...2222Lim +++−×

+∞→

EXERCICE N°2

Soit [ ]1,1−∈λ , on considère la fonction f définie sur par :

=

≠=0xsi

0xsix1

sin)x(fλ

1°)Soit pour tout n de N : π

πn2

2

1un

+= et

ππ

n22

1vn

+−= . Calculer ( )nuf et ( )nvf .

2°)Existe t –il un valeur de λ tel que f soit continue en 0 EXERCICE N°2 Exprimer un en fonction de n . 1°) 0u =2 et pour tout n de N : nuu n1n +=+

2°) 0u =3 , 1u = 2 et pour tout n de N : n1n2n u2u3u −= ++

3°) 0u =3 , 1u = 2 et pour tout n de N : 1nn2n uu2u ++ −=

4°) 0u =52

et pour tout n de N* : . ( ) ( ) 1nn u2n2u1n3 −+=+

EXERCICE N°3

1°) Soit x un réel tel que 0 < x ≤ 1.Montrer que : pour tout k de N : ( )kx1 + ≤ 1+ k2 x

2°)Soit (x) la suite définie sur N* par : nx = n

3

3

n

(a) Etablir l’égalité suivante : pour tout n de N* : n

1n

xx + =

3

n1

131

+

(b) En déduire que : pour tout n ≥ 16 : n

1n

xx + ≤

21

(c) Montrer que : pour tout n ≥ 16 : nx ≤ 16

16n

x21

−

. En déduire alors n

xxlim

+∞→

EXERCICE N°4 Soient a et b deux réels tels que 0<a ≤ b et ( )nu la suite définie par :

1u =a+b et *Nn ∈∀ : 1nu + =nu

abba −+ .

1°) On suppose que a<b. (a) Montrer que ( )nu est minorée par b .

(b) Etudier la monotonie de la suite ( )nu en déduire qu’elle est convergente.

2°) Soit v la suite définie par : *Nn ∈∀ : aubu

vn

nn −

−=

(a) Montrer que v est une suite géométrique. (b) En déduire nu en fonction de n , a et b

(c) Calculer alors nn

ulim+∞→

3°) On suppose que a=b . (a) Calculer 4321 u,u,u,u en fonction de a .

Séries d’exercices 4ème Maths

Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles

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2

(b) Exprimer alors nu en fonction de n et a puis nn

ulim+∞→

.

EXERCICE N°5

Soit la fonction f :R+ → R , x ֏ f(x)= x)1p(p −+ , où p est un réel tel que 1p >

On considère la suite réelle u définie par 0u0 = et Nn ∈∀ : ( )n1n ufu =+

1°)(a) Montrer que : Nn ∈∀ : pu0 n ≤≤

(b) Etudier la monotonie de u . (c) En déduire que u est convergente .

2°)(a) Montrer que : Nn ∈∀ , pu 1n −+ ≤ p

1p −pun −

(b) En déduire : Nn ∈∀ , pun − ≤ pn

p1

1

− . En déduire alors nn

ulim+∞→

.

EXERCICE N°6

On considère la suite u définie par 1u0 = et Nn ∈∀ : n

n1n u2

9u3u

+=+

1°) Montrer que 3u 1n −+ et 3un − sont de signes contraires.

2°) En déduire que : Np ∈∀ , p2u ≤ 3 ≤ 1p2u + .

3°) En déduire que si u est convergente, alors nn

ulim+∞→

=3.

4°) Vérifier que : *Nn ∈∀ , nu 2≥

5°) (a) Montrer que : 2n ≥∀ , 3un − ≤ 43

3u 1n −−

(b) En déduire 2n ≥∀ , 3un − ≤ 3 1n

43

−

(a) Montrer que u est convergente et précisera sa limite. EXERCICE N°7 On considère les suites u et v définies sur N par : 0vu 00 == et pour tout n de N :

n1n v3u −=+ et n1n u3v +=+ .

1°)Montrer que pour tout n de N on a : 3u0 n ≤≤ et 3v0 n ≤≤ .

2°)Soient a et b deux suites définies sur N par : 1ua nn −= et 1vb nn −= .

a)Montrer que pour tout n de N on a : n1n ba ≤+ et n1n a21

b ≤+ .

b)En déduire que pour tout n de N on a : n2n a21

a ≤+ et n2n b21

b ≤+

c)En utilisant les résultats de b/, montrer que pour tout n de n : p

p2 21

a

≤ et 1p

p2 21

b−

≤ .

d)Étudier alors la convergence des suites ( )p2u et ( )p2v

EXERCICE N°8

1°) Montrer que pour tout réel positif x on a : x – 6x3

≤ sinx ≤ x.

2°) Montrer que pour tout entier naturel n : 4

)²1n²(nk

n

0k

3 +=∑=

3°)Soit x un réel positif fixé et ( )( )xun la suite définie sur N* par : ( ) ∑=

=n

1kn ²n

kxsinxu .

(a) Montrer que pour tout n de N* : n2

x)1n( +4

3

n24

x)²1n( +− ≤ ( )xun ≤ n2

x)1n( +.

(b) En déduire que ( )( )xun est convergente et calculer sa limite.

4°) Soit v la suite définie sur N* par : ∑=

=n

1k

3n ²n

ksinv

(a) Montrer que pour tout réel x : sin3x = 43

sinx - 41

sin3x

3

(b) En déduire que : ( ) ( )3u41

1u43

v nnn −=

(c) Calculer alors : nn

vlim+∞→

EXERCICE N°8

1°)Etudier les variations de la fonction g définie par : 1x5x)x(g 3 −−= sur R.

2°)En déduire que l'équation 01x5x3 =−− possède trois racines a, b, c, avec a < b < c Donner des valeurs approchées de a, b, c à 10-1 près. (On trouve : −2,2 ; −0,3 ; 2,3.) 3°)On considère la suite u définie par son premier terme u0, et par la relation de récurrence :

∀n ∈ N un+1 = )1u(51 3

n − .

a) Montrer que la suite u est monotone. b) Si la suite u est convergente, quelles sont les valeurs possibles de sa limite ? c) Etudier la suite u dans les trois cas particuliers suivants :u0 = -3 ;u0 = 0; u0 = 3 . EXERCICE N°10

1°) Soit ( )nu la suite réelle définie sur N par 21

u0 = et pour tout n de N :2n

n1n

u1

u2u

+=+

(a) Montrer que pour tout n de N on a : 0 < nu <1

(b) En déduire que ( )nu est convergente et calculer sa limite.

2°) Soit v la suite de terme général :n

nn u1

u1v

+−=

(a) Montrer que pour tout n de N on a : 2n1n vv =+

(b) En déduire que pour tout n de N : n2n3

1v =

(c) Déduire nn

vlim+∞→

et l’expression de nu .

(d) On pose pour tout n de N : n10n v....v.vp = . Calculer np puis calculer

++∞→ 1n

n

n vp

lim

3°) Soit la suite s définie sur N* par ∑−

=

=1n

0kkn u

n1

s

(a) Montrer que pour tout n *N∈ , on : ( )1n20

n u1u1

1u10 −−

+<−<

(b) En déduire que pour tout n de N , n

n 54

u10

<−<

(c) Montrer que pour tout n de N* ; 1s45

1n5

1 n

n

≤≤

−− . En déduire alors nn

slim+∞→

EXERCICE N°11

Soit u la suite réelle définie sur N par :

+=

>

+n

n1n

0

ua

u21

u

0u

avec a *R+∈ et n N∈

1°)Pour quelle valeur de 0u la suite u est constante.

2°)Montrer que pour tout n de N : nu > 0

3°)On suppose dans la suite que : 0a²u0 ≠−

(a) Montrer que pour tout n de N : nu ≠ a

(b) Montrer que pour tout n de N : 1nu + a− = nu2

1 ( )²n au −

(c) Montrer que pour tout n de N : 1nu + + a = nu2

1 ( )²n au +

(d) Montrer que si u est convergente elle converge nécessairement vers a (e) Montrer que u est strictement décroissante et qu’elle converge et déterminer sa limite.

4

4°)Soit pour tout n de N : nv = au

au

n

n

+−

.

(a) Calculer 1nv + en fonction de nv .

(b) En déduire nv en fonction de n et 0v .

(c) Calculer alors : nx

vlim+∞→

puis nx

ulim+∞→

5°)On suppose que : 0u = a23

(a) Montrer que pour tout n de N : nu > a

(b) Montrer que pour tout n de N : 1nu + a− < 21 ( )aun −

(c) Montrer que pour tout n de N : nu a− < n

21

. a

(d) En déduire nx

ulim+∞→

EXERCICE N°12

1°) Soit la fonction f : x → f(x)= ²x1

x2

+

(a) Etudier les variations de f . (b) Résoudre dans R : f(x) = x .

(c) Montrer que si : 1 ≤ x ≤ 3 alors 1 ≤ f(x) ≤ 3 2°)Soit la suite réelle u définie par : 1u0 = et Nn ∈∀ , ( )n1n ufu =+ .

(a) Montrer que Nn ∈∀ , 1 ≤ nu ≤ 3 .

(b) Etudier la monotonie de u. (c) Montrer que u est convergente et calculer sa limite.

3°) Nn ∈∀ , on pose 2n

2n

nu3

uv

−=

(a) Montrer que v est une suite géométrique. (b) En déduire l’expression de nu .

(c) Retrouver nn

ulim+∞→

4°)On pose ∑−

=

=1n

0k

2kn us , *Nn ∈∀

(a) Montrer que *Nn ∈∀ : n ≤ ns ≤ 3n

(b) En déduire : nn

slim+∞→

et ²n

slim n

n +∞→

5°)On pose : *Nn ∈∀ : ns

r nn =

(a) Montrer que *Nn ∈∀ : ( ) n2n1n1n snus1nns −=+− ++

(b) En déduire que ( )nr est suite croissante.

(c) Montrer que ( )nr est une suite convergente et trouver sa limite ℓ .

6°)Soit n , p *N∈ tel que n > p. (a) Montrer que : ( ) 2

1nn2p nusupn −≤≤−

(b) En déduire que : 21nn ur

npn

−≤≤−

(c) Montrer que : *Np ∈∀ 3u2p ≤≤ ℓ . En déduire la valeur de ℓ .

EXERCICE N°13 On se donne deux réels a et b tels que 0 ≤ b ≤ a. On définit les suites ( )nu et ( )nv par les relations :

0u =a , 0v =b , Nn ∈∀ :2

vuu nn

1n+

=+ et 2

vuv n1n

1n+

= ++

1°)Etablir une relation entre 1n1n vu ++ − et nn vu − .

5

2°)En déduire l’expression de nn vu − en fonction de n , a et b .

3°)En déduire l’expression de 1nu + en fonction de nu , n , a et b.

4°)Montrer que les suites u et v convergent vers une limite commune que l’on déterminera. EXERCICE N°14

On définit des suites ( )nu et ( )nv par : 0v,u 00 > et pour tout n de N : 2

vuu nn

1n+

=+ et

+=

+ nn1n v1

u1

21

v1

.

1°)Montrer que ( )nu et décroissante et ( )nv est croissante.

2°)Montrer que pour tout n de N : nn vu ≥ et ( )nn1n1n vu21

vu −≤− ++

3°)En déduire que ( )nu et ( )nv sont convergentes et ont même limite.

EXERCICE N°15 Soit (a , b) ²R∈ tel que 0 < a < b.

On définit les suites ( )nu et ( )nv sur N par : ( )

+=+=

==

++ 2vuv

v,2

vuu

bv,au

nnn1n

nn1n

00

1°)Montrer que ( )nu et ( )nv convergent vers une même limite ℓ > 0.

2°)On suppose que a = b φcos ; 0 < φ < 2π

. Exprimer ℓ en fonction de b et φ

EXERCICE N°16

Pour tout n de N* , on pose : nu = n

nn2

4

C.n .

1°)Calculer 1u et n

1n

u

u + .

2°)Prouver par récurrence que *Nn ∈∀ : nu ≤ 1n2

n+

.

3°)Montrer qu’il existe

∈

2

1,

21

ℓ tel que : ℓ=+∞→

nn

ulim .

4°)Montrer que 0x >∀ :

+21

x8

1 ≤ ( )1xx

21

x +−

+ ≤ ( )1xx.8

1

+

5°)En déduire que *Nk ∈∀ : −

+21

k8

uk

+23

k8

uk ≤ k1k uu −+ ≤ −k8

uk

( )1k8uk

+.

6°)En cadrer np uu − (pour p > n ), puis établir : *Nn ∈∀ :

+21

n8

un ≤ nu−ℓ ≤n8ℓ

7°)En déduire la majoration suivante : *Nn ∈∀ : ²n16

un81

1 nℓ

ℓ ≤

+− .

8°)Comment suffit-il de choisir n pour que nun81

1

+ soit une valeur approchée de ℓ à 10-5 prés ?

EXERCICE N°17

Prouver que la suite de terme générale n

n n1

1u

+= est croissante sur N*.

EXERCICE N°18

On considère la suite de terme générale ( )

∑=

−−=n

1k

1k

n k1

u .

1°)Montrer que les suites ( ) 1nn2u ≥ et ( ) 0n1n2u ≥+ sont des suites adjacentes.

2°)Déduire que la suite ( ) 1nnu ≥ est convergente.

6

EXERCICE N°19

On considère la suite de terme générale ( )( )∑

=

−=n

0k

k

n !k21

u .

1°)Montrer que les suites ( ) 0nn2u ≥ et ( ) 0n1n2u ≥+ sont des suites adjacentes.

2°)Déduire que la suite ( ) 0nnu ≥ est convergente.

EXERCICE N°20 Soient les deux réels a et b, tels que 0 < a < b, et les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ définies par :

( )

++=

=

+ 2n

2n

nnnn1n

0

vu

vuvuu

au et

+=

=

+ 2vu

v

bvnn

1n

0.

1°)Montrer que pour tout n de N, .uv nn >

2°)Montrer que les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ sont convergentes.

3°)Déduire que les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ sont adjacentes.

4°)Montrer que la suite ( ) Nnnw ∈ définie par son terme général nn

n v1

u1

w += est constante.

5°)Déduire la valeur des limites des suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ en fonction de a et b .

EXERCICE N°21

1°) Pour tout entier naturel n, on note 12Fn2

n += . Calculer F0, F1, F2, F3.

2°) Démontrer par récurrence que pour tout n > 1, on a : 2FF....FF 1nn10 −= + .

3°) Montrer que la suite ( )nF est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

EXERCICE N°22 Partie A :

Soit ( )nx une suite numérique définie par : x :

+=∈∀

∈

++ n1n2n

10

x31

x31

x

Nn

Rx;x

1°)On pose ∑=

=+++=n

0kkn10n xx...xxs

Montrer que si ( )nx est convergente vers ℓ alors ( )nx converge vers 'ℓ qui l’on déterminera en fonction ℓ .

2°)On pose n1nn txxa += + . Déterminer les valeurs de t tel que ( )na soit une suite géométrique

3°)En déduire nx en fonction de n , 0x et 1x

4°)Calculer alors nn

xlim+∞→

et nn

slim+∞→

Partie B :

Soient a et b sont deux réels supérieurs ou égaux à 1.

On étudie la suite numérique ( )nu définie par : u :

+=∈∀

==

++ 1nn2n

10

uuu

Nn

bu;au

1°) Montrer que pour tout entier naturel n, nu est bien défini et vérifie nu ≥ 1.

2°) Montrer que la seule limite possible de la suite ( )nu est 4.

3°) On se propose d’établir la convergence de la suite ( )nu par l’étude d’une suite auxiliaire ( )nv définie, pour

tout entier naturel n, par : nn u21

v = − 1.

(a) Montrer que si nn

vlim+∞→

= 0, alors nn

ulim+∞→

= 4.

(b) Vérifier que, pour tout entier naturel n : )v2(2

vvv

2n

n1n2n

+

++ +

+= .

4°) On note ( )nx la suite définie par : 00 vx = , 11 vx = et, pour tout entier naturel n,

2nx + = 31

nx + 31

1nx + .

Montrer que pour tout entier naturel n, nn xv ≤ et conclure quant à la convergence de la suite ( )nu .

7

(c ) En déduire que : 2nv + ≤ ( )n1n vv31 ++

EXERCICE N°23 Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse Soient ℓ , k et q des réels tel que 0 < k <1 et 0< x < 1. 1°)Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k ℓ−nu alors u est convergente .

2°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k ℓ−nu alors s est convergente tel que : *Nn ∈∀ : sn = ∑−

=

1n

0kku

n1

3°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+2nu ≤ k ℓ−nu alors u est convergente .

4°) Si Nn ∈∀ : 1n2n uu ++ − ≤ k n1n uu −+ alors ( ) 0uulim n1nn

=−++∞→

5°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k nn xu +− ℓ alors u est convergente .

6°)Si ( ) Nnnu ∈ est croissante et ( ) Nnnv ∈ est décroissante alors ( )nvu − est décroissante .

7°)Soient u et v deux suites réelles tel que : Si : ( ) 0vvuulim 2

nnn2n

n=+×+

+∞→ alors 0vlimulim n

nn

n==

+∞→+∞→

8°)Si ( ) ℓ=++++∞→

n10n

u...uulim alors 0ulim nn

=+∞→